Propostas de resolução Capítulo 6 – Medidas de localização

Propostas de resolução

Matemática Dinâmica, 7.o ano – Parte 2 Capítulo 6 – Página 1

Capítulo 6 – Medidas de localização

50+50 Avalia o que sabes

Pág. 124

1. Vamos analisar cada uma das seguintes opções:

(A): Se cada figura representa 10 jornais, então no sábado passado a D. Rita vendeu ( )23 10 5× + jornais, ou seja, 235 jornais.

Exclui-se a opção. (B): A D. Rita vendeu ( )9 10× jornais desportivos, ou seja, 90 jornais. Vendeu, também,

( )6 10× semanários, ou seja, 60 jornais. De facto, vendeu mais 30 jornais desportivos que

semanários. (C): A D. Rita vendeu ( )8 10 5× + jornais diários, ou seja, 85 jornais.

Exclui-se a opção. (D): Exclui-se esta opção analisando apenas o pictograma. Resposta: (B)

2. Determinemos a média, x , do número de gelados vendidos pelo Sr. João na última

semana.

100 125 125 100 150 200 800114,2857

7 7x

+ + + + += = ≈

O valor da média arredondada às décimas é 114,3.

Resposta: (D) 50+50 Avalia o que sabes

Pág. 125

3.1. O desporto favorito foi o futebol.

3.2. a) 25 0,40 10× = . Dez alunos responderam futebol.

b) 25 0,04 1× = . Um aluno respondeu natação.

c) 25 0,20 5× = . Cinco alunos responderam automobilismo.

d) 25 0,16 4× = . Quatro alunos responderam atletismo.

4.1. A soma das percentagens correspondentes a cada grupo é igual a 100%. Assim, a

percentagem correspondente à fruta é dada por:

( )100% 28% 23% 18% 5% 4% 2% 100% 80% 20%− + + + + + = − =

A percentagem correspondente ao setor da fruta é 20%.



4.2. Vamos estabelecer uma regra de três simples para determinar a amplitude de cada setor

que corresponde ao grupo:

Cereais e derivados, tubérculos

Percentagem Amplitude

100 --------------------360

28 -------------------- x 360 28

100,8100

x×= =

A amplitude do ângulo correspondente ao setor Cereais e derivados, tubérculos é 100,8º.

Hortícolas


100 --------------------360

23 -------------------- x 82,8x =

A amplitude do ângulo correspondente ao setor Hortícolas é 82,8º.

Fruta


100 --------------------360

20 -------------------- x 20 360

72100

x×= =

A amplitude do ângulo correspondente ao setor Fruta é 72º.

Gorduras e óleos


100 --------------------360

2 -------------------- x 2 360

7,2100

x×= =

A amplitude do ângulo correspondente ao setor Gorduras e óleos é 7,2º.

Laticínios


100 --------------------360

18 -------------------- x 18 360

64,8100

x×= =

A amplitude do ângulo correspondente ao setor Lacticínios é 64,8º.

Carne, pescado e ovos


100 --------------------360

5 -------------------- x 5 360

18100

x×= =

A amplitude do ângulo correspondente ao setor Carne, pescado e ovos é 18º.



Leguminosos


100 --------------------360

4 -------------------- x 4 360

14,4100

x×= =

A amplitude do ângulo correspondente ao setor Leguminosos é 14,4º.

4.3.

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Pág. 127

1.1. Determinemos a média, x , do número de carros transportados pelo ferryboat nos

primeiros seis dias da semana:

18 20 22 15 16 17 10818

6 6x

+ + + + += = =

O ferryboat transportou, em média, 18 carros por dia, nos últimos seus dias.

1.2. Pretende-se determinar o número de carros transportados no domingo, sabendo que a média é 18.

18 20 22 15 16 177

dx

+ + + + + +=

onde d representa o número de carros vendidos no domingo.

Resolvendo a igualdade, obtém-se:

18 20 22 15 16 17 10818 18 108 126

7 7d d

d+ + + + + + += ⇔ = ⇔ + = ⇔

126 108 18d d⇔ = − ⇔ =

No domingo, foram transportados 18 carros no ferryboat.



2. Determinemos a média e indiquemos a moda do número de peixes pescados por cada um

dos pescadores:

▪ Paulo:

Moda: 7 e 12 peixes

Média: 10 2 12 2 7 8 6 62

8,97 7

x+ × + × + += = ≈

▪ Pedro:

Moda: 4 e 5 peixes

Média: 2 5 2 4 8 18 10 54

7,77 7

x× + × + + += = ≈

▪ João:

Moda: não existe (conjunto de dados amodal)

Média: 8 7 10 15 13 11 12 76

10,97 7

x+ + + + + += = ≈

A moda do número de peixes pescados pelo Paulo é 7 e 12 peixes, do Pedro é 4 e 5

peixes e do João não existe, já que nenhum dado registado tem maior frequência que

qualquer outro.

