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JAIRO GOMES JAIRO GOMES JAIRO GOMES JAIRO GOMES

MOVIMENTO VERTICAL NO MOVIMENTO VERTICAL NO VÁCUOVÁCUOVÁCUOVÁCUO

O movimento vertical de um corpo próximo ao solo é chamado de queda livre quando o corpo abandonado no vácuo ou se considera desprezível a ação do ar. Seu estudo é idêntico ao de lançamento na vertical, o qual só de lançamento na vertical, o qual só difere da queda livre por apresentar uma velocidade inicial vertical. Esses

movimentos são descritos pelas mesmas funções horárias.

A aceleração do movimento vertical de um corpo no vácuo é denominada aceleração da gravidade e indicada por g. Como o movimento se realiza nas proximidades da superfície

terrestre, a aceleração da gravidade é considerada constante. Assim, a queda livre e o lançamento na

vertical são movimentos uniformemente variados (MUV).

O valor normal da aceleração da gravidade é tomado ao nível do mar, a tomado ao nível do mar, a

uma latitude de 45o

g = 9,80665 m/s2

Na resolução de exercícios, para efeito de cálculo, arredondamos para

10 m/s2. Note quea aceleração da gravidade tem um valor extremamente alto quando

comparado aos valoresde aceleração de veículos. Seu valor de aceleração de veículos. Seu valor de praticamente 10 m/s2 significa uma variação de velocidade de 10 m/s em cada segundo, ou seja, de 36 km/h em cada segundo. Assim, em apenas 4 s de queda o corpo atingiria 144 km/h se não houvesse a resistência do ar.

Em todos os fenômenos descritos neste capítulo desprezamos a resistência do ar.

Na queda, o módulo da velocidade escalar do corpo aumenta: o movimento é

acelerado. a = +g

v > 0v = vo + g t

∆∆∆∆h= v t +g t2

∆∆∆∆h= vo t + 2g t

v2 = vo2 + 2 . g . ∆∆∆∆h

h = ho + vo t + 2g t2

Lançado verticalmente para cima, o módulo da velocidade escalar diminui na

subida: o movimento é retardado.

a = -g

v > 0

v = vo - g t

∆∆∆∆h= v t - g t2v > 0∆∆∆∆h= vo t - 2

g t2

v2 = vo2 - 2 . g . ∆∆∆∆h

h = ho + Vo t - 2g t2

EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO

1. Um móvel é atirado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 50 m/s. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Determine:a) as funções horárias do movimento;b) o tempo de subida, isto é, o tempo para atingir a altura máxima;c) a altura máxima;d) em t = 6 s, contados a partir do instante de lançamento, o espaço do móvel e o sentido do movimento;e) o instante e a velocidade escalar quando o móvel e) o instante e a velocidade escalar quando o móvel atinge o solo.

1. Um móvel é atirado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 50 m/s. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Determine:a) as funções horárias do movimento;

Solução:

v = vo - g t h = ho + vo t + 2g t2

a = - g

a = - 10 m/s2

Orientação da

v = 50 - 10 t

2

h = 0 + 50 t -2

10 t2

Orientação da trajetória voltada para cima v > 0

Origem dos espaços: no solo ho = 0

h = 50 t – 5 t2

vo = 50 m/s

1. Um móvel é atirado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 50 m/s. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Determine:b) o tempo de subida, isto é, o tempo para atingir a altura máxima; Solução:a = - g

a = - 10 m/s2t = ? ( v = 0 )

v = vo - g tOrientação da

v = 50 - 10 t

0 = 50 - 10 t

10 t = 50

t = 50 : 10

t = 5 s

Orientação da trajetória voltada para cima v > 0

1. Um móvel é atirado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 50 m/s. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Determine:c) a altura máxima;

Solução:

h = ?

h = 50 t – 5 t2

h = 50 . 5 - 5 . 52

h = 250 – 125

h = 125 m

1. Um móvel é atirado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 50 m/s. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Determine:d) em t = 6 s, contados a partir do instante de lançamento, o espaço do móvel e o sentido do movimento;

Solução:

h = ? ( v = 0 e t = 5 s )

h = 50 t – 5 t2 E o sentido do movimento ???h = 50 t – 5 t

h = 50 . 6 – 5 . 62

h = 300 – 180

h = 120 m

E o sentido do movimento ???

