RAFAEL PONTES LIMA - ufmt.br · LIMA, R.P. O ensino e a aprendizagem significativa das operações com frações: Sequência didática e o uso de tecnologias digitais para alunos

RAFAEL PONTES LIMA

O ensino e a aprendizagem significativa das operações com frações: Sequência didática e

o uso de tecnologias digitais para alunos do Ensino Fundamental II

MACAPÁ/AP

2014

LIMA, R.P. O ensino e a aprendizagem significativa das operações com frações: Sequência didática e o uso de tecnologias

digitais para alunos do Ensino Fundamental II

RAFAEL PONTES LIMA



Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação

em Educação em Ciências e Matemática da Rede

Amazônica de Educação em Ciências e

Matemática (REAMEC), Pólo Universidade

Federal do Pará como exigência final para a

obtenção do título de Doutor em Educação em

Ciências e Matemática.

Linha de pesquisa: Fundamentos e Metodologia

Orientador: Prof. Dr. PEDRO FRANCO DE SÁ

MACAPÁ/AP

2014



Dados internacionais de Catalogação na Publicação (CIP).

Biblioteca da Universidade Federal do Pará, UFPA, Belém - PA.

Lima, Rafael Pontes.

O ensino e a aprendizagem significativa das operações com frações: Sequência didática e o uso

de tecnologias digitais para alunos do Ensino Fundamental II / Rafael Pontes Lima; Orientador

Pedro Franco de Sá. ___ Belém: [s.n.], 2014. 232f.

Tese (Doutorado em Educação em Ciências e Matemática) – Universidade Federal do Pará,

Belém, 2014.

1. Fundamentos e Metodologia. 2. Educação Matemática. 3. Tecnologias Digitais



RAFAEL PONTES LIMA



Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em

Educação em Ciências e Matemática da Rede

Amazônica de Educação em Ciências e Matemática

(REAMEC), Pólo Universidade Federal do Pará como

exigência final para a obtenção do título de Doutor em

Educação em Ciências e Matemática.

Linha de pesquisa: Fundamentos e Metodologia

Orientador: Prof. Dr. PEDRO FRANCO DE SÁ

Data de aprovação: ___/___/_____

Banca Examinadora

__________________________________ - Orientador

Prof. Dr. Pedro Franco de Sá

Dr. em Educação

Universidade do Estado do Pará

_________________________________________

Prof. Dr. John Andrew Fossa

Dr. em Educação Matemática

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

_________________________________________

Prof. Dr. Fábio José da Costa Alves

Dr. Geofísica

Universidade Federal do Pará

_________________________________________

Prof. Dra. Marta Maria Pontin Darsie

Dr. Educação

Universidade de São Paulo

_________________________________________

Prof. Dr. Francisco Hermes Santos da Silva

Dr. Educação Matemática

Universidade Estadual de Campinas



Dedico este trabalho a todas as crianças que anseiam

por uma escola capaz de promover o desenvolvimento

e um aprendizado digno, onde possam potencializar

suas habilidades individuais e conviver em harmonia,

sem preconceitos, respeitando as diferenças e

convivendo com as diversidades.



AGRADECIMENTOS

A minha esposa Elma e as minhas filhas Evelin Cristina e Maria Clara, pela paciência,

compreensão e apoio nos momentos de dificuldades durante os quatro anos de Doutorado, onde por

muitas vezes estive ausente dedicando meu tempo aos estudos.

Ao meu pai Lima pelo apoio e incentivo em toda minha vida de estudante e em minha

carreira profissional, como exemplo de homem e pai. E a minha mãe Elza, que embora já não esteja

entre nós, é para quem eu dedico todos os dias da minha vida, pois sei que continua a me guiar,

orientar e cuidar.

Aos meus irmãos pelo carinho, palavras de apoio e por acreditaram neste objetivo de

conclusão do Doutorado. Aos familiares, Mary Sonia, Maria Socorro Lima, Luciana Borba, Izabel

Pontes, pelas palavras de apoio e companhia nos momentos de dificuldade.

Aos colegas da Unifap, equipe do NTI e os bolsistas do LIDES, pelo apoio, compreensão

e respeito durante os momentos que tive que me ausentar em função dos estudos. Em especial ao José

Luis pelo apoio no desenvolvimento do FRACTRON.

Aos meus colegas da turma do Doutorado, que foram grandes parceiros na busca por

informações e na construção dos trabalhos, artigos e nesta tese. Em especial à Cristiane, Fabio e Eliane

pelo companheirismo e amizade durante as longas jornadas de estudo.

Ao meu orientador Pedro Franco Sá, pela paciência, palavras de confiança, respeito, e

principalmente por compartilhar todo seu conhecimento, que é vasto, e pela capacidade de orientar de

forma sempre organizada e com parceria.

Agradeço ao Professor Dr. Silvio Gusmão, o qual em reunião do Fórum de Pró-Reitores

de Pesquisa do Norte-Nordeste ocorrida em Macapá apresentou a proposta de criação da REAMEC e

que hoje me possibilita consolidar uma jornada árdua e gratificante de construção humana e

profissional.

Aos do programa de doutorado REAMEC pelas lições e ensinamentos que enriqueceram

minha formação acadêmica.

A todas as crianças, professores e equipe da Direção da Escola Estadual Antônio Lima

Neto que participaram desta pesquisa, meu muito obrigado por permitir e ceder seu tempo para que eu

pudesse desenvolver minhas atividades e consolidar este trabalho.

A Deus, por me agraciar com a companhia e o apoio de todas essas pessoas e por mais

esta etapa de minha vida concluída.



Se tu o desejas, podes voar, só tens de confiar muito em ti.

Steve Jobs



RESUMO

LIMA, Rafael Pontes. O ensino e a aprendizagem significativa das operações com frações: Sequência

didática e o uso de tecnologias digitais para alunos do Ensino Fundamental II – Programa de Pós-

Graduação em Educação em Ciências e Matemática da Rede Amazônica de Educação em Ciências e

Matemática (REAMEC), Pólo Universidade Federal do Pará / __Belém: [s,n], 2014. 232f.

Este estudo teve como objetivo analisar a aprendizagem de crianças do 6º ano do Ensino Fundamental sobre as

operações com frações por meio de uma sequência de atividades mediadas pelo professor com o uso de um

software educacional. Neste sentido para contemplar o objetivo proposto, analisamos os instrumentos e

atividades pedagógicas realizadas pelos professores e os livros didáticos para o ensino de frações. Como

respaldo teórico para construção e análise da sequência didática revisamos a história dos números racionais e

seus significados; nos apoiamos nas concepções da teoria sócio - histórica de Vygotsky e o conceito de zona de

desenvolvimento proximal, a perspectiva da aprendizagem significativa a teoria das situações didáticas e o

aprendizado a partir da resolução de problemas. Investigamos o processo de ensino e aprendizagem de frações a

partir da opinião docente e discente. Construímos um conjunto de atividades para o ensino das operações com

frações a partir de situações problemas. Desenvolvemos o software educacional para o ensino das operações com

frações por meio do significado de parte-todo. Aplicamos a sequência didática a 40 alunos do 6º ano do Ensino

Fundamental da Escola Estadual Antônio Lima Neto na cidade de Macapá/AP e avaliamos qualitativa e

quantitativamente a produção dos alunos na realização da sequência didática. Os alunos do 6º ano que

participaram da sequência didática foram submetidos a testes diagnósticos e inicialmente mostraram ter pouco

ou nenhum conhecimento sobre as operações com números fracionários. Após a aplicação da sequência didática,

na mediação do professor e o uso do software educacional FRACTRON, para resolver as atividades de adição,

subtração, multiplicação e divisão de frações, aplicamos um pós-teste para avaliarmos o desempenho dos alunos.

Os resultados foram relevantes e mostraram que os alunos conseguiram construir e aplicar as regras produzidas

para a resolução das atividades e alcançaram um aumento médio no índice de acertos 70% comparando com o

pré-teste. Os alunos também apresentaram evolução na capacidade de interpretação dos enunciados e na

produção dos textos das regras das operações com frações. Desta forma, concluímos que a tese foi comprovada ,

pois de fato o uso de uma sequência didática elaborada com atividades, que propõem a resolução de problemas

com números fracionários e aplicada pela mediação do professor e o uso de um software educacional, possibilita

uma aprendizagem significativa e potencializa os conhecimentos prévios do aluno, considerando sua zona de

desenvolvimento proximal, sobre a habilidade de realizar operações com frações para alunos do 6º ano do

Ensino Fundamental.

PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática. Ensino e Aprendizagem de Frações. Sequência didática.

Tecnologias digitais.



ABSTRACT

LIMA, Rafael Pontes. The teaching and meaningful learning of operations with fractions - Graduate Education

in Science and Mathematics from Amazon Network for Education in Science and Mathematics (REAMEC),

Polo Federal University of Pará / __ Belém: [s , n], 2014. 232F.

This study aimed to analyze the learning of children in the 6th grade of elementary school on operations with

fractions through a sequence of activities mediated by the teacher using an educational software. In this sense to

consider the proposed objective, we analyze the tools and educational activities undertaken by teachers and

textbooks for teaching fractions books. As theoretical support for the construction and analysis of the teaching

sequence we review the history of rational numbers and their meanings, we rely on conceptions of socio-

historical theory of Vygotsky and the concept of zone of proximal development, the prospect of meaningful

learning theory of didactic situations and learning from the problem solving. We investigate the process of

teaching and learning of fractions from the faculty and student opinion. We built a set of activities for teaching

operations with fractions from problem situations. We develop educational software for teaching operations with

fractions through the meaning of part-whole. We apply the instructional sequence to 40 students of the 6th year

of elementary school in Lima Neto Antônio State School in the city of Macapá / AP and evaluate qualitatively

and quantitatively the production of students in achieving the instructional sequence. 6th grade students who

participated in the instructional sequence underwent diagnostic tests and initially shown to have little or no

knowledge about operations with fractional numbers. After application of the instructional sequence, the teacher

mediation and the use of educational software Fractron to resolve the activities of addition, subtraction,

multiplication and division of fractions, we apply a post-test to assess student performance. The results were

significant and showed that students were able to build and apply the rules produced for solving activities and

achieved an average increase in hit rate 70% compared to the pretest. Students also demonstrated improvement

in the ability to interpret the statements and in the production of the texts of the rules of operations with

fractions. Thus, we conclude that the thesis was proven and in fact the use of an instructional sequence designed

with activities that propose solving problems with fractional numbers and applied by the mediation of the teacher

and the use of educational software, enables meaningful learning and leverages prior knowledge of the student,

considering their zone of proximal development, on the ability to perform operations with fractions to students of

the 6th year of elementary school.

KEYWORDS: Fractions Math. Teaching sequence. Educational Software.



LISTA DE FIGURAS

Figura 01: Tela de acesso ao software ................................................................................... 107 Figura 02: Tela de cadastro de novo usuário ......................................................................... 107 Figura 03: Tela de recuperação de senha .............................................................................. 107

Figura 4: Tela Ambiente administrador (professor) .............................................................. 108 Figura 5: Tela Ambiente de gerência e permissão de acesso aos usuários ........................... 108 Figura 6: Tela para cadastro de novos usuários (alunos) ...................................................... 108 Figura 7: Tela com os dados cadastrais dos usuários (alunos) .............................................. 109 Figura 8: Tela com a listagem das escolas cadastradas ......................................................... 109

Figura 9: Tela para cadastro de novas escolas ...................................................................... 109 Figura 10: Tela com listagem das atividades ........................................................................ 110

Figura 11: Tela para cadastro de nova atividade ................................................................... 110 Figura 12: Tela com listagem das questões-problemas de cada atividade ............................ 110 Figura 13: Tela com listagem das questões-problemas já cadastradas para cada atividade . 110 Figura 14: Tela para cadastro de nova questão-problema ..................................................... 110 Figura 15: Tela com listagem dos gabaritos das questões-problemas .................................. 110

Figura 16: Tela Ambiente pra montagem do Gabarito ......................................................... 110 Figura 17: Tela de exibição do Gabarito ............................................................................... 110

Figura 18: Tela de exibição do Gabarito – outra possibilidade de resposta .......................... 111 Figura 19: Tela de exibição das respostas dos alunos por questão-problema ....................... 111

Figura 20: Tela de exibição da lista de alunos da turma por atividade ................................. 111 Figura 21: Tela de exibição da resposta do aluno ................................................................. 111

Figura 22: Tela de listagem das turmas cadastradas ............................................................. 112 Figura 23: Tela de cadastro de nova turma ........................................................................... 112

Figura 24: Tela de listagem dos alunos por turma ................................................................ 112 Figura 25: Tela de listagem de todos os alunos cadastrados no FRACTRON ..................... 112 Figura 26: Tela de listagem de atividade de cada aluno ....................................................... 112

Figura 27: Tela de listagem das respostas do aluno .............................................................. 112 Figura 28: Tela de listagem das turmas para construção da Conclusão por atividade .......... 112

Figura 29: Tela de cadastro da questão Conclusão da Turma ............................................... 112 Figura 30: Tela de atividades a serem resolvidas .................................................................. 113 Figura 31: Tela de resolução da questão-problema ............................................................... 114

Figura 32: Tela Ambiente de resolução da questão-problema preenchida ........................... 114 Figura 33: Tela Ambiente de resolução da questão-problema – com histórico .................... 114

Figura 34: Tela que informa que o aluno deverá preencher todos os campos ...................... 115 Figura 35: Tela para conclusão da atividade ......................................................................... 115

Figura 36: Tela para visualizar as respostas das atividades .................................................. 115 Figura 37: Exemplo de cartas-resposta em papel .................................................................. 137 Figura 038: Exemplo de carta eletrônica com uma questão-problema ................................. 139 Figura 39: Resolução do Aluno. ............................................................................................ 162 Figura 40: Histórico da resolução do Aluno ......................................................................... 164

Figura 41: Tela de conclusão da atividade ............................................................................ 164 Figura 42: Resposta do aluno sobre como resolver a questão sem usar a figura .................. 164 Figura 43: Resposta do aluno sobre a regra que ele utilizou para resolver as questões ........ 164 Figura 44: Resposta do aluno para a conclusão da atividade ................................................ 165 Figura 45: Conclusão da turma para a questão ..................................................................... 166

Figura 46: Resolução do Aluno ............................................................................................. 169

Figura 47: Resolução do Aluno ............................................................................................. 169 Figura 48: Regra da turma ..................................................................................................... 170 Figura 49: Histórico da resolução das questões .................................................................... 170



Figura 50: Resolução da regra por um aluno ........................................................................ 172 Figura 51: Resolução da questão por um aluno .................................................................... 173 Figura 52: Regra construída pela turma ................................................................................ 173 Figura 53: Histórico das respostas ........................................................................................ 173 Figura 54: Resolução de um aluno ........................................................................................ 175

Figura 55: Regra construída pela turma ................................................................................ 175 Figura 56: Histórico das respostas da atividade .................................................................... 175 Figura 57: Carta em papel. .................................................................................................... 177 Figura 58: Carta Eletrônica. .................................................................................................. 177 Figura 59: Resolução do Aluno ............................................................................................. 183

Figura 60: Regra construída pelo aluno ................................................................................ 183

Figura 61: Histórico dos resultados da atividade de multiplicação ....................................... 183

Figura 62: Regra construída pelo turma. ............................................................................... 183 Figura 63: Regra da turma ..................................................................................................... 186 Figura 64: Resolução do aluno para uma questão de divisão ............................................... 186 Figura 65: Resolução de um aluno para a regra .................................................................... 187 Figura 66: Resolução do aluno para a regra .......................................................................... 187

Figura 67: Resolução do aluno para uma questão de divisão ............................................... 187



LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 01: Faixa etária dos professores entrevistados na pesquisa........................................ 72 Gráfico 02: Curso de especialização dos professores entrevistados na pesquisa .................... 73 Gráfico 03: Tempo de Atuação como Docente ....................................................................... 73

Gráfico 04: Ciclo de atuação docente dos professores entrevistados na pesquisa .................. 74 Gráfico 05: Tipo de escola que atuam os professores entrevistados na pesquisa ................... 74 Gráfico 06: Como os professores entrevistados na pesquisa ensinam fração. ........................ 75 Gráfico 07: Como os professores entrevistados na pesquisa realizam a fixação do assunto

fração. ....................................................................................................................................... 76

Gráfico 08: Quantidade de aulas que os professores utilizam para ensinar fração. ................ 78 Gráfico 09: Tipo de atividades que os professores planejam para uso do laboratório de

informática nas aulas de Matemática........................................................................................ 80 Gráfico 10: Faixa etária dos alunos que já estudaram frações ................................................ 83 Gráfico 11: Tipo de escola que os alunos estudaram no 6º ano do ensino fundamental ......... 83 Gráfico 12: Escola que os alunos estudaram no 6º ano do ensino fundamental ..................... 83 Gráfico 13: Escolaridade do responsável masculino dos alunos do 6º ano do ensino

fundamental. ............................................................................................................................. 84 Gráfico 14: Escolaridade do responsável feminino dos alunos do 6º ano do ensino

fundamental. ............................................................................................................................. 85 Gráfico 15: Alunos do 7º ano sobre possuir dificuldade em aprender Matemática ................ 87

Gráfico 16: Alunos do 7º ano sobre qual a frequência que costuma estudar Matemática ...... 88 Gráfico 17: Alunos do 7º ano sobre quem os auxilia nas tarefas de Matemática em casa ...... 88

Gráfico 18: Alunos do 7º ano sobre suas notas na disciplina de Matemática ......................... 89 Gráfico 19: Alunos do 7º ano sobre sua atenção durante as aulas de Matemática .................. 89

Gráfico 20: Alunos do 7º ano sobre a dificuldade em realizar operações ............................... 90 Gráfico 21: Domínio da Tabuada. ........................................................................................... 90 Gráfico 22: Alunos do 7º ano sobre já ter estudado frações .................................................... 91

Gráfico 23: Alunos do 7º ano sobre como ocorriam as aulas de Matemática ......................... 91 Gráfico 24: Alunos do 7º ano sobre como os professores fixavam o conteúdo de fração ...... 92

Gráfico 25: Alunos do 7º ano sobre saber se a escola possui laboratório de informática ....... 93 Gráfico 26: Alunos do 7º ano sobre algum professor ter ministrado aula no laboratório de

informática ................................................................................................................................ 93

Gráfico 27: Alunos do 7º ano sobre já ter tido aula de alguma disciplina no laboratório de

informática ................................................................................................................................ 94

Gráfico 28: Alunos do 7º ano sobre as atividades que já foram trabalhadas no laboratório de

informática ................................................................................................................................ 95

Gráfico 29: Alunos do 7º ano sobre possuir computador ........................................................ 95 Gráfico 30: Alunos do 7º ano sobre o local que costumam acessar à internet ........................ 96 Gráfico 31: Alunos do 7º ano sobre o equipamento que utilizam para acessar à internet ...... 96 Gráfico 32: Alunos do 7º ano sobre a quantidade de horas que ficam conectados à internet . 97 Gráfico 33: Atividades que realizam conectados à internet. ................................................... 97

Gráfico 34: idade dos alunos ................................................................................................. 142 Gráfico 35: tipo de escola que estudou no 5º ano.................................................................. 143 Gráfico 36: Dependência em Matemática no 5º ano ............................................................. 143 Gráfico 37: Escolaridade do Responsável Masculino ........................................................... 144 Gráfico 38: Escolaridade do Responsável feminino ............................................................. 144

Gráfico 39: Profissão do Responsável masculino ................................................................. 145

Gráfico 40: Profissão do Responsável feminino ................................................................... 145 Gráfico 41: Possui dificuldade em aprender Matemática...................................................... 146 Gráfico 42: Frequência que estuda Matemática .................................................................... 147



Gráfico 43: Quem auxilia com as tarefas de Matemática em casa. ....................................... 147 Gráfico 44: As notas de Matemática ..................................................................................... 147 Gráfico 45: Distração nas aulas de Matemática .................................................................... 148 Gráfico 46: Operações que possui dificuldade em realizar ................................................... 148 Gráfico 47: Domínio da tabuada ........................................................................................... 149

Gráfico 48: Já estudaram frações .......................................................................................... 149 Gráfico 49: Como foram as aulas de Matemática no 5º ano ................................................. 150 Gráfico 50: Como ocorria a fixação de fração no 5º ano ...................................................... 150 Gráfico 51: A escola possui laboratório de informática ........................................................ 151 Gráfico 52: Algum professor já ministrou aula no laboratório de informática ..................... 151

Gráfico 53: Tipo de atividades que foram trabalhadas no laboratório de informática .......... 152

Gráfico 54: Já realizou alguma atividade de Matemática no computador ............................ 152

Gráfico 55: Possui computador ............................................................................................. 153 Gráfico 56: Local que costuma acessar à internet ................................................................. 153 Gráfico 57: Equipamento que costuma utilizar para acessar à internet ................................. 154 Gráfico 58: Quanto tempo fica conectado à internet ............................................................. 154 Gráfico 59: As atividades que costuma realizar no computador. .......................................... 155

Gráfico 63: Acertos dos alunos do 6º no pré-teste. ............................................................... 160 Gráfico 64: Acertos dos alunos do 6º no pós-teste ................................................................ 179 Gráfico 65: Acertos em adição de frações dos alunos do 6º ano no pós-teste ...................... 179 Gráfico 66: Acertos em subtração de frações dos alunos do 6º ano no pós-teste.................. 180

Gráfico 67: Acertos dos alunos do 6º no pós-teste de multiplicação e divisão ..................... 191 Gráfico 68: Acertos dos alunos do 6º no pré-teste de multiplicação e divisão ..................... 191

Gráfico 69: Acertos dos alunos do 6º no pós-teste de multiplicação e divisão ..................... 192 Gráfico 70: Comparação de acertos no pré e pós-teste de adição, alunos do 6º ano ............. 193

Gráfico 71: Comparação de acertos no pré e pós-teste de adição (equações), alunos do 6º ano

................................................................................................................................................ 194

Gráfico 72: Comparação de acertos no pré e pós-teste de adição (situações-problemas),

alunos do 6º ano ...................................................................................................................... 194 Gráfico 73: Comparação de acertos no pré e pós-teste de subtração, alunos do 6º ano ........ 195

Gráfico 74: Comparação de acertos no pré e pós-teste de subtração (equações), alunos do 6º

ano .......................................................................................................................................... 195 Gráfico 75: Comparação de acertos no pré e pós-teste de subtração (situações-problemas),

alunos do 6º ano ...................................................................................................................... 196 Gráfico 76: Comparação de acertos no pré e pós-teste de multiplicação, alunos do 6º ano . 196

Gráfico 77: Comparação de acertos no pré e pós-teste de multiplicação (equações), alunos do

6º ano ...................................................................................................................................... 197

Gráfico 78: Comparação de acertos no pré e pós-teste de multiplicação (situações-

problemas), alunos do 6º ano .................................................................................................. 197 Gráfico 79: Comparação de acertos no pré e pós-teste de divisão, alunos do 6º ano............ 198

Gráfico 80: Comparação de acertos no pré e pós-teste de divisão (equações), alunos do 6º ano

................................................................................................................................................ 198

Gráfico 81: Comparação de acertos no pré e pós-teste de divisão (situações-problemas),

alunos do 6º ano ...................................................................................................................... 198 Gráfico 82: Acertos dos alunos do 6º no pós-teste de multiplicação e divisão ..................... 199



LISTA DE QUADROS

Quadro 01: Estudos sobre o ensino de frações na perspectiva dos professores e livros

didáticos .................................................................................................................................... 40 Quadro 02: Estudos sobre as dificuldades e erros dos alunos sobre o ensino de frações ....... 53

Quadro 03: Estudos sobre o uso de tecnologias digitais no ensino de frações ....................... 64 Quadro 06: Grau de dificuldade que os professores atribuem para os alunos aprenderem

frações. ...................................................................................................................................... 78 Quadro 07: Opinião do professor sobre o grau de dificuldade dos alunos para aprenderem

frações ....................................................................................................................................... 82

Quadro 08: Profissão dos responsáveis masculinos dos alunos do 7º ano do ensino

fundamental. ............................................................................................................................. 86

Quadro 09: Profissão dos responsáveis femininos dos alunos do 7º ano do ensino

fundamental. ............................................................................................................................. 87 Quadro 010: Resumo das questões fechadas realizadas no pré-teste com os alunos do 7º que

já haviam estudado frações ....................................................................................................... 98 Quadro 011: Resumo das questões-problemas realizadas no pré-teste com os alunos do 7º

ano que já haviam estudado frações ......................................................................................... 99 Quadro 04: Atividades da sequência didática. ...................................................................... 103

Quadro 05: Cronograma das 12 seções de ensino realizadas na pesquisa. ........................... 117 Quadro 12: Profissão do Responsável masculino ................................................................. 145

Quadro 13: Profissão do Responsável feminino. .................................................................. 146 Quadro 14: Resolução das questões com equações de frações no pré-teste ......................... 156

Quadro 15: Resolução das questões-problemas de frações no pré-teste. .............................. 156 Quadro 20: Cronograma das 16 seções de ensino realizadas na pesquisa. ........................... 157

Quadro 21: Resultados do pré-teste dos alunos do 6º ano .................................................... 160 Quadro 22: Resultados do pré-teste dos alunos do 6º ano .................................................... 179 Quadro 23: Resultados do pré-teste de multiplicação e divisão dos alunos do 6º ano ......... 182

Quadro 24: Resultados do pós-teste de multiplicação e divisão dos alunos do 6º ano ......... 190 Quadro 25: Regras construídas para a atividade de adição de frações ................................. 208

Quadro 26: Regras construídas para a atividade de subtração de frações com denominadores

iguais ....................................................................................................................................... 208 Quadro 27: Regra geral da turma para a atividade de adição de frações com denominadores

iguais ....................................................................................................................................... 209 Quadro 28: Regra geral da turma para a atividade de subtração de frações com

denominadores iguais ............................................................................................................. 209 Quadro 29: Regras construídas para a atividade de adição de frações com denominadores

diferentes ................................................................................................................................ 210 Quadro 30: Regras construídas para a atividade de adição de frações com denominadores

diferentes ................................................................................................................................ 210 Quadro 31: Regra geral da turma para a atividade de adição de frações com denominadores

diferentes ................................................................................................................................ 210

Quadro 32: Regra geral da turma para a atividade de subtração de frações com

denominadores diferentes ....................................................................................................... 210 Quadro 33: Regras construídas para a atividade de multiplicação de frações ...................... 211 Quadro 34: Regras construídas para a atividade de adição de frações com denominadores

diferentes ................................................................................................................................ 211

Quadro 35: Regra geral da turma para a atividade de multiplicação de frações ................... 211

Quadro 36: Regra geral da turma para a atividade de divisão de frações ............................. 211



SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 17

2. OS NÚMEROS RACIONAIS E O ENSINO DE FRAÇÕES .......................................... 20 2.1. Revisitando a História dos racionais ............................................................................. 20 2.2. Principais conceitos e significados no ensino dos números racionais ........................... 22 3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS E CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO DE FRAÇÕES

26

3.1. Teoria sócio-histórica de Vigostsky .............................................................................. 26 3.2. Aprendizagem Significativa .......................................................................................... 30

3.3. A teoria das Situações didáticas e o aprendizado a partir da resolução de problemas .. 32 3.4. Engenharia Didática ...................................................................................................... 36 4. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E O SABER CIENTÍFICO ............................................ 39 4.1. O ensino de frações na perspectiva dos professores e dos livros didáticos ................... 39 4.2. Dificuldades e erros dos alunos sobre o ensino de frações............................................ 53

4.3. O uso de tecnologias digitais no ensino de frações ....................................................... 63 5. PERCURSO METODOLÓGICO ..................................................................................... 69

5.1. A Escola e os participantes da pesquisa ........................................................................ 69 5.1.1. A Escola ..................................................................................................................... 69

5.1.2. Os sujeitos da pesquisa .............................................................................................. 70 5.1.2.1. Alunos - egressos do 6º ano ................................................................................... 70 5.1.2.2. Alunos – sujeitos da pesquisa................................................................................. 70

5.1.2.3. Professores de Matemática ..................................................................................... 71

5.1.2.4. O Professor que participou da pesquisa ................................................................. 71 5.2. Consulta a Docentes ...................................................................................................... 71 5.2.1. Perfil dos professores de matemática ......................................................................... 71

5.2.1.1. Os professores e o ensino de frações ...................................................................... 74 5.2.1.2. Os professores e as tecnologias digitais ................................................................. 78

5.2.2. Perfil do professor participante da pesquisa .............................................................. 80 5.3. Consulta a Discentes ...................................................................................................... 82 5.3.1. Perfil dos alunos dos egressos do 6º ano ................................................................... 82

5.3.1.1. Os alunos e a aprendizagem matemática................................................................ 87 5.3.1.2. Os alunos e o uso de tecnologia ............................................................................. 92

5.3.1.3. Os alunos e o ensino de frações ............................................................................. 98 5.4. Etapas da Engenharia Didática: Procedimentos e instrumentos de pesquisa .............. 101

5.4.1. Análise preliminar .................................................................................................... 101 5.4.2. Análise a priori ......................................................................................................... 102 5.4.3. Experimentação ....................................................................................................... 103 5.4.4. Análise a posteriori e Validação .............................................................................. 103 5.5. O software educacional FRACTRON ......................................................................... 104

5.5.1. Premissas do software .............................................................................................. 104 5.5.2. Tecnologia utilizada ................................................................................................. 105 5.5.3. Funcionalidade do software ..................................................................................... 105 5.5.4. Ambiente do professor (administrador) ................................................................... 107 5.5.5. Ambiente do aluno ................................................................................................... 113

5.6. As sessões da sequência didática e análise a priori ..................................................... 115

5.6.1. Análise a priori das atividades da sequência didática .............................................. 119 5.6.1.1. Os testes diagnósticos - pré e pós-teste ................................................................ 120 5.6.1.2. Atividades para o ensino de frações com o uso do FRACTRON ........................ 130



5.6.1.3. Adição de frações com denominadores iguais ..................................................... 130 5.6.1.4. Subtração de frações com denominadores iguais ................................................. 132 5.6.1.5. Adição de frações com denominadores diferentes ............................................... 133 5.6.1.6. Subtração de frações com denominadores diferentes .......................................... 134 5.6.1.7. Multiplicação de frações ...................................................................................... 135

5.6.1.8. Divisão de frações ................................................................................................ 135 5.6.1.9. Atividades de fixação do ensino de frações ......................................................... 137 5.6.1.10. Baralho de cartas de papel .................................................................................... 137 5.6.1.11. Baralho de cartas eletrônico ................................................................................. 139 5.6.1.12. Atividades extraclasse .......................................................................................... 140

6. EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS ........................................... 142

6.1. O experimento ............................................................................................................. 142

6.1.1. Perfil dos alunos do 6º ano ....................................................................................... 142 6.1.1.1. Os alunos e a aprendizagem matemática.............................................................. 146 6.1.1.2. Os alunos e o uso de tecnologia ........................................................................... 150 6.1.1.3. Os alunos e o ensino de frações ........................................................................... 155 6.1.2. Sessões de ensino ..................................................................................................... 157

6.1.2.1. 1ª sessão: pré-teste ................................................................................................ 158 6.1.2.2. 2ª sessão: adição de frações com denominadores iguais ...................................... 161 6.1.2.3. 3ª sessão: subtração de frações com denominadores iguais ................................. 167 6.1.2.4. 4ª sessão: adição de frações com denominadores diferentes ................................ 171

6.1.2.5. 5ª sessão: subtração de frações com denominadores diferentes ........................... 174 6.1.2.6. 6ª sessão: fixação de adição e subtração de frações ............................................. 175

6.1.2.7. 7ª sessão: pós-teste de adição e subtração de frações ........................................... 177 6.1.2.8. 8ª sessão: pré-teste de multiplicação e divisão de frações ................................... 180

6.1.2.9. 9ª sessão: multiplicação de frações ...................................................................... 182 6.1.2.10. 10ª sessão: divisão de frações............................................................................... 184

6.1.2.11. 11ª sessão: fixação de multiplicação e divisão de frações ................................... 188 6.1.2.12. 12ª sessão: pós-teste de multiplicação e divisão .................................................. 189 6.2. Análise a Posteriori e Validação dos resultados ......................................................... 192

6.2.1. Análise Quantitativa ................................................................................................ 192 6.2.2. Análise Qualitativa .................................................................................................. 200 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................. 213

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 219 APÊNDICES .......................................................................................................................... 223

ANEXO 1 ............................................................................................................................... 240

LIMA, R.P. O ensino e a aprendizagem significativa das operações com frações: Sequência didática e o uso de

tecnologias digitais para alunos do Ensino Fundamental II

INTRODUÇÃO

A Matemática representa um importante papel no desenvolvimento da

sociedade desde a Antiguidade à era da informação que vivemos hoje. Diante da

enxurrada de informações a que temos acesso por meio da internet e das vias

comunicacionais, a necessidade de se entender e ser capaz de usar a Matemática nas

atividades do cotidiano, nunca foi tão significante. Tal necessidade, fez com que a

Matemática ocupasse lugar central no currículo escolar e tem estimulado pesquisas

científicas sobre Educação Matemática visando resultados, que possam inferir melhorias

no processo de ensino e aprendizagem desta disciplina em sala de aula.

Para muitos alunos a Matemática é um mundo estranho, cheio de regras a

serem aplicadas de forma rigorosa e de símbolos cuja utilidade não entende. Tornou-se

uma disciplina elitista e seletiva, que não é qualquer aluno que pode aprender e se

destacar (SILVA, 2009). O impacto do uso das tecnologias no cotidiano social impõe às

pessoas a habilidade em realizar cálculos, resolver problemas e compilar informações.

Esta transformação social acarreta uma mudança na forma de ensinar e estudar

Matemática, na qual os professores percebam os alunos como atores do conhecimento,

num processo de construção colaborativa e significativa da aprendizagem dos conceitos

matemáticos (LIMA, 2009).

As pesquisas em Educação Matemática mostram que muitos esforços vêm

sendo realizados por professores, educadores e pedagogos, para tornar o ensino e a

aprendizagem da Matemática mais significativa para os alunos. O uso de tecnologia no

ensino de Matemática, resolução de problemas, jogos, enunciados contextualizados,

entre outras estratégias vêm sendo utilizadas em sala de aula com o intuito de

desmistificar e tornar a Matemática uma disciplina mais acessível e possível de ser

aprendida por todos os alunos (BORBA; PENTEADO, 2010; TULON, 2008,

MOREIRA, 2010).

Para a construção da nossa pesquisa, utilizamos como norte teórico os

estudos sobre a Didática da Matemática francesa, concebida por Brousseau na década

de 60 e que hoje se caracteriza como uma tendência na área de Educação Matemática.

Nossa pesquisa se propõe estabelecer uma relação entre a teoria e a prática para

referenciar as especificidades educacionais do saber escolar matemático. Pautamos



compreender os obstáculos epistemológicos do processo de ensino e aprendizagem em

sala de aula, assim realizamos um percurso teórico e experimental que nos permitiram

conhecer como os professores e livros didáticos trabalham os conceitos matemáticos,

fundamentos e metodologias utilizadas em sala de aula, e como o uso da informática na

educação vem transformando o ensino da Matemática.

Diante das referências teóricas, nos propusemos a responder ao seguinte

questionamento: Quais as contribuições de uma sequência didática composta por

atividades que propõe a resolução de problemas mediados pelo professor com o

uso de um software educacional para o ensino de frações?

Como resposta a esse questionamento, defendemos a tese de que uma

sequência didática composta por atividades, que priorizam o significado de parte-

todo, e propõe a resolução de problemas, como ponto de partida, com o auxílio de

um software educacional possibilita a aprendizagem significativa no ensino das

operações com frações.

Visando sustentar a tese estabelecemos como objetivo geral analisar a

aprendizagem de alunos do 6º ano do Ensino Fundamental sobre as operações com

frações por meio de uma sequência de atividades mediadas pelo professor com o

uso de um software educacional. Esta meta contempla-se a partir de objetivos

específicos como: analisar os instrumentos e atividades didáticas realizadas pelos

professores e os livros didáticos para o ensino de frações; investigar o processo de

ensino e aprendizagem de frações a partir da opinião docente; investigar o

processo de ensino e aprendizagem de frações a partir da opinião discente;

construir um conjunto de atividades para o ensino das operações com frações a

partir de situações problemas; desenvolver o software educacional para o ensino

das operações com frações por meio do significado de parte-todo; aplicar a

sequência didática aos alunos; avaliar qualitativa e quantitativamente a produção

dos alunos na realização da sequência didática.

Para delinear os aspectos abordados na pesquisa estruturamos o texto em

cinco capítulos. No 1º capitulo, apresentaremos nossas discussões sobre os números

racionais na forma de fração, com uma breve revisão histórica, os principais conceitos e



significados a partir da revisão bibliográfica. No 2º capítulo abordaremos os

pressupostos teóricos que sustentam nossa tese a partir da teoria sócio-histórica de

Vygotsky sobre a qual discutimos os aspectos do processo de ensino e aprendizagem

ancorados no conceito de zona de desenvolvimento proximal. Discutiremos a teoria das

situações didáticas e o aprendizado a partir de situações problemas, e a aprendizagem

significativa, sobre a qual apoiamos a sequência didática aplicada com o uso do

software educacional proposto no experimento da tese. E a engenharia didática como

proposta metodológica que nos permitiu estruturar a tese de forma a investigar o

processo de ensino e aprendizagem do conceito de operações com frações.

No 3º capítulo descreveremos o percurso metodológico que está pautado na

teoria educacional da didática da Matemática e orientado pela Engenharia Didática e

suas etapas de concepção e análise preliminar, análise a priori, experimentação e análise

a posteriori e validação. No 4º capítulo abordaremos o processo de ensino e

aprendizagem de frações a partir dos estudos realizados sobre a concepção dos

professores e os livros didáticos, as dificuldades e erros dos alunos e o uso de

tecnologias digitais. No 5º capítulo apresentaremos a sequência didática e as atividades

elaboradas para que possamos inferir a produção dos alunos no experimento. No 6º

capítulo fecharemos a pesquisa com a análise qualitativa e quantitativa dos resultados

confrontados a partir dos registros produzidos pelos alunos no pré e pós-teste sobre as

operações com frações, e a observação das interações e realizações didáticas nas sessões

de ensino.



2. OS NÚMEROS RACIONAIS E O ENSINO DE FRAÇÕES

Neste capítulo apresentaremos nossas discussões sobre os números racionais

na forma de fração, com uma breve revisão histórica e os principais conceitos e

significados a partir da revisão bibliográfica.

2.1. Revisitando a História dos racionais

Os números fracionários estão presentes em nosso cotidiano, muito embora,

de formas não percebidas, como no painel de um carro mostrando a quantidade de

combustível disponível, em bulas de remédios informando a quantidade a ser ingerida.

Atualmente os números naturais e os decimais respondem à maioria dos problemas

cotidianos. Porém os números fracionários permitem uma melhor compreensão sobre

conceitos como razões, percentuais, escalas, possibilidades, medidas e proporções.

Cavalieri (2005) resgata o tempo em que o homem não conhecia os números na forma

de fração, mas a necessidade de medir suas terras, a quantidade de lã produzida, a

colheita da safra, entre outras medidas que requeriam exatidão, levou o homem a criar

unidades padrão para as medidas. Campos e Rogrigues (2007) explicam que o

surgimento dos números racionais ocorre a partir da necessidade do homem em

comparar grandezas, pois as habilidades de contar do homem da época já não

satisfaziam questões como contar quantas vezes uma grandeza era maior que a outra.

Com a evolução do homem e da própria Matemática, as funções do uso dos

números racionais se ampliaram. A forma com que o número racional ou fracionário é

expresso hoje como no exemplo de , onde o número 1 é o numerador e o número 4 é o

denominador, separados por uma barra horizontal, sofreu uma evolução histórica

milenar, passando da Idade da Pedra, às civilizações da antiguidade, egípcios, gregos,

árabes, hindus, babilônicos, até a sociedade atual que vê materializada nos

computadores a evolução da Matemática, com processamentos numéricos nunca antes

alcançados.

Ao longo da história dos números racionais notamos variações quanto ao

uso e a forma com que eram aplicados. O homem da antiguidade “utilizava unidades

pequenas para eliminar a necessidade de usar frações”. Naquele tempo, com a



descoberta do Papiro de Rhind1 o uso de frações já se mostrava familiar na Matemática

egípcia. As frações tinham a forma diferente da atual, eram apresentadas com a ideia de

unidade, como no exemplo do 1/20, que era representado pelo inteiro 20 (BEZERRA,

2001). Os babilônios, por sua vez, adotavam para as frações uma notação de horas,

minutos e segundos, como no exemplo 10/60 eram escritos como 10 minutos e 15/3600

representava 15 segundos (PATRONO, 2011). Segundo Bezerra (2001) os hindus

chegaram a utilizar a notação decimal e simbolizar as frações como as conhecemos

hoje, tendo o numerador e o denominador separados por uma barra vertical, que

posteriormente foi aperfeiçoada pelos árabes para a barra horizontal, utilizada na

notação de frações hoje.

Os relatos históricos nos mostram que a necessidade do uso das frações

eram, em geral, em medições de terras, para que o Estado pudesse calcular os impostos

da época, como ocorria no Egito. Contudo, as unidades utilizadas para medir as

propriedades não eram adequadas para representar o número de vezes que as terras eram

divididas, logo os egípcios criaram o número fracionário. Foram utilizadas frações

unitárias que possibilitavam cálculos com o significado de parte-todo. Os mesopotâmios

fizeram uso das frações nos textos de economia relacionados à partilha de bens aos

herdeiros, para o qual utilizavam regras de divisão que permitiam representar os

resultados em valores aproximados (BEZERRA, 2001; PATRONO, 2011).

Os gregos foram os primeiros a apresentar noções e experimentos

científicos com as frações. Conceberam os números racionais como razões entre

inteiros, empregaram no aperfeiçoamento dos cálculos de propriedades de terras e

registros de câmbio de moedas e no desenvolvimento dos estudos da música, quando

descobriram as relações matemáticas das notas musicais com o comprimento das cordas

que emitiam os sons. Os chineses, nos relatos históricos, utilizavam as frações como

medidas, partes não inteiras dos resultados de divisões e utilizavam o mínimo

denominador comum. Os islâmicos, por sua vez, foram os que apresentaram grande

interesse nas frações como instrumento de cálculo (BEZERRA, 2001; PATRONO,

2011).

1 Descoberto em 1858 e escrito por volta de 1650 a. C, o Papiro de Rhind foi escrito por um escriba

chamado Ahmés e consiste em um guia prático da Matemática egípcia sobre o conhecimento do uso de

frações.



Com forte influência mercantil, a Matemática e o uso das frações nas

relações comerciais passaram a ganhar força na segunda metade do século XVI.

Pensadores como Fibonacci (nascido por volta de 1175, introduziu o conceito dos

números de Fibonacci), Leopold Kronecker (nascido na Alemanha em 1823,

desenvolveu estudos importantes sobre a Álgebra e as frações), Simón Stevin (nasceu

em 1548 em Bruges, na Bélgica, desenvolveu estudos sobre o algebrismo e o uso do

sistema decimal de frações), entre outros, desenvolveram conceitos, experimentos e

aplicações a partir do final da Idade Média, que embasam a forma representativa de

frações que conhecemos hoje (BOYER, 1974).

Com o avanço tecnológico e da capacidade de processamento das

informações e cálculos matemáticos pelos computadores, a Matemática torna - se ainda

mais presente na vida das pessoas. Conhecer a história e a evolução dos números, em

especial das frações, nos permitiu perceber a evolução do homem e a sua necessidade de

conhecer as operações matemáticas para uso em tarefas do dia a dia. A seguir, serão

discutidos conceitos e significados para o ensino dos números racionais.

2.2. Principais conceitos e significados no ensino dos números racionais

No ambiente escolar os números racionais já aparecem, há muitas gerações,

inseridos nos livros didáticos e nos conteúdos ministrados em sala de aula por

professores de Matemática. No entanto, algumas dificuldades sobre o ensino de frações

vêm despertando o interesse em inúmeros pesquisadores da Educação Matemática por

investigar as causas desses obstáculos didáticos para professores e alunos no processo

de ensino e aprendizagem de frações. Segundo Bezerra (2001) o estudo dos números

racionais apresenta-se como um dos temas de maior dificuldade na disciplina de

Matemática no Ensino Fundamental. Para Drechmer e Andrade (2011) a compreensão

dos números racionais envolve uma gama de aspectos que dificultam sua compreensão,

e que, portanto, para o ensino de frações os professores devem oportunizar aos alunos o

contato com situações diversificadas e contextualizadas que venham contribuir para a

construção da aprendizagem do conceito de frações.

Para Justulin e Pirola (2008) o ensino e a aprendizagem de frações são

ministrados por professores com contextos fora da realidade do educando. Para os

autores o ensino de frações ocorre de forma complexa, apoiado em regras e fórmulas,



com procedimentos mecanicistas, prontos e acabados, com enunciados e questões que

propõem problemas com contextos distantes da realidade cotidiana do aluno, de modo a

criar uma aversão a esse conceito matemático que dificulta a sua compreensão e impede

o desenvolvimento de soluções para os problemas propostos.

A complexidade do conceito e do ensino de frações também é destacada por

Magina, Bezerra e Spinillo (2009) em seus estudos com crianças do Ensino

Fundamental, no qual observaram aspectos como o fato do aluno não compreender o

princípio da invariância (conservação de quantidades) e não dispor de um pensamento

reversível que lhe permita perceber que a soma das partes é igual ao todo inicial que as

originou. A dificuldade com a linguagem e a notação típica de frações. O paralelo que

as crianças traçam sobre os números inteiros e as frações, acreditando que a

representação simbólica nada mais é que dois números inteiros, um sobre o outro. Os

autores discorrem ainda que o próprio conceito de fração é de natureza complexa e

multifacetada:

...dependendo da situação em que esteja inserida, a fração pode assumir

diferentes significados: (i) um número em uma reta numérica (um inteiro e

dois terços); (ii) um operador (um terço de 12 bolinhas de gude); (iii) um

quociente derivado de uma divisão (duas barras de chocolate repartidas entre

três crianças); e (iv) uma relação parte-todo (uma fatia de pizza dividida em

12 fatias). Outro exemplo dessa complexidade é o fato que a fração estar

fortemente associada a outros conceitos igualmente complexos como divisão,

probabilidade, porcentagem, razão e proporção (MAGINA, BEZERRA E

SPINILLO; 2009).

Esta ideia multifacetada e de diferentes significados do conceito de frações é

recorrente nos estudos de pesquisadores em Educação Matemática. Os estudos de

Drechmer e Andrade (2011), Campos e Rodrigues (2007), Silva (2007), Justulin e

Pirola (2008), Magina, Bezerra e Spinillo (2009) e Rosa e Viali (2008), apresentam

cinco significados sobre os números racionais. Para o significado de número a

representação da fração ocorre na forma decimal ou ordinária, ou seja, uma fração ,

com b 0, pode ser um número posicionado em uma reta. O significado de parte-todo é

a representação da parte de um todo dividido em n partes iguais, onde representa cada

uma das partes, o denominador representa a quantidade de vezes que a fração foi

dividida e o numerador a quantidade de partes que foram consideradas na fração. O

significado de medida está associado à ideia de comparação entre duas grandezas, e



pode se referir a quantidades discretas ou contínuas. Este significado está associado aos

conceitos de percentual e probabilidade, onde a razão pode variar no intervalo de 0 a 1,

sendo este número uma fração, na maioria dos casos. O significado de quociente é

empregado quando a divisão é a melhor maneira de resolver o problema, ou seja,

quando a situação , com b 0, é utilizada para escrever a b. Por fim, o significado

de operador multiplicativo “atua como fator transformador de um número ao ser

multiplicado por ‘a’ e, logo em seguida, dividido por ‘b’”. Este fator pode ser visto

como valor escalar aplicado a uma quantidade indicada ou contínua, de forma a reduzir

ou ampliar o resultado da operação.

Esses cinco significados para os números fracionários são os mais comuns

no ambiente escolar. Entretanto os livros didáticos, em geral, suprimem alguns destes

significados, priorizando outros. Como exemplo, os significados de número e quociente

são pouco abordados nos livros didáticos, promovendo assim a ausência destes

significados no planejamento das aulas por professores que desconhecem o significado

ou por não possuírem material didático que possam auxiliá-los. Por outro lado, estes

mesmos livros enfatizam o significado de parte-todo para o ensino de frações, de modo

a tornar este o significado mais comum nas aulas sobre o ensino de frações (SANTOS,

2005). Para Teixeira (2008), o livro didático, como principal instrumento de apoio

didático ao professor, deixa lacunas quanto aos significados de fração, pois nem todos

os significados são explorados.

Para Magina, Bezerra, Spinillo (2009) são inúmeras as críticas a respeito do

ensino de frações na escola. Os autores destacam que “o ensino de frações tem se

caracterizado por uma ênfase no simbolismo e na linguagem Matemática, na aplicação

mecânica de algoritmos (sobretudo na aritmética de frações) e no uso de representações

diagramáticas”. Para que as dificuldades sejam superadas tornam-se necessárias

mudanças e inovações no ensino de frações no contexto escolar, com suporte em

pesquisas de especialistas em Educação Matemática, que apontam para uma

reformulação nos textos didáticos de forma a melhor auxiliarem os professores e no uso

de novos instrumentos pedagógicos como as tecnologias digitais que possam, por meio

dos diversos atributos tecnológicos, auxiliar o professor e estimular o aluno para uma

nova forma de aprendizado.



Nesta pesquisa entre os significados de frações, nos apropriamos do

significado de parte-todo para a construção do software educacional, por ser o mais

utilizado pelos professores e livros didáticos. Ao longo do texto discutiremos o uso de

situações didáticas, resolução de problemas e o uso de tecnologias digitais como

instrumento pedagógico que podem auxiliar o professor a explorar novas abordagens

metodológicas para o processo de ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos de

forma significativa. Para que esta mudança no ensino de matemática ocorra é preciso

que o professor domine o conceito a ser ensinado, e utilize instrumentos didáticos que

possam auxiliá-lo a uma prática docente que estimule no aluno o interesse pelo assunto,

motive a construção do conhecimento de forma ativa e participativa, para que o

processo de ensino e aprendizagem tenha bons resultados.



3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS E CONCEPÇÕES SOBRE O ENSINO DE

FRAÇÕES

Neste capítulo apresentaremos os pressupostos teóricos que sustentam nossa

tese a partir da teoria sócio-histórica de Vygotsky sobre a qual trataremos os aspectos do

processo de ensino e aprendizagem ancorados no conceito de zona de desenvolvimento

proximal. Discutiremos a teoria das situações didáticas e o aprendizado a partir de

situações problemas, e a aprendizagem significativa, sobre a qual apoiamos a sequência

didática aplicada no uso do software educacional proposto no experimento. E a

engenharia didática como proposta metodológica que nos permitiu estruturar a pesquisa

de forma a investigar o processo de ensino e aprendizagem de operações com frações.

3.1. Teoria sócio-histórica de Vigostsky

A opção pela teoria sócio-histórica de Vygotsky traz consigo a inquietude

de aprofundar a investigação sobre o desenvolvimento humano a partir da sua interação

com o meio social e educacional. A estrutura da nossa pesquisa esta baseada nos anseios

de conhecer como o aluno se desenvolve, aprende e interage como ator do processo de

construção do seu saber social e escolar. Os estudos e as teorias de Vygostsky nos

auxiliaram a investigar o processo de ensino e aprendizagem dos alunos na interação e

mediação com o professor e os instrumentos pedagógicos no ambiente escolar, para os

conceitos de operações com frações, quando podemos conhecer suas habilidades e

dificuldades individuais, na sua zona de desenvolvimento proximal, durante a realização

das situações didáticas propostas no experimento da tese.

Lev Semenovitch Vygotsky foi um dos precursores nos estudos sobre o

desenvolvimento intelectual e linguístico das crianças relacionados à aprendizagem a

partir da interação social com o meio. Vygotsky destacou-se pelos estudos sobre as

pessoas com deficiências primárias (determinadas organicamente) e secundárias

(originadas no meio sociocultural), a educação inclusiva e o conceito de zona de

desenvolvimento proximal. Para Vygostky o indivíduo deficiente ou aquele que

apresenta dificuldade de aprendizagem, traz consigo funções psicológicas que lhe

permitem a superação das mesmas, desde que o meio social possibilite a compreensão e

o equilíbrio psicossocial desse indivíduo. As possibilidades de desenvolvimento de toda

e qualquer pessoa devem ser trabalhadas nas funções psicológicas superiores, que se



desenvolvem na ação social, por intermédio do uso de instrumentos culturais

(VYGOTSKY, 1998; VYGOTSKY, 2001).

Vygotsky (1998) focalizou o desenvolvimento e o aprendizado a partir de

aspectos qualitativamente diversos das pessoas, em virtude não apenas de suas

diferenças filogenéticas, mas das peculiaridades de suas relações sociais (fatores

ontogenéticos e sociogenéticos). O ser humano se desenvolve segundo quatro planos

genéticos: a filogênese, que representa a história da espécie do indivíduo; a sociogênese,

representada pela história cultural de cada um, sendo esta o alargador das

potencialidades humanas; a ontogênese, que é a história do indivíduo e; a microgênese,

como aspecto microscópico do desenvolvimento humano (VYGOTSKY, 2001; LIMA,

2009).

As características tipicamente humanas, como as formas superiores da

memória, do pensamento, do caráter, do comportamento, da atenção e da capacidade de

planejamento definidas como funções psicológicas superiores, são resultantes da

interação dialética entre o homem e o seu meio sociocultural (VYGOTSKY, 2001). Para

Vygotsky (2001), não se pode pensar o desenvolvimento psicológico como um processo

abstrato, descontextualizado, universal, ele está baseado nos modos culturalmente

construídos de representar o real. Esta representação do real é feita através da utilização

de signos e instrumentos.

