REDE DOCTUM DE ENSINO SUPERIOR – UNIDADE LARANJEIRAS (ES) CURSO DE REDES APOSTILA DE ESTATÍSTICA PROF. REGINALDO N. ROCHA ALUNO:

REDE DOCTUM DE ENSINO SUPERIOR – UNIDADE LARANJEIRAS (ES)

CURSO DE REDES

APOSTILA DE ESTATÍSTICA

PROF. REGINALDO N. ROCHA

ALUNO:..................................................................................

TURMA:.......................................

ANO:..........................

INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 01

CONCEITO DE ESTATÍSTICA:

Dois conceitos geralmente aceitos:

Uma coleção de dados quantitativos referentes a

qualquer elemento ou grupo, especialmente quando os

dados são obtidos e colecionados de forma sistêmica.

Ex.: Pressão sangüínea, Jogos de futebol, empregos, etc...

Ciência que lida com a coleta, tabulação, análise,

interpretação e apresentação de dados quantitativos.

Ex.: Pesquisa de mercado determinando preferências do

consumidor, levantamento de índices de preços, etc...

Uso em:• Controle de Qualidade;• Projeções de mercado;• Investimentos, etc..


POPULAÇÃO E AMOSTRA:

PopulaçãoPopulação

AmostraAmostraApresentaçãoApresentação

InferênciaInferência

População estatística ou universo estatístico

compreende o conjunto de entes portadores de,

pelo menos , uma característica comum.

Amostra é o subconjunto finito de uma

população.


ESTATÍSTICA INDUTIVA E DESCRITIVA:

•A Estatística Indutiva compreende a obtenção, a partir de

um conjunto limitado de dados ( amostra ) , de conclu-

sões sobre um grande conjunto de dados ( população ).

•A Estatística Descritiva compreende a descrição e análise

de um elemento ou grupo.

Fases daFases daEstatísticaEstatística

IndutivaIndutiva

ouou

InferencialInferencial

DescritivaDescritiva

ouou

Dedutiva Dedutiva

As conclusões ouAs conclusões ouinferências não podem serinferências não podem serestabelecidas com certezaestabelecidas com certezaabsolutaabsoluta

Uso deUso deProbabilidade !!!Probabilidade !!!


VARIÁVEIS:

As Variáveis podem ser:

1 - Qualitativa:

Quando seus valores são expressos por atributos.

- Nominal: masculino, feminino, solteiro, casado, etc

- Ordinal: grau de instrução, colocação, etc.

2 - Quantitativa:

Quando seus valores são expressos por números.

- Contínua: altura, comprimento, temperatura, etc.

- Discreta: Peças produzidas, nº de filhos, etc.

Conjunto de resultadosConjunto de resultados

possíveis de um possíveis de um

fenômeno. fenômeno.


COLETA E APRESENTAÇÃO DE DADOS:

COLETACOLETA OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO

DIRETADIRETA

INDIRETAINDIRETA

APURAÇÃO EAPURAÇÃO E

APRESENTAÇÃOAPRESENTAÇÃO

TABELASTABELAS

GRÁFICOSGRÁFICOS

Exportações bras ileiras 03/95

SP 1344MG 542RS 332ES 285PN 250SC 202

Fonte: SECEX

Ex p o r ta ç õ e s b r a s ile ir a s 0 3 /9 5

0

500

1000

1500

SP MG RS ES P N SC

Es tad o

US

$ m

ilhõ

es


GRÁFICOS PARA APRESENTAÇÃO DE DADOS:

A M O S T R A N º 2 0D E F E IT O S F R E Q U Ê N C IA

A 2 8B 2 0C 1 4D 1 3E 1 0F 5

C Q - 0 1 /0 2 / 99

C O L UN A S

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

A B C D E F

DEFEIT O S

FRE

QU

ÊN

CIA

B A R R A S

0 1 0 2 0 3 0

A

B

C

D

E

F

DE

FEIT

OS

F REQ U Ê NC IA

L IN H A S

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

A B C D E F

D EF EIT O S

FREQ

UÊN

CIA

P IZ Z A

A3 1 %

B2 2 %

C16 %

D1 4 %

E11 %

F6 %


ARREDONDAMENTO DE DADOS:

Objetiva minimizar os erros acumulados por arredonda-Objetiva minimizar os erros acumulados por arredonda-

mento.mento.