Em t = 6 s o móvel está descendo, pois sabemos que em 5 s mudou de sentido (veja item

b da questão.

1. Um móvel é atirado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de 50 m/s. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Determine:e) o instante e a velocidade escalar quando o móvel atinge o solo.

Solução:Quando o móvel atinge o solo, seu espaço volta a ser nulo. Lembre-se de que o espaço apenas localiza o móvel ao longo da trajetória. Na equação ...móvel ao longo da trajetória. Na equação ...

v = 50 - 10 t temos t = 5 s + 5 s = 10 s (ida e volta)

v = 50 - 10 .10

v = 50 - 100

v = - 50 m/s

1. O tempo do movimento ida e volta (10 s) é o dobro do tempo de subida, isto é, o intervalo de tempo da subida é igual ao intervalo de tempo da

descida.

2. A velocidade inicial é + 50 m/s e a de chegada ao solo é - 50 m/s, isto é, as velocidades de

Observações:

ao solo é - 50 m/s, isto é, as velocidades de lançamento e de chegada ao solo têm o mesmo

módulo.

Essas propriedades só valem quando o ponto de partida coincide com o ponto de chegada. Não

valem quando há resistência do ar ou o móvel tem propulsão própria.

2. Abandona-se uma pedra do alto de um edifício e esta atinge o solo 4 s depois. Adote g = 10 m/s2 e despreze a resistência do ar. Determine.a) a altura do edifício;b) o módulo da velocidade da pedra quando atinge o solo.

Solução:a) h = ? ( v = 0 e t = 4 s )

g t2

b) v = ?

v = vo - g th = ho + vo t + 2

g t2

h = 0 + 0 . 4 +2

10 . 42

h = 5 . 16

h = 80 m

v = vo - g t

v = 0 - 10 . 4

v = 40 m/s

3. Dois móveis A e B são lançados verticalmente para cima, com a mesma velocidade inicial de 15 m/s, do mesmo ponto. O móvel A é lançado no instante t = 0 s e o móvel B é lançado 2 s depois. Determine, a contar do ponto de lançamento, a posição e o instante do encontro dos móveis. Adote g = 10 m/s2 e despreze a resistência do ar.

Solução:Orientemos a trajetória para cima (a = - g).

A posição do encontro ocorre quando a posição hA (do móvel A) for igual a

posição hB (do móvel B)a = - 10 m/s2

ho = 0hA = hB

O móvel A foi lançado no início da contagem dos tempos (t = 0 s). Assim, após t segundos, ele terá andado durante t

segundos e em sua função comparece a variável t.

h = ho + vo t - 2g t2

hA = 0 + 15 . t -10 . t2hA = 0 + 15 . t -2

10 . t

hA = 15.t - 5 t2

O móvel B parte 2 s depois. Após t segundos, B andou durante (t - 2) segundos, pois partiu depois. Daí, em suas

funções comparecerá (t - 2) em lugar de t.

h = ho + vo t - 2g t2

hB = 0 + 15 . (t - 2) - 210 . (t - 2)2

h = 15 . t - 30 - 5 ( t - 2 )2hB = 15 . t - 30 - 5 ( t - 2 )2

hB = 15 t - 30 - 5 ( t2 - 4 t + 4 )

hB = 15 t - 30 - 5 t2 + 20 t - 20

hB = 35 t - 50 - 5 t2

Considerando que a posição do encontro ocorre quando a posição hA

(do móvel A) for igual a posição hB

(do móvel B)

hA = hB

hA = 15.t - 5 t2

hB = 35 t - 50 - 5 t2

15 t - 5 t2 = 35 t - 50 - 5 t2

- 5 t2 + 5 t2 = 35 t - 15 t - 50

0 = 20 t - 50

O encontro ocorre após 2,5 s do lançamento do primeiro, mas em qual

posição ?

h = 15.t - 5 t2

50 = 20 t

0 = 20 t - 50

50 : 20 = t

hA = 15.t - 5 t2

hA = 15 . 2,5 - 5 . 2,52

hA = 37,5 - 31,25

hA = 6,25 mt = 2,5 s

4. Uma pedra A é lançada verticalmente para cima a partir do solo, com a velocidade de 40 m/s. Simultaneamente, na mesma vertical, outra pedra B é abandonada a partir do repouso do alto de um edifício com 80 m de altura. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s2

para a aceleração da gravidade, determine:a) o instante em que as pedras colidem;b) a altura, relativamente ao solo, em que ocorre a colisão.

