Questões Não Parametricos

8/18/2019 Questões Não Parametricos

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INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

Estatística

Ano Lectivo 2007/2008 Ficha n.º4

1. Uma máquina de lavar roupa é vendida em 5 cores:

Verde (A1), Castanho (A2), Encarnado (A3), Azul (A4) e Branco (A5)

Num estudo de mercado para apreciar a popularidade das várias cores analisou-se uma

amostra aleatória de 300 vendas recentes com o seguinte resultado:

Cor A1 A2 A3 A4 A5 TotalFrequências observadas 88 65 52 40 55 300

Será de admitir que os consumidores não manifestam preferência por qualquer uma das cores?(Use α=0.05)

2. A procura diária de um certo produto F foi, em 60 dias escolhidos ao acaso, a seguinte:

N.º de unidadesprocuradas

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

N.º de dias 2 4 8 13 14 9 5 3 1 1

Será de admitir que tal procura segue uma distribuição de Poisson? (Use α=0.05)

3. Da produção de uma fábrica, seleccionaram-se 20 peças aleatoriamente e registou-se o

comprimento de cada uma delas:

10.928 10.274 14.91 9.354 9.864

11.812 8.974 8.95 11.19 11.762

9.036 13.356 9.886 7.542 9.028

6.426 9.478 12.474 12.092 8.984

Serão os dados compatíveis com a hipótese de que se trata de uma amostra de uma população

com distribuição N(10,22)? (Use α=0.1)

i) Utilize o teste de ajustamento do Qui-quadrado;

ii) Utilize o teste Kolmogorov-Smirnov.


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4. Numa Baía da Florida efectuaram-se 48 medições dos níveis de salinidade. Os valores

obtidos aleatoriamente foram os seguintes:

46 53 58 60 60 49 59 48 46 78

37 58 46 46 47 48 42 50 63 4862 49 47 36 40 39 61 43 53 4259 60 52 34 40 36 67 44 4040 56 51 51 35 47 53 49 50

Pesquise a hipótese dos valores da salinidade nessa Baía serem normalmente distribuídos,

recorrendo aos seguintes testes:

a) Teste de ajustamento do Qui-quadrado; (Use α=0.1)

b) Teste de normalidade de Lilliefors. (Use α=0.01)

5. Nas corridas de cavalos é ponto de vista comum entre os apostadores que, numa pista

circular, as chances são mais favoráveis a cavalos em determinadas posições (postos). O posto

de um cavalo é a posição que lhe é atribuída na linha de partida. O posto 1 é o mais próximo

do lado interno da pista e o posto 8 o mais afastado (numa corrida com 8 cavalos).Registaram-

se as vitórias em 144 corridas escolhidas aleatoriamente, tendo-se obtido os seguintes

resultados:

Posto 1 2 3 4 5 6 7 8 Total N.º de vitórias 29 19 18 25 17 10 15 11 144

Usando um teste de hipótese apropriado diga se será de aceitar o ponto de vista dos

apostadores? (Use α=0.01)

6. Uma pesquisa feita junto de 320 famílias, cada uma com cinco filhos, levou à distribuição

abaixo representada. Tais resultados estão de acordo com a hipótese de igualdade de

probabilidade de nascimento para ambos os sexos, ao nível de significância de 0.05? N.º de meninos 5 4 3 2 1 0 N.º de famílias 18 56 110 88 40 8

7. Realize um teste de ajustamento para verificar se a distribuição das alturas de 100

estudantes do sexo feminino, segue distribuição normal.(Use α=0.05)

Alturas 150-162 162-168 168-174 174-186 N.º de estudantes 16 22 40 22


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8. Como resultado da verificação da qualidade de 200 caixas de latas de conserva, obteve-se a

seguinte distribuição empírica (na 1ª linha indica-se o n.º de latas em más condições, em cada

caixa, e na segunda o n.º de caixas que continha aquele n.º de latas):

xi 0 1 2 3 4ni 132 43 20 3 2

Verifique a hipótese de que a v. a., X, o n.º de latas em más condições por caixa, está

distribuída segundo uma lei Poisson, para o nível de significância de 0.05.

9. Num determinado teste de inteligência, supõe-se que a pontuação obtida segue uma

distribuição normal com média µ=100 e variância σ2=225. Para uma amostra aleatória de

1000 pessoas que fizeram o teste, foram obtidas as seguintes pontuações:

Pontuações [0,50[ [50,70[ [70,85[ [85,100[ [100,115[ [115,130[ [130,150[ [150,+∞[ N.º de pessoas 6 28 114 360 344 120 20 8

Com base nestes dados teste a distribuição proposta ao nível se significância de 0.05.

