PUC-RIO – CB-CTC

G1 DE MECÂNICA NEWTONIANA B – 26.03.2012

Nome :_____________________________________________________________ Assinatura: _________________________________________________________ Matrícula:_____________________________________Turma:_______________

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS E CÁLCULOS EXPLÍCITOS.

Não é permitido destacar folhas deste caderno de respostas.

A prova só poderá ser feita a lápis, caneta azul ou preta.

É permitido o uso de calculadoras científicas simples. Não é permitido o uso de calculadoras gráficas ou celulares.

Constantes físicas : g = 9.80 m/s2

Questão Valor Grau Revisão 1a Questão 3,5 2a Questão 3,5 3a Questão 3,0 Total 10,0

1a Questão: (3,5) O comandante da nave espacial USS Enterprise (nave A), Jean-Luc Picard, observa, na tela de seu computador de bordo, um objeto não identificado (O) em movimento. O aparelho, capaz de fornecer uma previsão da função horária do vetor posição do objeto, acusa o seguinte resultado:

!!,! ! = 12,0×10! − 1,5×10!! − 8,0×10!!!    !                                                                          + 1,0×10! − 6,0×10!!!  !        [!", ℎ]

a) [1,0] Calcule os vetores velocidade e aceleração do objeto previstos pelo computador

de bordo da nave USS Enterprise.

O comandante de uma outra espaçonave da federação (nave B) observa o mesmo objeto, e seu computador de bordo acusa a seguinte função horária do vetor posição

!!,! ! = −8,0×10! − 8,0×10!!!    !+ 6,0×10! − 1,5×10!! − 6,0×10!!!  !    [!", ℎ]

b) [1,5] Calcule as funções horárias dos vetores posição, velocidade e aceleração desta

segunda nave (B) medidas pelo computador de bordo da Enterprise (A), respectivamente !!,!(!), !!,!(!), !!,!(!).

c) [1,0] Suponha que, do interior de sua nave, Jean-Luc não observa nenhuma “força misteriosa” atuando sobre a Enterprise (além daquela criada para simular o campo gravitacional da Terra, que não possui nenhuma relação com o movimento da nave em si). Comparando os resultados dos itens acima, explique, baseando-se nas leis de Newton, se é possível afirmar que a nave B se movimenta enquanto a nave A permanece em repouso ou se, ao contrário, a nave A se movimenta enquanto a B se mantém em repouso. Justifique cuidadosamente.

2a Questão: (3,5) Um bloco de massa m1 se encontra em uma mesa horizontal, sendo µ1 o coeficiente de atrito estático entre suas superfícies. Sobre o bloco 1, está o bloco de massa m2, mantido em posição fixa por um fio ideal (fio 2); µ2 é o coeficiente de atrito estático entre as superfícies dos blocos 1 e 2. Um terceiro bloco, de massa m3, está localizado em um plano inclinado de um ângulo θ com a horizontal, estando ligado ao bloco 1 pelo fio 1 (ideal) e através de uma polia (também ideal), conforme mostra a figura. Não há atrito entre o bloco 3 e o plano inclinado. Observa-se que o conjunto, nestas condições, se mantém em repouso.  

 a) [1,0] Represente os diagramas do corpo livre para os três blocos, explicitando todas as

forças que atuam neles. b) [1,0] Escreva as equações resultantes das 2a e 3a Leis de Newton para os três corpos.

(Escolha sistemas de coordenadas adequados para cada corpo, explicitando-os em seu desenvolvimento).

c) [0,5] Encontre a relação que há entre o módulo da tensão no fio 2 e o módulo da força de atrito entre o bloco 1 e a mesa, em termos dos dados fornecidos.

d) [1,0] Qual é o valor mínimo que m3 deveria ter para colocar o sistema em movimento?  

3a Questão: (3.0) Um automóvel descreve uma curva com inclinação θ = 60o (veja figura). O coeficiente de atrito estático é µe = 0,25 e o raio da trajetória circular é R = 190 m. Nestas condições, o automóvel pode se manter na curva sempre que sua velocidade escalar esteja dentro de certos valores mínimo e máximo, como deve ser discutido abaixo.

(b) vista lateral da curva

Considere a situação em que o carro descreve a curva com a máxima velocidade possível sem deslizar.

a) [1,0] Usando o esquema da vista lateral mostrado na Fig.(b) acima, represente o diagrama de corpo livre do automóvel, explicitando todas forças que agem sobre ele nesta condição. Estabeleça um sistema de coordenadas (indique-o claramente na resposta) e escreva as equações de Newton que descrevem o movimento.

Suponha agora que o carro esteja descrevendo a curva com a velocidade mínima possível sem deslizar.

b) [1,0] Novamente faça o diagrama de corpo livre para indicar todas forças que agem no carro nesta condição e escreva as equações de Newton para seu movimento.

c) [1,0] Determine o valor desta velocidade mínima, com a qual o carro pode fazer a curva sem deslizar.

carro

GABARITO – G1 FIS1026 – 2012.1 1a Questão: a) Derivando a equação para a posição em relação ao tempo, obtem-se a velocidade e derivando novamente obtem-se a aceleração:

( ) ( ) [ ]

[ ]hkmjitvdtdta

hkmjtittrdtdtv

AOAO

AOAO

,102,1106,1)()(

,102,1106,1105,1)()(

44,,

444,,

×−×−==

×−+×−×−==

b) Relacionamos os referenciais das duas naves da seguinte maneira:

Pela soma vetorial temos, então,

BOAOABBOABAO rrrrrr ,,,,,,

−=⇒+=

!rB,A = 12,0!102 "1,5!104 t "8,0!103t2( )

!i + 1,0!103 " 6,0!103t2( )

!j

" "8,0!102 "8,0!103t2( )!i " 6,0!103 "1,5!104 t " 6,0!103t2( )

!j [km,h]

( ) ( ) ],[105,1100,4105,1100,2 4343, hkmjtitr AB

×+×+×−×= .