Ex.: 12,8635 Ex.: 12,8635 12,864 12,864 12,86 12,86 12,9 12,9 13 13

NOTAÇÃO CIENTÍFICA:

Emprega-se quando o número comporta muitos zeros.Emprega-se quando o número comporta muitos zeros.

Ex.:Ex.: 500.000,00 = 5 x 10500.000,00 = 5 x 1055

854.000.000,00 = 8,54 x 10854.000.000,00 = 8,54 x 1088

0,0000355 = 3,55 x 100,0000355 = 3,55 x 10-5-5

ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS:

São os algarismos ou dígitos representativos, separadosSão os algarismos ou dígitos representativos, separadosdos zeros necessários à localização da vírgula.dos zeros necessários à localização da vírgula.

Exemplos:Exemplos:

5,32 5,32 3 alg. significativos.3 alg. significativos.

32,30 32,30 4 alg. significativos. 4 alg. significativos.

00,0018 = 1,8 x 10,0018 = 1,8 x 10-3-3 2 alg. significativos. 2 alg. significativos.

00,001800 = 1,800 x 10,001800 = 1,800 x 10-3-3 4 alg. significativos. 4 alg. significativos.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 08

A Distribuição de freqüência compreende um

arranjo tabular dos dados por classes, juntamente

com suas freqüências correspondentes.

Dados Brutos e Rol:

Intervalos de variação de uma variável.

li Li

AMOSTRAS10831575191812

AMOSTRAS35781012151819

AMOSTRAS

00 |---------- 05

05 |---------- 10

10 |---------- 15

15 |---------- 20

ClassesClasses

Amplitude do intervalo de classe ( h )

h = Li - li

Amplitude total da distribuição ( R )

R = Li ( máx ) - li ( mín )

Número de classes ou células ( K )

K = R / h

Ponto médio de uma classe ( xi )

xi = ( Li + li ) / 2

O NÚMERO DE CLASSES É SUBJETIVO

Métodos tradicionais:

K = 1 + 3,22 log n ( R. Sturges , n > 100 )

K = ( n pequeno )


R E C O M E N D A Ç Ã OC L A S S E S O B S E R V A Ç Õ E S

5 a 9 < 1 0 08 a 1 7 d e 1 0 0 a 5 0 0

1 5 a 2 0 > 5 0 0

n


Tipos de freqüências:

Freqüência absoluta ( fi ) são os valores

que realmente representam o número de

dados de uma classe.

Freqüência relativa ( fri ) são os valores

das razões entre as freqüências simples e

a freqüência total.

Freqüência acumulada ( Fi ) é o total da

das freqüências de todos os valores infe-

riores ao limite superior do intervalo de

uma dada classe.

Freqüência acumulada relativa ( Fri ) é

a freqüência acumulada da classe, divi-

dida pela freqüência total.

nfi

fififri

fiFi

fi

FiFri


Regras gerais de uma distribuição de freqüências:

1 - Após ordenação dos dados de forma tabulada, deter-

minar o maior e menor número e, então, calcular a

amplitude total do rol ( R );

2 - Definir o número de classes ( K );

3 - Determinar as freqüências de classe ( fi , fri , Fi e Fri ).

Exemplo:

i ESTATURAS xi fi fri FI Fri

[ cm ]

1 155 |----- 161 158 2 0,067 2 0,067

2 161 |----- 167 164 4 0,133 6 0,200

3 167 |----- 173 170 7 0,233 13 0,433

4 173 |----- 179 176 9 0,300 22 0,733

5 179 |----- 185 182 5 0,167 27 0,900

6 185 |----- 191 188 3 0,100 30 1,000

30 1,000

ESTATURAS DE ALUNOS [ cm ]155 158 162 164 165 166 167 168 168 170170 171 172 173 174 174 175 176 176 177178 178 180 183 183 184 184 185 188 190

UFES


Histogramas:

Polígonos:

ESTATURA DE ALUNOS

0

2

4

6

8

10

158 164 170 176 182 188

ESTATURAS [ cm ]

FREQ

.

