Raquel Rodrigues Santos Técnicas de modelagem do ...livros01.livrosgratis.com.br/cp081644.pdf · Santos, Raquel Rodrigues. Técnicas de modelagem do improvement para construção

Raquel Rodrigues Santos

Técnicas de modelagem do improvement para construção de tábuas geracionais

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Ciências Atuariais do Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais da PUC-Rio.

Orientadora: Fernanda Chaves Pereira

Rio de Janeiro, agosto de 2007

http://sphere.rdc.puc-rio.br/

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Raquel Rodrigues Santos

Técnicas de modelagem do improvement para construção de tábuas geracionais

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Ciências Atuariais do Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais da PUC-Rio.

Prof.ª Fernanda Chaves Pereira Orientadora e Presidente

Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuarias - PUC-Rio

Prof. Cristiano A. C. Fernandes Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuarias e Departamento de

Engenharia Elétrica - PUC-Rio

Prof. Renato Martins Assunção Coordenador do Curso de Ciências Atuariais da Universidade Federal de

Minas Gerais – UFMG

Rio de Janeiro, 31 de agosto de 2007

http://sphere.rdc.puc-rio.br/

Resumo

Santos, Raquel Rodrigues. Técnicas de modelagem do improvement para construção de tábuas geracionais. Rio de Janeiro, 2007. 70p. Dissertação de Mestrado – Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Melhorias da mortalidade vêm sendo observadas em praticamente todo o

mundo desde o início do século XX e impactam diretamente o resultado dos

cálculos atuariais. A incorporação das tendências futuras da mortalidade no

cálculo atuarial é possível através do uso de tábuas de mortalidade geracionais,

que fornecem probabilidades de morte baseadas não só na idade x do indivíduo,

como também no tempo t. O estudo aborda técnicas para projeção da mortalidade

e consequente determinação dos fatores de improvement, utilizados para tornar

uma tábua de mortalidade na forma geracional. As metodologias Lee-Carter e

modelos lineares genralizados são utilizadas para construir previsões de

mortalidade com base na experiência de mortalidade da população da Inglaterra e

País de Gales da última metado do século passado.

Palavras-chave

tábuas geracionais; improvement; previsão; projeção da mortalidade; Lee-

Carter; modelos lineares generalizados.

Abstract

Santos, Raquel Rodrigues. Modeling the improvement of mortality rates on life tables’ construction. Rio de Janeiro, 2007. 70p. MsC Thesis - Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais da PUC-Rio, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

By the beginning of the 20th century, improvement of mortality started

rising around the Globe which is directly impacting the results of actuarial

calculus. The trend of mortality can be incorporated to actuarial calculus through

the use of generation mortality tables, that consider not only the age x of the

individual but also the time t. This study shows techniques to project the mortality

and the improvement factors used to turn a mortality table into a generational one.

The methodologies Lee-Carter and generalized linear models were used to

forecast mortality by using the England and Wales mortality experience of the

past half century.

Keywords

generational tables; improvement; forecast; mortality projection; Lee-Carter;

generalized linear models.

Sumário

1 Introdução e motivação 9

2 Tendências da mortalidade 14

2.1. Noções básicas de matemática atuarial 14

2.2. Panorama da mortalidade 17

2.3. Tábuas de mortalidade estáticas versus geracionais 21

3 Métodos de projeção da mortalidade 25

3.1. Método Lee-Carter 28

3.2. Utilização de modelos lineares generalizados 35

4 Dados 40

5 Resultados 43

5.1. Lee-Carter 43

5.2. Modelos Lineares Generalizados 58

6 Conclusão 64

7 Referências Bibliográficas 65

Apêndice I – Estimativas dos parâmetros LC 68

Lista de figuras

Figura 1 – Evolução da expectativa de vida mundial (1700-2050) 10

Figura 2 – Expectativa de vida por países (2005) 18

Figura 3 – Mudanças na curva da função de sobrevivência 19

Figura 4 – Expectativa de vida feminina e masculina aos 60 anos 19

Figura 5 – Projeção da população brasileira (2050) 20

Figura 6 – Probabilidades de morte: tábuas estáticas x tábuas geracionais 23

Figura 7 – Comparação entre tábuas de mortalidade (60-80 anos) 24

Figura 8 – Evolução das taxas cruas de mortalidade femininas 42

Figura 9 – Evolução das taxas cruas de mortalidade masculinas 42

Figura 10 – Coeficientes x estimados por sexo (1950-2003) 44

Figura 11 – Coeficientes t estimados por sexo (1950-2003) 45

Figura 12 – Coeficientes x estimados, por sexo (1950-2003) 45

Figura 13 – Coeficientes t reestimados (1950-2003) 46

Figura 14 – Correlograma da série t feminina 47

Figura 15 – Correlograma da série t masculina 48

Figura 16 – Teste de normalidade dos resíduos – Série femt 51

Figura 17 – Teste de normalidade dos resíduos – Série masct 51

Figura 18 – Previsão out-of-sample da série femt 53

Figura 19 – Previsão out-of-sample da série masct 53

Figura 20 – Previsão da série femt (2004 – 2028) 54

Figura 21 – Previsão da série masct (2004 – 2028) 55

Figura 22 – Probabilidades de morte qx, na escala logaritmica, projetadas via

método LC 56

Lista de tabelas

Tabela 1 – Tábua de mortalidade para a População dos Estados Unidos 1979-1981

22

Tabela 2 – Expectativa de vida aos 55 anos: AT-83M e RP-2000 Geracional 24

Tabela 3 – Estimação dos parâmetros - processo ARIMA(0,1,1), série femt 49

Tabela 4 – Estimação dos parâmetros - processo com tendência linear, série femt

49

Tabela 5 – Estimação dos parâmetros - modelo ajustado para a série masct 50

Tabela 6 – Teste de autocorrelação dos resíduos – Série femt 50

Tabela 7 – Teste de autocorrelação dos resíduos – Série masct 51

Tabela 8 – Medidas de aderência no período out-of-sample 52

Tabela 9 – Coeficientes estimados para os modelos preditivos finais 54

Tabela 10 – Deviance e AIC – polinômios preditivos femininos 58

Tabela 11 – Deviance e AIC – polinômios preditivos masculinos 59

Lista de quadros

Quadro 1 – Estimação dos parâmetros GLM feminino 60

Quadro 2 – Estimação dos parâmetros GLM masculino 61

Quadro 3 - Estimação dos parâmetros GLM feminino com termo de interação 62

Quadro 4 – Estimação dos parâmetros GLM masculino com termo de interação 62

Introdução e Motivação 9

1 Introdução e motivação

No século XX, reduções na mortalidade e conseqüentes aumentos na

expectativa de vida atingiram níveis que não se podia imaginar alcançar há alguns

anos. Dois acontecimentos causaram a redução da mortalidade: o controle de

doenças infecciosas que atingiram principalmente as idades mais jovens na

primeira metade do século XX e a redução da mortalidade nas idades mais

avançadas. Segundo Alves (2006), sem dúvida, a redução das taxas de

mortalidade e o aumento da esperança de vida foram além das perspectivas mais

otimistas. Para um brasileiro nascido durante a Segunda Guerra Mundial, a

expectativa de vida ao nascer era de apenas 39 anos; hoje, esta encontra-se acima

dos 70 anos. De acordo com o estudo “Indicadores Sócio-demográficos

Prospectivos para o Brasil 1991-2030”, projeto do IBGE em parceria com o

Fundo de População da ONU, a expectativa de vida dos brasileiros em 2030 será

de 78,3 anos. O estudo mostra também que, ainda que apontando para uma

diminuição, as diferenças entre as vidas médias de homens e mulheres, a favor do

sexo feminino, permanecerão relativamente elevadas até 2030. A Fig.1 ilustra, a

nível mundial, a evolução da expectativa de vida ao nascer da população. Uma

melhora de cerca de 10% é observada no século XIX, mas é no século XX que o

avanço é significativo. Um aumento de mais de 100% na expectativa de vida em

100 anos nunca tinha acontecido antes na história da humanidade e,

provavelmente, nunca mais aconteça no futuro. As projeções indicam que a

expectativa de vida da população mundial deve continuar aumentando, embora em

ritmo mais lento, devendo chegar a 75 anos no ano 2050. Nos Estados Unidos, a

expectativa de vida à idade 65 vem aumentando 1 mês a cada 18 meses (Watson

Wyatt, 2007). É uma conquista, mas qual o impacto disso na razão de

dependência? O que isso significa para o custo dos planos de previdência e saúde?


27 27 30

46

65

75

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1700 1800 1900 1950 2000 2050

Figura 1 – Evolução da expectativa de vida mundial (1700-2050)

Fonte: FMI, World Economic Outlook setembro 2004, www.imf.org

A diminuição da mortalidade é uma grande conquista para o ser humano

que sempre lutou pela ampliação da sobrevivência. Contudo, as mudanças na

mortalidade afetam claramente a precificação e as obrigações financeiras

calculadas para entidades de previdência e seguradoras. O aumento da expectativa

de vida nas idades mais avançadas é hoje uma das maiores preocupações dos

técnicos com o custo das aposentadorias e reflete a necessidade de reformulação

do cálculo atuarial, para que passe a incorporar tal tendência demográfica. Uma

pesquisa desenvolvida em 2000 (Society of Actuaries, 2003) com 67 companhias

seguradoras de vida situadas nos Estados Unidos e Canadá, revelou que 45% delas

incorporavam a evolução da sobrevivência em seus cálculos. Entretanto, de 2004

até hoje, esse percentual já se elevou e atualmente é comum a inclusão das

tendências de melhoria da mortalidade nos cálculos atuariais em países como

Estados Unidos e Canadá.

No Brasil, a adaptação do cálculo atuarial para inclusão da tendência de

melhoria da mortalidade ainda não vem sendo adotada pela maioria das

seguradoras e entidades de previdência. No caso das seguradoras, em relação ao

produto seguro de vida, tal fato não deixa de ser uma medida de conservadorismo

pois, desta forma, a seguradora já se prepara para fazer juz à indenização pelo

falecimento dos segurados antes do período necessário. Uma vez que o

falecimento do segurado provavelmente ocorrerá após a data prevista quando não

http://www.imf.org/


considerada a melhoria da mortalidade nos cálculos, o prêmio pago pelo segurado

deveria ser menor do que o efetivamente cobrado caso a redução da mortalidade

não fosse considerada na época da formulação do seguro. Na contramão, há as

entidades de previdência que muitas vezes garantem pagamento de anuidades

vitalícias enquanto o participante sobreviver após a data de aposentadoria e, nesse

caso, a subestimação da sobrevivência dos participantes afeta diretamente a saúde

financeira das entidades.

O impacto do risco de longevidade1 será maior quando incidir sobre planos

de benefício definido (BD). As melhorias na mortalidade passam a representar

uma surpresa cruel, pois os planejamentos das entidades de previdência para

pagamento de benefício têm sido feitos com base em expectativas de vida mais

modestas. No Brasil, a histórica taxa de juros alta minimiza os efeitos da

subestimação da sobrevivência, pois o retorno dos investimentos acima do

esperado supera a perda conseqüente da adoção de uma hipótese de mortalidade

superestimada. No entanto, o atual cenário de queda da taxa de juros na economia

agrava o impacto do aumento da sobrevida em um plano de previdência. Em

entrevista (Antolín, 2006), o economista Pablo Antolín afirmou que cálculos

mostram que um aumento não previsto de um ano na expectativa de vida no

decorrer de uma década pode elevar o Valor Atual Líquido das despesas anuais

com benefícios em até 10%. O cálculo atuarial visa ao longo prazo: escolhas mal

feitas hoje podem gerar conseqüências desastrosas amanhã. Ao reconhecer que há

tendências de melhoria da mortalidade, é importante tentar antecipar-se a elas para

minimizar a discrepância dos cálculos atuariais no médio/longo prazo. Mas, como

incluir a tendência de melhoria da mortalidade no cálculo atuarial?

____________________________________________________________ 1 A longevidade é definida como o alcance da vida humana, a duração. O risco de longevidade é caracterizado pelo não reconhecimento do aumento da longevidade nos cálculos atuariais. Para maiores detalhes, ver Willets et.al. (2004).


As inclusões das tendências da mortalidade no cálculo atuarial são feitas

através do uso das tábuas de mortalidade desenvolvidas para tal fim. As tábuas,

quando não incluem alterações das probabilidades de morte ao longo do tempo,

são denominadas tábuas estáticas. Ainda que os sistemas de seguridade brasileiros

procurem utilizar tábuas estáticas construídas com base em períodos mais recentes

de observação, estas não consideram as tendências de mudança da mortalidade no

tempo, criando o risco de subestimação da probabilidade de sobrevivência e

conseqüente determinação de contribuições/reservas inadequadas. Para afrontar

esse risco de subscrição, faz-se necessária a construção de tábuas de mortalidade

que incluam as tendências de melhoria da mortalidade no tempo, que são

denominadas tábuas geracionais, dinâmicas ou bidimensionais. A idéia é que além

da idade x, a época t futura em que se assume a morte ou sobrevivência do

participante também passe a ser considerada nas tábuas de mortalidade então

denominadas geracionais, que são construídas com base em projeções. Uma breve

descrição das tábuas de mortalidade é feita na Seção 2.3.

