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MEEC
Ano Lectivo 2016/17, 2º Semestre
Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas
(PROE)
Conceitos Fundamentais
Enunciados de Problemas (com Soluções)
Resoluções de Problemas Seleccionados
Enunciados de Provas de Avaliação Anteriores
Edição de Custódio Peixeiro
Fevereiro 2017
2/37
Enunciados
de
Problemas (com Soluções)
3/37
Problema CF1 (Resolvido)
O campo eléctrico de uma onda electromagnética que se propaga no ar, é dado por
yE ˆ)zkt(cosE)t,z( 0
a) Identifique o tipo de onda.
b) Diga qual o significado físico de E0, ω, k e .
c) Indique a direcção de propagação da onda e a orientação do campo eléctrico.
d) Determine, a partir das equações de Maxwell, a relação entre ω e k.
e) Calcule a velocidade de fase.
f) Escreva a expressão da amplitude complexa do campo eléctrico.
g) Determine, a partir das equações de Maxwell, a expressão do campo magnético
correspondente, em amplitude complexa e valor instantâneo.
h) Admitindo que ω=2πx108 rad.s-1, calcule o comprimento de onda (λ) e a constante
de propagação (k).
4/37
Problema CF2
I. O serviço de radiodifusão em AM utiliza a banda de frequências 535 kHz – 1605
kHz.
a) Calcule a correspondente gama de comprimentos de onda.
II. O serviço de radiodifusão em FM utiliza a banda de frequências 88 MHz – 108
MHz.
b) Calcule a correspondente gama de comprimentos de onda.
III. Um sistema de teledifusão directa via-satélite utiliza uma portadora de frequência
12 GHz.
c) Calcule o correspondente comprimento de onda.
IV. Os sistemas modernos de comunicações for fibra óptica utilizam portadoras com
comprimentos de onda da ordem de 1,5 µm (infravermelho).
d) Calcule a correspondente frequência.
V. A luz visível tem comprimento de onda compreendido entre 380 nm e 780 nm. Em
particular às cores vermelho, laranja, amarelo, verde, azul e violeta estão associados
os comprimentos de onda nominais 700 nm, 610 nm, 590 nm, 530 nm, 470 nm e 420
nm, respectivamente.
e) Calcule a gama de frequências correspondente à luz visível.
f) Calcule a frequência associada a cada uma das cores indicadas.
Soluções
Radiodifusão AM Radiodifusão FM TV Via-Satélite Fibra Óptica Luz Visível
f1 535 kHz 88 MHz 12 GHz 200 THz
0,789 PHz
f2 1605 kHz 108 MHz 0,385 PHz
λ1 0,561 km 3,41 m 25 mm 1,5 µm
380 nm
λ2 0,187 km 2,78 m 780 nm
5/37
Problema CF3
I. O campo eléctrico de uma onda electromagnética monocromática plana, que se
propaga no ar, é dado por xE ˆ)c
zt(10cosE)t,z( 8
0
a) Indique a direcção de propagação da onda, a sua frequência, polarização e
constante de propagação kz.
b) Determine o campo magnético da onda em amplitude complexa e valor
instantâneo.
c) Calcule a impedância característica da onda, e indique a desfasagem entre o
campo eléctrico e o campo magnético.
d) Calcule a velocidade de fase da onda.
II. Considere que a onda se propaga num meio com perdas em que
.mrad106,25β,mNp106,25 1313
e) Escreva a expressão do campo E(z,t).
f) Represente o andamento do campo para 0t e z0 .
g) Calcule a velocidade de fase da onda.
h) Calcule a impedância característica da onda e a desfasagem entre o campo
eléctrico e o campo magnético.
i) Compare as características de propagação das ondas no ar e no meio com
perdas.
Soluções
a) Onda a propagar-se segundo z e com polarização segundo x .
1z mrad
3
πkMHz,50f
b) yHyH ˆˆ θ)zktω(cosZ
Et)(z,e
Z
E(z) z
0
0θ)z(kj
0
0 z
c) 0θθΩ,π120Z HE0 d) 18f sm103v
e) xE ˆθ)zβt(ωcoseEt)(z, zα0 g) 14
f sm105,03v
h) 4
πθθ,mΩe44,7Z HE
4
πj
6/37
Problema CF4 (Resolvido)
I. Considere uma onda plana monocromática polarizada linearmente segundo x ,
que se propaga segundo z num meio ilimitado e sem perdas, com 0
4 , 0
e
0 . Suponha que o campo eléctrico é alternado sinusoidal com frequência
100 MHzf e apresenta uma amplitude máxima em (t=0; z=0,125 m).
a) Escreva a expressão dos campos eléctrico e magnético da onda, em amplitude
complexa e em valor instantâneo.
b) Para o instante 0
10 nst , determine as coordenadas z em que o campo eléctrico
atinge a sua amplitude máxima.
II. Admita que o meio dieléctrico de propagação apresenta fracas perdas (0
4 ,
0 e tan d=/ωε=0,005).
c) Represente o campo eléctrico )t,z(E no instante 0 10 nst e compare com o
resultado obtido no meio sem perdas.