O instrumento é o elemento que aproxima o homem de suas atividades, seu

trabalho, como um recurso que amplia as possibilidades de transformação da natureza,

onde esses instrumentos fazem uma mediação entre a ação do homem com o mundo e o

próprio mundo (VYGOTSKY, 1993). O instrumento é qualquer objeto ou elemento que

tem alguma utilidade prática como, por exemplo, o computador e os softwares

educacionais. Já os signos são instrumentos psicológicos orientados para o próprio

sujeito e focados no controle de ações psicológicas, seja do próprio indivíduo, seja de

outras pessoas (VYGOTSKY, 2001). Para o autor, signos são elementos que lembram

ou simbolizam algo e, portanto, podem ser usados para significar alguma coisa que foi

criada culturalmente ou modificada pela experiência e que trazem algum significado

implícito. Logo, se signos são construções sociais, pessoas de diferentes culturas podem

ter signos diferentes entre si, ou ainda, determinados signos para uns não os são para



outros, porque viveram em contextos diferentes ou porque não conseguiram internalizá-

los.

No processo de aprendizagem e desenvolvimento, os homens utilizam

instrumentos e signos para que sua relação com o mundo não seja uma relação direta,

mas uma relação mediada, sendo os sistemas simbólicos os elementos intermediários

entre o sujeito e o mundo (VYGOTSKY, 2001). A criança na sua interação com o meio,

seja na escola, em casa, na relação com os pais, colegas ou professores, utiliza-se de

instrumentos e signos para realizar atividades estabelecidas ou de sua escolha, tendo

pessoas mais experientes mediando esta relação na sua zona de desenvolvimento

proximal.

O conceito de zona de desenvolvimento proximal desenvolvido por

Vygotsky é uma área potencial de desenvolvimento cognitivo, definida entre o nível de

desenvolvimento real da criança, que se determina pela capacidade de resolver

problemas sozinha e o seu nível de desenvolvimento potencial, que se caracteriza pela

capacidade de resolução de atividades através da mediação de adultos ou da colaboração

com outras crianças mais habilidosas (VYGOTSKY, 1998). Segundo o autor a zona de

desenvolvimento proximal caracteriza o desenvolvimento cognitivo prospectivamente,

ou seja, como um processo evolutivo na relação do homem com o meio social em

constante evolução. Entretanto é importante frisar que o conceito de zona de

desenvolvimento proximal apresenta um valor explicativo, porém não é um conceito

instrumental (OLIVEIRA, 1997). Para cada criança existe uma zona de

desenvolvimento proximal, que se desenvolverá de forma individual e diferenciada

através das interações da criança com o meio, os instrumentos, os conceitos e os objetos

de aprendizado em cada micro momento.

Vygotsky (2001) afirma que a escola deve funcionar como meio adequado

para a aprendizagem e o desenvolvimento individual, através das interações sociais da

criança com os professores, os colegas e os instrumentos didáticos, atuando na zona de

desenvolvimento proximal enquanto mediadores sociais, possibilitando assim o

desenvolvimento e a aprendizagem. A mediação ocorre de forma instrumental e social

quando o aluno interage com o professor ou um colega mais experimente no assunto

estudado, com o uso de instrumentos pedagógicos que potencializam a aprendizagem e

a compreensão do conteúdo, como objetos concretos, jogos, tecnologias digitais. O



professor como mediador da aprendizagem identifica as dificuldades do aluno e atua

com os instrumentos e estratégias de ensino que possam potencializar suas habilidades e

a construção do conhecimento de forma significativa.

Dentro dessa perspectiva direcionada ao contexto escolar, o professor ou

outro colega é visto como um par mais habilidoso, vindo a ajudar o aluno na resolução

de tarefas que o mesmo não conseguiria realizar sozinho. E é durante esta interação

social que o aluno aprende a regular os seus processos, pensamentos e ações planejadas.

Consoante a essa interação Vygotsky (2001) considera que a regulação destes processos

ocorre a partir das indicações e das diretrizes de pessoas mais habilidosas na zona de

desenvolvimento proximal dos alunos, resultando no processo de internalização.

Podemos considerar que a compreensão de mundo, por parte dos alunos, ocorre

dialeticamente também na escola, provocada pelo censo investigativo e de discussão

inerente ao ambiente escolar. Estas atividades, que a princípio são externas e

interpessoais, passam a ser internalizadas como funções psicológicas superiores

(LAMPREIA, 1992).

Para Vygotsky (2001), o processo de internalização está diretamente ligado

ao conceito de mediação. O conceito de mediação foi adotado ao longo desta pesquisa

durante a realização das atividades de operações com frações pelos alunos do 6º ano do

ensino fundamental I, o qual ocorre na interação entre o aluno e seu professor, que atua

como mediador do conhecimento com o uso do software educacional no

desenvolvimento do aprendizado.

Os aspectos sócio-históricos sobre o desenvolvimento humano e o conceito

de zona de desenvolvimento proximal estudados nas teorias de Vygotsky norteiam a

concepção de ensino e aprendizagem que adotamos nesta pesquisa. A aprendizagem do

aluno, para que seja de fato significativa, deve estar alicerçada nos conhecimentos

prévios (nível de conhecimento real) e ser estimulada por instrumentos pedagógicos

propostos pelo professor, que atuem na zona de desenvolvimento proximal2 do aluno

para que se desenvolva e transforme o nível de conhecimento potencial, em um novo

conhecimento real. Logo, para que pudéssemos explorar esta interação do conhecimento

2 Zona de Desenvolvimento Proximal foi o conceito elaborado por Vygotsky para o espaço de

aprendizagem entre o nível de conhecimento real e o conhecimento potencial da criança, no qual ocorrerá

a interação da criança com novos conhecimentos, até transformar este novo conhecimento (potencial) em

conhecimento real.



e aprendizagem na zona de desenvolvimento proximal dos alunos que atuaram na

pesquisa, adotamos a teoria da aprendizagem significativa de Ausubel para analisar o

desenvolvimento cognitivo dos alunos a partir dos seus conhecimentos prévios na

resolução dos problemas propostos nas situações didáticas através do software

educacional, como experimento da tese.

3.2. Aprendizagem Significativa

A teoria da aprendizagem significativa foi desenvolvida por Ausubel na

década de 60. Consiste em uma reflexão sobre o processo de ensino e aprendizagem no

contexto escolar, tendo como foco a aprendizagem a partir dos conhecimentos e

competências prévias do aluno, o uso da linguagem e de contextos que representem

significado no cotidiano extraescolar. Ausubel, Novak, Hanesian (1978), salienta que “o

fator isolado mais importante que influencia a aprendizagem é aquilo que o aluno já

sabe”. Este conhecimento prévio do aluno é a base para que ocorra a aprendizagem

significativa na sua zona de desenvolvimento proximal e potencialize o seu

desenvolvimento e aprendizado cognitivo para um nível de conhecimento real, novo e

mais elaborado.

A aprendizagem significativa é concebida a partir da abordagem

construtivista que percebe o conhecimento como algo a ser construído de tal forma que

o aluno entenda o conteúdo e atribua um significado seu. Esta teoria transforma o

espaço escolar com uma proposta metodológica que propõe a organização e integração

do conteúdo a partir de instrumentos, signos e conceitos que tenham significado e sejam

relevantes para o aluno (AUSUBEL, 1976; NOVAK, 1981).

Para Ausubel (1982) as mudanças na estrutura cognitiva preexistente do

aluno ocorrem desde que o conteúdo tenha sido aprendido de forma significativa, de

maneira não arbitrária e não literal. Novas ideias e informações podem ser aprendidas e

retidas na medida em que conceitos relevantes e inclusivos estejam claros e disponíveis

na estrutura cognitiva do aluno, e funcionem como suporte às novas ideias e conceitos,

a partir da aprendizagem por descobertas e recepção. No processo de aprendizagem por

recepção o conteúdo ensinado ao aluno é apresentado de forma acabada, ou seja, é

organizado e transmitido pelo professor. No processo de aprendizagem por descoberta,

o conteúdo a ser ensinado é preparado para estimular no aluno a criatividade e a



descoberta dos conceitos para que possa interagir como ator na construção do seu

conhecimento.

O planejamento didático e a utilização de organizadores prévios se tornam

eficaz para uma aprendizagem significativa na medida em que os subsunçores existentes

na estrutura cognitiva do aluno são gerais e não possuem especificidades e clareza sobre

o conteúdo para funcionarem como ideias ancoradas. Ausubel, Novak, Hanesian (1980)

explica que os subsunçores são ideias, conceitos ou proposições existentes na estrutura

cognitiva do aluno. Zimmer (2010) acrescenta que os subsunçores podem ser criados e

modificados a partir da aquisição de significados para signos ou símbolos de conceitos,

que ocorre de maneira gradual e idiossincrática para cada aluno. Moreira (1999)

considera que a origem dos subsunçores se define em dois momentos, na aprendizagem

mecânica e na formação de conceitos. A aprendizagem mecânica ocorre quando são

apresentados aos alunos conceitos e proposições em uma nova área de conhecimento.

Estes conceitos passam a ser internalizados e aperfeiçoados e a aprendizagem se torna

significativa quando os alunos se tornam capazes de ancorar novos conhecimentos. A

formação de conceitos é evidente no desenvolvimento da criança pequena e envolve a

generalização de áreas e conhecimentos específicos, a partir da aprendizagem por

descoberta, na idade escolar, quando a criança já desenvolveu um conjunto de conceitos

que favorecem sua aprendizagem significativa.

A aprendizagem significativa, segundo Moreira (1999) está alicerçada em

dois processos, a diferenciação progressiva e a reconciliação integrativa. A

diferenciação progressiva é a modificação de um subsunçor pelo processo de interação e

ancoragem, quando um novo conceito ou proposição é aprendido. Os conceitos e

proposições mais gerais devem ser introduzidos e apresentados no início da situação

didática ou instrução do conceito e no seu desenvolvimento progressivo ser tratadas e

diferenciadas as suas especificidades. A reconciliação integrativa ocorre quando novas

informações são adquiridas e ideias são estabelecidas na estrutura cognitiva, no

desenvolvimento de novas aprendizagens, que podem se integrar e reorganizar,

produzindo novos significados. A relação entre as ideias deve ocorrer durante o

processo de ensino para que sejam apontados aspectos comuns e diferenças relevantes

para a construção do novo conhecimento.



O processo de ensino e aprendizagem quando orientado para uma

aprendizagem significativa atua diretamente na zona de desenvolvimento proximal do

aluno, conectando o conhecimento prévio a conceitos superiores, mais elaborados e

inclusivos na estrutura cognitiva, para a construção de novos conhecimentos. Ausubel

(1999) aponta as condições necessárias para que ocorra a aprendizagem significativa,

destacando que o conteúdo didático e o material organizado para o ensino devem ter

elementos significativos para o aluno. O professor deve conhecer o nível de

conhecimento real do aluno, de modo que os conhecimentos prévios estejam instalados

na estrutura cognitiva e possam se conectar a novos conhecimentos. Quanto ao aspecto

individual e motivacional, o aluno precisa estar predisposto a aprender de maneira

significativa para que consiga relacionar os novos conhecimentos aos conceitos prévios

já concebidos em sua estrutura cognitiva. Outro aspecto importante no processo de

ensino e aprendizagem significativa é o papel da avaliação, uma vez que é na avaliação

que se evidencia se os alunos compreenderam o conteúdo ensinado e utilizam os

significados de forma conceitual, e não apenas por memorização.

Este ensino significativo que instiga o aluno a aprofundar e ampliar os

significados que constrói, norteou o desenvolvimento desta pesquisa. Compreender o

contexto histórico e social, os conhecimentos prévios, os signos e materiais pedagógicos

significativos ao aluno para que se possibilite a construção do conhecimento e a

aprendizagem de conceitos matemáticos a partir das concepções de Vygotsky e de

Ausubel foram balizadores para a organização e planejamento das situações didáticas

vivenciadas na pesquisa e na sistematização do processo de avaliação da produção dos

alunos nas sessões de ensino.

3.3. A teoria das Situações didáticas e o aprendizado a partir da resolução de

problemas

Para sistematizar nossa pesquisa optamos pela teoria das Situações

Didáticas de Brousseau que nos proporcionaram condições de construir uma sequência

de atividades que visam à ação, formulação, validação e institucionalização do conceito

das operações com frações.

Guy Brousseau foi o precursor da teoria das Situações Didáticas e um dos

pioneiros da Didática da Matemática Francesa. Brousseau (2008) desenvolveu a teoria



das situações didáticas como um conjunto de múltiplas relações pedagógicas

estabelecidas entre o professor, o aluno e o saber, que formam um ambiente de

construção do conhecimento para uma aprendizagem significativa de um conteúdo

específico. Para Pais (2001) as situações didáticas devem estar inseridas em um

contexto que seja significativo para o aluno e proporcione o enfrentamento de

dificuldades e contradições, como forma de estimular a investigação científica e a

capacidade de formular, provar, construir modelos, linguagens e troca de informações

na interação com o professor e os alunos em sala de aula.

As teorias de Vygotsky e Brousseau se complementam ao destacar a

importância do ambiente sociocultural em que o aluno se desenvolve e das interações

que estabelecem com o professor e os instrumentos de aprendizagem para a construção

do saber escolar. A construção do conhecimento em um ambiente sociocultural

significativo se manifesta na zona de desenvolvimento proximal do aluno que

desenvolve, adapta e acomoda, a partir dos seus conhecimento antigos (nível de

conhecimento real) um novo conhecimento (nível de conhecimento potencial).

Brousseau (2004) desenvolveu uma tipologia das fases da situação didática

para analisar as relações existentes entre as atividades de ensino com as diversas

possibilidades de uso do saber matemático. A situação de ação é aquela em que o aluno

realiza procedimentos mais imediatos para a resolução de um problema, em que

predomina a produção de um conhecimento de natureza mais experimental e intuitiva

que teórica dos conceitos matemáticos envolvidos (PAIS, 2001). Nesta fase, o aluno

consegue apresentar a resposta correta de um problema, mas não sabe explicitar os

argumentos por ele utilizados na sua elaboração. Na prática pedagógica, o desafio

consiste nas escolhas de estratégias para que o aluno possa agir diretamente sobre o

problema, nas suas interações em sala de aula, e que possa construir uma representação

da situação que lhe sirva como modelo e de guia para tomar decisões. A situação de

formulação é o momento em que o aluno passa a utilizar, na resolução de um problema,

algum esquema de natureza teórica, contendo um raciocínio mais elaborado que um

procedimento experimental. Nesta fase o aluno passa a conjecturar hipóteses, ideias e

teorias, e apresenta um conhecimento mais elaborado, sem explicitar suas proposições e

razões lógicas da validade, pois ainda não se sente na intenção de julgar a validade do

conhecimento (BROUSSEAU, 2004; PAIS, 2001).



As situações de validação são aquelas em que o aluno já utiliza mecanismos

de provas e o saber elaborado por ele passa a ser usado com a finalidade de validar suas

hipóteses. Para Brousseau (2004) embora o ambiente escolar não tenha a mesma

natureza formal das comunidades científicas, um dos valores educacionais da ciência é

propiciar ao aluno a experiência de dá validação, com a argumentação, contestação e a

até mesmo a rejeição do saber que ele ainda não compreende. Nesta fase o aluno é

instigado a rever suas opiniões, refutar teorias e formular suas validações implícitas,

voltadas a questão da veracidade do conhecimento. As situações de institucionalização

têm por finalidade realizar a passagem do conhecimento do plano individual para o

plano universal, histórico e cultural do saber científico estudado pelo aluno sob a

mediação do professor. É neste momento que o conhecimento elaborado nas relações

entre o aluno, professor e o saber, passa a ser aceito e a ter validade pelo ambiente

sociocultural. A institucionalização do saber escolar se torna relevante quando o aluno

compreende o significado do conteúdo e percebe a necessidade de integrar seu

conhecimento a uma teoria mais ampla (BROUSSEAU, 2004; PAIS, 2001).

Essas situações didáticas estão compreendidas nas atividades desenvolvidas

nesta tese e podem ser percebidas nos momentos de interação dos alunos na resolução

das atividades aplicadas com a mediação do professor e o uso do software educacional,

nas quais os alunos resolvem problemas matemáticos de operações com frações e são

motivados a apresentar respostas com argumentos teóricos e a elaborar respostas

textuais e regras matemáticas que possam constituir um conhecimento universal em sala

de aula para a resolução das operações com frações. A estrutura do experimento da tese

observou os aspectos do Contrato Didático que Brousseau (2004) define como um

modelo didático que envolve uma situação de ensino em função das relações entre

professor, aluno e conhecimento. É a partir do contrato didático que as regras

pertinentes ao sistema constituído pelo professor, aluno e conhecimento podem ser

estudadas para um melhor domínio do processo de ensino e aprendizagem. O contrato

didático, retoma o sentido de contrato social de Rousseau (1712-1778)3 e o contrato

3 Rousseau propõe uma forma de compreender o funcionamento da sociedade e suas implicações na

educação. A educação deveria se aproximar, o máximo possível, de uma vida livre para que a criança

pudesse desenvolver suas potencialidades.



pedagógico de Filloux (1974)4 e explica que as várias relações decorrentes do

funcionamento do contrato didático, acrescidas do caráter específico do saber científico

matemático, tornam mais compreensíveis o emprego de regras que constituem o

contrato e seus pontos de ruptura. Portanto, cabe ao professor apropriar-se das

especificidades educacionais do conceito matemático que ensina e estabelece as regras

do contrato didático com os alunos, para que possa influenciar diretamente o sucesso do

trabalho didático (PAIS, 2001).

Brousseau (2004) ressalta que as situações didáticas contribuem para que o

aluno possa desenvolver autonomia intelectual e que o saber escolar aprendido lhe

proporciona condições para compreender e participar do mundo em que ele vive. No

entanto, é preciso considerar que existem muitas situações que, mesmo contribuindo

para a formação de conceitos, não estão sob o controle pedagógico do professor, as

quais o autor define como situações adidáticas. Para Brousseau (2008) as situações

didáticas e adidáticas não devem ser compreendidas separadamente, pois as situações

adidáticas estão contidas nas situações didáticas. O desafio pedagógico diante das

situações didáticas e adidáticas está em estabelecer os aspectos que estão sob o controle

do professor e os que, mesmo sem a mediação direta do professor, possam inferir no

desenvolvimento cognitivo do aluno. Considerar as adidáticas é perceber sua

importância didática para a aprendizagem do aluno, que aplica o conhecimento que está

construindo em situações não previstas e que implicam influências cognitivas do

ambiente extraescolar (PAIS, 2001). As situações adidáticas ressignificam o papel do

professor que assume, para além do contexto de sala de aula, o papel de estimular e

orientar o aluno na construção e produção do seu conhecimento.

A sequência didática e os instrumentos utilizados nesta pesquisa refletem o

percurso da teoria das situações didáticas e foram organizados e estruturados sob os

pressupostos metodológicos da engenharia didática que contempla uma dimensão

teórica e experimental na prática educativa de forma a possibilitar ao aluno a construção

de um conhecimento significativo sobre as operações com frações, com a mediação do

professor e o uso do software educacional no laboratório de informática da escola, a

partir da resolução de problemas contextualizados e significativos para a turma.

4 Para Filloux (1974) o conceito de contrato pedagógico destaca a inconveniência de predominar uma

superioridade do professor em relação ao aluno. Pois isso reproduziria o jogo social das relações de poder

no ambiente escolar.



3.4. Engenharia Didática

A Engenharia Didática se caracteriza por uma forma particular de

organização dos procedimentos metodológicos da pesquisa em Didática da Matemática

(PAIS, 2001). Para Artigue (1996) a Engenharia Didática possibilita um esquema

experimental baseado nas realizações didáticas em sala de aula, e uma sistematização

metodológica para a realização prática da pesquisa, ao considerar as relações de

dependência entre a teoria e a prática, levando à concepção, realização, observação e

análise de uma sequência de ensino.

As características funcionais de um engenheiro são marcantes na estrutura e

nos procedimentos metodológicos da Engenharia Didática. Para o engenheiro uma obra

para ser iniciada, precisa necessariamente ser concebida e planejada, para

posteriormente ser executada. A Engenharia Didática propõe ao trabalho científico

características semelhantes, quando articula a construção do saber matemático a uma

prática reflexiva diante de uma sequência didática experimental e orienta o pesquisador

da didática à concepção, planejamento e execução do projeto. No ambiente de sala de

aula, a Engenharia Didática proporciona ao professor desenvolver a ação pedagógica

como um objeto de investigação, no qual ele possa refletir, avaliar e ressignificar sua

prática docente para entender as necessidades, dúvidas e dificuldades dos alunos, e

estabelecer estratégias que identifiquem as causas dos entraves para o aprendizado, para

que sejam superadas e permitam a construção de uma aprendizagem significativa

(PAIS, 2001; ARTIGUE 1996).

A Engenharia Didática como metodologia de pesquisa, quando executada é

composta de quatro fases consecutivas: análises preliminares; concepção e análise a

priori; aplicação de uma sequência didática (experimentação); e a análise a posteriori

e validação (ARTIGUE, 1996; PAIS, 2001).

Abaixo, apresentamos as fases das Engenharia Didática, seus objetivos e

resultados a serem alcançados com a sua execução de forma espiral e consecutiva.

Análises preliminares: esta é a primeira etapa da Engenharia Didática. É

neste momento que o pesquisador seleciona e realiza os estudos dos referenciais

teóricos que nortearão a construção da sequência didática. As informações coletadas

devem considerar os conhecimentos didáticos prévios do pesquisador, a análise

histórica, epistemológica, cognitiva e pedagógica do conceito aplicado, as práticas



didáticas usuais realizadas em sala de aula pelos professores, a concepção dos alunos e

professores e as dificuldades do processo de ensino e aprendizagem do objeto de estudo.

Concepção e análise a priori: nesta etapa o pesquisador delimita as

variáveis de controle do sistema de ensino que interferem nas situações didáticas e que

permitem conhecer e analisar o objeto de estudo no experimento da pesquisa. As

variáveis de controle são distintas e classificadas em globais e locais. As variáveis locais

ou micro didáticas são as que se referem ao planejamento específico de uma sessão ou

aula da sequência didática, restrita a uma fase da pesquisa. As variáveis globais ou

macro didáticas referem-se à elaboração global das sessões da sequência didática. É

sobre o conjunto das variáveis locais e globais que se inicia a análise a priori que visa

estabelecer um controle de ensino entre as variáveis escolhidas e relacionar o objeto de

estudo com a sequência didática proposta e os conhecimentos prévios dos alunos para

construção e apreensão do conhecimento.

Experimentação (aplicação de uma sequência didática): é nesta etapa

que o pesquisador pode relacionar os resultados práticos com a análise teórica. Na fase

da experimentação é o momento em que se aplica a sequência didática, composta por

um certo número de sessões de ensino planejadas e analisadas previamente com a

finalidade de observar as situações de aprendizagem, envolvendo os conceitos previstos

na pesquisa didática. Nestas aulas ou sessões de ensino o pesquisador precisa estar

atento ao maior número possível de informações que possam contribuir para conhecer e

analisar o fenômeno estudado. É importante que se utilize instrumentos para o registro

apurado das atividades, tais como filmagens, cadernos de anotações, e observações

diretas para que as circunstâncias reais ocorridas durante as sessões de ensino sejam

fidedignas e claramente descritas no relatório final da pesquisa.

Análise a posteriori e validação: esta é a última etapa da Engenharia

Didática. Este é o momento em que ocorre o tratamento das informações obtidas

durante a fase experimental da pesquisa, na aplicação da sequência didática. Nesta fase

o pesquisador deve compilar as informações registradas na experimentação para que a

análise atinja a realidade das observações realizadas em sala de aula, e a produção e

interação dos alunos, visando conhecer os procedimentos e percurso para a construção

do conhecimento e o desenvolvimento do raciocínio sobre o objeto de estudo. Para que

a análise a posteriori ocorra de forma mais ampla e completa é importante que se



complementem os dados obtidos por meio de técnicas que utilizem questionários,

entrevistas, caderno de anotações, gravações e filmagens, entre outras que possam

assegurar um arcabouço de registros. A validação dos resultados é obtida no confronto

entre a análise a priori e a posteriori, verificando as hipóteses levantadas na concepção

da pesquisa. A validação sob os aspectos metodológicos é a etapa em que a vigilância

deve ser ampliada, pois se trata de garantir a essência do caráter científico da pesquisa.

Nossa pesquisa está pautada no referencial teórico apresentado neste

capítulo. Nossas concepções sobre o ensino e a aprendizagem das operações com

frações em sala de aula, estão sustentadas na teoria sócio-histórica de Vygotsky e nos

estudos de Ausubel que nos permitiram planejar as situações didáticas desenvolvidas

por Brousseau para promover uma aprendizagem significativa, atuando diretamente na

zona de desenvolvimento proximal dos alunos, a partir dos seus conhecimentos prévios

e reais, para potencializar a construção de novos conhecimentos.

No capítulo a seguir, descreveremos o percurso metodológico a partir das

fases da Engenharia Didática, contemplando o contexto e os sujeitos da pesquisa, as

informações coletadas nas análises preliminares, as variáveis de controle concebidas na

análise a priori, as sessões de ensino e o planejamento para o tratamento e validação das

informações na análise a posteriori.



4. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E O SABER CIENTÍFICO

Neste capitulo buscamos discutir o processo de ensino e aprendizagem de

frações, a partir da perspectiva dos professores e livros didáticos, as dificuldades e erros

dos alunos na aprendizagem de frações e como as tecnologias digitais são utilizadas

para o ensino deste conceito. Analisamos 25 estudos, entre teses, dissertações e artigos

de autores, que investigam o ensino e o conceito de frações na Educação Matemática,

com um recorte temporal a partir do ano 2001.

4.1. O ensino de frações na perspectiva dos professores e dos livros didáticos

Para investigar o ensino de frações sob o olhar dos professores e livro

didáticos, analisamos 11 (onze) estudos científicos, conforme mostra o quadro resumo

abaixo, por ordem crescente do ano de publicação.

ORD TEMA AUTOR ANO

1 Investigando saberes de professores do ensino fundamental com enfoque

em números fracionários para quinta série.

Maria José Ferreira

da Silva

2005

2 O conceito de fração em seus diferentes significados: um estudo

diagnóstico junto a professores que atuam no ensino fundamental.

Aparecido dos

Santos

2005

3 Crença, concepção e competência dos professores do 1º e 2º ciclo do

ensino fundamental com relação à fração.

Raquel Factori

Canova

2006

4 Transposição e Mediação Didática no Ensino de Frações Diogo C.

Sant’Anna; Jane

Bittencourt; Sandra

Olsson

2006

5 O desafio do desenvolvimento profissional docente: análise da formação

continuada de um grupo de professores das séries iniciais do ensino

fundamental, tendo como o objeto de discussão o processo de ensino e

aprendizagem das frações.

Angélica de

Fontoura Garcia

Silva

2007

6 Concepções e práticas de professores sobre o ensino e a aprendizagem e

uma intervenção intencionalmente planejada no ensino de frações, por

meio da resolução de problema em um 5º ano do ensino fundamental.

Marcio Leite de

Bessa

2007

7 O professor, o ensino de fração e o livro didático: um estudo

investigativo.

Alexis Martins

Teixeira

2008

8 O erro na aprendizagem de frações no ensino fundamental: concepções

docentes.

Graciela Zanchet

Bocalon

2008

9 Conhecimento profissional docente de professoras das séries iniciais da

educação básica acerca da equivalência de números racionais na

Tânia Maria

Mendonça

2009



representação fracionária em um processo de formação continuada Campos; Angélica

da Fontoura Garcia

Silva

10 Concepções e competências de Professores Especialistas em Matemática

em relação ao Conceito de fração em seus diferentes significados.

Fábio Meneses

Costa

2011

11 A fração na perspectiva do professor e do aluno das séries iniciais da

escolarização brasileira

Tânia Maria

Mendonça

Campos; Sandra

Magina

2012

Quadro 01: Estudos sobre o ensino de frações na perspectiva dos professores e livros didáticos

O estudo realizado por Silva (2005) observou as concepções de fracionários

e da aprendizagem dos alunos, mobilizados pelos professores na elaboração de uma

sequência de ensino de frações para o 6º ano, bem como suas dificuldades e autonomia

durante essa construção. A autora apresentou questões que nortearam seu estudo, tais

como responder: i) que organização didática os professores constroem para o ensino de

números fracionários para o sexto ano do Ensino Fundamental durante a formação? ii) É

possível encaminhar professores de Matemática à reflexões que possibilitem mudanças

nas concepções que têm de seus alunos, proporcionando-lhes um novo lugar na

instituição escolar? iii) É possível em uma formação continuada, promover ações que

permitam aos professores alguma mudança em sua prática de ensino de números

fracionários para um sexto ano?

Como resultados em sua pesquisa, a autora constatou que os professores

constroem para o sexto ano “Organizações Matemáticas” para números fracionários,

muito rígidas com tipos de tarefas que associam sobretudo a concepção parte-todo em

contextos de superfícies, mobilizando a técnica da dupla contagem das partes e, com

menos incidência, a concepção de razão mobilizando a mesma técnica. Quanto às

concepções dos professores sobre seus alunos e às mudanças em sua prática docente,

foram constatadas mudanças nos sentimentos e emoções dos professores em relação aos

fracionários que propiciaram modificações em suas concepções desse conteúdo, e

alguns indícios de mudanças em suas práticas de ensino. A autora observou

modificações no discurso dos professores a respeito da aprendizagem dos alunos e da

maneira de observá-los em ação, desencadeadas pela aplicação de uma organização

didática elaborada na formação da turma.



O estudo de Silva (2005) explicitou quanto à formação docente a

necessidade dos professores desenvolverem autonomia e reflexão a respeito do

conteúdo e suas práticas docentes. Frisa-se nos resultados deste estudo a importância

pela formação continuada dos professores, que possibilite aos docentes rever suas

estratégias de ensino, experimentar novas possibilidades e principalmente, refletir sobre

suas concepções e atitudes na relação com os seus alunos.

Em outra pesquisa analisada, Santos (2005), objetivava compreender o

estado - concepções - em que se encontra o conceito de fração, para professores que

atuam no Ensino Fundamental. O autor teve como questão norteadora buscar reconhecer

as concepções dos professores que atuam no 1º e 2º ciclos (polivalentes) e no 3º ciclo

(especialistas) do ensino fundamental, no que diz respeito ao conceito de fração.

Os resultados obtidos pelo autor mostram uma tendência, tanto entre os

professores polivalentes, como especialistas, em valorizar a fração com o significado

operador multiplicativo na elaboração dos problemas. Quanto à resolução dos

problemas há uma valorização dos aspectos procedimentais - aplicação de um conjunto

de técnicas e regras (algoritmo) - nos três grupos. Santos (2005) concluiu a partir das

evidências apresentadas nos resultados que não existe diferença significativa entre a

concepção dos professores polivalentes e especialistas, seja na elaboração, ou na

resolução de problemas de fração em seus diferentes significados. É provável, que as

concepções desses professores carreguem fortes influências daquelas construídas na

Educação Básica, sobre a qual se apoiam e repetem a forma com que aprenderam de

seus professores.

A pesquisa de Canova (2006) aponta como questão a responder, qual o

entendimento que os professores dos 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental apresentam

em relação ao conceito de fração? A autora visava identificar e analisar as crenças,

concepções e competências dos professores que atuavam no 1º e 2º ciclos no Ensino

Fundamental no que diz respeito ao conceito de fração.

Os resultados obtidos por Canova mostraram que as crenças dos professores

não são influenciadas pela sua prática docente, ou seja, o ano em que o professor

encontra-se ministrando aula, não interfere em suas crenças com relação às possíveis

dificuldades apresentadas pelos alunos. Outro fato destacado pela autora foi de muitos

professores, não acharem fração um tema difícil para os alunos. Quanto às estratégias de



ensino Canova (2006) aponta que se resumiam ao uso de material concreto. Tais

respostas (estratégias de ensino) limitavam-se a ações para estimular a percepção dos

alunos (“trabalhar com o concreto”). Os resultados mostram que o conceito de fração

está longe de ser claro para a maioria dos professores que participaram da pesquisa.

Sobre a análise das concepções dos professores, percebemos na pesquisa de

Canova (2006) que não houve diferença significativa entre a quantidade de problemas

apresentados pelos professores, onde se verificou uma forte tendência em buscar a

solução do problema utilizando o significado parte-todo. Este resultado corrobora com o

estudo anterior de Santos (2005) sobre as concepções dos professores que carregam

fortes influências daquelas construídas, como aluno na Educação Básica.

Canova (2006) analisou também as situações-problemas criadas pelos

professores, e teve como resultado que quando a situação é elaborada, ela fica muito

próxima dos problemas encontrados nos livros didáticos e não necessariamente retratam

o cotidiano das pessoas; quando as situações-problemas foram apenas indicadas pelos

professores, a autora inferiu que o professor se expressou “mais livremente” usando, na

maioria das vezes, situações práticas do dia a dia. A autora destaca que “o significado

medida não foi empregado em nenhuma situação criada pelos professores. O significado

número só não passou despercebido porque uma professora indicou uma situação com

números decimais - 0,1; 0,01 e 0,001”.

Para Canova (2006) os resultados mostram que ao solicitar que os

professores elaborassem situações, percebe-se que eles procuraram ser fiéis às questões

apresentadas nos manuais didáticos, explorando o significado parte-todo e o operador

multiplicativo; quando o professor apenas indica uma situação, ele se desprende, em

grande parte, do material de apoio e acaba sendo “mais espontâneo” na sua citação. O

significado quociente se destaca e é apontado em grande parte nas situações do dia a

dia. Por fim, a autora conclui afirmando que os professores que estavam ministrando o

conteúdo de fração e os que não estavam ministrando fração, apresentaram crenças

muito próximas com relação à fração e seu ensino, o que indica que o fato do professor

estar ou não trabalhando com o ensino desse conteúdo, não influência em suas crenças.

Nesse caso, pode-se inferir que a crença é “mais forte” do que a prática docente, isto é,

ela se sobrepõe à experiência docente. O trabalho de Canova (2006) nos permitiu



evidenciar “a importância do papel do professor nas crenças, concepções e

competências dos seus alunos.

O estudo de Sant’Anna, Bittencourt e Olsson (2007) visava identificar os

objetivos didáticos e as abordagens indicadas nos textos curriculares em relação a este

objeto de ensino.

Os autores observaram a partir dos materiais analisados, que o ensino das

frações continua antecedendo o estudo dos números decimais, e é desvinculado do

estudo dos números racionais, já que mesmo a referência ao conjunto dos números

racionais passa a ser evitada. Sant’Anna, Bittencourt e Olsson (2007) destacam ainda

que a desconsideração do aspecto de medida associado às frações é mantida, em relação

aos livros didáticos dos anos setenta. Consequentemente, as frações são estudadas sem

nenhum sentido numérico, de maneira desvinculada tanto do estudo do conjunto dos

números racionais, com uma evidente perda conceitual, quanto da representação

decimal dos números racionais, contrariamente ao tratamento integrado indicado por

ambas as propostas curriculares consideradas. Por outro lado, a indicação, presente tanto

no documento da CENP quanto nos Parâmetros Curriculares Nacional (PCNs), de que

se deixassem de lado as abordagens estruturais, é, pelo menos superficialmente,

cumprida.

Para os autores, no caso do estudo das frações não se nota nenhuma

tendência à problematização efetiva do sentido das frações, o que significaria dar um

tratamento numérico às frações, a partir de problemas de medida. Esta abordagem

levaria à questão da ampliação dos números naturais para novos números, assim como à

necessária definição do que seriam os números racionais. Este enfrentamento, no

entanto, não está presente nos materiais analisados. De modo geral podemos afirmar que

a grande modificação observada nos materiais considerados é a preocupação com certa

contextualização do conhecimento matemático, através de ligações entre estes e as

outras áreas do conhecimento, assim como através dos temas transversais. Estas

tendências estão presentes principalmente nos enunciados dos exercícios e dos

problemas propostos, o que evidencia a influência direta das diretrizes dos PCNs. Os

autores concluem que as principais modificações entre os livros didáticos da década de

90 e os atuais, referem-se muito mais às mudanças gerais, de ordem educacional e

pedagógica, sugeridas pelas prescrições curriculares nacionais, que as modificações



oriundas na reorganização do saber sábio. Sant’Anna, Bittencourt e Olsson (2007)

observam que o ensino é recontextualizado de acordo com as circunstâncias e os

interesses que configuram as políticas curriculares.

Em outro estudo analisado, Silva (2007) buscou responder quais os fatores

que influenciam o desenvolvimento profissional de professores do Ensino Fundamental

num processo de formação na própria escola sobre o ensino da representação fracionária

do número racional, onde lhes sejam garantidos espaços para estudar e refletir sobre

conhecimentos historicamente produzidos e sobre sua prática. Nesta pesquisa a autora

objetivava analisar fatores que podem interferir no desenvolvimento profissional de

professores dos primeiros anos do Ensino Fundamental, como resultado de uma

formação continuada com a finalidade de discutir questões relacionadas à abordagem da

representação fracionária de números racionais e seus diferentes significados.

Silva (2007) compreende que a análise das informações obtidas permitiu

identificar alguns fatores que podem exercer influência sobre o processo de

desenvolvimento profissional dos docentes. Um deles refere-se às dificuldades relativas

ao conhecimento matemático do professor. A autora acrescenta que há necessidade de

um enfoque mais amplo do conceito de números racionais, complementado pela análise

dos diferentes significados de sua representação fracionária tanto em cursos de

formação inicial como de formação continuada. Esses resultados corroboram com

aspectos observados nos trabalhos anteriores analisados, nos quais os professores

apresentaram dificuldades de compreensão e, portanto, de ensino sobre os conceitos e

significados de frações.

Em seu trabalho Silva (2007) conclui que para romper crenças e concepções

dos professores sobre o ensino e aprendizagem da Matemática e em específico do objeto

matemático frações, é necessária uma constante reflexão sobre a prática, sobretudo em

ambientes que propiciem uma atividade colaborativa. Ela acredita que essas condições

são fundamentais para o desenvolvimento profissional docente.

A pesquisa de Bessa (2007) visava investigar as concepções e práticas de

ensino efetivadas por professores no 5º ano do Ensino Fundamental, da Secretaria

Municipal de Educação de Anápolis-GO, e desenvolver uma metodologia para o ensino

de frações, com intervenções intencionalmente planejadas, por meio da resolução de



problemas por reconstrução e ressignificação de experiências, segundo os princípios da

epistemologia genética.

Para Bessa (2007) os resultados mostram que boa parte dos professores

necessita de atualização contínua dos conhecimentos profissionais, maior autocontrole

da prática didática, autonomia para adaptação às situações novas, avaliação mais

criativa, contextualizada, buscando maior abrangência do conhecimento construído na

escola, uso mais eficaz dos conhecimentos profissionais, incluindo capacitação

referenciada nos conhecimentos advindos da epistemologia genética, sobretudo nos

processos de ensino e aprendizagem de frações, por meio da resolução de problemas.

Percebemos que os estudos analisados confirmam em diversos aspectos,

entre eles, cabe destacar os resultados apresentados por Bessa (2007), a necessidade dos

professores em ter uma constante atualização profissional. Os professores diante dos

desafios do processo educacional tornam-se reféns dos seus próprios anseios, crenças e

concepções. Logo, a participação em cursos, oficinas e a troca de experiências com

outros professores permite um novo olhar para as suas práticas pedagógicas, de forma a

reconstruir sua dinâmica em sala de aula.

A pesquisa de Teixeira (2008) buscou responder quais as concepções e

competências apresentadas por professores que atuam no 2º ciclo do Ensino

Fundamental, sobre o conceito de fração e seu ensino. O autor objetivou traçar um

diagnóstico das competências e concepções de professores do 2º ciclo do Ensino

Fundamental da cidade de Itabuna-Bahia, a respeito do conceito de fração.

Como resultados o autor apresenta que com relação ao perfil dos

professores, a análise dos resultados mostrou como indicadores, que 86,6% têm entre

seis e 25 anos de carreira e 50% já possuíam nível superior. O que mostra um corpo

docente experiente na prática em sala de aula e com formação acadêmica adequada. Em

relação à competência dos professores a maioria (44%) dos professores trabalhou

apenas em escolas da rede pública, e 9% trabalhou apenas em escolas privadas, sendo

que 46% tinha experiência em ambas as redes. Para esta análise, o autor acredita que os

professores da rede particular de ensino são mais exigidos, tanto do ponto de vista da

qualificação profissional, quanto a necessidade de formação continuada e como

comportamental, no que tange à atitudes do professor na escola, à pontualidade,

assiduidade, compromisso e dedicação.



Quanto à escolha dos livros didáticos o autor aponta que 88% dos

professores têm responsabilidade na escolha dos livros adotados na escola. E que ainda

54% têm liberdade para escolher sozinho o livro didático que desejam adotar. Teixeira

(2008) relata que os professores adotam critérios para a escolha dos livros, tais como:

interdisciplinaridade, linguagem, contextualização, apresentação do livro, caráter lúdico,

sua abordagem quanto aos PCNs, se o livro é estimulante, quanto ao nível da turma,

atividades e exercícios, conteúdo, nome do autor e/ou editora e a metodologia. O autor

ressalta sobre os livros um aspecto que pensa ser importante, 44% dos professores

consideram importante que os livros apresentem conteúdos e exemplos contextualizados

e que estejam relacionados com situações do dia a dia dos alunos. Por outro lado, um

dado que preocupou o autor, foi o fato de que apenas 6% dos professores levam em

consideração o fato dos livros serem pautados nos PCNs. Para o estudioso, este baixo

índice refere-se ao desconhecimento dos PCNs por parte dos professores, ou por não

considerarem importante ou até mesmo por discordarem das sugestões do referido

documento.

Quanto ao ensino de frações, as análises do estudo de Teixeira (2008)

afirmam que 77% dos professores dizem não encontrar dificuldades para ensinar fração.

Já os 23% dos professores que disseram ter dificuldades, atribuiram as dificuldades dos

alunos e ao uso de material concreto. Para o autor, estas dificuldades são reflexos do

desconhecimento dos cinco significados de fração, apontados no tópico inicial deste

capítulo. Sobre o uso dos livros didáticos no ensino de fração, 87% dos professores

consideram que os auxilia, o que para o autor, coloca o livro em posição de destaca e

não deve ser desprezado mesmo na formação do professor. Aqui, opina-se sobre a

análise de Teixeira (2008), ao se observar o que já foi abordado nos trabalhos de Bertoni

(2008) e Canova (2006) sobre a omissão por parte dos livros didáticos de alguns

significados de fração, priorizando outros, o que pode estar inferindo nestas dificuldades

e desconhecimento do conceito amplo de frações por parte dos professores que

participaram da pesquisa deste autor.

Quanto aos recursos didáticos, 96% dos professores disseram utilizar outros

recursos além do livro. Sobre os recursos didáticos citados, destaca-se que na pesquisa

de Teixeira (2008) o uso de tecnologias computacionais não aparecem nas respostas dos

professores. Foram citados materiais concretos como papel, palito, quadro, gravuras,



cartolinas, material emborrachado e jogos. Os professores afirmaram ainda, utilizar

estes materiais em trabalhos com grupos de alunos em sala de aula, o que na opinião

deles, facilita a compreensão dos alunos sobre frações.

Quanto às atividades e problemas desenvolvidos pelos professores, Teixeira

(2008) destaca que apresentam suas concepções com forte tendência a valorizar a fração

com o significado operador multiplicativo e parte-todo. Para o autor, de modo geral, os

professores apresentaram baixo desempenho na resolução dos problemas de fração, o

que levou a concluir ser necessário ampliar o conhecimento matemático desses

docentes, bem como realizar trabalhos que ajudem a expandir suas concepções a

respeito do conceito de fração e de seu ensino.

O trabalho de Bocalon (2008) norteou-se por responder quais as concepções

docentes acerca dos erros na aprendizagem de frações no sexto ano do Ensino

fundamental. A autora objetivava compreender como os professores percebiam e

tratavam os erros de frações apresentados pelos alunos dos 6º anos investigados.

A avaliação dos dados da pesquisa de Bocalon (2008) apontou que, apesar

dos professores conhecerem abordagem construtivista, o ensino de Matemática conserva

os traços de uma pedagogia tradicional em que a avaliação é vista como prova de

conhecimento e os erros são percebidos pelos docentes como decorrentes de defasagens

dos anos iniciais. O estudo mostra que o erro não é utilizado pelos professores de

Matemática dos 6º anos como elemento estratégico para a melhoria do processo de

ensino e aprendizagem das frações. Para a autora, as observações das aulas mostram que

os erros dos alunos foram abordados de forma convencional, com pouco envolvimento

dos alunos, em situações de ensino que priorizavam o uso do livro didático, a repetição

de exercícios, as correções orais e coletivas, focalizando mais as respostas e dando

menor atenção à discussão do processo de raciocínio desenvolvido pelo aluno.

Bocalon (2008) destaca que o trabalho desenvolvido com os erros dos

alunos, durante as aulas, foi mais direcionado para a identificação do erro que para a

reflexão sobre os motivos que ocorriam determinados erros e quais suas implicações na

aprendizagem das frações. Para a autora, a concepção de erro está relacionada à forma

como a avaliação é concebida, ou seja, a prova é utilizada apenas como instrumento de

verificação da aprendizagem do aluno em termos de identificação e contabilização de

erros e acertos, e não como instrumento diagnóstico, revelador dos processos de



raciocínio utilizados pelo aluno na construção dos conceitos matemáticos. A autora

ressalta a ausência de comentários e registros do professor na correção das provas em

relação aos processos de resolução das questões propostas. Para o qual, os professores

justificaram na pesquisa, esta ausência, devido ao acumulo de trabalho, do excesso de

alunos em sala de aula e das condições precárias de trabalho.

Quanto aos erros apresentados nas provas dos alunos, Bocalon (2008) relata

que os professores reportaram-se a eles sem omitir as dificuldades que encontravam

para lidar com a falta de interesse dos alunos, com a indisciplina da turma e com a

precária base Matemática trazida dos anos anteriores e, principalmente, a falta de

domínio da tabuada. Os dados analisados revelam que os erros de frações não estão

apenas relacionados à base Matemática, mas principalmente, ao contexto didático-

pedagógico do ensino de Matemática. O estudo de Bocalon (2008) esclarece que nas

concepções docentes há uma contradição em relação ao erro, pois, embora seja

compreendido pelos professores como elemento importante na construção do

conhecimento matemático pelo aluno, é tratado de forma conservadora nas aulas e nas

provas. Portanto esta dicotomia justifica-se pelo modo como é praticada a avaliação da

aprendizagem de Matemática, disciplina que em geral prioriza a avaliação do produto-

resposta em detrimento do processo de raciocínio matemático desenvolvido pelo aluno.

A autora conclui ao afirmar que a concepção dos professores sobre os erros dos alunos é

decorrente de crenças arraigadas na própria formação docente, quando a Matemática foi

concebida como um produto acabado e que deve ser transmitido formalmente pela

escola.

Campos e Silva (2009), em outro trabalho, tinham como objetivo em sua

pesquisa analisar a relação da compreensão do invariante equivalência em situações de

parte-todo e quociente, com o conhecimento profissional docente.

Os dados coletados pelos autores visavam analisar proposta de resolução de

situações-problemas, estudos dos significados das frações e à vivência de metodologias

diversificadas, objetivando o trabalho com esse conteúdo em sala de aula. Os resultados

dessa pesquisa permitiram inferir que o conhecimento do conteúdo está diretamente

ligado tanto à prática pedagógica do professor como ao conhecimento profissional

docente. Campos e Silva (2009) mostram que há necessidade de rediscutir as formas



como os conteúdos matemáticos e, em especial, as frações são introduzidas – quando o

são – nos cursos de formação, tanto inicial quanto continuada.

Quanto ao conhecimento da matéria ensinada, os autores observaram nos

resultados obtidos que o grupo de professoras apresentou dificuldades relacionadas à

parte conceitual dos significados das frações. Nas questões que envolviam o significado

parte-todo, o desempenho das professoras foi melhor que nas questões relacionadas ao

significado quociente, o que dá indícios das razões pelas quais pesquisas recentes

apontam a forte tendência de as professoras trabalharem este significado. No entanto, os

autores constataram que entre os alunos os resultados das mesmas situações

apresentadas aos professores não foram tão positivos para o significado parte-todo. Já

para o quociente os resultados foram melhores. Campos e Silva (2009) chamam a

atenção para essa dificuldade por parte dos alunos na compreensão do significado parte-

todo, uma vez que pesquisas apontam ser ele o mais trabalhado nas escolas. Tal fato os

levou a inferir que os processos de ensino e de aprendizagem não vêm ocorrendo na

mesma proporção com que as professoras consideram ensinar.

Para Campos e Silva (2009), a partir dos diagnósticos iniciais e dos

comentários das professoras entrevistadas, foi possível constituir uma visão da

influência das dificuldades relativas ao conhecimento matemático na prática da

professora. Os autores acreditam que, se a construção do conhecimento matemático não

vem ocorrendo como gostariam, é necessário um enfoque mais amplo do conceito de

números racionais, complementado por uma análise dos invariantes e os diferentes

significados da fração tanto no curso de formação inicial quanto no de formação

continuada.

Costa (2011) em seu estudo diagnóstico buscava responder quais as

competências apresentadas por professores especialistas em Matemática que atuam no

3º e 4º ciclo do Ensino Fundamental sobre o conceito de fração em seus diferentes

significados. O autor visava identificar e analisar as concepções e competências dos

professores especialistas em Matemática no que diz respeito ao conceito de fração.

O estudo de Costa (2011) foi realizado em escolas públicas do município de

Mauá - SP. O autor destaca que as escolas visitadas apresentavam boa infraestrutura a

seus alunos e professores, tais como biblioteca, sala de informática, refeitório, ambiente

de recreação, quadra poliesportiva e sala dos professores equipada com computadores.



Esta realidade de escolas equipadas com boa infraestrutura também foi percebida nos

trabalhos analisados anteriormente, e também durante a realização desta pesquisa.

Observa-se a necessidade de se superar o apego por parte dos gestores educacionais

pelo aparelhamento das escolas. Para tal é preciso combinar o uso desta boa estrutura

nas escolas, com a formação continuada dos professores, valorização da carreira

docente, melhores salários e o incentivo ao uso de práticas e instrumentos pedagógicos

que possam inovar o ensino e transformar as relações entre professores e alunos e a

construção do conhecimento escolar em sala de aula.

Nos resultados de Costa (2011), a maioria dos professores está

compreendida na faixa etária de 36 a 45 anos e possui mais de 11 anos de experiência

docente, o que mostra um quadro de profissionais experientes. O autor questionou

também aos professores sobre o grau de satisfação com a profissão, e observou que a

maioria dos professores sente-se satisfeitos com a profissão que exercem. Sobre o

ensino de frações, os professores foram questionados acerca da importância deste

conceito, e foi observado que a maioria dos professores considera o ensino de frações

um assunto muito importante. Para o autor os resultados mostram que em relação à

concepção os professores dos dois grupos apresentaram uma concepção restrita de

fração, voltada apenas para dois significados: parte-todo e operador multiplicativo.

Além disso, houve uma ênfase em tratar fração apenas do ponto de vista do algoritmo.

No que tange a competência o grupo 2 apresentou-se mais competente do que o grupo 1.

O autor concluiu baseado no fato de que o grupo 1 apresentou um maior índice de

confusão em utilizar a razão como fração, bem como apresentou um maior índice da

utilização da percepção como principal estratégia de ensino para fração, distanciando-se

assim dos invariantes lógicos presentes nesse conteúdo e que, quando apropriados,

permitem sua sólida compreensão.

Costa (2011) finaliza seu estudo com a convicção de que se faz necessário

um trabalho de formação continuada, consistente, que promova o desenvolvimento dos

professores em relação ao conceito de fração em seus diferentes significados.

O último estudo analisado nesta categoria, foi a pesquisa de Campos e

Magina (2010) que objetivou discutir o ensino e a aprendizagem de fração no Ensino

Fundamental. Em sua pesquisa as autoras envolveram um universo de sete escolas da

rede pública da cidade de São Paulo.



Quanto a análise das estratégias de ensino dos professores ambas

conjecturaram que a maior parte dos professores não especialistas em Matemática, que

lecionam nas séries iniciais do Ensino Fundamental em São Paulo, apresentaram

conceitos adequados de fração na maioria das situações utilizadas na pesquisa, porém os

resultados apontam que a maioria apresenta confusão entre representar numericamente

situações de fração e de razão. Campos e Magina (2010) destacam que a principal

estratégia de ensino proposta pelos professores foi o uso de desenho ou de material

concreto com vistas a facilitar comparações perceptuais dos alunos. Nas situações nas

quais a razão poderia ser usada como base para a lógica do invariante de equivalência os

professores percebiam que eles poderiam resolver o problema por meio de razão, mas a

maioria mostrou que não estava apto a fazer conexão entre a razão e a fração.

Para as pesquisadoras os professores têm competência para resolver

problemas de fração em diferentes situações, mas que apresentariam estratégias

limitadas de ensino para auxiliar seus alunos a superarem falsas concepções sobre

fração. Consequentemente, os alunos dos referidos anos não apresentariam bom

desempenho na resolução dos problemas nem tampouco haveria um crescimento

significativo no percentual de sucesso dos alunos do 4º ano para os do 5º ano. Campos e

Magina (2010) indicam que houve uma tendência dos professores em não levar em

consideração (ou não perceber) o grau de dificuldade intrínseco de cada item das

questões, especialmente nos significados parte-todo e operador multiplicativo.

