QUADRADOS MÁGICOS

ORIGEM e LENDAS

Imaginemos um quadrado dividido em um certo número de pequenos quadrados iguais, que chamaremos de “casas”. Colocando em cada casa um número inteiro, sem repetição, de modo a obtermos a mesma soma, seja adicionando horizontalmente por “linhas”, seja verticalmente por “colunas”, ou seja, ainda obliquamente por “diagonais”, formamos o que se denomina “quadrado mágico”. Esta soma chama-se de “constante” do quadrado. “Módulo”, ou usualmente “base”, ou ainda “ordem”, de um quadrado mágico é o numero de casas de seu lado (número de linhas ou de colunas).

8 1 6

3 5 7

4 9 2

Fig. 1

A Fig. 1 representa, assim, um quadrado mágico de módulo 3 e constante 15.

Fig. 2

A origem dos quadrados mágicos é muito antiga, mais de 3.000 anos, e dela não há dados seguros. O mais antigo que a história registra, está no texto do "Livro Chinês das Permutações", um dos mais antigos tratados sobre os números, escrito cerca 1.100 A.C., ver Fig. 2.

É o mesmo quadrado da Fig. 1, representado, porém, segundo o simbolismo da Ciência Chinesa dos números: “círculos brancos” representando os “números masculinos” (fortes, não divisíveis por 2, logo ímpares), e “círculos pretos” representando os “números femininos” (fracos, divisíveis por 2, logo pares).

1

O conhecimento e o manuseio dos quadrados mágicos difundiram-se por toda a Antigüidade. É provável que mais tarde seu culto tivesse alguma relação com a magia denominada “gemátria”, nome dado às superstições extravagantes que entre os gregos e os hebreus, surgiram do uso das letras do alfabeto na representação dos números. Se cada letra representava um número, cada palavra tinha seus números característicos, obtidos pela adição de todos os números representados separadamente por suas letras. Quando os números de duas palavras eram iguais havia para os comentadores presságios sombrios de mistérios. A superioridade de Aquiles sobre Heitor era devido ao fato das letras de Aquiles somarem 1.276, enquanto o número característico de Heitor valia apenas 1.225. Diz a lenda que Abraão, quando salvou Elieser, libertou 318 escravos, porque “Elieser” em hebraico valia 318.

Os quadrados mágicos tinham para os antigos virtudes cabalísticas. Eram gravados em placas de metal, e recomendados como “amuletos” contra a peste, como ainda hoje se faz em certas regiões do Oriente.

Os astrólogos e físicos da Idade Média, na maioria, estavam convencidos da importância destes arranjos. Cornélio Agripa construiu quadrados mágicos de módulos 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, que simbolizavam os sete “planetas” dos astrólogos daquela época: Saturno, Júpiter, Marte, Sol, Vênus, Mercúrio e Lua. Para ele o quadrado de uma só casa, na qual se inscrevia o número 1, representava a “unidade e a eternidade de Deus”, e a impossibilidade de se construir o quadrado de módulos 2, isto é, de 4 casas, demonstrava a imperfeição dos 4 elementos: terra, ar, fogo, e água. Escritores mais recentes adotaram este quadrado como símbolo do “Pecado Original”.

Os quadrados mágicos de módulo ímpar foram construídos na Índia antes da era Cristã. Sua introdução na Europa parece ser devida a Moschopoulos, que vivia em Constantinopla no começo do século XV.

A teoria dos quadrados mágicos foi principalmente desenvolvida pelos matemáticos franceses, podendo-se citar Bachet, Frénicle, e Fermat.

No Oriente foi grande o interesse que entre os matemáticos despertou o estudo dos quadrados mágicos. A eles se referiram em trabalhos IZOMURA KITTOKU, SEKI SHINSUKE KOWA, e KURUSHIMA YOSHITA, matemático japonês do século XVIII, autor de um interessantíssimo processo para a construção de quadrados mágicos de módulo ímpar, que veremos a seguir.