ESTATURA DE ALUNOS

0%

20%

40%

60%

80%

100%

158 164 170 176 182 188

ESTATURAS [ cm ]

FREQ

.

ESTATURA DE ALUNOS

0

2

4

6

8

10

158 164 170 176 182 188

ESTATURAS [ cm ]

FREQ

.

ESTATURA DE ALUNOS

0%

20%

40%

60%

80%

100%

158 164 170 176 182 188

ESTATURAS [ cm ]

FREQ

.


Tipos de curvas de freqüência ou Ogivas:

1 - Quanto à Simetria e forma:

Assimétricapara a esquerda

Simétrica( normal )

Assimétricapara a direita

Forma de “ J “

Forma de “ J “invertido

Forma de “ U “


Tipos de curvas de freqüência ou Ogivas:

2 - Quanto ao achatamento: 3 - Quanto às modas:

Normal

Leptocúrtica

Platicúrtica

Unimodal

Bimodal

Multimodal

MEDIDAS DE POSIÇÃO 15

Notação de Somatório:

Exemplo: X = ( 1 , 2, -2, 10, -5 )

n

n

j

XXXXXj

......3211

6510221)5(10)2(211

n

j

Xj

MédiaMédia

MedianaMediana

ModaModa

Medidas de Tendência Central:

São medidas que representam a tendência dos

dados em se agruparem em torno dos valores

centrais.

QQ33QQ22QQ11

SeparatrizSeparatriz


Média aritmética ( ):

Quociente da divisão da soma dos valores da

variável pelo número deles.

FÓRMULA PARA DADOS

NÃO-AGRUPADOS.

Exemplo:

A produção leiteira de uma vaca, durante uma

semana foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros. Logo a

produção média ao longo da semana será:

X

nXXX

n

XjX n

n

j

......211

14798

712181615131410

X


Propriedades da Média:

1ª : A soma algébrica dos desvios tomados em relação à

média é nula.

2ª : Somando-se ou subtraindo-se uma constante ( c ) de

todos os valores de uma variável, a média do conjunto

fica aumentada ou diminuída dessa constante.

3ª : Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de

uma variável por uma constante ( c ), a média do conjunto

fica multiplicada ou dividida por essa constante.

k

i

d1

1 0

cXYcXY ii

cXYcXY ii

XXd ii


Média aritmética para dados agrupados:

Observações:

1ª - A fórmula da média aritmética para dados agrupados

corresponde também à média aritmética ponderada, onde

fi é a freqüência absoluta dos dados ou o peso de cada

dado na distribuição.

2ª - No caso de distribuição de freqüência sem intervalos

de classe, entende-se que Xi representa a variável em

estudo.

3ª - No caso de distribuição de freqüência com intervalos

de classe, entende-se que Xi representa o ponto médio de

cada classe.

i

ii

ffx

X


Exemplos de Média aritmética para dados agrupados:

1º - Sem intervalo de classe:

2º - Com intervalo de classe:

COMPOSIÇÃO FAMILIARNº DE MENINOS fi xi fi

0 2 01 6 62 10 203 12 364 4 16

34 78

ES T A T U R A D E A L UN O S

i ES T A T U R AS [ cm ] x i f i x if i

1 1 50 |--- -- 1 54 152 4 608

2 1 54 |--- -- 1 58 156 9 1404

3 1 58 |--- -- 1 62 160 11 1760

4 1 62 |--- -- 1 66 164 8 1312

5 1 66 |--- -- 1 70 168 5 840

6 1 70 |--- -- 1 74 172 3 516

40 6440

29,23478

i

ii

ffx

X

16140

6440

i

ii

ffx

X


Moda ( Mo ):

Compreende o valor que ocorre com maior

freqüência em uma série de valores.

A Moda para dados não-agrupados:

A moda consiste no valor que mais se repete.