As autoras concluem que professores, embora saibam resolver, de maneira

geral, problemas de fração, não têm explícitos os seus invariantes, bem como não tem

claro os diferentes significados que as frações assumem, o que, por sua vez, leva-os a

apresentar limitadas estratégias de ensino para auxiliar seus alunos a superarem falsas

concepções sobre fração.

De forma resumida os trabalhos analisados nesta sessão sobre o processo de

ensino e aprendizagem de operações com frações e a formação de professores, apontam

para questões comuns como a importância a ser dada a formação continuada visando

aprimorar a prática docente em sala de aula e quanto ao aprofundamento sobre o

conteúdo matemático ensinado. Os trabalham preconizam também sobre o uso dos

livros didáticos como instrumento de ensino mais utilizado pelos professores, entretanto

em muitos casos priorizam conceitos, principalmente em relação ao assunto frações, que



limitam os professores a seguir as orientações apresentadas nos livros, deixando de

abordar aspectos por insegurança em não seguir o livro ou por não dominar o assunto.

Alguns trabalhos ressaltam a boa infraestrutura encontrada nas escolas

públicas nas cidades onde as pesquisas foram realizadas. Porém, como destaca Costa

(2011), percebe-se um descompasso entre esta boa infraestrutura, e os recursos

disponíveis nas escolas e os resultados encontrados quanto à competência dos

professores e alunos em resolverem questões de frações. Os autores acreditam, com os

quais se corrobora, que é necessário um olhar mais atento dos gestores educacionais e

dos próprios professores para uma mudança no cotidiano escolar. Por parte dos gestores

a valorização da carreira do professor, melhores condições de trabalho e salários, para

que possam exigir dos professores maior dedicação, aulas bem preparadas e planejadas,

com o uso dos recursos pedagógicos já disponíveis na escola, como bibliotecas, quadra

poliesportivas e salas de informática, e principalmente a constante capacitação e busca

por novos conhecimentos.

Mas, o ponto de maior incidência entre os estudos aqui abordados, foi a

compreensão dos professores sobre os significados de fração. A maioria dos trabalhos

apontam para o uso de apenas um ou mais, dos cinco significados de fração,

conceituados neste capítulo e que também foram utilizados pelos autores dos trabalhos

aqui analisados. Percebemos que esta opção por escolher o significado que será

ensinado, além de estar impregnada nos livros didáticos, passa pela dificuldade e pouco

domínio dos professores com o assunto frações. O que acarreta um ensino com lacunas

para os alunos. Muitos estudos relacionam ainda que a prática docente dos professores

de Matemática está diretamente relacionada à forma com que aprenderam na educação

básica.

Após analisar o processo de ensino e aprendizagem de frações e a formação

de professores, a sessão seguinte traz uma análise em outros estudos para que se

conheça as dificuldades de aprendizagem dos alunos sobre o ensino de operações com

frações.



4.2. Dificuldades e erros dos alunos sobre o ensino de frações

Para conhecer as dificuldades e erros dos alunos na aprendizagem de

frações, investigamos 09 (nove) estudos científicos, conforme mostra o quadro resumo

abaixo, por ordem crescente do ano de publicação.

ORD TEMA AUTOR ANO

1 Introdução do conceito de número fracionário e de suas

representações: uma abordagem criativa para a sala de aula

Francisco José Brabo

Bezerra

2001

2 Fração em seus diferentes significados um estudo com alunos das

4ª e 8ª séries do ensino fundamental.

Leonel Valpereiro

Moutinho

2005

3 O início do ensino de fração: uma intervenção com alunos de 2ª

série do ensino fundamental

Maria da Conceição de

Oliveira Malaspina

2007

4 A ideia de unidade na construção do conceito do número racional Tânia Maria Mendonça

Campos;

Wilson Roberto

Rodrigues

2007

5 Modelos explicativos elaborados por adolescentes e adultos para o

cálculo com frações: da percepção ao pensamento operatório

João Alberto da Silva 2007

6 Um estudo sobre as relações entre atitudes, gênero e desempenho

de alunos do ensino médio em atividades envolvendo frações.

Andresa Maria Justulin 2009

7 Um estudo sobre as relações entre as atitudes em relação a

Matemática e a resolução de problemas envolvendo frações.

Andresa Maria Justulin;

Nelson Antonio Pirola

2008

8 O estudo de frações e seus cinco significados Patricia Aparecida de

Oliveira Drechmer;

Susimeire Vivien

Rosotti de Andrade

2009

9 Como desenvolver a compreensão da criança sobre fração? Uma

experiência de ensino

Sandra Magina;

Francisco Brabo

Bezerra;

Alina Spinillo

2009

Quadro 02: Estudos sobre as dificuldades e erros dos alunos sobre o ensino de frações

A pesquisa experimental de Bezerra (2001) norteou-se por responder como

abordar os conteúdos relacionados ao número fracionário de forma que o aluno

compreenda seu conceito e estabeleça a relação entre o número e a sua representação? O

autor tinha como objetivo investigar uma abordagem para o ensino dos números



fracionários, em que se pretendeu estudar a aquisição do conceito deste e de suas

representações com base em situações-problemas que fossem significativas e

desafiadoras para o aluno.

Os resultados da pesquisa de Bezerra (2001) mostram quanto ao

desempenho geral dos grupos nos testes, que o GE apresentou um desempenho

satisfatório, ao passo que o CG manteve-se no mesmo patamar. O estudo ofereceu pistas

significativas sobre o processo de aquisição desse conteúdo. A mais valiosa delas foi a

de que o processo de construção do conceito de fração, a exemplo da história, ganha

força quando se inicia baseando-se na resolução de problemas concretos, advindo da

realidade. O autor afirma que o uso de sequências de ensino interfere no contexto

cultural e social da criança e privilegia a situação-problema, para que sejam

apresentadas atividades significativas e desafiadoras que possam ser efetivas na

formação do conceito de número fracionário e sua representação. Para Bezerra (2001)

quando apresentadas de forma contextualizadas as sequências de ensino e situações-

problemas permitem que as crianças encontrem significados para sua aprendizagem e

apresentem resultados satisfatórios na conceitualização sobre o conceito de fração.

Em sua pesquisa, Bezerra (2001) optou por iniciar a sequência de ensino

com o significado de quociente para a aquisição do conteúdo de fração, pois o mesmo

explica que o significado parte-todo é importante, mas não deve ser o único nem

tampouco o início para o aprendizado das crianças, devido parecer oferecer uma

barreira maior entre os números naturais e os fracionários. Um dado importante

analisado por Bezerra (2001) refere-se a quantidade de aulas ministradas pelos

professores para o ensino de frações. O autor considera que os dez encontros, em média

utilizados pelos professores investigados, representam um número reduzido para a

compreensão dos conceitos inerentes aos números fracionários. Ainda sobre as

sequências de ensino, foi explorada a relação entre os conceitos espontâneos e intuitivos

apresentados pelos alunos e os conceitos científicos inerentes a frações. O autor explica

que para estabelecer o elo entre essa relação, procurou criar situações desafiadoras e

significativas, de modo a garantir a participação e o envolvimento das crianças durante

os encontros da pesquisa.

O autor conclui afirmando que o ensino de frações pode ser trabalho com os

alunos com diferentes ferramentas para acompanhar sua capacidade de resolução das



atividades. Porém, para o autor, a Matemática do dia a dia pode ser um bom ponto de

partida para aprender frações, sendo importante que o professor conheça uma variedade

de práticas Matemáticas e de diferentes grupos sociais, a fim de que possa oferecer uma

visão mais diversificada de esquemas de raciocínios que não são utilizados, muitas

vezes, pelos próprios alunos e nos livros didáticos.

Em outro estudo, Moutinho (2005) buscou responder quais as concepções

que são possíveis de se identificar com relação aos cinco diferentes significados da

fração (número, parte-todo, quociente, medida e operador multiplicativo), a partir da

aplicação de um estudo diagnóstico, com alunos dos 5º e 9º ano do ensino fundamental.

O autor objetivou identificar as concepções que os alunos utilizam frente a problemas

que abordam o conceito de fração.

Os resultados da pesquisa de Moutinho (2005) mostram que tanto os alunos

da 5º ano quanto os do 9º ano, obtiveram um baixo desempenho na resolução das

questões propostas, com de 31% de acerto. O autor destacou que ambas as turmas

apresentaram percentuais bem abaixo da média de aprovação exigida pelo MEC.

Detalhando os acertos dos alunos, a análise dos resultados mostra que os alunos do 5º

ano parecem lidar razoavelmente bem com a fração quando esta se apresenta em

situações que abordam o significado parte-todo, representando 60% de respostas certas

com este significado. Por outro lado, os mesmos resultados mostram que os alunos não

conseguem resolver questões, nas quais a fração aparece com o significado número,

para o qual o índice de acerto foi de apenas 0,38%. Para autor ambos os resultados são

explicados pelas recomendações contidas nos PCNs e nos livros didáticos de que o

conceito de fração seja introduzido com base no significado parte-todo; e quanto ao

resultado sobre o significado de número, o autor é levado a acreditar que os alunos não

tiveram nenhum contato anterior com situações-problemas que abordassem esse

significado.

Ainda sobre os acertos e os significados de fração, os resultados de

Moutinho (2005) revelam a diferença entre os índices de acertos, inferindo 27% para o

significado de quociente, 31% para o significado de medida e 27% para o significado de

operador multiplicativo. Na comparação entre as turmas dos dois anos, o autor relata a

pouca diferença obtida entre o desempenho do 9º e 5º anos, nos significados número,

quociente e operador multiplicativo, que o fez questionar a respeito da aprendizagem



dos alunos do 9º ano em relação ao conceito de fração. Para Moutinho (2005) este

resultado indica uma contraposição às recomendações contidas nos PCNs, de que, nos

terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, a abordagem dos números racionais

deve ter como objetivo levar os alunos a perceber que números naturais são

insuficientes para resolver determinadas situações-problemas, como as que envolvem

medidas de grandeza e o resultado de uma divisão.

Moutinho (2005) conclui seus resultados destacando além das questões

sobre os significados de fração, o fato de que os alunos das séries investigadas

apresentarem como compreensão de fração, apenas como dois números inteiros

sobrepostos, separados por um traço; expondo o desconhecimento da relação que existe

entre numerador e denominador da fração. Para o autor, fica clara a necessidade de se

trabalhar com várias situações que abordem os diferentes significados de fração, visto

que as concepções sobre frações têm levado ao erro por parte dos alunos na resolução

de problemas.

Malaspina (2007), em outro estudo analisado, buscou responder quais os

efeitos que cada um dos quatro significados para fração (parte-todo, quociente, operador

multiplicativo e medida) traz para a aprendizagem inicial dos alunos do 1º ciclo (3º ano)

do Ensino Fundamental sobre esse conceito. A autora apresenta como objetivo realizar

um estudo intervencionista para a introdução do conceito de fração com alunos do 3º

ano do Ensino Fundamental.

Para Malaspina (2007) os resultados mostraram que a intervenção de ensino

utilizada na pesquisa inferiu um melhor desempenho para os alunos sobre o conceito de

frações. Em relação aos quatro significados trabalhados na intervenção de ensino, os

resultados apontaram para a predominância expressiva do significado, parte-todo em

todos os testes diagnósticos. Quanto às situações-problemas que possuíam ícones versus

aquelas que não possuíam ícones, os resultados apontaram que quando os alunos ainda

não haviam interagido com a fração (no pré-teste), a representação icônica mostrou ser

uma variável que não interferia no sucesso das questões. O fato da situação-problema

ter ou não ícone, não favorecia, no início, o acerto dos alunos. Por outro lado, o teste

intermediário e o pós-teste, após as intervenções de ensino, passou a interferir no

sucesso dos alunos ao resolverem as situações-problemas. Logo, os alunos tinham mais



sucesso ao resolver problemas nos quais os ícones estavam presentes, que naquelas

situações em que não havia representação icônica.

Malaspina (2007) concluiu afirmando que quanto aos erros apresentados

pelos alunos, constatou que o número de erros sofreu queda de um teste para o outro,

embora alguns erros persistissem. Para a autora, os alunos realmente iniciaram a

compreensão de fração a partir das interações com os testes diagnósticos e com as

intervenções de ensino.

Em outro estudo, Campos e Rodrigues (2007) objetivaram apresentar um

aspecto significativo da construção do conceito de número racional, que permanece não

apropriado por alunos até estágios de escolarização posteriores ao seu ensino formal: a

ideia de unidade.

Os resultados apresentados na pesquisa de Campos e Rodrigues (2007)

sugerem que esse conhecimento ainda não está presente em muitos alunos, nem mesmo

sob a forma de conhecimento implícito. Isso se constitui em um obstáculo importante à

construção plena do conceito de fração, e o estudo em questão permite entender que

esse obstáculo não se reverte com facilidade ao longo do tempo. Para ambos, uma

tentativa de levantar hipóteses que expliquem as causas desses obstáculos pode estar na

comparação do processo de construção do conceito de número racional, enquanto

conhecimento humano, com os modelos mais utilizados na prática da sala de aula. A

ideia de unidade, que está fortemente associada ao conceito de número racional não tem

sido incorporada ao conceito por muitos alunos quando apresentados a situações

simples que envolvem a ideia de fração. Os autores verificaram ainda que ao responder

às questões, os alunos procuram para denominador da fração o maior número

disponível, não levando em conta o contexto ou mesmo a informação taxativa

apresentada no enunciado sobre qual deveria ser o referencial utilizado; as práticas

pedagógicas e as situações vivenciadas, em ambiente escolar ou não, parecem não ser

suficientes para que essas ideias sejam apropriadas, pois a pesquisa indicou que o

problema permanece significativo para alunos de escolaridade relativamente elevada

(do nono ano até o nível superior).

A pesquisa de Silva (2007) buscou investigar os modelos explicativos que

são elaborados por adolescentes e adultos a propósito de problemas que envolvem

frações.



Os resultados do estudo realizado por Silva (2007) evidenciaram que apenas

uma pequena parcela dos alunos entrevistados foi capaz de elaborar uma explicação

completa para um problema que envolve cálculo com frações. Os demais apresentam

explicações parciais ou incorretas, baseadas na percepção e na incompreensão da

relação parte/todo. O autor analisou as situações-problemas a partir de cinco modelos

aplicativos. No primeiro modelo explicativo, que verifica a incompreensão da situação

foram encontrados 2 alunos com idade de 12 e 26 anos, os quais não conseguiram

resolver um cálculo com dois números fracionários e mostraram não compreender as

relações parte-todo durante a atividade experimental, tampouco veem relação entre o

calculo e a atividade. No segundo modelo explicativo, verificou-se o domínio do

pensamento intuitivo, no qual foram encontrados seis alunos que não conseguem agir de

maneira operatória sobre os problemas com frações. O autor explica que esses alunos,

agem baseados na percepção, sustentado em um pensamento intuitivo que ainda não

coordena e conserva operações de pensamento.

No terceiro modelo explicativo o autor verificou os processos alternativos

de pensamento, no qual foram encontrados dois alunos que não realizam o calculo

através do algoritmo ensinado pelos professores na escola, mas que, ao enfrentarem os

problemas da atividade experimental, desenvolvem processos alternativos de

pensamento. O quarto modelo explicativo aborda os erro do cálculo e compreensões

parciais, para o qual foram encontrados seis alunos que dominam o algoritmo escolar e

têm certo poder de abstração. Para o autor, esses alunos conseguem resolver o exercício

escolar sem qualquer dificuldade, compreendem o problema utilizando o conceito de

frações, no entanto não conseguem ver a relação entre os procedimentos adotados na

resolução do cálculo e aqueles utilizados na compreensão do problema.

Por fim, o autor conclui seus resultados com o quinto modelo explicativo

que aborda a construção da explicação, onde foram encontrados quatro alunos que

apresentam as características da relação parte-todo, da formalização da fração e dos

procedimentos de cálculo. Para o Silva (2007), o aluno tem êxito na resolução do

calculo e, mesmo empregando o algoritmo, já é capaz de comentar o cálculo que está

realizando. Logo, a construção de uma relação operatória entre partes e um todo é

imprescindível que haja a presença de um pensamento lógico-matemático mais ou

menos organizado. Esse pensamento se constitui a medida que os sujeitos passam por



experiências lógico-matemáticas que requisitam essa atuação do pensamento. Caso o

sujeito seja limitado a experiências físicas com os objetos, não há necessidade de uma

estruturação mais organizada do pensamento para compreensão das situações que se

apresentam. Parece bastante claro para o autor, no que tange os números fracionários,

que as experiências proporcionadas pela escola estão ligadas a experiências físicas

relacionadas aos sentidos, tais como ver, ouvir e tocar, mas que não se estendem em

direção à ação do pensamento.

Justulin e Pirola (2008), em outro estudo, objetivavam investigar as

possíveis relações entre as atitudes em relação à Matemática e à resolução de problemas

envolvendo frações. Em seu trabalho apresentam os resultados da pesquisa concluindo

quanto a atitudes em relação à Matemática que se observa que em média os alunos do 4º

ano gostam menos de Matemática do que os alunos do 2º e 3º ano e, que as meninas

começam gostando mais da Matemática no 2º ano e terminam gostando menos no 4º

ano. Quanto ao desempenho na prova de Matemática analisando o desempenho nas duas

provas, observa-se que os alunos apresentaram melhor desempenho na prova de

algoritmo, que na prova contendo os problemas, onde a maioria dos sujeitos obteve

notas abaixo de cinco. Destaca-se no estudo de Justulin e Pirola (2008) o fato da

melhora no desempenho dos alunos para as questões de resolução de algoritmo. Como

foi visto no trabalho de Silva (2007) e Malaspina (2007), esta melhora está atrelada a

mecanização e assimilação do processo por partes dos alunos, em detrimento a

capacidade de compreensão e solução das questões-problemas a partir de uma

elaboração da resposta por parte do aluno.

Justulin (2009), em outro trabalho, buscou responder quais as relações entre

as atitudes, o gênero, o desempenho e os procedimentos utilizados por alunos do ensino

médio em atividades envolvendo frações. A autora objetivava investigar as relações

entre o desempenho na solução de problemas e exercícios sobre frações e algumas

variáveis afetivas como: as atitudes em relação à Matemática, as atitudes em relação à

fração, ao gênero e ao ano.

Para a autora os resultados do tratamento estatístico indicaram que as

correlações mais fortes foram entre as notas na prova de algoritmo e dos problemas com

índice de 0,714; entre as escalas de atitudes em relação à Matemática e em relação às

frações o índice foi de 0, 678; e, em menor grau, entre a nota dos problemas e a escala



de frações o índice foi de 0, 532. Com relação ao gênero, não foram encontradas

diferenças significativas. A pesquisa observou também que o desempenho geral tende a

melhorar conforme o ano, ao contrário do que acontece com as atitudes em relação à

Matemática. Na análise qualitativa Justulin (2009) indicou que os alunos têm uma

facilidade maior em resolver exercícios padronizados ao invés de solucionar problemas,

o que pode ser um reflexo de como o ensino da Matemática escolar tem se processado

de forma mecânica, com a supervalorização da resolução de exercícios em detrimento

do trabalho com a solução de problemas, como aponta a literatura especializada em

Educação Matemática e os estudos analisados anteriormente nesta pesquisa.

Drechmer e Andrade (2011) eu seu estudo visavam efetivar a aprendizagem

do conceito de frações, para o qual foi elaborado um caderno pedagógico que aborda as

frações sob cinco óticas diferentes: número, relação parte-todo, medida, quociente e

operador multiplicativo, que, para os autores, quando adequadamente abordados,

contribuem para uma aprendizagem mais significativa.

Como já visto nos trabalhos de Moutinho (2005) e Malaspina (2007), estes

significados de fração são frequentemente abordados nas pesquisas em Educação

Matemática, devido às diversas dificuldades identificadas na compreensão dos

professores e alunos sobre estes significados e na forma que eles são tratados nos livros

didáticos e PCNs. Na pesquisa de Drechmer e Andrade (2011), os autores produziram

um caderno temático de Matemática que foi direcionado para Salas de Apoio em

Matemática ou 6º ano regular, utilizando linguagem infantil e a técnica de contação de

estórias. O universo de estudo foi formado por 15 alunos matriculados no 6º ano do

ensino fundamental do Colégio Eleodoro Ébano Pereira, localizado na região central da

cidade de Cascavel-PR, sendo os mesmos também participantes do programa Sala de

Apoio em Matemática.

A metodologia utilizada foi a técnica de contação de estórias, enriquecida

com outros recursos: apresentação de materiais que eram mencionados em cada capítulo

do caderno temático, como canos de PVC com medidas fracionárias, materiais

recicláveis, slides apresentados na TV Pen Drive, etc. A implementação se deu em

dezoito aulas, dispostas em nove encontros. Para Drechmer e Andrade (2011) a técnica

de contação de estórias foi muito bem aceita pelos alunos, que ficaram interessados

pelos personagens, por suas características principais, o desenvolvimento das estórias, e



consequentemente participaram ativamente da narração, interagindo e dando suas

opiniões. Os autores destacam que não são comuns os trabalhos que utilizam este

recurso dentro do ensino de Matemática.

O material produzido, atingiu seu objetivo. Os alunos gostaram dos textos e

passaram a participar de todas as aulas e atividades propostas. Foi verificado que o

interesse dos alunos pelas aulas aumentou, passaram a participar de todas as atividades

propostas e foi verificada uma melhor compreensão do assunto, principalmente quando

comparados com alunos que frequentavam apenas a sala de aula regular. O recurso do

jogo foi muito bem aceito. Os alunos passaram a pedir que fosse repetido em outras

oportunidades. Para os autores a contextualização foi um importante referencial para a

apreensão do conceito, ajudando a dar sentido ao conteúdo abordado, pois os alunos

utilizavam várias vezes os exemplos sugeridos pelo caderno temático para respaldar

suas conclusões. Para Drechmer e Andrade (2011) a maior dificuldade se deu em

relação à soma e diferença de frações. Este foi o único assunto que precisou ser

retomado várias vezes, sempre atentando para o significado do denominador.

Apesar disso, foi verificado que os alunos que participaram do projeto

apresentaram melhor compreensão do conceito que àqueles que não fizeram parte,

principalmente quando foi levado em consideração a desenvoltura e familiaridade com

o assunto. Enquanto os alunos da sala regular priorizavam o método do mínimo

múltiplo comum para encontrar a fração equivalente, mesmo sem entender exatamente o

que este recurso representava, os alunos que participaram do projeto procuravam

deduzir de forma lógica a fração equivalente, o que sugere que o material proporcionou

subsídios para tal raciocínio. O trabalho desenvolvido por Drechmer e Andrade (2011)

indica que o estudo de frações utilizando os cinco significados do conceito, quando

utilizados de forma significativa , pode melhorar expressivamente o relacionamento

entre o aluno e o conteúdo, favorecendo a aprendizagem de forma significativa e

efetiva.

No último estudo desta categoria, Magina, Bezerra e Spinillo (2009)

objetivavam desenvolver o conceito de frações em crianças de oito a dez anos.

Participaram do estudo 57 crianças de baixa renda com idades entre oito e dez anos,

estudantes de escolas públicas de São Paulo, Brasil.



Para os autores os resultados do pré e do pós-teste dos três grupos de

participantes foram analisados em função de três aspectos: do número de respostas

correta de cada criança individualmente e dos tipos de erro apresentados. Para as

respostas corretas nos três grupos não foram detectadas diferenças significativas entre

os grupos no pré-teste. Importante comentar que o desempenho das crianças do GE foi

expressivamente maior do que aquele identificado entre as crianças do GR. O

desempenho no pré e no pós-teste de cada grupo de participantes foi comparado, e não

foi identificado diferenças significativas entre as duas ocasiões para o GC. Entretanto,

as crianças nos outros dois grupos tiveram um melhor desempenho no pós-teste do que

no pré-teste. Vale ressaltar que entre as crianças do GR, o percentual de acertos no pós-

teste (31,8%) foi cerca de três vezes maior que o percentual de acertos obtido no pré-

teste (10,7%).

Magina, Bezerra e Spinillo (2009) consideram mais expressivo, entretanto,

o resultado obtido em relação ao GE, cujo percentual de acertos no pós-teste (69,8%) foi

quase sete vezes maior que o percentual de acertos obtido no pré-teste (10,2%). Assim,

embora as crianças dos dois grupos tenham se beneficiado da instrução recebida

(tradicional do GR e a intervenção alternativa do GE), as crianças do GE tiveram, sem

dúvida, um progresso muito mais expressivo do que as do GR. Considerando cada

criança individualmente, os autores observaram que havia aquelas que progrediam do

pré-teste para o pós-teste, aquelas que mostraram uma regressão do pré-teste para o pós-

teste, e outras que apresentavam uma estabilidade sem que houvesse qualquer alteração

em seu desempenho nas duas ocasiões.

Quanto aos tipos de erros, Magina, Bezerra e Spinillo (2009) identificaram

três tipos no desempenho das crianças nas duas ocasiões de testes: os erros Tipo 1

estavam relacionados à representação que a criança adotava ao registrar por escrito o

resultado, enquanto os erros Tipo 2 e os Tipo 3 eram relacionados ao procedimento de

resolução utilizado. Erros Tipo 1 e Tipo 2 expressavam a dificuldade experimentada

pela criança para discriminar frações de números naturais, enquanto erros Tipo 3

expressavam a dificuldade que as crianças apresentavam ao dividir o todo em partes

iguais.

Para Magina, Bezerra e Spinillo (2009) os resultados obtidos neste estudo

revelam que a intervenção proporcionada foi capaz de gerar uma compreensão mais



apropriada sobre frações, especialmente na sua forma simbólica de representação. Essa

intervenção permitiu que crianças de 4º ano tivessem um melhor desempenho que: as

crianças de mesma idade e de mesmo ano que ainda não haviam sido formalmente

instruídas sobre fração no contexto escolar (GC); e que as crianças mais velhas e em

anos mais adiantadas (GR) que já haviam sido instruídas sobre fração por meio de

ensino tradicional.

Podemos observar a partir dos estudos analisados nesta sessão que a maioria

dos estudos apresenta estratégias de ensino e recursos didáticos que buscam diminuir as

dificuldades dos alunos diante do ensino de frações. Os trabalhos, em geral, mostraram

resultados que atribuem as estratégias de ensino dos professores e aos livros didáticos a

maior dificuldade de compreensão por parte dos alunos para o conceito de frações. O

uso de situações-problemas, algoritmos, e materiais sem a devida contextualização e

preparação dos professores para aplicação destes instrumentos em sala de aula, torna-se

um vilão para a construção do conhecimento Matemática sobre frações.

Reiteramos a necessidade de que a construção do ensino de frações esteja

pautada em uma prática docente orientada às necessidades de cada aluno. Em um

espaço escolar que o professor possa conhecer individualmente as dificuldades dos

alunos e direcionar o ensino de forma a satisfazer estas necessidades.

Como visto em alguns trabalhos, o uso de jogos e de tecnologias

computacionais indicam bons resultados para o desempenho dos alunos em relação ao

conceito de frações tanto nos aspectos lúdicos, de estimulo e motivação pelo uso de um

instrumento como o computador que atrai por sua capacidade de interação, quanto pelo

aspecto pedagógico que o uso dos computadores proporciona ao professor através das

ferramentas mais dinâmicas disponíveis neste dispositivo.

Após analisar as dificuldades de aprendizagem dos alunos sobre o ensino de

operações com frações, a sessão seguinte traz uma análise em outros estudos para que se

conheça como ocorre o uso de tecnologias digitais no ensino de operações com frações.

4.3. O uso de tecnologias digitais no ensino de frações

Para conhecer como e se as tecnologias digitais são utilizadas no ensino de

frações, analisamos 05 (cinco) estudos, conforme mostra o quadro resumo abaixo, por

ordem crescente do ano de publicação.



ORD TEMA AUTOR ANO

1 Jogos como recurso didático no ensino aprendizagem de frações Maria Eliana Barreto

Druzian

2007

2 Ensino de Frações e equivalência de estímulo: um estudo com

uso de software educativo.

Andreia da Silva Tulon 2008

3 Utilizando recursos computacionais (planilha) na compreensão

dos números racionais

Rosane Ratzlaff da

Rosa;

Lori Viali

2008

4 O ensino das operações com frações envolvendo calculadora Ivanete Maria Barroso

Moreira

2010

5 Calculadora no ensino de adição e subtração de frações Nazaré do Socorro

Moraes da Silva;

Elise Cristina Pinheiro

da Silva Pires;

Pedro Franco de Sá

2011

Quadro 03: Estudos sobre o uso de tecnologias digitais no ensino de frações

Druzian (2009) em sua pesquisa experimental buscou responder se a

utilização de jogos no estudo de frações possibilita aos alunos a compreensão e a

aprendizagem desse conteúdo. A autora objetivou analisar, por meio do emprego de

uma metodologia lúdica, as contribuições de jogos didáticos no ensino aprendizagem de

frações.

A partir da análise dos estudos constatou que o aluno, ao jogar, deixa de ser

apenas ouvinte passivo das explicações do professor para ser um elemento ativo,

construindo sua própria aprendizagem. Após duas semanas de trabalho, percebeu-se que

os jogos auxiliaram os alunos na aprendizagem dos conteúdos relacionados com

frações. Para Druzian (2009) a aplicação dos jogos didáticos na turma influenciou os

alunos de maneira positiva no processo de ensino-aprendizagem dos conceitos e

operações de frações. De um modo geral, mesmo com ritmos diferentes, os estudantes

sentiram-se motivados. O fato de os alunos jogarem em grupo foi compensador, pois se

percebeu que as trocas realizadas estimularam a imaginação e a criatividade.

Para a autora, todos os jogos aplicados cumpriram o seu papel, porque, em

todas as observações realizadas no decorrer das aulas, notou-se que os alunos buscavam

resolver as operações com motivação, prazer e naturalidade. Durante o trabalho a



pesquisadora percebeu, ainda, como aspecto positivo, o fato de os alunos se ajudarem

mesmo sendo “adversários”. Outro aspecto a ser destacado foram os comentários feitos

entre a professora e os alunos, ao final de cada aula, permitiram criar um espaço de

oportunidades para eles refletirem sobre as diversas situações que ocorriam durante os

jogos, esclarecer significados e compreender melhor alguns conceitos.

Druzian (2009) conclui que o entusiasmo dos alunos e a aceitação dos jogos

justificam a necessidade de, cada vez mais, os docentes recorrem a atividades lúdicas,

por meio dos quais os estudantes aprendam Matemática de forma crítica e diferenciada

do método tradicional. As situações que ocorreram durante os jogos permitem

exemplificar o desenvolvimento e a concretização de habilidades Matemáticas. O jogo

didático é uma forma de oportunizar aos alunos uma maneira descontraída de promover

a aprendizagem. Porém, essa metodologia não é tarefa fácil, pois exige muita dedicação

e persistência por parte do professor. Para a autora, com relação aos alunos, nota-se

certa agitação inicial, que diminui com o decorrer das aulas, mas propicia maior

interesse pela Matemática.

Tulon (2008) buscou elaborar e testar uma proposta de ensino de frações,

utilizando como recurso o software educativo MESTRE. A aplicação desse instrumento

de avaliação permitiu sugerir que, em relação à multiplicação e à divisão, não é o

domínio dos algoritmos de tais operações que devem ser considerados primordiais, mas

sim a demonstração de que os alunos conhecem seu significado. Tulon (2008) concluiu

quanto ao uso do software MESTRE como instrumento durante o procedimento de

ensino permitiu aos alunos participantes da pesquisa uma forma mais ágil, dinâmica e

diversificada, que a dos métodos tradicionalmente utilizados para o ensino de frações.

Ressalta-se esse resultado apontado por Tulon (2008), que vai corroborar com

indicativos já presentes nos trabalhos abordados anteriormente que apontam o uso de

tecnologias nas aulas pelos professores como instrumentos facilitadores do processo de

ensino e aprendizagem.

Silva, Pires e Sá (2011) objetivaram apresentar os resultados sobre o uso da

máquina de calcular de fração com alunos do 6º ano do ensino fundamental, como

recurso didático para auxiliar no ensino e aprendizagem das operações com frações

(adição e subtração) por meio da técnica de redescoberta de forma experimental em

grupos.



O experimento realizado por Silva, Pires e Sá (2011) referiu-se as atividades

com uso da calculadora de fração. Esta etapa foi distribuída por meio de construção de

atividades, aplicação das atividades e jogo, como atividade de fixação, referente ao

conteúdo estudado. Os conceitos de operações de frações com adição e subtração foram

trabalhados em atividades planejadas para serem desenvolvidas em 12 aulas, com

duração de 45 minutos cada, sendo duas aulas por dia, entretanto dois encontros foram

trabalhados em três aulas. Para os autores os resultados da pesquisa mostram que o uso

da máquina de calcular de fração com alunos do 6º ano do ensino fundamental por meio

da técnica da redescoberta foi desenvolvido claramente na forma experimental em

grupo, pois os alunos inseriram as questões na calculadora e por meio do resultado que

a mesma apresentava eles conseguiram perceber a propriedade das operações

principalmente com adição e subtração com denominadores iguais.

Contudo, destacam os autores, com adição e subtração de fração com

denominadores diferentes, houve a necessidade de se trabalhar por meio de tentativa, até

o momento de formalizar as propriedades, no qual sistematizou com o uso do jogo

didático. Silva, Pires e Sá (2011) ressaltam que é relevante explicitar que o sucesso dos

resultados encontrados na pesquisa foi o conjunto tanto da calculadora, como o

principal recurso por meio da técnica da redescoberta, o método da tentativa e jogo de

fixação, para o qual o processo de aprendizagem ocorre mediante uma ampla variedade

de experiências e materiais de estudo. Para os autores, no entanto, alguns pontos têm

que ser revistos como: falta do domínio da tabuada e a distração em sala que de acordo

com o diagnóstico dos mesmos. No processo de ensino e aprendizagem é interessante

que o professor tente viabilizar uma forma de como abordar as operações tanto de

adição como subtração, seja por resolução de problemas, seja por meio de jogos ou uso

da tecnologia, no caso a calculadora de fração, abordado pelo presente estudo, dentre

outros meios metodológicos, desde que o docente dê condições para que o aluno

construa seu próprio conhecimento a cerca de qualquer conteúdo.

No último estudo abordado Rosa e Viali (2008) visaram relatar uma

investigação que procurou determinar se o uso de planilha como recurso no ensino dos

números racionais na Educação Básica contribui para a aprendizagem e uma maior

retenção dessa aprendizagem a médio prazo.



Para os autores os dados indicaram que o uso da planilha favorece a

aprendizagem e torna as aulas mais participativas para os alunos, que conseguiram

visualizar os processos com os quais trabalharam. O segundo teste aplicado cinco meses

após o primeiro mostrou que os alunos que utilizaram a planilha apresentaram uma

maior retenção do conteúdo. Os resultados apontam ainda que os alunos se sentem à

vontade com a tecnologia e quase todos disseram ficar mais motivados com as aulas

utilizando o computador apesar das condições do laboratório utilizado não ser a ideal.

Rosa e Viali (2008) ao analisar a interveniência das variáveis nos resultados

dos dois testes aplicados (antes e depois das aulas), verificaram que a variável que se

destacou foi “ter computador em casa”. Os poucos alunos que não possuem computador

ficaram concentrados nas classes mais baixas do total de acertos nos dois testes. Esse

resultado mostrou uma associação entre ter computador em casa e aprendizagem,

reforçando o fato de que um ensino com esse tipo de recurso pode melhorar o

aproveitamento. Outro ponto positivo, apresentado pela pesquisa, foi um aumento da

motivação e entusiasmo dos alunos com as aulas de Matemática desenvolvidas no

laboratório. Convém observar que esse tipo de experiência com alunos do Ensino

Fundamental (sexta ano) não é considerado por muitos professores, que não admitem

sequer o uso de calculadoras no ensino de Matemática, muito menos o do computador.

Apesar disso, os alunos atestam que “...fazendo no computador se aprende mais rápido”

e também que “... porque eu acho que tu aprende mais e também porque não tem que

escrever muito”.

A comparação entre o ensino convencional em sala de aula e o ensino em

que o recurso computacional foi usado mostrou que o uso do recurso da Informática

proporcionou um rendimento melhor, tanto na associação entre as representações

fracionária e decimal quando da passagem de uma forma de representação para outra.

Convém destacar que o resultado foi positivo a despeito de todas as dificuldades

encontradas. Portanto a planilha é um recurso que deve e pode ser utilizado no ensino da

Matemática no Ensino Fundamental. Para os autores, este instrumento merece um

crédito e deve ser mais bem investigado, tanto aplicada a esse tipo de situação ou

conteúdo quanto para outros assuntos. Obviamente, ressaltam Rosa e Viali (2008) o

computador e a própria planilha não representam a solução para os problemas de



aprendizagem em Matemática, mas certamente podem prestar um auxílio, melhorando a

qualidade da aprendizagem em alguns casos, como na situação aqui investigada.

Os trabalhos apresentados neste capítulo reforçam nossas hipóteses sobre o

uso de tecnologias digitais em sala de aula, o processo de ensino de frações, e as

dificuldades de aprendizagem dos alunos sobre o ensino de frações, quando corroboram

da possibilidade de que as tecnologias digitais quando bem aplicadas podem auxiliar os

professores no processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos e torná-

los mais atrativos aos alunos. O emprego das tecnologias digitais associado à

capacidade dos professores de elaborar atividades e enunciados que contextualizem e

aproximem a realidade cotidiana dos alunos ao contexto de sala de aula, podem

potencializar a aprendizagem das operações com frações de forma sólida e significativa.



5. PERCURSO METODOLÓGICO

Neste capítulo, apresentaremos os procedimentos e o percurso metodológico

delineados pela Engenharia Didática. Descreveremos o contexto escolar em que a

pesquisa foi realizada, o software educacional FRACTRON e a sequência didática

aplicada referente ao ensino e aprendizagem das operações com frações, construída a

partir dos estudos tratados anteriormente nas análises preliminares, e detalharemos a

análise a priori sobre as atividades propostas.

5.1. A Escola e os participantes da pesquisa

5.1.1. A Escola

Inaugurada no mês de novembro de 2003, a Escola Estadual Antônio Lima

Neto, fica localizada em uma região de periferia, distante do centro da cidade de

Macapá, no Estado do Amapá. A escola atua com o Ensino Fundamental II, Ensino

Médio e Educação de Jovens e Adultos. Conta com aproximadamente dois mil alunos.

Quanto aos espaços físicos, a escola possui salas de aula climatizadas com centrais de

ar, quadra poliesportiva, sala de leitura, biblioteca, laboratório de informática, auditório

e refeitório.

A opção por esta escola para realizar o experimento da pesquisa ocorreu por

alguns aspectos. No contato com alguns diretores das escolas públicas de Macapá no

curso de Pós Graduação Escolas de Gestores, da Universidade Federal do Amapá, o

diretor desta escola foi o que se mostrou mais interessado na pesquisa e colocou a

escola à disposição. Outro aspecto foi o fato da escola está situada em uma região

carente, de periferia, distante do centro da cidade, pois nas escolas centrais o uso de

laboratórios de informática já é uma realidade no ensino, e nesta escola o laboratório de

informática nunca havia sido utilizado como sala de aula, de acordo com o diretor e os

professores. E, ao conversar com os professores de Matemática da escola no momento

do preenchimento do formulário aplicado na pesquisa, mostraram-se bastante

interessados em participar da pesquisa.



5.1.2. Os sujeitos da pesquisa

Aqui serão apresentados os sujeitos que participaram da pesquisa. Os

resultados dos instrumentos investigativos com estes sujeitos serão apresentados no

capítulo 7, quando descreveremos a análise dos resultados.

5.1.2.1. Alunos - egressos do 6º ano

Para conhecermos como era ensinado o conceito de operações com frações

na escola-campo, nas nossas análises preliminares consultamos através de questionários,

alunos do 7º ano do Ensino Fundamental, para analisarmos como se deu o processo de

ensino e aprendizagem deste conceito no 6º ano, o perfil dos alunos, as dificuldades

com a disciplina de Matemática e como se relacionam com as tecnologias digitais.

Participaram da pesquisa 222 (duzentos e vinte e dois) alunos do 7º ano do

Ensino Fundamental sobre os quais tínhamos o intuito de conhecer o nível de

aprendizado destes alunos sobre o conceito de frações, a partir do ensino de Matemática

realizado na escola, sem a intervenção da nossa pesquisa.

A entrevista com os alunos ocorreu durante os meses de maio e junho de

2013, tendo como instrumento de coleta um formulário contendo 24 perguntas fechadas

(Apêndice A), denominado de questionário-perfil, que visava conhecer o perfil dos

alunos, esse abordou aspectos que nos possibilitaram analisar o contexto social que eles

vivem, quanto ao perfil profissional e escolar dos seus responsáveis, os conhecimentos

prévios dos alunos sobre os conceitos matemáticos, e a interação e domínio do uso de

tecnologias computacionais, como variáveis que permitissem uma compreensão dos

aspectos de formação social e acadêmica que permeiam os alunos que participaram da

pesquisa sobre o ensino de frações. Foi aplicado também um formulário (Apêndice B)

com questões sobre as operações com frações, com o objetivo de verificar qual o nível

de domínio dos alunos sobre essas operações. Este formulário continha 16 questões-

problemas que abordaram operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de

frações.

5.1.2.2. Alunos – sujeitos da pesquisa

Após os ajustes necessários percebidos no experimento-piloto, retomamos o

experimento definitivo, com 40 alunos de uma nova turma do 6º ano do Ensino

Fundamental da escola-campo, nos meses de maio e junho de 2014.



5.1.2.3. Professores de Matemática

Foram entrevistados 36 (trinta e seis) professores de Matemática de escolas

públicas e privadas da cidade de Macapá, no Amapá durante as análises preliminares,

com o objetivo de traçar um diagnóstico a respeito da prática docente sobre o ensino de

operações com frações, verificar como eles avaliam as dificuldades dos alunos para

aprenderem este conteúdo e como eles lidam com as tecnologias digitais. A consulta foi

realizada durante os meses de abril e maio de 2013, tendo como instrumento de coleta

um formulário (Apêndice C) contendo 18 perguntas fechadas.

5.1.2.4. O Professor que participou da pesquisa

No experimento final, o professor de matemática da turma do 6º ano atuou

na pesquisa em todas as atividades da sequência didática. Esse professor é especialista

em Matemática, e já possuía 15 anos de docência. Atuou durante 10 anos na zona rural

de Macapá, retornando este ano para a capital. A entrevista semiestrutura realizada com

o professor (Apêndice F) buscou investigar quais os aspectos apontados por ele quanto à

metodologia de ensino por atividades proposta na pesquisa, o uso de tecnologias digitais

como instrumentos didáticos, o uso do laboratório de informática como sala de aula

para a prática do ensino, e qual o legado que esta experiência vivida na pesquisa pode

trazer para a sua prática profissional docente.

5.2. Consulta a Docentes

Analisaremos aqui a consulta realizada com os professores de matemática

sobre o perfil sócio educacional, ensino de frações e o uso de tecnologias digitais.

5.2.1. Perfil dos professores de matemática

Para conhecermos o perfil dos professores de Matemática das escolas

públicas do Estado do Amapá, buscamos junto à Secretaria de Educação Estadual a

relação de professores e as escolas que eles lecionavam. Foram entrevistados 36

professores graduados em Matemática, que lecionassem ou já tivessem lecionado

Matemática no 6º ano do ensino fundamental.

Para a consulta aos professores utilizamos um formulário contendo 19

questões fechados que contemplavam perguntas para identificarmos a idade e o sexo



dos professores, a sua experiência docente, que metodologia adota para o ensino de

matemática, qual seu domínio sobre o uso de tecnologias digitais para a prática docente

e sua percepção sobre o ensino de frações e as dificuldades dos alunos para aprender

este conceito.

Em relação aos resultados da consulta, quanto ao sexo 61% são homens, e

38,9% são mulheres. Quanto à faixa etária, 31% dos professores possuem entre 36 e 40

anos de idade. Na faixa etária de 26 a 35 anos encontram-se 28% dos entrevistados.

Acima dos 40 anos estão 42% dos professores entrevistados. Percebemos um quadro

etário heterogêneo, que possibilita a troca de experiências e a proposição de melhorias

para as práticas de ensino de Matemática a partir da interação na construção dos

projetos políticos pedagógicos nas escolas.

Gráfico 01: Faixa etária dos professores entrevistados na pesquisa

Fonte: Pesquisa de Campo (Maio/2013)

Quanto à escolaridade dos professores entrevistados, 100% eram graduados.

Destes, 94% são graduados em Licenciatura em Matemática e os demais são graduados

em Pedagogia. Quanto à graduação dos professores entrevistados, 8% dos professores

com formação em Matemática, tinham outra graduação. Entre estas constam

Licenciatura em Física, Geografia e Ciências Biológicas. Entre os professores temos um

quadro de especialistas ou mestres de 58%. Deste total, 33% são cursos de

especialização em Matemática. Cenário que apresenta um corpo docente com domínio

em estudos científicos e qualificados para implementar em sala de aula práticas

pedagógicas vividas nos experimentos de pesquisa e nas investigações realizadas nas

especializações.



Gráfico 02: Curso de especialização dos professores entrevistados na pesquisa


Sobre o tempo de serviço dos professores, 31% possuem entre 11 e 15 anos

de atuação docente e 25% possuem entre 16 e 20 anos de docência. Para Silva (2007),

esta experiência com a docência possibilita uma reflexão mais apurada sobre os entraves

e desafios que dificultam o ensino e a aprendizagem da Matemática. Por outro lado, é

preciso que os professores mais experientes estejam atentos à constante atualização e

formação continuada. Pois as necessidades acadêmicas discentes e o aparato

tecnológico advindo do convívio social, impõem às salas de aula o desafio de

proporcionar estratégicas de ensino capazes de atrair a atenção e dirimir as dificuldades,

tornando a aprendizagem mais significativa (AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN,

1978).

Gráfico 03: Tempo de Atuação como Docente


Os professores foram questionados sobre os ciclos ou anos que já tinham

atuado com o ensino de matemática. Destes, 83% haviam atuado no ensino

fundamental, 3% na educação de jovens e adultos (EJA), 39% no ensino médio e 19%

dos professores também atuaram no ensino superior.



Gráfico 04: Ciclo de atuação docente dos professores entrevistados na pesquisa


Para o tipo de escolas que os 36 professores entrevistados trabalham, 72%

responderam que atuam apenas em escolas públicas estaduais.

Gráfico 05: Tipo de escola que atuam os professores entrevistados na pesquisa


5.2.1.1. Os professores e o ensino de frações

O questionário buscava conhecer a prática docente e como os professores

ministravam o conceito de frações. Na pergunta se o professor já havia lecionado no 6º

ano do ensino fundamental 89% responderam que sim e 11% responderam que não.

Resultado já esperado, pois buscávamos investigar professores que atuam ou já atuaram

no Ensino Fundamental II.

Foi perguntado aos professores como eles ensinam fração em suas aulas.

Para 72% dos professores o ensino de frações começa com uma situação-problema para

depois introduzir o assunto. Silva, Pires e Sá (2011) encontraram resultados semelhantes

em pesquisa realizada na cidade de Belém/PA, na qual o uso de situações-problemas

aparece como metodologia a ser utilizado pelos professores como forma de

contextualizar os conceitos matemáticos a situações comuns ao dia a dia dos alunos.

Acreditamos que o uso das situações-problemas pelos professores entrevistados em



Macapá/AP, ocorre devido à experiência docente e o grau de especialização da maioria

dos professores entrevistados. Segundo os autores o uso de questões problemas e

enunciados contextualizados como estratégia de ensino, mobiliza e atrai a atenção dos

alunos e facilita na construção e compreensão do conceito de frações.

Gráfico 06: Como os professores entrevistados na pesquisa ensinam fração.


Foi indagado aos professores que prática eles utilizam em sala de aula para

fixar o conteúdo de frações. Entre os professores, 47% apresentam uma lista de

exercícios para serem resolvidos em sala como atividade de fixação. Destacamos dois

aspectos entre as respostas dos professores, apenas 3% deles solicitam que os alunos

procurem questões sobre o assunto fração para resolver; e nenhum dos professores

respondeu não propor questões de fixação, ou seja, todos os professores utilizam pelo

menos um instrumento de fixação para o conceito de frações. O uso das listas de

exercícios também foi o instrumento mais utilizado pelos professores para fixação do

assunto frações, nas investigações realizadas por Silva, Pires e Sá (2011), em seus

estudos sobre o ensino de frações.

Nas respostas sobre a fixação do conteúdo de frações, percebemos também

um baixo índice de professores que utilizam os jogos, recurso tecnológico ou material

concreto para propor atividades de fixação que possam permitir a interação do aluno

com o conceito de fração. Para Druzian (2009) o uso de jogos e objetos concretos

possibilita aos alunos experimentar e se desenvolver em atividades lúdicas individuais

ou em grupo, e aprender com os próprios erros e acertos, a partir da interação com os

colegas que estas atividades estimulam.



Gráfico 07: Como os professores entrevistados na pesquisa realizam a fixação do assunto fração.


Questionamos os professores sobre se a forma que lecionam o assunto de

frações se assemelha ou não à forma que aprenderam na educação básica. Para esta

questão 90% dos professores afirmaram que sim, ensinam da mesma forma que

aprenderam este assunto. Estes resultados assemelham-se aos resultados encontrados

nas pesquisas de Silva, Pires e Sá (2011), no qual os professores replicam a forma de

ensinar frações a partir da forma que aprenderam na educação básica.

A última questão do questionário aplicado aos professores visava identificar

qual o grau de dificuldade que o professor atribui para que os alunos aprendessem os

assuntos relacionados à fração, conforme é mostrado na tabela 01. Quanto ao conceito

de fração, 91% dos professores indicam como: i) muito fácil; ii) fácil, iii) regular. Este

resultado, como já abordou Drechmer e Andrade (2011) em seus estudos, mostra que os

professores, em geral, não reconhecem a dificuldade do conceito de fração para os

alunos.

Para as operações com fração, simplificação e comparação, cerca de 80%

dos professores indicam como regular ou difícil. Sobre as operações de adição e

subtração com frações de denominadores iguais, mais de 90% dos professores

entrevistados considera a aprendizagem por parte dos alunos para este conceito entre

muito fácil e regular. Porém cerca de 90% dos professores indica como regular ou

difícil à aprendizagem de adição e subtração de frações com denominadores diferentes.

Para as operações de multiplicação de frações 85% dos professores

considera sua aprendizagem entre fácil e regular. Já para a operação de divisão de

frações 91% dos professores considera entre fácil, regular e difícil sua aprendizagem.

Para as operações com potência de fração, 82% dos professores consideram entre



regular e difícil. Os resultados dos estudos de Magina, Bezerra e Spinillo (2009)

assemelham-se aos encontrados em nossa pesquisa, no que tange aos conceitos de

divisão, probabilidade, porcentagem, razão e proporção, que são, em geral, considerados

complexos quando associados às operações de fração na aprendizagem dos alunos.

Questionamos aos professores sua percepção sobre o grau de dificuldades

dos alunos para aprenderem frações a partir da resolução de problemas. Para 88% dos

professores a aprendizagem dos alunos a partir da resolução de problemas em que se

conhece o todo e se deseja conhecer uma parte é considerada como regular, difícil ou

muito difícil. Para 91% dos professores a aprendizagem a partir da resolução de

problemas em que se conhece uma parte se deseja conhecer o todo é regular, difícil ou

muito difícil. Por fim, 94% dos professores consideram regular, difícil ou muito difícil a

aprendizagem dos alunos a partir da resolução de problemas em que se conhece uma

parte se deseja conhecer outra parte. Notamos a necessidade de se trabalhar o ensino de

frações com maior atenção às atividades que envolvam a realização de problemas, onde

o professor possa contextualizar o ensino de frações à realidade cotidiana do aluno.

Desta forma o ensino passa a ser mediado por situações didáticas que contextualizem as

experiências prévias do aluno, e possibilitam uma aprendizagem significativa que atua

diretamente na zona de desenvolvimento proximal do aluno (BROUSSEAU, 2004;

AUSUBEL, 1976; VYGOTSKY, 1998).

Assunto Grau de dificuldade para os alunos

aprenderem

Muito

fácil

Fácil Regular Difícil Muito

difícil

Conceito de fração 21% 32% 38% 9% 0%

Tipos de fração 18% 29% 38% 15% 0%

Simplificação de fração 9% 12% 41% 35% 3%

Comparação de frações 6% 12% 59% 24% 0%

Adição de frações de mesmo denominador 32% 41% 26% 0% 0%

Subtração de frações de mesmo denominador 32% 41% 21% 3% 3%

Adição de frações de denominadores diferentes 3% 0% 32% 56% 9%

Subtração de frações de denominadores diferentes 3% 0% 35% 53% 9%

Multiplicação 9% 50% 35% 6% 0%

Divisão 3% 24% 38% 29% 6%

Potência de fração 6% 12% 56% 26% 0%

Resolução de problemas em que se conhece o todo e se

deseja conhecer uma parte.

6% 6% 38% 35% 15%



Resolução de problemas em que se conhece uma parte se

deseja conhecer o todo

6% 3% 29% 41% 21%

Resolução de problemas em que se conhece uma parte se

deseja conhecer outra parte

6% 0% 26% 35% 32%

Quadro 04: Grau de dificuldade que os professores atribuem para os alunos aprenderem frações.


Questionamos os professores sobre a quantidade de aulas que utilizam para

o ensino de frações. Para 78% professores, são utilizadas de 4 a 36 aulas para o ensino

de frações. Os demais 22% não souberam responder quantas aulas utilizavam para o

ensino deste conceito. Esta variação na quantidade de aulas utilizadas para o ensino de

frações vem ratificar a complexidade que há no ensino de Matemática sobre o assunto

frações. Como visto nos trabalhos de Teixeira (2008) e Silva (2007), os professores

apresentam dificuldades quanto à compreensão do conceito e dos significados de fração.

