Prof. Dirceu Rocha de Almeida

RACIOCNIO LGICO Probabilidades

1 - Introduo

Chama-se experimento aleatrio quele cujo resultado imprevisvel, porm pertence necessariamente a um conjunto de resultados possveis denominado espao amostral.

Qualquer subconjunto desse espao amostral denominado evento.

Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.

Por exemplo, no lanamento de um dado, o nosso espao amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Exemplos de eventos no espao amostral U:

A: sair nmero maior do que 4: A = {5, 6}

B: sair um nmero primo e par: B = {2}

C: sair um nmero mpar: C = {1, 3, 5}

Nota: O espao amostral tambm denominado espao de prova.

PROBABILIDADES

Seja U um espao amostral finito e equiprovvel e A um determinado evento ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrncia do evento A ser calculada pela frmula

p(A) = n(A) / n(U)

onde:

n(A) = nmero de elementos de A e n(U) = nmero de elementos do espao de prova U.

Vamos utilizar a frmula simples acima, para resolver os seguintes exerccios introdutrios:

2 Conceito elementar de Probabilidade

1) Considere o lanamento de um dado. Calcule a

probabilidade de:

a) sair o nmero 3:

Exemplos:

Soluo: Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

[n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1].

Portanto, a probabilidade procurada ser igual a

p(A) = 1/6.

b) sair um nmero par:

agora o evento A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a

probabilidade procurada ser p(A) = 3/6 = 1/2.

c) sair um mltiplo de 3:

agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a

probabilidade procurada ser p(A) = 2/6 = 1/3.

d) sair um nmero menor do que 3:

agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto,

p(A) = 2/6 = 1/3.

e) sair um quadrado perfeito:

agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto,

p(A) = 2/6 = 1/3

a) sair a soma 8

b) sair a soma 12

2) Considere o lanamento de dois dados. Calcule a

probabilidade de:

Soluo:

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

DADO 1

D

A

D

O

2

A) P(A) = 5/36

B) P(B) = 1/36

3) Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e

4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposio,

calcule as probabilidades seguintes:

a) sair bola azul

b) b) sair bola vermelha

c) sair bola amarela

Soluo:

a) sair bola azul

p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%

b) sair bola vermelha

p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%

c) sair bola amarela

p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%

3 Propriedades

P1: A probabilidade do evento impossvel nula.

Com efeito, sendo o evento impossvel o conjunto vazio (), teremos:

p() = n()/n(U) = 0/n(U) = 0

Por exemplo, se numa urna s existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde

(evento impossvel, neste caso) nula.

P2: A probabilidade do evento certo igual a unidade.

Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1

Por exemplo, se numa urna s existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola

vermelha (evento certo, neste caso) igual a 1.

P3: A probabilidade de um evento qualquer um nmero real situado no intervalo real [0, 1].

P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar igual a unidade.

Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A'= U.

n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).

Dividindo ambos os membros por n(U), vem:

n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:

p(A) + p(A') = 1

Nota: esta propriedade simples, muito importante pois facilita a soluo de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, mais fcil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fcil determinar a probabilidade do evento.

P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:

p(A U B) = p(A) + p(B) p(A B)

Observe que se A B= (ou seja, a interseo entre os conjuntos A e B o conjunto vazio), ento

p(A U B) = p(A) + p(B).

Com efeito, j sabemos da Teoria dos Conjuntos que

n(A U B) = n(A) + n(B) n(A B)

Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definio de probabilidade, conclumos rapidamente a veracidade da frmula acima.

1) Em uma certa comunidade existem dois jornais J e

P. Sabe-se que 5000 pessoas so assinantes do

jornal J, 4000 so assinantes de P, 1200 so

assinantes de ambos e 800 no lem jornal. Qual a

probabilidade de que uma pessoa escolhida ao

acaso seja assinante de ambos os jornais?

Exemplo:

Soluo

Precisamos calcular o nmero de pessoas do conjunto universo, ou seja,

nosso espao amostral. Teremos:

n(U) = N(J U P) + N. de pessoas que no lem jornais.

n(U) = n(J) + N(P) N(J P) + 800

n(U) = 5000 + 4000 1200 + 800

n(U) = 8600

Portanto, a probabilidade procurada ser igual a:

p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43. Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

A interpretao do resultado a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma

pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de

ambos os jornais de aproximadamente 14%.(contra 86% de

probabilidade de no ser).