Para encontrarmos a velocidade da nave B relativa à nave A, basta derivarmos o vetor posição

de B em reação a A: !vB,A =ddt!rB,A = !1,5"10

4!i +1,5"104

!i [km,h] . Para calcularmos a

aceleração da nave B relativa à nave A, basta derivarmos o vetor velocidade de B em relação

a A: jivdtda ABAB

0,00,0,, +== . Percebemos, assim, que se A se encontra em um

referencial inercial, B também se encontra em um referencial inercial.

c) Como não há nenhuma “força misteriosa“, podemos deduzir que Jean-Luc está em um referencial inercial. A aceleração da segunda nave em relação à de Jean-Luc é nula. Portanto, ou ela está em movimento retilíneo uniforme em relação à primeira nave, ou está em repouso, i.e., também em um referencial inercial. A primeira lei de Newton afirma que, na ausência de forças, todos os corpos permanecem em repouso ou em movimento retilíneo uniforme sendo, portanto, impossível discernir fisicamente entre esses referenciais. Assim, não é possível distinguir se uma nave está parada em relação à outra ou vice-versa, uma vez que todos os referenciais inerciais são fisicamente equivalentes ao referencial em repouso.

A

B

O

2a  Questão    

a)    

 

 

 

 

 

 

b)  Os  eixos  coordenados  estão  explicitados  no  item  (a).  

Para  o  corpo  1:  

ΣFx1  =  T1  –  fat1  –  fat2  =  m1.  ax1  =  0   (1)  

ΣFy1  =  Fn1  –  P1  –  F12  =  m1.  ay1  =  0   (2)  

Para  o  corpo  2:  

ΣFx2  =  fat2  –  T2  =  m2.  ax2  =  0     (3)  

ΣFy2  =  F12  –  P2  =  m2.  ay2  =  0     (4)  

Para  o  corpo  3:  

ΣFx3  =  P3x  –  T’1  =  m3.  ax3  =  0     (5)    

ΣFy1  =  Fn3  –  P3y  =  m3.  ay3  =  0     (6)  

c)    

Utilizando  a  equação  (3),  obtemos:  

T2  =  fat2       →    T2  =  µ2.m2.g    

Substituindo  o  resulta  acima  na  equação  (1),  obtemos:  (e  usando  T1  =  T’1  )  

T1  –  fat1  –  fat2  =  0   →  T1  =  fat1  +  fat2     →  T1  =  fat1  +  T2     →  fat1  =  T1  -­‐  T2  

Ou,  utilizando  ainda  a  equação  (5):  

P3.senθ – T1 = 0 → T1 = P3.senθ = m3.g.senθ

Obtemos: fat1 = m3.g.senθ - µ2.m2.g

d) A partir das equações (2) e (4), a forças normais que atuam nos blocos 1 e 2 serão:

Fn1  =  P1  +F12  =  P1  +  P2  =  (m1  +  m2).g  

Fn2  =  F12  =  P2  =  m2.g  

Na iminência do movimento do movimento, a força de atrito é máxima e ainda ax1 = ax3 = 0.

Então:

fat1  =  µ1.Fn1     →  fat1  =  µ1.(m1  +  m2).g  

,

fat2  =  µ2.Fn2     →  fat2  =  µ2.Fn2  =  µ2.m2.g  

 

A  partir  das  equações  (1)  e  (5),  obtemos  o  menor  valor  de  m3  para  iniciar  o  movimento  do  

sistema:  

T1  –  fat1  –  fat2  =  0  

P3.senθ  –  T1  =  0     +  

P3.senθ  –  fat1  –  fat2  =  0    

→  m3.g.senθ  =  fat1  +  fat2    

→  m3.g.senθ  =  µ1.(m1  +  m2).g  +  µ2.m2.g    (÷g)  

→ m3.senθ = µ1.(m1 + m2) + µ2.m2

→ m3 = [µ1.(m1 + m2) + µ2.m2].cossecθ

3a Questão: a) eixo x

Nsen! + fat cos! =mv2

rfat = µeN

eixo yN cos! ! fatsen! !mg = 0

b) eixo x

Nsen! ! fat cos! =mv2

r(1) fat = µeN (3)

eixo yN cos! + fatsen! !mg = 0 (2)

c) substituindo (3) em (2) determina-se N

)4()(cos θµθ sen

mgNe+

=

Substituindo (4) em (1) determina-se v

[ ] [ ])5,0)(25,0()87,0()87,0)(25,0(5,0

)190)(8,9(cos)(cos

−+

=−+

= θµθθµθ e

e

sensen

grv

v = 44 m/s

mg

fat

N y

x

mg

fat N

y

x