O que acarreta na transferência dessas dificuldades para sua prática docente, quando o

professor passa a suprimir ou desconsiderar alguns significados para o ensino das

operações e conceitos sobre frações. Este resultado expõe ainda a ausência de um

planejamento pedagógico por parte da escola, que oriente o professor sobre a

quantidade de aulas que são necessárias para um ensino que englobe todos os

significados e conceitos de frações.

Gráfico 08: Quantidade de aulas que os professores utilizam para ensinar fração.


5.2.1.2. Os professores e as tecnologias digitais

A consulta aos professores também visava investigar como eles atuam

diante das tecnologias digitais. Indagamos sobre o uso do laboratório de informática e

de computadores na prática docente e se possuíam estes recursos. Diante das respostas

dos professores, 97% respondeu que havia laboratório de informática na sua escola. Esta



informação mostra que as escolas de Macapá/AP estão aparelhadas quanto aos recursos

computacionais. Fato que se assemelha aos estudos de Santos (2005) realizado na

cidade de São Paulo que apontam para a boa infraestrutura das escolas quanto às salas

de informática e ao uso de computadores na escola.

Quando indagados sobre possuir computador pessoal, 100% dos professores

responderam que sim. Esta questão está atrelada ao fato de existir na Secretaria de

Educação do Governo do Estado do Amapá um programa denominado “Professor

Conectado” que visa entregar a cada professor efetivo da rede pública estadual um

computador do tipo notebook para sua prática docente.

No entanto, embora 97% dos professores afirmam que sua escola possui

laboratório de informática, e 100% dizem possuir computador pessoal, apenas 16% dos

professores disseram já ter participado de algum curso sobre o uso de software

educacional para a disciplina de Matemática. Percebemos aqui que o foco sobre as

tecnologias digitais ainda concentra-se no aparelhamento das escolas em detrimento da

formação dos professores para o uso destas tecnologias. Segundo Lima (2009), este

modelo se repete desde a década de 80 com a implantação de programas

Governamentais como PROINFO, que visava a informatização das escolas, sem uma

legítima preocupação com o uso destes equipamentos tecnológicos orientados para a

prática docente. É preciso que os professores sejam formados para o uso de

computadores e softwares educacionais para que possam desenvolver atividades que

possam ser trabalhadas em sala de aula, como instrumentos pedagógicos que estimulem

a interação e a participação dos alunos na construção do conhecimento.

Quanto ao uso destas tecnologias para o ensino, os professores foram

indagados sobre já ter utilizado ou se conhecem algum software educacional sobre o

assunto frações, 78% responderam nunca ter usado ou sequer conhecer algum software

educacional sobre o assunto de frações. Entre os que já haviam utilizado ou conheciam

algum software educacional para o ensino de frações, os professores mostraram não

compreender bem para qual assunto o software mencionado era aplicado. Três

professores citaram softwares que abordam outros assuntos, como o “Enigma das

frações”, “Matemática” e “Linux Educacional”.

Sobre o planejamento das aulas e o uso de tecnologias digitais, indagamos

aos professores se planejavam suas aulas de Matemática incluindo o uso do laboratório



de informática. Para 39% dos professores, as aulas planejadas incluem o uso do

laboratório de informática em seu planejamento didático. Percebemos o interesse dos

professores em usar os recursos computacionais disponíveis nas escolas como

instrumento didático. Porém, é evidente a falta de capacitação e formação para o uso de

softwares educacionais e outros recursos computacionais que possibilitem ao professor

o uso do computador como ferramenta didática. Sobre as atividades realizadas no

laboratório de informática, 42% eram pesquisas direcionadas em sites de conteúdo de

Matemática e 37% para o uso de programas de computador para o ensino de

Matemática. Para Borba e Chiari (2013) os professores precisam ser qualificados e

orientados para o uso de tecnologias digitais em sala de aula, para que se faça jus aos

investimentos realizados por gestores públicos que visam o aparelhamento das escolas

com equipamentos tecnológicos.

Gráfico 09: Tipo de atividades que os professores planejam para uso do laboratório de informática nas

aulas de Matemática


5.2.2. Perfil do professor participante da pesquisa

Aqui descreveremos o perfil do professor de Matemática que atuou no

experimento com a turma de alunos na sequência didática, a partir das informações

coletadas na aplicação do mesmo formulário aplicados aos demais professores

(Apêndice A).

O professor possui 40 anos de idade, é graduado em Licenciatura em

Matemática. Não possui especialização. Quanto ao tempo de serviço, atua há 20 anos

como professor de matemática. Está atuando apenas no 6º ano do Ensino Fundamental

II, com a disciplina de Matemática. Trabalha somente em escola pública.



Sobre o ensino de frações, o professor afirma que quando ministra o assunto

começa com uma situação problema para depois introduzir o assunto. Para fixar o

conteúdo, costuma apresentar jogos envolvendo o assunto. Quando questionado se a

forma como leciona frações é diferente da forma como ele aprendeu, o professor

respondeu que sim. E explicou, durante o preenchimento do questionário que, “quando

aprendeu frações, era exaustivo e sem foco na qualidade, e que o uso da lista de

exercícios utilizada pelo seu professor no ensino básico não contextualizava a

realidade dos alunos”.

Quanto ao grau de dificuldade para os alunos aprenderem o assunto de

frações, o professor demonstra otimismo para a aprendizagem dos alunos. Entre os

conceitos sobre frações listados, não considerou nenhum difícil ou muito difícil de ser

compreendido pelos alunos. O professor considera muito fácil para a compreensão dos

alunos, os assuntos conceito de fração, adição de frações de mesmo denominador,

subtração de frações de mesmo denominador e multiplicação de frações. Atribui como

fácil à aprendizagem dos tipos de fração, comparação entre frações, adição e subtração

de frações de denominadores diferentes, divisão de frações e para a resolução de

problemas em que se conhece o todo e se deseja conhecer uma parte e resolução de

problemas em que se conhece uma parte se deseja conhecer o todo. Para os conceitos de

simplificação de fração e resolução de problemas em que se conhece uma parte se

deseja conhecer outra parte, ele atribuiu o conceito de regular.

Assunto Grau de dificuldade para os alunos

aprenderem

Muito

fácil


difícil

Conceito de fração X

Tipos de fração X

Simplificação de fração X

Comparação de frações X

Adição de frações de mesmo denominador X

Subtração de frações de mesmo denominador X

Adição de frações de denominadores diferentes X

Subtração de frações de denominadores diferentes X

Multiplicação de frações X

Divisão de frações X

Potência de fração

Resolução de problemas em que se conhece o todo e

se deseja conhecer uma parte

X

Resolução de problemas em que se conhece uma

parte se deseja conhecer o todo

X

Resolução de problemas em que se conhece uma

parte se deseja conhecer outra parte

X



Quadro 05: Opinião do professor sobre o grau de dificuldade dos alunos para aprenderem frações


Quanto ao planejamento das aulas para o ensino de frações, o professor

respondeu que planeja 12 aulas para este conteúdo. Esta quantidade está próxima à

média de aulas planejadas entre os 36 professores de matemática que foram

entrevistados, que foi de 13 aulas, como vimos anteriormente.

Sobre o uso de tecnologia computacional, o professor informou que a escola

em que trabalha possui laboratório de informática. E que ele também possui computador

pessoal. No entanto, ele respondeu não ter participado de cursos sobre o uso de

programas de computador para a disciplina de Matemática. Quanto ao uso de programas

de computador sobre o assunto de frações, o professor disse já ter usado o programa

“Educandos5”.

Diante do perfil do professor, seu domínio sobre o conceito de frações, sua

experiência docente e por ter um conhecimento prévio sobre o uso de tecnologias

digitais, tornou-se possível sua participação no experimento pesquisa.

5.3. Consulta a Discentes

Analisaremos aqui a consulta realizada com os alunos egressos dos 6º ano

sobre o perfil sócio educacional, ensino de frações e o uso de tecnologias digitais.

5.3.1. Perfil dos alunos dos egressos do 6º ano

Para que pudéssemos conhecer como foi o processo de ensino e

aprendizagem de frações com a turma anterior à participante no experimento desta

pesquisa, fizemos uma consulta e aplicamos um teste para conhecer o perfil dos alunos

do 7º ano, ou seja, egressos do 6º ano, que já haviam estudado frações com o mesmo

professor e na mesma escola onde a pesquisa foi realizada.

Quanto aos resultados da pesquisa com os alunos do 7º ano, a faixa etária

ficou compreendida entre 11 e 19 anos. A maioria dos alunos possui entre 12 e 14 anos,

representando aproximadamente 33% para os alunos com 12 anos, 27,5% para os

alunos com 13 anos e 19% para os alunos com 14 anos.

5 Software educacional desenvolvido pela empresa SCA – Sistema de Engenharia e Informática LTDA,

sediada em Recife/PE. Pode ser acessado no site: http://www.educandus.com.br/



Gráfico 10: Faixa etária dos alunos que já estudaram frações

Fonte: Pesquisa de Campo (Outubro/2013)

Quanto ao tipo de escola que os alunos estudaram o 6º ano do ensino

fundamental, 96% estudaram em escola pública estadual, como mostra o gráfico 02.

Quando questionados sobre a escola que estudaram o 6º ano do ensino fundamental,

95% respondeu ter estudado na mesma escola, ou seja, na Escola Estadual Antônio

Lima Neto.

Gráfico 11: Tipo de escola que os alunos estudaram no 6º ano do ensino fundamental


Gráfico 12: Escola que os alunos estudaram no 6º ano do ensino fundamental




Investigamos se os alunos do 7º ano eram dependentes na disciplina de

Matemática quando cursaram o 6º ano do ensino fundamental. Para esta pergunta 77%

dos alunos disseram que não, enquanto que 23% afirmaram que eram dependentes. Para

Bezerra (2001) a Matemática situa-se entre as disciplinas que mais reprovam ou

provocam evasão escolar. Logo, torna-se primordial aprofundar as investigações sobre o

ensino e a aprendizagem Matemática como forma de diminuir os índices de reprovação

e promover estratégias que possam auxiliar professores e alunos no processo de

construção do conhecimento e da aprendizagem da Matemática.

O questionário aplicado aos alunos também visava conhecer o perfil

familiar e as suas condições para os estudos, a escolaridade e profissão dos

responsáveis, quem auxilia o aluno nos estudos, o tempo de dedicação aos estudos,

como são suas notas em Matemática e o grau de atenção durante as aulas de

Matemática.

Quanto à escolaridade do responsável masculino dos alunos, 35% não

concluíram o ensino fundamental. O resultado também mostrou pouco conhecimento

dos alunos sobre a escolaridade do responsável masculino, pois 33% afirmaram não

saber a escolaridade. Os resultados mostram ainda que poucos responsáveis masculinos

estão cursando ou concluíram o ensino superior, 1,4% e 1,8% respectivamente. Porém,

embora a baixa escolaridade, é importante destacar que apenas 0,5% dos responsáveis

masculinos não teve acesso à escola, ou seja, um baixo índice de analfabeto ou que

nunca tenham estudado.

Gráfico 13: Escolaridade do responsável masculino dos alunos do 6º ano do ensino fundamental.




Sobre a escolaridade dos responsáveis femininos, 27% não concluíram o

ensino fundamental. Um destaque sobre a escolaridade dos responsáveis femininos

diante a dos responsáveis masculinos está no percentual dos que concluíram o ensino

fundamental e o ensino médio, totalizando 42% dos responsáveis femininos, enquanto

entre os responsáveis masculinos apenas 29% haviam concluído o ensino fundamental e

o médio.

Para o ensino superior os responsáveis femininos também aparecem com

maior participação, comparando aos responsáveis masculinos. Um pouco mais de 6%

dos responsáveis femininos estão cursando ou já concluíram o ensino superior.

Destacamos o fato de que mais de 23% dos alunos desconhecerem a escolaridade do seu

responsável feminino.

Outro ponto importante é o baixo percentual de responsáveis femininos que

não estudaram, menos de 1% deixou de frequentar a escola. Podemos inferir que os

alunos são oriundos de famílias, nas quais os pais ou responsáveis tiveram acesso à

educação. Fator relevante, pois embora seja uma região de periferia, por terem tido

acesso à escola, os pais priorizaram os estudos como meio para ascensão social dos

filhos.

Gráfico 14: Escolaridade do responsável feminino dos alunos do 6º ano do ensino fundamental.


Quanto à profissão dos responsáveis masculinos, foram listadas 39

profissões, entre as citadas pelos alunos. Novamente, um dado que chamou a atenção foi

que 22% dos alunos, desconhecem a profissão do seu responsável masculino.

Considerando a idade dos alunos entrevistados, percebemos pouco diálogo sobre a



escolaridade ou a profissão dos responsáveis. Entre as profissões, a que teve maior

incidência foi a profissão de pedreiro com 17%.

Ord. PROFISSÃO % Ord. PROFISSÃO %

1 Não Sabe 21,60% 21 Técnico em Refrigeração 0,50%

2 Auxiliar Administrativo 0,50% 22 Serviços Gerais 2,70%

3 Moto Taxi 1,40% 23 Professor 1,80%

4 Pastor 0,50% 24 Agricultor 0,50%

5 Pedreiro 17,10% 25 Motorista 5,00%

6 Taxista 0,90% 26 Técnico em Enfermagem 0,50%

7 Garimpeiro 0,90% 27 Vidraceiro 0,90%

8 Bombeiro 0,50% 28 Gari 0,50%

9 Mecânico 2,70% 29 Caseiro 0,90%

10 Comerciante 4,50% 30 Açougueiro 0,90%

11 Guarda Municipal 0,90% 31 Técnico em Celular 0,50%

12 Pintor 1,80% 32 Moveleiro 0,50%

13 Borracheiro 0,50% 33 Padeiro 0,50%

14 Vendedor 5,90% 34 Jornalista 0,50%

15 Vigilante 6,30% 35 Jardineiro 0,50%

16 Mestre de Obra 1,80% 36 Servidor Público 1,80%

17 Eletricista 2,30% 37 Policial 2,70%

18 Desempregado 1,40% 38 Farmacêutico 0,50%

19 Autônomo 3,60% 39 Aposentado 0,50%

20 Carpinteiro 3,20% 40 Enfermeiro 0,50%

Quadro 06: Profissão dos responsáveis masculinos dos alunos do 7º ano do ensino fundamental.


Quanto aos responsáveis femininos dos alunos, foram citadas 30 profissões.

Destacamos novamente o alto índice de alunos que desconhecem a profissão do seu

responsável feminino, 23%. Entre as profissões, dona de casa e doméstica, com 20% e

13% respectivamente, são as que mais apareceram para os responsáveis femininos.

Ord. PROFISSÃO % Ord. PROFISSÃO %

1 Não Sabe 23,00% 17 Costureira 1,80%

2 Dona de Casa 20,30% 18 Massagista 0,50%

3 Professora 6,30% 19 Técnica em Refrigeração 0,50%

4 Doméstica 13,50% 20 Guarda Municipal 0,50%

5 Contadora 0,50% 21 Comerciante 3,20%

6 Mecânica 0,50% 22 Estudante 0,90%

7 Enfermeira 3,20% 23 Babá 0,90%

8 Copeira 0,90% 24 Médica 0,90%

9 Cozinheira 1,80% 25 Moto Taxi 0,50%

10 Farmacêutica 0,50% 26 Engenheira 0,50%

11 Faxineira 0,90% 27 Vigilante 0,90%



12 Vendedora 8,60% 28 Técnica em Segurança do

Trabalho

0,50%

13 Serviços Gerais 3,20% 29 Cabeleireira 0,50%

14 Manicure 1,80% 30 Garçonete 0,50%

15 Auxiliar

Administrativa

1,80% 31 Aposentada 0,50%

16 Desempregada 0,90%

Quadro 07: Profissão dos responsáveis femininos dos alunos do 7º ano do ensino fundamental.


Entre os responsáveis femininos, chamou atenção o fato de que 57% estar

inserida no mercado de trabalho. Segundo Frigotto (2001), nas últimas décadas, a

ascensão profissional feminina tornou-se uma realidade no Brasil, e possibilitou

melhores condições de renda às famílias e a necessidade de formação acadêmica.

5.3.1.1. Os alunos e a aprendizagem matemática

Sobre a aprendizagem Matemática, perguntamos aos alunos se eles tinham

dificuldade em aprender Matemática, 94% dos alunos respondeu que não sente

dificuldade ou apenas um pouco, 21,6% e 72,1% respectivamente. Apenas 6%

afirmaram ter muita dificuldade em aprender Matemática. Este resultado nos permite

inferir que aprender Matemática não é o maior problema para os alunos. A didática,

instrumentos pedagógicos, ou o modelo de ensino pode ser sim o maior entrave para

que se alcance melhores resultados de aprendizagem em Matemática.

Gráfico 15: Alunos do 7º ano sobre possuir dificuldade em aprender Matemática


Ainda sobre a disciplina de Matemática, questionamos aos alunos se eles

costumavam estudar Matemática. Entre os alunos, 49% afirmaram estudar apenas na

véspera da prova, resultado que mostra que os alunos, em sua maioria, não possuem o



hábito de estudar regularmente Matemática. Podemos perceber que o estudo está focado

em “passar na prova”, ou seja, estudam para o teste que será aplicado.

Gráfico 16: Alunos do 7º ano sobre qual a frequência que costuma estudar Matemática


Questionamos quem auxilia os alunos nas tarefas de Matemática para serem

realizadas em casa. Entre as respostas, a mãe aparece como a pessoa que mais auxilia o

aluno nas tarefas de Matemática em casa, com 40% de registros dos dados obtidos. Este

percentual acolhe o fato de que, embora a maioria dos responsáveis femininos esteja

inserida no mercado de trabalho, elas continuam assumindo o papel de educadoras na

relação familiar. Este papel de formação e orientação dos filhos pode estar atrelado ao

resultado de maior escolaridade dos responsáveis femininos, que em geral, apresentam

um laço maternal de maior proximidade e cuidado com a vida escolar e profissional dos

filhos.

Gráfico 17: Alunos do 7º ano sobre quem os auxilia nas tarefas de Matemática em casa


Sobre as notas na disciplina de Matemática, a maioria dos alunos respondeu

estar na média, 61%. Um retrato da resposta sobre a frequência com que estudam

Matemática, onde a maior parte relata estudar apenas na véspera da prova. Para Justulin



(2009), os resultados apenas satisfatórios ou na média para a aprovação em Matemática

representam o pouco interesse ou estímulo dos alunos pela disciplina, reflexo de um

ensino rígido e formal, exercido, em geral, pelos professores de Matemática. A

Matemática precisa ser ensinada de forma interdisciplinar e contextualizada às

necessidades e anseios dos alunos (PAIS, 2001).

Gráfico 18: Alunos do 7º ano sobre suas notas na disciplina de Matemática


Sobre a atenção que os alunos dedicam às aulas de Matemática, foi

questionado se eles se distraiam durante as aulas de Matemática. Quase 50% dos alunos

disseram que na maioria das vezes se distraem, voltando a atenção para outras

atividades distintas ao momento de ensino do professor. Fica evidente a necessidade de

que os professores procurem propor atividades motivadoras, que atraia a atenção dos

alunos, e que quando possível envolvam recursos didáticos que estimulem a interação, a

participação e o envolvimento do aluno durante a aula.

Gráfico 19: Alunos do 7º ano sobre sua atenção durante as aulas de Matemática


Para conhecer as dificuldades dos alunos em aprender Matemática,

questionamos quais as operações matemáticas que os alunos apresentavam maior

dificuldade em realizar. Cerca de 50% dos alunos apontaram as operações com divisão



como as mais difíceis de serem realizadas. Resultado que confirma a percepção dos

professores de matemática sobre as dificuldades de aprendizagem dos alunos com

operações de divisão com fração, nesta pesquisa.

Gráfico 20: Alunos do 7º ano sobre a dificuldade em realizar operações


Foi questionado também aos alunos sobre o domínio da tabuada.

Destacamos que 57% afirmaram não possuir domínio sobre a tabuada. Índice elevado

para alunos do 7º ano do ensino fundamental, que estudaram a tabuada desde os anos

iniciais do ensino fundamental I.

Gráfico 21: Domínio da Tabuada.


Para o conhecimento sobre frações, foi perguntado aos alunos se já haviam

estudado frações. Aproximadamente 78% dos alunos já haviam estudado frações.

Resultado esperado, pois a pesquisa foi realizada com alunos do 7º ano do ensino

fundamental, onde se estabelece nos parâmetros curriculares que até este ano os alunos

já tenham estudado o conceito de frações.



Gráfico 22: Alunos do 7º ano sobre já ter estudado frações


Investigar como ocorreram as aulas de Matemática e o ensino de frações, na

perspectiva dos alunos. Sobre as aulas de Matemática no 6º ano do ensino fundamental,

64% dos alunos afirmaram que as aulas começavam pela definição dos conceitos e em

seguida de exemplos e exercícios. Este resultado mostra que há o emprego de aulas que

retomam o tradicional uso da apresentação do conceito teórico, seguida dos exercícios.

Para Moreira (2010), o uso de metodologias didáticas como a sequência didática, a

partir de situações-problemas que contextualizem e aproximem o conceito matemático

do cotidiano dos alunos, e o uso de objetos concretos, jogos e recursos tecnológicos,

podem atrair e desenvolver de forma mais eficaz a atenção e a aprendizagem dos alunos

nas aulas de Matemática.

Gráfico 23: Alunos do 7º ano sobre como ocorriam as aulas de Matemática


Para conhecer como ocorreu o ensino de fração no 6º ano do ensino

fundamental, perguntamos aos alunos como o professor costumava fixar o conteúdo de



frações. Para 49% dos alunos, os professores fixavam o conteúdo de fração

apresentando uma lista de exercícios para serem resolvidos.

Gráfico 24: Alunos do 7º ano sobre como os professores fixavam o conteúdo de fração


5.3.1.2. Os alunos e o uso de tecnologia

Com o questionário buscamos conhecer informações sobre o uso de

tecnologias digitais na escola onde a pesquisa foi aplicada, e como os alunos utilizavam

essas tecnologias.

Questionamos aos alunos se a escola possuía laboratório de informática. É

interessante considerar que todos os duzentos e vinte e dois alunos do 7º ano

entrevistados eram da mesma escola onde a pesquisa foi realizada e mesmo a escola

tendo laboratório de informática, 29% dos alunos afirmaram não ter laboratório de

informática na escola ou disseram não saber. Fica evidente o distanciamento entre as

aulas, os professores e alunos em relação ao uso do laboratório de informática. Para

Tulon (2008), os laboratórios de informática precisam ser vistos e utilizados como

espaço de ensino. O uso desta tecnologia, já inserida nas escolas, pode potencializar a

aprendizagem Matemática, quando bem utilizado como instrumento de ensino.



Gráfico 25: Alunos do 7º ano sobre saber se a escola possui laboratório de informática


Ainda sobre o uso de tecnologias digitais, perguntamos aos alunos se algum

professor já havia ministrado aula no laboratório de informática. Dentre os entrevistados

91% afirmou não ter tido aula de informática no laboratório de informática. Novamente

fica claro que embora a escola possua laboratório de informática e que 71% dos alunos

conheçam a existência deste laboratório, não são ministradas aulas neste ambiente

tecnológico. Para Moreira (2010) os laboratórios são pouco utilizados nas escolas

devido a falta de capacitação dos professores para o uso dos computadores e softwares

educacionais como instrumento de ensino. Em muitas escolas, os laboratórios de

informática são utilizados apenas como ambiente de pesquisa ou espaço onde os alunos

ficam quando não têm aula.

Gráfico 26: Alunos do 7º ano sobre algum professor ter ministrado aula no laboratório de informática


Para os 9,5% dos alunos que responderam ter tido aula no laboratório de

informática, foi questionado qual a disciplina que tiveram aula no laboratório. Foram

citadas cinco disciplinas, entre elas, 38% das aulas foram ministradas na disciplina de

ciências. A disciplina de matemática foi citada por apenas 9,5% dos alunos que

disseram já ter tido aula no laboratório de informática. Rosa e Viali (2008) apontam



para o uso de recursos computacionais no ensino de Matemática pelos professores e,

para a necessidade de formação dos professores para o uso destas tecnologias como

instrumentos pedagógicos. Acrescentamos que no Brasil, inúmeros grupos de pesquisa,

universidades e o Ministério da Educação, disponibilizam sistemas e ferramentas

computacionais de forma gratuita aos professores de Matemática. Como exemplo, o

Banco Internacional de Objetos Educacionais (BIOE)6, desenvolvido e mantido pelo

Ministério da Educação e Cultura (MEC), com o objetivo de disponibilizar objetos

educacionais de diversas áreas do conhecimento, formatos e níveis de ensino, com

acesso público.

Gráfico 27: Alunos do 7º ano sobre já ter tido aula de alguma disciplina no laboratório de informática


Buscamos ainda conhecer quais as atividades que foram trabalhadas com os

alunos no laboratório de informática. Entre os alunos que já haviam realizado alguma

atividade no laboratório de informática, destacamos que apenas 12% dos alunos

disseram ter tido atividades com o uso de software educacional para o ensino de

Matemática, o que mostra o baixo uso de softwares educacionais por parte dos

professores no laboratório de informática, priorizam pesquisas, jogos e uso livre do

computador.

6Repositório de objetos educacionais do Ministério da Educação e Cultura (MEC), disponível em

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/.



Gráfico 28: Alunos do 7º ano sobre as atividades que já foram trabalhadas no laboratório de informática


Outro foco investigado com os alunos foi quanto ao uso de tecnologias para

o acesso à internet. Buscamos identificar se os alunos possuíam computador, seus

hábitos de acesso à internet e se estão familiarizados com o uso desta tecnologia.

Foi questionado aos alunos se possuíam computador, sendo que 47% dos

alunos disseram possuir computador pessoal. O que mostra que grande parte dos alunos,

embora sejam de uma região de periferia mais carente, já estão inseridos e/ou dominam

o uso das tecnologias computacionais.

Gráfico 29: Alunos do 7º ano sobre possuir computador


Sobre o uso e acesso à internet, questionamos aos alunos qual o local que

eles costumavam acessá-la. Destacamos que 51% dos alunos disseram acessar internet

em casa. Outro aspecto importante na resposta dos alunos foi que apenas 2% dos alunos

disseram não acessar à internet. Este resultado mostra uma geração de alunos ativos no

uso de tecnologias, para os quais o uso da internet tornou-se comum nas suas atividades



diárias. É preciso que os professores tenham atenção à esta questão e tragam para o

ambiente escolar este hábito comum entre os alunos.

Gráfico 30: Alunos do 7º ano sobre o local que costumam acessar à internet


Ainda sobre o acesso à internet, os alunos foram questionados sobre qual

equipamento utilizavam para acessar. O computador ainda aparece como o equipamento

mais utilizado para 54% dos alunos. Entretanto, o celular já aparece como equipamento

bastante utilizado para acesso à web, por 40% dos alunos. Este crescimento no uso do

celular é uma vertente mundial, devido os celulares terem tido um grande

desenvolvimento tecnológico, passando a realizar atividades que outrora eram possíveis

de ser realizadas apenas em computadores. E com o surgimento das redes sociais, a

possibilidade de interação e o envio de imagens, os celulares se tornaram ainda mais

atraentes e ágeis para estas funcionalidades. Este equipamento possibilita ainda o acesso

a sistemas e softwares disponíveis via internet, promovendo o acesso a recursos

didáticos disponíveis na rede mundial de computadores.

Gráfico 31: Alunos do 7º ano sobre o equipamento que utilizam para acessar à internet


O questionário buscava ainda conhecer as atividades e o tempo que os

alunos passam acessando à internet. Perguntamos aos alunos quantas horas por dia eles



ficam conectados à internet. Destacamos que 57% dos alunos acessam à internet pelo

menos duas horas por dia. Outro ponto a se destacar é que apenas 2% dos alunos dizem

não acessá-la, o que reforça a ideia de que a maioria dos alunos, por pouco ou muito

tempo, acessam e ficam conectados a ela diariamente.

Gráfico 32: Alunos do 7º ano sobre a quantidade de horas que ficam conectados à internet


Por fim, o questionário buscou identificar quais as atividades que os alunos

desenvolviam quando estavam conectados à internet. A maioria dos alunos, 31%, utiliza

o tempo que fica conectado para bater papo nas redes sociais. Hábito bastante comum

para esta geração, que cresceu em um ambiente de intensa interação social por meio do

computador e celular com o uso da internet e das redes sociais. Levy (1999) aponta para

o uso das tecnologias digitais como uma realidade da era da informação, para o qual o

autor denomina como “cybercultura” esta apropriação do uso de tecnologias no

cotidiano social, escolar e profissional.

Gráfico 33: Atividades que realizam conectados à internet.




5.3.1.3. Os alunos e o ensino de frações

Aos duzentos e vinte e dois alunos também foi aplicado um teste que visava

investigar o conhecimento dos alunos que já haviam estudado frações, sobre as

operações com frações na forma de equação e em questões-problemas. Foi utilizado o

formulário, contendo dez questões de equações de frações sobre adição e subtração de

denominadores iguais, adição e subtração de denominadores diferentes, multiplicação e

divisão. E mais seis questões-problemas, sendo uma para cada operação (adição e

subtração de denominadores diferentes, adição e subtração de denominadores iguais,

multiplicação e divisão). Sobre o teste, foram analisados os acertos e erros dos alunos,

de acordo com a tabela 03.

QUESTÕES COM EQUAÇÕES

ORD QUESTÃO ACERTOS ERROS NÃO FEZ

1

+

= 18,90% 81,10% 0,00%

2

+

= 0,00% 99,50% 0,50%

3 2 +

= 0,50% 99,10% 0,50%

4

-

= 17,60% 82,00% 0,50%

5

-

= 0,00% 100,00% 0,00%

6 3 -

= 0,50% 99,10% 0,50%

7

x

= 20,70% 78,40% 0,90%

8

x 4 = 23,90% 75,70% 0,50%

9

÷

= 0,00% 99,10% 0,90%

10

÷ 3 = 0,50% 98,20% 1,40%

Quadro 08: Resumo das questões fechadas realizadas no pré-teste com os alunos do 7º que já haviam

estudado frações


A tabela 04 mostra o desempenho dos alunos nas dez questões fechadas

com operações de frações. Destacamos no resultado alguns aspectos: para todas as

questões, o menor índice de erro foi de 76% das questões; seis questões tiveram índice

de erro acima de 98%; apenas duas questões tiveram índice de acerto superior a 20%;

em três questões nenhum aluno acertou o resultado da questão.

Estes resultados mostram a dificuldade dos alunos em resolver operações de

frações, o que contrapõem ao indicado pelos professores, pois 53% disseram ser muito



fácil ou fácil quanto ao grau de dificuldades de aprendizagem dos alunos para o

conceito de fração. Percebemos que o professor de fato não conhece as dificuldades dos

alunos, ou apresenta um elevado grau de expectativa quanto aos resultados esperados

para os alunos e às suas estratégias de ensino.

Traçamos ainda o quadro resumo das seis questões-problemas realizadas no

mesmo teste pelos alunos do 7º ano do ensino fundamental, conforme detalha a Tabela

04.

QUESTÕES PROBLEMAS

ORD QUESTÃO ACERTOS ERROS NÃO

FEZ

1 Matilde repartiu um bolo em 8 pedaços. Ela comeu e Rodolfo

também comeu do bolo. Que fração representa a parte do bolo que

Matilde e Rodolfo comeram?

14,40% 85,10% 0,50%

2 Dona Benta reparte uma torta e deu para seus sobrinho Felipe e

Tiago. Felipe ganha da torta. Que fração da torta Tiago ganhou?

9,90% 90,10% 0,00%

3 Em uma fazenda em Castanhal foi destinado da área total foi

destinada para a plantação de milho, enquanto da área total são

destinada ao cultivo de frutas diversas. Qual é a fração da área total

da fazenda que está ocupada com a cultura de milho e frutas?

0,00% 99,50% 0,50%

4 De uma caixa de bombons foi distribuído dos bombons para Luiz

Carlos e Fabiana. Luiz Carlos ficou com dos bombons. Com

quantos bombons Fabiana ficou?

5,00% 94,60% 0,50%

5 Uma bandeira tem três cores: vermelho, amarelo e branco. Nessa

bandeira corresponde à faixa vermelha e, dessa faixa foi

reservado para desenhar um emblema. Qual é a fração da bandeira

na qual está o emblema?

1,40% 97,30% 1,40%

6 No terminal rodoviário saem ônibus da empresa Transbrasiliana a

cada de horas para fazer uma viagem para o Maranhão. Quantos

ônibus da empresa transbrasiliana saem do terminal em uma hora?

8,60% 91,00% 0,50%

Quadro 09: Resumo das questões-problemas realizadas no pré-teste com os alunos do 7º ano que já

haviam estudado frações


Para as questões-problemas os resultados mostraram uma maior dificuldade

dos alunos em relação às questões com as frações em forma de equação. Para as seis

indagações realizadas, em cinco os alunos tiveram índice de erros acima de 90%. A

questão-problema que apresentou a maior quantidade de acertos dos alunos foi a

questão de adição de denominadores iguais, na qual apenas 14% dos alunos acertou.

Estes resultados mostram a dificuldade dos alunos em dois aspectos: confirma os

resultados da tabela 03 para as questões com frações em forma de equação, que mostra a



dificuldade dos alunos em realizar as operações com frações; e a piora nos resultados

para as questões-problemas ressalta a dificuldade dos alunos com a leitura e

interpretação de texto, pois durante a realização do teste os alunos mostraram

dificuldade em compreender os enunciados das questões para que pudessem construir

suas respostas.

A análise do processo de ensino e aprendizagem com os alunos do 7º ano

fundamental sobre as operações com frações por meio dos instrumentos de investigação

da pesquisa, nos permitiu conhecer o perfil dos alunos, seus hábitos de estudo, o

domínio sobre os conceitos de frações e o comportamento quanto ao uso de tecnologias

computacionais nas atividades cotidianas e acadêmicas.

Os resultados revelam aspectos importantes que consolidam e justificam

nossa pesquisa. Destacamos o interesse e o envolvimento dos responsáveis na educação

dos alunos. Para a maioria dos alunos, os responsáveis auxiliam nas tarefas escolares.

Fator que estimula o interesse dos alunos pelos estudos. Quanto à aprendizagem

Matemática, embora a maioria dos alunos afirme ter pouca dificuldade para aprender

Matemática, o rendimento das notas para mais de 60% dos alunos está apenas na média.

Este rendimento confirma o hábito destes alunos em estudar apenas na véspera das

provas, o que aponta uma maior preocupação com a aprovação nas avaliações, em

detrimento do estudo continuado com o foco na construção do aprendizado.

Embora a maior parte dos alunos tenha o auxílio dos responsáveis para as

atividades escolares, prerrogativa que deveria estimular o interesse e a atenção para as

aulas, 95% dos alunos disse não prestar atenção ou que na maioria das vezes se distraem

nas aulas de Matemática. Informação esta somadas aos resultados que indicam que os

professores de Matemática preconizam o uso de métodos rígidos, pautados em regras e

fórmulas, desmobilizam o interesse do aluno pela aula. Soma-se ainda, que a maioria

dos alunos do 7º ano do ensino fundamental apresentaram dificuldades em assuntos

vistos nos anos anteriores. A maioria dos alunos apresentou dificuldades nas quatro

operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) e no conhecimento da

tabuada. Estas dificuldades mostram uma deficiência no ensino de Matemática no

percurso acadêmico dos alunos, que ano após ano, torna a aprendizagem ainda mais

difícil de ser construída. Os alicerces matemáticos ficaram frágeis, impondo aos

professores o uso de estratégias de ensino, que possam estimular e resgatar o interesse



dos alunos para as aulas de Matemática, como forma de alcançar uma aprendizagem

sólida.

Logo, os resultados percebidos com os alunos do 7º ano orientam para o

desenvolvimento da nossa pesquisa, na qual buscamos estabelecer que o ensino das

operações com frações pode ser potencializado quando ocorrer por meio de uma

sequência didática elaborada com atividades, que propõem a resolução de problemas, e

aplicada na mediação do professor e o uso de um software educacional, visando

possibilitar uma aprendizagem significativa que potencializa os conhecimentos prévios

do aluno, e considera sua zona de desenvolvimento proximal.

Desta forma, conhecer o perfil dos alunos egressos, nos proporcionou

condições de realizar o experimento com os alunos do 6º ano, a partir das experiências

percebidas nas respostas dos alunos.

5.4. Etapas da Engenharia Didática: Procedimentos e instrumentos de pesquisa

Descreveremos aqui as quatro etapas da Engenharia Didática que orientada

os instrumentos e procedimentos metodológicos deste estudo.

5.4.1. Análise preliminar

O primeiro e o quinto capítulo apresentam nossas análises preliminares, no

qual revisamos a história dos números racionais, seus principais conceitos e os livros

didáticos sobre as abordagens pedagógicas orientadas ao ensino de frações. Realizamos

por meio de questionários, consultas com 186 (cento e oitenta e seis) alunos egressos do

6º ano do Ensino Fundamental e a professores de matemática das escolas públicas da

cidade de Macapá para conhecermos as práticas usuais de ensino realizadas em sala de

aula. Aos alunos, foram aplicados dois questionários: o primeiro, denominado

questionário-perfil continha 24 (vinte e quatro) questões fechadas e buscava conhecer o

perfil social e acadêmico do aluno sobre o ensino de matemática , o uso de tecnologias

digitais; o segundo, denominado pré-teste, continha 16 (dezesseis) questões com

operações envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão de frações, visava

conhecer o nível de desenvolvimento real dos alunos para a resolução de problemas



com as quatro operações, e investigar como foi o processo de ensino e aprendizagem

das operações com frações no ano anterior, sem a intervenção desta pesquisa.

Aos professores de matemática, foi aplicado um questionário com 18

(dezoito) questões fechadas visando conhecer o perfil dos professores, a formação

acadêmica, as práticas pedagógicas, as concepções sobre o ensino dos números

racionais, da resolução de problemas para as operações com frações e o uso de

tecnologias digitais na prática docente.

Investigamos estudos para conhecer os erros e obstáculos epistemológicos

dos alunos e professores no processo de ensino e aprendizagem das operações com

frações, a partir da Teoria das Situações Didáticas de Brousseau. E aplicamos um

questionário que continha um pré-teste para avaliar o nível de conhecimento real sobre

as operações com frações, dos alunos do 6º ano do Ensino Fundamental que

participaram da sequência didática no experimento da pesquisa.

5.4.2. Análise a priori

A construção dos instrumentos da pesquisa foi baseada nas escolhas das

variáveis globais, como a definição do uso prioritário do significado de parte-todo para

o ensino das operações com frações e a estrutura didática do software educacional

FRACTRON, que se referiram à organização da sequência didática. Essas variáveis

englobaram todos os momentos da pesquisa, desde o pré-teste, as atividades da

sequência didática à institucionalização dos conceitos sobre a resolução das operações

com frações. As variáveis locais inferiram na escolha das atividades, os enunciados das

questões-problemas, as estratégias pedagógicas e o tempo estabelecido para o

desenvolvimento das atividades.

A sequência didática foi elaborada a partir da nossa experiência didática no

ensino dos números racionais e dos resultados obtidos no teste com os alunos egressos

do 6º ano do Ensino Fundamental. A sequência didática contempla atividades mediadas

pelo software educacional FRACTRON, que visa criar um ambiente educacional que

estimule a criatividade e o raciocínio lógico dos alunos diante da possibilidade de

resolver questões contextualizadas aos seus conhecimentos prévios e que promova uma

aprendizagem significativa para as operações com frações. A sequência didática

continha ainda atividades de fixação com exercícios propostos para resolução



extraclasse e o uso do jogo de cartas para elucidar o caráter lúdico e competitivo dos

alunos nos desafios propostos para encontrar os resultados das cartas-equação com as

cartas-resposta.

A sequência didática contempla doze sessões elaboradas para proporcionar a

construção do conhecimento sobre as operações com frações, conforme listadas no

quadro a seguir:

SESSÃO ATIVIDADE

1ª Questionário Perfil e Pré-Teste de adição e subtração de frações com denominadores iguais e

diferentes.

2ª Adição de Frações com Denominadores Iguais.

3ª Subtração de Frações com Denominadores Iguais.

4ª Adição de Frações com Denominadores Diferentes.

5ª Subtração de Frações com Denominadores Diferentes.

6ª Fixação de Adição e Subtração de Frações.

7ª Pós-Teste de adição e subtração de frações com denominadores iguais e diferentes

8ª Pré-Teste de multiplicação e divisão de frações .

9ª Multiplicação de Frações.

10ª Divisão de Frações.

11ª Fixação de Multiplicação e Divisão de Frações.

12ª Pós-Teste de multiplicação e divisão de frações.

Quadro 010: Atividades da sequência didática.

As atividades desenvolvidas em cada sessão da sequência didática serão

detalhadas no capítulo VI.

5.4.3. Experimentação

Nesta etapa da pesquisa foram utilizadas doze atividades elaboradas para o

ensino das operações com frações, realizadas através do uso do software educacional

FRACTRON e fixadas com o uso de jogos de cartas e as atividades extraclasse.

Participaram das sessões 40 alunos de uma turma do 6º ano do Ensino Fundamental da

Escola Estadual Antônio Lima Neto, situada na cidade de Macapá no Amapá. A

sequência didática foi aplicada entre os dias 26 de maio e 27 de junho de 2014.

Os resultados da aplicação da sequência didática serão detalhados no

capítulo VI.

5.4.4. Análise a posteriori e Validação

As análises das sessões da sequência didática foram realizadas com base no

registro dos momentos didáticos, na produção dos alunos no desenvolvimento das



atividades e nas informações obtidas com os instrumentos de pré e pós-teste e das

atividades extraclasse. A validação da sequência didática proposta se deu pelo confronto

dos registros dos resultados produzidos pelos alunos nas atividades, nas atividades de

fixação e nos instrumentos de testes.

Os resultados da consulta aplicada aos 186 alunos egressos do 6º ano do

Ensino Fundamental também foram confrontados com os resultados dos 40 alunos que

participaram do experimento, para comparar o ensino das operações com frações

realizado pelo mesmo professor, na Escola Estadual Antônio Lima Neto, sem o uso da

sequência didática e o software educacional FRACTRON, no ano anterior à pesquisa,

com os resultados obtidos na realização do experimento.

Para a análise dos registros da produção dos alunos e do professor na

interação em sala de aula, foram utilizados câmeras filmadoras, fotos e anotação no

caderno, denominado “diário de bordo”, para relatar e capturar todos os momentos do

experimento e elucidar com clareza e fidelidade o experimento da pesquisa.

5.5. O software educacional FRACTRON

5.5.1. Premissas do software

O software educacional FRACTON, desenvolvido como método

computacional para auxiliar na realização da sequência didática proposta nesta pesquisa,

foi baseado em tecnologia WEB, para uso via internet, como ferramenta de uso público

e gratuito para professores, alunos e interessados no ensino do conceito de frações.

Como uma solução de software livre, a especificação e desenvolvimento do

FRACTON seguiram as normas e diretrizes estabelecidas pelas boas práticas de

processos de desenvolvimento e engenharia de software. Visamos como resultado desta

pesquisa submeter o software FRACTON ao Portal Internacional de Objetos

Educacionais do MEC7, para dar publicidade, divulgar e disseminar o uso do software

nas escolas públicas do Brasil.

7 Banco Internacional de Objetos Educacionais, mantido pelo Ministério da Educação e Cultura (MEC)

do Governo Brasileiro. HTTP:// objetoseducacionais2.mec.gov.br/



5.5.2. Tecnologia utilizada

O software educacional FRACTON foi desenvolvido a partir da linguagem

de programação PHP e com o uso do Banco de Dados MySql. Buscamos seguir padrões

de interoperabilidade e adaptabilidade orientados pelos processos e metodologias da

Engenharia de Software, para os quais a linguagem de programação PHP apresenta

capacidade de recursos e bibliotecas que permitem a manipulação de objetos para

internet, entre outras vantagens como a facilidade de alteração e manutenção do

programa, sua programação orientada a objetos facilita na estruturação do código e a

capacidade de manipulação e conexão com diversos bancos de dados.

O FRACTRON assume características como portabilidade, que possibilita

sua instalação em diversos sistemas operacionais como Windows, Linux, Mac Os, entre

outros; interoperabilidade, para disponibilizar mecanismos de comunicação com todos

os principais bancos de dados relacionais, e com serviços de LDAP, XML,

Webservices, entre outros; entre outras vantagens como a grande comunidade de

desenvolvedores e programadores de sistemas que utilizam esta linguagem e formam

um grupo de colaboração capaz de suportar e apoiar na solução de problemas e no

melhoramento da linguagem.

Destacamos aspectos de simplicidade e performance da linguagem de

programação PHP que preconiza um modelo de desenvolvimento simples, ágil e com

grande estabilidade, combinado aos serviços do Linux e Apache. Características como

estas, que possibilita que o software educacional FRACTRON possa ser utilizado em

larga escala, atendendo diversas escolas e grande quantidade de alunos interagindo no

sistema simultaneamente.

5.5.3. Funcionalidade do software

O FRACTON foi projetado como um ambiente de cenários, onde o usuário

(professor e aluno) possa interagir na realização da atividade proposta manipulando os

objetos e respondendo aos questionamentos em tela. O software possui dois ambientes

para usuários. Um ambiente para usuários administradores, ou seja, um ambiente para

que o professor possa administrar e preparar as atividades a serem trabalhadas com os

alunos na sequência didática em sala de aula. O outro ambiente é de resolução das



atividades. Este ambiente é utilizado pelo aluno, para que com o auxílio do professor,

ele consiga realizar as atividades propostas em tela.

Abaixo serão detalhadas as funcionalidades do software, descrevendo os

objetivos e função de cada área ou botão em tela:

Acesso ao Software

Para que o usuário do software possa acessá-lo, seja ele professor ou aluno,

é necessária a criação de um “nome de usuário” e uma “senha”, conforme mostra a

Figura 01. Este processo de criação de senhas é realizado pelo próprio usuário ao clicar

no botão “cadastrar”, que o remeterá para uma tela de cadastro onde o usuário irá

preencher nome, sobrenome, email e senha (Figura 02). Caso o usuário seja Aluno, ele

deve realizar seu cadastro, mas apenas o Professor, como administrador do software irá

habilitar e vincular este aluno em uma turma, para que ele possa iniciar as atividades no

FRACTRON.

No primeiro acesso, o usuário deve clicar em “não possuo cadastro”, o

sistema remeterá para a tela de cadastro de novo usuário (Figura 02). Caso já seja

cadastrado e esqueceu a senha, deverá clicar em “esqueci minha senha”, o sistema

remeterá para a tela recuperação de senha (Figura 03).



Figura 01: Tela de acesso ao software

Figura 02: Tela de cadastro de novo usuário

Figura 03: Tela de recuperação de senha

Menu Ajuda:

O menu ajuda , permite aos usuários do FRACTRON (professores e

alunos) acesso ao Manual das funcionalidades, informações sobre a versão do sistema,

os direitos de uso, e informações sobre os desenvolvedores e detentores de direitos

autorais.

Menu Sair:

O menu sair é o botão que garante a saída com segurança do sistema.

5.5.4. Ambiente do professor (administrador)

O professor possui um ambiente de acesso ao FRACTON diferenciado. Ao

professor é possível gerenciar os usuários (alunos) e definir suas permissões de acesso

ao software. Pode cadastrar as turmas, escolas, as questões-problemas, os tipos de

atividades e propostas de resolução. A Figura 04 mostra a tela inicial do FRACTRON,

onde nos menus localizados na parte inferior da tela, o professor tem acesso ao controle

das funcionalidades do software.



Fica disponível também ao professor relatórios como lista de usuários e seus

acessos, lista de grupos de usuários, editar o perfil e a senha de um usuário, visualizar a

lista dos aluno por turmas, lista de atividades, lista de questões, as resoluções das

questões realizadas pelos alunos, conforme detalhamento nas telas a seguir.

Figura 4: Tela Ambiente administrador (professor)

Menu Usuários:

No menu usuários, o professor terá acesso à gestão dos usuários (alunos),

habilitar o aluno para uso do FRACTRON, excluir um aluno e editar os dados cadastrais

do aluno. A Figura 05 mostra a lista de usuários que o professor pode gerenciar e

visualizar quais os alunos cadastrados e seu histórico de acesso. O professor também

pode adicionar novos alunos, conforme mostra a Figura 06.

Figura 5: Tela Ambiente de gerência e permissão

de acesso aos usuários

Figura 6: Tela para cadastro de novos usuários

(alunos)

A tela 07 apresenta ao professor os dados do perfil dos usuários (alunos)

cadastrados.



Figura 7: Tela com os dados cadastrais dos usuários (alunos)

Menu Escolas:

O Professor também tem permissão para cadastrar novas escolas, conforme

mostra a Figura 09. Esta funcionalidade foi atribuída, para caso o professor trabalhe em

mais de uma escola e tenha interesse em usar o software nas escolas que atua. O

cadastro de novas escolas ocorrerá a partir da tela de listagem das escolas já cadastradas

no sistema, conforme mostra a Figura 08.

Figura 8: Tela com a listagem das escolas

cadastradas

Figura 9: Tela para cadastro de novas escolas

Menu Atividades:

No menu atividades o Professor pode cadastrar as atividades que irá

desenvolver. No uso do FRACTRON, estas atividades já são pré-definidas nas

operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, que serão realizadas nas

questões, conforme mostra a Figura 10.

Nesta tela o Professor pode editar ou deletar a atividade, cadastrar ou

selecionar as questões-problemas de cada atividade, cadastrar as turmas que irão realizar

as atividades e a questão-conclusão de cada atividade por turma, conforme mostram as

telas a seguir, conforme mostram as imagens 11, 12, 13, 14. Para cada questão-



problema o professor pode cadastrar um “gabarito”, como forma de orientar os alunos

no processo de resolução das atividades, conforme mostra as imagens 15, 16, 17 e 18.

Figura 10: Tela com listagem das atividades

Figura 11: Tela para cadastro de nova atividade

Figura 12: Tela com listagem das questões-

problemas de cada atividade

Figura 13: Tela com listagem das questões-

problemas já cadastradas para cada atividade

Figura 14: Tela para cadastro de nova questão-

problema

Figura 15: Tela com listagem dos gabaritos das

questões-problemas

Figura 16: Tela Ambiente pra montagem do

Gabarito

Figura 17: Tela de exibição do Gabarito

A Figura 17 mostra outra possibilidade de Gabarito, ou seja, outra forma de

preenchimento da figura, que alcança o mesmo resultado previsto para a questão-

problema.



Figura 18: Tela de exibição do Gabarito – outra possibilidade de resposta

As imagens 19, 20 e 21, possibilitam ao professor visualizar as respostas

dos alunos para cada questão-problema resolvida, por atividade.

Figura 19: Tela de exibição das respostas dos

alunos por questão-problema

Figura 20: Tela de exibição da lista de alunos da

turma por atividade

Figura 21: Tela de exibição da resposta do aluno

Menu Turmas:

No menu turmas, o professor pode cadastrar as diversas turmas que ministra

aula nas escolas, e vincular os usuários (alunos). Esta gerência de turmas permite ao

professor uma melhor avaliação de cada aluno, identificando a resolução das atividades

de forma individual e/ou comparando com os resultados da turma do aluno, conforme

mostram as imagens 22, 23 e 24. O professor também terá acesso a todos os alunos

cadastrados no FRACTRON, conforme mostra a Figura 25.



Figura 22: Tela de listagem das turmas

cadastradas

Figura 23: Tela de cadastro de nova turma

Figura 24: Tela de listagem dos alunos por turma

Figura 25: Tela de listagem de todos os alunos

cadastrados no FRACTRON

Nas telas 26, 27, 28 e 29, professor tem acesso a visualizar as suas turmas,

os alunos vinculados às turmas, a resolução das questões-problemas de cada aluno e a

resolução de Conclusão proposta pela turma para cada atividade.

Figura 26: Tela de listagem de atividade de cada

aluno

Figura 27: Tela de listagem das respostas do

aluno

Figura 28: Tela de listagem das turmas para

construção da Conclusão por atividade

Figura 29: Tela de cadastro da questão Conclusão

da Turma



5.5.5. Ambiente do aluno

O aluno, para acessar ao software deve realizar seu cadastro e depois efetuar

o acesso, conforme descrito na Figura 01. A partir do cadastro do aluno, o Professor irá

vincular este aluno a uma turma e habilitar seu acesso para uso do FRACTRON.

Após o acesso no FRACTRON, o aluno visualizará a Figura 30, onde

estarão exibidas as modalidades de atividades a serem desenvolvidas pelo aluno,

propostas pelo professor.

O aluno deve escolher uma das atividades, clicando sobre o botão Entrar

correspondente à atividade, e será remetido a um ambiente de resolução das atividades,

conforme mostra a Figura 05.

Figura 30: Tela de atividades a serem resolvidas

A Figura 31 é o ambiente onde os alunos e o professor interagem para

solucionar a questão-problema proposta. A Figura 32 mostra uma questão resolvida.

Detalhando a Figura 31 por partes do ambiente, tem-se:

Coluna 01 - Questão-problema e figura geométrica: esta área do

ambiente de resolução propõe ao aluno conhecer a questão-problema e desenvolver na

figura geométrica uma resolução utilizando os botões de coloração ( ) e os botões

de divisão da figura geométrica ( ). O aluno também poderá “limpar” a figura

geométrica clicando no botão .

Os botões ( ) permitem ao aluno desfazer e refazer os últimos cliques

realizados.

Coluna 02 - Orientações: esta área do ambiente de resolução propõe ao

aluno questionamentos que irá orientá-lo a desenvolver o raciocínio lógico-matemático

para a resolução da questão-problema.



O aluno deve preencher os quadros em branco, onde no primeiro momento

correspondem à montagem da operação a ser realizada na questão, posteriormente

selecionar a quantidade de partes que a figura foi dividida em sua totalidade.

