Embed Size (px)
DESCRIPTION
matematica 11º
Citation preview
Novo Espaço – Matemática A 11.º ano Preparação para o Teste Intermédio
Nome: ____________________________________________ ______
Ano / Turma : _________ N.º: _____ Data: ___ / ____ / ___
GRUPO I
1. Na figura, está representada uma circunferência de centro O,
origem do referencial o.n. xOy e um ponto A de coordenadas ( )3, 5 que
pertence à circunferência.
Seja α a amplitude, em radianos, do ângulo orientado com lado origem Ox
e lado extremidade a semirreta .
O A.
O valor de π
sin2
α +
é:
(A) 3 34
34− (B)
5 34
34 (C)
3 34
34 (D)
5 34
34−
2. Considera a equação sin 0,6x= − .
Em qual dos seguintes intervalos a equação tem uma só solução?
(A) 7π
0,6
(B) π π
,2 2
− (C)
π, π
6 −
(D) ] [π, 0−
3. Em relação à figura, sabe-se que:
. os pontos M e N dividem o segmento de reta [AB] em
três segmentos de retas de igual comprimento;
. o ponto P é o ponto médio de [AC];
. . 9AB AC =���� ����
(produto escalar).
Pode-se concluir que o produto escalar .PA MB���� ����
é igual a:
(A) 3− (B) 6 (C) 3 (D) 9−
Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleciona a única opção correta.
Escreve, na folha de respostas:
• o número do item;
• a letra que identifica a única opção escolhida.
Não apresentes cálculos nem justificações.
Novo Espaço – Matemática A 11.º ano Preparação para o Teste Intermédio
4. Na figura está representada uma superfície esférica e um plano θ que
lhe é tangente no ponto T. Em relação a um referencial o.n Oxyz a superfície
esférica é definida pela equação ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 14x y z+ + − + − = e as
coordenadas do ponto T são ( )2, 1, 1− .
O plano θ pode ser definido pela equação:
(A) 3 7 0x y z− + − = (B) 3 2 7 0x y z− − − =
(C) 2 3 7 0x y z+ − − = (D) 3 2 5 0x y z+ − + =
5. Na figura, estão representadas duas funções afins f e g.
Seja h a função tal que ( ) ( )( )
f xh x
g x= .
Qual das seguintes representações gráficas pode corresponder à
função h?
(A) (B)
(C) (D)
O x
y
g
f
Novo Espaço – Matemática A 11.º ano Preparação para o Teste Intermédio
GRUPO II
1. Considera em referencial o.n. xOy o vetor 1
2,2
u −
�e o ponto ( )3, 1A .
1.1. Determina as coordenadas de um ponto B pertencente ao eixo das ordenadas de
modo que os vetores u�
e AB����
sejam perpendiculares.
1.2. Seja ( )2 1, 2 3P k k− − , com k ∈ℝ .
Determina para que valores de k os vetores u�
e AP����
formam um ângulo agudo.
2. Considera a função f, de domínio ℝ , definida por ( ) 1 2cos2
xf x
= +
.
2.1. Determina o valor de 3π
cos2
θ −
, com ] [π, 2πθ ∈ , sabendo que ( ) 52
2f θ = .
2.2. Na figura, está representada em referencial o.n. xOy, a parte do gráfico da função f
para π
, 3π2
x ∈ −
.
Os pontos A e B pertencem ao gráfico de f, sendoπ
2− a abcissa de A e a abcissa de B é um zero
da função.
Determina as coordenadas dos pontos A e B.
Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar
e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor
exato.
Novo Espaço – Matemática A 11.º ano Preparação para o Teste Intermédio
3. Na figura, em referencial o.n. Oxyz, está representada uma pirâmide [ABCO].
Sabe-se que:
• o plano que contém a face [BOC] é definido pela equação
2 0x y z+ − = ;
• o vértice A tem de coordenadas ( )0,0, 4 ;
• a face [ABC] é paralela ao plano xOy;
• a face [ABO] está contida no plano xOz;
• a face [CAO] está contida no plano yOz;
• o ponto D tem de coordenadas ( )4, 4,0 ;
• o ponto P é a interseção da reta DA com a face [BOC].