A média do número de peixes pescados pelo Paulo é aproximadamente 8,9 peixes, do

Pedro é aproximadamente 7,7 peixes e do João é 10,9 peixes.

3.1. Determinemos a média, x , em percentagem das classificações obtidas pela Ana nos

quatro testes:

32 58 62 4950,25

4x

+ + += =

Nos quatro testes realizados, a Ana obteve uma classificação média de 50,25%.

3.2. Seja t a classificação obtida pela Ana no 5.º teste. Como a média das classificações dos

cinco testes é 58%, tem-se:

32 58 62 4958 32 58 62 49 5 58

5290 201

89

tt

t

t

+ + + + = ⇔ + + + + = ×

⇔ = −⇔ =

A Ana obteve 89% no quinto teste.

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Pág. 129

1.1. A moda é 20 anos.



1.2. A média, x , das idades dos 11 jogadores é:

18 3 20 2 22 28 30 21 27 19 18 60 44 28 30 21 27 1911 11

24722,5

11

x+ × + × + + + + + + + + + + + += = =

= ≈

A média das idades dos 11 jogadores da equipa de futebol é, aproximadamente, 22,5

anos.

1.3. Consideremos a sequência crescente (em sentido lato) das idades dos jogadores:

18, 19, 20, 20, 20, 21 , 22, 22, 27, 28, 30

Valor central

A mediana é 21 anos.

2. Turma A:

▪ Moda: 3

▪ Média: 1 2 2 6 3 4 4 3 5 54

3,37516 16

x+ × + × + × + ×= = = . A média é 3,375.

▪ Mediana: Como são 16 dados (número par), então a mediana é igual à média aritmética

dos dados que se encontram nas posições 16

82

= e 16

1 92

+ = da sequência ordenada.

Observando o gráfico conseguimos encontrar esses valores: 3 3

32+ =

A mediana é 3.

Turma B:

▪ Como todos os dados apresentam a mesma frequência, então a moda não existe.

▪ Média:

3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 453

15 15x

× + × + × + × + ×= = =

▪ Mediana: Corresponde ao valor do dado que se encontra na posição 15

1 82

+ = da

sequência ordenada, ou seja, corresponde a 3.

Turma C:

▪ Moda: 3

▪ Média: 2 1 4 2 7 3 4 4 2 5 57

319 19

x× + × + × + × + ×= = =

▪ Mediana: Observando o gráfico facilmente se verifica que a mediana é 3.

3.1. A moda é 62 kg.



3.2. A média, x , é dada por: 60 2 62 65 59 68 376

62,76 6

x+ × + + += = ≈

A média das massas é, 62,7 kg, aproximadamente.

3.3. Dados ordenados:

59, 60, 62, 62 , 65, 68

Valores centrais

Logo, a mediana é 62 62

622+ = .

A mediana das massas é 62 kg.

4.1. Não, este conjunto de dados não tem moda. Nenhum dos dados ocorre com maior

frequência do que qualquer outro.

4.2. A média dos ordenados é dada por:

500,00 560,00 800,00 750,00 520,00 5000,006

8130,006

1355,00

x+ + + + +=

=

=

A média dos ordenados é 1355 euros.

4.3. Dados ordenados:

500,00 520,00 560,00 750,00 800,00 5000,00

Valores centrais

Logo, a mediana é 560,00 750,00 1310,00

655,002 2+ = = .

4.4. Existe um empregado da empresa cujo ordenado é 5000,00 euros, que é muito elevado

comparado com o dos restantes. Desta forma, dizer-se que, em média, a empresa oferece

ordenados de 1355,00 euros é pouco adequado, pois, aproximadamente, 83% dos

empregados tem ordenados inferiores a 1000,00 euros.

4.5. A mediana é a medida mais indicada para caracterizar os ordenados dos empregados da

empresa, pois é uma medida mais “resistente” quando existem dados muito afastados dos

restantes. De facto, 655,00 euros representa melhor os ordenados dos empregados que

1355,00 euros. Repara que se o valor 5000,00 fosse retirado do conjunto de dados a

média passaria a ser 626,00 euros.



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Pág. 131

1.1. Vamos organizar os dados numa tabela para facilitar os cálculos.

SMS 8 10 12 13 15 16 17 18 19 21 22 23 30 32

Número de dias

1 1 2 1 2 1 1 2 1 3 1 1 1 1

Determinemos a média, x :

8 10 2 12 13 2 15 16 17 2 18 19 3 21 22 33 30 32 34318

19 19x

+ + × + + × + + + × + + × + + + += = ≈

Em média, o António enviou 18 SMS por dia, aproximadamente.