Em seguida, selecionar a quantidade que corresponde a partes de cada

fração corresponde na figura geométrica e por fim preencher o resultado matemático

para a questão-problema. Após preencher todos os quadros em branco, o aluno deverá

clicar no botão , para salvar a resolução da questão-problema. O aluno poderá

clicar a qualquer momento no botão para limpar o preenchimento dos quadros.

Coluna 03 - Atividades: esta área do ambiente de resolução permite ao

aluno visualizar todas as questões referentes ao histórico das atividades já realizadas.

Para cada questão resolvida pelo aluno, será exibido o resultado matemático, conforme

mostra o exemplo na Figura 33, como forma de permitir ao aluno visualizar e comparar

os resultados.

Figura 31: Tela de resolução da questão-problema

A proposta do ambiente de resolução da questão-problema, conforme

detalhado na Figura 31, visa proporcionar ao aluno condições de desenvolver a partir da

interação com outros colegas mais experientes e a mediação do professor sua própria

solução e compreensão do conceito de fração, conforme mostram as imagens 32 e 33.

Figura 32: Tela Ambiente de resolução da

questão-problema preenchida

Figura 33: Tela Ambiente de resolução da

questão-problema – com histórico



Ao final da resolução de 10 questões-problemas, para cada grupo de

atividades estabelecido pelo professor, o aluno deve responder a duas questões: “1-

Como resolver a questão sem usar a figura?” e “2- Qual regra você utilizou para

resolver as questões?”, conforme mostra a Figura 35.

Caso o aluno tente salvar a resolução da questão sem preencher todos os

quadros previstos em tela, será exibida uma mensagem, informando que o aluno deverá

preencher o campo que ficou sem resposta, conforme detalha a tela 34.

Figura 34: Tela que informa que o aluno

deverá preencher todos os campos

Figura 35: Tela para conclusão da atividade

Após realizar todas as questões-problemas das atividades, o aluno poderá

visualizar suas respostas, conforme detalhe a Figura 36.

Figura 36: Tela para visualizar as respostas das atividades

5.6. As sessões da sequência didática e análise a priori

Apresentaremos aqui as sessões da sequência didática e a análise a priori

estabelecida para cada sessão. O quadro abaixo apresenta como as doze sessões de

ensino da sequência didática foram realizadas:

SESSÃO ATIVIDADE QUANTIDADE

DE SITUAÇÕES

PROBLEMA

LOCAL TEMPO OBJETIVO

1ª Questionário

Perfil e Pré-

Teste de adição

24 (questionário

perfil)

16 (Pré-Teste)

Sala de aula 90 min. Aplicar o 1º e 2º instrumentos da

pesquisa, que continha os questionários

para conhecer o perfil e as dificuldades



e subtração de

frações com

denominadores

iguais e

diferentes

de aprendizagem dos alunos do 6º ano

do ensino fundamental referentes aos

conhecimentos matemáticos e o pré-teste

para averiguar os conhecimentos prévios

sobre as operações com frações de

adição e subtração com denominadores

iguais e diferentes.

2ª Adição de

Frações com

Denominadores

Iguais

10 Laboratório

de

informática

80 min. A construção da regra para resolução das

operações com adição de frações com

denominadores iguais, a partir das

situações-problemas propostas no

FRACTRON.

3ª Subtração de

Frações com

Denominadores

Iguais

10 Laboratório

de

informática


operações com subtração de frações com

denominadores iguais, a partir das


FRACTRON.

4ª Adição de

Frações com

Denominadores

Diferentes

10 Laboratório

de

informática


operações com adição de frações com

denominadores diferentes, a partir das


FRACTRON.

5ª Subtração de

Frações com

Denominadores

Diferentes

10 Laboratório

de

informática


operações com subtração de frações com

denominadores diferentes, a partir das


FRACTRON.

6ª Fixação de

Adição e

Subtração de

Frações

Determinada pelo

jogo.

Sala de Aula 100 min. Fixação do conteúdo por meio das

habilidades de resolver problemas

envolvendo adição e subtração de

fração, com denominadores iguais e

diferentes, com o jogo de cartas para

encontrar os resultados para os

problemas propostos nas cartas.

7ª Pós-Teste de

adição e

subtração de

frações com

denominadores

iguais e

diferentes

16 Sala de Aula 50 min. Aplicar o 3º instrumento da pesquisa, o

pós-testes, com o objetivo de verificar o

nível de conhecimento construído pelos

alunos na sequência didática para as

situações-problemas com as operações

de adição e subtração de frações com

denominadores iguais e diferentes.

8ª Pré-Teste de

multiplicação e

divisão de

frações

16 Aplicar o 4º instrumento da pesquisa o

pré-teste para averiguar os

conhecimentos prévios sobre as

operações com frações de adição e

subtração com denominadores iguais e

diferentes.

9ª Multiplicação

de Frações

10 Laboratório

de

informática


operações com multiplicação de frações,

a partir das situações-problemas

propostas no FRACTRON.

10ª

Divisão de

Frações

10 Laboratório

de

informática


operações com divisão de frações, a

partir das situações-problemas propostas

no FRACTRON.

11ª

Fixação de

Multiplicação e

Determinada pelo

jogo.

Sala de Aula 100 min. Fixação do conteúdo por meio das

habilidades de resolver problemas



Divisão de

Frações

envolvendo multiplicação e divisão de

frações, com o jogo de cartas para

encontrar os resultados para os

problemas propostos nas cartas.

12ª

Pós-Teste de

multiplicação e

divisão de

frações.

16 Sala de Aula 50 min. Aplicar o 5º instrumento da pesquisa, o

pós-testes, com o objetivo de verificar o

nível de conhecimento construído pelos

alunos na sequência didática para as

situações-problemas com as operações

de multiplicação e divisão de frações.

Quadro 011: Cronograma das 12 seções de ensino realizadas na pesquisa.

A sequência didática estabeleceu uma metodologia de ensino para as

operações com frações por meio de atividades mediadas pelo professor e por um

software educacional, denominado FRACTRON, a partir da resolução de problemas

para a formulação das regras gerais para as operações com adição, subtração,

multiplicação e divisão de frações, levando em consideração as dificuldades de ensino e

aprendizagem de professores e alunos, apresentadas nos estudos analisados e nos

resultados das investigações, que foram abordados nas análises prévias.

Para Borba e Penteado (2010) o uso de tecnologias digitais como

computadores e software educacionais abre novas perspectivas para o profissional

docente. Para os autores, estas tecnologias, quando utilizadas como instrumentos

pedagógicos podem desencadear novas possibilidades para o desenvolvimento da

prática da docência. Corroboramos com os autores e acrescentamos que o uso destas

tecnologias pode estimular um ambiente escolar de construção do conhecimento e uma

aprendizagem significativa na interação e colaboração entre professor e alunos,

utilizando das possibilidades que as mídias digitais empregam quanto à capacidade de

interação e troca de informação.

O uso do software educacional a partir da sequência didática ocorreu com

atividades em sala de aula e no laboratório de informática, sendo realizadas doze

sessões com aulas planejadas e analisadas previamente visando observar as situações de

aprendizagem (PAIS, 2011), e dois testes diagnósticos para analisar o nível de

conhecimento real e potencial, e como a sequência didática inferiu a zona de

desenvolvimento proximal dos alunos (VIGOTSKY, 1998), sobre as operações com

frações.

As atividades realizadas nas aulas foram desenvolvidas com o intuito de

proporcionar ao aluno a capacidade de construir o conhecimento significativo sobre as



operações com frações a partir da ação, interação e reflexão dos conceitos adquiridos

nas atividades (SÁ, 1999). Para Brousseau (2008) o uso de sequências didáticas

proporciona uma aprendizagem construtivista, que permite ao aluno situações que ele

possa produzir seu próprio conhecimento, sem a interferência direta do professor, que

assume o papel de mediador e orienta os alunos a criar condições de construir o

conhecimento sobre frações.

A sequência didática foi desenvolvida entre os meses de maio e junho de

2014. As aulas foram realizadas no laboratório de informática da Escola Estadual

Antônio Lima Neto, contendo 20 computadores, no qual os alunos trabalharam em

dupla. As aulas com as atividades de fixação e os testes, foram aplicadas na sala de aula

regular da turma.

Durante as atividades no laboratório de informática com o uso do software

educacional FRACTRON, as duplas de alunos eram orientadas a resolverem os

problemas propostos, analisando e discutindo a construção da resposta para a questão.

Em cada atividade que se iniciava, o professor resolvia a primeira, e quando necessário

a segunda, das 10 questões, de forma a orientar os alunos sobre o método e como buscar

a resposta para a questão. Posteriormente o professor auxiliava os alunos com as

dificuldades e observava como eles interagiam nas duplas e no uso do software

educacional.

A sequência didática foi dividida em 6 (seis) grupos de atividades: adição

com denominadores iguais; subtração com denominadores iguais; adição com

denominadores diferentes; subtração com denominadores diferentes; multiplicação e

divisão de frações contendo 10 questões-problemas cada.

Quanto aos testes diagnósticos, pré e pós-teste, foram divididos por grupos

de atividades. Realizamos um pré e pós-teste para as operações que envolviam adição e

subtração de frações, e um pré e pós-teste para as operações que envolviam

multiplicação e divisão de frações. Esses testes visavam conhecer o nível de

desenvolvimento real dos alunos no momento do pré-teste, e o nível de conhecimento

alcançado no momento do pós-teste para as operações com frações. Estes instrumentos

foram planejados a partir do conceito de zona de desenvolvimento proximal de

Vygotsky, que nos permite analisar como a sequência didática influenciou na

aprendizagem do aluno, quando comparamos o desempenho do aluno no pré-teste com



o pós-teste, após a realização das atividades propostas na sequência didática. Para cada

teste foram utilizadas 16 questões, sendo 10 questões estruturadas com equações para

que realizassem o calculo direto, e 6 questões-problemas para que os alunos

interpretassem o enunciado e resolvessem a questão.

Além dos testes diagnósticos, utilizamos o instrumento de notação diária

com observações relevantes sobre as sessões de ensino, aqui denominados de “diários

de bordo” (Apêndice G), para o qual era escolhido aleatoriamente em cada aula, um

aluno para relatar com suas próprias palavras em texto livre com sua impressão sobre a

aula, seu aprendizado quanto as atividades do dia e quanto ao método de ensino do

professor, pedindo que ele destaca-se o que considerasse importante. Os textos eram

escritos pelos alunos em uma folha do caderno “diário de bordo” utilizado ao longo de

toda a pesquisa, para que pudéssemos analisar o desenvolvimento da produção dos

alunos.

Para o registro e posterior análise dos momentos das sessões da sequência

didática, utilizamos uma câmera filmadora, para que pudéssemos realizar uma análise

minuciosa como propõe a metodologia da Engenharia Didática, a partir das interações

do professor e dos alunos, em cada sessão. Para Pais (2001) o registro fidedigno das

sequências didáticas permite observar situações de aprendizagem que muitas vezes não

são percebidas em avaliações ou observadas pontualmente pelo professor, definidas

anteriormente como situações adidáticas. Para análise situações didáticas e adidáticas

utilizamos o método microgenético, que nos permite observações das minúcias, de

detalhes e indícios que se estendam pelo período em curso. Esse método apresenta uma

alta densidade de observações do comportamento, por se tratar de uma forma de análise

de informações que requer a atenção aos detalhes, com o foco nas ações do participante

da pesquisa, nas relações intersubjetivas e nas condições sociais da situação,

proporcionando uma transcrição minuciosa dos fatos e dos acontecimentos observados

(SIEGLER; CROWLEY, 1991; GÓES, 2000).

5.6.1. Análise a priori das atividades da sequência didática

Aqui descreveremos a análise a priori das atividades aplicadas na sequência

didática, de forma a apresentar todo o planejamento e os resultados esperados para cada

momento do experimento.



5.6.1.1. Os testes diagnósticos - pré e pós-teste

O pré e pós-teste visavam investigar como os alunos resolveriam as

operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com frações nos blocos de

equações e de questões-problemas, antes e depois da sequência didática sobre o assunto.

Optamos por dividir as questões em blocos, para que pudéssemos analisar

de forma separada como os alunos resolveriam as questões apresentadas na forma de

equação com as operações com frações e as questões de interpretação do enunciado,

com questões-problemas.

Objetivo: Verificar como os alunos resolveriam as equações e questões-problemas,

antes e depois da sequência de atividades sobre as operações com frações.

Material: Folha de teste.

Procedimentos: Entregar a cada aluno uma cópia da folha do teste e solicitar que

resolvessem as questões.

BLOCO 1: Questões de equações com frações

Estas questões foram estruturadas a partir de equações que envolvem

operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com frações e visam investigar

a aprendizagem dos alunos sobre este assunto. Para cada uma das questões, foi realizada

a análise a priori do pré e pós-teste.

Adição de frações com denominadores iguais:

Questão 1:

+

=

Análise a priori do pré-teste: consideramos que nesta atividade os alunos iriam realizar

a operação de adição com frações da mesma forma que realizam esta operação com

número inteiros, efetuando a soma direta dos numeradores 7 e 8, e posteriormente os

denominadores iguais de valor 5. Como possível resultado esperado, acreditamos que a

maioria dos alunos deve alcançar a fração .

Análise a priori do pós-teste: levando em conta os resultados nos quais a maioria dos

professores considera fácil a compreensão dos alunos sobre a operação de adição de

frações com denominadores iguais e os resultados com os alunos nos quais a minoria

indicou a adição como a operação que possui dificuldades, acreditamos que os alunos



irão responder satisfatoriamente a esta questão. Após a aplicação da sequência didática

supomos que os alunos irão construir a regra correta para a adição de frações com

denominadores iguais.

Adição de frações com denominadores diferentes:

Questão 2:

+

=

Análise a priori do pré-teste: esperamos que o comportamento dos alunos para a

operação de adição de frações com denominadores diferentes, assemelha-se ao esperado

para a adição de fração com denominadores iguais, para o qual acreditamos que os

alunos realizem a soma dos numeradores e denominadores entre si. Como possível

resultado, acreditamos que a maioria dos alunos deve alcançar a fração .

Análise a priori do pós-teste: para esta operação, esperamos também um bom

resultado na obtenção das respostas corretas para os alunos. Pois, embora na percepção

dos professores a maioria considere difícil a aprendizagem dos alunos para adição com

denominadores diferentes, podemos inferir que com a construção da regra pelo próprio

aluno durante a sequência didática possa permitir um bom desempenho para as

operações de adição de frações com denominadores diferentes.

Adição de fração com denominadores diferentes e um inteiro:

Questão 3: 2 +

=

Análise a priori do pré-teste: entre as operações de adição de frações, desta é a que se

espera a maior dificuldade dos alunos. Acreditamos que também seja realizada a

operação de adição tal qual realizam com os números inteiros, somando os numeradores

2 e 1, porém como uma das frações possuem o denominador 1, ocultado nesta equação,

supomos que alguns alunos possam atribuir o valor 0 (zero) ao denominador, devido

esta ausência. Somando 0 (zero) ao denominador 3 da outra fração. Como possível

resultado, esperamos que a maioria dos alunos deve alcançar a fração .

Análise a priori do pós-teste: como já previsto, esta deve ser a operação de maior

dificuldade para os alunos. Embora os dois valores apresentados estejam na forma de

fração, sendo que a 1ª fração , tenha o valor 1 ocultado, acreditamos que os alunos



visualizem as frações de formas diferentes para a mesma operação, ou seja, considere

que estão somando inteiros e racionais, conforme analisam Canova (2006), Moutinho

(2005) e Bocalon (2008) sobre a compreensão dos alunos sobre os números fracionais,

quanto a sua representação na equação. No entanto, embora possa existir esta maior

dificuldade, esperamos que os alunos sejam capazes de resolver operações com

denominadores de valor 1, ocultos, a partir da regra estabelecida e construída por eles

mesmos durante a sequência didática.

Subtração de frações com denominadores iguais:

Questão 4:

-

=

Análise a priori do pré-teste: para as operações de subtração de frações com

denominadores iguais esperamos resultados semelhantes aos da adição de frações com

denominadores diferentes. É provável que os alunos realizem a subtração entre os

numeradores e, depois entre os denominadores. Como possível resultado, esperamos

que a maioria dos alunos deve alcançar a fração .

Análise a priori do pós-teste: é esperado que após a construção das regras para as

operações de adição, com frações de denominadores iguais e diferentes, e para a

operação de subtração com frações de denominadores, durante as atividades realizadas

na sequência didática, os alunos possam ter mais facilidade de compreensão da regra

para a operação de subtração de frações com denominadores diferentes. Para Brousseau

(2008), o desenvolvimento da sequência didática permite ao aluno compreender melhor

as situações didáticas e orienta para a construção das regras que solucionam as

atividades propostas. Reforçamos ainda o fato já apontado pelos professores na

pesquisa, que a operação de subtração de frações com mesmo denominador é de fácil

compreensão pelos alunos.

Subtração de fração com denominadores diferentes:

Questão 5:

-

=

Análise a priori do pré-teste: desta questão também é esperado a subtração entre os

numeradores, seguida da subtração entre os denominadores. Optamos para esta questão

atribuir um valor maior ao segundo denominador, visando compreender como os alunos



realizariam a diferença, caso optassem pela subtração entre os denominadores, pois

iriam encontrar um valor menor que zero. Assim, como possível resultado, acreditamos

que a maioria dos alunos alcance a fração , optando por atribuir zero para o resultado

da operação de subtração entre os denominadores, que daria -1.

Análise a priori do pós-teste: considerando que a maioria dos professores apontou

como difícil a aprendizagem dos alunos para a operação de subtração de frações com

denominadores diferentes, acreditamos que esta dificuldade será superada com a prática

do método e a construção das regras para a resolução das operações com frações no

desenvolvimento da sequência didática no software educacional FRACTRON.

Esperamos que a maior parte dos alunos consiga bons resultados para esta atividade.

Subtração de fração com denominadores diferentes e um inteiro:

Questão 6: 3 -

=

Análise a priori do pré-teste: semelhante ao que se espera para a adição de frações

com denominadores diferentes, sendo um deles o número 1, oculto, acreditamos em

uma maior dificuldade por parte dos alunos em compreender esta operação. Destacamos

para esta questão, semelhante a questão anterior, que a subtração direta entre os

numeradores resultará em um valor negativo, -2. Buscamos averiguar qual valor os

alunos irão atribuir ao perceber esta diferença. Logo, esperamos que a maioria dos

alunos resolva esta questão e como possível resultado, a maioria deve alcançar a fração

.

Análise a priori do pós-teste: com a construção da regra estabelecida para a operação

de adição de frações com denominadores diferentes, sendo um deles o número 1, oculto,

acreditamos que os alunos tenham maior dificuldade em construir a regra para a

subtração de frações com o mesmo formato. Assim, supomos que a maioria dos alunos

solucione a questão corretamente.

Multiplicação de frações:

Questão 7:

x

=



Análise a priori do pré-teste: considerando a forma habitual que os alunos realizam as

operações com frações, supomos que eles multipliquem os numeradores entre si, e

posteriormente os denominadores entre si. Esperamos que a maioria dos alunos já

resolva esta questão de forma correta no pré-teste alcançando a fração .

Análise a priori do pós-teste: a operação de multiplicação de frações, segundo a

maioria dos professores investigados apresenta-se como fácil quanto a aprendizagem

dos alunos. Logo, acreditamos que pelo hábito já previsto no pré-teste de multiplicar os

numeradores e denominadores entre si, e após construir a regra da multiplicação de

frações na sequência didática, a maioria dos alunos consiga encontrar a resolução

correta para esta questão. Apontamos ainda que alguns alunos possam apresentar, além

do resultado correto a tentativa de simplificação da fração.

Multiplicação de fração e inteiro:

Questão 8:

x 4 =

Análise a priori do pré-teste: embora tenha para a operação de multiplicação de

frações como uma atividade que tenha os melhores resultados no pré-teste quanto aos

resultados esperados para os alunos, optamos por propor uma questão que apresenta a

multiplicação de frações, sendo uma das frações com o denominador 1, oculta, visando

investigar como os alunos se comportam diante desta representação. Acreditamos numa

maior resistência dos alunos em resolver esta questão, comparando com a operação

anterior de multiplicação, e que entre os que realizarem a operação, em geral, possam

ser encontrados dois valores como resultados apresentados para a questão, ou,

prevendo que alguns alunos possam entender que a ausência do denominador representa

o valor zero, e que a multiplicação do denominador 6 pelo valor zero, resulte no

resultado .

Análise a priori do pós-teste: acreditamos que a compreensão da regra para as

operações de multiplicação de frações sejam mais facilmente compreendidas pelos

alunos, tanto pela experiência com o método de construção da regra no experimento

com a sequência didática e o uso do software educacional FRACTRON, quanto pela

conduta habitual de multiplicar os numeradores, e depois os denominadores, entre si.



Logo, consideramos que grande parte dos 40 (quarenta) alunos da turma que

participaram da pesquisa, resolvam corretamente esta questão.

Divisão de frações:

Questão 9:

÷

=

Análise a priori do pré-teste: as questões que envolvem divisão, seja com números

inteiros ou racionais, costumam ser as que apresentam maiores dificuldades de

aprendizagem para os alunos, conforme foi visto nos estudos de Bocalon (2008) e

Malaspina (2007). Logo acreditamos que poucos alunos resolvam ou acertem

corretamente esta questão. Optamos por colocar valores maiores na segunda fração,

como forma de verificar o comportamento dos alunos diante da tentativa de dividir

diretamente os numeradores e depois os denominadores, entre si. Para os que tentarem

resolver, acreditamos que alcancem a fração .

Análise a priori do pós-teste: embora os resultados obtidos junto aos professores que

participaram da pesquisa apontem como regular o nível de dificuldade das operações

com divisão para a aprendizagem dos alunos, acreditamos que embora, com maior

dificuldade que as demais operações, os alunos consigam compreender e construir a

regra para realizar as operações com divisão de frações. Provavelmente após a

construção da regra, o aluno sistematize o algoritmo da multiplicação invertida das

frações, ou seja, a regra comumente ensinada pelos professores do ensino básico de se

multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração.

Divisão de fração e inteiro:

Questão 10:

÷ 3 =

Análise a priori do pré-teste: a divisão de frações, sendo uma delas uma fração de

denominador 1, oculto, deve ser a operação com menos resolução por parte dos alunos.

Como previsto para ocorrer nas demais operações, a compreensão de que o valor inteiro

também é uma fração, cujo denominador é o valor 1, ainda não está clara para a maioria

dos alunos. Embora já tenham estudado durante o 6º ano do ensino fundamental até

antes do momento da pesquisa as denominações, características e tipos de fração.



Assim, acreditamos que entre os poucos alunos que tentem resolver esta questão, seja

alcançado como resultado a fração .

Análise a priori do pós-teste: como previsto para a operação de divisão com frações,

anteriormente descrita, supomos que após a sequência didática a maioria dos alunos

alcance resultados satisfatório ao empregar a regra construída após o desenvolvimento

das atividades. Contudo, é provável que esta questão ainda seja a de menor índice de

acertos por parte dos alunos.

BLOCO 2: Questões-problemas

As questões-problemas propostas no bloco 2, visam investigar o nível de

conhecimento dos alunos sobre as operações com frações, a partir da interpretação dos

enunciados das questões. Para cada uma das questões, foi realizada a análise a priori do

pré e pós-teste.

Adição de fração com denominadores iguais:

Questão 1: Matilde repartiu um bolo em 8 pedaços. Ela comeu e Rodolfo também comeu do bolo.

Que fração representa a parte do bolo que Matilde e Rodolfo comeram?

Análise a priori do pré-teste: acreditamos que os alunos, por desconhecerem a

operação a ser realizada, devido nunca terem estudado frações e pela dificuldade de

interpretação do enunciado, tentem resolver a questão por tentativa e erro. Alguns

alunos devem buscar o uso de pizzas para esboçar sua compreensão do enunciado e

outros devem optar por montar uma equação com os valores contidos na questão e

realizar uma operação, que por tentativa e erro, podem optar corretamente pela adição.

Supomos que o texto “Que fração representa a parte do bolo que Matilde e Rodolfo

comeram?” posso auxiliar o aluno na percepção de que se trata de uma questão com a

operação de adição. Logo, esperamos que, dos alunos que realizem o cálculo para esta

questão-problema de adição de frações com denominadores iguais, alcancem o

resultado ou duas pizzas representando a fração , cada.

Análise a priori do pós-teste: para as questões-problemas acreditamos que a sequência

didática terá um resultado mais impactante, devido estar pautada no uso deste tipo de

questão. Portanto, acreditamos que após a experiência nas atividades de adição com a



interpretação dos enunciados das questões-problemas proposta no uso do software

educacional FRACTRON, a maioria dos alunos alcance os resultados corretos para esta

questão.

Subtração de fração com denominadores iguais:

Questão 2: Dona Benta reparte uma torta e deu para seus sobrinho Felipe e Tiago. Felipe ganha da

torta. Que fração da torta Tiago ganhou?

Análise a priori do pré-teste: como dito para a questão-problema envolvendo a

operação de adição de frações com denominadores iguais, a questão que envolve a

subtração de frações de denominadores iguais também deve ser resolvida por tentativa e

erro. Embora o enunciado apresente uma situação do cotidiano das crianças,

acreditamos que poucos alunos elaborem uma solução para a questão. Supomos que o

verbo “repartir”, contido na questão possa orientar o aluno na percepção de que se trata

de uma questão de subtração de frações. Acreditamos que os alunos também se utilizem

da representação com pizzas para esboçar os valores da questão. Assim, esperamos que,

dos alunos que realizem o cálculo para esta questão-problema de subtração de frações

com denominadores iguais, alcancem o resultado ou duas pizzas representando a

fração e , respectivamente.

Análise a priori do pós-teste: as questões-problemas que envolvem a subtração de

frações com denominadores iguais, em geral, são contextualizadas por enunciados de

fácil compreensão para os alunos, como este proposto no pós-teste, devido o uso de

expressões e verbos como “retirar”, “dar”, “separar”. Acreditamos que para estas

questões os alunos tenham maior facilidade de interpretar os enunciados, e que a partir

da experiência na sequência didática, alcancem bons resultados nesta questão.

Adição de fração com denominadores diferentes:

Questão 3: Em uma fazenda em Castanhal foi destinado da área total foi destinada para a plantação

de milho, enquanto da área total foi destinada ao cultivo de frutas. Qual é a fração da área

total da fazenda que foi ocupada com a cultura de milho e frutas?



Análise a priori do pré-teste: a maior dificuldade para esta questão também será

quanto a compreensão do enunciado por parte dos alunos e a capacidade de estruturar

uma equação ou representação que ajude a encontrar uma solução para a questão.

Supomos que o texto “Qual é a fração da área total da fazenda que esta ocupada com

a cultura de milho e frutas?”, contido na questão possa auxiliar o aluno na percepção de

uma soma de áreas, indicando a operação de adição. Esperamos que, dos alunos que

realizem o cálculo para esta questão-problema de adição de frações com denominadores

diferentes, alcancem o resultado ou duas pizzas representando a fração e ,

respectivamente.

Análise a priori do pós-teste: propomos que após a sequência didática os alunos sejam

capazes de resolver as questões de adição de frações com denominadores diferentes,

devido a experiência nas atividades já realizadas no FRACTRON e de que este tipo de

questão também apresenta expressões textuais que facilitam a compreensão e a

identificação do aluno sobre que tipo de operação deve ser empregada.

Subtração de fração com denominadores diferentes:

Questão 4: De uma caixa de bombons foi distribuído dos bombons para Luiz Carlos e Fabiana. Luiz

Carlos ficou com dos bombons. Com quantos bombons Fabiana ficou?

Análise a priori do pré-teste: semelhante ao que ocorre com a questão de subtração de

frações com denominadores iguais, a questão que envolve a subtração de frações com

denominadores diferentes também emprega verbos e expressões que orientam o aluno

na percepção deste tipo de questão. Para esta questão a expressão “Luiz Carlos ficou

com dos bombons” pode auxiliar o aluno a compreender que os bombons foram

repartidos e que se busca conhecer a quantidade de bombons que ficou para cada pessoa

citada na questão. Logo, esperamos que, dos alunos que realizem o cálculo para esta

questão-problema de subtração de frações com denominadores diferentes, alcancem o

resultado ou duas pizzas representando a fração e , respectivamente.

Análise a priori do pós-teste: como foi suposto para a questão de subtração de frações

com denominadores iguais, as expressões e verbos, também devem facilitar a



compreensão e identificação da operação por parte dos alunos. Ressaltamos que a

construção da regra no desenvolvimento da sequência didática já deverá estar

consolidada para esta questão quando da resolução do pós-teste. Portanto, acreditamos

que grande parte dos alunos deve alcançar corretamente o resultado para esta questão.

Multiplicação de fração:

Questão 5: Uma bandeira tem três cores: vermelho, amarelo e branco. Nessa bandeira corresponde à

faixa vermelha e, dessa faixa foi reservado para desenhar um emblema. Qual é a fração da

bandeira na qual está o emblema?

Análise a priori do pré-teste: para a operação de multiplicação de frações, acreditamos

que um menor número de alunos resolva e/ou desenvolva uma equação ou

representação que o auxilie na resolução da questão. Indicamos como maior dificuldade

a compreensão textual, com a ausência de expressões que oriente ou aponte de forma

mais clara para a operação de multiplicação. Logo, esperamos que, dos alunos que

realizem o cálculo para esta questão-problema de multiplicação de frações, alcancem o

resultado , por considerar que o verbo “reservado” pode indicar a operação de

subtração de frações, ou duas pizzas representando a fração e , respectivamente.

Análise a priori do pós-teste: embora a ausência de expressões ou verbos que expõem

de forma mais clara a operação de multiplicação, acreditamos que a construção da regra

e a prática de interpretação das questões na sequência didática, possa facilitar a

percepção do aluno quanto a identificação das questões de multiplicação de frações e

que um maior quantidade alcance o resultado correto para a questão.

Divisão de frações:

Questão 6: No terminal rodoviário saem ônibus da empresa Transbrasiliana a cada de horas para fazer

uma viagem para o Maranhão. Quantos ônibus da empresa transbrasiliana saem do terminal

em uma hora?

Análise a priori do pré-teste: tal como para as questão de multiplicação de frações, em

geral os enunciados das questões de divisão de frações não trazem expressões ou verbos

que à identifiquem. A partir desta dificuldade, supomos que poucos alunos resolvam



e/ou desenvolvam uma equação ou representação que o auxilie na resolução da questão.

Portanto, esperamos que, dos alunos que realizem o cálculo para esta questão-problema

de divisão de frações, alcancem o resultado , por considerar que o verbo “sair” pode

indicar a operação de subtração de frações, ou apenas uma pizza representando a fração

.

Análise a priori do pós-teste: acreditamos que para as operações de divisão de frações,

tal como ocorreu nas questões de equações, as questões-problemas também devem ser

resolvidas corretamente por um maior número de alunos. O uso da regra da

multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração, e a prática na

interpretação do texto para este tipo de questão deve ser o motivador para o melhor

desempenho dos alunos.

5.6.1.2. Atividades para o ensino de frações com o uso do FRACTRON

Nesta sessão visamos apresentar a análise a priori das atividades e questões

que foram planejadas para a sequência didática no uso do software educacional

FRATRON para o ensino das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão

com frações com a mediação do professor no laboratório de informática.

Para cada grupo de atividades com 10 questões cada, quando o aluno

concluía a resolução das questões, o software indagava ao aluno sobre “como resolver

as questões sem usar a figura?” e, “qual a regra que você utilizou para resolver as

questões?”. É neste momento que iremos validar o nível de compreensão do aluno para

a construção da regra para resolver as operações com as frações para cada grupo de

atividade. Logo, também apresentaremos aqui a análise a priori para este momento da

sequência didática.

5.6.1.3. Adição de frações com denominadores iguais

Questões-problemas:

1. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1/4 desses apartamentos foi

vendido e 1/4 foi alugado. Que fração corresponde ao total de apartamentos

vendidos e alugados?



2. Um motorista saiu de Belém para Brasília. No primeiro dia percorreu 1/3 da

distância que separa as duas cidades e no segundo dia mais 1/3 dessa mesma

distância. Qual é a fração que representa a distância após os dois dias de viagem?

3. Gastei 1/5 do meu dinheiro com roupas e 2/5 com brinquedos. Que fração

representa o que gastei?

4. Um canteiro de margaridas ocupa 1/6 de um terreno e o canteiro de rosas ocupa 3/6

desse mesmo terreno. Qual é a fração que representa a parte ocupada pelos dois

canteiros?

5. Uma dona de casa serviu o café da manhã e repartiu o pão para os seus filhos. Seu

filho mais velho comeu 1/7 e o mais novo comeu 5/7. Que fração do pão eles

comeram?

6. Em uma estufa 1/5 das flores são vermelhas e 2/5 amarelas. Qual a fração que

representa as flores vermelhas e amarelas juntas?

7. Numa fazenda 1/9 da área total são destinados à plantação de milho, enquanto 6/9

são destinados ao cultivo de frutas diversas. Qual é a fração da área total da fazenda

que está ocupada com as duas culturas, a de milho e frutas diversas?

8. Vovó para agradar os netos, fez uma torta de maçã que dividiu em oito pedaços

iguais. Ela separou 3/8 da torta para Sônia e 2/8 para Ricardo. Que fração da torta

Vovó separou para os dois netos?

9. Dona Branca usou 3/10 das laranjas de uma caixa para fazer doces e 4/10 para fazer

sucos. Que fração das laranjas da caixa foi usada para fazer doces e sucos?

10. Uma pizza foi dividida em sete partes iguais. Rita comeu 2/7 da pizza e Juca comeu

4/7. Que fração da pizza eles comeram juntos?

Análise a priori: por ser a primeira atividade a ser desenvolvida na sequência didática

através do FRACTRON, acreditamos que inicialmente os alunos tenham dificuldades

em compreender o método de ensino e perceber a estratégia de resolução. No entanto,

acreditamos que o fato de ser uma novidade como ferramenta de ensino, a aula no

laboratório de informática com o uso de um software educacional deve motivar e

manter a atenção dos alunos para as orientações iniciais do professor e posteriormente

para a interação da dupla visando encontrar a resolução para as questões propostas.

Logo, esperamos ainda que com o desenvolvimento das questões, por volta da 7ª ou 8ª

questão os alunos já percebam a regra para as operações de adição de frações com

denominadores iguais e resolvam as últimas questões de forma mais rápida.

Quanto às questões finais, que indagam o aluno sobre como resolver às

questões sem usar a figura?; e, qual a regra que você utilizou para resolver às

questões?, supomos que ainda por ser a primeira atividade da sequência didática os

alunos apresentem dificuldades em expressar na forma textual a sua compreensão da

regra e de como resolver a questão sem o uso da figura. Os textos que devem ser

escritos para estas perguntas nesta atividade devem conter pouca formalidade e o uso do



linguajar jovial e coloquial dos alunos, de acordo com a sua faixa etária e o hábito da

linguagem cotidiana, também influenciada pelo uso das redes sociais e da internet.

5.6.1.4. Subtração de frações com denominadores iguais


1. Dona Benta repartiu uma torta. 2/4 da torta ela deu para seus sobrinhos, Felipe e

Tiago. Felipe ganhou 1/4 da torta. Que fração da torta, Tiago ficou?

2. A fazenda de seu Francisco perde-se de vista de tão grande. Ele reservou 3/5 de sua

fazenda para a agricultura, sendo que 2/5 foi para o plantio de milho. Que fração da

reserva ficou para o plantio de feijão?

3. Carlos e Ana ganharam 5/8 de uma torta. Carlos ficou com 3/8 da torta. Que fração

da torta Ana ficou?

4. Em um pacote há 4/7 de quilogramas de açúcar. Maria usou 2/7 para fazer um suco.

Quantos quilogramas de açúcar ficaram no pacote?

5. Paulo e Sergio acertaram 6/9 de uma lista de exercícios, Paulo sozinho acertou 5/9

das questões. Que fração dos exercícios Sergio acertou?

6. Para encher um álbum de figurinhas, Leila contribuiu com 4/6 das figurinhas

enquanto Sandra contribuiu com 2/6 das figurinhas. Com que fração Leila

contribuiu a mais que Sandra?

7. Raimundo e Francisca comeram juntos 7/9 de uma caixa de bombons. Raimundo

comeu sozinho 4/9. Qual á a fração que representa a parte dos bombons dessa caixa

que Francisca comeu?

8. Em uma lanchonete restam 8/10 de um bolo para serem vendidos, no final da tarde

foram vendidos 5/10. Que fração do bolo não foi vendida?

9. Rodrigo toma 5/7 de litro de açaí no almoço, e 2/7 litro durante o jantar. Que fração

de litro de açaí ele consome a mais no almoço?

10. No lanche da escola Maria e João ganharam 7/9 de bolachas. Maria comeu sozinha

3/9 das bolachas. Quanto sobrou para João comer?

Análise a priori: para as atividades que envolvem as operações de subtração de frações

com denominadores iguais, esperamos que os alunos já estejam familiarizados com a

metodologia e o uso do FRACTRON. Acreditamos que o aluno já utilize do histórico

das questões com mais propriedade para perceber as similaridades entre as respostas

empregadas às questões resolvidas, de forma a orientar na definição da formula para

resolver a questão. Outro aspecto, é que a metodologia de resolução a ser utilizada no

software, possibilita uma fácil compreensão para a ideia de subtração, pois o aluno irá

retirar partes do inteiro, como forma de realizar a subtração entre as duas frações.

Portanto, acreditamos que uma maior quantidade de alunos resolva com sucesso as 10

questões-problemas propostas na sequência didática e consigam compreender e

construir a regra para a solução deste tipo de questão. Logo, esperamos que por volta da



5ª ou 6ª questão os alunos já percebam a regra ou a forma de resolver a questão sem o

uso da figura inteira.

5.6.1.5. Adição de frações com denominadores diferentes


1. Em uma fazenda no Amapá, 1/2 da área total foi destinada para a plantação de

milho, enquanto 1/3 da área total foi destinada ao cultivo de frutas diversas. Qual é a

fração da área total da fazenda que está ocupada com a cultura de milho e frutas

diversas?

2. Dona Carmem deu uma caixa de bombons para seus filhos Carlos e Raimundo.

Carlos comeu 2/3 dos bombons dessa caixa e Raimundo comeu 1/5 dos bombons.

Qual é a fração que representa a parte dos bombons que eles comeram juntos?

3. Em uma partida de basquete Marcos marcou 1/4 dos pontos do time e Rui marcou

3/5 dos pontos. Que fração de pontos dessa partida representa os pontos feitos por

Marcos e Rui?

4. Para encher um álbum de figurinhas, Leila contribuiu com 1/2 das figurinhas

enquanto Sandra contribuiu com 1/6 das figurinhas. Que fração das figurinhas as

duas contribuíram juntas?

5. A fazenda de seu Benedito perde-se de vista. Ele reservou 2/3 de sua fazenda para a

plantação de soja e 1/7 para a plantação de verduras. Que fração da fazenda seu

Benedito reservou para a plantação de soja e verduras?

6. Um motorista saiu de Macapá em direção à cidade Ferreira Gomes. No primeiro dia

percorreu 3/6 da distância que separa as duas cidade e no segundo dia 1/5 dessa

mesma distância. Qual é a fração, que representa a distância percorrida após os dois

dias de viagem?

7. No simulado, Sergio acertou 1/5 das questões de Matemática e 2/7 das questões de

português. Que fração do simulado de Matemática e português Sergio acertou?

8. Na construção de um muro, Carlos construiu 3/7 do muro e Paulo 2/8 do muro. Que

fração do muro eles construíram juntos?

9. José Luís decidiu colecionar figurinhas para um álbum. Na primeira compra de

figurinhas conseguiu preencher 2/9 do álbum e na segunda, 1/6. Que fração do

álbum ele preencheu?

10. Em um jogo de Futebol, Sandro fez 2/4 de pontos da partida e Silvio fez 2/8. Que

fração representa o total de pontos que eles fizeram juntos?

Análise a priori: as atividades que envolvem as operações com frações de

denominadores diferentes, como previsto para as questões com equações, devem

apresentar maior dificuldade de compreensão por parte dos alunos. Percebemos ainda,

uma diferença no uso do software em relação à operação de adição de frações com

denominadores diferentes, pois nestas atividades, o aluno deverá utilizar as linhas e

colunas para representar as partes do inteiro que representam cada uma das duas

frações. Na adição com denominadores iguais, era necessário o uso apenas de linhas ou



colunas para representar a soma da quantidade de partes que cada fração representava.

Logo, acreditamos que inicialmente os alunos tenham mais dificuldades e demore mais

tempo para perceber a regra que resolve as questões. Supomos ainda uma maior

demanda da orientação do professor e de uma maior interação entre os alunos para que

cheguem a um acordo sobre a forma de resolver. Assim, acreditamos que os alunos

percebam a regra entre a 8ª e 9ª questão da sequência de atividades.

5.6.1.6. Subtração de frações com denominadores diferentes


1. De uma caixa de bombons foi distribuído 1/3 dos bombons para Luiz Carlos e

Fabiana. Luiz Carlos ficou com 1/4. Com que fração de bombons ficou Fabiana?

2. Roberto Carlos e Ronaldinho fizeram 1/2 dos gols de uma partida de futebol.

Roberto Carlos fez 1/6 dos gols da partida. Qual a fração de gols de Ronaldinho?

3. Carla e Bruna preencheram juntas 2/5 do álbum de figurinha, Carla preencheu 1/4

das figurinhas. Qual a fração do álbum de figurinha Bruna preencheu?

4. Dona Benta repartiu uma torta, e deu 1/2 para seus sobrinhos Felipe e Tiago. Felipe

ganhou 1/3 da torta. Que fração da torta, Tiago ganhou?

5. Em uma indústria 1/3 dos funcionários trabalham na produção de macarrão, sendo

que 1/7 desses funcionários são mulheres. Que fração representa os homens que

trabalham na produção de macarrão?

6. Na fazenda do Sr. Joaquim localizada em Santana foram reservados 2/3 do terreno

para a plantação de hortaliças e mandioca, sendo que 1/4 foi para o plantio de

mandioca. Que fração da reserva ficou para o plantio de hortaliças?

7. Augusto levou 7/8 de um chocolate para a escola, mas só comeu 1/6. Que fração do

chocolate Augusto não comeu?

8. Em uma partida de basquete, 3/5 dos pontos foram feitos por Oscar e Pedrinho. Se

Pedrinho fez 1/7 dos pontos da partida. Qual a fração corresponde aos pontos de

Oscar?

9. Jonas e Fernando construíram juntos 4/6 de uma casa. Jonas construiu sozinho 2/5.

Que fração da casa Fernando construiu?

10. O loteamento Parque Verde conseguiu realizar a venda de 2/3 dos lotes, sendo que

3/5 foram vendidos a prazo. Que fração do loteamento foi vendida a vista?

Análise a priori: para a realização das atividades que envolvem subtração de frações

com denominadores diferentes os alunos trarão a experiência das atividades com adição

de frações com denominadores diferentes, o que deve facilitar a compreensão e

resolução destas atividades. Logo, acreditamos que para esta atividade entre a 5ª e a 6ª

questões alguns alunos já percebam a regra que orienta a resolução das questões

propostas.



5.6.1.7. Multiplicação de frações


1. Uma bandeira tem três cores: vermelho, amarelo e branco. Nessa bandeira 1/3

corresponde à faixa vermelha e, dessa faixa 1/4 foi reservado para desenhar um

emblema. Qual é a fração da bandeira na qual está o emblema?

2. Você dedica 1/2 do tempo livre para estudar. Desse tempo de estudo 2/5 você gasta

estudando Matemática. Qual é a fração do tempo livre que você utiliza para estudar

Matemática?

3. De uma folha de papel de seda. Rodrigo só tem a 2/3 parte da folha. Dessa parte, ele

usou 2/4 para fazer um remendo em sua pipa. Que fração da folha de papel de seda

ele usou para remendar a pipa?

4. Gastei 3/4 de hora para ir a pé da escola até à casa da minha tia. Minha irmã foi de

bicicleta e gastou 1/6 do tempo que gastei. Que fração da hora ela gastou?

5. Uma jarra de suco está preenchida com 1/3 de sua capacidade. Fabiana tomou 1/7

do suco que havia na jarra. Que fração da jarra representa o que ela bebeu?

6. Tiago nadou 3/4 do comprimento de uma piscina. Desse percurso ele fez 1/3 em

nado de peito e o restante em nado de costa. Que fração da piscina Tiago nadou de

costa?

7. Em uma partida de basquete Carlos e Paulo fizeram 5/8 dos pontos. Sendo que

Carlos acertou 1/2 desses pontos. Que fração representa os pontos que Carlos fez?

8. No passeio ao parque Alexandre levou 4/5 da sua merenda. No final do dia ele havia

comido 1/3 da merenda. Que fração da merenda ele comeu no parque?

9. Num recipiente havia 7/9 de litro de uma substância, quando retirei 1/5 dessa

quantidade. Qual a fração do litro que representa a quantidade retirada?

10. Um grupo de jovens é formado por 3/5 de rapazes. Desse grupo, 1/4 deles gosta de

filmes de terror. Que fração desses jovens são rapazes e gostam de filmes de terror?

Análise a priori: como visto anteriormente, as operações que envolvem multiplicação

de frações apresentam maior dificuldade para os alunos, pela ausência de expressões

que expõem de forma direta a operação de multiplicação, o que dificulta a compreensão

do enunciado da questão. Porém, acreditamos que com o uso do FRACTRON na

metodologia proposta, os alunos tenham dificuldade em perceber a regra que resolve as

questões de multiplicação devido a forma que o software indica para o preenchimento

das partes do inteiro e pela orientação das afirmativas estabelecidas na tela do ambiente

de resolução do aluno, as quais auxiliam o aluno a compreender as partes que cada

fração compõe do inteiro. Logo, esperamos que por volta da 5ª ou 6ª questão os alunos

já percebam a regra que resolva às questões propostas para a multiplicação de frações.

5.6.1.8. Divisão de frações




1. No terminal rodoviário saem ônibus da empresa transbrasiliana a cada 1/3 de hora

para fazer uma viagem para o Oiapoque. Quantos ônibus da empresa transbrasiliana

saem do terminal em 1 hora?

2. Quantas vezes 1/5 de metro de área branca para construção cabem em 1/2 metro de

área?

3. Na cozinha tem um copo que totalmente cheio pode conter 1/4 de litro de um

liquido. Para encher 1 litro desse liquido são necessários quantos copos de água?

4. No período de propaganda eleitoral na televisão, cada candidato tem 2/8 de horas

em um espaço na televisão para fazerem igualmente sua propaganda. Quantos

vereadores fizeram propaganda em 1/3 de hora de programação?

5. Dona Ana foi ao supermercado e comprou 1/2 kg de manteiga e mandou o vendedor

embalar em pacotes de 2/6 kg. Quantos pacotes foram usados para embalar a

manteiga?

6. Um tanque contém área suficiente para ocupar 1/2 de sua capacidade total. Um

caminhão transporta, em cada viagem, 1/8 da capacidade de um tanque até uma

construção. Em quantas viagens ele transportará a área?

7. Quantos pacotes de 1/2 kg de café são necessários para obtermos pacotes de 1/4 kg

de café?

8. Dona Marina quer embalar 3/4 de kg de balas de coco em saquinhos com 1/4 de Kg.

Quantos saquinhos ela conseguirá montar?

9. Dona Carmem distribuiu 1/3 do bolo, dando 1/6 a cada um de seus sobrinhos.

Quantos sobrinhos a dona Carmem tem?

10. Cada candidato a Governador, tem 2/3 de hora para falar igualmente em uma

entrevista na televisão. Quantos Governadores deram entrevista em 3/5 horas de

programa?

Análise a priori: por ser a última sequência de atividades, as questões que envolvem

divisões de frações devem apresentar um grau menor de dificuldade para os alunos.

Embora as operações com divisões de frações tenham sido apontadas como as mais

difíceis pelos professores e também pelos alunos nas análises prévias, esperamos que a

prática e a experiência construída no método de resolução por atividade e no uso do

software educacional FRACTRON, os alunos, agora mais experientes, encontrem mais

rapidamente a regra que resolve as questões. Para Vygotsky (1998) a interação com o

meio, colegas mais experientes e o professor, possibilitam ao aluno a construção do

conhecimento de forma mais madura, permitindo a ampliação da zona de

desenvolvimento proximal do aluno, e a transformação do conhecimento potencial em

conhecimento real. Logo, esperamos que ao final do desenvolvimento das questões de

divisão de frações, que culminam com o encerramento da sequência didática no

FRACTRON, os alunos alcancem o aprendizado sobre as operações com frações e

estejam aptos a resolver as questões sem o uso do método e da figura inteira. Portanto,



esperamos que entre as 5ª e a 6ª questões os alunos já tenham estabelecido a regra de

resolução para as questões de divisão de frações.

5.6.1.9. Atividades de fixação do ensino de frações

Após a realização da sequência didática no software educacional

FRACTRON, foram realizadas atividades de fixação com o uso de jogos de baralhos.

As atividades de fixação foram realizadas em dois momentos: o primeiro momento na

aula seguinte ao encerramento da realização de todas as atividades de adição e subtração

de frações com denominadores iguais e diferentes; o segundo momento de fixação na

aula seguinte ao encerramento da realização das atividades de multiplicação e divisão de

frações.

Para as atividades de fixação foram utilizados dois tipos de baralhos, os

baralhos com cartas em papel, contendo cartas com equação e cartas com respostas, e o

baralho de cartas eletrônicas, com questões-problemas a serem projetadas pelo professor

com o uso do computador e data show.

A análise a priori foi feita sobre os procedimentos, regras do jogo e

metodologia utilizada, visando compreender como o uso dos baralhos, como

instrumentos didáticos que associam o lúdico à construção do conhecimento, podem

auxiliar o professor no processo de ensino e aprendizagem significativa das operações

com frações.

5.6.1.10. Baralho de cartas de papel

Os baralhos com cartas de papel eram compostos de dois conjuntos de

cartas com equações e respostas, contendo 30 cartas cada um, conforme os exemplos de

cartas abaixo.

Figura 37: Exemplo de cartas-resposta em papel

Para o desenvolvimento da atividade de fixação com o baralho de cartas de

papel, estabelecemos os seguintes objetivos, regras e procedimentos:

÷ = x = - = + =



Conteúdo abordado: Operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de

frações.

Objetivo do jogo:

Desenvolver a capacidade de cálculo e raciocínio lógico do aluno;

Estimular a capacidade de criar estratégia de resolução;

Estimular o trabalho colaborativo e em grupo;

Fixar a regra para resolver às operações com frações.

Materiais utilizados:

Conjunto de cartas com equações e cartas com frações-resultados do Baralho.

Regras do jogo:

Cada grupo de até 5 jogadores recebe um conjunto de cartas-equação e cartas-

resposta do Baralho.

Cada conjunto duas caixas de cartas. Uma caixa contém 30 cartas com equações

e a outra caixa contém 30 cartas com respostas.

Cada jogador receberá 4 cartas, embaralhadas a serem distribuídas por um dos

jogadores.

Os jogadores jogaram semelhante ao tradicional jogo de baralho denominado

“pif-paf”, no qual cada jogador pode trocar cartas no monte de cartas que

sobraram ou foram descartadas pelos demais jogadores.

Ganha o jogador que formar 2 pares que correspondam, cada par, a carta de

equação e a carta de resposta, respectiva ao resultado da carta de equação.

Procedimentos do jogo:

Serão formados grupo de até 5 alunos.

O professor irá distribuir um conjunto de cartas-equação e cartas-resposta para

cada grupo. O conjunto de cartas, é igual para todos os grupos.

Antes do inicio do jogo, o professor explicará as regras aos alunos da turma.

Os alunos deverão jogar sem a intervenção do professor, de forma a estimular o

lúdico e a construção do conhecimento sobre o assunto, a partir da disputa no

jogo.

Quando perceber que os alunos estão ficando dispersos, o que se acredita que

ocorrerá após 4 ou 5 rodadas do jogo, o professor irá intervir, para averiguar os

vencedores em cada grupo.

Vence, em cada grupo, o aluno que conquistar mais vitórias para cada rodada.

Após verificar os vencedores em cada grupo, e parabenizá-los individual, o

professor deverá parabenizar toda a turma por ter participado do jogo, como

forma de estimular o trabalho em grupo e estabelecer a harmonia entre os

jogadores.

Análise a priori: o uso de jogos como atividade de fixação, como visto nos estudos das

análises preliminares, são bastante usados por professores no ensino fundamental, como

forma de utilizar o lúdico para atrair a atenção dos alunos e estimular a interação,

disputa, competição e colaboração no desenvolvimento das atividades e na construção

do conhecimento (BEZERRA, 2001; TULON, 2008; DRUZIAN, 2007). Logo,



acreditamos que os alunos se interessem pelo jogo com o baralho e principalmente pela

competição. A organização dos alunos na sala é um fator que pode acarretar ao

professor um maior trabalho e quanto ao cuidado com o manuseio das cartas, que serão

aproveitadas para as atividades de fixação com as outras turmas. Quanto aos resultados

do jogo, acreditamos que os alunos nas primeiras partidas tenham mais dificuldades em

associar as cartas de equação e respostas que se completam. Mas, com a prática e

estimulados pela competição, supomos que se envolvam com o jogo e encontrem os

pares de cartas mais facilmente.

5.6.1.11. Baralho de cartas eletrônico

Figura 038: Exemplo de carta eletrônica com uma questão-problema

Após a atividade de fixação do baralho de cartas, com duração de 50

minutos, ou seja, uma aula, realizamos outra atividade de fixação que visava o trabalho

em grupo dos alunos. Esta atividade foi orientada a fixação das questões-problemas, e

combinou o uso de cartas eletrônicas, projetadas pelo data show e computador na parede

da sala de aula, com o conjunto de cartas-equação e cartas-resposta em papel, entregues

aos grupos de 5 alunos, previamente montados para a primeira atividade de fixação.

