Quântica

1 de julho de 2011

1 Hipótese de Louis de Broglie

Figura 1: A superposição de duas ondas com

frequências diferentes produz o fenômeno con-

hecido como batimento. Quando in�nitas on-

das de diferentes frequências se superpõem se

observa unicamente um pacote de ondas.

Como já sabemos, baseados no resultado ex-

itosos de Planck ao explicar a radiação de

corpo negro, Einstein logra dar uma expli-

cação satisfatória ao problema do efeito fo-

toelétrico. Na sua explicação ele considera,

basicamente, que a luz se comporta com uma

partícula e que essa partícula porta energia

E = hf , posteriormente Compton leva adi-

ante essa ideia e associa à partícula luminosa

um momento dado por p = h/λ. Essas ideias

motivam ao jovem Louis de Broglie a realizar

seu trabalho de doutoramento e em 1925 for-

mular uma ousada hipótese: assim como fó-

tons tem caraterísticas de ondas e partícula,

talvez todas as formas de matéria tenha propriedades de onda, assim como de partícula. Dessa

forma, de Broglie propõe que devemos associar, a toda matéria, uma onda com comprimento

de onda igual a

λ =h

p

a esse comprimento de onda da matéria chamamos de comprimento de onda de Broglie. Notem

que se utilizamos

E =p2

2m

equação adequada para baixas velocidade, teremos que

λ =h√

2mE

A ideias básica da hipóteses de de Broglie foram formuladas baseada na relatividade de Einstein.

Isso leva ele a obter uma expressão para a forma da onda que acompanha o guia à partícula.

Devido ao caráter localizado de uma partícula livre ele não poderia associar uma onda como

1

Figura 2: Ondas estacionaria de de Broglie no modelo de Bohr.

sendo a onda guia da partícula, já que as ondas são por natureza extensas espacialmente, assim

resulta interessante utilizar uma superposição (soma) de muitas ondas que se carateriza por ser

espacialmente localiza em um pacote de onda (Na verdade o problema maior é que a velocidade

as ondas seria maior do que a velocidade da luz e dessa forma não poderia portar energia, no

entanto, o pacote de onda viaja a uma velocidade menor do que a velocidade da luz).

Com essa hipótese de Broglie explica porque existe algumas orbitas permitidas no modelo

de Bohr, do ponto de vista de de Broglie esses estados estacionários de Bohr correspondem a

orbitas onde é possível colocar um número inteiro de comprimentos de onda. Em esses regiões

do espaço as ondas de de Broglie formariam uma onda estacionaria do mesmo jeito que uma

corda de violão forma uma onda estacionaria quando é tocada. Usando essa ideia, de Broglie

mostra que

2πr = nλ

2πr = nh

p

2πr = nh

mv

mvr = nh

2πmvr = n~

a condição de quantização do momento angular de Bohr era obtida de forma natural no seu

modelo.

Em 1927 Clinton Davisson e Lester Germer publicam um resultado experimental, obtido

de forma acidental, onde reportam a observação de padrões de difração resultante de elétrons

sendo re�etidos por uma superfície de Níquel cristalino. Como se mostra na �gura 3, eles

observaram á 50◦ do feixe de elétrons incidentes, com 54 eV de energia, se observa um máximo

2

Figura 3: Experimento de Davisson e Germer.

na intensidade do feixe re�etido. Segundo a condição de Bragg sabemos que

nλ = 2d sin θ

onde d é o espaçamento, como

θ + α = 90

sin θ = sin (90− α)

= sin 90 cosα− sinα cos 90

= cosα

então, para n = 1

λ = 2d cosα

como d = D sinα

λ = 2D sinα cosα

= D sin 2α

D sinφ

de forma que

λ = (0, 215) sin 50◦

= 0.165nm

Comparando esse resultado com o que a equação de de Broglie prediz

λ =6, 63× 10−34j · s√

2 (9, 11× 10−31kg) [(54) (1, 6× 10−19J)]= 0, 167nm

uma concordância muito boa com o valor experimentalmente observado.

3

Figura 4: À esquerda um espetro similar ao obtido G. P. Thonsom, correspondente à dispersãode elétrons em Ouro. Observa a similaridade com o espetro à direita correspondente a dispersãode raios X em zirconio.

