MiMa Mathematics in the Making Projeto n. 539872-LLP- 1-2013– 1-IT-COMENIUS-CMP

MATERIAL COMPLEMENTAR

Dezembro de 2014

Material complementar sobre a atividade “Modelando o sistema solar”

1) Alguns detalhes sobre a experiência “eclipse"

Os centros dos círculos têm de estar alinhados à mesma altura, e essa altura deverá ser a adequada ao olhar da pessoa que realiza a experiência.

Se não houver nenhum tripé disponível, poderá ser usada a ajuda de dois voluntários para manter os centros alinhados.

A experiência pode ser reproduzida a menor escala (à escala adequada a uma mesa, por exemplo), usando um suporte adequado e quaisquer duas figuras proporcionais.

2) A justificação matemática da experiência “eclipse"

Do teorema de Tales, sabemos que

= Como

(repare que usámos um círculo com um metro de diâmetro e outro com meio metro de diâmetro).

3) A escala A escala vai permitir aos alunos converter “grandes números” em números do seu dia-a-dia. Se queremos um modelo do Sol com 1 m = 1 000 mm de diâmetro escalado, como o diâmetro real do Sol é 1 391 900 km, usamos a escala

1 391 900 : 1 000 = 1 391.9.

Seguidamente, precisamos de encontrar os diâmetros escalados e o raio orbital escalado de todos os planetas (ou planetas interiores) do Sistema Solar. Como proceder?

D E

C

B

A

AD AE

BD CE

AB AC

= =

então

.

Por exemplo, para o modelo de Mercúrio, usando o fator de escala escolhido 1 391.9:

para encontrar o seu diâmetro, calculamos 4 866 : 1 391.9

que é, aproximadamente, 3.50 mm; para encontrar a sua distância ao modelo do Sol, calculamos

57 950 000 : 1391.9 que é, aproximadamente, 41 630 mm = 41.63 m.

Procedemos da mesma forma em relação aos outros planetas. Para desenvolver a capacidade de lidar com grandes números, os alunos devem também criar novas escalas. Por exemplo, em vez de usar o fator de escala 1 391.9, podem usar o fator de escala 1 000. Nessa nova escala, o diâmetro do Sol é 1,39 metros, mas os diâmetros de todos os outros planetas e as respectivas distâncias ao Sol são muito fáceis de encontrar, bastando dividir os dados reais por 1000. Outras escalas podem ser introduzidas, e os cálculos refeitos de uma maneira semelhante, quando adequado. Por exemplo, quando se utilizar um modelo do Sol com outra dimensão, aproveitando a existência de um monumento local para representar o Sol. Este tipo de cálculos permite que os alunos compreendam que x:a = b é equivalente a x:b = a, ou seja, que a escala é simultaneamente uma razão de dimensões e o fator multiplicativo quando temos a dimensão real e queremos criar o modelo.

Planeta Diâmetro (Km)

Diâmetro escalado (mm)

Raio orbital

(Km)

Raio orbital escalado (m)

Sol 1 391 900 1000

Mercúrio 4 866 3.50 57 950 000 41.63 Vénus 12 106 8.70 108 110 000 77.67 Terra 12 742 9.15 149 570 000 107.46 Marte 6 760 4.86 227 840 000 163.69 Júpiter 142 984 102.73 778 140 000 559.05

Saturno 116 438 83.65 1 427 000 000 1 025.22 Urano 46 940 33.72 2 870 300 000 2 062.15

Neptuno 45 432 32.64 4 499 900 000 3 232.92

SOL

MERCURIO

VÉNUS

TERRA Os alunos devem, em primeiro lugar, marcar a localização dos planetas num mapa local, tendo em consideração a escala do próprio mapa, depois de terem escolhido o local adequado para a Sol.

4 – Extensão da aprendizagem: a experiência da Lua e do modelo do Sol Por que há eclipses totais do Sol? Para ajudar os alunos a responder a esta pergunta, pode ser realizada uma experiência simples: "Coloque-se na órbita do modelo da Terra (ou seja, a 107,5 metros de distância do modelo do Sol com um metro de diâmetro), e marque num cartão o diâmetro do modelo do Sol, tal como é visto a partir desse local. No mesmo lugar, e mantendo constante a distância entre os seus olhos e o cartão, aponte o cartão para a Lua e confirme que o diâmetro da Lua é igual ao diâmetro que tinha marcado no cartão." A justificação matemática desta experiência pode ser encontrada abaixo. Os argumentos envolvidos são os usados na justificação matemática da experiência "eclipse".

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