Na primeira atividade os alunos competiam individualmente no grupo, para

formar os pares corretos de cartas-equação e cartas-resposta. Neste segundo momento,

os alunos trabalharam em grupo, para encontrar as cartas com a equação e a carta com a

resposta que resolvesse a questão-problema proposta pelo professor, na projeção do

data show.

Conteúdo abordado: Operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de

frações.

Objetivo do jogo:

Desenvolver a capacidade de cálculo e raciocínio lógico do aluno;

Desenvolver habilidade de leitura e interpretação de texto;

Estimular a capacidade de criar estratégia de resolução;

Estimular o trabalho colaborativo e em grupo;

Uma jarra de suco está preenchida com ½ de sua capacidade.

Fabiana tomou ½ do suco que havia na jarra. Que fração da jarra

representa o que ela bebeu?



Fixar a regra para resolver as operações com frações.

Materiais utilizados:

Computador, Datashow, cartas eletrônicas com a questão-problema, cartas-

equação e cartas-resposta do Baralho de papel.

Regras do jogo:

Cada grupo de 5 jogadores recebe um conjunto de cartas-equação e cartas-

resposta.

Cada grupo deverá exibir a carta-equação e carta-resposta para cada equação-

problema apresentada pelo Professor na projeção do datashow.

Ganha o Grupo que acertar a maior quantidade de Respostas, de um total de 5

questões-problemas.

Procedimentos do jogo:

Serão formados grupo de até 5 alunos.

O professor irá distribuir um conjunto de cartas-equação e cartas-resposta para

cada grupo. Os conjuntos de cartas são iguais para todos os grupos.

O professor irá exibir no Datashow, a partir do computador, 5 questões-

problemas, uma de cada vez, e solicitará aos grupos que selecione, no conjunto

de cartas-equação e cartas-resposta, qual delas representa a resposta da Questão-

Problema exibida. Depois que todos os grupos tiverem selecionado suas cartas, o

professor deverá pedir que mostrem, levantando as 2 cartas do conjunto de

cartas, para que todos os demais grupos vejam.

Vence o grupo que selecionar corretamente as respostas para as equações-

problemas exibidas pelo professor.

Análise a priori: esperamos para a atividade de fixação com o jogo de baralho com

cartas eletrônicas o mesmo comportamento lúdico dos alunos, quanto a envolvimento,

interação e competição para vencer o jogo, como visto para o baralho com cartas de

papel. Destacamos que a metodologia usada para o jogo com o baralho de cartas

eletrônicas, propõe a colaboração e o trabalho em grupo, diferente, do ocorrido na

sessão anterior, na qual a disputa era individual. Acreditamos que esta interação em

grupo fortaleça e consolide a compreensão e construção do conhecimento sobre as

operações com frações, alcance o objetivo das atividades de fixação para este assunto.

5.6.1.12. Atividades extraclasse

Para a fixação das regras construídas em sala de aula durante a realização

das atividades da sequência didática, cada aluno recebeu um caderno de atividades, para

serem realizadas em casa. Este caderno continha questões dos seis grupos de atividades



(Apêndice H), para que o aluno utilizasse a regra que ele produziu com a turma e

resolvesse as questões.

Análise a priori: durante o experimento-piloto, percebemos que os alunos sentiam falta

de atividades para resolver em casa, de acordo com relato no diário de bordo. Logo,

optamos por desenvolver o caderno de atividades para fixação das regras para resolução

das atividades de operação com frações em casa. Acreditamos que com esta fixação os

alunos terão uma melhor compreensão da regra que produziram em sala de aula.



6. EXPERIMENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS

Este capítulo visa realizar a análise a posteriori e a validação dos resultados

dos instrumentos diagnósticos de pré e pós-teste e da sequência didática aplicada na

pesquisa.

6.1. O experimento

Apresentaremos aqui o perfil dos alunos do 6º ano, os conhecimentos

matemáticos prévios e a análise a posteriori das sessões de ensino realizadas no

experimento.

6.1.1. Perfil dos alunos do 6º ano

Para participar do experimento final da pesquisa, fizemos a escolha por uma

turma do 6º ano do Ensino Fundamental que tivesse um perfil médio de idade,

reprovação e domínio dos conceitos Matemáticos. Em conversa com o professor de

Matemática que atuou na pesquisa e era o professor das seis turmas de 6º ano do turno

da tarde, o mesmo sugeriu a turma 521 por possuir alunos novos e também ter

dependentes e por a turma, que entre as demais, os alunos demonstraram mais interesse

em participar da pesquisa, quando o professor consultou as turmas anteriormente.

Para traçarmos um perfil dos 40 alunos da turma 521 do 6º ano do Ensino

Fundamental que participaram do experimento da pesquisa descrevemos a seguir os

resultados da consulta desenvolvida no questionário-perfil e no pré-teste.

Quanto à idade, os alunos possuem entre onze e treze anos de idade,

conforme pode ser observado no Gráfico 01. Idade correspondente ao ano de estudo

investigado.

Gráfico 34: idade dos alunos

Fonte: Pesquisa de Campo (out/2013)



Sobre o tipo de escola que os alunos estudaram no ano anterior, 100% dos

alunos são oriundos da rede pública de ensino, Estadual ou Municipal, como se observa

no Gráfico 02.

Gráfico 35: tipo de escola que estudou no 5º ano


Quanto a ser dependente em Matemática no 6º ano do Ensino Fundamental,

percebemos que ampla maioria, 97,5%, é regular na disciplina de Matemática.

Gráfico 36: Dependência em Matemática no 5º ano


Visando conhecer o ambiente que os alunos estão inseridos em suas casas,

buscamos investigar a escolaridade e a profissão dos seus responsáveis.

Quanto à escolaridade do responsável masculino, quase 40% não concluiu o

ensino médio. Entre os que concluíram o ensino médio são 12,5%. Os que completaram

o ensino superior, totalizam cerca de 2,5%. Destacamos que cerca de 35% dos alunos

desconhece a escolaridade do seu responsável masculino, conforme o Gráfico 04.



Gráfico 37: Escolaridade do Responsável Masculino


Quanto à escolaridade do responsável feminino, cerca de 50% não concluiu

o ensino médio. Os que completaram o ensino médio totalizam 20%. Sobre o ensino

superior, nenhum responsável feminino iniciou ou completou. Quanto ao fato dos

alunos desconhecerem a escolaridade do responsável feminino, também destacamos um

índice elevado de quase 30%, conforme mostra o Gráfico37.

Gráfico 38: Escolaridade do Responsável feminino


Quanto à profissão do responsável masculino foram citadas 16 profissões. A

profissão de pedreiro foi a de maior incidência com 20%. Quase 15% dos alunos

desconhecem a profissão do seu responsável masculino, conforme mostra o Gráfico38 e

Quadro 07.



Gráfico 39: Profissão do Responsável masculino


PROFISSÃO % PROFISSÃO %

Auxiliar Administrativo 5,0% Autônomo 7,5% Moto Taxi 2,5% Serviços Gerais 12,5% Pedreiro 20,0% Professor 3% Mecânico 5,0% Motorista 10,0% Comerciante 2,5% Farmacêutico 2,5% Vendedor 5,0% Enfermeiro 2,5% Vigilante 2,5% Médico 3% Eletricista 2,5% Não Sabe 12,5% Desempregado 2,5%

Quadro 12: Profissão do Responsável masculino


Quanto à profissão do responsável feminino, foram listadas 11 profissões.

Entre elas, as mais citadas foram dona de casa, doméstica e vendedora, com 25%,

12,5% e 12,5% respectivamente. Cerca de 20% dos alunos desconhecem a profissão do

seu responsável feminino, conforme mostra o Gráfico 38 e o Quadro 08.

Gráfico 40: Profissão do Responsável feminino




PROFISSÃO % PROFISSÃO %

Dona de Casa 25,0% Serviços Gerais 5,0%

Professora 7,5% Manicure 2,5%

Doméstica 12,5% Comerciante 2,5%

Mecânica 2,5% Babá 2,5%

Cozinheira 5,0% Cabelereira 5,0%

Vendedora 12,5% Não Respondeu 17,5% Quadro 13: Profissão do Responsável feminino.

Fonte: Pesquisa de Campo (out/2013).

6.1.1.1. Os alunos e a aprendizagem matemática

Em outro momento o questionário buscava conhecer as dificuldades dos

alunos para o ensino de Matemática, com que frequência costuma estudar Matemática,

quem o auxilia nas tarefas de casa e como são as notas em Matemática.

Sobre possuir dificuldade em aprender Matemática, a maior parte dos

alunos, cerca de 65% disse possuir um pouco de dificuldade. Apenas 10% disseram não

possuir dificuldades e outros 27,5% disseram possuir muita dificuldade, como mostra o

Gráfico 39.

Gráfico 41: Possui dificuldade em aprender Matemática


Quanto à frequência com que os alunos costumam estudar Matemática, a

maioria, 62,5% disseram estudar apenas na véspera das provas, conforme mostra o

Gráfico 40. O que retrata um interesse pelo estudo de Matemática com foco em passar

de ano.



Gráfico 42: Frequência que estuda Matemática


Sobre quem os auxilia com as tarefas de Matemática em casa, a maioria dos

alunos respondeu que a mãe é quem cumpre este papel, 52%. Outros 20% disse que

ninguém os auxilia nas tarefas escolares em casa, conforme mostra o Gráfico 08.

Gráfico 43: Quem auxilia com as tarefas de Matemática em casa.

Fonte: Pesquisa de Campo (out/2013).

Sobre as notas dos alunos na disciplina de Matemática, cerca de 70% está na

média ou abaixo da média. Para 27,5% dos alunos suas notas estão acima da média,

conforme mostra o Gráfico 09.

Gráfico 44: As notas de Matemática




Sobre distrair-se nas aulas de Matemática, cerca de 55% disseram prestar

sempre atenção nas aulas. Por outro lado, 35% dos alunos disseram que na maioria das

vezes se distraiam nas aulas de Matemática, conforme mostra o Gráfico 10.

Gráfico 45: Distração nas aulas de Matemática


No questionário buscamos ainda conhecer as maiores dificuldades em

Matemática, quanto às operações que os alunos possuíam maiores dificuldades e quanto

ao conhecimento da tabuada. Sobre as operações que os alunos possuem mais

dificuldade em realizar, a divisão apareceu como a maior dificuldade, com 37,5%,

conforme mostra o Gráfico 11.

Gráfico 46: Operações que possui dificuldade em realizar


Sobre o domínio da tabuada, 47,5% dos alunos respondeu não possuir

domínio, conforme mostra o Gráfico 12.



Gráfico 47: Domínio da tabuada


Quando indagados se já tinham estudado frações, os resultados foram 85%

para não. O que já era esperado por serem alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, e

ainda não tiveram aulas sobre as operações com frações, como mostra o Gráfico 13. Os

que responderam sim, compreendem os alunos que já tiveram alguma contato com o

conceito ou estão em dependência na disciplina de Matemática.

Gráfico 48: Já estudaram frações


Sobre como foram as aulas de Matemática no 5º ano do Ensino

Fundamental, 50% dos alunos respondeu que as aulas começavam pela definição e em

seguida eram apresentados exemplos e listas de exercícios, como mostra o Gráfico 14.



Gráfico 49: Como foram as aulas de Matemática no 5º ano


Quanto à fixação do conceito de fração no 5º ano do Ensino Fundamental,

55% dos alunos respondeu que os professores apresentavam uma lista de exercícios para

que fossem resolvidos. Entre os resultados, destacamos que 7,5% já utilizam jogos

como atividade de fixação, como mostra o Gráfico 15.

Gráfico 50: Como ocorria a fixação de fração no 5º ano


6.1.1.2. Os alunos e o uso de tecnologia

Outro aspecto investigado no questionário foi sobre o uso de tecnologia nas

escolas, por professores e alunos, no ensino de Matemática e nas atividades escolares



em geral. Perguntamos se a escola possuía laboratório de informática, 75% dos alunos

respondeu que sim, como mostra o Gráfico 16. Explicamos que todos os alunos estudam

na mesma escola e esta possui laboratório de informática. Logo, percebemos que os

alunos desconhecem a existência do laboratório de informática na escola.

Gráfico 51: A escola possui laboratório de informática


Foi questionado ainda se algum professor já ministrou aula no laboratório de

informática, 97,5% dos alunos afirmaram que nenhum professor ministrou aula neste

espaço, como mostra o Gráfico 17. O que reforça o fato de desconhecimento por parte

dos alunos sobre a existência de um laboratório de informática na escola.

Gráfico 52: Algum professor já ministrou aula no laboratório de informática


Para os alunos que responderam sim, quanto a algum professor ter

ministrado aula no laboratório de informática, indagamos quais as disciplinas que o

professor já ministrou aula no laboratório de informática. Entre os quarenta alunos,

apenas 1 aluno respondeu que já teve aula de Matemática no laboratório de informática.

Sobre o tipo de atividade que foram trabalhadas no laboratório de

informática, entre alunos, 28,6% realizou pesquisas livres em sites de busca. Quanto ao



uso de software educacional para o ensino de Matemática, foi o resultado com menor

índice, apenas 7,1%. Retomamos o fato dos professores não possuírem capacitação para

o uso destas ferramentas, como mostra o Gráfico 19.

Gráfico 53: Tipo de atividades que foram trabalhadas no laboratório de informática


Perguntamos aos alunos se eles já haviam realizado alguma atividade de

Matemática no computador. Aproximadamente 90% dos alunos disseram não ter

realizado nenhuma atividade de Matemática com o uso do computador, como mostra o

Gráfico 20. Sendo que apenas um aluno afirmou ter realizado atividade de divisão com

o uso do computador.

Gráfico 54: Já realizou alguma atividade de Matemática no computador

Fonte: Pesquisa de Campo (maio/2013)

No questionário buscávamos ainda saber se os alunos possuíam computador

pessoal. O resultado mostra que 52,5% dos alunos já possuem computador, como

mostra o Gráfico 22. Percebemos que, embora sejam alunos de uma região de periferia



da cidade de Macapá/AP, a aquisição de computador já é uma realidade para estas

famílias. Logo, o uso deste instrumento, já presente no cotidiano destes alunos, tem

potencial para ser empregado nas práticas escolares.

Gráfico 55: Possui computador


O questionário também visava conhecer os hábitos dos alunos no uso do

computador. Perguntamos sobre o local que costumam acessar à internet.

Aproximadamente 56% dos alunos disseram acessá-la em casa. Apenas 14,6% dos

alunos disseram acessar à internet na escola, conforme mostra o Gráfico 23. Percebemos

a necessidade de se fomentar o uso deste importante instrumento didático nas atividades

escolares.

Gráfico 56: Local que costuma acessar à internet


Quanto ao equipamento que os alunos costumam utilizar para acessá-la, o

computador aparece como o mais usado, por 52,4% dos alunos. O celular e o tablet já

apontam como instrumentos também utilizados para o acesso à internet, conforme

mostra o Gráfico 24.



Gráfico 57: Equipamento que costuma utilizar para acessar à internet


Para os alunos que acessam à internet, indagamos sobre o tempo que ficam

conectados a ela. A maioria dos alunos, 52,5% disseram ficar conectados até duas horas

à internet, conforme mostra o Gráfico 25. Destacamos que 7,5% dos alunos afirmaram

passar mais de 8 horas conectado.

Gráfico 58: Quanto tempo fica conectado à internet


Entre as atividades que os alunos realizam enquanto estão conectados à

internet, 37,3% dos alunos respondeu o uso para jogo. Entre as atividades escolares,

somam-se 27,5% para fazer trabalhos escolares ou pesquisar assuntos escolares nos

sites de busca, conforme mostra o Gráfico 26.



Gráfico 59: As atividades que costuma realizar no computador.

Fonte: Pesquisa de Campo (maio/2013).

6.1.1.3. Os alunos e o ensino de frações

Após a realização do questionário com as questões que visavam conhecer o

perfil dos alunos do 6º ano, aplicamos um formulário com dezesseis questões sobre

operações de adição e subtração de frações que visavam conhecer o nível de

conhecimento real dos alunos, antes de estudarem o conceito de frações. Optamos por

separar os testes em dois momentos, antes de iniciar a sequência didática investigamos

o domínio para adição e subtração e após realizarem as atividades destas operações,

realizamos o pré-teste para multiplicação e divisão de frações, antes de iniciar as

atividades destas operações.

Os resultados do pré-teste de adição e subtração mostram que, para as 10

questões com equações de frações, 100% dos alunos erraram ou não responderam às

questões de adição e subtração de fração com denominadores diferentes. Os melhores

resultados apareceram para as questões que envolveram as operações de adição e

subtração de frações com denominadores iguais, nas quais os alunos tiveram entre 5% e

10% de acertos, conforme mostra o Quadro 09.

QUESTÃO ENUNCIADO ACERTOS ERROS NÃO RESPONDEU

1 + = 5% 92% 3%

2 + = 5% 92% 3%

3 + = 0% 98% 3%

4 + = 0% 98% 3%

5 + 1 = 0% 98% 3%



6 3 + = 0% 98% 3%

7 - = 10% 85% 5%

8 - = 5% 92% 3%

9 - = 0% 98% 3%

10 - = 0% 95% 5%

11 4 - = 0% 95% 5%

12 - 1 = 0% 95% 5%

Quadro 14: Resolução das questões com equações de frações no pré-teste


Foram aplicadas ainda quatro questões que envolviam situações-problemas

a serem resolvidas pelos alunos, sobre as operações de adição e subtração de frações. Os

resultados mostram que cerca de 5% dos alunos conseguiram resolver as questões que

envolviam adição de frações com denominadores iguais, questão 13. Para as outras três

questões, todos os alunos erraram ou não responderam.

QUESTÃO ENUNCIADO CERTO ERRADO NÃO RESPONDEU

13 Julia e Renato foram comer pizza. Julia comeu 1/4 e Renato 1/4 de uma pizza de calabresa. Que fração da pizza eles comeram juntos?

5% 87% 8%

14 A fazenda de seu Francisco perde-se de vista. Ele reservou 5/2 de sua fazenda para a agricultura, sendo que 3/2 foi para o plantio de milho. Que fração da reserva ficou para o plantio de feijão?

0% 98% 3%

15 Dona Carmem deu uma caixa de bombons para seus filhos Carlos e Raimundo. Carlos comeu 1/2 dos bombons dessa caixa e Raimundo comeu 1/3 dos bombons. Qual é a fração que representa a quantidade de bombons que eles comeram juntos?

0% 98% 3%

16 Roberto Carlos e Ronaldinho fizeram 1/2 dos gols de uma partida de futebol de salão. Roberto Carlos fez 1/4 dos gols da partida. Que fração representa a quantidade de gols feita por Ronaldinho?

0% 98% 3%

Quadro 15: Resolução das questões-problemas de frações no pré-teste.




6.1.2. Sessões de ensino

As sessões de ensino ocorreram sempre nos horários das aulas de

Matemática da turma. Na turma 521, as aulas ocorriam sempre às segundas-feiras, no

horário de 10:45 às 12:15 e sextas-feiras, no horário de 09:00 às 10:45.

As atividades envolvendo o pré-teste e o pós-teste, as atividades de fixação,

foram realizadas na sala de aula das turmas. As aulas sobre as operações com frações

foram todas realizadas no laboratório de informática, com o uso do software

educacional FRACTRON nos computadores, por grupos de até três alunos.

O quadro 06 apresenta o cronograma de datas proposto para a realização das

dezesseis seções de ensino, por turma.

SESSÃO ATIVIDADE LOCAL TEMPO

REALIZADO

DATA

1ª Pré-Teste Sala de aula 90 min. 23/5/1014

2ª Adição de Frações com

Denominadores Iguais

Laboratório de

informática

80 min. 26/5/1014

3ª Subtração de Frações com

Denominadores Iguais

Laboratório de

informática

60 min. 30/5/1014

4ª Adição de Frações com

Denominadores Diferentes

Laboratório de

informática

100 min. 02/6/1014

5ª Subtração de Frações com

Denominadores Diferentes

Laboratório de

informática

70 min. 06/6/1014

6ª Fixação de Adição e Subtração de

Frações

Sala de Aula 100 min. 09/6/1014

7ª

8ª

Pós-Teste de Adição e Subtração de

frações

Pré-Teste de Multiplicação e

Divisão de frações

Sala de aula 50 min.

50 min. 13/6/1014

9ª Multiplicação de Frações Sala de aula 70 min. 16/6/1014 10ª Divisão de Frações Laboratório de

informática

50 min. 20/6/1014

11ª Fixação de Multiplicação e Divisão

de Frações

Laboratório de

informática

100 min. 25/6/1014

12ª Pós-Teste de Multiplicação e


Sala de Aula 50 min. 30/6/1014

Quadro 16: Cronograma das 16 seções de ensino realizadas na pesquisa.

Para a realização das atividades com o uso do software educacional

FRACTRON, houve uma preparação do laboratório de informática e a capacitação do

professor para o uso do software. O laboratório de informática da escola contava apenas

com 10 computadores. O pesquisador, considerando que com apenas os 10

computadores ficaria inviável ministrar aulas para cerca de 40 alunos, acordou com o

diretor da escola que usaria 20 computadores do grupo de pesquisa que coordena na

Universidade Federal do Amapá.



Com o aval do diretor da escola, o pesquisador cedeu os 20 computadores

para a escola, e reorganizou o laboratório de informática, para que os cinquenta alunos

pudessem trabalhar em duplas. O espaço físico do laboratório foi ampliado, em

decorrência de uma reforma realizada na escola, que coincidiu com a aplicação da

pesquisa. Assim, quando iniciamos o experimento, a sala do laboratório de informática

já estava ampliada para receber confortavelmente os 40 alunos da turma.

Antes de iniciarmos o experimento o professor recebeu durante duas

semanas uma capacitação sobre o uso do software educacional FRACTRON, e um

manual preparado com informações e orientações para o ensino das operações com

frações utilizando o software. Esta capacitação serviu para mostrarmos ao professor os

ajustes feitos na sequência didática.

6.1.2.1. 1ª sessão: pré-teste

O pré-teste teve como objetivo traçar um perfil dos alunos e verificar seu

conhecimento prévio a respeito do conteúdo de operações com frações. Ele contemplou

dois formulários que foram aplicados no mesmo dia: i) formulário com perguntas sobre

o perfil do aluno; ii) e o formulário com questões de operações de adição e subtração

com frações. Os formulários foram aplicados a 40 alunos da turma 521 no dia

23/5/2014, segunda-feira.

Análise a posteriori

O pré-teste foi aplicado em sala de aula com a presença do pesquisador e do

professor. Explicamos aos alunos o objetivo dos formulários e solicitamos que

respondessem individualmente.

Antes de começarem a preencher os formulários, o professor realizou a

chamada na turma, usando seu notebook com acesso à internet sem fio, disponível em

todas as salas e áreas livres da escola, para acesso dos professores e corpo técnico

pedagógico, apenas. A sala de aula, climatizada, acomodava bem todos os alunos. As

cadeiras e mesas eram novas. A sala continha ainda mesa para o professor, quadro

magnético e quadro de avisos.

Durante o preenchimento dos formulários os alunos apresentaram algumas

dificuldades em compreender os enunciados das questões, que foram respondidas pelo

pesquisador e professor. As maiores dificuldades foram diante das questões para



resolver as operações com frações. Alguns alunos não queriam fazer, pois diziam que

nunca tinham estudado aquele assunto ou porque não sabiam resolver. O professor

orientou que era este o objetivo, investigar como eles iriam resolver as questões com

frações, a partir do conhecimento prévio sobre as operações básicas de adição e

subtração com números inteiros. Enquanto os alunos realizam o pré-teste o professor

comentou que “os alunos desta turma eram muito competitivos e não gostavam de

errar nas questões de Matemática. Por isso estavam tristes por fazer um exercício que

não sabiam fazer”.

Todos os 40 alunos preencheram os formulários com atenção. Solicitamos

que ao terminar de preencher, aguardassem sentados e sem fazer barulho, até que todos

concluíssem. Alguns alunos ao concluir o preenchimento provocaram certo tumulto, ao

se levantar e conversar na sala de aula. Foi preciso que o professor solicitasse, diversas

vezes, silêncio à turma.

Quanto às respostas para as questões do pré-teste, verificamos que:

Para as questões de adição e subtração com denominadores iguais e

diferentes, os alunos realizaram as operações como se fossem inteiros. Como

verificamos nos resultados para a operação + =, a maioria dos alunos apresentou

como resultado , ou seja, somou de forma direta os numeradores e denominadores,

respectivamente.

Para as questões de adição e subtração que envolviam uma fração e um

número inteiro, os alunos não perceberam o denominador igual 1, e também realizaram

a operação como se fossem inteiros. Como podemos observar nos resultados para a

operação 4 - =, que os alunos, em sua maioria, alcançou o valor .

Estes resultados para as operações de adição e subtração de frações foram

previstos em nossas análises a priori, pois consideramos as ocorrências produzidas nos

trabalhos analisados no capítulo 4, e nossa experiência em sala de aula.

O quadro abaixo apresenta os resultados para as dezesseis questões do pré-

teste realizado pelos 40 alunos da turma. Em onze das dezesseis questões todos os

alunos erraram ou não responderam o resultado. Os acertos ocorreram apenas em duas

questões de adição de frações com denominadores iguais, em duas questões de



subtração de frações com denominadores iguais e em uma questão-problema sobre

adição de frações com denominadores iguais.

QUESTÃO ENUNCIADO ACERTOS ERROS NÃO

RESPONDEU

1 2/3 + 1/3 = 5% 92% 3%

2 5/4 + 1/4 = 5% 92% 3%

3 1/2 + 1/3 = 0% 98% 3%

4 3/4 + 1/2 = 0% 98% 3%

5 2/4 + 1 = 0% 98% 3%

6 3 + 1/2 = 0% 98% 3%

7 5/3 - 1/3 = 10% 85% 5%

8 3/4 - 1/4 = 5% 92% 3%

9 2/3 - 1/2 = 0% 98% 3%

10 1/3 - 1/4 = 0% 95% 5%

11 4 - 1/2 = 0% 95% 5%

12 3/2 - 1 = 0% 95% 5%

13 Julia e Renato foram comer pizza. Julia

comeu 1/4 e Renato 1/4 de uma pizza de

calabresa. Que fração da pizza eles

comeram juntos?

5% 87% 8%

14 A fazenda de seu Francisco perde-se de

vista. Ele reservou 5/2 de sua fazenda para

a agricultura, sendo que 3/2 foi para o

plantio de milho. Que fração da reserva

ficou para o plantio de feijão?

0% 98% 3%

15 Dona Carmem deu uma caixa de bombons

para seus filhos Carlos e Raimundo. Carlos

comeu 1/2 dos bombons dessa caixa e

Raimundo comeu 1/3 dos bombons. Qual é

a fração que representa a quantidade de

bombons que eles comeram juntos?

0% 98% 3%

16 Roberto Carlos e Ronaldinho fizeram 1/2

dos gols de uma partida de futebol de salão.

Roberto Carlos fez 1/4 dos gols da partida.

Que fração representa a quantidade de gols

feita por Ronaldinho?

0% 98% 3%

Quadro 17: Resultados do pré-teste dos alunos do 6º ano

Gráfico 60: Acertos dos alunos do 6º no pré-teste.




O preenchimento dos formulários encerrou-se na turma, às 10 h, quinze

minutos antes do fim da aula. Foi solicitado aos alunos que aguardassem o próximo

professor em sala.

6.1.2.2. 2ª sessão: adição de frações com denominadores iguais

A segunda sessão ocorreu no laboratório de informática da escola e tinha o

objetivo de promover o ensino de operações de adição de frações com denominadores

iguais. Os alunos utilizaram o software educacional FRACTRON para resolver a

sequência didática que continha dez questões com situações problema comuns ao

cotidiano dos alunos sobre adição de frações com denominadores iguais. Ao final das

dez questões, os alunos deveriam produzir na forma textual a regra que solucionasse as

operações desta atividade, respondendo as seguintes perguntas: i) Como Resolver a

Questão sem usar a figura?; ii) Qual a regra você utilizou para resolver as questões?

A atividade de adição de frações com denominadores iguais foi realizada em

80 minutos, ou seja, utilizamos quase todo o horário das duas aulas. O tempo utilizado

foi menor que o tempo previsto para esta atividade, que era de 100 minutos.

Acreditávamos que usaríamos as duas aulas completas para que os alunos conseguissem

resolver as 10 questões, perceber e produzir uma regra para resolvê-las.


O professor chegou mais cedo que o habitual. Abriu o laboratório e ligou

todos os computadores. Todas as máquinas ficaram ligadas e com o software disponível

para início das atividades na tela do computador. Quando o professor terminou de ligar

os computadores, cinco minutos antes do horário da aula, alguns alunos já estavam

aguardando do lado de fora do laboratório de informática. O professor enfatizou que

“raramente os alunos chegam antes do horário da aula”. Fato que para o professor,

“ocorreu pela curiosidade de uso do software e do espaço do laboratório de

informática como sala de aula”.

A aula transcorreu com a explicação do professor sobre como desenvolver a

primeira atividade da sequência didática no software educacional FRACTRON.

Considerando o experimento-piloto, percebemos que não havia a necessidade de

realizar um treinamento específico com os alunos para o uso do software educacional.



Já no experimento-piloto, o software se mostrou amigável e de fácil assimilação por

parte dos alunos, que desenvolveram com habilidade as atividades.

Após ter resolvido a primeira questão, o professor pediu que os alunos

resolvessem sozinhos a primeira questão. A Figura 01 mostra a tela de resolução de um

aluno para a primeira questão. Na tela percebemos que o aluno respondeu corretamente

às orientações do professor para o preenchimento das lacunas para montar a equação a

partir do enunciado da questão, e para as lacunas sobre as partes que cada fração

representa na figura inteira. O aluno também realizou corretamente as divisões e a

coloração da figura, a partir da equação das frações estabelecida.

Figura 39: Resolução do Aluno.

Fonte: FRACTRON (maio/2014)

O professor, percebendo que alguns alunos ainda tinham dúvidas, resolveu

para a turma a segunda questão e pediu que eles resolvessem logo após. Nesta segunda

questão o professor buscou indagar aos alunos como resolver cada etapa da questão para

estimulá-los a resolver sozinhos. Como descrevemos no diálogo abaixo:

Professor: “... nesta segunda questão montamos, a partir do enunciado, a

equação + para descobrir qual a distância percorrida entre as cidades de Belém e

Brasília em dois dias de viagem. Pergunto: como representar no quadrado a primeira

fração? Quantas vezes vamos dividir o quadrado?”

Aluno R8: “... professor, se for igual à primeira questão, vamos dividir em

três, porque é o número que tá ai embaixo...”.

Percebemos no diálogo, que os alunos começam a entender a lógica de

resolução já na segunda questão. A partir da terceira questão, o professor pediu que os

alunos resolvessem de forma semelhante às suas orientações. Enquanto os alunos

resolviam às questões, o professor tirou dúvidas e orientou os alunos sobre as

8 Usamos letras para resguardar o nome dos alunos. Os diálogos foram transcritos dos registros das

gravações com a câmera filmadora e das anotações do diário de bordo.



dificuldades que encontravam tanto na interpretação do enunciado da questão, quanto na

resolução das questões no software.

A cada questão resolvida, os alunos visualizam o histórico das questões já

resolvidas, conforme mostra a Figura 02. O professor ao perceber que os alunos

estavam motivados e resolvendo as questões, passou a orientá-los a analisar o histórico

dos resultados e verificar qual a semelhança entre os resultados para cada questão, como

descrevemos abaixo:

Professor: “... lembrem-se que o objetivo não é só resolver as questões,

precisamos descobrir qual a fórmula que resolve as questões de adição de frações com

denominadores iguais. Olhem para o histórico ai do lado na tela do computador e

vejam se tem alguma coisa parecida nos resultados”.

Algumas duplas se destacaram e começaram a responder mais rapidamente

as questões e a tentar descobrir a regra para a atividade. A descrição do diálogo abaixo,

entre os alunos de uma das duplas, retrata a motivação que eles estavam em resolver a

questão e em solucionar o desafio proposto. Este diálogo ocorreu quando a turma estava

resolvendo a oitava questão da atividade.

Aluno A: “...égua! já sei como é que faz essa. Acho que já sei qual é essa

fórmula que o professor tá falando...”.

Aluno B: “...como tu acha que é?”.

Aluno A: “...olha só! Nessas aqui de cima a gente somou um mais um que

tava em cima e depois manteve o três que tava embaixo. Nessa outra a gente somou o

um e o cinco que tava em cima também e depois repetiu o sete debaixo. Tá vendo como

é tudo igual?! ”.

Aluno B: “...é mesmo! Tudo igual. Bora contar pro professor?!”.

Neste momento os alunos chamaram o professor e contaram o que haviam

percebido. O professor os parabenizou e pediu que anotassem no papel, para quando

terminassem as dez questões preenchessem no FRACTRON, imagem 45, a regra que

eles “criaram”.



Figura 40: Histórico da resolução do

Aluno


Figura 41: Tela de conclusão da atividade


Ao perceber que algumas duplas terminavam, outras duplas que não

conseguiam perceber a regra pediam ajuda aos colegas, o professor procurou não

intervir e deixou que os alunos interagissem para que se ajudassem e assim

descobrissem a regra. Este foi um momento de situação adidática explicado por

Brousseau (2004), quando não há a interferência direto do professor na construção do

conhecimento. Para Vygotsky (2001) esta interação entre um aluno mais experiente e

um menos experiente revela o potencial a ser conquistado no processo de ensino e

aprendizagem, sobre o qual o professor assume o papel de mediador do conhecimento e

o aluno se torna um agente ativo neste processo.

Após todas as duplas concluírem as regras, o professor utilizou a fala de

algumas duplas para narrar as regras construídas. As imagens 04 e 05 mostram dois

textos com regras corretas construídas para resolver as operações de adição com

denominadores iguais. Os textos escritos pelos alunos mostram como eles construíram a

formação do conceito e estruturaram a resolução para as questões.

Figura 42: Resposta do aluno sobre como resolver a questão sem usar a figura


Figura 43: Resposta do aluno sobre a regra que ele utilizou para resolver as questões

Fonte: FRACTRON (maio/2014).

Algumas duplas não conseguiram expressar na forma de texto, respostas que

indicassem a compreensão da regra e de como eles resolveriam as questões sem o uso



da Figura no FRACTRON, como mostra a Figura 06. Contudo, estes alunos

conseguiram resolver as questões de forma correta durante a atividade.

Figura 44: Resposta do aluno para a conclusão da atividade


Após a conclusão dos alunos para as perguntas apresentadas pelo software

educacional FRACTRON, o professor convidou a turma para que juntos definissem

uma regra da turma para resolver as questões que envolvem operações de adição de

frações com denominadores iguais. O professor propôs à turma uma possível resposta e

indagou se estaria correto. Após alguns diálogos e sugestões dos alunos e do professor,

a turma definiu uma regra, conforme mostra a Figura 07.

Esta possibilidade de promover a produção textual dos alunos para

expressar sua compreensão sobre a aprendizagem do conceito matemático é algo que se

propôs para o software educacional FRACTRON, como forma de estimular os alunos a

sistematizar seu raciocino lógico. A construção da regra de forma coletiva pela turma

possibilita a colaboração e a interação entre os alunos e o professor para a consolidação

e fixação do conhecimento matemático trabalhado em sala, na sequência didática. A

construção destes textos proporciona ainda a sensação de pertencimento e capacidade de

expressar com as próprias palavras uma regra que poderá ser utilizada por outros alunos

para resolver as questões, como relatou um aluno, dizendo: “...poxa! quer dizer que

agora qualquer um da turma pode resolver essas questões com a nossa regra?”.



Figura 45: Conclusão da turma para a questão


Após a construção da regra da turma, o professor agradeceu à turma pela

participação na aula e entregou o caderno de atividades para que os alunos resolvessem

as questões referentes a aula, como forma de fixar a regra construída pela turma para as

operações de adição de frações com denominadores iguais. Depois informou que na

aula seguinte teriam a atividade de subtração de frações com denominadores iguais.

Após o encerramento da aula pelo professor, solicitamos a um aluno que escrevesse no

diário de bordo a sua impressão sobre a aula. Neste momento outro aluno se aproximou

e disse que também queria escrever, assim os dois escreveram no diário de bordo, como

descrevemos abaixo:

Aluno C – “Muito legal. Muito divertida. Muita importante”.

Aluno 02 – “Foi como eu nunca tivesse mexido no computador e foi muito

importante para todo mundo da escola”.

Diante do texto dos alunos, percebemos uma empolgação com a aula. A

novidade do uso do computador, do laboratório de informática e da possibilidade de

interagir com um programa de computador, resolvendo uma questão Matemática,

permitiu ao aluno uma nova perspectiva sobre este instrumento tecnológico.

Durante a aula, alguns fatos foram apontados no diário de bordo, a partir da

percepção do pesquisador, como:

- A internet estava falhando, tendo que refazer as atividades repetidas vezes.

- Os alunos em sua maioria assimilaram o conteúdo com facilidade,

conseguindo reconhecer a estratégia de resolução proposta na sequência didática.



- Durante a aula foi comentado pelo professor que, um dos alunos tido como

“bagunceiro” e que tira notas baixas, nesta aula prestou atenção e foi bastante

participativo. No final da aula o professor elogiou esse aluno individualmente pelo seu

comportamento.

De forma geral, esta sessão mostrou o lado motivacional e de certa forma de

empolgação pelo uso do laboratório de informática e do software educacional para o

ensino de Matemática. Os alunos mostraram-se atentos, interessados e participativos

tanto nas intervenções e explicações do professor, quanto na interação nos grupos.

Como já esperado, ocorreram alguns problemas com a instabilidade da

internet e desligamentos dos computadores por oscilações da energia, no entanto, estes

problemas não interferiram no bom desenvolvimento da aula.

O professor mostrou uma evolução gradativa durante a aula, tanto para o

uso do software, quanto para o método utilizado e para a sequência didática. Outro

destaque ao professor foi pela sua dinâmica e iniciativa no momento da falta de internet,

em não parar a aula, e prontamente usar o quadro magnético para reproduzir o uso do

software e continuar a explicação da atividade. O que ressalta a importância do domínio

do conteúdo e do preparo do professor para um ensino de qualidade, de forma a superar

as dificuldades em sala de aula.

Quanto à construção dos textos por parte dos alunos, percebemos que por

ser o primeiro contato com este tipo de atividades, os alunos ainda estavam inibidos e

com dificuldades de se expressar nos textos. Para o fechamento da regra da turma o

professor praticamente conduziu todo o texto. Sobre o uso do computador e do

software, os alunos mostraram facilidade e domínio da ferramenta. Mostraram

habilidade no uso do software.

6.1.2.3. 3ª sessão: subtração de frações com denominadores iguais

A terceira sessão foi realizada no laboratório de informática e abordou o

conteúdo de subtração de frações com denominadores iguais. Esta sessão ocorreu no dia

30/5/2014 e teve a duração de 60 minutos. Novamente o tempo que os alunos utilizaram

para resolver as 10 questões, perceber e produzir a regra para resolver esta atividade foi

menor que o estimado, que era de 100 minutos.




O professor iniciou a aula corrigindo as questões do caderno de atividades

de fixação. Alguns alunos esqueceram as atividades e outros não fizeram. O professor

alertou para a necessidade de resolver as questões para a construção do aprendizado

sobre as operações com frações e que essas atividades seriam consideradas como

avaliação bimestral. Quanto a resolução dos alunos nas questões de fixação, os

resultados foram bastante satisfatórios. A maioria dos alunos respondeu corretamente e

utilizou a regra que foi construída pela turma, como retratamos na fala abaixo:

Aluno H: “...professor, eu pedi para o meu pai me ajudar, mas ele não

lembrava bem como fazia. Foi legal que eu mostrei pra ele a fórmula que a gente fez na

sala e ele conseguiu fazer comigo as questões. Acho que aceitei todas. Olha ai!”.

Após a correção das atividades de fixação, o professor iniciou a atividade de

subtração de frações com denominadores iguais. Por ser a segunda aula no laboratório

de informática, os alunos já se mostraram mais familiarizados com o espaço e o uso do

software. A atividade iniciou com o professor resolvendo a primeira das dez questões

propostas para a sequência didática desta seção. Após resolver a questão, o professor

pediu que os alunos resolvessem no FRACTRON. Enquanto os alunos resolviam, o

professor caminhou pelo laboratório analisando como os alunos conversavam nas

duplas e resolviam as questões. Como era esperado, os alunos resolveram a questão com

mais agilidade. O professor então resolveu a segunda questão e solicitou aos alunos que

resolvessem as demais questões discutindo o enunciado nas suas duplas.

Durante a aula as duplas resolveram as questões. O professor foi chamado

algumas vezes para tirar dúvidas. Percebemos que os alunos estavam interagindo e

buscando soluções para as questões no software. A Figura 24 mostra a resolução de uma

das duplas de alunos, para uma questão de subtração de frações com denominadores

iguais.

Para as questões com subtração de frações com denominadores iguais o

desempenho dos alunos mostrou a apropriação do método, considerando que os alunos

conseguiram resolver as questões com mais facilidade que na sessão anterior, e por

volta da sexta questão, uma das duplas já havia sugerido a regra que resolvia as

questões. O professor destacou em sua fala que “os alunos perceberam a regra pela

facilidade a forma visual que o software proporciona”.



Figura 46: Resolução do Aluno


Após a resolução das dez questões pelas duplas, o professor novamente

chamou a atenção da turma para que juntos pudessem construir uma resposta da turma

para a regra que resolvesse as questões de subtração de frações com denominadores

iguais. Antes de propor um texto, o professor fez a leitura de algumas respostas feitas

pelas duplas, abrindo as questões na tela para que todos fizessem a leitura juntos. A

Figura 25 mostra a resposta de uma das duplas para a regra.



No texto dos alunos percebemos que já apresentam uma melhor descrição

da ideia de como resolver a questão. A visualização do histórico das questões também

foi bastante utilizada pelos alunos para a construção da regra, como mostra a Figura 27.

O professor fez a leitura de algumas questões propostas pelas duplas e então abriu a tela

do FRACTRON, para que as duplas ajudassem a escrever a regra de forma coletiva.

O professor auxiliou questionando se as expressões “número de cima e o

debaixo” poderiam ser substituídas por “numerador e denominador”. Após a interação

com a turma, chegaram à regra, conforme mostra a Figura 26. Uma das alunas após ler a

regra elaborada pela turma com o professor exclamou: “agora ficou mais legal de ler,

pois tem as palavras matemáticas”.



Figura 48: Regra da turma


Figura 49: Histórico da resolução das

questões

Fonte: FRACTRON (junho/2014)

Após a construção da regra da turma, o professor solicitou que todos

tomassem nota da regra e utilizassem para resolver as questões de subtração de frações

com denominadores iguais do caderno de atividades de fixação, para que fossem

corrigidas na aula seguinte.

Solicitamos na saída dos alunos que escrevessem no diário de bordo o que

acharam da aula. Um aluno pediu para escrever, e retratamos abaixo, a opinião do aluno

sobre a aula. Percebemos a interação entre os alunos, a ponto de a aluna ser tratada

como “professora” por auxiliar os demais colegas na resolução das questões.

Aluno I: “Eu achei muito legal, mas só não foi mais legal por causa dos

meninos. Eles estavam me chamando de professora e tipo não é legal”.

De acordo com o professor os alunos apresentaram maior interação nas

aulas no laboratório e o fato das atividades ocorrerem em duplas, possibilita que eles

discutam as questões e juntos tomem as decisões sobre a melhor forma de resolver. Na

atividade de subtração de frações com denominadores iguais, os alunos perceberam a

regra para resolver as questões mais rapidamente, devido à experiência na atividade de

adição, anterior.

Para o professor este método aguça a criatividade e o raciocínio lógico do

aluno, a partir da interação com o software, na percepção das imagens na tela. Para

Ausubel (1999) de fato a aprendizagem se tornou significativa. Os alunos passaram a

perceber que podiam visualizar a resolução dos cálculos e passaram a construir

conhecimento que poderiam aplicar em outros contextos. Quando liam os enunciados

das questões e identificavam situações do seu cotidiano como em “Rodrigo toma 5/7 de



litro de açaí no almoço, e 2/7 litro durante o jantar. Que fração de litro de açaí ele

consome a mais no almoço?”, os alunos percebiam que aquela atividade “fazia

sentido”, a partir de relatos como:

Aluno G: “...agora quando eu for repartir meu lanche eu já sei fazer a

conta.”

Esta afirmação foi registrada no caderno de bordo ao ouvirmos o diálogo

entre os alunos durante a resolução da questão 10 desta atividade: “No lanche da escola

Maria e João ganharam 7/9 de bolachas. Maria comeu sozinha 3/9 das bolachas.

Quanto sobrou para João comer?”.

6.1.2.4. 4ª sessão: adição de frações com denominadores diferentes

A quarta sessão foi realizada no laboratório de informática e contemplou o

conteúdo de adição de frações com denominadores diferentes. Esta sessão foi realizada

no dia 2/6/2014 e utilizou todo o tempo planejado de 100 minutos para que os alunos

resolvessem as 10 questões, percebessem e produzissem o texto com a regra para

resolver a atividade.


Os procedimentos do professor seguiram os das aulas anteriores. Ele iniciou

a aula corrigindo a atividade de fixação sobre as operações de subtração de frações com

denominadores iguais. Nesta aula a maioria dos alunos trouxe a atividade e respondeu

às questões. Alguns alunos ainda apresentaram dificuldades em resolver. O professor

explicou novamente a regra visando esclarecer as dúvidas que os alunos expuseram.

Após resolver a atividade de fixação da aula anterior, o professor explicou e

resolveu a primeira questão da atividade de adições de frações com denominadores

diferentes e solicitou que em seguida os alunos resolvessem as demais questões. Porém

a compreensão desta questão mostrou-se mais difícil. Os alunos tiveram dificuldade

para entender a representação das frações no quadrado. Alguns alunos ainda

continuavam com dúvidas, o professor então resolveu a segunda questão e conseguiu

esclarecer as dúvidas dos alunos. Depois da resolução da segunda questão, os alunos

começaram a resolver as questões seguintes.

A dificuldade de compreensão ficou ainda mais evidente na quantidade de

interações do professor com a turma. Diferentemente das duas sessões anteriores, nesta



sessão os alunos chamavam a cada momento o professor para confirmar os resultados.

Percebemos certa insegurança dos alunos, conforme a narrativa abaixo, de uma aluna

durante a resolução da quarta questão:

Aluna B: “...poxa professor, essa aqui é mais difícil. Na outra era só somar

e repetir, nessa aqui não tô conseguindo entender. Nem da pra comparar os

resultados.”

Percebendo a dificuldade da turma, o professor optou por resolver mais uma

questão. Resolveu a quinta questão destacando a contextualização do enunciado e

demonstrando novamente as etapas para a resolução. Voltou a indagar os alunos para

que ajudassem a resolver a questão, estimulando assim a participação e o envolvimento

para a atividade. Até que um dos alunos, durante a resolução do professor, observou:

Aluno M: “...pega! professor já sei. Tem que multiplicar os debaixo, né?”.

Com a observação do aluno, o professor mostrou à turma que estavam no

caminho correto para descobrir a regra e que se prestassem atenção no histórico, era

possível perceber as semelhanças nos resultados das questões resolvidas.

Todas as duplas concluíram as 10 questões e, mas a maioria percebeu a

regra correta quando o professor estabeleceu com a turma o texto. Para a construção do

texto, o professor leu alguns textos produzidos pelos alunos que conseguiram produzir

suas regras. As imagens 42 e 43 mostram a resolução de uma das duplas para uma

questão da atividade e a resposta para a regra, respectivamente. Percebemos que os

alunos começam a produzir um texto mais formal e explicativo, com o uso das palavras

formais da Matemática como soma, multiplicação, fração, numerador e denominador. A

Figura 44 mostra a conclusão construída pela turma na mediação com o professor, para

resolver a atividade. O professor percebeu que os alunos utilizaram o histórico para

buscar encontrar a regra da atividade, e que embora tenham encontrado mais dificuldade

nesta sessão, discutiram nas duplas as semelhanças percebidas no histórico dos

resultados das questões, conforme mostra a Figura 45.

Figura 50: Resolução da regra por um aluno




Figura 51: Resolução da questão por um aluno


Figura 52: Regra construída pela turma


Figura 53: Histórico das respostas


Após o encerramento da aula, o professor pediu que os alunos anotassem a

regra no caderno de atividades de fixação e resolvessem em casa, para que pudessem

dirimir as dúvidas sobre esta sessão, que seriam corrigidas na aula seguinte.

Para o diário de bordo, dois alunos pediram para escrever no diário de

bordo. Os alunos destacaram que as aulas estão mais interessantes e melhores para

aprender. Outro aluno fez uma abordagem sobre o método e disse que “...testou nossas

habilidades na Matemática”. Ressaltamos que muitos alunos escrevem no diário de

bordo e comentam em sala de aula sobre a mediação do professor, que sempre que

acionado explica e ajuda nas dúvidas. O lúdico também é apontado por muitos alunos

como forma de torna a aula mais interessante, como narra um dos alunos “Todas nossas

aulas de Matemática foram adoráveis, que para aprender brincando as coisas são

fáceis demais”.



6.1.2.5. 5ª sessão: subtração de frações com denominadores diferentes

A quinta sessão foi realizada no laboratório de informática e abordou o

conteúdo de subtração de frações com denominadores diferentes. Esta sessão ocorreu no

dia 6/6/2014 e teve a duração de 70 minutos. Menos que o tempo previsto para esta

sessão que era de 100 minutos.


A quinta sessão iniciou com a correção da atividade de fixação da aula

anterior. Os alunos ainda apresentaram dificuldades em resolver as questões de adição

com denominadores diferentes, o que tomou quase 10 minutos da aula para o professor

corrigir e dirimir as dúvidas dos alunos.

Após concluir a atividade de fixação, o professor iniciou a atividade de

subtração de frações com denominadores diferentes e resolveu a primeira questão.

Percebemos que as dificuldades apresentadas na sessão anterior, não se repetiam nesta

sessão. Os alunos compreenderam mais facilmente a ideia de “retirar” da subtração e

assimilaram o método de representação no quadrado. Um dos alunos exclamou durante

a resolução da primeira questão: “...agora sim professor, entendi como o senhor queria

resolver a questão da outra aula. Ficou mais fácil até pra resolver essa agora.”

Os alunos conseguiram desenvolver de forma mais rápida as questões nesta

sessão. A maioria dos alunos concluiu as dez questões de subtração de denominadores

diferentes e percebeu a regra por volta da sétima questão. Durante a resolução dos

alunos, o professor percebeu que uma das duplas estabeleceu uma sistemática diferente

para resolver as questões. Eles resolviam numericamente e depois pintavam diretamente

o resultado no quadrado. Eles disseram que conseguiam resolver melhor assim a

questão, e que perceberam a regra logo na terceira questão.

Para a construção da regra de forma coletiva com a turma o professor leu

algumas respostas das duplas para a regra. A imagem 57 mostra uma resposta dada por

uma das duplas para uma questão de subtração de frações com denominadores

diferentes. A Figura 58 mostra o histórico das respostas das questões, utilizado pelos

alunos para buscar a semelhança entre os resultados e alcançar a regra.

Ao final da aula, o professor mostrou-se bastante satisfeito com o resultado

produzido pelos alunos e os parabenizou. Cinco alunos preencheram o diário de bordo,

opinando sobre a aula. De modo geral mostraram gostar da aula, e apresentam que



interagem com o professor e os colegas para tirar as dúvidas, como mostram os relatos

abaixo.

Aluno D: “Foi muito legal, eu aprendi mais ainda”.

Aluno J: “Tenho dificuldade porque eu não sei armar a conta”.

Aluno L: “Faltou coordenação, paciência e controle”.

Aluno M: “Tá sendo muito legal e divertido”.

Aluno P: “Ela estava um pouco ruim na hora de escrever no quadrado só que eu

pensei um pouco e consegui resolver”.

Figura 54: Resolução de um aluno


Figura 55: Regra construída pela turma


Figura 56: Histórico das respostas da

atividade


6.1.2.6. 6ª sessão: fixação de adição e subtração de frações

A sexta sessão realizada foi a atividade de fixação, que ocorreu no dia

9/6/2014. A atividade foi realizada com o uso do baralho de cartas de papel e cartas

eletrônicas projetadas com o uso do computador e datashow no quadro magnético da

sala. A atividade foi realizada na sala de aula regular da turma.



O professor informou à turmas que a aula seria para a fixação dos conteúdos

de adição e subtração de frações com denominadores iguais e diferentes, estudados nas

aulas anteriores com o uso do software educacional FRACTRON no laboratório de

informática.


Na atividade de fixação estavam presentes 35 alunos na turma. Foram

formados 7 grupos de cinco alunos. Primeiramente foi distribuído um kit de cartas para

cada grupo. Cada kit continha cartas com as equações e com resultados para as

situações-problemas que seriam projetadas no quadro magnético.

O professor explicou aos alunos os procedimentos do jogo. Ele projetava a

carta com o datashow e o notebook, no quadro magnético da sala, e os alunos nos

grupos, buscavam as cartas de equação e de resultado que respondiam ao enunciado. Os

alunos estavam mais motivados e interessados no desafio proposto pelo jogo. Os grupos

vibravam quando achavam as cartas corretas.

Foram exibidas cinco cartas com situações-problemas. Ao final do jogo o

professor parabenizou os alunos do grupo vencedor e a todos da turma pela participação

na atividade.