Independentemente, G. P. Thonsom (Filho de J. J. Thonsom) realiza experimento com

elétrons, os quais são eram utilizados para bombardear uma amostra de SnO2, como a amostra

era policristalina o resultado do passo dos elétrons a través da amostra era a a formação de um

espectro de difração com simetria esférica do outro lado da amostra. Essas medidas concederam

o premio novel de 1937 a Thonsom e Davisson.

2 Principio de incerteza de Heisenberg

Figura 5: Pacotes de ondam tem a propriedade

intrínseca que limite o produto do seu compri-

mento com a sua velocidade

Baseado nos osciladores da radiação de corpo

negro e a quantização imposta por Bohr, W.

Heisenberg desenvolve uma teoria que rela-

cionava as transições energéticas entre estados

estacionários com elementos de uma matriz

[x]. O resultado dessa abordagem foi a formu-

lação de uma novo mecanismo que permitia

tratar os fenômenos quânticos (mecanica ma-

tricial) e além disso obteve um outro resultado

com implicações física profundas, o principio

de incerteza. Em seu artigo de 1927, Heisen-

berg escreve: quanto mais precisamente a

posição é determinada, menos precisamente

o momento é conhecido nesse instante e vice-versa. Ou seja, se você determina com precisão

a posição não tem como determinar de forma precisa o momento. Na verdade esse resultado

se desprende também da hipótese de de Broglie. É possível demostrar (mediante análise de

Fourier) ondas formando pacotes veri�cam

∆x∆k = 1

como

k =2π

λ

4

e

λ =h

p

então

∆x∆p =h

2π

ou seja, existe uma relação entre intrínseca que limite o produto do seu comprimento com a

sua velocidade, a essa relação que foi primeiramente vista por Heisenberg lhe conhece como

principio de incerteza de Heisenberg, e é frequentemente escrita como

∆x∆p & ~

indicando que é impossível atingir esse limite de ~. É possível também, demostrar que a energia

e o tempo também veri�cam uma inequação similar

∆E∆t & ~

3 Formulação de Schrödinger da mecânica quântica.

Quase simultaneamente à formulação da mecânica matricial de Heisenberg, Erwing Schrödinger

propõe uma equação inspirado na proposta de de Broglie. A demostração realizada por ele é

relativamente complexa, mas podemos mostrar uma demostração heurística dessa equação.

Consideremos um elétron livre, como sabemos a equação que descreve a vibração do campo

elétrico

E = E0 sin (kx− ωt)

podemos escrever essa equação de um jeito mais genérico

E = E0ei(kx−ωt)

de nossos estudo da equação de onda proposta por Maxwell, sabemos que

∂2E

∂x2=

1

c2∂2E

∂t2

Como

k =ω

c⇒ vλ = f

De Planck/Einstein

E = hf

e segundo Compton/Einstein

p =h

λ= k

h

2π= k~

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de forma que podemos reescrever a equação da onda como

E = E0ei( p

~x−E~ t)

= E0ei~ (px−Et)

aplicando Maxwell

[∂2

∂x2− 1

c2∂2

∂t2

]E = 0[

∂2

∂x2− 1

c2∂2

∂t2

]E0e

i(px−Et) = 0[−p2 +

E2

c2

]E0e

i(px−Et) = 0

E = pc

Se consideramos que podemos expressar o elétron com uma equação similar à da onda de luz

por similaridade esperamos que como resultado da aplicação obtenhamos uma equivalência

energética. Suporemos então que a onda piloto associada ao elétron tem a forma

ψ = ψ0ei~ (px−Et)

e que existe uma equação da onda que veri�ca

∂2ψ

∂x2= γ

∂2ψ

∂t2

dessa forma [∂2

∂x2− γ ∂

2

∂t2

]ψ = 0[

∂2

∂x2− γ ∂

2

∂t2

]ψ0e

− i~ (px−Et) = 0

− 1

~2[p2 − γE2

]E0e

i~ (px−Et) = 0

mas, segundo de Broglie, na aproximação não relativista

E =p2

2m

deforma que1

γ=

p2

4m2

Isso nos diz que a constante γ tem que ser mais do que uma constante, já que depende do

momento da partícula, para que a equação tenha solução. Isso é um problema pois diz que