2

UM PROCESSO DE CONSTRUÇÃO (YOSHITA)

Vamos ver como construir o quadrado de módulo 7.

Escrevem-se nas casas centrais, na posição indicada pela Fig. 3, a unidade (1), o módulo (7),o quadrado do módulo (49), e o resultado da expressão: 49+1-7, ou 43. Para o valor central toma-se a metade da soma 49+1=50, ou 25.

Partindo deste valor e na direção da diagonal CD escreve-se uma série decrescendo para C e crescendo para D de uma diferença constante igual ao módulo (7). Procede-se igualmente para as obliquas 7-49 e 1-43.

Em seguida enchem-se as casa da diagonal AB e das paralelas 49-43 e 7-1 com séries decrescendo para A e crescendo para B de uma diferença constante igual a 1 (Fig. 4).

Completam-se as demais casas, considerando-as quer paralela a AB, quer a CD, aplicando-se então a regra correspondente.

Chega-se, assim ao quadrado mágico da Fig. 5.

A C

497 25 43

1

D Fig.3 B

A C 22 47 35 45 23 48 42 11 29

6 24 49 18 367 25 43

14 32 1 26 4421 39 8 2 27 4546 15 3 28

D Fig. 4 B

A C 22 47 16 41 10 35 45 23 48 17 42 11 2930 6 24 49 18 36 1213 31 7 25 43 19 3738 14 32 1 26 44 2021 39 8 33 2 27 4546 15 40 9 34 3 28

D Fig.5 B

3

OUTRO PROCESSO DE CONSTRUÇÃO

O processo que vamos descrever é encontrado na coleção Algorithms of A.C.M.[2]. É aplicável a construção de um quadrado mágico de qualquer módulo ímpar.

Vamos construir o quadrado de módulo n=7.

1 107 9

6 85

43

2 11 Fig. 6

Escreve-se na casa central da primeira linha, na posição (1,4), indicada pela Fig. 6, a unidade(1). Segue-se para a próxima casa, sempre em diagonal no sentido vertical, posição (i-1,j+1), e se for parar fora do quadrado, posição (0,j) ou (i,n+1), usar a casa oposta a que ficaria fora do quadrado, ou na coluna, cuja oposta a posição (0,j) é a posição (n,j), ou na linha, cuja oposta a posição (i,n+1) é a posição (i,1), conforme o caso, colocando nesta casa o próximo número seqüencial. Se a próxima casa já estiver ocupada desça uma casa abaixo da casa atual e continue a preencher a partir desta seguindo o mesmo processo. Se a ultima casa preenchida pertencer à diagonal principal, posição (1,n), desça para a casa logo abaixo da última casa preenchida, posição (2,n) e continue o processo de preenchimento até o final. A última casa a ser preenchida com o número correspondente a n2 é a casa central da última linha, ver Fig. 7.

30 39 48 1 10 19 2838 47 7 9 18 27 2946 6 8 17 26 35 375 14 16 25 34 36 4513 15 24 33 42 44 421 23 32 41 43 3 1222 31 40 49 2 11 20

Fig. 7

4

NOVO PROCESSO DE CONSTRUÇÃO

O processo que vamos descrever é novíssimo e está sendo publicado pela primeira vez neste trabalho. Foi desenvolvido pelo autor e é aplicável a construção de um quadrado mágico de qualquer módulo ímpar maior que 3.

Seja, por exemplo, como construir o quadrado de módulos 7.

Escreve-se na casa central da primeira coluna, na posição (4,1), indicada pela Fig. 8, a unidade(1).