Em seguida, o professor pediu que os alunos pegassem o caderno de

atividades de fixação e revisou as questões. Esta revisão foi importante para esclarecer

as dúvidas e os erros que os alunos tinham cometido durante a resolução das questões.

Após a atividade de fixação e da revisão o professor informou que a aula

seguinte seria o teste sobre adição e subtração de frações e que os alunos deveriam

estudar, pois a nota no teste seria atribuída ao bimestre.

Cinco alunos preencheram o diário de bordo, opinando sobre a aula. Os

textos dos alunos retratam o contentamento com a novidade do uso do jogo em sala de

aula. Mostra ainda a competitividade quando enaltecem que o grupo ganhou a atividade.

Aluno 29: “A aula foi bem legal e interessante. Aprendemos muitas coisas.

E foi uma aula bem difícil de acontecer todos gostaram inclusive eu com minha

colega”.

Aluno 52: “Não sabia de nada. Mas foi legal”.

Aluno 50: “Foi legal porque eu e minha equipe aprendemos coisas novas e

ainda ganhamos”.



Aluno 30: “Eu achei a aula muito bacana. O professor explica bem e pra

mim a aula hoje foi muito bacana”.

Aluno 31: “Hoje a aula foi ótima porque eu aprendi mais, e foi ele, eu

gostei”.

As imagens 67 e 68 mostram, respectivamente, exemplos de cartas em papel

e eletrônica.

Figura 57: Carta em papel.

Fonte: Pesquisa de Campo (junho/2014).

Figura 58: Carta Eletrônica.

Fonte: Pesquisa de Campo (junho/2014).

6.1.2.7. 7ª sessão: pós-teste de adição e subtração de frações

O pós-teste teve como objetivo avaliar o nível de conhecimento real dos

alunos após o experimento da pesquisa sobre as operações de adição e subtração de

frações. Ele foi aplicado no dia 13/6/2014, com a presença dos 40 alunos da turma.


Os 40 alunos estavam presentes na aula para realizar o pós-teste de adição e

subtração. Como foi informado pelo professor na aula anterior que o teste seria um

componente avaliativo para o bimestre, os alunos pareciam ansiosos com a avaliação.

O professor entregou um teste a cada aluno e pediu que resolvessem

individualmente. Um dos alunos, logo que recebeu o teste, exclamou: “...é igual aquele

primeiro né professor? Só que agora a gente sabe fazer (sorriu)”.

Os alunos concluíram o teste em aproximadamente 70 minutos. Abaixo,

apresentamos os resultados do pós-teste, e os percentuais de acertos, erros de todas as

dezesseis questões.

Gastei do meu dinheiro que tinha em roupas e em

brinquedos. Que fração representa o que gastei?

+ =



O quadro 17 mostra o resultado dos alunos do 6º ano no pós-teste de adição

e subtração, para as dezesseis questões. Destacamos que os alunos responderam todas às

questões.

Entre os percentuais de acertos, verificamos que os alunos apresentaram um

nível de desenvolvimento elevado, pois considerando a nota para aprovação na escola-

campo que é cinco pontos, todos os alunos estariam aprovados neste teste. Os alunos

alcançaram uma média de 75,5% de acertos para as dezesseis questões no pós-teste.

Quanto aos erros, os maiores índices foram para as questões de adição e

subtração com frações que envolviam denominadores diferentes. A maior incidência

desses erros já era percebida na correção das atividades de fixação. Verificamos que a

dificuldade com a tabuada é o maior empecilho.


RESPONDEU

1 + = 97,5% 2,5% 0,0%

2 + = 97,5% 2,5% 0,0%

3 + = 85,0% 15,0% 0,0%

4 + = 67,5% 32,5% 0,0%

5 + 1 = 65,0% 35,0% 0,0%

6 3 + = 67,5% 32,5% 0,0%

7 - = 82,5% 17,5% 0,0%

8 - = 87,5% 12,5% 0,0%

9 - = 75,0% 25,0% 0,0%

10 - = 70,0% 30,0% 0,0%

11 4 - = 70,0% 30,0% 0,0%

12 - 1 = 77,5% 22,5% 0,0%

13 Julia e Renato foram comer pizza. Julia

comeu e Renato de uma pizza de

calabresa. Que fração da pizza eles

comeram juntos?

75,0% 25,0% 0,0%

14 A fazenda de seu Francisco perde-se de

vista. Ele reservou de sua fazenda para a

agricultura, sendo que foi para o plantio

de milho. Que fração da reserva ficou para

o plantio de feijão?

60,0% 40,0% 0,0%

15 Dona Carmem deu uma caixa de bombons

para seus filhos Carlos e Raimundo. Carlos

comeu dos bombons dessa caixa e

Raimundo comeu dos bombons. Qual é a

57,5% 42,5% 0,0%



fração que representa a quantidade de

bombons que eles comeram juntos?

16 Roberto Carlos e Ronaldinho fizeram dos

gols de uma partida de futebol de salão.

Roberto Carlos fez dos gols da partida.

Que fração representa a quantidade de gols

feita por Ronaldinho?

72,5% 27,5% 0,0%

Quadro 18: Resultados do pré-teste dos alunos do 6º ano

O gráfico 64 apresenta apenas os acertos dos alunos no pós-teste para todas

as questões. Os gráficos 65 e 66 separam os acertos entre as operações de adição e

subtração de frações.

Percebemos que para as questões de adição o menor percentual de acerto foi

de 60%, um índice elevado, estando 1 ponto acima da média de aprovação na escola. Se

considerarmos apenas as questões de adição de frações, os alunos alcançaram uma

média de 76,6% de acertos no pós-teste. Para as questões de subtração de frações os

alunos alcançaram uma média de 74,4% de acertos no pós-teste.

Gráfico 61: Acertos dos alunos do 6º no pós-teste Fonte: Pesquisa de Campo (junho/2014)

Gráfico 62: Acertos em adição de frações dos alunos do 6º ano no pós-teste

Fonte: Pesquisa de Campo (junho/2014)



Gráfico 63: Acertos em subtração de frações dos alunos do 6º ano no pós-teste


6.1.2.8. 8ª sessão: pré-teste de multiplicação e divisão de frações

O pré-teste de multiplicação e divisão de frações teve como objetivo

verificar o conhecimento prévio dos alunos para estas operações. Ele contemplou um

formulário com dezesseis questões de operações de multiplicação e divisão de frações.

O formulário foi aplicado aos 40 alunos da turma 521 no dia 13/6/2014, sexta-feira,

logo após os alunos terem concluído a resolução do pós-teste de adição e subtração de

frações.


A medida que os alunos concluíam o pós-teste de adição e subtração de

frações, era entregue o pré-teste de multiplicação e divisão de frações que resolvessem

individualmente.

Durante o preenchimento dos formulários os alunos apresentaram algumas

dificuldades em compreender os enunciados das questões, que foram respondidas pelo

pesquisador e professor.

Todos os 40 alunos preencheram o formulário com atenção. Informamos

que ao terminar de resolver estavam liberados para sair de sala.

Quanto às respostas para as questões do pré-teste, verificamos que:

Para as questões de multiplicação de frações percebemos que alguns

alunos realizaram a multiplicação cruzada entre os numeradores e denominadores,

semelhante à operação de multiplicação realizada no cálculo da adição de frações com

denominadores iguais.



Para as operações de divisão de frações, os erros mais incidentes foram

em decorrência dos alunos terem divido de forma direta os numeradores e

denominadores. Como no exemplo da questão ÷ =, que alguns alunos alcançaram o

resultado .

Estes resultados para as operações de adição e subtração de frações foram

previstos em nossas análises a priori, pois consideramos as ocorrências produzidas nos

trabalhos analisados no capítulo 4, e nossa experiência em sala de aula.

O quadro abaixo mostra os resultados de acertos, erros e as questões não

respondidas no pré-teste de multiplicação e divisão. Os acertos ocorreram apenas para

uma questão de multiplicação e outra de divisão. Para todas as demais quatorze questões

os alunos erraram ou não responderam.


RESPONDEU

1 4/3 x 2/3 = 7,5% 77,5% 15,0%

2 3/4 x 1/2 = 0,0% 85,0% 15,0%

3 2/3 x 5/4 = 0,0% 85,0% 15,0%

4 1/3 x 2 = 0,0% 85,0% 15,0%

5 4 x 1/3 = 0,0% 85,0% 15,0%

6 3/1 x 3/2 = 0,0% 82,5% 17,5%

7 2/3 ÷ 1/3 = 0,0% 80,0% 20,0%

8 1/3 ÷ 1/2 = 2,5% 77,5% 20,0%

9 1/4 ÷ 2/5 = 0,0% 80,0% 20,0%

10 2 ÷ 1/3 = 0,0% 80,0% 20,0%

11 1/2 ÷ 4 = 0,0% 82,5% 17,5%

12 3 ÷ 2/3 = 0,0% 82,5% 17,5%

13 Você dedica 1/2 do tempo livre para

estudar. Desse tempo de estudo 1/5 você

gasta estudando matemática. Qual é a

fração do tempo livre que você utiliza para

estudar matemática?

0,0% 82,5% 17,5%

14 De uma folha de papel de seda. Rodrigo só

tem a 1/2. Dessa metade, ele usou 1/3 para

fazer um remendo em sua pipa. Que fração

da folha de papel de seda ele usou para

remendar a pipa?

0,0% 80,0% 20,0%

15 Um ônibus sai do Infraero para Zerão a

cada 1/5 de horas. Quantos ônibus saem

para o Zerão em 1/2 hora?

0,0% 85,0% 15,0%



16 Quantas garrafas cheias de limonada Paula

precisa despejar para encher um recipiente

que comporta no máximo 2 litros, sabendo

que na garrafa só cabe 1/6 de litro?

0,0% 72,5% 27,5%

Quadro 19: Resultados do pré-teste de multiplicação e divisão dos alunos do 6º ano

O preenchimento dos formulários encerrou-se na turma, às 10 h 15 m antes

do fim da aula. Foi solicitado aos alunos que aguardassem o próximo professor em sala.

6.1.2.9. 9ª sessão: multiplicação de frações

A nona sessão foi realizada no laboratório de informática e abordou o

conteúdo de multiplicação de frações. Esta sessão ocorreu no dia 16/6/2014 com a

duração de 70 minutos. Tempo este menor que o previsto de 100 minutos para esta

atividade.


A nona sessão iniciou com o professor apresentando a atividade de

multiplicação de frações e em seguida resolveu a primeira questão. Nesta sessão os

alunos já estavam bem familiarizados com a sequência didática. Logo após concluir a

primeira questão um aluno disse: “...tá bom professor! Agora deixa que a gente

resolve!”.

Esta foi a atividade com o tempo de resposta mais rápido para que os alunos

encontrassem a regra para resolver as questões. Na quarta questão, alguns alunos já

visualizaram a regra para solucionar os problemas de multiplicação de fração. Um aluno

exclamou: “...essa é fácil! É só a gente multiplicar os numeradores e depois os

denominadores. Né isso professor?”. Outro aluno arrematou: “...isso mesmo. A gente

multiplica os de cima e depois os debaixo”. O professor parabenizou as duas duplas e

pediu que todos os alunos concluíssem as dez questões, para que construíssem juntos a

regra para a atividade.

Após finalizarem as dez questões, os alunos queriam mostrar para o

professor a regra que tinham encontrado para resolver a atividade. Foi preciso o

professor controlar a ansiedade dos alunos pedindo que esperassem que todos

terminassem. Quando todos concluíram, o professor leu algumas questões dos alunos,

que já continham textos próximos à linguagem formal Matemática, como mostra a



Figura 73. O professor parabenizou a turma, e sugeriu o texto final para a regra. A

Figura 76 mostra o texto da regra construída na interação do professor com a turma após

a leitura dos textos produzidos pelos alunos. Percebemos que o texto final para a regra

já está bem próximo do texto construído pelos alunos. O que mostra a evolução dos

alunos para expressar o conhecimento matemático através da produção de texto.



Figura 60: Regra construída pelo aluno


Figura 61: Histórico dos resultados da

atividade de multiplicação


Figura 62: Regra construída pelo turma.


Ao final da aula sete alunos pediram para preencher o diário de bordo,

conforme transcrevemos os textos abaixo.



Aluno 32: “Foi boa eu aprendi mais, o professor é bem legal, eu gostei

muito, não teve nada errado”.

Aluno 77: “Hoje eu tive dificuldade na minha primeira conta, daí o

professor me ajudou e consegui resolver a multiplicação”.

Aluno 33: “Eu achei a aula de hoje a melhor de todas, e os problemas

foram super fáceis e especial obrigado pela oportunidade”.

Aluno 57: “Mais ou menos. Porque eu tive muita dificuldade de pintar”.

Aluno 60: “Eu gostei da aula de hoje porque eu aprendi sobre

multiplicação de fração”.

Aluno 55: “Eu achei a aula legal porque eu aprendi coisas novas. Eu

gostei da aula de hoje. É divertido aprender coisas novas. Hoje aprendemos o sinal de

x. Eu tô curiosa pra saber o que mais vamos aprender”.

Aluno 61: “Eu achei muito legal. Bacana. Teve umas dificuldades e

também eu aprendi sobre multiplicação”.

Podemos observar que os alunos assimilaram o método e mostram interesse

em participar da atividade. O desafio em descobrir a regra tornou-se motivador e

estimulou a competitividade dos alunos. Percebe-se também uma maior interação entre

o professor e a turma e a colaboração entre os alunos, mesmo competindo, em ajudar os

que não conseguem resolver as questões. Um aspecto importante neste momento da

sequência didática é a capacidade de raciocínio lógico dos alunos bem mais apurado em

relação às primeiras sessões. Fato que evidencia que o uso da sequência didática com os

aspectos motivacionais do software educacional e o método da descoberta das regras

inferiu diretamente na zona de desenvolvimento proximal dos alunos, para os quais os

conhecimentos prévios sustentaram a construção do conhecimento e possibilitaram

novas aprendizagens (VYGOTSKY, 2001; PAIS, 2001).

6.1.2.10. 10ª sessão: divisão de frações

A décima sessão foi realizada no laboratório de informática e abordou o

conteúdo de divisão de frações. Esta sessão ocorreu no dia 20/6/2014 e teve a duração

de 50 minutos, ou seja, um tempo menor que o previsto que era de 100 minutos.


A décima sessão iniciou com a resolução das atividades de fixação de

multiplicação de frações. Como esperado pelo professor, a maioria dos alunos trouxe as



atividades resolvidas de forma correta. No entanto, o professor destacou que alguns

erros foram decorrentes dos cálculos das multiplicações, quando ele narra: “...umas das

maiores dificuldades desses alunos é com a tabuada. Eles até aprendem as regras, mas

na hora de efetuar os cálculos, eles erram muito por não saber a tabuada decorada.”.

Esta afirmativa do professor confere com os resultados verificados no questionário

perfil destes alunos, quando auferimos o domínio deles sobre a tabuada, e a maioria

afirmou não ter domínio. Moreira (2010), também percebeu a falta de domínio da

tabuada com os alunos que participaram da pesquisa que ela realizou com alunos do 6º

ano do ensino fundamental. A autora acredita que é necessário que os professores

atentem para o uso da tabuada como ferramenta de auxílio aos cálculos, sem que haja a

necessidade de decorar os resultados, e sim, que os alunos saibam consultar e encontrar

os resultados, até mesmo através da calculadora.

Após a correção das questões de fixação, o professor iniciou a atividade de

divisão de frações. Ele resolveu a primeira questão e alguns alunos já interagiram

resolvendo as etapas da questão junto com o professor.

Nesta sessão percebemos que alguns alunos se mostravam distraídos e

conversavam durante a aula. O professor questionou o motivo da desatenção e um aluno

respondeu que “...divisão era muito difícil!”. Novamente o resultado do questionário

perfil dos alunos retrata a dificuldade da maioria dos alunos com a operação de divisão.

Essa sessão o professor apresentou dificuldade em contextualizar aos alunos

alguns enunciados das questões. Durante uma das questões um aluno questionou:

“...professor essas questões não são de multiplicação?”. O professor percebeu que

havia uma dificuldade de compreensão dos enunciados e resolveu utilizar o quadro

magnético para mostrar a ideia de “quantas vezes uma fração cabe na outra”, que se

estabelece no método preconizando o significado de parte-todo para as operações com

frações.

Após a explicação no quadro os alunos mostraram maior compreensão na

resolução da primeira questão da atividade e pediram para o professor deixá-los resolver

sozinhos.

Todos os alunos conseguiram concluir as dez questões da atividade. Alguns

alunos demonstraram dificuldade em montar a equação a partir do enunciado,

precisando que o professor fosse explicar diretamente às duplas algumas vezes. Nesta



atividade percebemos que uma das dificuldades estava na forma de estruturar as

questões, pois de modo geral no decorrer das atividades anteriores os alunos

encontravam as equações dispostas no problema na mesma ordem da armação da

equação e nesta atividade de divisão de frações, tinham que pensar qual a fração era

maior para armar a equação.

Este aspecto apontou uma dificuldade para que eles conseguissem

compreender como resolver as atividades de divisão, por essa razão apresentaram

muitos erros nas primeiras questões. No entanto, no fim da atividade, as duplas tiveram

um bom desempenho na conclusão da atividade. Nos últimos minutos caiu a conexão

com a internet e alguns alunos não concluíram a atividade no FRACTRON e tomaram

nota da regra no caderno. Mesmo sem internet, o professor se mostrou seguro do uso do

método, e interagiu com os alunos na construção do texto para a construção da regra

para as operações de divisão de frações com a turma.

A Figura 90 mostra a regra estabelecida pela turma. As imagens 91 e 92

mostram a resolução da atividade por um aluno, e a resposta para a regra da atividade de

divisão de frações. Percebemos que o texto produzido pelo aluno já apresenta

praticamente a formalidade Matemática elaborada pelo professor nas regras anteriores.

O aluno também apresenta a fórmula Matemática para representar a regra expressa no

texto. A Figura 93 mostra o histórico dos resultados das questões de divisão de frações

usado pelos alunos para visualizar as semelhanças entre as questões e construir a regra

para a atividade.

Figura 63: Regra da turma


Figura 64: Resolução do aluno para uma

questão de divisão




Figura 65: Resolução de um aluno para a regra


Figura 66: Resolução do aluno para a regra


Figura 67: Resolução do aluno para uma questão de divisão


Após a aula o professor informou que as atividades no laboratório de

informática haviam encerrado e que na aula seguinte a aula seria de revisão na sala de

aula regular. Os alunos imediatamente questionaram o professor, reclamando que

queriam ter mais aula no laboratório. Um deles exclamou: “...poxa tio, traz mais a gente

pra cá. Foi muito legal ter aula no computador. A gente conseguiu fazer tudinho.”

Cinco alunos preencheram o diário de bordo e opinaram sobre a aula. Os

textos mostram que os alunos ainda estavam motivados em resolver as questões no

software e consideram que este método tornou a aula mais fácil de aprender.

Aluno 58: “Eu achei boa porque eu consegui aprender mais um pouco”.

Aluno 63: “Eu achei ótimo as aulas, e eu não tenho dificuldade nessas

contas. E o professor me ajudou, e é por isso que já estou melhor”. Aluno 39: “Eu não gostei porque a minha amiga não deixou eu resolver”.

Aluno 59: “A aula de hoje foi muito fácil porque eu já sabia quase todas as

perguntas”.



Aluno 40: “A aula foi muito legal. A gente aprendeu mais. Eu gostei. O professor

ensina muito bem”.

Destacamos a intensa interação entre os alunos e o professor na realização

das atividades na sequência didática. Como vimos nos textos, o software educacional

tornou-se transparente, ou seja, a atenção estava na construção da regra e em resolver as

questões. A ferramenta que inicialmente era a propulsora motivacional, transformou-se

em um objeto mediador do conhecimento, capaz de auxiliar o professor a deixar a aula

mais dinâmica, interessante e contextualizada a realidade mediática dos alunos e à

torná-los ativos no processo de construção do conhecimento.

6.1.2.11. 11ª sessão: fixação de multiplicação e divisão de frações

A décima primeira sessão foi a atividade de fixação de multiplicação e

divisão de frações, e ocorreu no dia 25/6/2014. Ela foi realizada com o uso de baralhos

de cartas de papel e cartas eletrônicas projetadas pelo computador e datashow no quadro

magnético da sala. A tarefa foi realizada na sala de aula regular da turma.

O professor informou às turmas que a aula seria para a fixação dos

conteúdos de multiplicação e divisão, estudados nas aulas anteriores com o uso do

software educacional FRACTRON no laboratório de informática.


O professor utilizou a atividade de fixação na turma para revisar as

atividades de multiplicação e divisão trabalhadas no caderno de fixação e no baralho de

cartas.

Nesta sessão a turma mostrou-se bastante competitiva, o que estimulou a

participação dos alunos na atividade do baralho eletrônico. Estavam presentes 30 alunos

na turma, e foram divididos em seis grupos de cinco alunos. Os alunos mostraram

facilidade na resolução das tarefas, com intensa interação nos grupos para encontrar os

resultados das questões.

Após a realização da atividade de fixação o professor novamente retomou o

caderno de fixação e revisou com a turma as questões de multiplicação e divisão de

frações. Corrigiu alguns erros de cálculos nas operações e alguns alunos apresentaram

dificuldades em resolver as questões que envolviam valores inteiros na operação.

Ressaltamos aqui que durante a resolução das atividades no software educacional



FRACTRON, o método de resolução preconiza o significado de parte-todo e optamos

por não utilizar questões com valores inteiros e frações impróprias, pois o foco era

permitir ao aluno visualizar a regra para resolver as atividades de tal forma que se

aplicaria a qualquer questão. Logo, utilizamos as atividades de fixação para que o

professor mostrasse aos alunos que as regras construídas nas atividades também

poderiam ser empregadas em operações com valores inteiros e em frações impróprias.

Ao concluir a revisão com o caderno de fixação, o professor informou à

turma que a aula seguinte seria o teste final, contemplando as atividades de

multiplicação e divisão de frações. Pediu que estudassem, pois a nota do teste seria a

atribuída ao bimestre.

Dois alunos preencheram o diário de bordo. Destacamos o fato dos alunos

ficarem felizes no trabalho em equipe e na disputa entre os grupos, como visto nos

relatos abaixo.

Aluno 44: “Achei legal, aprendi outra coisa mais legal ainda. Aprendi

muito mais. Foi legal”.

Aluno 46: “Nós achamos muito divertida, eu e o resto do grupo ficávamos

na expectativa para achar a resposta. Nós gostamos muito, foi muito legal.”

6.1.2.12. 12ª sessão: pós-teste de multiplicação e divisão

O pós-teste teve como objetivo avaliar o nível de conhecimento real dos

alunos após o experimento da pesquisa sobre as operações de multiplicação e divisão de

frações. Ele foi aplicado no dia 30/6/2014, com a presença dos 34 alunos da turma.


O professor entregou um teste a cada aluno e pediu que resolvessem

individualmente. Um aluno perguntou se seria a última prova do semestre e se iriam

continuar com as “aulas com o computador”. O professor respondeu que seria a última

atividade do projeto e que “ele queria ver um bom resultado da turma na prova”.

Os alunos concluíram o teste em aproximadamente 60 minutos. Abaixo,

apresentamos os resultados do pós-teste, e os percentuais de acertos, erros de todas as

dezesseis questões do pós-teste de multiplicação e divisão. Destacamos que os alunos

responderam todas as questões.



Entre os percentuais de acertos, os alunos alcançaram a média de 82% para

as dezesseis questões do pós-teste. Para as questões com equações de multiplicação e

divisão de frações, a média alcançada foi de 81,6% e para as questões-problemas foi de

83,1%, o que mostra que os alunos tiveram um alto nível de desenvolvimento para a

aprendizagem das operações de multiplicação e divisão de frações.


RESPONDEU

1 4/3 x 2/3 = 94,1% 5,9% 0,0%

2 3/4 x 1/2 = 88,2% 11,8% 0,0%

3 2/3 x 5/4 = 88,2% 11,8% 0,0%

4 1/3 x 2 = 94,1% 5,9% 0,0%

5 4 x 1/3 = 91,2% 8,8% 0,0%

6 3/1 x 3/2 = 94,1% 5,9% 0,0%

7 2/3 ÷ 1/3 = 70,6% 29,4% 0,0%

8 1/3 ÷ 1/2 = 64,7% 35,3% 0,0%

9 1/4 ÷ 2/5 = 73,5% 26,5% 0,0%

10 2 ÷ 1/3 = 61,8% 38,2% 0,0%

11 1/2 ÷ 4 = 79,4% 20,6% 0,0%

12 3 ÷ 2/3 = 79,4% 20,6% 0,0%

13 Você dedica 1/2 do tempo livre para estudar. Desse tempo de estudo 1/5 você gasta estudando matemática. Qual é a fração do tempo livre que

você utiliza para estudar matemática?

94,1% 5,9% 0,0%

14 De uma folha de papel de seda. Rodrigo só tem a 1/2. Dessa metade, ele usou 1/3 para fazer um remendo em sua pipa. Que fração da folha de

papel de seda ele usou para remendar a pipa?

88,2% 11,8% 0,0%

15 Um ônibus sai do Infraero para Zerão a cada 1/5 de horas. Quantos ônibus

saem para o Zerão em 1/2 hora? 70,6% 29,4% 0,0%

16 Quantas garrafas cheias de limonada Paula precisa despejar para encher um recipiente que comporta no máximo 2 litros, sabendo que na garrafa só cabe

1/6 de litro?

79,4% 20,6% 0,0%

Quadro 20: Resultados do pós-teste de multiplicação e divisão dos alunos do 6º ano

O gráfico 67 mostra apenas o percentual de acertos para as dezesseis

questões do pós-teste de multiplicação e divisão de frações.



Gráfico 64: Acertos dos alunos do 6º no pós-teste de multiplicação e divisão Fonte: Pesquisa de Campo (junho/2014)

Os gráficos 68 e 69 mostram os percentuais de acertos agrupando as

questões de multiplicação e divisão de frações. Os alunos alcançaram para as operações

de multiplicação de frações uma média de 91,5% e para as operações com divisão de

frações de 72,4%. Os resultados no pós-teste de multiplicação e divisão de frações

consolidam a aprendizagem significativa dos alunos do 6º ano que a partir do

conhecimento prévio adquirido na resolução das atividades de adição e subtração de

frações alcançaram resultados ainda melhores.

Gráfico 65: Acertos dos alunos do 6º no pré-teste de multiplicação e divisão Fonte: Pesquisa de Campo (junho/2014)



Gráfico 66: Acertos dos alunos do 6º no pós-teste de multiplicação e divisão Fonte: Pesquisa de Campo (junho/2014)

6.2. Análise a Posteriori e Validação dos resultados

Neste tópico, faremos a análise quantitativa e qualitativa dos resultados da

sequência didática aplicada.

Na análise quantitativa realizamos a comparação entre os resultados do pré e

pós-teste dos alunos do 6º ano com os resultados dos alunos egressos. Faremos também

a comparação por atividade e por tipo de questão, para avaliarmos o desempenho dos

alunos quanto aos erros e acertos nas operações com frações.

Na análise qualitativa, categorizamos de acordo com o referencial teórico, as

observações registradas durante o experimento para que pudéssemos inferir sobre o

nível de desenvolvimento real e potencial alcançado pelos alunos, segundo a teoria de

zona de desenvolvimento proximal de Vygotsky. Investigamos o uso das situações

didáticas e adidáticas no experimento, segundo os pressupostos de Brousseau e se a

aprendizagem foi significativa para os alunos com o uso da sequência didática e o uso

do software educacional. Verificaremos ainda os erros e as dificuldades dos alunos,

comparando com os estudos analisados nas análises preliminares e o desempenho do

professor diante do experimento.

6.2.1. Análise Quantitativa

Para que pudéssemos comparar o desempenho dos alunos do 6º ano do

Ensino Fundamental, optamos por comparar os resultados alcançados no pré e pós-teste

para as atividades de adição, subtração, multiplicação e divisão. Analisamos também o

desempenho dos alunos para as questões que envolviam questões diretas e as questões-

problemas para cada atividade. Por fim, comparamos os resultados alcançados pelos



alunos egressos, ou seja, 7º ano que tiveram aulas de operações de frações sem o

método da sequência didática aplicado nesta pesquisa, com os resultados alcançados

pelos alunos do 6º ano.

Atividade de Adição de Frações

Os gráficos 70, 71 e 72 mostram a comparação entre os resultados

alcançados no pré e pós-teste pelos alunos do 6º ano do Ensino Fundamental, para as

questões de adição de frações.

Considerando a variação entre os resultados por questão entre o pré o pós-

teste, os alunos alcançaram uma variação mínima positiva de 58% na situação-problema

(questão 8) e uma variação máxima positiva de 93% na questão de adição com

denominadores iguais (questão 1 e 2). Este resultado comprova a eficácia da sequência

didática para o processo de ensino e aprendizagem da operação de adição de frações.

Gráfico 67: Comparação de acertos no pré e pós-teste de adição, alunos do 6º ano


Agrupamos e analisamos a operação de adição de frações, separando as

questões que envolviam equações diretas, das questões com situações-problemas. O

gráfico 71 retrata as questões com equações diretas. Para estas questões os alunos

tiveram uma variação mínima positiva de 65%, na questão 4. Em quatro das seis

questões, todos os alunos erraram o resultado no pré-teste. No pós-teste todos os alunos

alcançaram resultados superiores a 65%.



Gráfico 68: Comparação de acertos no pré e pós-teste de adição (equações), alunos do 6º ano


O gráfico 72 retrata as duas questões com situações-problemas para a

operação de adição de frações. A variação dos acertos entre o pós e o pré-teste, mostrou

uma evolução de até 70% para a questão 1 e de 58% para a questão 2, na aprendizagem

dos alunos para esta atividade. Resultados que nos permite afirmar que a sequência

didática proporcionou a aprendizagem da operação de adição com frações aos alunos do

6º ano do Ensino Fundamental.

Gráfico 69: Comparação de acertos no pré e pós-teste de adição (situações-problemas), alunos do 6º

ano Fonte: Pesquisa de Campo (junho/2014)

Atividade de Subtração de Frações



questões de subtração de frações.

Das oito questões de subtração de frações aplicados nos testes, em seis delas

todos os alunos erraram no pré-teste. Comparando o desempenho entre os testes, a

variação máxima positiva foi de 83% na questão 6 e a variação mínima de 60% na



questão 7. Na questão 2, que envolvia a operação de subtração de frações com

denominadores iguais, os alunos tiveram o melhor desempenho, com 88% de acertos.

Gráfico 70: Comparação de acertos no pré e pós-teste de subtração, alunos do 6º ano


Ao dividirmos as questões em equações diretas e situações-problemas, que

os alunos tiveram um melhor desempenho nas questões que envolviam equações diretas

para as operações com subtrações de frações. Nestas questões os alunos alcançaram

uma variação mínima positiva de 70% e a máxima de 83% entre o pré e o pós-teste,

conforme mostra o gráfico 74.

Gráfico 71: Comparação de acertos no pré e pós-teste de subtração (equações), alunos do 6º ano


O gráfico 75, retrata os resultados para as situações-problemas. Nestas

questões, embora o resultado tenha sido inferior ao alcançado nas questões com

equações diretas, os alunos tiveram resultados acima da média de aprovação da escola-

campo. Todos eles alcançaram pelos menos 60% de acertos na questão 1 e 73% na

questão 2.



Gráfico 72: Comparação de acertos no pré e pós-teste de subtração (situações-problemas), alunos do 6º


Atividade de Multiplicação de Frações



questões de multiplicação de frações.

Em sete das oito questões todos os alunos erraram os resultados no pré-teste.

Os resultados alcançados nas operações com multiplicação de frações no pós-teste pelos

alunos do 6º ano foram os maiores entre as quatro operações. A variação dos resultados

entre o pré e o pós-teste variando de 71% a 94%. Todos os alunos alcançaram resultados

superiores a 70% nas questões.

Gráfico 73: Comparação de acertos no pré e pós-teste de multiplicação, alunos do 6º ano


Ao analisarmos as atividades de multiplicação de frações apenas para as

questões de equações diretas, os resultados se mostram ainda melhores. Todos os alunos

alcançaram resultados superiores a 85%. Com uma variação mínima positiva de 88% e

máxima de 94%.



Gráfico 74: Comparação de acertos no pré e pós-teste de multiplicação (equações), alunos do 6º ano


O menor resultado para as operações de multiplicação de frações foi

percebido na questão 2 que envolvia uma situação-problema, com 71% de acertos no

pós-teste, e no pré-teste nenhuma aluno havia resolvido corretamente esta questão.

Gráfico 75: Comparação de acertos no pré e pós-teste de multiplicação (situações-problemas), alunos

do 6º ano Fonte: Pesquisa de Campo (junho/2014)

Atividade de Divisão de Frações



questões de divisão de frações.

Nesta atividade os alunos tiveram o menor índice de acertos. Confirmamos

que a dificuldade relatada pelos alunos sobre a operação de divisão, refletiu nos

resultados da pesquisa. No entanto, ao considerarmos que a média de aprovação é de

cinco pontos, podemos afirmar que a sequência didática produziu resultados

satisfatórios quando verificamos que todos os alunos, para as questões de divisão de

frações, alcançaram resultados superiores a 60% em todas as questões.

A variação mínima de acertos entre o pré e o pós-teste foi de 62% na

questão 2 e 4, e máxima de 88% na questão 7, como mostra o gráfico 79.



Gráfico 76: Comparação de acertos no pré e pós-teste de divisão, alunos do 6º ano


O gráfico 80 mostra o resultado das questões diretas de divisão de frações.

Nestas questões os resultados dos alunos variam de 62% a 79%. Para as questões com

situações-problemas, os alunos alcançaram uma variação de 79% a 88%, mostrando um

melhor desempenho nestas questões, como mostra o gráfico 81.

Gráfico 77: Comparação de acertos no pré e pós-teste de divisão (equações), alunos do 6º ano


Gráfico 78: Comparação de acertos no pré e pós-teste de divisão (situações-problemas), alunos do 6º




Ao compararmos o desempenho dos alunos do 6º no pré e pós-teste

podemos perceber que o nível de desenvolvimento entre os testes evolui de forma

expressiva. A sequência didática inferiu na zona de desenvolvimento proximal dos

alunos e possibilitou a construção do conhecimento sobre as quatro operações com

frações.

Posteriormente comparamos os resultados do pré e pós-teste dos alunos do

6º ano, aos resultados do teste aplicado aos alunos do 7º ano, visando avaliar o

desempenho dos alunos que participaram do experimento da pesquisa, e os que não

participaram.

Comparação dos alunos do 6º ano (pré e pós-teste) e 7º ano

O gráfico 82 mostra a comparação para os acertos dos alunos do 6º ano

entre o pré e o pós-teste e o resultado do teste aplicado aos alunos do 7º ano.

Destacamos que os alunos do 7º ano, no teste aplicado, tiveram acertos em apenas, 50%

das questões, ou seja, em oito das dezesseis questões. A questão que os alunos do 7º ano

tiveram o melhor desempenho foi a questão 12, com 24% de acertos.

A variação de acertos, comparando os resultados do pós-teste dos alunos do

6º ano, com os resultados dos alunos do 7º ano, vai de 61% na questão 8, a 94% na

questão 13. Outro fato a ser destacado é que todos os alunos do 7º ano estariam

reprovados, ou seja, com média abaixo dos cinco pontos para o teste aplicado sobre as

operações com frações. Em todas as questões, os alunos do 6º ano tiveram um

rendimento de pelo menos 60% acima dos alunos do 7º ano.

Gráfico 79: Acertos dos alunos do 6º no pós-teste de multiplicação e divisão




Este resultado resgata a possibilidade de que a Matemática possa apresentar

melhores resultados na educação básica brasileira, quando ensinada de forma

significativa, com recursos e procedimentos capazes de tornar a aula mais atrativa, e que

permita ao professor e aos alunos uma interação capaz de promover a construção do

conhecimento de forma colaborativa.

Extrapolamos a análise comparativa entre os alunos do 6º e 7º ano e,

comparamos com os resultados do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica

(IDEB, 2012) nacional de 3,5 (2005), 3,8 (2007), 4,0 (2009) e 4,1 (2011), e os

resultados apenas do Estado do Amapá do IDEB de 3,5 (2005), 3,4 (2007) 3,6 (2009) e

3,5 (2011). Os resultados apresentados em nossa pesquisa, embora retratem apenas um

conceito da disciplina de Matemática para as operações com frações, permite-nos

considerar que a sequência didática realizada promoveu um desempenho acima da

média nacional e estadual quanto à aprendizagem nesta disciplina.

Contudo, além dos aspectos quantitativos que os excelentes resultados dos

testes diagnósticos revelaram, a análise qualitativa do processo de ensino e

aprendizagem durante a aplicação da sequência didática, nos permitiu avaliar as nuanças

ocorridas nas interações entre o professor, alunos e a mediação do software educacional

nas atividades em sala de aula, como veremos a seguir.

6.2.2. Análise Qualitativa

O referencial teórico desta pesquisa está pautado na construção sócio-

histórica da aprendizagem significativa de conceitos matemáticos por intermédio de

situações didáticas que possam potencializar a aprendizagem de alunos do 6º ano do

ensino fundamental. Partimos de conceitos que nos orientam para uma análise do

processo de ensino e aprendizagem em sala de aula.

O emprego da engenharia didática como metodologia de pesquisa, que nos

permitiu experimentar a sequência didática planejada para investigar a aprendizagem do

conceito de frações, nos possibilitou avaliar os momentos vividos em sala de aula pelo

professor e pelos alunos. Com o registro das imagens e as observações transcritas no

diário de bordo, pudemos analisar estes momentos e acomodá-los nas referências

teóricas adotadas.



Categorizamos aspectos de análise para descrever as experiências didáticas

e adidáticas vividas durante a realização da pesquisa, como veremos a seguir.

Quanto a Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP)

Vygotsky (1998) afirma que cada criança possui uma zona de

desenvolvimento proximal que se desenvolverá de forma individual e diferenciada a

partir das interações com o contexto histórico que está inserida.

Esta afirmação do autor sustentou o percurso teórico-metodológico do

experimento realizado nesta pesquisa. A aplicação da sequência didática, mediada pelo

uso do software educacional FRACTRON, as interações com o professor e os colegas

na realização das atividades em dupla, proporcionaram a cada um dos alunos a

descoberto de novos conhecimentos.

A forma com que as atividades foram apresentadas, utilizando questões-

problemas e enunciados que contextualizam o cotidiano dos alunos, permitiu ao

professor atuar como mediador do conhecimento, e a intervir de forma individualizada

com cada aluno. Neste contexto, os alunos passaram a ser estimulados a produzir seu

próprio conhecimento, alcançando um nível de conhecimento real a partir da

potencialização dos seus conhecimentos prévios.

Logo, podemos afirmar que a sequência didática aplicada interveio

diretamente na zona de desenvolvimento proximal dos alunos do 6º ano do Ensino

Fundamental e potencializou o aprendizado das operações com frações.

Quanto a Aprendizagem Significativa

Para Ausubel, Novak, Hanesian (1978) a aprendizagem significativa ocorre

a partir dos conhecimentos e competências prévias do aluno, o uso da linguagem e de

contextos que representem um significado no cotidiano extraescolar. Estas variáveis

apresentadas pelo autor para que se alcance a aprendizagem significativa foram

utilizadas no planejamento das atividades e recursos didáticos aplicados no experimento

da pesquisa.

Ao desenvolvermos o software educacional FRACTRON, planejamos seu

uso para uma sequência de questões que tivessem enunciados produzidos pelo professor

de forma a contextualizar a vida cotidiana dos alunos. O texto e a linguagem aplicada



em sala de aula deveriam ser significativas à capacidade de compreensão dos alunos.

Outro aspecto previsto para o uso do software, foi considerar os conhecimentos prévios

do aluno, a partir da visualização do histórico dos resultados das questões, visando

estimular o desenvolvimento cognitivo do aluno para a descoberta das regras para as

atividades propostas.

Diante dos resultados alcançados pelos alunos, com a descoberta das regras

e a resolução correta das questões envolvendo as quatro operações com frações,

podemos afirmar que de fato a aprendizagem dos alunos foi significativa para o

conceito proposto.

Quanto às situações didáticas e adidáticas

Para Brousseau (2008) as situações didáticas devem estar inseridas em um

contexto significativo para o aluno e proporcione o enfrentamento de dificuldades e

contradições, como forma de estimular a capacidade de formular, provar, construir

modelos, linguagens e troca de informações na interação com o professor e os alunos

em sala de aula.

Como vimos, os resultados nos testes diagnósticos e a análise sobre o

desenvolvimento e a aprendizagem significativa dos alunos sobre as operações com

frações, nos mostram que as situações didáticas vivenciadas na pesquisa possibilitaram

um contexto educacional significativo aos alunos e ao professor.

O método utilizado trouxe ao professor uma nova forma de ensinar. O uso

do computador como instrumento de ensino através do software educacional

FRACTRON, mostrou-lhe inúmeras novas possibilidades didáticas, das quais ainda não

havia experimentado, como retrata o seu depoimento: “Com a utilização dos

computadores, num espaço diferenciado fora da tradicional “sala de aula”, percebi o

melhor aprendizado das crianças, onde eles se sentiam criadores do conhecimento e

não apenas receptor dele”.

A mudança no comportamento dos alunos também foi destacada pelo

professor durante a realização das atividades. Para o professor o trabalho em dupla

proporcionou a troca de experiências e a maior interação entre os alunos. Os alunos

estavam mais dispostos a auxiliar os colegas na resolução das atividades.



O lado lúdico, motivacional e competitivo do jogo de baralho nas atividades

de fixação também foram percebidos como situações adidáticas em sala de aula. Os

alunos reunidos em grupo interagiam para encontrar as cartas que respondiam à situação

problema proposta pelo professor. A competição entre os grupos tornava a atividade

estimulante e desafiadora. Quando um dos grupos errava, outro grupo questionava e

mostrava o erro, apresentando a sua resposta logo em seguida. A competição mostrou

que de fato ocorreu a aprendizagem do conceito de operações com frações, pois os

alunos conseguiam corrigir os erros dos colegas e apresentar sua resposta, como prova

correta para a questão.

Outra questão observada foi quanto ao tempo utilizado para a realização das

atividades. Percebemos que os alunos compreendiam o método para resolução das

atividades e elaboravam as regras em menos tempo, a partir do conhecimento

construído nas atividades anteriores. O quadro 10, que retrata o tempo realizado para

cada atividade, mostra que os alunos alcançaram a regra para a atividade de subtração

de frações com denominadores iguais, 20 minutos mais rápido, que o tempo utilizado

para a atividade de adição de frações com denominadores iguais. Por estas atividades

apresentarem semelhanças, o conhecimento prévio construído permitiu aos alunos a

percepção da regra de forma mais célere.

Para a questão de adição de frações com denominadores diferentes, por

possui procedimentos distintos da atividade anterior de subtração de frações com

denominadores iguais, o tempo utilizado foi superior. No entanto, ao verificarmos o

tempo utilizado para a atividade de subtração com denominadores diferentes, que possui

as mesmas características da adição de diferentes, percebemos que o tempo utilizado é

reduzido em 30 minutos. Esta redução no tempo utilizado em sala de aula para o ensino

das operações com frações, também é percebido para as atividades de multiplicação e

divisão, que utilizaram 50% menos tempo que o empregado na primeira atividade do

experimento.

Esta diminuição no tempo de aprendizagem sustenta a eficácia do método

para o ensino de frações, e proporciona ao professor condições de trabalhar com mais

qualidade a fixação do conteúdo e atender de forma individualizada as necessidades e

dificuldades dos alunos.



Logo, podemos afirmar que o planejamento das situações didáticas

realizadas na pesquisa pode ser considerado como eficaz para o processo de ensino e

aprendizagem das operações com frações.

Quanto ao uso de tecnologia digital no ensino

Nos trabalhos de Druzian (2007) e Tulon (2008), abordados nas análises

preliminares, verificamos que o uso de software educativo e os jogos potencializam o

processo de ensino e aprendizagem de frações na sala de aula. Moreira (2010)

acrescenta que a inclusão de instrumentos computacionais em sala de aula estimula e

torna o aprendizado da Matemática mais atrativo ao aluno. Borba e Chiari (2013)

afirmam que o uso de tecnologias digitais no ensino de Matemática são primordiais para

uma aprendizagem significativa dos alunos, envoltos na modernidade informacional

produzida pelo uso da internet e dos dispositivos tecnológicos que cercam o cotidiano

dos alunos.

Nesta pesquisa o software educacional FRACTRON, utilizado como

instrumento pedagógico na sequência didática, se mostrou amigável e acessível a

contexto educacional dos alunos do 6º ano do Ensino Fundamental. Os objetos

apresentados em tela foram facilmente manipulados pelos alunos e professor.

A disponibilidade de acesso à internet foi o único entrave para o uso do

software durante o experimento. Esta dificuldade foi superada pelo uso do quadro

magnético pelo professor, simulando a tela do computador, quando faltava internet.

Destacamos sobre o software educacional FRACTRON, as seguintes

características:

- permite que o professor escreva os enunciados das questões, visando

contextualizar o cotidiano dos alunos;

- permite a visualização concreta do significado de parte-todo para as

operações com frações;

- possibilita a construção da aprendizagem a partir dos conhecimentos

prévios, com o recurso do histórico dos resultados das questões;

- estimula a percepção da regra para as atividades de operações com frações,

a partir da sequência de questões e por não apresentar o gabarito dos resultados aos

alunos;



- estimula a produção da linguagem textual Matemática para que os alunos

apresentem a regra para resolver as operações com frações.

Estas características destacadas sobre o software educacional FRACTRON,

nos permite inferir que quando utilizado como instrumento pedagógico, em situações

didáticas planejadas pelo professor pode potencializar o ensino das operações com

frações.

Quanto aos erros, dificuldades e tentativas de acertos

Os estudos analisados nas pesquisas preliminares apontaram as dificuldades

e erros de alunos diante da aprendizagem de frações. Para Bezerra (2001) o uso de

sequência de ensino e situações-problemas pode auxiliar o professor a dirimir as

dificuldades de compreensão dos alunos para os conceitos matemáticos.

Os resultados desta pesquisa revelaram a dificuldade dos alunos com a

tabuada. A maioria dos resultados errados para as questões “reflitam os cálculos”,

embora as operações tenham sido estruturadas de forma correta.

Outra dificuldade percebida, que se assemelha aos resultados encontrados

por Justulin e Pirola (2008), foi para as questões que envolviam situações-problemas.

Os alunos tiveram um melhor desempenho para as questões com equações diretas, ou

algoritmos, denominado pelos autores. Para as questões que envolviam situações-

problemas a dificuldade de leitura e interpretação do texto provocou erros de elaboração

das respostas para solucionar estas questões.

Percebemos ainda a dificuldade dos alunos em expressar o conhecimento

produzido na forma textual. Como o método previa a produção do texto para a regra que

resolveria as atividades, os alunos apresentaram grande dificuldade em argumentar de

forma clara e precisa suas ideias.

Para Malaspina (2007) o erro é uma fonte de aprendizagem e quando bem

trabalhado pelo professor com o aluno, permite a aprendizagem e a consolidação do

conceito. Logo, diante dessas diversidades, o experimento mostrou que é possível

estimular a aprendizagem dos alunos a partir dos erros e entraves vividos em sala de

aula, com planejamento adequado das atividades e o uso correto de recursos que possam

estimular a busca pelo aprendizado.



Quanto ao desempenho do professor

Para Silva (2007) e Bessa (2007) a ausência de formação continuada é o

principal entrave para as dificuldades vividas pelos professores em sala de aula.

Limitações quanto ao conhecimento do conteúdo que ensinam, desconhecimento de

metodologias e práticas de ensino para o uso de tecnologias digitais, dependência dos

livros didáticos, são algumas características apresentadas nos estudos investigados nas

análises preliminares que delineiam a forma tradicional de ensino empregada

atualmente em sala de aula (CANOVA, 2006; SANTOS, 2005; TEIXEIRA, 2008;

COSTA, 2011).

Realizamos com o professor que atuou no experimento da pesquisa uma

pesquisa semiestrutura que veio retratar as suas percepções e dificuldades sobre o

ensino de Matemática. Transcrevemos a entrevista abaixo:

1. PESQUISADOR: Qual sua opinião sobre as pesquisas científicas que visam

investigar a prática docente? Você considera importante? Acredita que estas

pesquisas podem colaborar para a melhoria da Educação de forma geral?

PROFESSOR: Analisar como está sendo o processo ensino aprendizagem é

fundamental para que haja o melhoramento do sistema educacional brasileiro. Quando

acontece a observação de como o educador ministra suas aulas e tem a possibilidade

de feedback positivo, o próprio professor passa analisar sua atuação, então desenvolve

estratégias que possam atingir os objetivos.

2. PESQUISADOR: Qual a sua opinião sobre o experimento com o uso do

Software Educacional FRACTRON e a Sequência Didática utilizada na pesquisa?

PROFESSOR: O Fractron foi o novo. Foram mais de dois meses utilizando a

sequência didática do sistema para o aprimoramento dos conteúdos ministrados. Com

a utilização dos computadores, num espaço diferenciado fora da tradicional “sala de

aula”, como professor, percebia facilmente o semblante de felicidade nos rostos dos

alunos, que antes mesmos do horário previstos, já estavam aguardando na porta do

Lied para dá início as atividades.

3. PESQUISADOR: Sobre a sua prática docente, você considera que ter atuado

nesta pesquisa, irá, de alguma forma, promover alguma mudança na sua atuação

como professor?

PROFESSOR: Na medida do possível sempre utilizei algumas mídias no processo de

aprendizado, mostrando principalmente figuras que precisam ter três dimensões ou

aquelas que não são comuns. Com certeza o Fractron me deu novas ideias, ideias essas



que vou compartilhar com todos os professores da minha escola, para que eles também

possam ter acesso a essa tendenciosa ferramenta educacional.

4. PESQUISADOR: Sobre a aprendizagem dos alunos e sua experiência no

ensino de frações, qual a sua percepção sobre o uso do Software Educacional

FRACTRON e a Sequência Didática, como estratégia de ensino?

PROFESSOR: Sabe-se que na grade curricular, nos dispúnhamos de tanto tempo para

dar um único conteúdo. Fiz um levantamento se usa menos da metade do tempo que foi

usado para o Fractron, mas os resultados devem ser animadores.

Senti-me privilegiado em fazer parte desse projeto e com certeza tirei e vou aperfeiçoar

minha prática pedagógica em sala de aula.

5. PESQUISADOR: Qual a sua opinião sobre o uso de tecnologias

computacionais como instrumento pedagógico de ensino na matemática?

PROFESSOR: O uso de mídias é muito importante no ensino aprendizado. Apesar que

ainda persiste em alguns professores em não aderir as tecnologias, mas acredito que

seja mais por medo do “novo” do que ser contra. A partir que esse professor saiba usar

as mídias terá outra visão sobre os programas educacionais. Na matemática é

fabuloso, torna-se mais simples ensinar usando programas educacionais.

Percebemos nas respostas do professor e no seu comportamento durante a

realização do experimento, uma mudança de postura e na sua prática didática. A cada

aula, o professor mostrava mais domínio e desenvoltura para a explicação das questões,

contextualizava os enunciados com mais entusiasmo e interagia com os alunos de forma

mais lúdica e atenta às necessidades apresentadas.

Assim, podemos afirmar que a participação no experimento da pesquisa

permitiu ao professor uma mudança na prática docente, com a possibilidade de

experimentar uma nova metodologia e alcançar resultados ainda não alcançados com os

alunos para o ensino das operações com frações.

Quanto à aprendizagem das operações com frações

Para Vygotsky (1993) a internalização e a formação dos significados são

revelados pelos alunos por meio da linguagem escrita e falada. Para o autor o contexto

institucional escolar deve proporcionar ao aluno o estimulo ao desenvolvimento da

linguagem e do pensamento para que ocorra o desenvolvimento cognitivo e a

compreensão dos sentidos e significados do objeto de aprendizagem.



Visando investigar a aprendizagem das operações com frações a partir da

produção textual dos alunos, analisamos as regras elaboradas pelas duplas durante a

realização das atividades da sequência didática.

Os quadros 20, 22, 24 e 26 mostram as respostas construídas pelos alunos

após resolver as dez situações problemas para as atividades de adição, subtração,

multiplicação e divisão de frações. Os textos foram retirados do software educacional

FRACTRON e foram agrupados nos quadros abaixo, a partir das semelhanças textuais

produzidas pelas duplas para que pudéssemos analisá-los.

Observando as respostas percebemos que na primeira atividade, adição de

frações no quadro 20, os alunos apresentavam dificuldade em expressar sua

compreensão da regra e o texto, na maioria dos casos, não possuíam elementos

matemáticos que indicassem a compreensão das nomenclaturas como numerador,

denominador, por exemplo. As regras produzidas para a atividade de subtração de

frações já contemplam elementos formais como o uso das palavras “numerador” e

“denominador” para a maioria das duplas. No texto produzido pelas duplas 5, 7 e 10

percebemos ainda que os alunos tentam acrescentar a informação que a regra é para

resolver as questões da atividade de subtração de frações.

A semelhança na resolução das atividades de adição e subtração de frações

com denominadores iguais foi percebida na produção dos textos dos alunos, como no

caso das duplas 8 e 9 que apenas trocaram as palavras “somo” e “subtraio” para

construir os textos das regras para estas atividades.