Determinemos a mediana: Como é um conjunto constituído por 19 dados (número ímpar) o

valor do dado central corresponde à posição 19 1

102+ = . Observando a tabela elaborada

anteriormente, conclui-se que: ɶ 18x = .

A mediana é 18 SMS.

A moda é 21 SMS.

1.2. O António nestes últimos 10 dias recebeu entre 8 e 32 SMS por dia. Em pelo menos 50%

dos dias recebeu 18 ou mais SMS.

1.3. Como houve um aumento de duas mensagens em cada um dos dias, então essa alteração

vai-se refletir em duas unidades nos valores da média, da moda e da mediana, ou seja,

este novo conjunto de dados admite: ɶo20 SMS; 20 SMS; Moda: 23 SMSx x M= = =

2.1. A moda é 57%.

▪ Determinemos a média, x , dos resultados obtidos, em percentagem:

21 31 32 42 43 44 45 56 57 3 58 59 65 66 67

22x

+ + + + + + + + × + + + + + +=

69 71 72 74 82 83 125156,86%

22 22+ + + + + + = ≈

A média dos resultados obtidos é 56,86%, aproximadamente.

▪ Determinemos a mediana, ɶx :

Observando os dados representados no diagrama de caule-e-folhas, tem-se que:

ɶ57 58

57,5%2

x+= =

A mediana dos resultados é 57,5%.

2.2. No último teste de Matemática, os resultados na turma A do 7.º ano variaram entre 21% e

83%. O resultado mais frequente foi 57%. A média dos resultados dos testes foi,



aproximadamente, 56,86%. Pelo menos 50% dos alunos da turma obtiveram resultados

iguais ou inferiores a 57,5%.

3.1. Determinemos a média das classificações obtidas pela turma A e B:

21 23 45 52 54 60 61 62 63 64 73 74 75 7626Ax

+ + + + + + + + + + + + + +=

77 78 81 82 2 83 2 84 85 86 91 92 180769,5

26 26+ + + + × + × + + + + + = =

A média das classificações, na turma A é 69,5%.

27 31 32 33 34 42 43 45 46 47 57 4 58 59 6126Bx

+ + + + + + + + + + + × + + +=

62 65 66 67 71 72 80 90 91 145355,9%

26 26+ + + + + + + + + = ≈

A média das classificações, na turma B, é aproximadamente, 55,9%.

Observando os diagramas sabendo que 26 é um número par, a mediana encontra-se

efetuando a média aritmética dos dois valores centrais que correspondem, neste caso, aos

valores nas posições 26 26

13 e 1 142 2

= + = .

Para a turma A, a mediana é 75 76

75,52+ = e para a turma B a mediana é

58 5858,8

2+ = .

Relativamente à moda, na turma A é 82% e 83% e na turma B é 58%.

Resumindo-se:

Moda Média Mediana

Teste A 82% e 83% 69,5% 75,5%

Teste B

58% 55,9% 58%

3.2. O teste B foi mais difícil. A média das classificações foi inferior no teste B, assim como a

moda e a mediana. Assim, pelo menos 50% dos alunos obtiveram no teste B classificação

inferior ou igual a 58%, enquanto que no teste A, pelo menos 50% dos alunos obtiveram

classificação superior ou igual a 75,5%. Para além disso, pode-se observar que a maioria

das classificações do teste A é superior ou igual a 60% (concretamente 21 em 26

classificações) e apenas três alunos obtiveram uma classificação inferior a 50%. No que

diz respeito ao teste B, há apenas 10 classificações iguais ou superiores a 60%

(concretamente 10 em 26) e 10 alunos obtiveram classificação inferior a 50%.

4. A moda do número de objetos é 3.

Determinemos a média do número de objetos, considerando a frequência relativa em

dízima:

0 0,04 1 0,24 2 0,12 3 0,28 4 0,16 5 0,16 2,76x = × + × + × + × + × + × =



A média do número de objetos é 2,76 objetos.

Sabe-se que pelo menos 50% dos dados são inferiores ou iguais ao valor da mediana.

Assim, acumulando as frequências relativas concluímos que a mediana é 3 objetos.

5. Uma vez que a mediana é 4, significa que pelo menos 50% dos alunos foram quatro ou

menos vezes ao cinema (e, consequentemente, 50% dos alunos foram 4 ou mais vezes ao

cinema).

5.1. a) Uma vez que 1 e 8 são valores do conjunto de dados sobre as idas ao cinema, 1 é o

número mínimo e 13 é o número máximo.

b) Tendo em conta o referido anteriormente, 1 é o número mínimo e 13 é o número

máximo.

c) Por exemplo:

1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 8

Atividades fundamentais

Pág. 132

1. Consideremos a sequência crescente (em sentido lato) dos dados:

7, 8, 8, 10, 10 , 10, 10, 12, 28, 30

Valor central

A mediana é 10.