7/37
Problema CF5
Considere uma onda com frequência f=100 GHz, a propagar-se sucessivamente em
3 meios diferentes: (1) ar (ε=ε0, µ=µ0), (2) dieléctrico com fracas perdas (ε=2,25ε0,
µ=µ0, tanp=0,002) e (3) bom condutor (ε=ε0, µ=µ0, =5,8x107 S.m-1)
O campo magnético da onda é dado por
yH ˆ)zt(cos)z(expH)t,z( 0
a) Para cada um dos meios calcule a constante complexa de propagação (=+j), a
impedância característica de onda e a velocidade de fase.
b) Compare as características de propagação dos 3 meios. Comente o resultado.
c) Assinale no gráfico abaixo os pontos correspondentes a cada um dos meios.
Origem da Figura
J. D. Krauss e D. A. Fleisch,
Electromagnetics with Applications,
5ª edição, McGraw-Hill, 1999.
Soluções
a) b)
Meio r
[S.m-1] tan
[Np.m-1]
[rad.m-1]
Z
[]
Ar 1 0 0 0 2000/3 120
Dieléctrico com perdas fracas
2,25 0,025 0,002 1000 80(1+j0,001)
Bom condutor 1 5,8x107 1,044x107 4,785x106 8,25x10-2(1+j)
Meio r
[S.m-1]
vf [m.s-1]
Ar 1 0 3x108
Dieléctrico com perdas fracas
2,25 0,025 2x108
Bom condutor 1 5,8x107 1,31x105
8/37
Problema CF6
Uma onda plana monocromática propaga-se num meio ilimitado caracterizado por ,
e , sendo o seu campo magnético dado por
yH ˆ)zt(cos)z(expH)t,z( 0
I. Considere a propagação no cobre (=0, =0, =5,8x107 S.m-1).
a) Determine as expressões da impedância característica Z , da constante de
propagação j e do campo eléctrico ( , )z tE desta onda.
b) Calcule os valores de Z e para as frequências 1
16 kHzf e 2
1.6 GHzf .
c) Com base nos resultados das alíneas anteriores, analise a variação das
características da propagação no cobre em função da frequência.
II. Considere agora a propagação na água do mar ( 080 , 0 e 1mS5 ).
d) Repita as alíneas a) e b).
e) Com base nos resultados anteriores, compare a propagação na água do mar e no
cobre.
Soluções
a) Caso dum bom condutor
2
ωμσβαβjαj)(1
2σ
ωμZ
(Z)argθH|Z|E)θzβtω(cos)αz(expEt)(z, E00E0 xE ˆ
b) 113513 rad.mNp.m101,914βαΩ,)j(1103,30Z106,525θtankHz,16f ,
11528 rad.mNp.m106,053βαΩ)j(1101,04Z106,525θtanGHz1,6f ,,,
c) Admitindo que (,,) não variam com a frequência, o cobre é bom condutor até
cerca de 10 PHz. As três características Z, e , variam com f .
d) 11
4
rad.mNp.m0,5620βαΩ,)j(10,112Z
condutorBom107,031θtankHz,16f
11 rad.m316,95β,Np.m99,96αΩ,11,50j36,35Z0,7031,θtanGHz,1,6f
9/37
Problema CF7
Considere uma onda electromagnética de frequência 0 100 MHzf , a propagar-se
na grafite.
Dados: grafite (banda de RF): =12 0; =0; 1510 Sm .
a) Determine a profundidade de penetração δ da onda na grafite, à frequência 0f .
Explique o significado físico de δ.
b) Calcule a distância para a qual a intensidade do campo sofre uma atenuação de
30 dB . Comente o resultado.
c) Determine a desfasagem entre os campos eléctrico e magnético no interior da
grafite.
d) Mostre que a desfasagem entre E e H num bom condutor não depende da
frequência da onda.
Soluções
a) m2,159m2000
1
A profundidade de penetração corresponde à distância
para a qual o campo de atenua 1 Neper.
b) d = 549,7 m
c) 4
πθθ101,5
ωε
σθtan HE
6
d) Num bom condutor as partes real e imaginária da impedância característica são
iguais.
10/37
Problema CF8
I. Considere uma onda monocromática de frequência f a propagar-se num meio
condutor ( , , ), sendo o respectivo campo dado por
xE ˆ)zt(cosz
e0
E)t,z(
a) Escreva a expressão da amplitude complexa do campo eléctrico.
b) Determine a amplitude complexa e o valor instantâneo do campo magnético.
c) Determine o valor instantâneo do vector de Poynting ( , )S z t .
d) A partir do valor de ( , )S z t , calcule o valor médio no tempo do vector de Poynting.
e) Calcule
2
HES
*
Re . Tendo em conta o resultado obtido na alínea anterior,
explique o significado físico da grandeza S .
f) Calcule a densidade em volume da potência dissipada pela onda no meio condutor.
II. Considere uma onda de frequência 1 MHzf a propagar-se na água do mar
(=800, =0, =4 S.m-1) e no cobre (=0, =0, =5,8x107 S.m-1).
g) Para cada um dos meios, determine a impedância característica e a densidade em volume da potência dissipada pela onda.
h) Comente os resultados obtidos na alínea anterior.