Exemplos:

A = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 15 )

Não há Moda Série amodal

B = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 , 13 , 15 )

Mo = 10 Série unimodal

C = ( 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 10 )

Mo = 4 e 7 Série bimodal


A Moda para dados agrupados:

1º Caso: Sem intervalos de classe

Ex.:

Mo = 2

2º Caso: Com intervalos de classe

CO MPO SIÇÃO FAMILIAR

MENIN OS fi

0 2

1 6

2 12

3 4

4 1

soma: 25

*

21

1*

**

2

hDD

DlMo

LlMobruta

)(*

2

)(*

1

post

ant

ffD

ffD


Exemplo de Moda para dados agrupados:

ES T A T U R A D E A L UN O S

i ES T A T U R AS [ cm ] x i f i x if i

1 1 50 |--- -- 1 54 152 4 608

2 1 54 |--- -- 1 58 156 9 1404

3 1 58 |--- -- 1 62 160 11 1760

4 1 62 |--- -- 1 66 164 8 1312

5 1 66 |--- -- 1 70 168 5 840

6 1 70 |--- -- 1 74 172 3 516

40 6440

6,159432

2158

3811

2911

)(*

2

)(*

1

*

21

1*

Mo

ffD

ffD

hDD

DlMo

post

ant


Mediana ( Md ):

Compreende um número que se encontra no

centro de uma série de números, estando estes dispostos

segundo uma ordem.

A Mediana para dados não-agrupados:

Exemplos:

A = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 15 , 18 )

Md = 11

B = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 15 , 18 , 20 )

Md = ( 11 + 12 ) / 2 = 11,5

C = ( 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 11 , 12 , 13 , 15 , 18 )

Md = ( 11 + 11 ) / 2 = 11


A Mediana para dados agrupados:

1º Caso: Sem intervalos de classe

Exemplo.:

2º Caso: Com intervalos de classe

COMPO SIÇÃO FAMILIAR

MENINOS f i

0 2

1 6

2 12

3 4

4 1

soma: 25

2ª3

5,12225

2

Mdclasse

fi

*

*)(

* 2f

hFfi

lMdant


Exemplo de Mediana para dados agrupados:

Md

i E S T A T U R A S x i f i F I

[ c m ]

1 15 0 |- - - -- 1 5 4 15 2 4 4

2 15 4 |- - - -- 1 5 8 15 6 9 1 3

3 15 8 |- - - -- 1 6 2 16 0 1 1 2 4

4 16 2 |- - - -- 1 6 6 16 4 8 3 2

5 16 6 |- - - -- 1 7 0 16 8 5 3 7

6 17 0 |- - - -- 1 7 4 17 2 3 4 0

4 0

cmMd

Md

f

hFfi

lMdant

5,160

11

4132

40

158

2*

*)(

*


Relações entre a Média, Moda e Mediana:

Assimetria Positiva ou à direitaAssimetria Positiva ou à direita

MoMo MdMd MédiaMédia

MédiaMédia = = MdMd = = MoMo

SimetriaSimetria

MédiaMédia MdMd MoMoAssimetria Negativa ou à esquerdaAssimetria Negativa ou à esquerda


Separatrizes ( Quartil, Decil e Percentil ):

São os valores de uma série ordenada que a

dividem em quatro, dez ou em cem partes iguais.

Para qualquer separatriz, utiliza-se a fórmula da

Mediana, operando-se a seguinte mudança:

Onde:

k = Nº de partes da separatriz

p = Separatriz ( 4 , 10 , 100 )

*

*)(

* 2f

hFfi

lMdant

pfikfi

2


i E S T A T U R A S x i f i F I

[ c m ]

1 15 0 |- - - -- 1 5 4 15 2 4 4

2 15 4 |- - - -- 1 5 8 15 6 9 1 3

3 15 8 |- - - -- 1 6 2 16 0 1 1 2 4

4 16 2 |- - - -- 1 6 6 16 4 8 3 2

5 16 6 |- - - -- 1 7 0 16 8 5 3 7

6 17 0 |- - - -- 1 7 4 17 2 3 4 0

4 0

Exemplo de Separatriz:

P8

Q3

cmf

hFfi

lQ

cmf

hFfi

lP

ant

ant

1658

4244403

1624

3

2,1534

40100

408

150100

8

*

*)(

*3

*

*)(

*8

As medidas de Dispersão ou Variabilidade

descrevem a diversificação dos valores de uma

variável em torno de um valor de tendência

central tomado como ponto de comparação.

Sejam os Conjuntos:

A = ( 70 , 70 , 70 , 70 , 70 )

B = ( 68 , 69 , 70 , 71 , 72 )

C = ( 10 , 50 , 70 , 90 , 130 )

Como representar uma população, amostra

ou conjunto de dados ?