Resposta: (B)

2. Tendo em conta a lombada de cada livro, tem-se:

5 2,5 2 3 3 3,5 12,5 6 10,5 292,9

10 10 10x

× + × + × + += = = =

Resposta: (D)

3. Como temos um número par de registos, a mediana obtém-se efetuando a média dos

valores correspondentes às posições 6

32

= e 6

1 42

+ = , da sequência ordenada dos

dados. Dado que a mediana é 50%, observa-se:

A resposta (A) exclui-se pois desta forma a mediana seria 47,50%, valor obtido através do

quociente 45% 50%

2+

No caso da opção (B), tem-se: ɶ45% 55%

50%2

x+= = que é o que se pretende.



Analisemos, ainda assim, as restantes duas opções:

Opção (C): ɶ ( )45% 60%52,5% 50%

2x

+= = ≠

Exclui-se esta opção.

Opção (D): ɶ ( )45% 65%55% 50%

2x

+= = ≠


Resposta: (B)

4. A amplitude do ângulo correspondente ao setor verde (representa o número de votos na

lista B) é igual a ( )360º 120º 80º 360º 200º 160º− + = − = .

Como a amplitude do ângulo de cada setor é diretamente proporcional à frequência da

categoria/classe correspondente, tem-se:

Número de votos obtidos pela lista A:

Amplitude do ângulo Número de votos

80º -------------------------- 20

160º -------------------------- x 160º 20

4080º

x×= =

Conclui-se que a lista A obteve 40 votos, o dobro do número de votos da lista C. Exclui-se

as opções (A) e (C). Por outro lado, exclui-se a opção (B) dado que a amplitude do setor

correspondente à lista B é superior à amplitude do ângulo do setor correspondente à lista

A.

Resposta: (D)


Pág. 133

5. A moda é 10 pontos, pelo que se exclui a opção (A). Observando o gráfico e a distribuição

dos dados, conclui-se que a mediana é 10 e a média também é 10 pontos. Exclui-se a

opção (C).

O número de jogos efetuados pelo pedro nessa semana é igual a:

( )10 20 30 20 10 90 50+ + + + = ≠

Exclui-se a opção (D).

Resposta (B)

6. Se o Pedro acertou duas vezes no setor com o número 10, então obteve nesse caso 20

pontos. Significa, portanto, que nos restantes oito lançamento obteve 36 pontos.

Vamos analisar cada umas das quatro opções:



(A) Se o Pedro acertou no zero uma só vez, significa que no máximo poderá obter

7 5 35× = pontos, o que não pode acontecer pelo referido anteriormente.

Exclui-se a opção (A).

(B) Se acertar cinco vezes no 4 significa que poderá acertar três vezes num setor com o

mesmo número. Desta forma, a moda seria apenas 4, o que contradiz o facto de o

enunciado referir que o conjunto de dados ter duas modas.

(C) Se considerarmos que o Pedro acertou quatro vezes no setor com o número 5, poderá

ter acertado também quatro vezes no setor com o número 4. Nesse caso, a moda é 4 e

5 e a soma dos pontos obtidos é 4 5 4 4 36× + × = .

(D) A mediana não poderá ser 10, pois apenas acertou duas vezes no setor com o número

10. Significa, portanto, que 80% dos restantes dados são inferiores a 10.

Resposta: (C)

7. Vamos analisar cada uma das seguintes opções:

(A) A turma tem 2 3 4 5 6 20+ + + + = alunos e não 10 alunos.


(B) Determinemos a média do número de livros:

( )0 2 1 3 4 4 2 5 3 6 3 16 10 18 472,35 5

20 20 20x

× + × + × + × + × + + += = = = ≠


(C) Sabe-se que cinco alunos leram dois livros e seis alunos lerem três livros. Portanto, 11

alunos leram dois ou três livros. De facto, mais de metade dos alunos 20

112

>

leu

dois ou três livros.

(D) 5 dos 20 alunos leram um livro ou não leram qualquer livro. Ora, 5

0,25 25%20

= = .


Resposta: (C)


Pág. 134

1.1. Foi vendido o mesmo número de par de sapatos na quarta-feira e na sexta-feira.

Venderam-se dez pares de sapatos em cada um desses dias.

1.2. 6 7 10 9 10 42

8,45 5

x+ + + += = =

Venderam-se, em média, 8,4 pares de sapatos, por dia, nessa semana.