Soluções
a) xE ˆeeE zjz0
b)
c) zS ˆ]cosz2t2cos[eZ2
Et,z z2
20
d) zSS ˆcoseEZ2
1dt)t,z(
T
1 z220
T
0
e) zHES ˆcoseEZ2
1Re
2
1 z220
*
f) 3d WmS2P
g) Água do Mar 320d mWE2P)j1(9935,0Z,900tan
Cobre 320
6d
412 mWE1029P)j1(10609,2Z,10044,1tan
jz
0zjz
0 eZZˆZ
ztcoseEt,zˆ
Z
eeEyHyH
11/37
Problema CF9 (Resolvido)
Considere uma onda electromagnética com um campo eléctrico da forma
yxE ˆˆ )zkt(ωcosA)zkt(ωcosA yzyxzx
onde Ax, Ay, x e y são grandezas reais.
I. Represente a curva de polarização (forma e sentido de rotação) e identifique o tipo
de polarização nos seguintes casos:
a) Ay = 0 (Ax 0);
b) Ax = 0 (Ay 0);
c) Ay = Ax (Ax 0), y = x;
d) Ay = 2Ax (Ax 0), y = x;
e) Ay = 2Ax (Ax 0), y = x + /2;
f) Ay = Ax (Ax 0), y = x + /2;
g) Ay = Ax (Ax 0), y = x - /2;
h) Ay = 2Ax (Ax 0), y = x + /4
II. Prove que:
i) as polarizações das alíneas a) e b) podem ser obtidas por sobreposição das
polarizações das alíneas f) e g);
j) as polarizações circulares podem ser decompostas em duas polarizações
lineares.
12/37
Problema CF10
I. Considere duas ondas planas monocromáticas a propagarem-se segundo z , com
campos eléctricos dados por
zzkj-
e)j(E0 yxE1ˆˆ e
zzkj-e)j(E0 yxE1
ˆˆ
a) Escreva a expressão dos campos 1
E e 2
E em valor instantâneo.
b) Indique a polarização de cada uma das ondas.
c) Numa ligação via satélite é emitido o sinal 1 2
E E E . Qual é a polarização do
campo eléctrico do sinal?
II. Admita que a frequência de operação é 1 GHzf e que as velocidades de fase
das duas ondas 1
E e 2
E na ionosfera, em 0z , são respectivamente,1
1.6f
v c e
2 11.1
f fv v .
d) Determine a polarização do sinal 21 EEE depois da onda ter percorrido
uma distância d=2,64 m, na ionosfera. Comente o resultado.
e) Sabendo que as características da ionosfera variam ao longo do dia, discuta as
vantagens da utilização de polarização circular num sistema de comunicações
via-satélite.
Soluções
a) yxE ˆ)2/zkt(cosEˆ)zkt(cosE)t,z( z0z01
yxE ˆ)2/zkt(cosEˆ)zkt(cosE)t,z( z0z02
b) PCD e PCE
c) PH
d) PV. A ionosfera alterou a polarização.
13/37
Problema CF11
Considere duas ondas planas monocromáticas a propagarem-se na água doce, com
campos eléctricos dados por
11 0
ˆ ˆ( ) exp( )z E z j E x y 22 0
ˆ ˆ( ) exp( ) 3z E z E x y
Sendo j .
a) Indique a polarização de cada uma das ondas.
b) Para a frequência f1=1 kHz e 1200 mS103σ,μμ,ε80ε , calcule a
constante de atenuação, a constante de fase e a impedância característica.
c) Para a frequência f2=10 GHz e 100 mS15σ,μμ,ε80ε , calcule a constante
de atenuação, a constante de fase e a impedância característica.
Soluções
a) PCE e PL
b)
c)
Ωj)(10,36276Zrad.mNp.m101,088m91,895
6750εω
σθtankHz1f
112
βαδ
Ω6,65j40,49Zrad.m101,899Np.m311,8
0,3375εω
σθtanGHz10f
131
βα
14/37
Problema CF12
I. Considere um sinal constituído pela sobreposição de duas ondas planas
monocromáticas, de frequências 0 e 03 , a propagar-se no vácuo segundo z ,
sendo o campo eléctrico dado por
xxE ˆ)zkt3(cosEˆ)zkt(cosE)t,z( 0000
a) Esboce o andamento de ( , )z tE em 0z e z d , em que d=2c0/0.
II. Considere, agora, que o sinal se propaga num meio dispersivo em que 0 1( )k k
e 0 2(3 )k k , sendo 0 0( ) 1.25 e 0 0(3 ) 9 1.25 .
b) Calcule as constantes de propagação e as velocidades de fase às frequências 0
e 03 .
c) Esboce o andamento de ( , )z d tE .
d) Compare a propagação do sinal no vácuo e no meio dispersivo.
Soluções
a) xE ˆ)]t3(cos)t([cosE)t,0( 000
)t,0(ˆ)]6t3(cos)2t(cos[Et,c2
0000
0 ExE
b) 1800f
0
001 sm10683,2
25,1
c)(v
c25,1)(kk
170
0
0
0
02 10944,825,13
)3(25,19)3( smc
vc
kk f
c) xE ˆ)]25,163(cos)25,12(cos[,2
000
0
0
ttEt
c
15/37
Problema CF13
Considere o diagrama de dispersão representado na figura. Trata-se do diagrama de
dispersão do modo fundamental dum guia de ondas de paredes metálicas e secção
transversal rectangular.
a) Estime a velocidade de fase e a velocidade de grupo para f=6 GHz e f=20 GHz.
b) Admita que vai usar este guia para transmitir um sinal modulado em que a
portadora tem frequência 9 GHz e a largura de banda é 4 GHz. Estime a
velocidade de grupo nos limites da banda de frequências de utilizada.
c) Discuta os efeitos da dispersão na propagação da onda da alínea anterior.
Soluções
16/37
a)
0v
vGHz6f
g
f
18g
18f
sm109,2v
sm101,3vGHz20f
b) 18g sm105,1)GHz7f(v 18
g sm105,2)GHz11f(v
c) Distorção do sinal na recepção.
17/37
Problema CF14
Considere um volume (V), delimitado por uma superfície fechada (S) preenchido
com um meio homogéneo, linear, isotrópico e invariável no tempo, caracterizado
macroscopicamente por (ε,μ,σ). A permitividade eléctrica (ε) e a permeabilidade
magnética (μ) são grandezas complexas. Existem fontes (Js), com variação
harmónica no tempo, que originam uma distribuição de campo electromagnético (E,
H) em V.
a) Obtenha a expressão da equação que impõe a conservação de potência no
volume V (Teorema de Poynting).
b) Indique o significado físico de cada um dos termos da equação obtida.
c) Mostre que, num meio passivo, as partes imaginárias de ε e de μ são negativas.
Soluções
a)
b)
c) εi e μi têm que ser negativos para os termos onde intervêm correspoderem a
potência perdida.
V
2
r
2
rV
2
i
2
i
V
2
SV
dVεμ2
ωjdV
2
ω
dV2
σ
2
1dV
2
1
EHHE
EdSHEJE**
s
emoS WWω2jPPP l
18/37
Problema CF15
Considere uma onda electromagnética plana e uniforme, de frequência 2 GHz, que
se propaga num meio ilimitado, homogéneo, linear, isotrópico e invariável no tempo,
caracterizado macroscopicamente por (ε=4ε0, μ=μ0, σ=0,1 S.m-1).
O campo eléctrico (amplitude complexa) é dado por
a) Calcule a constante de atenuação (α), a constante de fase (β) e a impedância
característica da onda (Z).
b) Calcule o valor instantâneo do (vector) campo eléctrico.
c) Calcule a amplitude complexa e o valor instantâneo do (vector) campo
magnético.
d) Calcule o valor instantâneo do vector de Poynting.
e) Calcule o valor médio no tempo do vector de Poynting (<S>).
f) Verifique que *Re2
1HES
Soluções
a) 225,0
Ω20,560j185,044e186,183Zmrad84,298βmNp9,366α 0,111j11
b) xE ˆzβtωcoseEt)(z, 0
zα
0
c) yyH ˆee
Z
Eˆee
Z
Ez
0,111zβjzα0zβjzα0 0
yH ˆ0,111zβtωcoseZ
Etz, 0
zα0
d) zHES ˆ0,111cos0,111zβtω2coseZ2
Etz,tz,tz, 0
zα22
0
e) zS ˆ(0,111)coseZ2
Edttz,S
T
1z zα2
2
0
T
0
f) zˆ0,111coseZ2
ERe
2
1 zα22
0*SzHE
0j
00
zβjzα
0 eEEˆeeEz
xE
19/37
Problema CF16 (Resolvido)
I. Considere a situação representada na figura, onde uma onda electromagnética
plana e uniforme incide na superfície plana de separação de dois meios sem perdas.
a) Calcule as expressões dos factores de reflexão e transmissão para polarização
TE (horizontal) e TM (vertical).
b) Represente graficamente o andamento dos factores de reflexão (para as
polarizações TE e TM) em função do ângulo de incidência. Considere que o meio
1 é o ar (ε=ε0 e µ=µ0), o meio 2 um dieléctrico sem perdas (ε=4ε0 e µ=µ0) e f=1
GHz. Comente os resultados obtidos.
c) Repita a alínea anterior trocando os dois meios. Comente os resultados obtidos.
II. Admita agora que os dois meios têm perdas definidas pelas condutividades 1 e
2, respectivamente.
d) Generalize as expressões obtidas na alínea a).
e) Repita a alínea b) admitindo agora que o meio 2 tem perdas sendo a sua
condutividade dada sucessivamente por 0,001, 0,01 e 0,1 S.m-1. Comente os
resultados obtidos.
f) Repita a alínea b), agora considerando que o meio 1 é o ar (ε=ε0 e µ=µ0) e o meio
2 é o mar (ε=70ε0, µ=µ0, =5 S.m-1). Comente os resultados obtidos.
i r
t
Z
Y
Meio 1
Meio 2
20/37
y
z
água do mar
Ei
ar ki
Problema CF17
Pretende-se estabelecer a comunicação com um submarino submerso em alto mar
utilizando uma frequência f=10 kHz. A onda incidente no mar tem uma amplitude
complexa
xEi ˆ)zjexp(E z0
e incide na superfície de separação ar/mar segundo a normal. As características da
água do mar são mar 0
80 , mar 0
, 1
mar4 Sm .
a) Determine a direcção de propagação da onda transmitida e o valor da constante
de propagação complexa .
b) Calcule o valor da constante de atenuação no mar.
c) Determine o factor de transmissão ar/mar.
d) Compare a amplitude complexa do campo eléctrico à superfície e a 30 m de
profundidade.
e) Repita a alínea anterior para f=10 MHz. Comente o resultado.
Soluções
a) 0it 4ar 10094,2j0 3974,0j3974,0mar
b) 1mar mNeper3974,0)kHz10f(
c) 00 98,44j497,179j
TETE e105,7e9995,01R1T
d) 92,11t0
30t0 eEeE)m30z(E mar
e) 1mar mNeper497,12)MHz10f( 91,374
t030
t0 eEeE)m30z(E mar
21/37
Problema CF18
Considere uma onda plana monocromática cujo campo eléctrico incidente tem a
forma
z)]y3(π2tω[cos)2
3
2
1(
Eoi zyxEiˆˆˆ
2
Esta onda propaga-se no ar e incide sobre o mar (=810, =0, =5 S.m-1), como representado na figura.
a) Calcule a constante de propagação (vector), a frequência e o ângulo de incidência da onda.
b) Calcule a razão de polarização da onda incidente a indique qual o seu tipo polarização.
c) Calcule a razão de polarização da onda reflectida pela superfície do mar, represente a respectiva curva e diga qual é o seu tipo de polarização.
d) Calcule a razão de polarização da onda transmitida, represente a respectiva curva e diga qual é o seu tipo de polarização.
Soluções
a)
2
3π4
zyki
ˆˆ f=600 MHz i=60o
b) iTMiTEi EEE
xEiTEˆ
2z)]y3(π2tω[cos
Eoi
)2
3
2
1(z)]y3(π2tω[cos
Eoi zyEiTMˆˆ
2
1E
Ep
iTE
iTMi
Polarização linear a 45º.
Mar y
i
z
22/37
c) o
o
o
173,2j
177,7j
9,1j
i
TE
TMr e0,8221
e0,936
e0,769p
R
Rp
rTE
rTM
E
E
o
o
o
o
6,140
3,3
2,173
4,39
Polarização elíptica (quase linear)
d) o
o
o
o
2,97j -30,82j
,832j
3,95j
i
TE
TMt e1,8201
120
e28,874
e0,074
e1,763p
T
Tp
90
mar
tTE
tTM
Z
Z
E
E
o
o
61,2β
1,3α
0,3
60,2γo
o
Polarização elíptica (quase linear)
23/37
Resoluções
de
Problemas Seleccionados
24/37
Resolução do Problema CF1
a) Onda plana monocromática com polarização linear.
b) E0 é a amplitude máxima do campo eléctrico, a frequência angular, k a
constante de propagação e a fase na origem do espaço e do tempo.
c) A onda electromagnética propaga-se segundo z com polarização (campo
eléctrico) segundo y .
d)
0
0
μωj
εωj
B
D
HE
EH
EEEE 22)()(
EEHE εμω)εω(jμωj)(μωj)( 2
0εμω22 EE 0Eμε)ωk(0Eμεωz
Ey
22y
2
2
y2
μεωk
e) k
ω
td
zdv
k
Const)(θt
k
ωzConstθzktω f
f) yE ˆθ)z(kj0 eE(z)
g) H
zyx
0
y
ωμj
0E0z
00
ˆˆˆ
θ)(kzj
0
0y
0xx e
Z
E
z
E
jω
1(z)HH
xH ˆ
Ωπ120ε
μZ
0
00 θ)kz(ωcos
Z
Et)(z,H
0
0x t
h) 1
008
80
0 mrad3
π2
λ
π2kkm3
10
103
f
cλ
25/37
Resolução do Problema CF4
a) m1,5εμ
λ
k
π2λmrad
3
π4
c
ωksm101,5
2
c
εμ
cc
rr
01180
rr
0
O campo é máximo para rad6
π0,125
3
4πωtkzθ0θ)kz-t( max
xExE ˆˆ )6
πz
3
4πt10(2πcosEt)(z,eE(z) 8
0
)6
πz
3
4π(j
0
yHyHyEz
H ˆˆˆˆ
)6
πz
3
4πt10(2πcos
Z
Et)(z,e
Z
E(z)
Z
E
Z
80)
6
πz
3
4π(j
0x
b) Amplitude dos campos máxima para ....2,1,0,nnπθkzωt max
mn0,751,6252
λn
8
13zns10t
k
nπθωtz maxmax
c) ωε)(σ1θtan
112 mrad3
4π
c
ωβmNp101,047θtanπ
3
2
ε
μ
2
σα
xE ˆθ)βzt(coseEt)(z, αz0
)6
πz
3
4π(2πcoseθ)βzt(cose
E
)t(z,E z101,0470
αz
0
02
26/37
Resolução do Problema CF9
tanPeP j)]E(arg)E([argj
x
yxye
E
Ep
2sen
2tantan
2cos2cos2cos
cos2tan2tan
sen2sen2sen
a) b) c)
d) e) f)
g) h)
i) xyxyxEEE ˆˆˆˆˆ zkjzkjzkjPCDPCEPH
zzz e2A)j(eA)j(eA
yyxyxEEE ˆˆˆˆˆ )2/(
-zkjzkjzkjPCDPCEPV
zzz e2A)j(eA)j(eA
j) PVPHzkjzkjzkj
PCEzzz eAjeA)j(eA EEyxyxE j
ˆˆˆˆ
PVPHzkjzkjzkj
PCDzzz eAjeA)j(eA EEyxyxE j
ˆˆˆˆ
E Circular
Esquerda
x
Ey
Ex
Ey
Ex
Ey
Ex
Ey
Ex
Ey
Ex
Ey
=17,2o
=68,3o
=-45o
=45o =0o
=63,4o
=26,6o
=90o
=0
=90o
=0
=0 =0
=45o
Ex
Ey
Ex
Ey Linear Horizontal
Linear Vertical
Linear
Linear Elíptica Circular Esquerda
Circular Direita
Elíptica
27/37