Há diversas metodologias sendo estudadas que possibilitam a avaliação do

improvement nas tábuas de mortalidade. O termo improvement vem do inglês,

signficando melhoria, e no que se refere à mortalidade o termo é utilizado

internacionalmente para fazer referência à melhoria da mortalidade. Nesse estudo,

objetiva-se disseminar o conceito de tábuas geracionais e utilização de fatores de

improvement na literatura atuarial brasileira, onde tais conceitos são ainda

incipientes. Através da experiência de mortalidade da Inglaterra e País de Gales da

última metade do século XX, verifica-se como as aproximações pelo método Lee-

Carter e por modelos lineares generalizados podem ser utilizadas para a projeção

da mortalidade e conseqüente construção de tábuas geracionais. No método Lee-

Carter, parte-se de um modelo demográfico para modelagem das taxas de

mortalidade e depois são feitas previsões futuras dessas taxas através da análise de

séries temporais. Na utilização dos modelos lineares generalizados, as taxas de

mortalidade são projetadas por modelos de regressão de poisson. Estima-se então

fatores de improvement, que são aplicados às taxas de mortalidade de um período-

base, projetando-as e possibilitando a construção das tábuas geracionais. Os

fatores de improvement indicam o quanto se deve reduzir a probabilidade de


morte prevista na tábua de mortalidade a cada ano para que a nova probabilidade

obtida seja coerente com aquela esperada para o período avaliado.

O presente trabalho está estruturado na seguinte forma: no capítulo 2,

buscou-se relatar um pouco da tendência do comportamento da mortalidade no

Brasil e no mundo; as metodologias de projeção da mortalidade, incluindo Lee-

Carter e modelos lineares generalizados, estão descritas no capítulo 3; o

detalhamento dos dados da Inglaterra e País de Gales utilizados para a aplicação

das metodologias é feito no capítulo 4; no capítulo 5, encontram-se os resultados

da aplicação das metodologias propostas e, por fim, são apresentadas as

conclusões do estudo no capítulo 6 e as referências bibliográficas no capítulo 7.

Tendências da mortalidade 14

2 Tendências da mortalidade

2.1. Noções básicas de matemática atuarial

Nesta seção, define-se alguns conceitos importantes dentro da matemática

atuarial e que serão abordados no presente trabalho. Para as notações, buscou-se

atender as convenções determinadas pelo International Actuarial Association’s

Permanent Committee on Notation.

Função de sobrevivência

A função de sobrevivência é denotada por s(x) e representa a probabilidade

de um recém-nascido sobreviver até a idade x. O símbolo (x) é utilizado para

denotar uma vida à idade x.

Considerando que a idade de morte X de uma pessoa recém-nascida é uma

variável aleatória contínua e sendo Fx(x) a função de distribuição de X:

)xXPr()x(Fx , x ≥ 0.

A função de sobrevivência é definida como:

)xXPr()x(F1)x(s x , x ≥ 0.

Por convenção, Fx(0) = 0, o que implica em s(0) = 1.

Probabilidade de morte

O tempo futuro de vida de (x), X – x, é denotado por T(x). A probabilidade

de tempo futuro de vida T(x) se relaciona da forma:

)n)x(TPr(qxn ,

)n)x(TPr(q1p xnxn , n ≥ 0.

O símbolo nqx representa a probabilidade de (x) morrer dentro de n anos.

Por outro lado, npx é a probabilidade de (x) chegar vivo à idade x+n. Quando n=1,

convencionalmente é omitido o prefixo na simbologia, denotando-se

simplesmente qx e px.


A probabilidade de morte relaciona-se à função de sobrevivência através da

igualdade:

xnxn q1)x(s

)nx(sp

Força de mortalidade

A força de mortalidade, denotada por x, mede a intensidade da morte

instantânea. Ela expressa a probabilidade condicional de (0) morrer entre as

idades x e z, dado que ela já sobreviveu até a idade x e assumindo que o intervalo

(z – x) tende a zero. Algebricamente, tem-se:

)x(s)x('s

)x(F1)x(F)z(F

limx

xx

xzx

A força de mortalidade também é denominada “taxa de falha” em análises

de sobrevivência e confiabilidade. Formas de equivalência das equações expostas

acima podem ser obtidas através das seguintes fórmulas:

dspq sx

t

0xtxt

)dsexp(p sx

t

0txt

Taxas centrais de mortalidade

Para calcular as taxas brutas centrais de mortalidade no período de 1 ano,

precisa-se do número de mortes no ano e da quantidade central de expostos ao

risco de morte no meio do ano (Neves, 2005). A taxa central de mortalidade à

idade x é então definida pela razão:

x

xx L

dm ,

onde mx é a taxa central de mortalidade à idade x, dx é o número de mortes

observadas de pessoas com idade x e Lx é aproximadamente a quantidade de

pessoas expostas ao risco de morte no meio do ano. A função Lx é derivada da

função básica lx das tábuas de mortalidade. Tem-se que: 2ll

L 1xxx

, onde lx é a

quantidade esperada de sobreviventes à idade x e lx+1 é a quantidade esperada de


sobreviventes à idade x+1, dado que se iniciou a coorte hipotética com l0

indivíduos com zero ano.

As taxas de mortalidade mx são caracterizadas como uma forma discreta da

força de mortalidade x. As duas funções se relacionam da forma:

1

0xn

1

0nxxn

x

dnp

dnp

m

Se a força de mortalidade x assume valor constante no tempo, temos:

nxxn1

0xn

1

0xnnx

xn m

dnp

dnp

m

As taxas centrais de mortalidade também possuem relação com as

probabilidades de morte. Partindo-se do pressuposto que mx varia linearmente no

intervalo (x, x+n), concluímos que as mortes possuem uma distribuição uniforme

entre x e x+n. Temos:

xn

nxxxn L

llm

)p1(nq2

n2/)ll(llm

xn

xn

nxx

nxxxn

Isolando nqx na equação, temos:

xn

xnxn mn2

mn2q

Expectativa de vida

A expectativa de vida à idade x, denotada por ex, indica o tempo futuro de

vida esperado de (x), X – x. Através das funções de uma tábua de mortalidade, ex

é obtida pela relação:

x

xo

lTe ,


onde Tx representa a função “anos-pessoas”, indicando o total de anos

vividos pela coorte lx entre as idades x e a última idade prevista na tábua de

mortalidade.

2.2. Panorama da mortalidade

O Brasil tem apresentado expectativa de vida acima da média mundial,

mas tem estado em uma situação um tanto desconfortável quando comparado aos

países latino-americanos e caribenhos. Segundo o estudo do IBGE em parceria

com a ONU, vários países possuíam, em 2005, expectativas de vida superiores às

do Brasil, estimada em 72,05 anos, na época. De acordo com as estimativas

apresentadas pela ONU para o período 2000-2005, o Brasil ocupou a 82ª posição

no ranking de 192 países ou áreas no que diz respeito à expectativa de vida. A

Fig.2 exibe um comparativo entre as expectativas de vida de alguns países latino-

americanos e caribenhos, e também do Japão e dos Estados Unidos. O Japão foi

incluído no gráfico por representar a primeira colocação no ranking mundial de

expectativa de vida em 2005, e a inclusão dos Estados Unidos justifica-se pelo

fato da maioria dos Atuários brasileiros adotarem tábuas de mortalidade baseadas

em experiências de mortalidade norte-americanas. A diferença na expectativa de

vida entre os países mais e menos desenvolvidos vem diminuindo. Essa queda é

naturalmente inevitável dada a tendência de envelhecimento global, pois as

expectativas de vida dos países com população mais idosa crescem menos.


81,9

78,1

77,2

75,374,9

74,3

72,872,2 71,9

77,677,9

66

68

70

72

74

76

78

80

82

84

Japão Costa Rica Chile EstadosUnidos

Cuba Uruguai México Argentina Venezuela Colômbia Brasil

Figura 2 – Expectativa de vida por países (2005)

Fonte: IBGE

Seguindo a tendência mundial, no Brasil vem sendo verificado o aumento

da sobrevida das pessoas com idades mais avançadas, bem como o aumento do

número de pessoas que atingem tais idades, caracterizando dois fenômenos que

vêm ocorrendo concomitantemente, denominados, respectivamente, por

“expansão” e “retangularização” da função de sobrevivência. A Fig. 3 representa

as funções de sobrevivência s(x) afetadas pelos dois fenômenos. A

“retangularização” da curva de sobrevivência refere-se ao fato de estar ocorrendo

uma grande concentração de mortes em torno de uma idade média de morte

(ponto Lexis), a partir da qual a linha começa a se curvar. Até chegar nesse ponto

médio, as probabilidades de sobrevivência também vêm aumentando. Um maior

volume de pessoas atingem as idades mais avançadas. A “expansão” da função de

sobrevivência é caracterizada pela elevação da idade limite que a população

alcança. O envelhecimento populacional vem sendo evidenciado pela atuação

desses dois fatores. Enquanto o indivíduo envelhece à medida em que a sua idade

aumenta, e este é um processo irreversível, a população, como coletivo, envelhece

à medida em que aumenta a idade média das pessoas que a compõem. O

sustentado aumento da idade média que caracteriza o envelhecimento


populacional ocorre ao aumentar o peso relativo dos idosos no total da população

(Wong & Moreira, 2000).

1

ExpansãoRetangularização

1

0 0ω ω ω'Idade

Sx

Figura 3 – Mudanças na curva da função de sobrevivência

A evolução da sobrevida brasileira para a população aos 60 anos no

período 1991-2030 é demonstrada na Fig. 4. Observa-se claramente o aumento da

expectativa de sobrevida da população “idosa” e a diferença entre os valores

apontados para as mulheres e os homens.

15

17

19

21

23

25

27

Homens 17,41 18,02 18,85 19,31 19,77 20,22 20,66 21,07 21,47

Mulheres 19,96 20,76 21,75 22,42 23,09 23,74 24,35 24,93 25,46

1991 1995 2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030

Figura 4 – Expectativa de vida feminina e masculina aos 60 anos

Ilustrando também a questão do aumento do número de pessoas que estão

atingindo idades mais avançadas, temos a previsão mostrada na Fig. 5. Percebe-se


que é previsto um aumento de cerca de 30% da população jovem-adulta (15 a 64

anos) entre os anos 2007 e 2050. Já para a população idosa, esperamos um

crescimento bastante significativo: superior a 300%, passando de 7,7 milhões para

34,3 milhões.

52

125,2

7,7

46

164,5

34,3

0

50

100

150

200

250

2007 20500 a 14 15 a 64 > 70

Figura 5 – Projeção da população brasileira (2050)

Fonte: IBGE

O aumento da expectativa de vida tem levantado a questão do limite

máximo para a idade dos seres humanos. Na verdade, várias tentativas de se

estabelecer tais limites foram ultrapassadas rapidamente (Olshansky , 1988). O

Professor Jay Olshanksy, da Universidade de Illinois afirma que a mortalidade

não manterá sua taxa corrente de melhoria. As principais razões que ele aponta

são a obesidade, a disseminação de doenças e, o mais importante, a existência de

um limite biomédico para a duração da vida humana. O Professor Shripad

Tuljapurkar da Universidade de Stanford, na Califórnia, assume que a duração da

vida humana aumentará linearmente às taxas correntes até 2010, mas ele acredita

que tecnologias anti-idade se tornarão então disponíveis e prolongarão a vida

ainda mais. Segundo ele, drogas e terapias vão fazer com que a mortalidade

decline 5 vezes mais rápido do que taxas históricas, entre 2010 e 2030


(Tuljapurkar, 1998). Os pesquisadores Jim Oeppens, da Universidade de

Cambridge na Inglaterra, e James Vaupel, do Instituto Max Planck para Pesquisa

Demográfica na Alemanha, contrariam as tentativas de se estabelecer limites para

a idade máxima do ser humano e concluíram que ainda estamos longe do limite do

crescimento da expectativa de vida. Eles apontam que a expectativa de vida vem

crescendo de forma aproximadamente linear de 1840 até hoje. “Se estivéssemos

perto do limite, essa linha deveria já ter começado a se curvar, mas não há sinais

disso” (Oeppens & Vaupel, 2002).

2.3. Tábuas de mortalidade estáticas versus geracionais

Como já mencionado na seção 1, a inclusão nos cálculos atuariais da

tendência da mortalidade ao longo do tempo é feita através das tábuas de

mortalidade. Para estimar a sobrevida de um indivíduo quando da contratação de

um plano de previdência, associa-se a cada um dos seus possíveis anos de

falecimento uma probabilidade de morte, retirada de uma ferramenta utilizada

pelo atuário conhecida como tábua de mortalidade, tábua de vida, tábua

biométrica ou demográfica. A tábua de mortalidade é um instrumento que resume

a experiência de mortalidade de uma população, informando as probabilidades

condicionais de morte nas diversas idades. Consiste em uma tabela que registra,

de um grupo inicial de pessoas da mesma idade, o número daquelas que vão

atingindo as diferentes idades até a extinção completa do referido grupo.