10. Ao longo de 423 dias, registaram-se as chamadas telefónicas recebidas numa central e

encontrou-se para o n.º de chamadas as seguintes frequências:

N.º de chamadas telefónicas 0 1 2 3 4 5 6 7

N.º de dias 169 134 74 32 11 2 0 1

Ajuste as frequências observadas a uma distribuição de Poisson.

11. Uma máquina embala pacotes de esparguete e foi recentemente calibrada de forma a que o

peso de um pacote de esparguete fosse normalmente distribuído com média 500 gr e desvio

padrão 5.1 gr. Recolheu-se uma amostra aleatória de 10 pacotes de esparguete embalados pela

máquina e obtiveram-se os seguintes resultados:

507 490 497 510 501.5 499 502.5 507 510 510.5

a) Determine a função de distribuição empírica e represente-a graficamente.

b) Perante a amostra obtida será possível afirmar que as normas estão a ser respeitadas? (Use

α=0.01)

c) Para outra máquina usada para o mesmo efeito foi recolhida uma amostra aleatória de 9

pacotes de esparguete, a qual revelou os seguintes resultados:

492 495 497 497 500 502.5 508 509 509

Será de admitir que as duas máquinas estão a funcionar de modo idêntico? (Use α=0.05)


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12. Suponha que a seguinte amostra aleatória foi retirada de uma população com função de

distribuição F desconhecida:

-5.641 4.297 -4.861 -7.78 7.58 12.232 10.78 -0.201 -10.813 -5.593

a) Teste a nível de significância de 0.05 a hipótese de F ser normal com alguma média e

alguma variância.

b) Considere a seguinte amostra recolhida de forma aleatória de outra população com

distribuição F' desconhecida

-9.44 -6.64 -0.93 3.28 6.49 10.71

Teste a hipótese de as duas populações de onde foram retiradas as amostras anteriores

terem iguais distribuições. (α=0.01)

13. Para o nível de significância de 0.05 verifique se a hipótese da distribuição Normal da v.a.

X é concordante com a distribuição empírica da amostra:

xi 5 7 9 11 13 15 17 19 21ni 15 26 25 30 26 21 24 20 13

14. Registaram-se as alturas de 80 árvores da mesma categoria, escolhidas aleatoriamente,

obtendo-se os seguintes resultados:Altura (em mts) 20 22 23 26 29 30 31 33 34 N.º de árvores 2 3 9 12 27 16 7 2 2

a) Construa a função de distribuição empírica da amostra estandardizada.

b) Ao nível de significância de α=0.01 indique se será possível afirmar que as árvores

provêm de uma população normalmente distribuída.

c) Seleccionaram-se aleatoriamente 70 árvores da mesma categoria noutra região do país.

As alturas destas árvores estão registadas seguidamente. Pode-se admitir que a

distribuição da altura das árvores desta categoria é igual nas duas regiões? (Use α=0.01)

Altrura 23 24 26 28 30 31 32 33 34 36 38

Nº de árvores 1 2 3 6 15 20 13 4 3 2 1

15. Num estudo comparativo da eficiência de empresas agrícolas, considerou-se uma amostra

de 69 explorações que foram classificadas segundo dois atributos:

A={explorações de cabeça, explorações intermédias, explorações de cauda}

B={explorações vitícolas, explorações frutícolas}


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Os dados estão apresentados na seguinte tabela:

Vitícolas Frutícolas

Cabeça 6 8Intermédia 10 9Cauda 14 22

a) Será de admitir que o atributo A está relacionado com o atributo B? (Use α=0.01)

b) Use as medidas que conhece para medir a intensidade da associação entre os dois atributos

e relacione os valores obtidos com a resposta dada na alínea anterior.

16. O quadro apresenta uma tabela 3×3 construída a partir dos 86441 casamentos realizados

em 1977 no continente português, considerando a classificação dos cônjuges, de ambos os

sexos, segundo o estados civil anterior ao casamento.Homens

Mulheres Solteiros Viúvos DivorciadosSolteiras 77670 1573 3115Viúvas 545 796 350

Divorciadas 1343 416 633

a) Na nível de significância de 0.05 será de admitir que havia naquele período uma intensa

associação entre o estado civil dos cônjuges no que se refere aos casamentos realizados no

continente português.

b) Use os coeficientes de contingência, Tschuprow e Cramér para medir a intensidade de

associação entre os dois atributos.

17. Com o objectivo de verificar se o tipo de revestimento florestal tem influência sobre a

severidade da erosão em certa região, fizeram-se observações em 350 pontos, com os

resultados que se condensam na tabela seguinte.

Revestimento Florestal

Erosão VegetaçãoHerbácea VegetaçãoArbustiva Floresta

Severa 30 10 10Moderada 50 30 20

Fraca 50 60 40Desprezável 10 20 20

a) Parece-lhe que os dados obtidos permitem extrair alguma conclusão relativamente ao

objectivo acima indicado? (Use α=0.01)

b) Use as medidas que conhece para medir a intensidade de associação entre o tipo de erosão

e o revestimento florestal.


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18. Registam-se os dados do rendimento de 400 famílias do Norte e Sul de um país.

Rendimento

Região 0-5 5-10 10-15 >15

Norte 28 42 30 24Sul 44 78 78 76

a) Será que o rendimento familiar depende da região do país? (Use α=0.025)

b) Use os coeficientes de contingência, Tschuprow e Cramér para medir a intensidade de

associação entre rendimento familiar e a região do país.

19. A tabela a seguir exibe os resultados obtidos por estudantes de Estatística e Cálculo.

Estatística

Cálculo 0≤notas


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22. Com o objectivo de investigar sobre a educação das pessoas ao nível de Reciclagem, fez-

se aleatoriamente um inquérito anónimo em quatro cidades A, B, C e D. O número de pessoas

que responderam “Sim” ou “Não” à pergunta “ Separa o Lixo?” está indicado na tabela a

baixo.

Cidade A Cidade B Cidade C Cidade D

Sim 40 30 20 10Não 50 60 60 70

Teste ao nível de significância de 0.01, se os atributos Sim e Não estão homogeneamente

distribuídos pelas cidades.

23. Uma empresa tem dois vendedores e registou, para cada um, o total de visitas a clientes eo número de visitas bem sucedidas.

Classificação Vendedor I Vendedor II Totais

Visitas bem sucedidas

Visitas mal sucedidas

20

300

80

600

100

900

Totais 320 680 1000

Averigúe ao nível de significância de 0.01 se os dois vendedores são igualmente hábeis.

24. Os resultados de vacinação contra a cólera num conjunto de 279 indivíduos escolhidos

aleatoriamente entre vacinados , e num conjunto de 539 indivíduos escolhidos aleatoriamente

entre os não vacinados:

Vacinados Não Vacinados

Atacados 3 66Não Atacados 276 473

Usando um teste adequado, verifique se a população dos vacinados difere da dos nãovacinados no que se refere ao facto de terem ou não sido atacados.

25. Sobre uma população U sabe-se que a distribuição por grupos sanguíneos é a seguinte:

A – 41% B – 9% AB – 4% O – 46%

Numa amostra aleatória de 200 indivíduos sofrendo de cancro de estômago encontraram-se os

seguintes dados:


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A – 80 indivíduosB – 20 indivíduosAB – 9 indivíduosO – 91 indivíduos

É de admitir que a distribuição por grupos sanguíneos é diferente na subpopulação sofrendo

de cancro do estômago?(α=0.01)

26. Considere a seguinte amostra aleatória de 8 observações:

X 35.1 35.5 35.9 35.9 36.0 36.1 36.1 36.3

a) Construa a função de distribuição empírica. b) Será razoável supor que a população de onde foi retirada esta amostra é normalmente

distribuída com média 35.9 e variância 1, em relação à variável observada? Para responder a

esta pergunta utilize o teste que lhe pareça mais adequado e justifique a sua escolha. (α=0.05)

27. Para uma amostra aleatória de estudantes de Gestão de uma determinada escola registou-

se o ano curricular do aluno e a sua opinião relativamente a uma mudança na estrutura

curricular do curso:Opinião

Ano curricular Favor Contra1º ano 120 802º ano 70 1303º ano 60 704º ano 40 60

Será de admitir que a opinião emitida está associada ao ano curricular? Justifiqueconvenientemente a sua resposta.


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Soluções da ficha de trabalho nº 4

1. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Qobs=21.63>9.49, logo rejeita-se H0.

2. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Qobs=1.4790.1153, logo rejeita-se H0.

c) Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras: d'=0.4911>0.26677, logo rejeita-se H0.

15. a) Teste do Qui-quadrado da independência: 2obsχ =0.95859.49, logo rejeita-se H0.

b) C=0.4; T=0.309; V=0.309

17. a) Teste do Qui-quadrado da independência: 2obsχ =25.504>16.8, logo rejeita-se H0.

b) C=0.261; T=0.172; V=0.191


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18. a) Teste do Qui-quadrado da independência: 2obsχ =5.8111.1, logo rejeita-se H0.

b) C=0.452; T=0.358; V=0.358

20. Teste do Qui-quadrado de homogeneidade: 2obsχ =10.74>7.78, logo rejeita-se H0.

21. Teste do Qui-quadrado de homogeneidade: 2obsχ =0.55511.3, logo rejeita-se H0.



25. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Qobs=0.4

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