As medidas de dispersão são:

- Amplitude Total. - Variância.

- Desvio Médio. - Desvio Quartílico.

- Desvio Padrão. - Desvio Percentílico.

- Coeficiente de Variação.

MEDIDAS DE DISPERSÃO 29

70x

Amplitude Total ( AT ):

Diferença entre o maior e o menor valor

observado.

Desvio Médio ( DM ):

Razão entre a soma dos desvios em relação à

média ( valor absoluto ) e o número deles.

Dados não-agrupados: Dados agrupados:

Exemplo:


)()( mínmáx xxAT

n

xxDM i

n

xxifiDM

8,25

61168666362

65/)118632()11,8,6,3,2(

DM

xA


Desvio-padrão ( S ):

Raiz quadrada média dos quadrados dos desvios

tomados em relação à média.

Obs.: n - 1 graus de liberdade.

Quando n > 30 , usar somente n no denominador,

ao invés de n-1.

Exemplo:

1

agrupados-nãoDados2

n

xxS i

1

agrupadosDados2

n

xxfS ii

67,35,13454

42540916

15)611()68()66()63()62(

65/)118632()11,8,6,3,2(

22222

S

S

xA


Coeficiente de Variação ( CV ):

Medida de dispersão relativa compreendida pela

razão entre o desvio-padrão e a média.

Variância ( ):

É o quadrado do desvio-padrão.

Desvio Quartílico ( DQ ):

É o metade da diferença entre o 3º e o 1º quartil.

Desvio Percentílico ( DP ):

É a diferença entre o 90º e o 10º percentil.

100xSCV

2S

213 QQDQ

1090 PPDP

Probabilidade: Estudo dos experimentos

aleatórios ou não determinísticos.

Experimentos Aleatório

Resultados não podem ser determinados antes da

realização.

Espaço Amostral ( S )

Conjunto formado por todos os resultados

possíveis de um experimento aleatório.

Evento

Conjunto qualquer de resultados de um

experimento aleatório.

Experimento aleatório = Lançar dados

Exemplo : S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

Evento A = { 2 }

PROBABILIDADE 33

Propriedades dos Eventos: Seja E um evento de S, tal que E S :

Se:

E = S E é chamado evento certo.

E não está em S E é chamado evento impossível.

Apenas um elemento de E está em S , então o evento é

chamado de unitário ou elementar.

Exemplo:

No lançamento de um dado comum, tem-se:

A = { 2 , 4 , 6 } A é um evento comum.

B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } B é um evento certo.

C = { 4 } S C é um evento elementar.

D = { } D é um evento impossível.

Onde:

A - Obter um número par.

B - Obter um nú mero menor ou igual a 6.

C - Obter o número 4.

D - Obter um nú mero maior que 6.

PROBABILIDADE 34

Teoria elementar da Probabilidade: A probabilidade de um evento A ( A S ) é dada por

P(A), tal que:

Onde:

n(A) é o nº de elementos do evento A.

n(S) é o nº de elementos do espaço amostral S.

Axiomas da Probabilidade:

a) A probabilidade de um evento certo é 1.

b) A probabilidade de um evento impossível é zero.

c) A probabilidade de um evento E qualquer ( E S ) é

um número real P(E), tal que : 0 P ( E ) 1

d) A probabilidade de um evento elementar E qualquer é

dado por : P ( E ) = 1 / n

e) A probabilidade de um evento complementar é dado

por : P ( Ä ) = 1 - P ( A )

PROBABILIDADE 35

n(S)n(A)P(A)

PROBABILIDADE 36

Teorema da Adição:a) Eventos mutuamente exclusivos:

Exemplo:

Em uma urna existem existem 10 bolas de 1 a 10. Uma

bola é retirada ao acaso. A probabilidade da bola retirada

ser um número primo ou maior que 8 é dado por:

S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } n ( S ) = 10

Primo: A = { 2 , 3 , 5 , 7 } n ( A ) = 4

> 8: B = { 9 , 10 } n ( B ) = 2

Logo:

P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) = ( 4 / 10 ) + ( 2 / 10 )

P ( A B ) = 0,4 + 0,2 = 0,6

SS

A B

)B(P)A(P)BA(P

PROBABILIDADE 37

b) Reunião de dois eventos:

Exemplo:

Em uma urna existem existem 10 bolas de 1 a 10. Uma

bola é retirada ao acaso. A probabilidade da bola retirada

ser um número par ou maior que 4 é dado por:

S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } n ( S ) = 10

Par: A = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } n ( A ) = 5

> 4: B = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } n ( B ) = 6

A B = { 6 , 8 , 10 } n ( A B ) = 3

Logo:

P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )

P ( A B ) = ( 5/10 ) + ( 6/10 ) - ( 3/10 ) = 0,8

S(A B)

A B

)BA(P-)B(P)A(P)BA(P

PROBABILIDADE 38

Teorema da Multiplicação:a) Eventos condicionais ( dependentes ):

- Ocorrência simultânea de dois eventos.

Exemplo:

Em uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 azuis. Ao se

retirar 2 bolas consecutivas, a probabilidade da primeira

ser azul e da segunda ser vermelha é dado por:

1ª retirada ( bola Azul ) P ( A ) = 4 / 10 = 0,40

2ª retirada ( bola Verm. ) P ( V | A ) = 6 / 9 = 0,67

Logo: P ( A V ) = P ( A ) x P ( V | A )

P ( A V ) = 0,40 x 0,67 = 0,27

S(A B)

A B

)A|B(P)A(P)BA(P

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 53

4ª - Distribuição Normal:

Propriedades:Propriedades:

É a mais importante e usual distribuição;

A variável aleatória X pode assumir todo e qualquervalor real;

A representação gráfica é uma curva em forma de sino,simétrica em torno da média x, que recebe o nome decurva normalcurva normal ou curva de Gausscurva de Gauss;

A área limitada pela curva e pelo eixo das abscissas éigual a 1 e corresponde à probabilidade da variável xassumir qualquer valor real;

A curva normal é assintótica em relação ao eixo dasabscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixohorizontal sem, contudo, alcançá-lo.

X

X


Condições da distribuição normal:Condições da distribuição normal:

A função densidade da curva normal é dada por:

Onde:

Z = Variável aleatória que representa a probabilidade.

X = Variável aleatória que representa a distribuição.

= Média da distribuição.

= Desvio padrão da distribuição.

= 0

= 1

Z = 0

= 1

Zσ

μXZ

Standardized Normal DistributionStandardized Normal Distribution

xe

x 2

21

2 σ1(x) f


Exemplo de distribuição normal:

Seja X a vari ável que representa o di âmetro de parafusos

produzidos por uma m áquina. Considerando que essa

variável tenha distribuição normal com média de 2,00 cm

e desvio padr ão de 0,04 cm, calcular a probabilidade dos

parafusos terem diâmetro entre 2,00 e 2,05 cm.

Solução:

A probabilidade refere-se ao intervalo:

P ( 2,00 X 2,05 ) = P ( Z )

P ( 2,00 X 2,05 ) = 0,3944 = 39,44 %

3944,0)(25,104,0

00,205,2?

?XZ ZPtab

APÊNDICE I CURVA NORMAL REDUZIDA

Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07540,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,25490,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,49903,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,49983,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

APÊNDICE II Distribuição t de Student

0,5 0,25 0,2 0,1 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005

Pc 0,25 0,125 0,1 0,05 0,025 0,0125 0,01 0,005 0,00251 1,0000 2,4142 3,0780 6,3138 12,7060 25,5420 31,8210 63,6370127,3200