4 13 15 24

3 12 21 23

2 11 20 22

1 10 19 28

9 18 27 29 7

17 26 6 8

25 5 14 16 Fig. 8

Segue-se para a próxima casa, sempre em diagonal no sentido vertical, posição (i-1,j+1), e se for parar fora do quadrado, posição (0,j) ou (i,n+1), usar a casa oposta a que ficaria fora do quadrado, ou na coluna, cuja oposta à posição (0,j) é a posição (n,j), ou na linha, cuja oposta à posição (i,n+1) é a posição (i,1), conforme o caso, colocando nesta casa o próximo número seqüencial. Se a próxima casa já estiver ocupada desça uma casa abaixo da casa atual e continue a preencher a partir desta seguindo o mesmo processo. Se a ultima casa preenchida for a do canto superior direito da diagonal principal, posição (1,n), desça para a casa inicial da diagonal principal, posição (n,1), no canto inferior esquerdo, e continue o processo de preenchimento até o final. A última casa a ser preenchida com o número correspondente a n2 é a casa acima da casa inicial, ver fig. 9.

33 42 44 4 13 15 24

41 43 3 12 21 23 32

49 2 11 20 22 31 40

1 10 19 28 30 39 48

9 18 27 29 38 47 7

17 26 35 37 46 6 8

25 34 36 45 5 14 16 Fig. 9

5

ALGORITMOS para n par :

Primeiro veremos o caso de n par múltiplo de 4.

A C 1 4

6 7

10 11

13 16 D Fig.10 B

Seja, por exemplo, como construir o quadrado de módulos 4.

Começa-se se assinalando as diagonais do quadrado 4x4, AB e CD. Partindo-se da primeira casa, no canto superior esquerdo do quadrado, iniciando-se um contador com valor 1(um), examina-se a casa e se ela pertencer a uma das diagonais AB ou CD ela é preenchida caso contrario ela não é preenchida com o valor do contador. Incrementa-se de uma unidade o contador e passa-se para a próxima casa à direita da atual, se não existir mais casas a direita, passa-se para a primeira casa da próxima linha, e repete-se o processo para a nova casa até que a última linha tenha se completado ver Fig. 10.

O passo seguinte é fazer o caminho de volta, reinicializando-se o contador com a unidade (1), a partir da ultima casa da última linha, examinando-se a casa se esta não está ocupada atribui-se a ela o valor atual do contador. Incrementa-se de uma unidade (1) o contador e passa-se para próxima casa à esquerda da casa atual, se não existir mais casas a esquerda, passa-se para a última casa da linha imediatamente anterior e repete-se o processo para a nova casa até que a primeira linha tenha se completado quando teremos então o quadrado completo, ver Fig. 11.

A C 1 15 14 4

12 6 7 9

8 10 11 5

13 3 2 16 D Fig.11 B

No caso de quadrados de módulo 8, 12, 16, etc... o processo é o mesmo, sendo que cada sub-módulo 4 x 4 destes quadrados maiores deve ter as suas duas diagonais AB e CD marcadas.

6

Veja-se o caso do módulo 8 Fig. 12 e Fig. 13.

1 4 5 8

10 11 14 15

18 19 22 23

25 28 29 32

33 36 37 40

42 43 46 47

50 51 54 55

57 60 61 64 Fig. 12

1 63 62 4 5 59 58 8

56 10 11 53 52 14 15 49

48 18 19 46 45 22 23 42

25 40 39 28 29 36 35 32

33 32 31 36 37 28 27 40

25 42 43 22 21 46 47 18

17 50 51 13 12 54 55 9

57 7 6 60 61 3 2 64 Fig. 13

Vejamos agora o caso de n par não múltiplo de 4.

Para estes casos a bibliografia não apresentava até momento algoritmo que funcione para o caso geral. Recentemente foi criado um algoritmo, pelo autor, ainda não publicado, que funciona para todos os casos de n par não múltiplo de 4, que veremos a seguir.

Vejamos, como construir o quadrado de módulo 6.

Começa-se dividindo o quadrado em quatro quadrantes A, B, C, e D, como na Fig. 14.

A D

C B

Fig. 14

Cada quadrante corresponderá a um quadrado em que cada lado possuirá n/2 casas, ou seja, um número ímpar de casas.

