Sejam as funções f e g, de R em R, definidas,respectivamente, por f(x) = 2 − x e g(x) = x2 − 1.Com relação à função g�f, definida por (g�f) (x) == g(f(x)), é verdade quea) a soma dos quadrados de suas raízes éigual a 16.b) o eixo de simetria de seu gráfico é y = 2.c) o seu valor mínimo é −1.d) o seu conjunto imagem está contido em[0, + ∞[.e) (g�f) (x) < 0 se, e somente se, 0 < x < 3.

alternativa C

Para todo x ∈R,g�f(x) = g(f(x)) g(2 x) (2 x) 12= − = − − == − +x 4x 32 ⇔ g�f(x) = (x 1)(x 3)− − .Logo g�f : R → R é uma função quadrática com

ponto de mínimo1 3

2; (2) (2; 1)

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −g f� .

Portanto a única alternativa correta é a C.

O polinômio px 1 x 11 0 12 x 12

=− +

−−

admite

a) três raízes reais.b) uma raiz de multiplicidade 2.c) nenhuma raiz real.d) uma única raiz real.e) uma raiz de multiplicidade 3.

alternativa D

Temos que p

x 1 x 1

1 0 1

2 x 12=

− +−

−=

= + −2x x 33 2 , que admite 1 como raiz. Logo pé divisível por x 1− e, utilizando Briot-Ruffini,

1 2 1 0 −3

2 3 3 0

ou seja, p (x 1) (2x 3x 3)2= − ⋅ + + .

Como 2x 3x 32 + + não admite raízes reais, pois∆ = − ⋅ ⋅ = −3 4 2 3 152 , p tem apenas 1 raizreal.

Sabe-se que, para todo n ∈N∗,

Sn 15n

2n 23n

2in

2 2= − + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅ é a expressão

da soma dos n primeiros termos de uma pro-gressão aritmética. Considerando que i é aunidade imaginária, a forma trigonométricado décimo termo dessa progressão é

a) 2 cos34

i sen34

⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π

b) 2 cos74

i sen74

⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π

c) 2 2 cos34

i sen34

⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π

d) 2 2 cos54

i sen54

⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π

e) 2 2 cos74

i sen74

⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π

alternativa E

S a a ... a a10 1 2 9 10= + + + + ⇔⇔ = + + + + ⇔S a a ... a a10 1 2 9 10( )

⇔ = + ⇔ = −S S a a S S10 9 10 10 10 9 ,

onde ai é o i-ésimo termo da PA e, assim, a10 =

= − ⋅ + − ⋅⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

10 15 102

10 23 102

i2 2

− − ⋅⎛

⎝⎜⎜ +9 15 9

2

2 9 23 92

2 − ⋅⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎞

⎠⎟⎟ ⇔i

⇔ = −a 2 210 i, cuja forma trigonométrica é:

2 2 cos74

i sen74

⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π

Questão 19

Questão 20

Questão 21

Se os pontos (1;4), (3;2) e (7;y) são vérticesconsecutivos de um retângulo, então a suaárea, em unidades de superfície, éa) 8 b) 8 2 c) 16 d) 16 2 e) 32

alternativa C

Supondo que A = (1; 4), B = (3; 2) e C = (7; y) sãotrês vértices consecutivos, nessa ordem, do retân-gulo ABCD. Como AB ⊥ BC, m m 1AB BC⋅ = − ⇔

⇔ 2 43 1

−−

⋅ y 27 3

−−

= −1 ⇔ y = 6. A área de ABCD

é, então, AB ⋅ BC = (3 1) (2 4)2 2− + − ⋅

⋅ − + − = ⋅ =(7 3) (6 2) 2 2 4 2 162 2 .

De dois observatórios, localizados em doispontos X e Y da superfície da Terra, é pos-sível enxergar um balão meteorológico B, sobângulos de 45o e 60o, conforme é mostrado nafigura abaixo.

Desprezando-se a curvatura da Terra, se30 km separam X e Y, a altura h, em quilô-metros, do balão à superfície da Terra, éa) 30 15 3−c) 60 30 3−e) 45 15 3+

b) 30 15 3+d) 45 15 3−

alternativa D

Seja BH a altura de medida h do triângulo BXY. Otriângulo retângulo BXH é isósceles com XH = h.

Logo, no triângulo retângulo BYH, tg60o = BHHY

⇔

⇔ 3 = h30 h−

⇔ h = (45 − 15 3 ) km.

Um cilindro circular reto tem volume igual a250 cm3π . Um plano, paralelo ao eixo desse

cilindro, à distância de x cm desse eixo, de-termina uma seção retangular de área iguala 60 cm2. Se a medida da altura do cilindro é

igual ao dobro da medida do raio da base, en-tão x é igual a

a) 92

b) 4 c) 2 3 d) 134

e) 10

alternativa B

Sendo r a medida do raio da base do cilindro,π πr (2r) 250 r 52 ⋅ = ⇔ = cm e, portanto, a altu-ra do retângulo, que é igual à altura do cilindro, é2 5 10 cm⋅ = .

Assim, a base do retângulo mede6010

6cm= .

Sejam AB uma das bases do retângulo, O o cen-

tro da base do cilindro que contém AB e M oponto médio de AB. Então OMA é um triângulo

retângulo e x OM= = − =5 3 4cm2 2 .

matemática 2

Questão 22

Questão 23

Questão 24