1.3. A moda de venda foi dez pares de sapatos vendidos.

1.4. Consideremos a sequência ordenada do número de sapatos vendidos nos seis dias da

semana:

6, 7, 9, 10 , 10, 12

Valores centrais

Logo, ɶ9 10

9,52

x+= = .

A mediana do número de vendas de pares de sapatos é 9,5 pares.

2.1. Se a média para os 15 rapazes é de 2,50 €, significa que no total têm ( )15 2,5 €× , ou seja,

37,50 €. Se a média para as dez raparigas é 3,15 €, significa que no total têm,

( )10 3,15 €× , ou seja, 31,50 €. Portanto, no total os alunos da turma têm ( )37,50 31,50 €× ,

ou seja, 69,00 €.

2.2. ɶ 69,00 692,76

15 10 25x = = =

+.

Em média, cada aluno tem 2,76 €.

3.1. a) 12 7,50 13 8 2 8,50 57,5

9,586 6

x+ + + + ×= = ≈

Em média, foram vendidos 9,58 litros por dia.

b) Consideremos a sequência ordenada dos dados:

7,50 8,00 8,50 8,50 12 13

Valores centrais

Portanto, a mediana é dada por ɶ8,50 8,50

8,502

x+= = , ou seja, 8,50 litros.

3.2. Pretende-se determinar o número de litros de sumo vendidos no sétimo dia, sabendo que a

média nos sete dias será exatamente 57,5

16

+ . Assim, obtém-se:

( )57,5 57,51 6 57,5 7 57,5 42 345 6 402,5 42

7 6l

l l+ = + ⇔ × + = × + ⇔ + = + ⇔

6 99,56 402,5 42 345 6 99,5 16,60

6 6l

l l l⇔ = + − ⇔ = ⇔ = ⇔ ≈

Vendeu-se no dia seguinte 16,6 litros, aproximadamente.




Pág. 135

4.1.

Sabor preferido Frequência absoluta Frequência relat iva

Morango 25 511

Kiwi

15 311

Pêssego 5 1

11

Natural 10 211

Total 55 1

4.2. Determinemos a amplitude do setor circular correspondente a cada sabor de iogurte,

utilizando a frequência absoluta:

Morango

55 ----------------- 360º

25 ---------------- x ( )25 360º164º 0 c.d.

55x

×= ≈

Kiwi

55 ----------------- 360º

15 ---------------- x ( )15 360º98º 0 c.d.

55x

×= ≈

Pêssego

55 ----------------- 360º

5 ---------------- x ( )5 360º33º 0 c.d.

55x

×= ≈

Natural

55 ----------------- 360º

10 ---------------- x ( )10 360º65º 0 c.d.

55x

×= ≈



Construindo o gráfico, obtém-se:

5.1. a) Fração: 4 18 2

= ; percentagem: 50%

b) Fração: 18

; percentagem: 12,5%

5.2. Os pais compraram metade dos bilhetes, ou seja, 80 bilhetes. Os professores compraram 18

dos bilhetes, ou seja, 1

160 208

× = bilhetes.

5.3. Os funcionários compraram 18

dos bilhetes, ou seja, 20 bilhetes. 28

foram vendidos a

outras pessoas que correspondem a 2

160 408

× = bilhetes.

Construindo o gráfico de barras, obtém-se:

Exercícios, problemas e desafios complementares

Pág. 136

1.1. Observando-se o gráfico conclui-se que é em Itália que os estudantes têm mais dias de

férias.



1.2. Os estudantes belgas tiveram direito a nove semanas de férias, ou seja, 9 7 63× = dias.

1.3.

2.1. O número de alunos da turma A do 7.º ano é dado por: 6 5 9 10 30+ + + =

A turma A do 7.º ano tem 30 alunos.

2.2. Determinemos a frequência relativa (em %) para cada uma das opções:

Frequência relativa (%)

CT 6 : 30 = 0,20 = 20%

ACC

5 : 30 = 0,17 = 17%

ACL 9 : 30 = 0,30 = 30%

NS/OO 10 : 30 = 0,33 = 33%

2.3.

3. Turma A

Dos 13 alunos desta turma 8 obtiveram positivas num total de 13. Assim,

8100% 61,5%

13× = ou seja, cerca de 61,5% dos alunos obtiveram positiva.

Turma B

Dos 18 alunos desta turma 10 obtiveram positivas. Assim, 10

100% 55,6%18

× = ou seja,

cerca de 55,6% dos alunos obtiveram positiva.

Conclui-se, assim, que a turma A obteve melhores resultados, pois 61,5% 55,6%> .



4. No gráfico da esquerda parece que a evolução das vendas é maior do que foi na realidade,

devido à escala utilizada, como se mostra no gráfico da direita. Na leitura de um gráfico

deve-se ter atenção à escala usada no eixo vertical.