A seguir constrói-se um quadrado de módulo n/2 no quadrante A, usando algum algoritmo para o caso, começando pela unidade (1) e terminando em n2/4, logo após faz-se o mesmo para o quadrante B, começando por n2/4+1 até n2/2, em seguida faz-se o mesmo para o quadrante C, começando por n2/2+1 até 3.n2/4, e por fim faz-se o mesmo para o quadrante D, começando por 3.n2/4+1 ate n2.

7

Teremos então quatro quadrados mágicos de módulo n/2, ver Fig. 15.

8 1 6 35 28 33

3 5 7 30 32 34

4 9 2 31 36 29

26 19 24 17 10 15

21 23 25 12 14 16

22 27 20 13 18 11 Fig. 15

A seguir assinalam-se nos quadrantes A e D tantos “Chapéus chineses” quantos forem a parte inteira de n/4 a partir da base destes quadrantes, um sobre o outro. Logo após assinala-se nos quadrantes C e B tantos “Chapéus chineses” quantos forem a parte inteira de n/4 -1 a partir do teto destes quadrantes, um abaixo do outro.

Estes “Chapéus chineses” assinalarão casas no quadrado sobre as quais aplicaremos o seguinte processo: as casas assinaladas nos quadrantes da esquerda devem ser trocadas com as respectivas casas assinaladas nos quadrantes da direita. O resultado corresponde então a um quadrado mágico de módulo n (onde n é par não múltiplo de quatro) ver Fig. 16.

8 1 6 35 28 33

3 32 7 30 5 34

31 9 29 4 36 2

26 19 24 17 10 15

21 23 25 12 14 16

22 27 20 13 18 11

Fig. 16

Em todos os casos a soma constante será n.(n2+1)/2.

No caso do exemplo a soma é igual a 6.(62+1)/2 = 111.

8

Veja na Fig. 17 e 18 o caso de n = 10.

Neste caso a soma constante é igual a 10.(102+1)/2 =5.(101)= 505.

17 24 1 8 15 92 99 76 83 9023 5 7 14 16 98 80 82 89 914 6 13 20 22 79 81 88 95 9710 12 19 21 3 85 87 94 96 7811 18 25 2 9 86 93 100 77 8467 74 51 58 65 42 49 26 33 4073 55 57 64 66 48 30 32 39 4154 56 63 70 72 29 31 38 45 4760 62 69 71 53 35 37 44 46 2861 68 75 52 59 36 43 50 27 34

Fig. 17

17 24 1 8 15 92 99 76 83 9023 5 82 14 16 98 80 7 89 914 81 88 95 22 79 6 13 20 9785 87 19 96 78 10 12 94 21 386 18 25 2 84 11 93 100 77 967 74 26 58 65 42 49 51 33 4073 30 57 39 66 48 55 32 64 4129 56 63 70 47 54 31 38 45 7260 62 69 71 53 35 37 44 46 2861 68 75 52 59 36 43 50 27 34

Fig. 18

Se examinarmos as Fig. 19 e 20, ou ainda, as Fig. 21 e 22, verifica-se também que independentemente do algoritmo utilizado para gerar os quadrados de módulo n/2 nos quatro quadrantes a aplicação do algoritmo dos “Chapéus chineses” gera sempre quadrados mágicos de módulo n, com n par não múltiplo de 4.

11 24 7 20 3 86 99 82 95 784 12 100 8 16 79 87 25 83 9117 80 88 96 9 92 5 13 21 8485 93 1 89 97 10 18 76 14 2298 18 19 2 90 23 93 94 77 1561 74 32 70 53 36 49 57 45 2854 37 75 33 66 29 62 50 58 4142 55 63 71 34 67 30 38 46 5960 68 51 64 72 35 43 26 39 4773 68 69 52 65 48 43 44 27 40

Fig. 20

19 21 3 10 12 94 96 78 85 8725 2 9 11 18 100 77 84 86 931 8 15 17 24 76 83 90 92 997 14 16 23 5 82 89 91 98 8013 20 22 4 6 88 95 97 79 8169 71 53 60 62 44 46 28 35 3775 52 59 61 68 50 27 34 36 4351 58 65 67 74 26 33 40 42 4957 64 66 73 55 32 39 41 48 3063 70 72 54 56 38 45 47 29 31