‘As probabilidades de morte são retiradas de tábuas de mortalidade, que

informam a probabilidade de morte por faixa etária, geralmente de um em

um ano, ou seja, a tábua informa, por exemplo, qual a probabilidade de

uma pessoa morrer entre 15 e 16 anos, entre 70 e 71 anos, até uma idade

denominada ômega (ω), que é o limite da tabela. Assume-se que, ao

alcançar a idade ω, a chance da pessoa morrer é 100% (cem por cento).

Outra informação muito importante trazida pelas tábuas é a esperança de

vida a partir de qualquer idade. Assim, é possível obter quantos anos

espera-se que uma pessoa vá viver ao se aposentar à idade Y, e,

conseqüentemente, calcular o custo de sua aposentadoria’

(Ferreira,1985).


Por conta do aumento da longevidade, o Conselho de Gestão da

Previdência Complementar aprovou a resolução CGPC nº18, de 28/3/2006, que

elevou a tábua de mortalidade mínima a ser adotada pelos fundos de pensão

brasileiros. Antes, as regras exigiam que a premissa mínima adotada fosse a tábua

AT-49M, que prevê uma sobrevida de 18,5 anos para aqueles que chegam aos 60

anos. Com a nova regra, será preciso adotar, pelo menos, a AT-83, cuja sobrevida

prevista acima dos 60 anos é de 22,5 anos. A Resolução não exime as entidades da

responsabilidade de promoverem estudos sobre adequação de tábuas. Caso esse

estudo revele aderência a alguma tábua com expectativa de vida inferior à da AT-

83, ou se mostre não conclusivo, em função, por exemplo, do número reduzido de

expostos ao risco, a entidade deverá adotar a tábua AT-83 na avaliação dos

encargos de sobrevivência de válidos. Segundo o ex-secretário de Previdência

Complementar Adacir Reis (2006): "É de responsabilidade do fundo e de seus

administradores estudar a tábua que seja a mais adequada às suas necessidades e

nada impede que esta estime longevidade ainda maior que a da AT-83 (como a

AT-2000, por exemplo)".

O que ocorre na utilização das tábuas estáticas é que as probabilidades de

morte apontadas para cada idade se mantêm constantes ao longo do tempo. Por

exemplo, caso seja utilizada uma tábua estática, considera-se que a probabilidade

de uma pessoa de 80 anos morrer hoje antes de atingir a idade 81 é igual à de uma

pessoa de 80 anos morrer antes de atingir a idade 81 em qualquer época, seja há

10 anos ou daqui a 5, 10 ou 15 anos. Quando da utilização de tábuas estáticas, a

variação da mortalidade é inserida no cálculo atuarial somente quando da troca da

tábua de mortalidade adotada. E conforme relatado no parágrafo anterior, a

efetuação das trocas das tábuas adotadas vem sendo cada vez mais exigida pelos

órgãos regulamentadores, uma vez que a mortalidade está em movimento. A

Tabela 1 ilustra parcialmente uma tábua de mortalidade estática.

Tabela 1 – Tábua de mortalidade para a População dos Estados Unidos 1979-1981

x nqx lx ndx nmx nLx Tx ex0 0,01260 100000 1260 0,01260 98973 7387758 73,881 0,00093 98740 92 0,00093 98694 7288785 73,822 0,00065 98648 64 0,00065 98617 7190091 72,893 0,00050 98584 49 0,00050 98560 7091474 71,93: : : : : : : :. . . . . . . .

Fonte: Bowers et al. (1997)


As tábuas estáticas são obtidas a partir de dados coletados durante um

certo período enquanto as tábuas dinâmicas incorporam projeções futuras da

mortalidade. Claramente, em um ambiente onde a longevidade é crescente, temos:

t,kxkt,kx qq . Desta forma, é notório que as tábuas estáticas subestimam as

expectativas de sobrevida ou as contribuições relacionadas a planos de

previdência. A precificação de rendas vitalícias requer a utilização de tábuas

projetadas. As tábuas dinâmicas, ou geracionais, projetam a mortalidade para o

futuro, buscando-se antecipar ao aumento da longevidade. Os fatores de

improvement projetam a mortalidade para o ano em que esta será aplicada. Devido

à característica redutora dos fatores de improvement, a probabilidade de uma

pessoa com 80 anos em 2010 falecer é menor do que a de uma pessoa com 80

anos em 2007 falecer, pois foi introduzida a melhoria gradual da mortalidade nos

3 anos. A Fig. 6 ilustra o comportamento das probabilidades de morte previstas

em tábuas estáticas e em tábuas geracionais

x+4

x+3

x+2

x+1

x

t t+1 t+2 t+3 t+4

qx+2,t+2

qx+3,t+3

qx+1,t+1

qx,t

qx+1,t

qx+2,t

qx+3,t

Figura 6 – Probabilidades de morte: tábuas estáticas x tábuas geracionais

Vários estudos estão sendo realizados e algumas tábuas geracionais já

foram publicadas, como a RP-2000, publicada pela Society of Actuaries (SOA)

em 2003. Esta tábua foi construída com base em um período mais recente de

observação (1990-1994) e teve por base experiências somente de populações

pertencentes a fundos de pensão. Juntamente com a tábua de mortalidade, a SOA

publicou uma escala de projeção da mortalidade denotada por AAx, contendo os


fatores de improvement a serem aplicados nas probabilidades de morte em cada

idade para projetá-las a partir do ano-base 2000, tornando a tábua de mortalidade

geracional. A Tabela 2 fornece a expectativa de vida aos 55 anos esperada para

indivíduos nascidos em diferentes anos, pela tábua AT-83 masculina, que é

estática, e pela tábua RP-2000 masculina geracional. A Fig. 7 ilustra o

comportamento das probabilidades de morte previstas nas tábuas estáticas AT-

83M e UP-94M, bem como na tábua RP-2000 estática e geracional. Nota-se a

melhoria gradual sendo incorporada à sobrevivência na tábua geracional. Tabela 2 – Expectativa de vida aos 55 anos: AT-83M e RP-2000 Geracional

Idade hoje

Expectativa de vida aos 55 anos pela

AT-83M

Expectativa de vida aos 55 anos pela

RP-2000 Geracional Nascido em 1952 55 26,8 28,5 Nascido em 1962 45 26,8 29,4 Nascido em 1972 35 26,8 30,2 Nascido em 1982 25 26,8 31,0

Fonte: Watson Wyatt (2007) .......

.......

Figura 7 – Comparação entre tábuas de mortalidade (60-80 anos)

Fonte: Watson Wyatt (2007)

No capítulo seguinte, são apresentadas algumas das metodologias que vêm

sendo estudadas para projeção das taxas de mortalidade.

Métodos de projeção da mortalidade 25

3 Métodos de projeção da mortalidade

A projeção da mortalidade é importante não somente para os cálculos

atuariais, mas também para o planejamento econômico, para as políticas de

investimento do governo e empresas, etc. No século XX, a mortalidade global

declinou a uma taxa relativamente constante, entretanto observou-se uma

heterogeneidade no declínio dessa taxa em relação ao número de mortes por

idade, causas de mortes e ano-calendário (Hoeddemakers & Grzeorgz, 2002). Ao

tentar escolher um modelo para previsão da tendência da mortalidade, é

importante observar se o modelo escolhido vai refletir tal heterogeneidade.

Algumas questões são fundamentais quando se tenta prever a mortalidade futura:

a utilização de dados históricos seria capaz de prever toda a projeção da

mortalidade? Podemos assumir que as tendências passadas de queda da

mortalidade vão permanecer nas próximas décadas? Uma idade limite para

alcance da sobrevivência deve ser imposta no modelo de projeção ou talvez

algumas barreiras biológicas deveriam ser incluídas? Todas essas questões sem

resposta afetam a crença nas previsões de mortalidade sob uma perspectiva de

longo prazo. Entretanto, é necessário que sejam feitas previsões para um horizonte

médio de tempo, e deve-se tentar escolher um método de previsão que seja

apropriado.

A revisão de GAD (2001) classifica os métodos potenciais para projeção

das taxas de mortalidade em 3 tipos essenciais:

- métodos biomédicos, que se concentram nos fatores determinantes das

mortes e modelam as taxas de mortalidade sob uma perspectiva biomédica;

- métodos causais que empregam uma aproximação de previsão por causa,

utilizando variáveis tais como fatores econômicos e do meio-ambiente;

- métodos extrapolativos baseados nas tendências históricas de projeções

da mortalidade no futuro.


Na prática, os modelos extrapolativos são os favoritos pela vasta maioria

dos demógrafos e atuários. A extrapolação provavelmente é a aproximação mais

confiável (Haberman, 2004). Os métodos extrapolativos podem ser dividos em:

- modelos paramétricos, que envolvem o ajuste de uma curva/superfície

parametrisada aos dados para os primeiros anos, e depois projeta-se esses

parâmetros para o futuro;

- métodos targeting, que envolvem interpolação entre as taxas de

mortalidade atuais e um conjunto de taxas esperadas, as quais assume-se que vão

permanecer em uma data futura; e

- métodos de tendência que envolvem projeção de tendências históricos

para o futuro.

Todos esses métodos podem ser determinísticos ou estocásticos e incluem

um significante elemento subjetivo (MacDonald & Richards, 2004).

Alguns métodos paramétricos podem ser obtidos facilmente com a

utilização dos Modelos Lineares Generalizados (GLM). Assume-se geralmente

que o número de mortes, quando a exposição central ao risco de morte é

conhecida, segue uma distribuição Poisson. Dessa forma, são obtidas estimativas

futuras da mortalidade ajustando-se uma regressão de Poisson. Um método

alternativo foi proposto por Lee e Carter em 1992, combinando uma aproximação

paramétrica com análise de séries temporais.

As duas metodologias - GLM e Lee Carter - têm em comum a introdução

dos fatores de improvement, também conhecidos como fatores de redução

(reduction factors) conforme publicado pelo Continuous Mortality Investigation

Bureau - CMIB (Haberman & Fupuy, 2004), órgão de pesquisa em mortalidade

que publica tábuas de mortalidade no Reino Unido. De acordo com a prática

atuarial do Reino Unido e dos Estados Unidos, os fatores de improvement são

aplicados às taxas de mortalidade de referência a fim de ajustá-las para períodos

futuro. Podemos ver a aplicabilidade do fator de improvement (FI) pela equação:

0t),t,x(FIqq 0,xt,x ,

sujeita à restrição FI(x,0) = 1 para todo x. A monotonicidade decrescente e a

restrição 0< FI(x,t) 1 x, t > 0 são implícitas na relação. Convencionalmente,

qx,0 é determinado por graduação, a partir das taxas cruas de mortalidade. A

graduação é a técnica utilizada para suavização de curvas de mortalidade, fazendo


com que as probabilidades de morte graduadas sejam monotonicamente crescentes

em relação à idade, correspondendo ao que se espera da mortalidade humana, pelo

menos nas faixas etárias de interesse do mercado (Neves, 2005).

O CMIB, tem considerado melhorias futuras da mortalidade em suas

publicações mais recentes. Dois dos últimos conjuntos de tábuas publicadas pelo

CMIB, com base na experiência dos períodos 1979-1982 e 1991-1994,

denominadas, respectivamente, Series “80” e “92”, incluem uma formulação

explícita para projetar taxas de mortalidade. A modelagem do FI(x,t) foi feita da

seguinte forma:

,)]x(f1[)]x(1[)x()t,x(FI n/tn

)t,x(FIqq 0,xt,x .

O fator de improvement FI(x,t) foi definido em termos de duas funções auxiliares,

(x) e f(x) e apresenta um decrescimento exponencial. Assume-se que a taxa de

mortalidade de longo prazo, quando t tende a infinito, para a idade x, será (x)

vezes a taxa base qx,0. Em adição, assume-se que a fração f(x) é um percentual que

indica a queda total (1-) que se espera ocorrer nos próximos n anos. Para a Série

“80”, (x) foi considerada uma função linear crescente da idade para 60 ≤ x ≤

110. Para x < 60 e para x > 110, a função assumiu valores constantes, na seguinte

forma:

110,1

11060,100

1060,5,0

)(

x

xxx

x

Na Série “92”, foram assumidos parâmetros diferentes da Série “80”. O valor para

n foi fixado em 20 e f(20) variou linearmente de 0,45 a 0,71 entre as idades 60 e

110. Idades abaixo de 60 e acima de 110 apresentaram um função constante. Os

valores de (x) foram também alterados. As equações abaixo mostram as

considerações utilizadas(me confudi nas caracteristicas da serie 80 e 92):

110,1

11060,50

)110(87,01

60,13,0

)(

x

xxx

x


110,29,0

11060,50

29,0)60(55)110(60,55,0

)(20

x

xxxx

xf

Os valores assumidos pelos parâmetros são resultados de análises de tendências

passadas de participantes de planos de previdência e na opinião de experts. O

CMIB recomendou a utilização dos mesmos fatores de redução para os homens e

as mulheres.

Nos Estados Unidos, uma aproximação similar tem sido comum. O Group

Annuity Valuation Table Task Force (1995) sugere a seguinte equação para

projeção das taxas de mortalidade:

FI(x,t) = (1-AAx)t,

onde AAx é denominado “annual improvement factor” e foi divulgado

separado por sexo.

Uma breve revisão das metodologias Lee-Carter e GLM, utilizadas para

estimação dos fatores de improvement, será acompanhada a seguir.

3.1. Método Lee-Carter

Em 1992, Ronald Lee e Lawrence Carter desenvolveram um novo método

para modelagem e previsão da mortalidade, e o utilizaram para prever a

mortalidade dos Estados Unidos para o ano 2065 (Lee e Carter,1992). O método

Lee-Carter, ou simplesmente LC, é um dos estudos recentes mais influentes na

previsão de mortalidade (Haberman & Russolillo, 2005) e vem sendo adotado

para as previsões do United States Bureau of the Census, sendo uma referência

técnica no que se refere à previsão de mortalidade. O referido método é

extrapolativo, baseia-se nas experiências históricas da mortalidade para a previsão

da mortalidade futura. Nenhuma consideração é feita para a inclusão no modelo

de informações relativas aos avanços da medicina, mudanças comportamentais ou

influências sociais que afetem o comportamento da mortalidade. Como virtudes

do método, Lee e Carter destacam o fato de combinar um modelo demográfico

com um modelo de séries temporais, permitindo obter intervalos probabilísticos

para as respectivas previsões. O método também permite que as taxas de

mortalidade decresçam de forma exponencial sem o estabelecimento de um limite


arbitrário, ou sem que seja necessário racionalizar de alguma maneira a

desaceleração dos ganhos na esperança de vida, uma vez que esta desaceleração

acontece naturalmente sem qualquer pressuposto adicional.

A metodologia descrita a seguir refere-se à metodologia LC clássica

proposta em 1992. Seja mx,t a taxa central de mortalidade para a idade x no ano t.

Ajusta-se a matriz de taxas de mortalidade pelo modelo demográfico:

txtxxtxm ,, )ln( , (1)

),0(N~ 2t,x

onde x, x e t são parâmetros do modelo e x,t é um termo de erro com

distribuição normal de média zero e variância constante σ2.

O conjunto de coeficientes x, que constitui um vetor de constantes

específicas para cada uma das idades, descreve a forma geral do perfil idade nas

taxas de mortalidade mx,t avaliadas ao longo do tempo. O parâmetro t representa

a variação no nível de mortalidade com o tempo, capturando a tendência temporal

principal da mortalidade. Já os parâmetros x descrevem a tendência da

mortalidade à idade x quando o nível geral de mortalidade t se altera, dizendo

quais taxas declinam rapidamente e quais declinam lentamente em resposta a

mudanças no parâmetro :

ttm

xtx

)ln( ,

O termo de erro x,t, com média 0 e variância 2 , reflete as influências

históricas específicas por idade não capturadas pelo modelo. O modelo LC

também assume que todas as taxas de mortalidade específicas por idade

movimentam-se para cima e para baixo juntas, uma vez que são guiadas pelo

mesmo índice t. As taxas movem-se juntas na mesma direção, mas não

necessariamente nas mesmas proporções.

A primeira parte do ajuste do modelo LC consiste em estimar os parâmetros

x, x e t.

Suponha que (, , ) é uma solução para o modelo sugerido em (1).

Então, para qualquer escalar c ≠ 0, (-c, , +c) também será uma solução, bem

como (c, c).


O modelo demográfico LC não pode ser ajustado pelo método de regressão

simples, uma vez que não há variáveis observáveis no lado direito da eq. (1).

Sendo assim, são infinitas as possíveis soluções para a equação. Para se obter uma

única solução, são aplicadas as restrições de que a soma dos coeficientes x é

igual a 1, e a soma dos parâmetros t é igual a 0. Sob essas hipóteses, os

coeficientes x devem ser simplesmente os valores médios no tempo de ln(mx,t)

para cada x. Estima-se x como o logaritmo da média geométrica das taxas de

mortalidade, avaliadas sobre todo o tempo t, para cada x:

]mln[)mln(h1 h/1

t,x

tn

1tt

tn

1ttt,xx

, (3)

onde h é obtido da forma h = tn – t1.

Em adição, t deve ser igual à soma sobre as idades dos logaritmos das

taxas de mortalidade, subtraídos os coeficientes x:

x

xtxt m ))(ln( , (4)

Para estimação dos coeficientes x, é feita a regressão de (ln(mx,t) – x) em

t, sem o termo constante, separadamente para cada idade x. Mais precisamente,

estima-se x pela equação:

t,x1txxt,x )mln( ,

onde 1t refere-se ao k estimado anteriormente através do método de

mínimos quadrados. Resumindo, escolhemos x que minimize:

21

1,

1

2

,

1,

)(

))(ln())(ln(

t

tn

ttxtxt

xtx

txxtx

mm

(5)

Os coeficientes βx estimados exibem um padrão irregular na maioria dos

casos, o que produz tábuas de mortalidade projetadas irregulares. É interessante

que os coeficientes estimados sejam suavizados para projeção da mortalidade.

A segunda parte do ajuste do modelo Lee-Carter consiste em reestimar o

parâmetro t com base nos valores já estimados x

^ e x

^ . Nesta etapa da

estimação de t, procura-se por um parâmetro tal que:


}e)exp({d t,xt

^

xx^

xt , (6)

onde dt é o número total de óbitos observado no ano t e ex,t corresponde à

população de idade x no tempo t.

De acordo com (Lee, 2000) há muitas vantagens em se fazer a estimação de

segundo estágio do parâmetro t dessa forma. Primeiramente, garante-se que as

tábuas de mortalidade ajustadas sobre os anos amostrados vão se ajustar ao

número total de mortes e à distribuição etária da população. Dado que a estimação

em primeiro estágio foi baseada no logaritmo das taxas de mortalidade e não nas

próprias taxas de mortalidade, podem ocorrer discrepâncias entre o número

observado e o estimado de mortes. Segundo, pode ser que em alguns períodos, a

distribuição etária da população e o número total de mortes sejam conhecidos,

mas as taxas de mortalidade específicas por idade não sejam. O modelo ainda

pode ser ajustado nesse caso. Esta característica é bem útil para previsão quando

há uma distância temporal entre a publicação de dados por órgão competente

referente ao número total de mortes e as taxas de mortalidade específicas por

idade.

Após o ajuste do modelo demográfico, o próximo passo é modelar o índice

de mortalidade t como um processo estocástico de série temporal. A princípio,

busca-se utilizar a modelagem usual Box-Jenkins (Box & Jenkins, 1970). Caso

esse não possua bom ajuste, procedimentos alternativos devem ser empregados.

No processo Box-Jenkins, é necessária a escolha de um modelo ARIMA (p,d,q)

que descreva bem o comportamento da nossa série t. Em grande parte das

aplicações, como em Lee & Carter (1992), t vem sendo bem modelado como um

ARIMA (0,1,0), conhecido como passeio aleatório com uma constante, na forma:

t1tt uc .

Para identificação de um modelo que se ajuste bem aos dados, os seguintes

passos são seguidos:

1) Análise gráfica da série e identificação de possíveis transformações

O primeiro passo é analisar graficamente o desenvolvimento da variável ao

longo do tempo, como ela se comporta e qual a sua tendência. Para a modelagem

da série através da metodologia Box-Jenkins, a série deve ser estacionária, ou seja,


sua média, variância e autocovariâncias não devem depender do tempo. Para

verificação da estacionariedade da série, é importante uma análise da sua função

de autocorrelação amostral (FAC). Séries não-estacionárias (com raiz unitária) são

caracterizadas por uma FAC que decai lenta e linearmente. Um procedimento

mais formal para análise de estacionariedade é a realização de testes que avaliam a

hipótese de raiz unitária. Alguns dos testes clássicos mais utilizados para se testar

esta hipótese são os testes Augmented Dickey-Fuller (ADF), Dickey Fuller GLS

(DF-GLS) e Phillips-Perron (PP).

A estratégia geral no tratamento de séries não-estacionárias é aplicar alguma

transformação sobre a série que a torne estacionária, e depois estimar um modelo

sobre a série transformada. As transformações mais comuns para estacionarizar

séries temporais são a operação de diferença, transformação logarítmica e retirada

de tendências determinísticas. Diferenciar significa tomar a diferença entre

observações no tempo. O número de vezes que a série necessita ser diferenciada

para alcançar a estacionariedade reflete no parâmetro d do modelo ARIMA

(p,d,q). Para variâncias que não são constantes, tomar o logaritmo ou a raiz

quadrada da série pode estabilizar a variância. Para dados negativos, podemos

adicionar uma constante para fazer com que todos os dados sejam positivos antes

de aplicar a transformação. Essa constante pode ser subraída do modelo para obter

valores preditos e previsões para pontos futuros.

Se os dados contêm uma tendência, pode-se ajustar algum tipo de curva aos

dados e então modelar os resíduos desse ajuste. Uma vez que o propósito é

simplesmente remover tendências de longo prazo, um simples ajuste como uma

reta é tipicamente utilizado.

2) Identificação da ordem do modelo

No caso da modelagem Box-Jenkins, é necessária a definição de quantos

parâmetros autoregressivos (p) e/ou média móvel (q) são necessários para garantir

um modelo eficiente, mas parcimonioso. A ferramenta primária para tal é analisar

a plotagem das funções autocorrelação amostral e autocorrelação parcial da série.

Os comportamentos observados são então comparados aos teóricos esperados

quando a ordem do modelo é conhecida. Nos últimos anos, critérios de

informação tais como FPE (Final Prediction Error) e AIC (Akaike Information

Criterion), dentre outros, têm sido preferidos e usados para determinação da


ordem do modelo. Estas técnicas ajudam o processo de identificação do modelo e

requerem a utilização de softwares estatísticos.

3) Estimação dos parâmetros

Essa fase consiste em encontrar valores para os coeficientes do modelo que

fornecem o melhor ajuste aos dados. Os valores são estimados através de

softwares estatísticos.

4) Validação do modelo

Nesta etapa, o modelo estimado para a série t é avaliado em relação aos

pressupostos assumidos para o modelo. Caso o modelo seja considerado

inadequado, é necessário voltar ao passo 2 e tentar identificar um modelo

alternativo melhor.

5) Previsão

A previsão é o objetivo principal da modelagem. Uma vez que o modelo foi

selecionado, estimado e validado, buscam-se previsões futuras para t. Utilizando

o modelo de mortalidade descrito na eq. (1) e as estimativas de x e x, são

estimadas as taxas centrais de mortalidade, por idade, para os anos de interesse.

Podemos escrever as taxas de mortalidade mx,t projetadas na forma:

t^

x

^x

^t,x

^m

ou, com base no conceito de fatores de improvement e buscando-se escrever em

função de mx,0, temos:

)(expmm 0^

t^

x

^

0,xt,x^

,

onde os fatores de improvement são identificados como:

))(exp()t,x(FI 0^

t^

x

^ .

Note que a modelagem do FI(x,t) teve por base as taxas centrais de

mortalidade e não as probabilidades de morte qx,t, mas estas podem ser

diretamente obtidas uma vez que as taxas centrais de mortalidade são estimadores

das probabilidades de morte utilizadas na construção das tábuas de mortalidade.


Para a determinação da variância e, consequentemente, do intervalo de

confiança das taxas centrais de mortalidade projetadas, é necessário que se

conheça todas as fontes de erros da projeção e que se calcule sua variância (Fígoli,

1996). Quando da estimativa de x, x e quando da previsão de t passos à frente

do período t surgem os erros referentes a essas estimações. A influência de cada

uma destas fontes de erro na projeção de mx,t foi analisada por Lee e Carter (1992,

apêndice B) e eles concluíram que, para previsões de expectativa de vida, é

razoável restringir atenção aos erros de previsão do índice de mortalidade e

ignorar aqueles oriundos do ajuste da matriz de mortalidade, mesmo para

previsões de curto prazo. Entretanto, para previsões de taxas de mortalidade

individuais, intervalos de confiança baseados somente em t são uma

aproximação razoável somente para horizontes de previsão maiores do que 10

anos. Neste caso, o erro na projeção do nível de mortalidade é responsável por no

mínimo 95% do erro baseado em todas as outras fontes.

Conforme dito aneriormente, a metodologia aqui exposta refere-se ao

método LC clássico. O método LC vem sendo vastamente discutido na literatura

atuarial e aprimoramentos à metodologia clássica vêm sendo sugeridos por

estudiosos. Como exemplos, podemos citar Brouhns et al. (2002) que fez ajustes

no modelo estimando-se parâmetros por uma regressão Poisson log-bilinear.

Hoedmakers & Darkiewicz (2002) introduziram a análise de co-integração das

taxas centrais de mortalidade. Girosi & King (2004) sugerem uma aprovação

bayesiana para o método, enquanto Currie et al. (2002) desenvolveram uma

aproximação two-spline.

Para Denuit (2006), as vantagens da aproximação LC estão nos seguintes

fatores:

Os parâmetros x, x e t podem ser interpretados facilmente;

A influência do tempo é sumarizada em um único índice que é extrapolado

no futuro através da série t permitindo-se a obtenção de tábuas

projetadas;

Há a possibilidade de interpretação do modelo utilizando os fatores de

improvement.

Como crítica ao modelo, Denuit aponta a hipótese de que os erros de

previsão são homocedásticos. Segundo ele, isso é irreal porque o logaritmo das


taxas de mortalidade observadas variam muito mais nas idades avançadas do que

nas idades mais jovens devido ao número absoluto menor de mortes nas idades

mais avançadas.

3.2. Utilização de modelos lineares generalizados

Diferentemente do modelo LC que modela o logaritmo das taxas de

mortalidade, o uso dos modelos lineares generalizados é feito para a modelagem

do número de mortes observadas. A aproximação via modelos lineares

generalizados pode ser vista como uma extensão das técnicas de graduação

convencionais utilizadas pelo Continuous Mortality Investigation Bureau, da

Inglaterra, para representar as tendências da mortalidade.

O CMIB modela as taxas centrais de mortalidade mx,t na forma:

p

1jjxtjt,x )mlog( (7)

As variáveis explicativas idade e tempo entram no lado direito da equação

através de uma variedade de estruturas de covariáveis conhecidas xtj, lineares nos

parâmetros desconhecidos j. As variáveis explicativas relacionam-se com mxt

através de uma função logaritmica. O link log é monotônico, diferenciável e

mapeia os números reais positivos (mxt : mxt > 0) para toda a linha real. Para dar

continuidade à modelagem, é necessária a estimação dos parâmetros

desconhecidos j. Para tal, os expostos centrais ao risco de morte, ext, são tratados

como não aleatórios (constantes) e modela-se o número atual de mortes axt, como

realizações independentes de uma variável aleatória poisson super-dispersa Axt,

com média e variância dadas por:

E(Axt) = ext mxt; Var(Axt) = xt, (8)

onde é o parâmetro de dispersão ou escala.

Por que a distribuição poisson foi escolhida e por que utilizar o parâmetro

? Assume-se que as variáveis respostas possuem uma distribuição poisson

baseados na hipótese de que a força de mortalidade é constante dentro de cada

dimensão que contém uma determinada idade e um determinado ano-calendário.

A Poisson é a distribuição mais adequada porque se trabalha com dados de

contagem e as observações podem ser em pequeno volume.. Quando = 1, tem-se


a distruibuição poisson clássica. O parâmetro é incluído por reconhecimento ao

fato de que muitas vezes os dados manuseados são baseados no número de

emissões de apólices e não na contagem de indivíduos, e é comum a emissão de

mais de uma apólice para um mesmo indivíduo. Em Beard & Perks (1949) e

Renshaw (1992), demonstra-se que a presença de apólices duplicadas induz a uma

super-dispersão na modelagem da distribuição do número atual de mortes baseado

na contagem de apólices ao invés da contagem de indivíduos.

Para dar prosseguimento à modelagem, Renshaw et al. (1996) sugere que as

idade e os intervalos de tempo dos dados sejam mapeados no intervalo [-1, 1]. Isto

pode ser obtido rapidamente através das transformações:

x

xcx'x

; t

tct't

,

onde x’ representa as idades transformadas, t’ representa os anos-calendário

transformados, 2

xxc maxmin

x

e 2

xx minmaxx

com expressões equivalentes

para ct e t em termos dos anos-calendário máximo e mínimo.

A equação (7) é modelada com base em fórmulas polinomiais do tipo:

s

1j

r

1i

iijj0t,x 't)'x(Lmlog , (9)

onde os parâmetros Lj(x’) denotam polinômios de Legendre de graus j. Para

essa classse de funções, os efeitos da idade e ano-calendário aparecem como a

soma de termos separados de polinômios na escala logarítmica, tal que mxt é

multiplicativo nos efeitos da idade e dos anos-calendário. Os polinomiais

Legendre Ln(x), de grau n, são gerados pelas relações:

L0(x) = 1,

L1(x) = n,

(n+1)Ln+1(x) = (2n+1)xLn(x) – nLn-1(x), n inteiro ≥ 1,

tal que

,...2

x3x5)x(L,2

1x3)x(L3

3

2

2

são ortogonais em relação à integração no intervalo [-1,1].

A eq.9 tem uma interpretação instrutiva e pode ser relacionada à prática de

graduação do CMIB ao reescrevê-la na forma:


s

1j

r

1i

iijj0t,x }'texp{)}'x(Lexp{m (10)

O primeiro dos dois termos multiplicativos do lado direito da equação:

s

0jjjx Lexp)s(G , s inteiro ≥ 0,

é equivalente ao termo de graduação Gompertz-Makeham GMx(0,s+1).

Dessa forma, a eq.10 pode ser interpretada como uma fórmula de graduação para

efeitos de idade, afetada por um fator multiplicativo para ajustar os efeitos do ano-

calendário. Esse termo de “ajuste” é nosso alvo de interesse, uma vez que ele

determina a natureza das tendências da mortalidade ao longo do período

analisado. Em adição, ressalta-se que o termo de ajuste da tendência da eq.10 não

é dependente da idade.

O modelo estruturado na eq.9 pode ser estendido através da introdução do

produto de termos com efeitos de idade e ano-calendário conjuntamente. Escreve-

se:

s

1j

r

1i

r

1i

s

1j

ijij

iijj0t,x 't)'x(L't)'x(Lmlog (11)

sujeito à convenção de que alguns dos parâmetros ij podem ser fixados

como zero.

Escrevendo a eq.11 na forma:

s

1j

r

1i

is

1jjijijj0t,x ]'t)}'x(L{exp[)}'x(Lexp{m (12)

e comparando com a eq.10, nota-se que o primeiro dos dois termos

multiplicativos no lado direito da equação é ainda o mesmo termo Gompertz-

Makeham de antes. Agora, entretanto, o segundo termo multiplicativo de ajuste da

tendência é dependente da idade. É importante ser capaz de modelar o efeito na

mortalidade da tendência dependente da idade e ser capaz de avaliar sua

significância estatistica, uma vez que acredita-se que esses efeitos existam em

outras experiências de mortalidade, como por exemplo o efeito da mortalidade

crescente com a AIDS na faixa jovem-adulta masculina.


As variáveis aleatórias Axt Poisson superdispersas formam as variáveis

resposta do modelo linear generalizado proposto. O conceito de modelos lineares

generalizados foi introduzido por Nelder & Wedderburn (1972) e a idéia é que a

variável dependente do modelo siga qualquer distribuição que pertença à família

exponencial, na forma canônica. Na definição de um GLM são necessários a

definição da distribuição da variável resposta, do preditor linear e de uma função

de ligação (ver Nelder & Wedderburn, 1982). Na modelagem do número de

mortes, a função de ligação foi definida da forma logaritmica. Temos:

t,xt,xt,x )em(log (13)

Da eq.8, tem-se que o preditor linear é definido por:

xtxtt,x mlogrlog (14)

Combinando a eq.9 com as eq.13 e 14, obtém-se:

s

1j

r

1i

r

1i

s

1j

ijij

iijj0xtt,x 't)'x(L't)'x(Lrlog (15)

O termo log rxt, que não envolve nenhum parâmetro desconhecido, é uma

constante juntamente com o offset 0, por uma quantidade conhecida, condicional

nos valores de x e t.

Com base na eq.15, obtemos os valores projetados das taxas centrais de

mortalidade para os anos futuros. A consequente possibilidade de obtenção dos

fatores de improvement e construção das tábuas geracionais coincide com a

implementação da aproximação LC.

Renshaw & Haberman (2003a, b) modelaram o fator de improvement em

função da força de mortalidade x,t usando GLM. A forma obtida para o FI(x,t) é

similar àquela apresentada pelo método Lee-Carter, sendo:

)tt())t,x(FIlog( 0x

^ ,

onde o termo x é modelado por um preditor linear.

O uso dos modelos lineares generalizados também pode ser feito

assumindo-se outra distribuição para o número de mortes. Renshaw & Haberman

(2000) assumem que o número de mortes possui uma distribuição binomial:

)q,r(bin~A t,xt,xt,x . Dessa forma, define-se um GLM cuja variável resposta pode


ser escrita como:t,x

t,xt,x r

AY , onde E(Yx,t) = qx,t ; Var (Yx,t) =

t,x

t,xt,x

r)q1(q

e o

predito linear é uma função de ligação g monotônica diferenciável, tal que:

)(gq)q(g t,x1

t,xt,xt,x .

Dados 40

4 Dados

A intenção inicial deste estudo era implementar as metodologias expostas na

seção 3 em dados brasileiros. No entanto, não foi possível a obtenção dos dados

históricos necessários. Segundo Renshaw & Haberman (2000), consideram-se

adequados para modelagem de previsão da mortalidade dados que possuam mais

de 15 a 20 anos consecutivos de observação. No Brasil, referente a esse universo

de tempo, é possível a obtenção de dados censitários publicados por órgãos de

pesquisa do governo. Todavia, sabemos que as estatísticas fornecidas para a

população brasileira como um todo são uma mesclagem de perfis demográficos

bem diferentes, não sendo uma boa base para análise de comportamento de uma

população especifica como as de produto de previdência privada. Diferentemente,

a massa de participantes de uma Entidade Fechada de Previdência Complementar

(EFPC) tende a ser mais homogênea pois a população compreendida

provavelmente possui o mesmo nível sócio-econômico. O ideal seria a agregação

de vários grupos com perfis demográficos semelhantes. Pensando nisso, tentamos

a obtenção de informações referentes a um grupo de EFPCs junto à Associação

Brasileira de Entidades Fechadas de Previdência Privada - ABRAPP, mas esse

tipo de coleta de informação ainda não é feito. A Superintendência de Seguros

Privados (SUSEP) começou a divulgar informações do número de mortes e

expostos, classificadas por idade e sexo, para subsidiar o estudo de tábuas

biométricas com informações a partir do ano 1998. Entretanto, atualmente só

estão disponíveis as informações de 1998 a 2002. Aquelas de 2003 a 2005 estão

sendo processadas, mas não conseguimos acesso antecipado à elas. Infelizmente,

devido ao período reduzido de disponibilidade dos dados (1998-2002), optamos

por não modelá-los uma vez que as previsões temporais são muito influencidas

por valores discrepantes, e em um período pequeno de observação qualquer

variabilidade dos dados causa esse efeito nos resultados. Embora a SUSEP tenha

começado a divulgar tábuas de mortalidade, podemos dizer que a construção de

tábuas de mortalidade no Brasil ainda não está consolidada, principalmente pela

Dados 41

dificuldade em se conseguir os dados necessários para estudos. As entidades de

previdência e seguradoras brasileiras acabam utilizando tábuas de mortalidade

baseadas na experiência de outros países, como Estados Unidos, Reino Unido,

França e Suíça. Para aplicação das metodologias expostas na seção 3, analisamos

a experiência de mortalidade da população feminina e masculina da Inglaterra e

País de Gales, obtida através do Human Mortality Database2.

Os dados disponíveis para análise foram denotados por dx,t e ex,t, que

denotam, respectivamente, o número de mortes e o correspondente número de

expostos centrais ao risco de morte à idade x, no ano t.

A análise foi feita sobre o intervalo de 54 anos, do ano 1950 ao ano 2003.

As idades não foram agrupadas, permanecendo como idades simples. O principal

interesse deste trabalho está na idade adulta, uma vez que as crianças e

adolescentes são público reduzido ou até mesmo inexistente em seguros de vida e

aposentadorias. Dessa forma, restringiu-se o intervalo de idade de 18 a 100 anos

para análise. Nas idades superiores a 100 anos,os dados encontravam-se esparsos

e seguindo a tendência de outros estudos (Renshaw et al., 1996) preferiu-se

ignorá-los.

Com base nas informações dx,t e ex,t, obtém-se as taxas cruas ou brutas de

mortalidade mx,t, dividindo-se o número de mortes à idade x no tempo t pelo

correspondente número de expostos ao risco de morte à idade x no tempo t.

As Fig. 8 e 9 exibem, a partir dos dados analisados, as taxas cruas de

mortalidade femininas e masculinas, na escala logarítmica.

_________________________________________________________________________

2 O Human Mortality Database (HMD) foi criado para fornecer informações detalhadas de dados de mortalidade e população aos pesquisadores, estudantes, jornalistas e outros interessados na longevidade humana. Dois centros de pesquisa foram responsáveis pela criação da base de dados: o Departamento de Demografia da Universidade da California, Berkeley (UCB), e o Laboratório de Dados do Instituto Max Planck para Pesquisas Demográficas (MPIDR), situado na Alemanha.

Dados 42

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1950 1960 1970 1980 1990 2000

Ano

Taxa

s cr

uas

182838485868788898

Figura 8 – Evolução das taxas cruas de mortalidade femininas

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1950 1960 1970 1980 1990 2000

Ano

Taxa

s cr

uas

182838485868788898

Figura 9 – Evolução das taxas cruas de mortalidade masculinas

Os gráficos exibem a tendência geral de queda da taxa de mortalidade em

todas as faixas de idades e evidenciam comportamentos diferentes com relação à

alteração da mortalidade em cada uma dessas faixas. Conforme esperado, são

observados valores maiores para as taxas de mortalidade masculinas em relação às

femininas em todas as idades ilustradas.

Resultados 43

5 Resultados

5.1. Lee-Carter

O modelo demográfico LC foi ajustado aos dados da Inglaterra e País de

Gales de 1950 a 2003. A modelagem foi feita segregada por sexo, para preservar a

diferença de mortalidade entre homens e mulheres. Primeiramente, foi feito o

ajuste do modelo demográfico previsto na eq.(1), com a estimação dos parâmetros

x, x e t. O passo seguinte foi a projeção de t para 25 anos subsequentes à

última observação. Por fim, foi obtida a previsão das taxas de mortalidade para 25

anos.

Os parâmetros x

^ obtidos com base na eq.(3) estão ilustrados na Fig. 10.

No período 1950-2003, a curva masculina encontra-se acima da feminina para

todas as idades, refletindo o fato esperado da mortalidade ter sido maior, em

média, na população masculina. Um ponto interessante a ser observado é o fato da

curva possuir um crescimento mais brando na faixa etária dos 20 aos 30 anos

(maior destaque na população masculina). Uma justificativa seria o aumento

geralmente existente da mortalidade nessas idades devido a acidentes e violência.

Resultados 44

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

018 28 38 48 58 68 78 88 98

Idades

Coe

ficie

ntes

αx e

stim

ados

FemininoMasculino

Figura 10 – Coeficientes x estimados por sexo (1950-2003)

Com base nos valores x

^ , foram obtidas as primeiras estimações de t a

partir da eq. (4). A tendência de queda do nível de mortalidade com o tempo é

constatada para os dois sexos na Fig.11. Os parâmetros estimados x

^ conforme

eq.(5), que avaliam a sensibilidade da variação nas taxas de morte quando o

parâmetro t varia, estão demonstrados na Fig. 12. Se x é pequeno, conclui-se

que as taxas de morte variam pouco quando o nível geral de mortalidade se altera,

o que é o caso da mortalidade nas idades mais avançadas. Para as idades acima de

75 anos aproximadamente, os coeficientes feminino e masculino apresentaram um

comportamento similar, uma tendência decrescente. A curva observada para a

população feminina, que mostra que quanto menor a idade, maior é a

sensibilidade à variação no parâmetro t, tem a mesma tendência da curva

apontada por Lee (2000) ao aplicar a metodologia LC aos dados dos Estados

Unidos e do Chile. Já a curva masculina apresentou valores menores para x

^

quando estes eram maiores na população feminina e vice-versa.

Resultados 45

-40,0

-20,0

0,0

20,0

40,0

1950 1960 1970 1980 1990 2000

Ano

κ t e

stim

ados

Feminino Masculino

Figura 11 – Coeficientes t estimados por sexo (1950-2003)

0,003

0,008

0,013

0,018

18 28 38 48 58 68 78 88 98

Idades

Coe

ficie

ntes

βx e

stim

ados

Feminino

Masculino

Figura 12 – Coeficientes x estimados, por sexo (1950-2003)

Resultados 46

Para garantir que as taxas de morte ajustadas gerariam o número de mortes

observado quando aplicadas à população analisada, foi realizada a reestimação do

parâmetro t segundo a eq.(6). Os parâmetros reestimados para a população

feminina e masculina, bem como os estimados inicialmente, estão ilustrados nas

Fig. 13. Os valores estimados para os parâmetros , e constam no Apêndice I

deste trabalho.

-40.0

-20.0

0.0

20.0

40.0

1950 1960 1970 1980 1990 2000

Ano

κ t e

stim

ados

e re

estim

ados

K est. Fem K est. Masc K reest. Fem K reest. Masc Figura 13 – Coeficientes t reestimados (1950-2003)

Feita a reestimação do parâmetro t, podemos escrever o modelo

demográfico proposto na eq.(1). Uma vez que os parâmetros x e x foram

estimados e não dependem da variável tempo, a previsão das taxas de mortalidade

futuras passam a depender exclusivamente da projeção dos valores t futuros.

Para tal projeção, as séries t reestimadas feminina e masculina são modeladas

como um processo de séries temporais. A Fig. 13 mostra um declínio dos valores

de t aproximadamente linear, maior para as mulheres do que para os homens, no

período 1950-2003. A lineariedade aproximada de t, bem como a variação

relativamente constante das séries no período são grandes vantagens para a

construção de modelos de previsão. Os dados disponibilizados referem-se ao

período de 1950 a 2003. No entanto, os 5 últimos anos disponíveis não foram

Resultados 47

modelados, a fim de possibilitar uma comparação entre a previsibilidade dos

modelos nos próximos 5 anos e o comportamento observado no período.

Uma simples inspeção nas séries mostra que as mesmas aparentam não-

estacionariedade e apresentam uma tendência negativa sustentada. Os

correlogramas ilustrados nas Fig. 14 e 15 também apresentam indícios de não-

estacionariedade das séries, visto que observa-se um amortecimento lento da

função de autorocorrelação parcial (ACF). A não-estacionariedade das séries foi

superada modelando-as em primeira diferença ou com ajuste de tendência, como

será mostrado.

Figura 14 – Correlograma da série t feminina

Resultados 48

Figura 15 – Correlograma da série t masculina

Devido à tendência decrescente das séries, foi considerada a presença de

uma constante quando da estimação dos modelos. Em relação à série feminina,

doravante denominada femt, dois modelos testados apresentaram bons ajustes e

uma análise de resíduos satisfatória. O primeiro modelo é um processo ARIMA,

onde a série é modelada em primeira diferença, uma vez que já foi verificado que

ela não é estacionária em nível. Os parâmetros dos modelos foram estimados

através do pacote estatístico EViews, utilizando o método de Mínimos Quadrados,

e estão apontados na Tabela 3. O índice femt modelado como um processo

ARIMA(0,1,1,) é representado algebricamente na forma:

t1t1t cfem ,

),0(N~ 2t ,

onde Δ representa o operador de diferença. Assumindo os valores estimados

para os parâmetros, a equação proposta se torna:

t1tt 778194,0101191,1fem ;

),0(N~ 2t

Resultados 49

Tabela 3 – Estimação dos parâmetros - processo ARIMA(0,1,1), série femt

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -1,101191 0,086957 -12,66362 0,0000

MA(1) -0,778194 0,088414 -8,801654 0,0000 R2 = 0,3825

AIC = 4,7029

O segundo modelo estimado para femt foi ajustado com uma tendência

linear e um processo média móvel (MA) 4. Neste ajuste, o R2 observado ficou

próximo de 1, conforme exposto na Tabela 4. A representação algébrica para o

modelo é:

tt tkfem ;

;4t4tt

),0(N~ 2t

Assumindo os valores estimados para os parâmetros, a equação proposta

se torna:

tt t077052,186891,28kfem ;

),0(N~onde,508999,0 2t4ttt

Tabela 4 – Estimação dos parâmetros - processo com tendência linear, série femt

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 28,86891 0,993553 29,05622 0,0000

@TREND -1,077052 0,034769 -30,97754 0,0000 MA(4) 0,508999 0,119627 4,254865 0,0001

R2 = 0,9770 AIC = 4,6498

Comparando os dois modelos pelo método de Akaike (AIC) e observando

o coeficiente R2, optou-se por modelar a série feminina considerando a tendência

linear e o processo MA(4). No caso da série masculina, masct, quando da

tentativa de ajuste dos modelos, foi observado um comportamento atípico para o

resíduo da observação referente ao ano 1951. De fato, os gráficos das séries

masculina e feminina possuem um pico no ano 1951. Foi possível a estimação de

um modelo com uma análise de resíduos satisfatória para a série feminina, sem

que fosse necessária a anulação do impacto da observação do ano 1951. No

entanto, para a série masculina, o modelo preferido inclui uma variável dummy

Resultados 50

para remover a influência do referido ano. Observando a série masculina, nota-se

que a tendência do declínio de masct está entre uma tendência linear e uma

tendência quadrática. O modelo utilizado para a previsão do índice masculino se

baseia nas duas tendências, linear e quadrática, bem como na utilização de uma

varíavel dummy referente ao ano 1951 e em um processo MA(12). As estimações

para os parâmetros, obtidas via EViews, estão demonstadas na Tabela 5. A forma

algébrica para o modelo é da forma:

t32

21t Dttmasc ;

12t12tt ; ),0(N~ 2t ,

onde D é a varíavel dummy assumindo valor 1 se o ano observado é 1951.

Inserindo os valores estimados para os parâmetros, observa-se:

t2

t D345870,9t020347,0t227291,043730,13kmasc ;

12ttt 907975,0

Tabela 5 – Estimação dos parâmetros - modelo ajustado para a série masct

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 13,43730 1,173386 11,45173 0,0000

@TREND 0,227291 0,090119 2,522115 0,0154 (@TREND)^2 -0.,20347 0,001582 -12,86183 0,0000

D1951 9,345870 3,330911 2,805800 0,0074 MA(12) -0,907975 0,030975 -29,31363 0,0000

R2 = 0,9940

O coeficiente em D indica que masct foi 9,345870 maior do que o

esperado em 1951. A análise de resíduos é necessária para verificação dos

pressupostos adotados quando da modelagem de uma série temporal. Ao ajustar

os modelos às séries, assume-se que os resíduos não são correlacionados e

possuem distribuição normal. Cada uma dessas condições foi verificada a partir da

análise de outputs do EViews.

1. Autocorrelação dos resíduos

Tabela 6 – Teste de autocorrelação dos resíduos – Série femt

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic 1.617961 Probability 0.123771

Obs*R-squared 27.16501 Probability 0.130685

Resultados 51

Tabela 7 – Teste de autocorrelação dos resíduos – Série masct

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic 0.688240 Probability 0.800222

Obs*R-squared 17.83708 Probability 0.598140

O teste LM para autocorrelação serial, conhecido como teste Breusch-

Godfrey, foi utilizado para testar a correlação serial dos resíduos dos modelos

avaliados. A hipótese nula do teste prevê que os erros são não-correlacionados até

a ordem p. Os modelos foram testados com p = 20 e concluiu-se que, ao nível de

5% de significância, aceita-se a hipótese de inexistência de correlação serial nos

modelos.

2. Normalidade dos resíduos

0

2

4

6

8

10

12

14

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Series: ResidualsSample 1950 1998Observations 49

Mean -0.034073Median 0.293197Maximum 5.626468Minimum -5.814454Std. Dev. 2.351251Skewness -0.080425Kurtosis 2.921760

Jarque-Bera 0.065322Probability 0.967867

Figura 16 – Teste de normalidade dos resíduos – Série femt

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-2 -1 0 1 2

Series: ResidualsSample 1950 1998Observations 49

Mean 0.024141Median -0.108816Maximum 1.807597Minimum -1.858614Std. Dev. 0.901249Skewness -0.059360Kurtosis 2.392149

Jarque-Bera 0.783137Probability 0.675996

Figura 17 – Teste de normalidade dos resíduos – Série masct

Resultados 52

A normalidade dos resíduos de regressão foi investigada através do teste

de Jarque-Bera. Neste teste, é verificada a hipótese nula de que os resíduos

possuem distribuição normal. Com base nas probabilidades apresentadas,

aceitamos a hipótese nula de normalidade dos resíduos ao nível de significância

de 5%.

Partindo dos modelos validados, o passo seguinte é a previsão dos índices

femt e masct. Para que fosse possível avaliar a capacidade preditiva do modelo,

foi utilizada na estimação do modelo bem como dos parâmetros o período in-

sample (1950-1998). Com base na previsão out-of-sample, ou ex-post3, é possível

a comparação, através de medidas de aderência, entre as previsões e os valores

realmente observados na série para o período 1999-2003 (out-of-sample). A

Tabela 8 apresenta os valores das séries femt e masct no período out-of-sample.

As Fig. 18 e 19 exibem as séries reais e os valores previstos com um intervalo de

confiança de 95%. Todos os valores observados encontram-se dentro do intervalo

de previsão de 95%, o que confirma uma boa capacidade preditiva dos modelos

propostos.

Tabela 8 – Medidas de aderência no período out-of-sample

Período Observado Previsão Erro % Erro

1999 -23.9949 -23.8747 -0.1202 0.50%2000 -28.7352 -24.8344 -3.9008 13.57%2001 -30.5103 -27.0666 -3.4437 11.29%2002 -30.5146 -27.1110 -3.4036 11.15%2003 -29.8683 -28.2148 -1.6535 5.54%

1999 -24.0245 -24.1382 0.1136 0.47%2000 -27.8808 -25.7525 -2.1284 7.63%2001 -29.2905 -27.2443 -2.0462 6.99%2002 -31.6142 -29.5537 -2.0605 6.52%2003 -32.8557 -31.3337 -1.5220 4.63%

Série κfemt

Série κmasct

____________________________________________________________ 3 A previsão ex-post utiliza o modelo estimado no in-sample e extrapola o modelo no período out-of-sample, comparando o previsto com o realmente observado (Fernandes, 2006)

Resultados 53

Série feminina

-35

-25

-151999 2000 2001 2002 2003

Real Previsão Lim.inferior Lim.Superior

Figura 18 – Previsão out-of-sample da série femt

Série masculina

-35

-25

-151999 2000 2001 2002 2003

Real Previsão Lim.inferior Lim.Superior Figura 19 – Previsão out-of-sample da série masct

Após certificação da capacidade preditiva do modelo, as observações

referentes ao período 1999-2003 foram incluídas no modelo para a obtenção da

extrapolação das séries t a partir da última observação disponível. Os novos

Resultados 54

parâmetros estimados para os modelos preditivos finais encontram-se na Tabela 9.

As Fig. 20 e 21 ilustram as previsões das séries femt e masct para os 25 anos

subsequentes à última observação (2004 – 2028). É válido notar que o método LC

foi utilizado para calcular os intervalos de previsão concentrados somente na

variabilidade de t. Em Keilegom et al. (2005), mostra-se a possibilidade de

inclusão de outras fontes de variação através de método de bootstrap.

Tabela 9 – Coeficientes estimados para os modelos preditivos finais

Série feminina Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 29.42971 0.959687 30.66593 0.0000 @TREND -1.110437 0.030504 -36.40280 0.0000

MA(4) 0.519696 0.117248 4.432458 0.0000 R2 = 0,9816

Série masculina Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 12.06975 1.001806 12.04799 0.0000 @TREND 0.353629 0.073662 4.800670 0.0000

(@TREND)^2 -0.022815 0.001213 -18.81492 0.0000 D1951 8.359352 2.968737 2.815794 0.0070 MA(12) -0.891080 0.026348 -33.81991 0.0000

R2 = 0,9957

-70

-60

-50

-40

-30

-20

2005 2010 2015 2020 2025

kfem_previsao

Figura 20 – Previsão da série femt (2004 – 2028)

Resultados 55

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

2005 2010 2015 2020 2025

kmasc_previsao

Figura 21 – Previsão da série masct (2004 – 2028)

A partir dos valores de previsão do índice de mortalidade t, as taxas de

mortalidade podem ser projetadas e as tábuas de mortalidade construídas.

Primeiramente, obtém-se as previsões das taxas de mortalidade a partir da última

taxa de mortalidade empírica disponível, mx,2003, através da fómula:

)(expmm 2003^

s2003^

x

^

2003,xs2003,x^

, s inteiro ≥ 0

A partir das taxas centrais de mortalidade projetadas, as probabilidades de morte a

serem utilizadas nas tábuas de mortalidade são facilmente obtidas conforme

relação exposta na seção 2.1:

x

xx m2

m2qt,x

t,xt,x m2

m2q

O ideal é que seja feita a graduação das taxas cruas de mortalidade antes

da obtenção das probabilidades de morte, para que as informações sejam

suavizadas e produzam um comportamento de acordo com o espeardo. Apesar da

recomendação, o resultado apresentado para as probabilides de morte calculadas

Resultados 56

via método LC neste trabalho não consideraram a graduação nas taxas. Uma

referência sobre as formas de graduação mais utilizadas, especialmente aos casos

brasileiros, pode ser obtida em Martins (2007).

A Fig. 22 exibe as probabilidades qx projetadas através do método LC para

as gerações femininas e masculinas nascidas nos anos 2004 e 2028. Percebemos a

redução esperada para as probabilidades de morte entre os referidos anos. Nota-se

que a curva do 2028 apresenta, a partir da idade 85 aproximadamente,

probabilidades de morte masculinas esperadas menores do que as femininas. Os

modelos feminino e masculino foram construídos de forma independente, não

havendo a pressuposição de nenhuma relação entre eles. Portanto, a estimativa de

probabilidades de morte menores para o sexo masculino é possível. Sabemos que

as mulheres possuem uma sobrevida maior do que os homens em geral, mas não

se pode afirmar se essa tendência vai permanecer, reduzir ou aumentar no futuro.

18 28 38 48 58 68 78 88

2004 Fem. 2028 Fem. 2004 Masc. 2028 Masc.

Figura 22 – Probabilidades de morte qx, na escala logaritmica, projetadas via método LC

Com posse dos valores qx e arbitrando um valor para l0, raiz da tábua de

mortalidade, é possível a obtenção das funções da tábua de mortalidade para todas

as idades x através de fórmulas de recorrência. A raiz da tábua de mortalidade é

geralmente arbitrada em 100.000 e representa o número de sobreviventes à idade

0 (recém-nascidos) da coorte utilizada na construção da tábua. Partindo dos

Resultados 57

valores qx,t projetados, são definidas as funções da tábua de mortalidade

dependentes da idade e do tempo através das relações descritas na seção 2.1:

)q1(ll t,xt,xt,1x ;

t,xt,xt,x qld ;

2ll

L t,1xt,xt,x

;

xx

t,xt,xi

iLT ; e

t,x

t,xt,x

lT

e

,

onde é a idade limite da tábua de mortalidade.

Resultados 58

5.2. Modelos Lineares Generalizados

Começamos nossa análise ajustando a eq.14 àquela que envolve a graduação

de Gompertz Gx(s) dada pela eq.10, ou seja:

s

1j

r

1i

iijj0xtt,x 't)'x(Lelog (16)

Os dados são compostos por 4482 informações acerca de dx,t e ex,t para cada

sexo (83 idades x 54 anos de observação). A princípio, 10% da nossa amostra

(449 observações) foi selecionada aleatoriamente e retirada do banco de dados

original para a verificação do ajuste do modelo.

A seleção de variáveis explicativas a serem incluídas no modelo de

regressão foi feita através do método stepwise forward, onde geramos uma

sequência de modelos com um ou mais parâmetros, partindo do modelo nulo

(contendo somente o intercepto). Os valores ótimos de r e s foram determinados

monitorando-se a redução nas medidas Deviance e Akaike (AIC) à medida que os

valores dos parâmetros aumentavam. Os valores das Deviances e do AIC dos

modelos feminino e masculino estão reproduzidas nas Tabelas 10 e 11. Em

Haberman & Wong-Fupuy (2004), sugere-se que sejam usados valores baixos

para r e s, pois isso assegura uma melhor suavização dos dados. Em adição,

Renshaw et al. (1996) apontam que a dependência no tempo é expressa por

polinômios de baixo valor (r=2). Com base nessas informações, simulamos os

valores de Deviance e AIC obtidos variando o parâmetro r de 0 a 4 e o parâmetro

s de 0 a 6. Tabela 10 – Deviance e AIC – polinômios preditivos femininos

Deviance s r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 0 32.004.888,00 32.000.543,00 31.969.504,00 31.968.125,00 31.968.079,00 1 499.293,50 86.362,80 85.954,02 85.636,96 84.232,67 2 491.754,40 62.837,97 62.181,69 61.859,72 60.443,83 3 473.203,60 47.916,74 47.441,07 47.199,74 45.767,34 4 472.380,40 46.763,27 46.277,62 46.043,48 44.588,71 5 468.792,60 43.070,08 42.587,71 42.337,80 40.883,72 6 467.613,60 42.226,83 41.739,68 41.488,84 40.017,40

Resultados 59

AIC

s r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 0 32.041.438,00 32.037.095,00 32.006.058,00 32.004.681,00 32.004.637,00 1 535.845,70 122.917,00 122.510,20 122.195,10 120.792,90 2 528.308,60 99.394,16 98.739,87 98.419,90 97.006,02 3 509.759,80 84.474,92 84.001,25 83.761,93 82.331,53 4 508.938,60 83.323,45 82.839,80 82.607,67 81.154,90 5 505.352,80 79.632,27 79.151,90 78.903,99 77.451,91 6 504.175,80 78.791,02 78.305,87 78.057,03 76.587,59

Tabela 11 – Deviance e AIC – polinômios preditivos masculinos

Deviance s r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 0 28.880.125,00 28.807.475,00 28.777.820,00 28.775.131,00 28.774.514,00 1 669.353,10 216.477,50 173.280,20 172.442,20 171.292,40 2 661.887,20 214.723,90 172.100,70 171.271,00 170.154,50 3 579.714,40 140.499,60 98.955,60 98.456,98 97.373,54 4 542.124,00 102.669,90 63.241,65 62.606,62 61.790,06 5 539.817,60 100.542,30 61.096,53 60.445,93 59.571,19 6 538.299,30 98.576,83 59.422,88 58.760,69 57.872,45

AIC s r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 0 28.917.213,00 28.844.565,00 28.814.912,00 28.812.225,00 28.811.610,00 1 706.443,30 253.569,70 210.374,50 209.538,40 208.390,60 2 698.979,40 251.818,10 209.197,00 208.369,30 207.254,70 3 616.808,60 177.595,90 136.053,80 135.557,20 134.475,80 4 579.220,30 139.768,10 100.341,90 99.708,85 98.894,30 5 576.915,80 137.642,50 98.198,76 97.550,16 96.677,42 6 575.399,50 135.679,10 96.527,12 95.866,92 94.980,68

Para ajudar a obter os valores ótimos dos parâmetros r e s dos modelos,

assim como em Renshaw et.al. (1996), as diferenças nas deviances em cada linha

e coluna da tabela testadas foram aproximadas a uma distribuição qui-quadrado.

A deviance do modelo com p parâmetros (modelo mais simples) menos a

deviance do modelo com p+q parâmetros (modelo mais complexo) possui uma

distribuição qui-quadrado com q graus de liberdade. O teste foi feito através da

comparação da estatística obtida com uma 21 , sujeita às seguintes hipóteses:

H0: o modelo com p parâmetros é adequado;

Ha: o modelo com p+1 parâmetros é adequado.

Fixando-se uma probabilidade de erro tipo I em 0,10 para o teste de inclusão

de variáveis, para o modelo feminino, a inclusão dos 10 parâmetros um a um foi

verificada e o número de parâmetros escolhidos buscando-se otimizar a

Resultados 60

modelagem foi r = 1 e s = 3, enquanto para o modelo masculino escolheu-se r = 2

e s = 4. Desta forma, temos os modelos propostos:

Feminino: t,x1

13322110t,xt,x u't)'x(L)'x(L)'x(Lelogmlog

Masculino: )'x(L)'x(L)'x(L)'x(Lelogmlog 443322110t,xt,x

t,x2

21

1 u't't ,

onde L é o coeficiente de lagrange e uxt é o termo de erro. O próximo passo

é a estimação dos parâmetros e avaliação do erro padrão para que possamos

verificar a significância estatística de cada parâmetro proposto. A modelagem

GLM e a estimação dos parâmetros foi feita utilizando-se o pacote estatístico R.

Os Quadros 1 e 2 exibem os parâmetros estimados para os modelos feminino e

masculino. O parâmetro de escala é considerado igual a 1 na nossa modelagem,

uma vez que não trabalhamos com dados de apólices, e sim com dados

individuais.

Quadro 1 – Estimação dos parâmetros GLM feminino

Coefficients:Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)

Intercepto -4.6058 0.0006 -7259.8000 <2e-16 ***β 1 3.8793 0.0014 2734.5000 <2e-16 ***β 2 0.3012 0.0014 207.8000 <2e-16 ***β 3 -0.1645 0.0013 -123.4000 <2e-16 ***α 1 -0.3194 0.0005 -654.1000 <2e-16 ***---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.'

(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1

Null deviance: 32004888 on 4034 degrees of freedomResidual deviance: 47917 on 4030 degrees of freedomAIC: 84475

Resultados 61

Quadro 2 – Estimação dos parâmetros GLM masculino


Intercepto -4.0549 0.0006 -6746.1000 <2e-16 ***β 1 3.7200 0.0012 3124.2000 <2e-16 ***β 2 0.2462 0.0014 174.2000 <2e-16 ***β 3 -0.4274 0.0013 -321.1000 <2e-16 ***β 4 0.2894 0.0015 192.3000 <2e-16 ***α 1 -0.3141 0.0005 -649.6000 <2e-16 ***α 2 -0.1801 0.0009 -197.3000 <2e-16 ***---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.'



As estatísticas t calculadas dividindo-se o parâmetro por seu erro padrão,

indicaram significância estatística. Com base nos valores-p obtidos, pode-se

afirmar que todos os parâmetros estimados foram considerados significativos

estatisticamente ao nível de 5% de significância. A partir dos modelos estimados,

testamos as possíveis interações entre as covariáveis. A inclusão dos termos de

interação foi realizada conforme previsto na eq. 15. O método stepwise resultou

nos seguintes modelos finais e estimativas:

Feminino: )'x(L)'x(L)'x(Lelogmlog 3322110t,xt,x

t,x1

1111

1 u't)'x(L't

Resultados 62

Quadro 3 - Estimação dos parâmetros GLM feminino com termo de interação


Intercepto -4.6125 0.0006 -7155.87 <2e-16 ***β 1 3.8800 0.0014 2736.37 <2e-16 ***β 2 0.2958 0.0015 203.95 <2e-16 ***β 3 -0.1761 0.0013 -131.03 <2e-16 ***α 1 -0.3580 0.0008 -465.02 <2e-16 ***γ 11 0.0988 0.0015 64.96 <2e-16 ***---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.'



Masculino: )'x(L)'x(L)'x(L)'x(Lelogmlog 443322110t,xt,x

t,x2

2221

2122

1211

1112

21

1 u't)'x(L't)'x(L't)'x(L't)'x(L't't

Quadro 4 – Estimação dos parâmetros GLM masculino com termo de interação


Intercepto -4.0995 0.0008 -5268.33 <2e-16 ***β 1 3.7324 0.0016 2312.80 <2e-16 ***β 2 0.1061 0.0019 55.47 <2e-16 ***β 3 -0.4622 0.0014 -340.96 <2e-16 ***β 4 0.2658 0.0015 174.90 <2e-16 ***α 1 -0.2890 0.0009 -329.11 <2e-16 ***α 2 -0.0829 0.0016 -50.41 <2e-16 ***γ 11 0.0608 0.0016 37.98 <2e-16 ***γ 21 -0.1266 0.0030 -41.90 <2e-16 ***γ 12 0.2038 0.0020 104.05 <2e-16 ***γ 22 0.3445 0.0036 95.84 <2e-16 ***---Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.'



Resultados 63

Calculamos um intervalo de confiança de 95% para a média das

observações da nossa amostra de 10% dos dados. Para cada observação,

verificamos se o valor observado estava dentro do intervalo gerado. O índice de

acerto de predição foi de aproximadamente 85%, o que consideramos um bom

ajuste. Estando os parâmetros estimados e os modelos validados, é possível a

estimação dos valores projetados das taxas centrais de mortalidade para os anos

futuros. Da mesma forma que no modelo LC, podemos estimar qx,t e

consequentemente gerar uma tábua de mortalidade geracional.

Conclusão 64

6 Conclusão

Mostramos um pouco da tendência da mortalidade nos últimos tempos. A

mortalidade em movimento, que impacta diretamente os resultados dos cálculos

atuariais principalmente na fase adulta, foi a motivação para o presente trabalho.

Demonstrou-se que as tendências de mudança da mortalidade podem e devem ser

reconhecidas antecipadamente nos cálculos atuariais quando da adoção de tábuas

de mortalidade geracionais, incluindo a variável tempo além da idade do

indivíduo. O uso e estudo de tábuas geracionais já é uma constante em países

desenvolvidos, e espera-se que esse conceito esteja difundido no Brasil dentro de

pouco tempo.

As metodologias Lee-Carter e GLM apresentadas para projeção da

mortalidade capturam e extrapolam as tendências históricas dos dados brutos de

mortalidade, sob a hipótese crucial de que essas tendências permanecerão no

futuro. No entanto, sabe-se que previsão é fonte de incerteza. Há incerteza no

modelo a ser adotado, nos parâmetros estimados, na medida de erro, no fato da

experiência passada não ser um bom indicativo para o comportamento futuro.

Enfim, ainda há muitos desafios no que diz respeito à estudos de projeção da

mortalidade. Outras fontes de informações, sejam opiniões médicas ou de experts

p.ex, podem ajudar a “prever” quando essas tendências provavelmente mudarão

para um futuro, apesar de ser difícil a implementação de tais informações. Um

grande número de extensões às metodologias ora apresentadas vêm sendo

divulgados buscando-se uma maior aproximação das projeções da mortalidade

com a realidade observada.

Referências Bibliográficas 65

7 Referências Bibliográficas

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Apêndice I 68

Apêndice I – Estimativas dos parâmetros LC

1. Parâmetros x^

Idade Feminino Masculino Idade Feminino Masculino18 -7.8962255 -6.9463061 61 -4.5687767 -3.930760019 -7.8714771 -6.9327629 62 -4.4550881 -3.815872920 -7.8610486 -6.9145999 63 -4.3583455 -3.715663021 -7.8293890 -6.9317733 64 -4.2595673 -3.606974822 -7.8166698 -6.9431814 65 -4.1634200 -3.515663523 -7.7877272 -6.9787263 66 -4.0779624 -3.440348624 -7.7704616 -6.9961998 67 -3.9592727 -3.322697425 -7.7260825 -6.9959035 68 -3.8622824 -3.233724726 -7.6670774 -6.9809528 69 -3.7524161 -3.135881127 -7.6345745 -6.9813418 70 -3.6502615 -3.050176528 -7.5663133 -6.9544853 71 -3.5616115 -2.969580929 -7.4956456 -6.9262513 72 -3.4294836 -2.854086430 -7.4314256 -6.8915336 73 -3.3196750 -2.761285631 -7.3722783 -6.8681201 74 -3.2094914 -2.667108532 -7.2707137 -6.8001778 75 -3.1109537 -2.586805133 -7.2112402 -6.7589597 76 -2.9996329 -2.490621934 -7.1109859 -6.6994788 77 -2.9074705 -2.414932335 -7.0246333 -6.6153700 78 -2.7922875 -2.322055436 -6.9466265 -6.5572686 79 -2.6832662 -2.228517237 -6.8581782 -6.4754351 80 -2.5777659 -2.151568538 -6.7508988 -6.3913006 81 -2.4856417 -2.077323139 -6.6584655 -6.2884326 82 -2.3626645 -1.970822740 -6.5605248 -6.1945286 83 -2.2557640 -1.885063141 -6.4719875 -6.0985012 84 -2.1461135 -1.791339942 -6.3490269 -5.9827271 85 -2.0473416 -1.711799643 -6.2574609 -5.8886482 86 -1.9357154 -1.617901444 -6.1614106 -5.7888874 87 -1.8487121 -1.538911845 -6.0624976 -5.6642897 88 -1.7602178 -1.464345946 -5.9626959 -5.5513121 89 -1.6575217 -1.381790947 -5.8523861 -5.4392165 90 -1.5657488 -1.308638348 -5.7604324 -5.3407754 91 -1.4890631 -1.241471749 -5.6622238 -5.2111012 92 -1.3849589 -1.141102850 -5.5666531 -5.1026149 93 -1.2945757 -1.072536651 -5.4990368 -5.0104145 94 -1.2177570 -0.996870852 -5.3893120 -4.8836947 95 -1.1391300 -0.916740553 -5.3052303 -4.7681753 96 -1.0483323 -0.842155454 -5.2147442 -4.6625115 97 -0.9905827 -0.792038655 -5.1395076 -4.5673490 98 -0.9195703 -0.733696056 -5.0388046 -4.4484849 99 -0.8686597 -0.675156657 -4.9476052 -4.3363879 100 -0.7696601 -0.608160558 -4.8475127 -4.226933359 -4.7504804 -4.124530860 -4.6508366 -4.0264646

Apêndice I 69

2. Parâmetros x

^

Idade Feminino Masculino Idade Feminino Masculino18 0.0119592 0.0082385 61 0.0094195 0.017064719 0.0128205 0.0095386 62 0.0107243 0.018119920 0.0137352 0.0094384 63 0.0109488 0.018003621 0.0153589 0.0099947 64 0.0105721 0.017891322 0.0161060 0.0094106 65 0.0103812 0.017188423 0.0175490 0.0084193 66 0.0099616 0.015703024 0.0177844 0.0077535 67 0.0108544 0.016134225 0.0183646 0.0072386 68 0.0109744 0.015718326 0.0175747 0.0075865 69 0.0114086 0.015524027 0.0175328 0.0066880 70 0.0110116 0.014543728 0.0179202 0.0065001 71 0.0103755 0.013215329 0.0184020 0.0067662 72 0.0114799 0.014292230 0.0176487 0.0077520 73 0.0118491 0.013875231 0.0160453 0.0054936 74 0.0122263 0.013382032 0.0172868 0.0069141 75 0.0120985 0.012816133 0.0157825 0.0071954 76 0.0123735 0.012833134 0.0156637 0.0084889 77 0.0118144 0.011910935 0.0150325 0.0103638 78 0.0124877 0.012137636 0.0148673 0.0096137 79 0.0125245 0.011951437 0.0154643 0.0101632 80 0.0117761 0.010880038 0.0152700 0.0118282 81 0.0110313 0.010240739 0.0150527 0.0112598 82 0.0114080 0.011077840 0.0145826 0.0120752 83 0.0114966 0.010708641 0.0140548 0.0122595 84 0.0115818 0.011443542 0.0147230 0.0144819 85 0.0106671 0.009943943 0.0138780 0.0136441 86 0.0105910 0.010433144 0.0134223 0.0143732 87 0.0097704 0.010196445 0.0133948 0.0153558 88 0.0091442 0.009542046 0.0134331 0.0154288 89 0.0088293 0.009471547 0.0132912 0.0158208 90 0.0081089 0.008587348 0.0133358 0.0167264 91 0.0071080 0.008079749 0.0136153 0.0174396 92 0.0070636 0.007850750 0.0123730 0.0173795 93 0.0064156 0.007230951 0.0116711 0.0174574 94 0.0061249 0.007281552 0.0123505 0.0184968 95 0.0054503 0.006908753 0.0120906 0.0187588 96 0.0053678 0.007205954 0.0118674 0.0189994 97 0.0050393 0.005309455 0.0103846 0.0180296 98 0.0050853 0.006630456 0.0113518 0.0186837 99 0.0045568 0.007347357 0.0108243 0.0185834 100 0.0042738 0.005220258 0.0111663 0.019119059 0.0105532 0.018739860 0.0100395 0.0176074

Apêndice I 70

3. Parâmetros t^

Ano Feminino Masculino Ano Feminino Masculino1950 37.67545453 23.76006214 1950 30.12565234 15.752991421951 38.55327710 27.06240947 1951 35.15849783 21.202922221952 27.34991855 19.07130363 1952 23.59322747 14.414998411953 25.70234794 17.79716425 1953 23.12240390 14.055157951954 22.92217563 16.37081354 1954 20.70094040 13.488576631955 22.19377839 17.21475158 1955 22.49072902 14.782511841956 19.95672274 15.16396597 1956 21.50818600 14.429779041957 18.48870510 14.26658663 1957 17.63417154 13.133601861958 17.27869906 13.27377576 1958 18.71409291 13.497136531959 15.96049249 12.44870209 1959 17.37411220 12.485541341960 12.90951237 11.94615484 1960 15.26221250 11.228137551961 15.91155271 13.95266068 1961 18.34320613 13.414610361962 15.50905245 13.33254382 1962 17.25888687 13.696636301963 15.23767982 14.39043539 1963 18.34700513 14.828585661964 9.82875660 9.99056570 1964 9.44315061 9.324404251965 10.18582889 10.58308784 1965 10.15344321 10.475467451966 10.66724811 11.18420879 1966 11.38926302 11.525884941967 6.77884616 6.78345336 1967 6.47386128 7.988866121968 8.93500303 8.39060034 1968 11.17591629 11.281352521969 8.82671278 8.68551676 1969 9.62646309 11.465757501970 7.18131546 7.71524367 1970 7.86031499 9.799334391971 5.20424875 6.06472088 1971 5.21629987 7.752580041972 6.90045029 7.75987888 1972 8.02064041 10.119754031973 5.71613998 7.50444022 1973 6.77606016 8.589589451974 4.10656803 5.84177219 1974 5.34709526 7.698344531975 3.59277606 4.33228414 1975 3.83128288 6.851533141976 4.25671811 5.19608303 1976 6.03618421 7.712447611977 0.07918251 1.41364795 1977 0.91886058 4.463499701978 1.42437664 2.88856041 1978 0.80142623 4.967488751979 -0.09090651 2.21925365 1979 1.03005954 4.634159041980 -2.72485825 -1.03322767 1980 -2.17126136 2.270093581981 -4.70016743 -2.49861220 1981 -3.60476693 0.686068201982 -5.59874259 -4.05519211 1982 -3.98962522 0.153746861983 -7.99163519 -4.99760113 1983 -5.85063793 -0.869973561984 -10.45812186 -7.34040193 1984 -9.18045782 -3.669036111985 -9.55486849 -6.47623887 1985 -6.11115747 -2.021482961986 -10.72449467 -8.08630337 1986 -8.93552161 -4.051142371987 -12.62610060 -10.38417585 1987 -12.53831519 -7.109444651988 -13.20146091 -10.58671194 1988 -12.85907121 -8.042463001989 -13.42695993 -10.86844172 1989 -12.48892770 -8.914764401990 -16.23211242 -11.29475520 1990 -16.42362322 -10.982197301991 -16.73403833 -12.22035121 1991 -16.10359807 -11.899094671992 -18.67225159 -15.01987022 1992 -19.26776338 -14.458142331993 -17.49200367 -13.71962465 1993 -16.27292358 -13.249666011994 -20.64083818 -17.12508723 1994 -21.77408869 -17.631298911995 -19.52689356 -15.45684209 1995 -19.63479018 -16.688593721996 -20.46833262 -17.33442252 1996 -21.77038514 -19.357222641997 -22.07725604 -19.47207030 1997 -22.98312311 -21.538617481998 -22.77098798 -20.19359676 1998 -23.80085337 -22.707754761999 -23.48557133 -21.24041131 1999 -23.99491920 -24.024538142000 -25.37850525 -24.17309701 2000 -28.73520750 -27.880842062001 -27.88727137 -26.25551455 2001 -30.51032191 -30.290514422002 -28.56735066 -27.58347843 2002 -30.51460153 -31.614167592003 -28.30181085 -29.18861934 2003 -29.86830891 -32.85566832

Reestimação κτPrimeira estimação κτ

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Raquel Rodrigues Santos Técnicas de modelagem do ...livros01.livrosgratis.com.br/cp081644.pdf · Santos, Raquel Rodrigues. Técnicas de modelagem do improvement para construção