4 Probabilidade condicional

Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrncia de um evento A, sabendo-se de antemo que ocorreu um certo evento B. Pela definio de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A dever ser calculada, dividindo-se o nmero de elementos de elementos de A que tambm pertencem a B, pelo nmero de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que j ocorreu B, denominada Probabilidade condicional e indicada por

p(A/B) probabilidade de ocorrer A sabendo-se que j ocorreu B da, o nome de probabilidade condicional.

Teremos ento:

p(A/B) = n(A B)/ n(B) onde A B = interseo dos conjuntos A e B. Esta frmula importante, mas pode ser melhorada.

Vejamos:

Ora, a expresso acima, pode ser escrita sem nenhum prejuzo da elegncia, nem do rigor, como:

p(A/B) = [n(A B)/n(U)] . [n(U)/n(B)] p(A/B) = p(A B) . 1/p(B) Vem, ento: P(A/B) = p(A B)/p(B), de onde

conclumos finalmente:

p(A B) = p(A/B).p(B)

p(A B) = p(A/B).p(B)

Esta frmula denominada Lei das Probabilidades Compostas.

Esta importante frmula, permite calcular a probabilidade da

ocorrncia simultnea dos eventos A e B, sabendo-se que j ocorreu o

evento B.

Se a ocorrncia do evento B, no mudar a probabilidade da

ocorrncia do evento A, ento p(A/B) = p(A) e, neste caso, os eventos

so ditos independentes, e a frmula acima fica:

p(A B) = p(A) . p(B)

Podemos ento afirmar, que a probabilidade de ocorrncia simultnea

de eventos independentes, igual ao produto das probabilidades dos

eventos considerados.

Exemplo:

Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas

brancas. Calcule as probabilidades de:

a) em duas retiradas, sem reposio da primeira bola

retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma

bola branca (B).

b) em duas retiradas, com reposio da primeira bola

retirada, sair uma bola vermelha e depois uma

bola branca.

Soluo: (a)

p(V B) = p(V) . p(B/V)

p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).

Supondo que saiu bola vermelha na primeira

retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:

p(B/V) = 2/6 = 1/3

Da lei das probabilidades compostas, vem

finalmente que:

P(V B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8%

Com a reposio da primeira bola retirada, os

eventos ficam independentes. Neste caso, a

probabilidade buscada poder ser calculada

como:

P(V B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41%

Observe atentamente a diferena entre as solues

dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento

perfeito daquilo que procuramos transmitir.

Soluo: (b)

Se num fenmeno aleatrio as possibilidades so

igualmente provveis, ento a probabilidade de

ocorrer um evento A :

Conceito de probabilidade

Probabilidade Condicional

Antes da realizao de um experimento,

necessrio que j tenha alguma informao sobre o

evento que se deseja observar. Nesse caso, o

espao amostral se modifica e o evento tem a sua

probabilidade de ocorrncia alterada.

importante sabe que a probabilidade

condicional reduz o espao amostral ao evento que

j ocorreu.

exemplo

01- No lanamento de dois dados, sabe-se que o produto dos nmeros de pontos obtidos nas faces voltadas para cima mpar. Qual a probabilidade de que pelo menos um desses nmeros seja o 5?

02- No lanamento de dois dados, sabe-se que obteve nas faces voltadas para cima a soma dos pontos igual a 6. Qual a probabilidade de que essas faces apresentem o mesmo nmero de pontos?

Exemplo:

01- Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e

20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e

repondo a sorteada na urna, qual ser a

probabilidade de a primeira ser vermelha e a

segunda ser azul?

p(VeA) = p(v).p(A) = (10/30 ) . (20/30) = (1/3) . (2/3)

P(V e A) = 2/9

02- Uma urna contm 3 bolas pretas e 9 bolas

brancas. Retira-se da urna, aleatoriamente, uma

bola e anota-se sua cor. Recoloca-se essa bola na

urna e, em seguida, retira-se novamente uma bola

e anota-se sua cor. Qual a probabilidade de a

primeira bola ser preta e a segunda ser branca?