3.1. Representa a reta OB através de equações cartesianas.
3.2. Representa, por uma equação, o plano que contém o ponto D e é perpendicular à reta
AD.
3.3. Determina as coordenadas do ponto P.
4. Uma livraria vai fazer liquidação total. Nessa livraria há em stock 40 livros e 60
cadernos.
As vendas desse material vão ser feitas em dois tipos de packs:
Pack tipo 1 : 2 livros e 5 cadernos, sendo o custo 4 euros
Pack tipo 2: 4 livros e 2 cadernos, sendo o custo 5 euros
Considera o seguinte problema:
“Quantos packs de cada tipo devem ser feitos para que o valor do dinheiro apurado na venda
seja máximo?”
Representa por x o número de packs do tipo 1 e por y o número de packs do tipo 2.
Responde ao problema percorrendo as seguintes etapas:
• Determinar as coordenadas dos vértices do polígono
associado à região admissível do problema e representado
na figura ao lado.
• Define a função objetivo e determina o número de packs
de cada tipo que dá resposta ao problema.
y
z
x D
P
O
C
B
A
4
4
Novo Espaço – Matemática A 11.º ano Preparação para o Teste Intermédio
5. Na figura, em referencial o.n. xOy estão
representados um trapézio [OAPB], parte do gráfico de
uma função f, bem como as assíntotas do gráfico da
função.
Sabe-se que:
• ( ) 3
4
xf x
x=
−;
• o ponto P tem abcissa ] [0, 4x∈ e pertence ao
gráfico da função;
• o ponto A tem de coordenadas ( )4, 0 ;
• o ponto B pertence ao eixo Oy e tem a ordenada
igual à do ponto P.
5.1. Determina as coordenadas do ponto de interseção das assíntotas do gráfico de f.
5.2. Resolve, por processos exclusivamente analíticos, a inequação:
( )f x x< .
Apresenta o conjunto-solução na forma de intervalo de números reais ou reunião de
intervalos.
5.3. Seja g a função que à abcissa do ponto P faz corresponder a área do trapézio [OAPB].
Mostra que ( )21,5 6
4
x xg x
x
+=−
, com ] [0, 4x∈ .
5.4. Atendendo ao resultado obtido em 5.3. e recorrendo às capacidades gráficas da tua
calculadora, resolve o seguinte problema:
Qual é o valor da abcissa do ponto P, arredondado às décimas, para que a área do trapézio
seja 80% da área do quadrado em que um dos lados é [AO]?
Na tua resposta deves apresentar:
• o valor correspondente a 80% da área do quadrado em que um dos lados é [AO];
• a equação que vais resolver graficamente, recorrendo à calculadora;
• as representações gráficas visualizadas na calculadora;
• o ponto e respetivas coordenadas relevantes para a resposta final.
FIM
Novo Espaço – Matemática A 11.º ano Preparação para o Teste Intermédio
Formulário
GEOMETRIA Comprimento de um arco de circunferência
αr (α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de figuras planas
Losango: 2
Diagonal maior Diagonal menor×
Trapézio: 2
Basemaior Base menorAltura
+ ×
Polígono regular: Semiperímetro Apótema×
Setor circular: 2
2
rα(α – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de superfícies Área lateral de um cone: πrg (r – raio da base; g - geratriz) Área de uma superfície esférica: 4πr2 (r – raio)
Volumes
Pirâmide: 1
3Área da base Altura× ×
Cone: 1
3Área da base Altura× ×
Esfera: 34π
3r (r – raio)
Cotações Total
Grupo I 1 2 3 4 5
10 10 10 10 10 50
Grupo II 1.1. 1.2. 2.1. 2.2. 3.1. 3.2. 3.3. 4. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.
5 10 12 15 8 10 15 15 10 20 15 15 150 200