Resolução do Problema CF16
a) Polarização TE
xxxE rnrki
ii ˆˆˆ ˆ z)ky(kj0i
)(kj0i
j0i
ziyi1 eEeEeE
zyniˆˆˆ
ii θcosθsen zyzynk iiˆˆˆˆˆk1 i1i1ziyi θcoskθsenkk-k 111 εμωk
)θsenθ(coseZ
E
Zii
z)ky(kj
1
oi
1
ziyi zyEn
H iii
ˆˆˆ
De forma semelhante
xxxE rnrkr ˆˆˆ r
r
z)ky(kj0r
)(kj0r
j0r
zryr1 eEeEeE
zynrˆˆˆ
rr θcosθsen zyzynk rrˆˆˆˆˆk1 r1r1zryr θcoskθsenkkk
)θsenθ(coseZ
E
Zrr
z)ky(kj
1
or
1
zryr zyEn
H rrr
ˆˆˆ
xxxE rnrk t ˆˆˆ t
t
z)ky(kj0t
)(kj0t
j0t
ztyt1 eEeEeE
zyn tˆˆˆ
tt θcosθsen zyzynk ttˆˆˆˆˆk2 t2t2ztyt θcoskθsenkkk 222 εμωk
)θsenθ(coseZ
E
Ztt
z)ky(kj
2
ot
2
ztyt zyEn
H ttt
ˆˆˆ
As condições na fronteira (z=0) impõem a continuidade das componentes
tangenciais do campo eléctrico e do campo magnético.
Impondo a continuidade da componente tangencial do campo eléctrico (z=0), resulta
ykjot
ykjor
ykjoi
ytyryi eEeEeE
A verificação desta igualdade para qualquer y obriga a
28/37
0t0roi
ytyryi
EEE
kkk
A primeira igualdade conduz às leis de Snell
t2i1
ir
t2i1
ri
θsennθsenn
θθ
θsenkθsenk
θsenθsen
Definido RTE=Eor/Eoi e TTE=Eot/Eoi , a segunda igualdade conduz a
TETE R1T
Impondo a continuidade da componente tangencial do campo magnético (z=0),
resulta
ykjt
2
otykjr
1
orykji
1
oi ytyryi eθcosZ
Eeθcos
Z
Eeθcos
Z
E
Após manipulação obtém-se
2
t
1
i
2
t
1
i
TE
Z
θcos
Z
θcos
Z
θcos
Z
θcos
R
2
t
1
i
1
i
TE
Z
θcos
Z
θcos
Z
θcos2
T
Definindo r1r1
r2r2
11
22
1
2
1
221
εμ
εμ
εμ
εμ
k
k
n
nn
e dado que 221
i2
t2
tn
θsen1θsen1θcos , obtém-se finalmente
i22
212
1i
i22
212
1i
TE
θsennμ
μθcos
θsennμ
μθcos
R
i22
212
1i
iTE
θsennμ
μθcos
θcos2T
TER1
Polarização TM
29/37
xxxH rnrki
ii ˆˆˆ ˆ z)ky(kj0i
)(kj0i
j0i
ziyi1 eHeHeH
zyniˆˆˆ
ii θcosθsen zyzynk iiˆˆˆˆˆk1 i1i1ziyi θcoskθsenkk-k 111 εμωk
)θsenθ(coseH iiz)ky(kj
0iziyi zyHnE iii
ˆˆZ)ˆ(Z 11
De forma semelhante
xxxH rnrkr ˆˆˆ r
r
z)ky(kj0r
)(kj0r
j0r
zryr1 eHeHeH
zynrˆˆˆ
rr θcosθsen zyzynk rrˆˆˆˆˆk1 r1r1zryr θcoskθsenkkk
)θsenθcos(-eH rrz)ky(kj
0rzryr zyHnE rrr
ˆˆZ)ˆ(Z 11
xxxH rnrk t ˆˆˆ t
t
z)ky(kj0t
)(kj0t
j0t
ztyt1 eHeHeH
zyn tˆˆˆ
tt θcosθsen zyzynk ttˆˆˆˆˆk2 t2t2ztyt θcoskθsenkkk 222 εμωk
)θsenθ(coseH ttz)ky(kj
0tztyt zyHnE ttt
ˆˆZ)ˆ(Z 22
Impondo a continuidade da componente tangencial do campo magnético (z=0),
resulta
ykjot
ykjor
ykjoi
ytyryi eHeHeH
A verificação desta igualdade para qualquer y obriga a
0t0roi
ytyryi
HHH
kkk
A primeira igualdade conduz às leis de Snell
t2i1
ir
t2i1
ri
θsennθsenn
θθ
θsenkθsenk
θsenθsen
Definido RTM=Hor/Hoi e TTM=Hot/Hoi , a segunda igualdade conduz a
TMTM R1T
Impondo a continuidade da componente tangencial do campo eléctrico (z=0), resulta
ykjtot
ykjror
ykjioi
ytyryi eθcosHeθcosHeθcosH
211 ZZZ
Após manipulação obtém-se
30/37
t2i1
t2i1TM
θcosZθcosZ
θcosZθcosZR
t2i1
i1TM
θcosZθcosZ
θcosZ2T
Ou ainda
i22
21i221
2
1
i22
21i221
2
1
TM
θsennθcosn
θsennθcosn
R
i22
21i221
2
1
i221
2
1
TM
θsennθcosn
θcosn
T
2
R1 TM
b) 22r r1r1
r2r2
1
221
εμ
εμ
n
nn
Apesar de |RTE| e |RTM| serem iguais para incidência perpendicular (i=0) e
incidência rasante (i=/2), têm comportamentos diferentes. Quando i aumenta,
|RTE| aumenta sempre. No entanto, com o aumento de i, |RTM| diminui até ao ângulo
de Brewster
o
r2
r21
221
211iB 63,43
1ε
εsen
1n
nsenθ
(onde se anula) e cresce depois disso. Ambas as polarizações têm |R|=1 para
incidência rasante (i=/2).