Pág. 137

5. Estabelecemos uma proporção entre a frequência relativa, em percentagem, e o dinheiro

correspondente.

Milhões (€) Percentagem

35,37 --------------- 27

x --------------- 100 35,37 100

13127

x×= =

A Santa Casa da Misericórdia de Lisboa investiu, no total, 131 milhões de euros. Por outro

lado, na saúde foram investidos, em milhões, de euros: 0,29 131 37,99× = .

A Santa Casa da Misericórdia investiu, aproximadamente, 38 milhões de euros na saúde.

a. A amplitude do setor circular corresponde às garrafas de embalagens de 12

litro (ou

0,5 litro) é igual a 150º.

Estabelecendo uma proporção entre o número de pessoas e a amplitude do setor, tem-se:

Amplitude Número de pessoas

360º --------------- 2880

150º --------------- x

150º 2880

1200360º

x×= =

1200 pessoas pediram embalagens de 12

litro.

b. Determinemos a amplitude do setor correspondente:

( )360º 120º 150º 360º 270º 90º− + = − = (corresponde a 14

do círculo).

Significa que 14

das pessoas pediram garrafas de 1,5 litro.

12880 720

4× =

720 pessoas pediram garrafas de 1,5 litro.

7.1. Determinemos a amplitude de cada um dos setores que irão corresponder à atividade:



Dormir

Amplitude Tempo (horas)

360º ----------------- 24

x ---------------- 9 360 9

135º24

x×= =

Escola


360º ----------------- 24

x ---------------- 7 360 7

105º24

x×= =

Trabalhos de casa


360º ----------------- 24

x ---------------- 2 360 2

30º24

x×= =

Como a frequência das atividades “Ver televisão”, “Brincar” e “Comer” é igual à atividade

“Trabalhos de casa”, então a amplitude dos setores correspondentes é igual a 30º.

Assim, utilizando régua, transferidor e compasso, tem-se o seguinte gráfico:


Pág. 138

8.1. A afirmação é verdadeira. De facto, observando o gráfico, prevê-se um aumento

considerável (quase que duplica) da população com 65 ou mais anos, de 2008 para 2060.

Tal cenário sucede em oposição à diminuição da proporção da restante população.

8.2. População residente em 2008: 10 600 000 habitantes



Projeção da população residente em 2060: 10 400 000 habitantes

Assim, tem-se: ( )10 400 000 10 600 0000,019 3 c. d.

10 600 000− ≈ −

Estima-se que a população total residente em Portugal decresça, aproximadamente, 1,9%

de 2008 para 2060.

8.3. População residente em 2008 com 65 anos ou mais: 1 800 000 habitantes

População residente em 2008 com 65 anos ou mais (projeção): 3 000 000 habitantes

3 000 000 1 800 0000,67

1 800 000− ≈

De acordo com a projeção, estima-se que a população idosa aumente aproximadamente

67% de 2008 para 2060.

8.4. Por exemplo: Poder-se-á verificar, de 2008 para 2060, um decréscimo populacional onde a

população envelhecida aumentará.

9. Determinemos inicialmente alguns dados para elaborar o texto:

Média do número de alunos que frequentam cada um dos anos de escolaridade, em cada

um dos Ciclos:

1.º Ciclo: 4974 : 4 = 1243,5 2.º Ciclo: 2110 : 2 = 1055 3.º Ciclo: 3423 : 3 = 1141

Determinemos o número de professores necessários para o 1.º Ciclo, tendo em conta que

uma turma não poderá ter mais que 20 alunos:

4974 : 20 = 248,7. Significa que são necessárias 249 turmas para o 1.º Ciclo.

Se cada turma tem apenas um professor, são necessários 249 professores. Assim,

podemos elaborar o seguinte texto:

A média do número de alunos que frequentam cada um dos anos do 1.° Ciclo é,

aproximadamente, 1244 alunos.

No 2.° Ciclo essa média é 1055 alunos, enquanto que no 3.° Ciclo a média de alunos que

frequentam cada um dos anos (7.°, 8.° e 9.° anos) é de 1141 alunos. Serão necessários

cerca de 249 professores para lecionar às turmas do 1.° Ciclo.


Pág. 139

10.1. a) Número de alunos que utilizam o comboio para irem para a escola: 0,25 500 125× =

125 alunos utilizam o comboio para se deslocarem para a escola.

b) Número de alunos que utilizam o autocarro para irem para a escola: 0,12 500 60× =

60 alunos utilizam o autocarro para se deslocarem para a escola.



c) Número de alunos que utilizam a bicicleta para irem para a escola: 0,18 500 90× =

90 alunos deslocam-se para a escola de bicicleta.