Solução:Solução:

a) t = ? hA = hB

b) hA = ? ou hB = ? num instante t

Pedra AMov. retardado Mov. acelerado

a) t = ? hA = hB

hA = ho + vo t - 2g t2

hA = ho + vo t + 2g t2

Escolhendo a origem no solo e orientando a trajetória para cima, teremos:Pedra A: a = - g = -10 m/s2; vo = + 40 m/s; ho = 0 Pedra B: a = - g = -10 m/s2; vo = 0; ho = 80 m

Pedra B

hA = ho + vo t - 2

hA = 0 + 40 . t -2

10 . t2

hA = 40 t - 5 t2

hA = ho + vo t + 2

hA = 80 + 0 . t -2

10 . t2

hA = 80 - 5 t2

hA = hB

40 t - 5 t2 = 80 - 5 t2

40 t = 80

t = 2 s

b) hA = ? ou hB = ? num instante t = 2 s

hA = 40 t - 5 t2

hA = 40 . 2 - 5 .22

hA = 80 - 20

hA = 60 m

5. É possível observar, durante o desenrolar de partidas de vôlei, que alguns atletas conseguem uma impulsão que lhes permite atingir 1,25 m acima do solo. Sendo a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, calcule a velocidade inicial do centro de massa do atleta, em m/s.

Solução:

vo = ? v2 = vo + 2 g ∆∆∆∆S 2

02 = v + 2 . (-10) . 1,252

02 = vo + 2 . (-10) . 1,252

0 = vo - 20 . 1,252

0 = vo - 252

vo = 252

vo = ± 5

vo = 5 m/s

6. Um balão sobe verticalmente com velocidade constante de 20 m/s. Em um determinado instante, a 80 m do solo, uma pedra é abandonada do balão. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2.a) Até que instante, contado a partir do abandono, a pedra continua subindo?b) Qual é a altura máxima atingida pela pedra em relação ao solo?c) Em que instante ela chega ao solo, contado do abandono?abandono?

Solução:a) t = ?

v = vo + gt

0 = 20 + (-10) t

0 = 20 -10 t

10 t = 20

t = 2 s

b) Qual é a altura máxima atingida pela pedra em relação ao solo?

h = 80 + 40 - 20

h = ho + vo t - 2g t2

h = 80 + 20 . 2 -2

10 . 22

t = 2 sh = ? vo = 20 m/s ho = 80 m

h = 100 m

Comparando acelerações com a acelerações com a

da gravidade

O valor da aceleração da gravidade nas proximidades da superfície terrestre (g) é frequentemente usado na comparação entre acelerações. Por exemplo, diz-se

que os dragsters apresentam acelerações de aproximadamente 1,7g.

O piloto de corrida David Purley, numa colisão em Silverstone, Inglaterra, em 13 de julho de 1977, sobreviveu a uma desaceleração em que a velocidade de seu veículo variou de 173 km/h para num percurso de apenas 66 cm.

Ficou sujeito então a uma desaceleração de 179,8g.

Em aviação, ao efetuar manobras, o piloto pode sentir diferentes sensações: em algumas, como no loop, o sangue tende a se concentrar nos seus membros

inferiores. Nesse caso, diz-se o piloto sofre "g positivo", em outras situações, como no Ioop invertido, o sangue

tende a se concentrar na cabeça. Diz-se então que o piloto sofre "g negativo".

Um piloto de avião, em manobras arriscadas, pode suportar até 10g durante 3 s. Entretanto, sob essa

aceleração, o avião, dependendo de estrutura, poderá até perder as asas.

Uma pessoa sujeita a acelerações da ordem de 3g positivas, por algum tempo, terá grande dificuldade para

levantar os braços e as pernas. Se o aceleração estiver entre 4g e 5,5g estiver entre 4g e 5,5g

positivos, ela poderá perder completamente a visão, chegando o perder a

consciência se a condição perdurar por mais de 5 s.