c) 2
11
1r
r1r1
r2r2
1
221
εμ
εμ
n
nn
31/37
Neste caso (r1>r2) existe um ângulo de incidência limite iL
o
r1
121
1iL 30
ε
1sen)(nsenθ
a partir do qual há reflexão total.
d) A forma de obter as expressões de RTE e RTM é a mesma. No entanto, dado que
os meios têm perdas, têm que se utilizar as expressões dos campos nos meios
com perdas. Surgem as constantes de propagação complexas (1 e 2), e as
impedâncias características dos meios (Z1 e Z2) também são complexas. As
expressões são as mesmas mas agora n21 vale
)j(
)j(n
111
222
1
221
e) Tem-se sucessivamente
0045,0tan001,0
045,0tan01,0 45,0tan1,0
32/37
Só para =0,1 (tan = 0,45) se nota diferença face ao caso sem perdas. Verifica-se
uma (pequena) diminuição do módulo do factor de reflexão (TE e TM) e deixa de
haver transmissão total (só TM).
f) Neste caso 29,1tan
33/37
A descontinuidade dieléctrica entre o ar e o mar é muito grande originando
(módulos dos) factores de reflexão muito grandes. A excepção verifica-se para a
polarização vertical (TM) próximo da incidência rasante.
34/37
Enunciados
de
Provas de Avaliação Anteriores
35/37
Teste de 01 de Novembro de 2013
O campo eléctrico de uma onda electromagnética plana e monocromática que se
propaga num meio ilimitado, caracterizado macroscopicamente por (=2,250, =0,
=0) é dado por
)ˆˆ3(42
z)3y(kt102cos
2
E 8o zyE
a) Calcule a constante de propagação (vector), o comprimento de onda e a direcção de propagação da onda.
b) Calcule as amplitudes complexas do campo eléctrico e do campo magnético (vectores).
c) Sabendo que E0=1 V.m-1, calcule o valor médio no tempo do vector de Poynting.
d) Calcule a razão de polarização da onda e esboce a respectiva curva de polarização.
Teste de 09 de Novembro de 2012
Considere uma onda electromagnética que se propaga num meio ilimitado (homogéneo, linear e isotrópico) caracterizado macroscopicamente por ε=4ε0, µ=µ0 e
=0. O campo eléctrico da onda tem a forma
xE ˆz)]y3(π2tω[cosE0
onde E0=10 V.m-1.
a) Calcule (o vector) constante de propagação, a frequência e a velocidade de fase da onda.
b) Calcule a amplitude complexa do (vector) campo magnético.
c) Calcule a densidade de potência (vector).
Teste de 31 de Janeiro de 2011
Uma onda com frequência f = 100 MHz a propagar-se num meio caracterizado por 1
00 mS18e,5,3 , apresenta um campo magnético dado por
yH ˆej1eHzjz
o
a) Caracterize o meio em termos da relação σ/. Explique o significado físico de
σ.
b) Calcule as constantes de atenuação e de propagação . Comente o resultado.
c) Caracterize a polarização da onda.
d) Determine a impedância da onda e a amplitude complexa do seu campo eléctrico
E . e) Calcule o valor médio no tempo da “densidade de potência transportada pela
onda”.
36/37
Teste de 08 de Novembro de 2010
I. Uma onda plana e uniforme propaga-se num meio dieléctrico ilimitado ( ,, 0 )
com o campo magnético,
1z0 mAˆ)zt(coseH)t,z( yH
(Dados: 120 mA10H ; MHzf 100 , 1mrad3/4 ; 001,0/ )
a) Escreva as expressões das amplitudes complexas dos campos E e H da onda.
b) Calcule a constante de atenuação e a atenuação sofrida pela onda numa
distância 20d . Comente o resultado.
c) Escreva a expressão do vector complexo de Poynting e indique o significado
físico das suas partes real e imaginária.
II. Considere agora que o meio dieléctrico não tem perdas ( 0 ).
d) Determine a constante dieléctrica do meio e o respectivo índice de refracção.
e) Calcule a “densidade de potência” média (no tempo) transportada pela onda.