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observadores em sistemas inerciais diferentes mediriam coisas diferentes (energias). Por isso

vamos tentar outra abordagem, observe que a energia já é proporcional ao quadrado do mo-

mento, por tanto as duas derivadas em t resultaram em um momento elevado à quarta, resulta

então conveniente tentar uma �equação da onda� modi�ca que só tenha uma derivada em t

∂2ψ

∂x2= γ

∂ψ

∂t

nesse caso [∂2

∂x2− γ ∂

∂t

]ψ = 0[

∂2

∂x2− γ ∂

∂t

]ψ0e

i~ (px−E t) = 0[

−p2

~2+i

~γE

]ψ0e

i~ (px−E t) = 0[

−p2

~2+i

~γp2

2m

]ψ0e

i~ (px−E t) = 0

e nesse caso obtemos uma constante que funciona para qualquer estado da partícula

− 1

~2+i

~γ

2m= 0

γ =2m

i~

= −i2m~~2

=

(−2m

~2

)(i~)

dessa forma a equação que é coerente com a visão quântica é(−2m

~2

)(i~)

∂ψ

∂t=

∂2ψ

∂x2

que é a equação de Schröedinger para a partícula livre

i~∂ψ

∂t=−~2

2m

∂2ψ

∂x2

Note que quando derivo a função de onda em relação a x obtenho

−~2m

∂2ψ

∂x2= − p2

2m= K

onde K é a energia cinética, por outro lado a derivada em relação ao tempo da

i~∂2ψ

∂t2= i~

(−iE

~

)= E

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dessa forma a equação de Schröedringer veri�ca

(K − E ) ψ = 0

E = K

disto que ela seja a equação que descreve uma partícula livre. Mas as teoria clássica nos diz

que quando a partícula está sujeita a uma força externa e essa força deriva de um potencial

podemos escrever

E = K + V (x)

fazendo engenheira reversa

(K + V − E )ψ = 0

onde estou admitindo que o potencial externo vai entrar direto na equação, ou seja

i~∂ψ

∂t=−~2m

∂2ψ

∂x2+ V ψ

que é a famosa equação do Schröedinger dependente do tempo

Para chegar a essa equação nos supusemos que existe uma função de onda que está associada

à onda piloto de de Broglie, qual é a realidade física dessa função de onda? Essa pergunta foi

respondida por Max Born. Se nos seguimos nossa linha de pensamento poderemos ter uma

argumentação para a interpretação dada por Born. Sabemos que para o caso de OEM o

quadrado do campo está relacionado com a intensidade da onda e a densidade de energia.

Einstein, analisando o problema do efeito fotoelétrico, associo a intensidade do campo elétrico

com à probabilidade de se ter fótons numa dada região do espaço. Com base nisso Born

simplesmente estende essa argumentação como sendo válida para as ondas de matéria, assim

ele a�rma que o quadrado da função de onda está associada com a densidade de probabilidade

de se achar uma partícula num ponto no espaço., matematicamente

|ψ|2 dx −→ probabilidade de encontrar em dx

Uma outra condição evidente é que se são somados todos os pontos que forma o espaço onde a

nossa onda de matéria pode estar necessariamente temos que encontrar a partícula, isto é

ˆ|ψ|2 dx = 1

a isso se denomina condição de normalização da função de onda.

A equação de Schrödinger é a equação que deve ser utilizada para descrever sistemas mi-

croscópicos. Um tipo de solução, dessa equação, que é muito interessante de ser analisado é

aquele obtido para o caso em que estamos nos chamados estados estacionários, esses estados

se caraterizam por funções de onda que resultam do produto de uma parte que depende do

8

Figura 6: Partícula live atrapada num poço in�nito. .

tempo, com outra parte que depende do espaço, podemos escrever isso como

ψ(x, t) = φ(x)ξ(t)

Isso leva a equação de Schrödinger a sua forma simples onde a parte espacial e temporal estão

desacopladas−~2m

∂2φ

∂x2+ V φ = E φ

e

i~∂ξ

∂t= E ξ

3.1 Poço quadrado in�nito

Como exemplo, vamos considerar que temos um elétron dentro de um poço de energia in�ni-

tamente profundo. A condição de contorno do problema sugere que utilizemos φ(x) tem que

se anular nas fronteiras, ou seja φ(0) = 0 e φ(L) = 0 Excepto pela limitação das paredes a

partícula é essencialmente livre, de forma que, esperamos que a solução tenha a forma

φ(x) = A sin

(2π

λx

)aplicando a condição de contorno a essa função, teremos que

φ(0) = 0

e

φ(L) = A sin

(2π

λL

)o que implica que

2π

λL = nπ −→ λ =

2L

nn = 1, 2, 3 . . .

de forma que nossa partícula só tem permitido alguns comprimentos de onda. O momento

associado a essa partícula é

p =h

λ=hn

2Ln = 1, 2, 3 . . .

9

Figura 7: Partícula live atrapada num poço in�nito. .

Figura 8: Curral quântico formado por 48 átomos de ferro depositados sobre uma superfície decobre (111). Os átomos de ferro con�nam con�nam alguns dos elétrons de superfície do cobre.Esse curral constitui uma poço quântico bidimensional.

de forma que os valores permitidos de energia serão dados por

E = K =p2

2mn = 1, 2, 3 . . .

En =

(h2

8mL2

)n2 n = 1, 2, 3 . . .

de onde vemos que energia da partícula está quantizada. Observe que o ponto n = 0 não é

permitido, de forma que a energia de menor valor possível é a energia de ponto zero, n = 1

E0 =h2

8mL2

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3.1.1 O átomo de hidrogênio

O potencial de coulomb

U(r) =1

4πε0

e2

r

cria um con�namento tridimensional para o elétron ligado. Cálculos monstra que nesse caso

(3d) a energia está dada por

En = −(me4

8ε0h2

)1

n2, n = 1, 2, 4, . . .

e a densidade de onda do estado fundamental está dada por

φ2(r) =1

πr3Bexp

(−2r

rB

)onde

rB = 5, 292× 10−11m

A densidade radial de distribuição está dada por

P (r)dr = φ(r)dV = 4πr2φ(r)dr

ou

P (r) =4

r3Br2 exp

(−2r

rB

)

3.2 Barreira quadrada

O problema de tunelamento é um fenômeno que já rendeu vários prêmios nobel. Um exemplo

é nobel pelo descobrimento da junção Josepson e também pela construção do microscópio

de tunelamento. Do ponto de vista quântico uma partícula que se move na direção de um

barreira de potencial pode ter uma probabilidade de a travesar a barreira, dessa forma na

hora de descrever matematicamente o problema isso deve ser levado em consideração, assim a

Figura 9: Distribuição de probabilidade do estado mais baixo do elétron ligado ao átomo dehidrogênio.

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Figura 10: Uma barreira de energia de largura L e altura U . De acordo com a física newtonianaquando a energia E da partícula é menor do que U a partícula não pode escapar .

descrição mais completa que posso ter da função de onda que descreve a partícula representa

a superposição de estados correspondente à partícula se movendo em direção à parede e se

afastando da parede (quique), assim na região I seria algo como

φI(x, t) = Aei(kx−ωt) +Bei(kx+ωt)

na região central teríamos

φII(x, t) = Cei(kx−ωt) +Dei(kx+ωt)

enquanto que na região III teríamos

φIII(x, t) = Fei(kx−ωt) +Gei(kx+ωt)

Notem que dessa forma podemos de�nir dois coe�ciente, o coe�ciente de re�exão dado por

R =(φ · φ)Refletida

(φ · φ)inicidente=B ·BA · A

=|B|2

|A|2

e o coe�ciente de transmissão

T =(φ · φ)transmitida

(φ · φ)inicidente=F · FA · A

=|F |2

|A|2

e, por de�nição eles devem veri�car

R + T = 1

O problema se resume a resolver a equação de Schrödinger

∂2φ

∂x2=

2m (U − E)

~2φ

A analise do problema é matematicamente complexa e não é neste momento interessante, o

que realmente chama a atenção é o resultado do coe�ciente de transmissão, que é uma medida

da probabilidade de termos a partícula numa região que classicamente é impossível, é possível

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demonstrar que o valor dessa grandeza é

T = exp [−2kL]

onde

k =

√8π2m (U − E)

h2

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