10.2. Para construir a tabela, determinemos o número de alunos que se deslocam de carro para

a escola:0,20 500 100× =

Assim, tendo em conta os resultados obtidos em 10.1., obtém-se:

Transporte Frequência absoluta Frequência relativa

Autocarro 60 0,12

Carro

100 0,20

Bicicleta 90 0,18

A pé 125 0,25

Comboio 125 0,25

Total 500 1

10.3. 125 alunos responderam que se deslocaram para a escola a pé e 60 alunos responderam

que vão de autocarro para a escola. Como 125 60 65− = , significa que vão a pé mais 65

alunos que aqueles que vão de autocarro.

10.4. A moda do meio de transporte é “A pé” e “Comboio”.

11.1. Elaborando uma tabela de frequências, obtém-se:

Golos marcados nas 30 jornadas pela equipa do Ronal dinho

Número de golos Frequência absoluta Frequência rela tiva

0 5 16,7%

1 8 26,7%

2 7 23,3%

3 6 20,0%

4 4 13,3%

Total 30 100%

11.2. Em 10 das 30 jornadas, a equipa do Ronaldinho marcou mais que dois golos.

10 1

33,3%30 3

= ≈

Em 33,3% (aproximadamente) dos jogos do campeonato, a equipa do Ronaldinho marco

mais que dois golos num jogo.



11.3. Determinemos a média de golos, ( )0 5 1 8 2 7 3 6 4 4 561,9 1 c.d.

30 30x

× + × + × + × + ×= = ≈

Em média, a equipa do Ronaldinho marcou 11,9 golo por jogo.

Determinemos a mediana:

Observando a tabela construída em 11.1. conclui-se que em 43,4% dos jogos, a equipa do

Ronaldinho marcou, no máximo, um golo por jogo. Assim, conclui-se que a mediana é dois

golos.

A moda do conjunto de dados é um golo, pois foi o valor que mais vezes se observou (ou

seja, a equipa do Ronaldinho marcou um golo em mais jogos).


Pág. 140

12.1. Vamos construir a tabela de frequências optando por exprimir a frequência relativa sob a

forma de fração irredutível.

Número de livros que os alunos trouxeram para a esc ola nesse dia

Número de livros Frequência absoluta Frequência rel ativa

0 1 1

28

1 5 5

28

2 5 5

28

3 8 8 2

28 7=

4 6 6 3

28 14=

5 3 3

28

Total 28 1

12.2. Determinemos a média do número de livros que cada aluno trouxe nesse dia para a

escola:

0 1 1 5 2 5 3 8 4 6 5 3 782,8

28 28x

× + × + × + × + × + ×= = ≈

Em média, cada aluno trouxe 2,8 livros para a escola.

Determinemos a mediana:

Poderíamos observar na tabela a frequência relativa e tirarmos a nossa conclusão. Mas

vamos optar por outro processo.



Como temos 28 dados, então as posições centrais da sequência ordenada são:

28 2814 e 1 15

2 2= + = . Portanto, a mediana é igual à média aritmética entre os valores

centrais. Assim, neste caso, tem-se: ɶ3 3

32

x+= =

A mediana é três livros.

13.1. O número total de dias é obtido através da soma: 5 + 3 + 2 + 4 + 1 = 15

A Ana fez o registo em 15 dias.

13.2. A moda do número de minutos de atraso é zero minutos.

13.3. 0 5 1 3 2 2 4 4 5 1 28

1,915 15

x× + × + × + × + ×= = ≈

Em média, o autocarro chega com 1,9 minutos de atraso.

13.4. Consideremos a sequência ordenada dos dados:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1 2, 2, 4, 4, 4, 4, 5

Valor central

A mediana é 1 minuto.

14.1. Por exemplo, 1, 2 , 6 , 6 , 7 e 8.

Reparemos que: 1 2 6 6 7 8 30

56 6

x+ + + + += = = ; ɶ

6 66

2x

+= =

14.2. Por exemplo, 2, 1, 0, 1 e 2− −

Reparemos que: ( )

ɶ2 1 0 1 2 0

0 , 05 5

x x− + − + + +

= = = = ; ɶ6 6

62

x+= =

15. Pretende-se determinar a massa, em kg, do professor sabendo que a média dos 30 alunos

juntamente com o professor será de (50,5 + 0,5) kg = 51 kg.

30 50,551

31p× + = , sendo p a massa, em kg, do professor.

Assim, 1515

51 1515 1581 6631

pp p

+ = ⇔ + = ⇔ = .

O professor tem 66 kg.




Pág. 141

16.1. O número de alunos é obtido pela seguinte soma: 5 + 3 + 8 + 5 + 5 = 26.

A turma tem 26 alunos.