P(P e B) = P(P) . P(B) = (3/12) . (9/12) = (1/4) . (3/4)

P(P e B) = 3/16

Probabilidade de ocorrer

a unio de eventos

Frmula da probabilidade de ocorrer a unio de

eventos:

P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)

De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2,

estes eventos estaro computados no clculo de

P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez

s, subtramos P(E1 e E2).

Exemplo

01- Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho

com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou

um Rei?

02- Retirando-se, ao acaso, uma carta de um baralho de

52 cartas, qual a probabilidade de que ela seja:

a) uma carta de paus?

b) um s?

c) uma carta de paus ou um s?

d) uma carta de ouros ou de copas?

03- Sorteia-se, ao acaso, um nmero natural de 1 a

20. Qual a probabilidade de o nmero sorteado:

a) ser maior que 10?

b) ser primo?

c) no ser primo?

d) ser primo ou maior que 10?

e) ser maior que 15 ou mltiplo de 7?

04- Numa caixa, h 40 bolas. Algumas so brancas; as outras pretas. Algumas so leves; as outras pesadas. Esses atributos obedecem ao quadro abaixo:

Retirando-se, ao acaso, uma bola dessa caixa, qual a probabilidade de ela ser:

a) branca? b) pesada? c) branca e pesada?

d) preta ou leve?

EXERCCIOS DE PROBABILIDADES

1 Uma urna possui trs bolas pretas e cinco bolas

brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas

nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao

acaso, a probabilidade dela ser azul seja igual a

2/3? Seja x o nmero de bolas azuis a serem colocadas na urna. O espao amostral

possuir, neste caso, 3 + 5 + x = x + 8 bolas. Pela definio de probabilidade

vista nas aulas anteriores, a probabilidade de que uma bola retirada ao acaso

seja da cor azul ser dada por: x/(x+8). Mas, o problema diz que a

probabilidade deve ser igual a 2/3.

Logo, vem: x/(x+8) = 2/3; da, vem, resolvendo a equao do 1 grau:

3x = 2(x+8) , donde 3x = 2x + 16 e, finalmente vem que x = 16.

Resp: 16 bolas azuis.

2) Uma urna contm 10 bolas pretas e 8 bolas

vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposio. Qual

a probabilidade de as duas primeira serem pretas

e a terceira vermelha?

P(P,PeV) = P(P).P(P).P(V) = (10/18).(9/17).(8/16) = 5/34

3) Uma urna contm 5 bolas vermelhas e 4 pretas;

dela so retiradas duas bolas, uma aps a outra,

sem reposio; a primeira bola retirada de cor

preta; Qual a probabilidade de que a segunda

bola retirada seja vermelha?

P(V) = 5/8

4) Uma urna contm 10 bolas brancas, 8 vermelhas e

6 pretas, todas iguais e indistinguveis ao tato.

Retirando-se uma bola ao acaso, qual a

probabilidade de ela no ser preta?

P(B ou V) = P(B) + P(V) P(B e V) , como no existe uma

bola que seja vermelha e Branca ao mesmo tempo, ento

P(B e V) = 0

Logo temos:

P(B ou V) = 10/24 + 8/24 = 18/24 P(B ou V) = 3/4

5) Qual a probabilidade de se obter um nmero

divisvel por 5, na escolha ao acaso de uma das

permutaes dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

a) 5 b) 1/5

c) 1 d) 4

e)

Lembrando que um nmero divisvel por 5 quando terminar em 0 ou 5, ento somente o ltimo algarismo que ir

influenciar logo a probabilidade ser de P=1/5

6) Se certo casal tem trs filhos, ento a

probabilidade de os trs filhos serem do mesmo

sexo, dado que o primeiro homem, vale

a) 1/3 b) 1/2

c) 1/5 d) 1/4

e) 1/6

Note que neste caso o fato do primeiro filho ser homem no

ir influenciar no sexo dos demais, assim teremos: P(H e H) =

(1/2) . (1/2) = 1/4