RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: Dom · PDF fileUnidade 7 – Função Exponencial Matemática Básica RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: Função Exponencial

Unidade 7 – Função Exponencial

Matemática Básica

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FunFunçção Exponencialão Exponencial

RRf →:

DefiniDefiniççãoão

RDomDomíínionio

( ) ] [∞+= ,0Im f

ImagemImagem

( ) xaxf = 10 ≠< a

*+R

( ) ( )∞+= ,0Im f

( ) RfD =


( ) xxf 2=

x1234... ..

x

xy 2=221 ==y422 ==y823 ==y1624 ==y

xy 2=

y

1 21−2−3− x

12

4

0

RepresentaRepresentaçção Grão Grááficafica


( )x

xg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21

x1 22−

y

1

4

01−

2



1>aCrescente

10 << aeDecrescent

( ) xxf 2=

1 21−2−3− x

y

1

2

4

( )x

xg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21

0



1x

1,5x2x4x10x0,25x0,5x

EquaEquaçção Exponencialão Exponencial

322 =x

8191

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

171333 112 =−+ +−+ xxx

093109 =+⋅− xx


kxaa kx =⇔=

322 =x

522 =x

5=x ( ) 42 33 =− x

42 33 =− x

8191

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

42 =− x 2−=x


63933 1212 =−+ −+ xxx

( ) 6333

333 22

2 =−+⋅x

xx

6333

333 22

2 =−+⋅ xx

x

yx =23

633

3 =−+ yyy

318939 =−+ yyy

1897 =y 27=y

32 33 =x

23

=∴ x


224 =− xx

( ) 02222 =−− xx

( ) 0222 2=−− xx

yx =2

11 −=y

12 −=x

1=x

022 =−− yy

22 =y

22 =x

InequaInequaççãoão ExponencialExponencial

322 ) >xa

8191 ) ≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

b

64,08,0 ) 2 <+xc

093109 ) ≤+⋅− xxd


kx aa ≥

322 >x

522 >x

5>x ( ) 21 99 ≤− x

299 ≤− x

2≤− x2−≥x

1 , >≥ asekx

10 , <<≤ asekx

8191

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x


1−>x

64,08,0 2 <+x

100648,0 2 <+x

100648,0 2 <+x

1088,0 2 <+x

8,08,0 2 <+x

12 >+x


yx =3

11 =y09102 ≤+− yy92 =y

91 ≤≤ y

093109 ≤+⋅− xx

( ) 093103 2≤+⋅− xx x1 –– –– ––

+ ++ +

9+ ++ +

931 ≤≤ x

20 333 ≤≤ x

20 ≤≤ x


1232

≥+− xxx

10100 2 ≥⇒≥⇒=x11111 0 ≥⇒≥⇒=x

VerificaVerificaçção se 0 ou 1 ão se 0 ou 1 são solusão soluççõesões

FFVV

{ } 1 1 =S


1232

≥+− xxx

0232

xx xx ≥+−

∅=2S

10 << x

0232 ≤+− xx

11 =x 22 =x

x1 –– –– ––+ ++ +

2+ ++ +

21 ≤≤ xComoComo 10 << x

Supondo que Supondo que


1232

≥+− xxx

0232

xx xx ≥+−

Supondo que Supondo que

23 ≥⇒ xS

1>x

0232 ≥+− xx

11 =x 22 =x

x1 –– –– ––+ ++ +

2+ ++ +

2 1 ≥≤ xoux

ComoComo 1>x


1232

≥+− xxxSoluSoluçção da ão da inequainequaççãoão serseráá

{ }2/3 ≥∈⇒ xRxS

321 SSSS ∪∪=

∅⇒2S{ }11 ⇒S

{ }2 1/ ≥=∈= xouxRxS

ExemploExemplo 11

Uma aplicação da função exponencial – 1.º ExemploConsidere uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo. Suponha que colhendo amostras da população em certos intervalos de tempo fique determinado que a população dobra a cada uma hora. Se o número de bactérias no instante t for p(t), onde t é medido em horas, e a população inicial for de p(0) = 1000 bactérias, então:

Após 1h → p(1) = 2.p(0) = 2.1000 = 2000;

Após 2h → p(2) = 2.p(1) = 2.2.1000 = 22.1000 = 4000;

Após 3h → p(3) = 2.p(2) = 2.22.1000 = 23.1000 = 8000;

Após th → p(t) = 2.p(t-1) = .... = 2t.1000 = 2t.1000.

ExemploExemplo 11

Portanto, a função exponencial para este caso é definida por:

p(t) = 2t.1000.

Assim, se quisermos saber de quanto será a população de bactérias após 10 horas, basta substituir 10 na equação:

p(10) = 210.1000 = 1024.1000 = 1.024.000 bactérias.

Por outro lado, se a pergunta for: quanto tempo levará para a população de bactérias chegar 128.000? Basta substituir p(t) por 128.000 e encontrar o valor de t.

128.000 = 2t.1000 → 128.000/1000 = 2t → 27 = 2t, portanto, t = 7 horas.

ExemploExemplo 22

A importância do número “e”Dentre todas as bases possíveis para uma função exponencial, háuma que é mais conveniente.

Essa escolha leva em conta o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função exponencial.

O que desejamos é um coeficiente angular exatamente m = 1, pois facilitaria muito cálculos futuros.

Para obtermos um coeficiente angular m = 1 para a reta tangente à função exponencial, a base mais conveniente é o número “e”.

O gráfico da função y = ex fica entre os gráficos das funções y = 2x

e y = 3x.

ExemploExemplo 22

Gráfico de y = ex

Coeficiente angular: m = 1

ExemploExemplo 22

Quem é “e”?

n

n ne ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∞→

11lim

Empréstimo de R$ 800,00 para pagar depois de 3 meses, àtaxa de 5% am.

tempo (meses)

Montante (R$)

1

y = 800 (1,05)t

y = 800 (1 + 0,05 . t)

2 3

882880

920

840

800

926

ExemploExemplo 33

ExemploExemplo 44

Crescimento da Indústria do turismo nos últimos 50 anos.

tempo (ano)

Turis

tas

inte

rnac

iona

is(e

m m

ilhõe

s)

60 65 70

360

480

240

120

75 80 85 90 95

y = ax

a > 1

ExemploExemplo 55

Crescimento da população brasileira nos últimos 35 anos.

tempo (ano)

Popu

laçã

o br

asile

ira(e

m m

ilhõe

s)

70 80 90

169,1

185

166,1

90

99

y = 90 000 000 (1,018)t

05

y = k.ax

a > 1

ExemploExemplo 66

Depreciação de 15%, a cada ano, de um veículo com valor de R$ 35 000,00.

tempo (ano)

Valo

r do

veíc

ulo

(R$)

1 2 3

29 750

35 000

25 287

21 494

y = 35 000 (0,85)t

y = k.ax

0 < a ≠ 1

PropostaProposta de de AtividadesAtividades PrPrááticasticas

A empresa e o lucro L(t) = 3000 (1,5)t

A população de uma cidade P = P0.ei.n

A planta cresce A = 40 (1,1)t

A máquina desvaloriza D = K (0,8)t

O líquido e seu PH

O terremoto e a escala Richter

A escala temperada da música e Bach

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