16.2. A moda é dois irmãos.

16.3. O número de irmãos de todos os alunos da turma é dado por:

0 5 3 11 8 2 5 3 5 4 54× + × + × + × + × =

No total, os alunos da turma B do 7.º ano têm 54 irmãos.

16.4. Tendo em conta o resultado da questão anterior, tem-se:

542

26x = ≈

Em média, cada aluno tem dois irmãos.

16.5. Se a turma tem 26 alunos, então as posições dos valores centrais são dados por:

26 2613 e 1 14

2 2= + =

Considerando as frequências de cada valor respeitante ao número de irmãos, conclui-se:

Posição 13.ª → 2

Posição 14.ª → 2

Logo, ɶ2 2

22

x+= = . A mediana é dois irmãos.

16.6. Considerando que a frequência relativa de uma determinada categoria/classe é obtida pelo

quociente entre a frequência absoluta e o número total de dados, tem-se:

Número de irmãos dos alunos do 7.º B

Número de irmãos Frequência absoluta Frequência rel ativa

0 5 19%

1 3 12%

2 8 31%

3 5 19%

4 5 19%

Total 26 100%



16.7. a) 10 alunos dos 26 alunos têm mais que dois irmãos. Assim, o número de alunos que

utilizam o comboio para irem para a escola: 0,25 500 125× =

Como 10

38%26

≈ , então cerca de 38% dos alunos têm mais que dois irmãos.

b) Cinco dos 26 alunos têm mais que um irmão.

Como 5

19%26

≈ , então cerca de 19% dos alunos têm mais que um irmão.

Autoavaliação

Pág. 142

1.1. Determinemos o número de alunos da turma A do sétimo ano:

1 + 2 + 3 + 2 + 2 + 10 + 4 + 2 = 26.

Como estamos perante um conjunto com u número par de dados podemos encontrar na

sequência ordenada, os valores centrais: 26 26

13 e 1 142 2

= + =

Ora, os valores correspondentes na sequência ordenada à 13.ª posição e 14.ª posição,

são 11 e 11. Assim, a mediana é ɶ11 11

112

x+= = .

A mediana é 11 idas à piscina no mês de maio.

1.2. 3 1 5 2 6 3 7 2 10 2 11 10 12 4 16 2 255

9,826 26

x× + × + × + × + × + × + × + ×= = ≈

Em média, os alunos da turma A do 7.º ano foram à piscina 9,8 vezes no mês de maio.

2.1. A percentagem referente aos lucros dos jogos sociais da Santa Casa da Misericórdia de

Lisboa é dada pela diferença: ( )100% 30% 25% 20% 25%− + + =

A Santa Casa da Misericórdia de Lisboa recebe 25% dos lucros.

2.2. De acordo com os valores das percentagens, facilmente concluímos que

1360º 90º

4b d= = × =

Determinemos os valores de a e de b tendo em conta a proporção que existe entre a

frequência e a amplitude dos setores correspondentes:


100 ----------------- 360

30 ---------------- a 30 360

108100

a×= =




100 ----------------- 360

20 ---------------- c 20 360

72100

c×= =

Portanto, 90º , 108º e 72ºb d a c= = = = .

3.1.

1 2 3 5 6 6 7 8 8

2 1 2

3 0 1 3 7

4 1 2 2 2

5 0 1 2

3.2. a)

12 13 15 2 16 17 2 18 21 22 30 31 33 37 41 3 42 50 51 5221

61929,5

21

x+ + + × + + × + + + + + + + + × + + +=

= ≈

O número médio de bolos vendidos no bar da escola é, aproximadamente, 29,5.

b) A moda é 42 bolos.

c) Considerando a sequência ordenada dos dados, o valor da mediana correspondente ao

valor do dado que se encontra na posição 21 1

112+ = .

Observando o diagrama, conclui-se que corresponde a 30.

A mediana é 30 bolos de arroz.

4.1. Determinemos a média das idades dos alunos:

12 9 13 10 14 6 32212,88

25 25x

× + × + ×= = =

A média das idades dos alunos desta turma é 12,88 anos.

Determinemos a mediana das idades dos alunos.

Considerando a sequência ordenada das idades dos alunos, o valor da mediana diz

respeito ao valor da idade que se encontra na posição 25 1

132+ = .

Considerando a frequência absoluta, conclui-se que corresponde a 13.

A mediana das idades dos alunos é 13 anos.



4.2. Consideremos que s é a soma das idades dos cinco alunos.

Assim, uma vez que a média é agora 13 anos, tem-se:

32213 30 13 322 68

30s

s s+ = ⇔ = × − ⇔ =

Portanto, a média das idades dos cinco novos alunos é 68

13,65

= .

A média das idades dos cinco novos alunos é 13,6 anos.

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Propostas de resolução Capítulo 6 – Medidas de localização