Fig. 21

19 21 3 10 12 94 96 78 85 8725 2 84 11 18 100 77 9 86 931 83 90 92 24 76 8 15 17 9982 89 16 98 80 7 14 91 23 588 20 22 4 81 13 95 97 79 669 71 28 60 62 44 46 53 35 3775 27 59 36 68 50 52 34 61 4326 58 65 67 49 51 33 40 42 7457 64 66 73 55 32 39 41 48 3063 70 72 54 56 38 45 47 29 31

Fig. 22

9

O problema dos quadrados mágicos é de difícil solução pois admite soluções múltiplas e não pode ser representado matematicamente por um sistema de equações independentes logo é do tipo NP-difícil (Complexidade Não polinomial e que cresce com o fatorial do quadrado de n, n2!).

O mais difícil ainda é encontrar todas as soluções possíveis para um dado n qualquer. Para se ter uma idéia as soluções para n = 3 são ao todo 8(oito) e podem ser determinadas por exaustão, ou seja examinando todas as possibilidades de preenchimento da matriz com os n2 inteiros sem repetição. Teríamos então que examinar 9! matrizes que são as permutações dos 9 naturais tomados 9 a 9. Isto representa ‘362.880’ matrizes.

Já para o caso de n = 4 o número de permutações se torna igual a 16!= 20.922.789.888.000, ou seja 20 trilhões e 922 bilhões e 789 milhões e 888 mil matrizes a serem examinadas.

O que é inviável mesmo para o mais rápido computador atual pois ele levaria cerca de 200 anos para fá-lo.

Entretanto, através de técnicas de Análise Combinatória, foram identificadas, pelo autor, todas as soluções possíveis para n = 4 (com distribuição dos números de 1 a 16), que são ao todo 3.456 soluções que compõem uma coleção inédita e raríssima muito procurada nos últimos 3.000 anos.

11 24 7 20 3 86 99 82 95 784 12 25 8 16 79 87 100 83 9117 5 13 21 9 92 80 88 96 8410 18 1 14 22 85 93 76 89 9723 18 19 2 15 98 93 94 77 9061 74 57 70 53 36 49 32 45 2854 62 75 58 66 29 37 50 33 4167 55 63 71 59 42 30 38 46 3460 68 51 64 72 35 43 26 39 4773 68 69 52 65 48 43 44 27 40

Fig. 19

10

EXTENSÃO DOS QUADRADOS MÁGICOS

O estudo dos quadrados mágicos, por este autor, mostra que todos os quadrados mágicos são na realidade um caso particular de uma distribuição geral de n2 termos de uma progressão aritmética, formada com números pertencentes a Z (imaginários), com termo inicial Z0=(X0 + Y0.i) e razão Zq=(Q0 + P0.i), de tal forma que teremos sempre três quadrados mágicos dentro de cada matriz n x n.

Verifica-se também que todos os algoritmos válidos para os quadrados mágicos com os inteiros de 1(um) a n2 são também válidos para o caso da progressão supra citada com os números imaginários.

Vejamos alguns exemplos:

Primeiro o caso de n=3 com Z0 e Zq gerais.

C0+ 7.Cq

C0+ 0.Cq

C0+ 5.Cq

C0+ 2.Cq

C0+ 4.Cq

C0+ 6.Cq

C0+ 3.Cq

C0+ 8.Cq

C0+ 1.Cq

Fig. 23

Ver Fig 23.

Pode-se perceber que a soma de qualquer linha ou coluna ou diagonal é sempre igual a n.(Z0+((n2-1)/2).Zq).

Como Z0=X0+Y0.i e Zq=Q0+P0.i a tal soma será 3.(X0+4.Q0) + 3.(Y0+4.P0).i, o que identifica a existência de três quadrados mágicos no quadrado, ou seja, um para a parte real, um para a parte imaginária e um para o número Z (parte real + parte imaginária).

