A figura representa, em um sistema ortogo-nal de coordenadas, duas retas, r e s, simétri-cas em relação ao eixo Oy, uma circunferên-cia com centro na origem do sistema, e ospontos A = (1, 2), B, C, D, E e F, correspon-dentes às interseções das retas e do eixo Oxcom a circunferência.

Nestas condições, determinea) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e Fe a área do hexágono ABCDEF.b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.

Resposta

a) Como as retas r e s são simétricas em relaçãoao eixo Oy, xB = −xA = −1 e yB = y A = 2, ou seja,B = (−1; 2).Os segmentos OA, OB, OC, OD, OE e OF têm to-dos comprimento igual ao raio da circunferência

dado por OA = 1 2 52 2+ = . Assim xF = OF == 5 e yF = 0, xC = −OC = − 5 e yC = 0, ou seja,

F = ( 5 ; 0) e C = (− 5 ; 0).Ainda, E é o simétrico de B em relação à origeme D é o simétrico de A em relação à origem.AssimxE = −xB = 1, yE = −yB = −2, xD = −xA = −1,yD = −y A = −2, ou seja, E = (1; −2) e D = (−1; −2).Como os trapézios CBAF e CDEF são congruen-tes, a área do hexágono ABCDEF é o dobro daárea do trapézio CBAF, ou seja, é igual a

2(CF AB) y

2A⋅

+ ⋅= (2 5 2+ ) ⋅ 2 =4 5 4+ .

b) No triângulo OAB, pela lei dos co-senos AB 2 ==OA2 +OB 2 − 2 ⋅OA ⋅OB ⋅ cos(AÔB) ⇔

⇔ cos(AÔB) = ( 5 ) ( 5 ) 22 5 5

2 2 2+ −⋅ ⋅

= 35

.

A área da região hachurada na figura A valelog10 t, para t > 1.

a) Encontre o valor de t para que a área seja 2.b) Demonstre que a soma das áreas das re-giões hachuradas na figura B (onde t = a) ena figura C (onde t = b) é igual à área da re-gião hachurada na figura D (onde t = ab).

Resposta

a) A área é igual a 2 se, e somente se,log t 210 = ⇔ t = 100.b) As áreas das regiões hachuradas nas figurasB, C e D são log10 a, log10 b e log10 ab, respecti-vamente. Como log10 ab = log10 a + log10 b paratodos a, b reais positivos, a soma das áreas dasregiões hachuradas nas figuras B e C é igual àárea da região hachurada na figura D.

Um recipiente, contendo água, tem a forma deum cilindro circular reto de altura h = 50 cm eraio r = 15 cm. Este recipiente contém 1 litrode água a menos que sua capacidade total.

Questão 20 Questão 21

Questão 22

a) Calcule o volume de água contido no cilin-dro (use π = 3,14).b) Qual deve ser o raio R de uma esfera deferro que, introduzida no cilindro e totalmen-te submersa, faça transbordarem exatamente2 litros de água?

Resposta

a) O volume total do recipiente é igual a π ⋅15 2 ⋅ 50 == 11 250 π cm3 . O volume de água contido no cilin-dro é igual a (11 250 π − 1 000) cm3 , ou seja, ado-tando a aproximação π ≅ 3,14, esse volume éigual a 34,325 litros.b) Como o recipiente contém 1 litro de água amenos que sua capacidade, para que transbor-dem 2 litros de água, o volume da esfera deve

ser de 3 litros. Assim,43

π R3 = 3 000 cm3 ⇔

⇔ R = 3 3 0004

3⋅⋅ π

= 109

43

πcm ≅ 8,95 cm.

Um jovem e uma jovem iniciam sua caminha-da diária, em uma pista circular, partindo si-multaneamente de um ponto P dessa pista,percorrendo-a em sentidos opostos.a) Sabendo-se que ela completa uma volta em18 minutos e ele em 12 minutos, quantas ve-zes o casal se encontra no ponto P, após apartida, numa caminhada de duas horas?b) Esboce o gráfico da função f(x) que repre-senta o número de encontros do casal no pon-to P, após a partida, numa caminhada deduas horas, com ele mantendo a velocidadecorrespondente a 12 minutos por volta e elade x minutos por volta. Assuma que x é umnúmero natural e varia no intervalo [18, 25].

Resposta

O jovem passa pelo ponto P a cada 12 minutos ea jovem, a cada x minutos, x inteiro positivo. Umencontro no ponto P ocorre t minutos após o iní-

cio da caminhada se, e somente se, t é múltiplode 12 e de x, ou seja, t é múltiplo de mmc (12, x).Portanto o número de encontros f(x) do casal noponto P durante uma caminhada de 2 h = 120 miné o quociente da divisão euclidiana de 120 pormmc (12, x).a) Para x = 18, mmc (12, x) = mmc (12, 18) = 36.Como 120 = 3 ⋅ 36 + 12, após a partida, o casal seencontra no ponto P três vezes durante a cami-nhada de 2 horas.b) Considerando 18 ≤ x ≤ 25, se 12 e x são primosentre si, mmc (12, x) = 12x > 120. Conseqüente-mente f(19) = f(23) = f(25) = 0.Como mmc (12, 20) = 60, mmc (12, 21) = 84,mmc (12, 22) = 132 e mmc (12, 24) = 24, temosf(20) = 2, f(21) = 1, f(22) = 0 e f(24) = 5. Podemos,assim, construir o gráfico

Com base na figura, que representa o círculotrigonométrico e os eixos da tangente e dacotangente,

a) calcule a área do triângulo ABC, para

α π=3

.

b) determine a área do triângulo ABC, em

função de α, π α π4 2

< < .

Resposta

Suporemos que α é o ângulo formado pela reta

AC e pelo eixo das abscissas eπ α π4 2

< < .

matemática 2

Questão 23

Questão 24

Sendo P (1; 0)= , temos PC tg= α. Comoπ α π α4 2

1< < ⇒ >tg , BC tg= −α 1.

Como o eixo das co-tangentes é paralelo ao eixodas abscissas, m(BAC)� = α. Sendo o triângulo

ABC retângulo em B, temos tgBCAB

α = ⇔

⇔ = −AB

tgtgαα

1. Portanto a área do triângulo

ABC é12

AB BC12

1(tg 1)⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ − =tg

tgαα

α

= −( 1)2

2tgtg

αα

= tg 2 tg 12 tg

2α αα

− + =

=

sen

cos1

2sencos

2

2αα

αα

+

⋅− 1 = sen cos

2 sen cos1

2 2α αα α+ − =

= 1sen 2

1α

− .

Para α π=3

, a área é igual a1

s23

enπ − =1

= −2 33

1.

Respostas: a)2 3

31− b)

1sen 2α

− 1

Um determinado produto é vendido em emba-lagens fechadas de 30 g e 50 g. Na embalagemde 30 g, o produto é comercializado a R$ 10,00e na embalagem de 50 g, a R$ 15,00.

a) Gastando R$ 100,00, qual é a quantidadede cada tipo de embalagem para uma pessoaadquirir precisamente 310 g desse produto?b) Qual é a quantidade máxima, em gramas,que uma pessoa pode adquirir com R$ 100,00?

Resposta

a) Sejam x a quantidade de embalagens de 30 ge y a quantidade de embalagens de 50 g. Nascondições do problema:10x 15y 100

30x 50y 310

+ =+ =

⇔x 7

y 2

==

Logo a pessoa deve comprar 7 embalagens de30 g e 2 embalagens de 50 g.b) Sendo x a quantidade de embalagens de 30 ge y a quantidade de embalagens de 50 g, quere-mos que 30x 50y+ seja o maior possível, onde opar (x; y) ∈N 2 satisfaz10x 15y 100+ ≤ .Como, para y fixado, devemos tomar o maior xpossível, podemos montar a seguinte tabela:

y maior x possível 30x 50y+

0123456

10875421

300290310300320310330

Logo a quantidade máxima é 330 g.

matemática 3

Questão 25