ATIVIDADE: ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES IGUAIS

DUPLA REGRA PRODUZIDA

01, 04, 06 “com os de cima eu somei e com debaixo eu repeti”

02, 03 “Eu somo os de cima e deixo como tá os debaixo”

05 “o numerador soma e o denominador repete”

07, 10 “Fiz as somas somando os numeradores e repetindo os denominadores. Assim a soma

da exata”

08, 09 “eu somo numerador e o denominador eu deixo no lugar”

Quadro 21: Regras construídas para a atividade de adição de frações

ATIVIDADE: SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES IGUAIS


01, 04, 06 “a gente subtrai o numerador e repetiu o denominador”

02, 03 “subtrai o de cima e repete o debaixo”

05 “para resolver as questões a gente subtraiu os numeradores e repetiu o denominador”

07, 10 “para resolve as frações subtraímos os numeradores e conservamos os

denominadores”

08, 09 “eu subtraio o numerador e o denominador eu deixo no lugar”

Quadro 22: Regras construídas para a atividade de subtração de frações com denominadores iguais



As regras produzidas na atividade de adição e subtração de frações com

denominadores iguais alcançaram o objetivo de construir um algoritmo capaz de

resolver as operações destas atividades. Os textos apresentados pelos alunos foram

aproveitados pelo professor para a construção da regra geral estabelecida com a turma

para estas atividades, como vemos nos quadros 22 e 23.

REGRA GERAL DA TURMA PARA AS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM

DENOMINADORES IGUAIS

“Para somar duas frações com denominadores iguais, somamos os numeradores e conservamos o

denominador comum”.

Quadro 23: Regra geral da turma para a atividade de adição de frações com denominadores iguais

REGRA GERAL DA TURMA PARA AS OPERAÇÕES DE SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM

DENOMINADORES IGUAIS

“Para subtrair duas frações com denominadores iguais, subtraímos os numeradores e conservamos o

denominador”

Quadro 24: Regra geral da turma para a atividade de subtração de frações com denominadores iguais

Os textos produzidos pela turma para a regra geral de adição e subtração de

frações com denominadores iguais contempla a produção dos alunos e acrescenta

elementos que permitem demonstrar a formalidade matemática. Com a visualização da

regra geral para estas atividades, os alunos passaram a elaborar textos mais próximos

desta formalidade, como veremos nas respostas produzidas para as regra da atividade de

adição e subtração de frações com denominadores diferentes, nos quadros 24 e 25.

A partir do conhecimento prévio e da formação significativa do pensamento

linguístico na construção dos textos das regras das atividades anteriores, os alunos já

apresentam nas atividades de adição e subtração de frações com denominadores

diferentes elementos formais que empregam às regras procedimentos algoritmos

exequíveis. Os textos das duplas já informam as operações utilizadas, e expressam o

raciocínio e o pensamento produzido para a compreensão da regra.

ATIVIDADE: ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES


01, 04, 06 “eu multiplico o primeiro numerador com o segundo denominador e o segundo denominador o primeiro numerador e para achar o denominador eu multiplico

os denominadores diferentes”

02, 03 “para resolver adição de frações diferentes somamos a multiplicação dos numeradores com os denominadores e multiplicamos os denominadores”

05 “para resolver a adição de frações com denominadores diferentes somamos a multiplicação em “x” dos numeradores e os denominadores e multiplicamos os

denominadores”

07, 10 “para resolver adição de fração com denominadores diferentes somamos a



multiplicação das diagonais e dividimos pela multiplicação dos denominadores”

08, 09 “Para resolver adição com denominadores diferentes, Somamos a Multiplicação dos numeradores e denominadores em x e os denominadores a

gente só multiplica”

Quadro 25: Regras construídas para a atividade de adição de frações com denominadores diferentes

ATIVIDADE: SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES


01, 04, 06 “para subtrair duas frações com denominadores diferentes subtraímos a multiplicação das diagonais dividido pela multiplicação de seus

denominadores”

02, 03 “para resolver subtração de fração com denominadores diferentes multiplicamos os extremos divididos pela multiplicação dos denominadores”

05, 07, 10 “para subtrair duas frações com denominadores diferentes, subtraímos a multiplicação das diagonais e dividimos pela multiplicação dos

denominadores”

08, 09 “para resolver a subtração com denominadores diferentes, subtraímos a multiplicação dos numeradores e denominadores em “x” e dividimos pela

multiplicação dos denominadores”


Na formalização da regra da turma para as operações de adição e subtração

de frações com denominadores diferentes percebemos textos bem próximos aos

produzidos pelos alunos, como verificamos nos quadros 26 e 27. O sentimento de

pertencimento e propriedade da construção intelectual da regra passam a fazer sentido

aos alunos, quando se apropriam da regras e as empregam na resolução das situações

adidáticas propostas nas atividades de fixação.

REGRA GERAL DA TURMA PARA AS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM

DENOMINADORES DIFERENTES

“Para resolver a adição com denominadores diferentes, somamos a multiplicação cruzada entre os

numeradores e denominadores pela multiplicação dos denominadores”

Quadro 27: Regra geral da turma para a atividade de adição de frações com denominadores diferentes

REGRA GERAL DA TURMA PARA AS OPERAÇÕES DE SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM

DENOMINADORES DIFERENTES

“Para resolver a adição com denominadores diferentes, subtraímos a multiplicação cruzada entre os

numeradores e denominadores pela multiplicação dos denominadores”

Quadro 28: Regra geral da turma para a atividade de subtração de frações com denominadores diferentes

Os textos produzidos pelos alunos nas atividades de multiplicação e divisão

de frações são ainda mais estruturados, com elementos que expressam de forma mais

clara o raciocínio desenvolvido para a construção da regra. Os quadros 28 e 29 mostram

as respostas das duplas para estas atividades.



ATIVIDADE: MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES


01, 02, 03,

04, 06 “para resolver multiplicação de fração, basta multiplicar numerador com

numerador dividido pela multiplicação do denominador com denominador"

05, 07, 10 “para resolver as questões de multiplicação eu multiplico os numeradores e depois divido pela multiplicação dos denominadores”

08, 09 “para resolver questões de multiplicação de fração, multiplicamos os numeradores entre si e dividimos pela multiplicação dos denominadores entre si”

Quadro 29: Regras construídas para a atividade de multiplicação de frações

ATIVIDADE: DIVISÃO DE FRAÇÕES


01, 04, 06 “eu peguei o numerador da primeira fração e multipliquei com o denominador da segunda fração e depois multipliquei o denominador da segunda fração

com o numerador da primeira fração”

02, 03, 08 “Para dividir duas frações, conservamos a primeira e multiplicamos pela inversa da segunda”

05, 07, 10 “Para fazer as questões de dividir frações, repetimos a primeira fração e multiplicamos pela segunda fração invertida”


A regra geral para as atividades de multiplicação e divisão estabelecidas

pelo professor em conjunto com a turma apresentam textos bem semelhantes ao

produzido pelas duplas. Como verificamos nos quadros 30 e 31.

REGRA GERAL DA TURMA PARA AS OPERAÇÕES DE MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

“Para resolver a multiplicação de duas frações, multiplicamos os numeradores entre si e dividimos

pela multiplicação dos denominadores entre si”

Quadro 31: Regra geral da turma para a atividade de multiplicação de frações

REGRA GERAL DA TURMA PARA AS OPERAÇÕES DE DIVISÃO DE FRAÇÕES

“Para resolver a divisão de frações, devemos multiplicar a primeira fração pela segunda fração

invertida”

ou

“Para resolver a divisão de frações, multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador

da segunda e o denominador da primeira pelo numerador da segunda fração”

Quadro 32: Regra geral da turma para a atividade de divisão de frações

O método proposto neste experimento se distancia da prática tradicional

empregada em sala de aula para o ensino de matemática, na qual o professor apresenta a

regra, com textos descontextualizados, e impõe ao aluno fórmulas estabelecidas e

acabadas. Nossa sequência didática emprega uma forma dinâmica e diferenciada de

ensinar Matemática. Com o auxílio do software educacional FRACTRON o professor

assume o papel de mediador do conhecimento e proporciona ao aluno condições de agir

de forma ativa na construção e formação dos seus próprios conceitos.



Portanto, diante das análises apresentadas e os resultados alcançados pelos

alunos, podemos afirmar que a tese foi comprovada. Pois como previsto teoricamente

durante o desenvolvimento da sequência didática em questão ocorreu a aprendizagem

significativa das operações com frações devido os resultados de pré-teste e pós-teste

mostrarem uma variação elevada de acertos, a melhora na produção dos enunciados das

regras construídas para a realização das operações e maior interação entre os alunos

durante a resolução das atividades. Na relação de mediação do professor com os alunos,

os resultados empíricos do experimento na resolução dos problemas por meio de

questões que trouxeram enunciados significativos, estimularam o desenvolvimento do

raciocínio lógico, a leitura e interpretação de textos e a capacidade de descoberta e

escrita dos alunos para as regras que resolviam as operações. Nesta ação mediada o

professor pôde atuar de forma individualizada na zona de desenvolvimento proximal

dos alunos, conhecendo suas dificuldades e potencializando suas habilidades, para que

de forma colaborativa construíssem uma aprendizagem significativa.



CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esta pesquisa se propôs a analisar a aprendizagem de alunos do 6º ano do

Ensino Fundamental sobre as operações com frações por meio de uma sequência de

atividades mediadas pelo professor com o uso de um software educacional.

Inicialmente fizemos uma análise sobre os instrumentos e atividades

didáticas realizados pelos professores de Matemática das Escolas Públicas do Estado do

Amapá por meio de pesquisa com aplicação de questionários e analisamos livros e

materiais didáticos utilizados sobre o ensino de frações. Investigamos a perspectiva dos

professores e alunos sobre o processo de ensino e aprendizagem de frações, por meio de

testes diagnósticos e entrevistas.

A partir das informações levantadas nas análises preliminares com os

professores, alunos e material didático sobre o ensino de frações, construímos um

conjunto de atividades para que fossem mediadas pelo professor com o auxílio de uma

tecnologia digital. A tecnologia digital, desenvolvida durante esta pesquisa, foi o

software educacional FRACTRON, que visa auxiliar o professor no ensino das

operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de frações, por meio de

questões que trazem enunciados significativos e estimulem o desenvolvimento do

raciocínio lógico, a leitura e interpretação de textos e a capacidade de construção,

descoberta e escrita da regra que resolva estas operações.

Nossas pesquisas sobre tecnologias digitais orientadas para o ensino de

frações em periódicos, repositórios e sítios que referenciam o ensino de Matemática no

Brasil e exterior, nos remeteram a objetos educacionais que apenas simulam os

resultados de operações com frações na tela do computador, utilizando em geral, figuras

como “pizzas” ou “quadrados” para representar a parte do todo. Logo, percebemos que

as ferramentas disponíveis de fato não possibilitavam ao professor uma inovação

didática, e sim, simulavam o processo de representação das frações com o uso do

computador. Optamos então por desenvolver o software educacional FRACTRON, que

preconiza o significado de parte-todo, como os livros didáticos, e se caracteriza como

um instrumento didático capaz de auxiliar o professor no ensino das operações com

frações.

Diante dos resultados das pesquisas realizadas, levantamos o seguinte

questionamento: Quais as contribuições de uma sequência didática composta por



atividades que propõem a resolução de problemas com números fracionários, mediados

pelo professor e o uso de um software educacional sobre a construção de uma

aprendizagem significativa das operações com frações para alunos do 6º ano do Ensino

Fundamental?

Consideramos que nossa tese foi contemplada, pois o uso da sequência

didática elaborada e aplicada com atividades que propõe a resolução de problemas

significativos mediada pelo professor com o uso de um software educacional

possibilitou uma aprendizagem significativa e potencializou os conhecimentos prévios

do aluno na sua zona de desenvolvimento proximal sobre as operações de adição,

subtração, multiplicação e divisão de frações, estimulou o seu desenvolvimento

cognitivo, raciocínio lógico e sua capacidade de análise, interpretação e produção de

textos para apresentar as regras construídas durante as sessões de ensino.

Para alcançarmos esta comprovação da tese, ao elaborar a sequência

didática, tomamos como referência as necessidades apresentadas por professores e

alunos em nossas pesquisas, e sistematizamos as atividades sobre as operações com

frações para possibilitar ao professor uma nova forma de ensinar, na qual, ele assume o

papel de mediador e compartilha com o aluno a responsabilidade pela construção do

conhecimento. Com o uso do software educacional FRACTRON o professor aplica a

sequência didática orientando o aluno a descobrir novos significados a partir dos seus

conhecimentos prévios. Nesta ação mediada o professor pode atuar de forma

individualizada na zona de desenvolvimento proximal dos alunos, conhecendo suas

dificuldades e potencializando suas habilidades, para que de forma colaborativa

construam uma aprendizagem significativa. No caso desta sequência didática, o aluno

torna-se autor da elaboração das regras matemáticas produzidas em sala de aula.

Utilizamos a Engenharia Didática como percurso metodológico para

analisar a aplicação da sequência didática em sala de aula. Pelo seu caráter

experimental, esta metodologia nos permitiu analisar as situações didáticas e adidáticas

vivenciadas em sala de aula na interação entre o professor e os alunos. Foi possível

ainda que planejássemos de forma prévia as atividades para que posteriormente

pudéssemos validar os resultados alcançados.

Durante as analises preliminares realizamos o teste diagnóstico com os

alunos do 7º ano para averiguar o nível de conhecimento real sobre as operações com



frações, tendo estes alunos estudado com o mesmo professor e na mesma escola que os

alunos do 6º ano que participaram do experimento da nossa pesquisa, porém sem o uso

da sequência didática e do software educacional FRACTRON. Os resultados do teste

diagnóstico com os alunos do 7º ano revelaram que a metodologia utilizada pelo

professor não se mostrou eficaz para o ensino de frações, pois todos os alunos seriam

reprovados no teste aplicado para as quatro operações com frações. Na entrevista com o

professor, verificamos que o planejamento e a quantidade de aulas para o ensino de

frações não foi adequado para um ensino capaz de fixar o conteúdo. A forma tradicional

de exposição do conteúdo por meio de regras e fórmulas pré-estabelecidas, seguida de

uma lista de exercícios, adotada pelo professor, não permitiu aos alunos a construção do

conhecimento sobre frações.

Estes resultados com os alunos do 7º ano foram analisados três meses após o

encerramento do calendário escolar no ano anterior. Embora tenha um espaço temporal

longo entre o ensino do conceito de frações e o teste aplicado, os resultados indicam

problemas na metodologia utilizada e na fixação do conteúdo para os alunos. A forma

oralizada e unilateral do professor, o emprego de instrumentos descontextualizados

como listas de exercícios com enunciados que não corresponde à realidade social, e a

ausência de objetos visuais, concretos e tecnológicos, distancia a relação de construção

de conhecimento entre professores e alunos em sala de aula. Para Borba e Penteado

(2010) o ensino de matemática na escola precisa estar conectado às experiências sociais

dos alunos, envoltos em um ambiente tecnológico com o uso de computadores, redes

sociais, softwares e objetos digitais que potencializam sua habilidade visual e estimulam

a sua interação por meio destes instrumentos.

Sobre o experimento com os 40 alunos do 6º ano, realizamos a análise das

doze sessões de ensino, previstas na sequência didática. Iniciamos com o pré-teste e os

resultados serviram para conhecermos o perfil dos alunos, os conhecimentos prévios

dos conceitos matemáticos, as dificuldades e habilidades para o ensino de frações e o

nível de desenvolvimento real dos alunos para as operações com frações. Estes

resultados também serviram para avaliar o desempenho dos alunos na validação com os

resultados obtidos no pós-teste. Durante as sessões da sequência de atividades os alunos

se mostraram motivados e ansiosos pela experiência de aprender matemática usando o

computador e um software educacional. Nestas sessões, as interações entre os alunos



nas duplas e o professor foram intensas. Os resultados das aulas foram satisfatórios e

mostraram que o professor tornou-se mediador da aprendizagem, enquanto os alunos,

no papel de atores da construção do seu próprio conhecimento conseguiram construir as

regras para as operações com frações. Para Brousseau (2004), quando bem planejadas e

orientadas às necessidades dos alunos as situações didáticas estabelecem uma nova

possibilidade de aprender e ensinar, e torna significativo o conhecimento construído,

pois os alunos passam a ter o sentido de pertencimento diante da sua produção mediada

pelo professor.

As atividades de fixação com o uso do baralho de cartas de papel e

eletrônicas também mostraram excelentes resultados sobre a aprendizagem das

operações com frações. Estas sessões possibilitaram aos alunos discutir as questões em

grupo, analisar e questionar as respostas apresentadas pelos outros grupos na

competição estimulada pelo jogo. A competitividade somou-se a colaboração entre os

alunos nos grupos, que se ajudavam para que todos encontrassem as respostas para as

questões apresentadas. Segundo Vygotsky (2001) esta interação entre os alunos e o

auxílio dos mais experimentes potencializa os conhecimentos prévios e atua diretamente

na zona de desenvolvimento proximal, consolidando novos conhecimentos.

Os resultados dos alunos no pós-teste para as atividades de adição,

subtração, multiplicação e divisão de frações analisados de forma quantitativa e

qualitativa mostraram a viabilidade da sequência didática como proposta de ensino para

estas operações. Constatamos nos resultados que todos os alunos do 6º ano alcançaram

nota para aprovação no pós-teste. Na comparação com o pré-teste e o teste realizado

com os alunos do 7º, a evolução dos alunos do 6º ano foi superior a 70%, em média.

Qualitativamente a sequência se mostrou eficaz não apenas na

aprendizagem das operações com frações, mas podemos observar nos resultados a

melhora no desempenho dos alunos em relação à leitura e interpretação dos enunciados

das questões, à redução do tempo para o desenvolvimento das atividades, e à produção

textual para a construção das regras das operações com frações. Em relação aos aspectos

de interação em sala de aula, a sequência didática também estimulou a colaboração

entre os alunos e a mediação do professor, percebida nas atividades de fixação com o

uso dos jogos e na realização das atividades no FRACTRON.



Os resultados nos revelaram também as dificuldades e os entraves ocorridos

durante a aplicação da sequência didática. Estes obstáculos são tratados por Brousseau

(2004) como obstáculos didáticos e epistemológicos. Os obstáculos epistemológicos

foram relativos ao contato com o novo saber para os alunos do 6º ano diante das

atividades com operações de frações e o novo contexto educacional com o uso de

tecnologias digitais. Por não possuírem o conhecimento prévio sobre os números

fracionários, e por apresentarem dificuldades de interpretação dos enunciados e em

realizar cálculos por falta de domínio da tabuada, os alunos inicialmente apresentaram

dificuldades no desenvolvimento das atividades, mas durante a sequência didática estes

obstáculos epistemológicos foram dirimidos.

Os obstáculos didáticos, expressos por Brousseau (2004) como o reflexo da

ação didática do professor no comportamento dos alunos, foram retratados no registro

das sessões de ensino realizadas no laboratório de informática e na sala de aula regular.

Inicialmente os alunos, embora entusiasmados com a nova forma de aprender

Matemática, estavam tímidos na interação nas duplas e com o professor. A ausência da

apresentação da regra já definida pelo professor também foi questionada pelos alunos,

que estavam acostumados a copiar as definições, regras e formulas apresentadas pelo

professor. Contudo, estes obstáculos também foram superados durante a realização da

sequência didática.

Quanto ao uso do software educacional percebemos que esta ferramenta

tornou-se transparente para os alunos, ou seja, foi percebido com a mesma importância

do quadro magnético e do pincel, visto como um instrumento didático utilizado pelo

professor para o ensino das operações com frações. Este fato foi destacado, pois o

entusiasmo inicial dos alunos em ir ao laboratório de informática e usar o computador,

foi suplantado pela possibilidade de interagir com o software para aprender Matemática,

e descobrir as regras de forma correta.

Logo, concluímos que a tese proposta neste estudo foi plenamente

comprova e nos possibilitou a oportunidade de construir e reconstruir novos saberes

sobre a pesquisa em Educação Matemática. Acreditamos que nossos resultados possam

colaborar com outros pesquisadores sobre o ensino de frações, e as pesquisas que

utilizam tecnologias digitais como objeto de estudo. Aos professores, esperamos ter



construído um percurso metodológico capaz de auxiliá-los na prática docente e no

ensino das operações com frações em sala de aula.

Acreditamos que os resultados encontrados na aplicação da nossa sequência

didática possam estimular novos projetos e pesquisas sobre as operações com frações e

processo de ensino e aprendizagem da Matemática com o uso de tecnologias digitais

como instrumentos capazes de auxiliar os professores a dinamizar e tornar as aulas mais

próximas e significativas à realidade cotidiana dos alunos. É necessário que novas

pesquisas possam apontar instrumentos, sequências didáticas e resultados que mostrem

os caminhos para o uso adequado e orientado das tecnologias digitais em sala de aula. O

aparelhamento tecnológico das escolas precisa acompanhar a formação continuada dos

professores, o redesenho do ambiente de sala de aula e a construção do conhecimento de

forma colaborativa, tendo o aluno como ator principal da sua formação social e

acadêmica.



REFERÊNCIAS

ARTIGUE. Michéle. Engenharia Didáctica. In: BRUN, Jean. Didáctica das Matemáticas. Lisboa,

Portugal: Instituto Piaget, 1996.

AUSUBEL, D.P. Significado y aprendizaje significativo. In: Psicología educativa: un punto de

vista cognoscitivo. Mexico: Editorial Trillas, 1976.

______. A aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo: Moraes. 1982.

______. Aquisição e Retenção de Conhecimentos: Uma Perspectiva Cognitiva. Lisboa,

Paralelo, 1999.

AUSUBEL, D. P., NOVAK, J. D., HANESIAN, H. Educational Psychology: A Cognitive View. New

York: Warbel & Peck. 1978.

______. Psicologia Educacional. Rio de Janeiro: Editora Interamericana, 2 ª edição, 1980.

BERTONI, Nilza Eigenheer. A Construção do Conhecimento sobre Número Fracionário. Bolema,

Rio Claro (SP), Ano 21, nº 31, 2008, p. 209 a 237. 2008.

BESSA, Marcio Leite de. Concepções e práticas de professores sobre o ensino e a

aprendizagem e uma intervenção intencionalmente planejada no ensino de frações, por

meio da resolução de problema em um 5º ano do ensino fundamental. Dissertação

(Mestrado em Educação), Universidade Católica de Brasília, Brasília. 2007.

BEZERRA, Francisco José Brabo. Introdução do conceito de número fracionário e de suas

representações: uma abordagem criativa para a sala de aula. Dissertação (Mestrado em

Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. 2001.

BOCALON, Graciela Zanchet. O erro na aprendizagem de frações no ensino fundamental:

concepções docentes. Dissertação (Mestrado em Educação), Pontifícia Universidade Católica

do Paraná, Curitiba. 2008.

BORBA, Marcelo de Carvalho. CHIARI, Aparecida. Tecnologias digitais e educação matemática.

São Paulo. Ed. Livraria da Física. 2013

BORBA, Marcelo de Carvalho. PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação

Matemática. Ed. Autêntica. Belo Horizonte. 2010.

BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo. Edgard Blücher Ltda. 1974

BROUSSEAU. Guy. Théorie des situations didactiques. Ed. France: La Pensée Sauvage. 2004.

______. Introdução ao estudo das situações didáticas: conteúdos e métodos de ensino. São

Paulo: Ática, 2008.

CAMPOS, Tânia Maria Mendonça. MAGINA, Sandra. A fração na perspectiva do professor e do

aluno das séries iniciais da escolarização brasileira. Curitiba, PR. 2010. Disponível por:

<http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/a

rtigo_magina_e_campos_fracao.pdf>. Acessado em 15 de setembro 2012.



CAMPOS, Tânia Maria Mendonça. RODRIGUES, Wilson Roberto. A ideia de unidade na

construção do conceito do número racional. REVEMAT - Revista Eletrônica de Educação

Matemática. V2.4, p.68-93, UFSC: 2007.

CAMPOS, Tânia Maria Mendonça. SILVA, Angélica da Fontoura Garcia. Conhecimento

profissional docente de professoras das séries iniciais da educação básica acerca da

equivalência de números racionais na representação fracionária em um processo de formação

continuada. REVEMAT - Revista Eletrônica de Educação Matemática. V4.1, p.114-127, UFSC:

2009.

CANOVA, Raquel Factori. Crença, concepção e competência dos professores do 1º e 2º ciclo

do ensino fundamental com relação à fração. Dissertação (Mestrado em Educação

Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. 2006.

CAVALIERI, Leandro. O Ensino de Frações. Monografia (Especialização em Ensino da

Matemática), Universidade Paranaense, Umuarana, Paraná. 2005.

COSTA, Fabio Meneses. Concepções e competências de Professores Especialistas em

Matemática em relação ao Conceito de fração em seus diferentes significados. Dissertação

(Mestrado Profissional em Ensino de Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São

Paulo, São Paulo. 2011.

DRECHMER, Patricia Aparecida de Oliveira. ANDRADE, Susimeire Vivien Rosotti de. O estudo

de frações e seus cinco significados. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. Disponível por:

<http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/1/schedConfs/1/papers/1660/public/1660

-9630-1-PB.pdf>. Acessado em: 22/10/2013.

DRUZIAN, Maria Eliana Barreto. Jogos como recurso didático no ensino aprendizagem de

frações. VIDYA, v. 27 n. 1, p. 67-78, jan./jun., 2007 - Santa Maria. 2009.

Filloux, J. Du contrat pédagogique. Paris: Dunod. 1974.

FRIGOTTO, Gaudêncio. Teoria e educação no labirinto do capital. Petrópolis: Vozes, 2001.

GÓES, Maria Cecília Rafael de. A abordagem microgenética na matriz histórico-cultural: uma

perspectiva para o estudo da constituição da subjetividade. Cad. CEDES, nº. 50, Campinas,

2000.

IDEB. Resultados e Metas. 2012. Disponível por: <http://ideb.inep.gov.br/resultado/resultado/resultadoBrasil.seam?cid=507236>. Acessado em: 10 de nov. 2013.

INEP. Avaliação do comportamento do consumidor. 2004. Disponível por:

<http://www.inep.gov.br> Acessado em 14 de outubro de 2013.

JUSTULIN, Andresa Maria. Um estudo sobre as relações entre atitudes, gênero e desempenho

de alunos do ensino médio em atividades envolvendo frações. Dissertação (Mestrado em

Educação para Ciência), Universidade Estadual Paulista, Bauru/SP. 2009.

JUSTULIN, Andresa Maria. PIROLA, Nelson Antonio. Um estudo sobre as relações entre as

atitudes em relação à Matemática e a resolução de problemas envolvendo frações. Rio Claro,

SP. 2008. Disponível por:



<http://www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008/upload/304-1-A-

gt3_Justulin_ta.pdf>. Acessado em 05 de agosto de 2013.

LAMPREIA, C. As propostas anti-mentalistas no desenvolvimento cognitivo: uma discussão de

seus limites. Tese (Doutorado em Psicologia Clínica) − Pontifícia Universidade Católica do Rio

de Janeiro, Departamento de Psicologia, Rio de Janeiro. 1992.

LEVY, Pierre. A inteligência coletiva: por uma antropologia do ciberespaço. (2ª edição). São

Paulo: Edições Loyola, 1999.

LIMA, Rafael Pontes. O uso de software educacional como mediador instrumental na

aprendizagem de crianças com Síndrome de Down. Dissertação (Mestrado em

Desenvolvimento Regional), Universidade Federal do Amapá, Macapá/AP. 2009

MAGINA, Sandra. BEZERRA, Francisco Brabo. SPINILLO, Alina. Como desenvolver a

compreensão da criança sobre fração? Uma experiência de ensino. RBEP, Brasília, v. 90, n. 225,

p. 411-432, maio/ago. 2009.

MALASPINA, Maria da Conceição de Oliveira. O início do ensino de fração: uma intervenção

com alunos de 2ª série do ensino fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação


MOREIRA, M. A. Aprendizagem significativa. Brasília: Editora Universidade de Brasília. 1999.

MOREIRA, Ivanete Maria Barroso. O ensino das operações com frações envolvendo

calculadora. Dissertação (Mestrado em Educação) – Programa de Pós Graduação em

Educação, Universidade do Estado do Pará, Belém. 2010.

MOUTINHO, Leonel Valpereiro. Fração em seus diferentes significados um estudo com alunos

das 4ª e 8ª séries do ensino fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática),

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. 2005.

NOVAK, J. D. Uma teoria de educação. São Paulo. Editora Pioneira. 1981

OLIVEIRA, Marta Kohl de. Vygotsky: aprendizado e desenvolvimento em processo sócio-

histórico. São Paulo: Scipione, 1997.

PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. 2. ed. Belo

Horizonte: Autêntica, 2001.

PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. 3ª Ed. Belo

Horizonte. Editora Autêntica. 2008

PATRONO, R. M. A Aprendizagem de Números Racionais na Forma Fracionária no 6º ano do

Ensino Fundamental: Análise de uma Proposta de Ensino. Dissertação (Mestrado Profissional

em Educação Matemática). Universidade Federal de Ouro Preto. Ouro Preto/MG. 2011.

ROSA, Rosane Ratzlaff da. VIALI, Lori. Utilizando Recursos Computacionais (Planilha) na

Compreensão dos Números Racionais. Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 31, 2008, p. 183 a

207. 2008.



SÁ, Pedro Franco de. Ensinando Matemática Através da Redescoberta. Traços: v. 3. Belém:

UNAMA, 1999.

SANT’ANNA, Diogo C. BITTENCOURT, Jane. OLSSON, Sandra. Transposição e Mediação Didática

no Ensino de Frações. Bolema, Rio Claro (SP), vol. 20, núm. 27, pp. 1-18. 2007.

SANTOS, Aparecido dos. O conceito de fração em seus diferentes significados: um estudo

diagnóstico junto a professores que atuam no ensino fundamental. Dissertação (Mestrado

em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. 2005.

SIEGLER, R.S.; CROWLEY, K. The microgenetic method: a direct means for studying cognitive

development. American Psychologist. 1991.

SILVA, Maria José Ferreira da. Investigando saberes de professores do ensino fundamental

com enfoque em números francionários para quinta série. Tese (Doutorado em Educação


SILVA, Angélica de Fontoura Garcia. O desafio do desenvolvimento profissional docente:

analise da formação continuada de um grupo de professores das séries iniciais do ensino

fundamental, tendo como o objeto de discussão o processo de ensino e aprendizagem das

frações. Tese (Doutorado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São

Paulo, São Paulo. 2007.

SILVA, Nazaré do Socorro Moraes da. PIRES, Elise Cristina Pinheiro da Silva. SÁ, Pedro Franco

de. Calculadora no ensino de adição e subtração de frações. XIII Conferência Interamericana

de Educação Matemática. Recife. 2011. Disponível por:

<http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/1/schedConfs/1/papers/2194/submission/

review/2194-6837-1-RV.pdf> Acessado em 15 de abril de 2012.

TEIXEIRA, Alexis Martins. O professor, o ensino de fração e o livro didático: um estudo

investigativo. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática), Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. 2008.

TULON, Andreia da Silva. Ensino de facões e equivalência de estímulos: um estudo com uso

de um software educativo. Dissertação (Mestrado em Educação), Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo, São Paulo. 2008.

VYGOTSKY, Lev Seminovich. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 1993.

______. O desenvolvimento psicológico da criança. São Paulo: Martins Fontes, 1998.

______. A construção do pensamento e da linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 2001.

ZIMMER, Marjúnia Édita Klein. O ensino da trigonometria subsidiado pela teoria da

aprendizagem significativa e pela teoria dos campos conceituais. X Encontro Nacional de

Educação Matemática. Salvador/BA. 2010.



APÊNDICES

APENDICE A – Questionário dos Professores

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO AMAZÔNAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

REDE AMAZÔNICA DE EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA REAMEC

Caro(a) Professor (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que

pretende contribuir para superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de Matemática,

encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua

colaboração respondendo este questionário, é de grande importância para o bom êxito do estudo em

questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial e sua identidade será preservada.

Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho.

QUESTÕES Data ___/___/____

Escola: _____________________________________________________________________

1. Sexo:

( ) Masculino ( ) Feminino

2. Faixa Etária:

( ) 15-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35 anos ( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos

( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) 66-70 anos.

3. Escolaridade (informe todas)

( ) Ensino Superior completo. Curso: ________________________Ano da Conclusão: ________

( ) Especialização. Curso: ______________________________ Ano da Conclusão:________

( ) Mestrado. Curso: ____________________________________ Ano da Conclusão: ________

( ) Doutorado. Curso: ___________________________________ Ano da Conclusão: ________

4. Tempo de serviço como professor?

( ) Menos de um ano ( ) 1-5 anos ( ) 6-10 anos ( ) 11-15 anos ( ) 16-20 anos

( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31-35 anos ( ) Mais de 35 anos

5. Ano (s) em que está lecionando atualmente?

No ensino fundamental: ( ) 1º ano ( ) 2º ano ( ) 3º ano ( ) 4º ano ( ) 5º ano ( ) 6º ano ( ) 7º ano

( ) 8º ano ( ) 9º ano

No ensino Médio: ( ) 1º ano ( ) 2º ano ( ) 3º ano

6. Quais os anos que você já lecionou Matemática?

No ensino fundamental: ( ) 1º ano ( ) 2º ano ( ) 3º ano ( ) 4º ano ( ) 5º ano ( ) 6º ano ( ) 7º ano

( ) 8º ano ( ) 9º ano

No ensino Médio: ( ) 1º ano ( ) 2º ano ( ) 3º ano

No ensino Superior: ( ) Sim. Qual Curso?____________________________________ ( ) Não

7. Tipo de escola que trabalha:

( ) Pública Estadual ( ) Pública Municipal

( ) Privada ( ) Outra Modalidade. Qual? _______________________

8. Você já ministrou Matemática no 6° ano? ( ) Sim ( ) Não

9. Quando você ensina o assunto Fração, a maioria das aulas são:

( ) Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios

( ) Começando com uma situação problema para depois introduzir o assunto

( ) Criando um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

( ) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos

10. Para fixar o conteúdo de Fração no 6º ano você costuma:

( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos

( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto

( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático

( ) Não propõe questões de fixação



( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver

11. A escola que você trabalha possui laboratório de informática? ( ) Sim ( ) Não

12. Você possui computador? ( ) Sim ( ) Não

13. Você já participou de algum curso sobre o uso de programas de computador para a disciplina

de Matemática?

( ) Sim Qual?____________________ _______________ ( ) Não

14. Você já utilizou ou conhece algum programa de computador sobre o assunto frações?

( ) Sim. Utilizei. Qual?____________________

( ) Sim. Conheço. Qual?____________________

( ) Não

15. O planejamento das suas aulas de Matemática inclui o uso do laboratório de informática? ( )

Sim ( ) Não

- Se você respondeu sim para a questão 15, responda a questão 16.

16. Que tipo de atividades você planeja para o laboratório de informática, para as aulas de

Matemática:

( ) Uso livre do computador e internet como atividade lúdica

( ) Pesquisa livre em site de busca

( ) Pesquisa direcionada em site de busca

( ) Uso de programas de computador para o ensino de Matemática

( ) Uso de jogos livres

17. A forma como você leciona frações é diferente da forma como você aprendeu?

( ) Sim. Quais aspectos?_________________________________________________

( ) Não. Por que? ______________________________________________________

18. Preencha tabela abaixo com base na sua experiência de professor(a) do 6º ano do ensino

fundamental

Assunto Grau de dificuldade para os alunos aprenderem

Muito

fácil


difícil

Conceito de fração

Tipos de fração

Simplificação de fração

Comparação de frações

Adição de frações de mesmo denominador

Subtração de frações de mesmo denominador

Adição de frações de denominadores diferentes

Subtração de frações de denominadores diferentes

Multiplicação de frações


Potência de fração

Resolução de problemas em que se conhece o todo e se

deseja conhecer uma parte

Resolução de problemas em que se conhece uma parte

se deseja conhecer o todo

Resolução de problemas em que se conhece uma parte

se deseja conhecer outra parte

19. Quantas aulas você costuma utilizar para o ensino das operações com frações? _______



APÊNDICE B – Questionário Alunos do 7º ano do Ensino Fundamental




Caro (a) Aluno (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que contribuirá para a superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem da Matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades de sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para o bom êxito do mesmo. As informações obtidas terão caráter confidencial, ou seja, sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho. QUESTÕES Data ___/___/____

Escola: ____________________________________________________N° Chamada: ______

1. Idade:_______

2. Você estudou o 6º ano em que tipo de escola:

( ) Estadual ( ) Municipal ( ) Particular ( ) Outra. Qual?_______________________________________ 3. Você era dependente ou repetente no 6º ano? ( ) Não ( ) Sim

4. Qual a escolaridade (até que série estudou) do seu responsável:

Masculino:___________________________________________

Feminino:___________________________________________

5. Qual a profissão de seu responsável:

Masculino:___________________________________________

Feminino:___________________________________________

6. Você tem dificuldade em aprender Matemática? ( ) Não ( ) Um pouco

( ) Muito

7. Você costuma estudar Matemática: ( ) Só na véspera da prova ( ) Todo dia

( ) Semanalmente 8. Quem o auxilia nas tarefas de Matemática em casa? (trabalhos, exercícios, dúvidas)

( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Ninguém

( ) Amigo ( ) Professor particular ( ) Outro. Qual?___________________

9. Suas notas de Matemática geralmente são: ( ) acima da média ( ) na média

( ) abaixo da média

10. Você se distrai nas aulas de Matemática?

( ) não, eu sempre presto atenção ( ) sim, eu não consigo prestar atenção ( ) na maioria das vezes eu me distraio nas aulas de Matemática 11. Quais as operações que você tem mais dificuldade em efetuar?

( ) Adição ( ) Subtração ( ) Multiplicação ( ) Divisão

12. Você tem domínio da tabuada? ( ) Sim ( ) Não 13. Você já estudou frações? ( ) Sim ( ) Não 14. A maioria das aulas de Matemática do 6° ano foi:





15. Para fixar o conteúdo de fração no 6º ano o Professor costumava:








16. Sua escola possui laboratório de informática? ( ) Sim ( ) Não 17. Algum professor já ministrou aula no laboratório de informática?

( ) Sim. Em qual disciplina?_______________________________________________ ( ) Não. - Se você respondeu sim para a questão 17, responda a questão 18.

18. Que tipo de atividades foram trabalhadas no laboratório de informática?

( ) Uso livre do computador e internet como atividade lúdica.

( ) Pesquisa livre em site de busca.

( ) Pesquisa direcionada em site de busca.

( ) Uso de software educacional para o ensino de Matemática.

( ) Uso de jogos livres.

19. Você já fez alguma atividade de Matemática com uso do computador?

( ) Sim. Qual?_______________________________________________ ( ) Não.

20. Você possui computador? ( ) Sim ( ) Não 21. Qual o local que você costuma acessar internet?

( ) Em casa ( ) Lan house ( ) Escola ( ) Outro. Qual?________________________ 22. Qual o equipamento que você costuma utilizar para acessar internet?

( ) Celular ( ) Computador ( ) Tablet ( ) Outro. Qual?________________________ 23. Quantas horas por dia você fica conectado a internet?

( ) Até 2 horas ( ) De 2 a 4 horas ( ) De 4 a 8 horas ( ) Mais de 8 horas 24. Entre as atividades abaixo, marque o que você costuma fazer no computador:

( ) Bater papo nas redes sociais ( ) Jogos ( ) Ler notícias ( ) Fazer trabalhos escolares ( ) Pesquisar assuntos escolares nos sites de busca ( ) Outro: ______________________________________



APÊNDICE C – Questionário Alunos do 6º ano do Ensino Fundamental

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ UNIVERSIDADE ESTADUAL DO AMAZÔNAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA REDE AMAZÔNICA DE EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

REAMEC

Caro (a) Aluno (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que contribuirá para a superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem da Matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades de sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para o bom êxito do mesmo. As informações obtidas terão caráter confidencial, ou seja, sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho. QUESTÕES Data ___/___/____

Escola: _____________________________________________________________________

N° Chamada: ______

1. Idade:_______

2. Você estudou o 5º ano em que tipo de escola:

( ) Estadual ( ) Municipal ( ) Particular ( ) Outra. Qual?_______________________________________ 3. Você é dependente ou repetente desta série? ( ) Não ( ) Sim

4. Qual a escolaridade (até que série estudou) do seu responsável:

Masculino:___________________________________________

Feminino:___________________________________________

5. Qual a profissão de seu responsável:

Masculino:___________________________________________

Feminino:___________________________________________

6. Você tem dificuldade em aprender Matemática? ( ) Não ( ) um pouco

( ) muito

7. Você costuma estudar Matemática: ( ) só na véspera da prova ( ) todo dia

( ) semanalmente

8. Quem o auxilia nas tarefas de Matemática em casa? (trabalhos, exercícios, dúvidas)

( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Ninguém

( ) Amigo ( ) Professor particular ( ) Outro. Qual?___________________

9. Suas notas de Matemática geralmente são: ( ) acima da média ( ) na média

( ) abaixo da média

10. Você se distrai nas aulas de Matemática?

( ) não, eu sempre presto atenção ( ) sim, eu não consigo prestar atenção ( ) na maioria das vezes eu me distraio nas aulas de Matemática 11. Quais as operações que você tem mais dificuldade em efetuar?

( ) Adição ( ) Subtração ( ) Multiplicação ( ) Divisão 12. Você tem domínio da tabuada? ( ) Sim ( ) Não

13. Você já estudou frações? ( ) Sim ( ) Não

14. A maioria das aulas de Matemática do 5° ano foi:





15. Para fixar o conteúdo de fração no 5º ano o Professor costumava:








16. Sua escola possui laboratório de informática? ( ) Sim ( ) Não

17. Algum professor já ministrou aula no laboratório de informática?

( ) Sim. Disciplina?_______________________________________________ ( ) Não - Se você respondeu sim para a questão 17, responda a questão 18.

18. Que tipo de atividades foram trabalhadas no laboratório de informática?

( ) Uso livre do computador e internet como atividade lúdica

( ) Pesquisa livre em site de busca

( ) Pesquisa direcionada em site de busca

( ) Uso de software educacional para o ensino de Matemática

( ) Uso de jogos livres

19. Você já fez alguma atividade de Matemática com uso do computador?

( ) Sim. Qual?_______________________________________________ ( ) Não 20. Você possui computador? ( ) Sim ( ) Não

21. Qual o local que você costuma acessar internet?

( ) Em casa ( ) Lan house ( ) Escola ( ) Outro. Qual?________________________ 22. Qual o equipamento que você costuma utilizar para acessar internet?

( ) Celular ( ) Computador ( ) Tablet ( ) Outro. Qual?________________________ 23. Quantas horas por dia você fica conectado a internet?

( ) Até 2 horas ( ) De 2 a 4 horas ( ) De 4 a 8 horas ( ) Mais de 8 horas 24. Entre as atividades abaixo, marque o que você costuma fazer no computador:

( ) Bater papo nas redes sociais ( ) Jogos ( ) Ler notícias ( ) Fazer trabalhos escolares ( ) Pesquisar assuntos escolares nos sites de busca ( ) Outro: ______________________________________



APÊNDICE D – Questionário Pré e Pós-Teste de Adição e Subtração de Frações




REAMEC

Caro (a) Aluno (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que contribuirá para a superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem da Matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades de sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para o bom êxito do mesmo. As informações obtidas terão caráter confidencial, ou seja, sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho. Escola: __________________________________________________________________ N° Chamada: ______

1. Realize as operações:

a)

+

= b)

+

= c)

+

=

d)

+

= e)

+ 1 = f) 3 +

=

g)

-

= h)

-

= i)

-

=

j)

-

= k) 4 -

= l)

- 1 =

2. Resolvas as questões:

a) Julia e Renato foram comer pizza. Julia comeu e Renato de uma pizza de

calabresa. Que fração da pizza eles comeram juntos?

b) A fazenda de seu Francisco perde-se de vista. Ele reservou de sua fazenda para a

agricultura, sendo que foi para o plantio de milho. Que fração da reserva ficou

para o plantio de feijão?

c) Dona Carmem deu uma caixa de bombons para seus filhos Carlos e Raimundo.

Carlos comeu dos bombons dessa caixa e Raimundo comeu dos bombons.

Qual é a fração que representa a quantidade de bombons que eles comeram

juntos?

d) Roberto Carlos e Ronaldinho fizeram dos gols de uma partida de futebol de

salão. Roberto Carlos fez dos gols da partida. Que fração representa a

quantidade de gols feita por Ronaldinho?



APÊNDICE E – Questionário Pré e Pós-Teste de Multiplicação e Divisão de

Frações




REAMEC



a)

x

= b)

x

= c)

x

=

d)

x 2 = e)

x

= d)

x

=

e)

÷

= f)

÷

= g)

÷

=

h)

÷

= i)

÷

= j)

÷

=


a) Você dedica do tempo livre para estudar. Desse tempo de estudo você gasta

estudando matemática. Qual é a fração do tempo livre que você utiliza para estudar

matemática?

b) De uma folha de papel de seda. Rodrigo só tem a . Dessa metade, ele usou para

fazer um remendo em sua pipa. Que fração da folha de papel de seda ele usou para

remendar a pipa?

c) Um ônibus sai do Infraero para Zerão a cada de horas. Quantos de ônibus saem

para o Zerão em hora?

d) Quantas garrafas cheias de limonada Paula precisa despejar para encher um

recipiente que comporta no máximo 2 litros, sabendo que na garrafa só cabe de

litro?

APÊNDICE F – Caderno de Fixação – Adição de frações com denominadores

iguais






REAMEC


LISTA DE EXERCÍCIOS

Para resolver esta lista de exercícios, utilize a regra que definimos em sala para resolver

Frações de Adição com Denominadores Iguais.

Regra:


a)

+

= b)

+

= c)

+

=

d)

+

= e)

+

= f)

+

=

g)

+

= h)

+

= i)

+

=


a) Maria e João adoram comer biscoitos. Maria comeu e João de um pacote de

biscoitos. Que fração do pacote de biscoito eles comeram juntos?

b) Raimundo comprou um pão e deu para seus filhos Paulo e Pedro comerem.

Paulo comeu do pão e Pedro comeu do pão. Qual é a fração que representa a parte

pão que eles comeram juntos?

c) Fernando e Ricardo são atacantes do time de futebol da escola. Em uma partida

Fernando fez e Ricardo dos gols. Qual é a fração que representa a quantidade de

gols que os dois fizeram juntos?



APÊNDICE G – Caderno de Fixação – Subtração de frações com denominadores

iguais




REAMEC




Frações de Subtração com Denominadores Iguais.

Regra:


a)

-

= b)

-

= c)

-

=

d)

-

= e)

-

= f)

-

=

g)

-

= h)

-

= i)

-

=


a) Rodrigo toma de litro de coca-cola no almoço, e litro durante o jantar. Que

fração de litro de coca-cola ele consome a mais no almoço?

b) Para montar um álbum de fotos da família, Maria contribuiu com das fotos

enquanto Joana contribuiu com das fotos. Com que fração Maria contribuiu a mais

que Joana?

c) Fernando é o atacante do time de futebol da escola. Na primeira partida do

campeonato Fernando fez do total gols dele no campeonato. Na segunda partida ele

fez de gols. Qual é a fração que representa a quantidade de gols que Fernando fez a



mais na primeira partida?

APÊNDICE H – Caderno de Fixação – Adição de frações com denominadores

diferentes




REAMEC




Frações de Adição com Denominadores Diferentes.

Regra:


a)

+

= b)

+

= c)

+

=

d)

+

= e)

+

= f)

+

=

g)

+

= h)

+

= i)

+

=


a) Maria e João adoram comer biscoitos. Maria comeu e João de um pacote de

biscoitos. Que fração do pacote de biscoito eles comeram juntos?

b) Raimundo comprou um pão e deu para seus filhos Paulo e Pedro comerem.

Paulo comeu do pão e Pedro comeu do pão. Qual é a fração que representa a parte

do pão que eles comeram juntos?

c) Fernando e Ricardo são atacantes do time de futebol da escola. Em uma partida

Fernando fez e Ricardo dos gols. Qual é a fração que representa a quantidade de

gols que os dois fizeram juntos?



APÊNDICE I – Caderno de Fixação – Subtração de frações com denominadores

diferentes




REAMEC




Frações de Subtração com Denominadores Diferentes.

Regra:


a)

-

= b)

-

= c)

-

=

d)

-

= e)

-

= f)

-

=

g)

-

= h)

-

= i)

-

=


a) Rodrigo toma de litro de coca-cola no almoço, e litro durante o jantar. Que

fração de litro de coca-cola ele consome a mais no almoço?

b) Para montar um álbum de fotos da família, Maria contribuiu com das fotos

enquanto Joana contribuiu com das fotos. Com que fração Maria contribuiu a mais

que Joana?

c) Fernando é o atacante do time de futebol da escola. Na primeira partida do

campeonato Fernando fez do total gols dele no campeonato. Na segunda partida ele

fez de gols. Qual é a fração que representa a quantidade de gols que Fernando fez a

mais na primeira partida?



APÊNDICE J – Caderno de Fixação – Multiplicação de frações




REAMEC




Frações de Multiplicação.

Regra:


a)

x

= b)

x

= c)

x

=

d)

x

= e) 3 x

= f)

x

=

g)

x

= h)

x

= i)

x

=


a) De uma cartolina Paula só tem a parte da folha. Dessa parte, ele usou para

fazer um remendo em sua caixa. Que fração da cartolina ele usou para remendar a

caixa?

b) Num recipiente havia de litro de água, quando retirei dessa quantidade. Qual

a fração do litro de água que representa a quantidade retirada?

c) Em uma partida de futebol Pedro e João fizeram dos gols. Sendo que João fez

desses gols. Que fração representa os gols que João fez?

d) No passeio ao parque Maria levou da sua merenda. No final do dia ela havia

comido da merenda. Que fração da merenda ela comeu no parque?



APÊNDICE L – Caderno de Fixação – Divisão de frações




REAMEC




Frações de Divisão.

Regra:


a)

÷

= b)

÷

= c)

÷

=

d)

÷

= e) 3 ÷

= f)

÷

=

g)

÷

= h)

÷

= i)

÷

=


a) Quantas vezes de metro de terra para construção cabem em metro de terra?

b) Quantos pacotes de kg de feijão são necessário para obtermos pacotes de kg

de feijão?

c) Dona Benta quer embalar de kg de balas em saquinhos com de Kg. Quantos

saquinhos ela conseguira montar?

d) No período de propaganda eleitoral na televisão, cada candidato tem de horas

em um espaço na televisão para fazerem igualmente sua propaganda. Quantos

Deputados fizeram propaganda em de hora de programação?



APÊNDICE M – Entrevista Semiestrutura ao Professor do Experimento




REAMEC

Caro (a) Professor (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações sobre sua percepção após participar no experimento da pesquisa. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para o bom êxito do mesmo. As informações obtidas terão caráter confidencial, ou seja, sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a

sua colaboração com o nosso trabalho.

ENTREVISTA COM O PROFESSOR QUE PARTICIPOU DA PESQUISA

Para as perguntas abaixo, relate a partir da sua opinião e percepção nos momentos ocorridos durante a realização da pesquisa. Use texto livre e fique a vontade para destacar os aspectos que considerar pertinente.

1. Qual sua opinião sobre as pesquisas científicas que visam investigar a

prática docente? Você considera importante? Acredita que estas pesquisas

podem colaborar para a melhoria da Educação de forma geral?

2. Qual a sua opinião sobre o experimento com o uso do Software Educacional

FRACTRON e a Sequência Didática utilizada na pesquisa? Aponte os

aspectos positivos e negativos que você pôde observar durante as aulas.

3. Sobre a sua prática docente, você considera que ter atuado nesta pesquisa,

irá, de alguma forma, promover alguma mudança na sua atuação como

professor?

4. Sobre a aprendizagem dos alunos e sua experiência no ensino de frações,

qual a sua percepção sobre o uso do Software Educacional FRACTRON e a

Sequência Didática, como estratégia de ensino?

5. Qual a sua opinião sobre o uso de tecnologias computacionais como

instrumento pedagógico de ensino na Matemática?



APÊNDICE N – Cartas do Baralho

Cada candidato a vereador, tem de hora

para falar igualmente em uma entrevista na

televisão. Quantos vereadores deram

entrevista em 2 horas de programa?

Um motor cabe 4 litros de óleo. Quantas

latas de de litro são necessárias para

encher esse motor?

Uma jarra de suco está preenchida com de

sua capacidade. Fabiana tomou do suco

que havia na jarra. Que fração da jarra

representa o que ela bebeu?

Num recipiente havia de litro de uma

substância, quando retirei dessa

quantidade. Qual a fração do litro que

representa a quantidade retirada?

Ana Maria está lendo um livro. Em um dia

ela leu do livro e, no dia seguinte leu do

livro. Qual a fração do livro que ela já leu?

Gastei do meu dinheiro que tinha em

roupas e em brinquedos. Que fração

representa o que gastei?

Dona Benta repartiu uma torta e deu para seus

sobrinhos Felipe e Tiago. Felipe ganhou da

torta. Que fração da torta Tiago ganhou?

Paulo e Ana ganharam de uma torta.

Paulo ganhou . Que fração da torta Ana

ganhou?

÷

=

x =

x = ÷ = x = x = x = x = ÷ 2 =

÷ =

x = x = x =

÷ = ÷ = - =

- = + = + = - = + 2 = - = + =

+ = - =

+ = - = + = 2 - = - =



APÊNDICE O – Diário de Bordo




ANOTAÇÕES DIÁRIAS SOBRE AS ATIVIDADES EM SALA DE AULA

TURMA: ___________________ DATA: _____________ ATIVIDADE DO DIA: _________________________________________________________________ O QUE VOCÊ ACHOU DA AULA HOJE?

OBSERVAÇÕES DE PESQUISA:



ANEXO 1

Imagens dos espaços da escola-campo onde foi realizada a pesquisa.

Foto da Entrada da Escola


Sala de aula da escola


Laboratório de Informática


Auditório da Escola


Documents

RAFAEL PONTES LIMA - ufmt.br · LIMA, R.P. O ensino e a aprendizagem significativa das operações com frações: Sequência didática e o uso de tecnologias digitais para alunos