2 0,8165 1,6036 1,8860 2,9200 4,3127 6,2053 6,9650 9,9248 14,0890

3 0,7649 1,4226 1,6380 2,3534 3,1825 4,1765 4,5410 5,8409 7,4533

4 0,7407 1,3444 1,5330 2,1318 2,7764 3,4954 3,7470 4,6041 5,5976

5 0,7267 1,3009 1,4760 2,0150 2,5706 3,1634 3,3650 4,0321 4,7733

G 6 0,7176 1,2733 1,4400 1,9432 2,4469 2,9687 3,1430 3,7074 4,3168

R 7 0,7111 1,2543 1,4150 1,8946 2,3646 2,8412 2,9980 3,4990 4,0200

A 8 0,7064 1,2403 1,3970 1,8595 2,3060 2,7515 2,8960 3,3554 3,8325

U 9 0,7027 1,2297 1,3830 1,8331 2,2622 2,6850 2,8210 3,2498 3,6897

S 10 0,6998 1,2213 1,3720 1,8125 2,2281 2,6338 2,7640 3,1693 3,5814

11 0,6975 1,2145 1,3630 1,7959 2,2010 2,5931 2,7180 3,1058 3,4966

12 0,6955 1,2089 1,3560 1,7823 2,1788 2,5600 2,6810 3,0550 3,4284

D 13 0,6938 1,2041 1,3500 1,7709 2,1604 2,5326 2,6500 3,0123 3,3720

E 14 0,6920 1,2001 1,3450 1,7613 2,1448 2,5096 2,6240 2,9768 3,3257

15 0,6912 1,1967 1,3410 1,7530 2,1315 2,4899 2,6020 2,9467 3,2860

16 0,6901 1,1937 1,3370 1,7459 2,1199 2,4729 2,5830 2,9208 3,2520

L 17 0,6892 1,1910 1,3330 1,7396 2,1098 2,4581 2,5670 2,8982 3,2220

I 18 0,6884 1,1887 1,3300 1,7341 2,1009 2,4450 2,5520 2,8784 3,1966

B 19 0,6876 1,1866 1,3280 1,7291 2,0930 2,4334 2,5390 2,8609 3,1737

E 20 0,6870 1,1848 1,3250 1,7247 2,0860 2,4231 2,5280 2,8453 3,1534

R 21 0,6864 1,1831 1,3230 1,7207 2,0796 2,4138 2,5180 2,8314 3,1352

D 22 0,6858 1,1816 1,3210 1,7171 2,0739 2,4055 2,5080 2,8188 3,1188

A 23 0,6853 1,1802 1,3190 1,7139 2,0687 2,3979 2,5000 2,8073 3,1040

D 24 0,6849 1,1789 1,3180 1,7109 2,0639 2,3910 2,4920 2,7969 3,0905

E 25 0,6844 1,1777 1,3160 1,7081 2,0595 2,3846 2,4850 2,7874 3,0782

26 0,6841 1,1766 1,3150 1,7056 2,0555 2,3788 2,4790 2,7787 3,0669

27 0,6837 1,1757 1,3140 1,7033 2,0518 2,3734 2,4730 2,7707 3,0565

28 0,6834 1,1748 1,3130 1,7011 2,0484 2,3685 2,5670 2,6730 3,0469

29 0,6830 1,1739 1,3110 1,6991 2,0452 2,3638 2,4620 2,7564 3,0380

30 0,6828 1,1731 1,3100 1,6973 2,0423 2,3596 2,4570 2,7500 3,0298

APÊNDICE III 131

NÚMEROS ALEATÓRIOS51772 74640 42331 29044 46621 62898

93582 04186 19640 87056 24033 23491

83587 06568 21960 21387 76105 10863

97453 90581 45939 60173 52078 25424

11645 55870 56974 37428 93507 94271

30587 02133 75797 45406 31041 86707

12973 17169 88116 41287 03585 79353

81938 82322 96799 85659 36081 50884

14070 74950 64937 03355 95863 20790

65304 55189 00745 65253 11822 15804

15630 64759 51135 98527 62586 41889

25439 88036 24034 67283 09448 56301

57683 30277 94623 85418 68829 06652

41982 49159 21631 91157 77331 60710

52290 16835 48653 71590 16159 14676

91097 17480 29414 06829 87843 28195

27279 47152 35683 47280 50532 25496

95652 42457 73547 76552 50020 24819

52984 76168 07136 40876 79971 54195

25708 51817 36732 72484 94923 75936

27989 64728 10744 08396 56242 90985

28868 99431 50995 20507 85184 73949

36601 46253 00477 25234 09908 36574

72139 70185 54398 21154 97810 36764

32869 11785 55261 59009 38714 38723

ANOTAÇÕES

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REDE DOCTUM DE ENSINO SUPERIOR – UNIDADE LARANJEIRAS (ES) CURSO DE REDES APOSTILA DE ESTATÍSTICA PROF. REGINALDO N. ROCHA ALUNO: