Recordando o princípio da Indução...

Seja:

)1.(

1...

5.4

1

4.3

1

3.2

1

2.1

1

nnSn

É fácil ver que:

3

2

6

4

6

13

6

1

2

1

3.2

1

2.1

12.1

1

2

1

S

S

4

3

4.3

1

3.2

1

2.1

13 S

5

4...

3.2

1

2.1

14 S

Com base nos resultados obtidos, afirmamos que, para todo número

natural n,

)1(

nn

nSn

A seqüência de Fibonacci e o problema dos coelhos

• Autor do 1º livro sobre Ábaco, em 1202 que contém grande parte do conhecimento aritmético e algébrico da época. Teve grande influência no desenvolvimento da Matemática; formulou e resolveu o seguinte problema:

• Os coelhos se reproduzem rapidamente. Admitimos que um par de coelhos adultos produza um casal de coelhos jovens, todo mês, e que os coelhos recém-nascidos se tornem adultos em dois meses e produzam, por sua vez, nessa época, um casal de coelhos. Começando com um casal jovem, de que tamanho estará a colônia após certo número de meses?

• Se começarmos com um casal recém-nascido, durante os dois primeiros meses teremos apenas esse casal.

• No terceiro mês nasce um novo casal, de modo que agora teremos dois casais.

• No quarto mês o casal original produziu outro par, existindo então três casais.

• Um mês mais tarde, tanto o par original quanto o primeiro casal nascido produziram novos casais, de forma que agora existem dois casais adultos e três casais jovens.

Os dados podem ser colocados em uma tabela do tipo:

Crescimento de uma colônia de coelhos

meses Casais adultos Casais jovens total

1 0 1 1

2 0 1 1

3 1 1 2

4 1 2 3

5 2 3 5

6 3 5 8

7 5 8 13

O Teorema Fundamental da Aritmética

• Os números primos e o princípio da indução são ferramentas para demonstrar o TFA.

• A importância dos primos se deve ao fato que todo número inteiro pode ser construído multiplicativamente a partir deles: com efeito, se um número não é primo podemos decompô-lo até seus fatores sejam todos primos. Por ex:

• 360 = 3.120 = 3.30.4 = 3.3.10.2.2=...23.32.5

• Assumiremos que uma decomposição de um número primo p é dada por ele mesmo ou pelo produto : p.1

• RECORDANDO. . . .

• Matematicamente...

• P = n2 - 1

Corolário:• Se um número primo divide o produto de

certos inteiros, então ele divide pelo menos um destes inteiros.

• Um corolário é uma decorrência imediata de um teorema.

• Exemplo: O comprimento da diagonal de um quadrado cujo lado possui comprimento "a" é dado por a . Isto é um corolário do teorema de Pitágoras

O Teorema Fundamental da Aritmética

• TFA: Todo número inteiro positivo n pode ser escrito de forma única como um produto de primos (diferindo apenas pela ordem), ou seja, n = p1 . p2 . ... . p t

onde p1 ≥ p2 ≥... ≥ pt são números primos.

• Formalmente podemos definir:Todo número natural n≥2 pode ser escrito como um produto de números primos. Essa decomposição, é única a menos da ordem dos fatores.

Demonstração:• Vamos mostrar a existência da fatoração em

primos usando uma variação da demonstração por indução:

• Suponhamos a afirmação verdadeira para todo número m ≥ 2 e m ≤ k

• Provemos que P(k+1) é verdadeira.• Se k+1 for primo então P(k+1) é verdadeira.• Se k+1 não for um número primo, então k+1

pode ser escrito como:• k+1 = a.b em que 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k

• Então pela hipotese da indução ou a e b podem ser escritos por um produtos de primos ou são números primos.

• Logo k+1 = a.b é tb um produto de primos!

• A saber:o produto dos números primos da fatoração de a multiplicados pelos primos da fatoração de b

• Assim provamos que todo natural k >1 pode ser decomposto como produto de fatores primos! ! !.