Se Z0=1 e Zq=1 teremos o caso particular dos números de 1 a 9 distribuídos no quadrado 3 x 3, cuja soma constante será 15.

Pode-se notar também que se tomarmos Z’0 = (Z0 +n2.Zq) e Z’q = Zq teremos um outro quadrado mágico com soma constante igual a 3.(10+(32-1)/2).1)= 3.(10 + 4.1)= 42, e se Z”0 = (Z’0 + n2.Z’q) e Z”q = Zq teremos outro quadrado com soma constante igual a 3.(19 + 4.1) = 69, ou seja, as somas constantes dos quadrados de mesmo módulo cujo valor inicial, da progressão que se está utilizando, é igual ao último valor utilizado no quadrado anterior mais a razão Zq, formam também uma progressão aritmética (ex. 15, 42, 69, 96, ...) cujo valor inicial

11

é igual a soma constante do primeiro quadrado n.(Z0+((n2-1)/2).Zq ) e razão igual a (n.(Z’0+((n2-1)/2).Zq)-n.(Z0+((n2-1)/2).Zq))=n.(Z’0-Z0)=n.((Z0+n2.Zq)-Z0)=n3.Zq.

No caso do exemplo como Zq=1 teremos razão = 33x1 = 27. Ou seja, a progressão será 15, 42, 69, 96, 123, 150, 177, 204, 231 que também pode ser distribuída num quadrado 3x3 formando um quadrado mágico com soma constante igual a n.(Z’0+((n2-1)/2).Z’q)= 3x(15+((32-1)/2)x27) = 3x(15+4x27) = 3x(15+108) = 3x123 = 369 (ver Fig.24).

204 15 150

69 123 177

96 231 42

Fig. 24

Se substituirmos, agora, cada valor das casas do quadrado da Fig.24 pelo correspondente quadrado mágico 3x3, cuja soma constante é igual a este, teremos um quadrado 9x9 formado por quadrados mágicos menores 3x3 e este quadrado conterá todos os n2=92=81 termos da progressão aritmética com valor inicial Z0 e razão Zq e a soma de qualquer linha ou coluna ou diagonal é n.(Z0+(n2-1)/2).Zq)=9x(1+((81-1)/2)x1)= 9x(41) = 369 portanto é também mágico. A estes quadrados chamamos de Hipermágicos ver Fig.25.

71 64 69 8 1 6 53 46 5166 68 70 3 5 7 48 50 5267 72 65 4 9 2 49 54 4726 19 24 44 37 42 62 55 6021 23 25 39 41 43 57 59 6122 27 20 40 45 38 58 63 5635 28 33 80 73 78 17 10 1530 32 34 75 77 79 12 14 1631 36 29 76 81 74 13 18 11

Fig. 25

Como sabemos que existem 23 quadrados mágicos de módulo 3 com a mesma progressão aritmética, podemos concluir que neste caso de quadrado hipermágico 9x9 existem então pelo menos (23)x(23)9 = 230 quadrados hipermágicos 9x9 diferentes.

12

Se examinarmos as figuras 26, 27,28 29ª e 29b podemos notar que o método dos chapéus chineses pode ser usado para n par múltiplo de 4 quando n é maior que 4 com nº de chapéus em cada quadrante = n div 4 e eqüidistantes.