Teste de 28 de Abril de 2010
Uma onda plana com frequência f a propagar-se na água do mar (=800, =0, =4 S.m-1) tem um campo magnético dado por
)ˆjˆ(eeHHou]ˆ)zt(senˆ)zt(cos[eH zjz0
z0 yxyxH
a) Escreva a expressão do campo eléctrico em amplitude complexa.
b) Indique qual a polarização da onda. Justifique.
c) Considere a propagação nas frequências f1=9 MHz e f2=9 GHz e calcule, para
cada uma delas, a constante de propagação =+j, a impedância característica Z e a velocidade de fase vf.
d) Tendo em conta os valores obtidos na alínea anterior, caracterize o comportamento da água do mar às duas frequências indicadas. Comente o resultado.
e) Calcule a relação entre o valor médio do vector de Poynting <S> em z=0 e z = 50 cm , para as frequências f1 e f2. Comente o resultado, indicando qual a frequência mais indicada para comunicação no oceano.
37/37
Teste de 14 de Novembro de 2008
A amplitude complexa do campo eléctrico de uma onda com f = 100 MHz que se
propaga num meio caracterizado por 100 mS18e,5,3 é dada por
10
z0 mV2,0Ecomˆe)j1(E xE
a) Caracterize o meio e calcule os valores das constantes de propagação e de atenuação da onda.
b) Caracterize a polarização da onda.
c) Determine a amplitude complexa de H, e calcule o valor médio no tempo da “densidade de potência” transportada pela onda.
Teste de 19 de Abril de 2008
Uma onda plana, de frequência 5 kHzf e campo eléctrico 0
ˆzE e E x , propaga-
se num meio ilimitado e bom condutor.
Dados: Profundidade de penetração 1 mm ; 7 1
0 4 10 Hm .
a) Indique qual é a polarização da onda e calcule os valores de:
constante de propagação j ;
velocidade de fase vf;
impedância característica Z .
b) Determine a amplitude complexa do campo magnético e seu valor instantâneo.
Indique qual é a desfasagem entre o campo eléctrico e o campo magnético.
c) Calcule a variação do valor médio do vector de Poynting S entre 0z e 2z .
Comente o resultado.
38/37
Exame de 16 de Janeiro de 2008 Uma onda electromagnética monocromática, plana e uniforme com f=300 MHz, a
propagar-se no ar, incide segundo a normal na superfície plana de um meio bom
condutor )mS10x8,5,,( 1720202
. O campo eléctrico da onda incidente
apresenta polarização transversal eléctrica (TE) e tem uma amplitude máxima E0i =
754 μV.m-1.
a) Determine a amplitude complexa e o valor instantâneo do campo magnético incidente.
b) Determine os valores das constantes de atenuação e fase da onda no metal, o comprimento de onda e a velocidade de fase.
c) Calcule a razão entre o campo eléctrico transmitido em z= -25 cm e em z=0 e analise as características de propagação da onda no metal, com base nos resultados obtidos nesta alínea e nas anteriores.
Exame de 7 de Julho de 2006
Considere duas ondas planas monocromáticas e uniformes, com campos eléctricos
1E e 2E , tais que
1 0
ˆˆ ˆ( ) exp( )E E x y n r 2 0
ˆˆ exp( )E E x n r ,
em que j e 1
0 10 VmE . As duas ondas, de frequências 1 600 kHzf e
2 600 THzf (espectro do visível), respectivamente, propagam-se na água do mar
( 080 , 0 e 14 Sm ).
a) Caracterize o meio de propagação (água do mar) para as duas frequências indicadas.
b) Indique qual a polarização das duas ondas. Justifique.
c) Para onda de frequência 2f , determine a constante de fase , a constante de
atenuação , o comprimento de onda e a velocidade de fase fv .
d) Escreva a expressão do campo 2H associado a essa onda, em amplitude
complexa e em valor instantâneo.
y x
iE
ik
z
Meio1 (ar)
Meio 2
39/37
Exame de 17 de Janeiro de 2005
Considere uma onda monocromática, plana e uniforme com polarização vertical
(TM), que se propaga num meio ilimitado de parâmetros característicos 1=0, 1,
1=0, com um vector de onda )ˆ83,0ˆ12,1(k0 zyk i , e incide sobre um segundo meio
semi-ilimitado r2=1, r2=16 2=0. A amplitude complexa na origem do campo
eléctrico incidente é .m/mV15Eoi
a) Determine o ângulo de incidência e o valor de 1.
b) Escreva a expressão da amplitude complexa do campo magnético no ponto (x=0, y=1 m, z=0).
c) Determine as componentes do campo eléctrico associado à onda incidente.
d) Calcule a potência transmitida ao solo, por m2.
e) Determine o ângulo de incidência que permite maximizar a transmissão de potência para o solo.
Exame de Janeiro de 1997
Considere uma onda plana monocromática a propagar-se no ar que incide numa superfície plana de separação de meios ar/cobre com polarização TM. A frequência de trabalho é de 10 MHz e, sobre a superfície fronteira, a amplitude complexa do
campo magnético incidente vale .mAe30H 10joi
a) Mostre que a onda transmitida se propaga (muito aproximadamente) segundo a normal, qualquer que seja o ângulo de incidência.
b) Determine os campos eléctrico e magnético transmitidos sobre a fronteira e à profundidade 0,1 mm, em amplitudes complexas e valores instantâneos.
c) O cobre destina-se a efectuar uma blindagem electromagnética. Obtenha a
profundidade de penetração, , e a espessura do cobre, d, que assegura 60 dB de atenuação.