1 15 14 4 49 63 62 52

12 6 7 9 60 54 55 57

8 10 11 5 56 58 59 53

13 3 2 16 61 51 50 64

33 47 46 36 17 31 30 20

44 38 39 41 28 22 23 25

40 42 43 37 24 26 27 21

45 35 34 48 29 19 18 32 Fig. 27

1 63 62 4 49 15 14 52

60 6 7 57 12 54 55 9

8 58 59 5 56 10 11 53

61 3 2 64 13 51 50 16

33 31 30 36 17 47 46 20

28 38 39 25 44 22 23 41

40 26 27 37 24 42 43 21

29 35 34 32 45 19 18 48 Fig. 28

A D

C B

Fig. 26

8 109 6 35 136 33 116 1 114 143 28 141

111 32 115 138 5 142 3 140 7 30 113 34

31 117 29 4 144 2 139 9 137 112 36 110

134 19 132 125 10 123 26 127 24 17 118 15

21 131 25 12 122 16 129 23 133 120 14 124

130 27 128 121 18 119 22 135 20 13 126 11

80 37 78 107 64 105 44 73 42 71 100 69

39 104 43 66 77 70 75 68 79 102 41 106

103 45 101 76 72 74 67 81 65 40 108 38

62 91 60 53 82 51 98 55 96 89 46 87

93 59 97 84 50 88 57 95 61 48 86 52

58 99 56 49 90 47 94 63 92 85 54 83

Fig. 29.b

8 1 6 35 28 33 116 109 114 143 136 141

3 32 7 30 5 34 111 140 115 138 113 142

31 9 29 4 36 2 139 117 137 112 144 110

26 19 24 17 10 15 134 127 132 125 118 123

21 23 25 12 14 16 129 131 133 120 122 124

22 27 20 13 18 11 130 135 128 121 126 119

80 73 78 107 100 105 44 37 42 71 64 69

75 104 79 102 77 106 39 68 43 66 41 70

103 81 101 76 108 74 67 45 65 40 72 38

98 91 96 89 82 87 62 55 60 53 46 51

93 95 97 84 86 88 57 59 61 48 50 52

94 99 92 85 90 83 58 63 56 49 54 47 Fig. 29.a

13

As figuras 30,31 e 32 mostram um caso especial de quadrados mágicos obtidos pela troca de lugar de uma coluna ou uma linha e continuam sendo mágicos ditos mágicos diabólicos. Na fig 31 a primeira coluna da fig 30 passa a ser a ultima da fig 31 e na fig 32 a primeira linha da fig 30 passa a ser ultima da fig 32.

3 6 15 10

13 12 1 8

2 7 14 11

16 9 4 5 Fig. 32

16 9 4 5

3 6 15 10

13 12 1 8

2 7 14 11 Fig. 30

9 4 5 16

6 15 10 3

12 1 8 13

7 14 11 2 Fig. 31

Dos 3.456 casos de quadrados mágicos 4 x 4 exatamente 385 são diabólicos.

O mesmo raciocínio dos quadrados hipermágicos 9 x 9 pode ser aplicado para o caso dos quadrados mágicos 4x4, onde teríamos cada casa do quadrado substituído por um outro quadrado 3x3 resultando no final um quadrado hipermágico 12x12 formado por 16 quadrados mágicos menores 3x3.

Como existem 23 quadrados mágicos de módulo 3 com a mesma progressão aritmética possíveis e 3.456 = 27x33 quadrados mágicos de módulo 4 com a mesma progressão aritmética teremos no mínimo (27x33)x(23)16 = (27x33)x(248) = 255x33 quadrados hipermágicos 12x12.

Ja se tomarmos um quadrado 3x3 e substituirmos cada uma de suas casas por um quadrado 4x4 teremos um quadrado hipermágico 12x12 formado por 9 quadrados mágicos menores 4x4 o que nos permite concluir que existem pelo menos mais (23)x(27x33)9 = 23x(263x327) = 266x327 quadrados hipermágicos 12x12. Ou seja, existem no total mais de (255x33 +266x327) quadrados hipermágicos 12x12.

O primeiro grande desafio, encontrar todos os quadrados mágicos 4x4 com Z0=1 e Zq=1, foi vencido.

O próximo desafio é encontrar todos os quadrados mágicos 5x5 com Z0=1 e Zq=1.

Aos aficionados, mãos a obra.

Bibliografia:

14

15

Curiosidades Matemáticas - Thales Mello Carvalho, MULTUM IN PARVO, 1938 - RJ

Porto Alegre, 12 de junho de 1997.

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Prof. Msc. Neron Arruda Leonel

Departamento de Informática Teórica

Instituto de Informática - U.F.R.G.S.

Revisado em 11 de maio de 2009.