regras_precedencia

8/17/2019 regras_precedencia

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REVISÃO

OPERAÇÕES BÁSICAS EPRECEDÊNCIA

Docente: Jeferson de ArrudaE-mail: [email protected]


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O USO COMERCIAL DESTA NÃO É PERMITIDO –Para uso didático deve-se citar a fonte 1

1.1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

Os conjuntos numéricos, como apresentados abaixo, são conjuntos fáceis de serem construídos eutilizados. Porém, dentro da álgebra, existe todo um processo de demonstração e construção de cadaum destes conjuntos. Ao leitor com desejo de se aprofundar no estudo da construção dos conjuntosnuméricos, sugerimos a busca por livros de introdução à teoria dos números ou mesmo de álgebra

adotados nos cursos de formação de profissionais da área de Matemática (Licenciatura eBacharelado em Matemática).

1.1.1 – Conjunto dos números Naturais ( N )

A construção do conjunto dos números naturais é realizada adotando-se o número zero como o primeiro algarismo, o segundo algarismo como sendo primeiro algarismo (zero) acrescentado deuma unidade, o terceiro algarismo como sendo segundo algarismo (um) acrescentado de umaunidade, o quarto algarismo como sendo terceiro algarismo (dois) acrescentado de uma unidade, eassim sucessivamente. Para notação do conjunto dos números naturais, utilizaremos a letramaiúscula N . Para indicarmos quais elementos fazem parte deste conjunto, apresentaremos, entrechaves (chamamos de chaves os símbolos { }), pelo menos os três primeiros elementos do conjunto,sendo que a indicação de que existem outros valores que obedecem a mesma seqüência, utilizamosreticências, ou seja, três pontos alinhados (K ). Desta maneira, o conjunto dos números naturaisserá indicado por:

,...}3,2,1,0{= N

Neste livro, quando nas notações dos conjuntos numéricos aparecerem um asterisco (*) no ladosuperior direito da notação do conjunto, estaremos indicando que daquele conjunto foi retirado oelemento nulo, ou seja, o zero. Assim, o conjunto dos números naturais não nulos será representado

por:,...}3,2,1{* = N

1.1.2 – Conjunto dos números Inteiros ( Z )

A construção do conjunto dos números inteiros ocorre de forma semelhante à construção doconjunto dos números naturais. Porém, começando do número zero, devemos construir umaseqüência a direita do número zero (igual à utilizada na construção dos naturais) e outra seqüência aesquerda do número zero. Na construção da seqüência à direita, para determinar o próximoelemento (ou seja, aquele que estará imediatamente à direita do número inteiro mais à direitadaqueles que foram determinados), devemos adicionar uma unidade ao elemento mais a direita daseqüência que estamos construindo. De forma semelhante, na construção da seqüência à esquerda,

para determinar o próximo elemento (ou seja, aquele que estará imediatamente à esquerda donúmero inteiro mais à esquerda daqueles que foram determinados), devemos subtrair uma unidadedo elemento mais a esquerda da seqüência que estamos construindo.Desta maneira, como conjunto dos números inteiros, teremos:

,...}3,2,1,0,1,2,3{..., −−−= Z O leitor atento, certamente notou que todos os números naturais são, em particular, um númerointeiro. Assim, podemos dizer que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dosnúmeros inteiros. A representação deste fato poderá ser feita através do seguinte diagrama:

Z N


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Chamaremos de conjunto dos números inteiros não nulos o conjunto formado por todos os númerosinteiros que são diferentes de zero. Este conjunto será representado por:

,...}3,2,1,1,2,3{...,* −−−= Z

O conjunto dos números inteiros não negativos representa todos os números inteiros que são

maiores ou iguais a zero. Sua representação será indicada por:

,...}3,2,1,0{=+ Z

Consideraremos como conjunto dos números inteiros positivos o conjunto constituído de todos osnúmeros inteiros maiores do que zero. Denotaremos este conjunto por:

,...}3,2,1{* =+ Z

Para representar o conjunto dos números inteiros não positivos consideramos todos os númerosinteiros menores ou iguais a zero. Sua notação será dada por:

}0,1,2,3{..., −−−=− Z O conjunto formado por todos os números inteiros menores do que zero será chamado de conjuntodos números inteiros negativos. Sua representação será:

}1,2,3{...,* −−−=− Z

Uma da forma de representar conjuntos constituídos por números positivos é utilizar a notação doconjunto numérico (que indica quais números constituem o conjunto) em que estamos trabalhandoacompanhado do asterisco na posição superior direita e do símbolo que representa a operação de

adição (+) na posição inferior direita do mesmo. Como por exemplo,****

,, ++++ Re II Q Z .De maneira semelhante, os conjuntos constituídos por números negativos são indicados, pelosímbolo do conjunto acompanhado do asterisco na posição superior direita e do símbolo daoperação de subtração na posição inferior direita do mesmo. Como por exemplo, **** ,, −−−− Re II Q Z .Por outro lado, para indicarmos conjuntos constituídos por números não negativos devemos utilizara notação do conjunto numérico (que indica quais números constituem o conjunto) em que estamostrabalhando acompanhado apenas do símbolo que representa a operação de adição (+) na posiçãoinferior direita do mesmo. Como por exemplo, ++++ Re II Q Z ,, .Analogamente, os conjuntos constituídos por números não positivos são indicados, pelo símbolo doconjunto acompanhado do símbolo da operação de subtração na posição inferior direita do mesmo.

Como por exemplo, −−−− Re II Q Z ,, .

1.1.3 – Conjunto dos números Racionais ( Q )

O conjunto dos números racionais será representado por:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈∈= * Z qe Z pq

pQ

Em outras palavras, podemos dizer que é o conjunto de todos os números que possam ser colocados

na forma de fração cujo numerador é um número inteiro de e o denominador é um número inteirodiferente de zero, como por exemplo,

20

6,3 e

7

5.


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Note que, todo número inteiro pode ser escrito como sendo o próprio número dividido por 1, ouseja, em forma de fração cujo numerador é um número inteiro e o denominador é um número inteirodeferente de zero. Assim, todo número inteiro, em particular, é um número racional. Desta forma,

podemos dizer que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais.Este fato, pode ser representado pelo diagrama:

O leitor atento deve estar se perguntando: Por que eu não posso representar o conjunto dos númerosracionais em forma de seqüência como no conjunto dos números naturais ou mesmo, como noconjunto dos números inteiros? Inicialmente, parabenizo àqueles que estão se questionando, poissão estes os pensamentos que devem ocupar a mente daqueles que estão dispostos a aprenderMatemática. Agora, respondendo a pergunta, a representação do conjunto em forma de seqüênciacomo o conjunto dos números racionais não é possível porque não sabemos qual é o próximonúmero racional, por exemplo, à direita do número racional zero. Como ilustração da resposta

apresentada, vamos analisar, por exemplo, quais são os racionais que se encontram entre zero e um.Entre o número racional 0 e o número racional 1, existe o número racional

2

1. Já entre o número

racional 0 e2

1, existe o número racional

3

1. Entre o número racional 0 e

3

1, existe o número

racional4

1 e assim sucessivamente. Ou seja, existem infinitos números racionais entre o número

racional 0 e 1. E ainda, de forma geral, entre quaisquer dois números racionais existem infinitosnúmeros racionais. Assim, é impossível saber qual é o próximo número racional maior do que umnúmero racional dado. Logo, a construção de uma seqüência, torna-se impossível.

1.1.4 – Conjunto dos números Irracionais ( II )

São os números reais que não podem ser escritos em forma de fração, cujo numerador é um número

inteiro e o denominador é um número inteiro diferente de zero, ou seja, *, Z qe Z pondeq

p∈∈ ,

como por exemplo, 32 e . Os números irracionais são encontrados através de demonstraçõesmatemáticas. Levando em consideração a necessidade de outras teorias matemáticas parademonstração destes resultados e ainda o objetivo deste livro, ausentaremos as demonstrações.Observe que, pela definição de números irracionais, nenhum número racional poderá ser irracional.

Logo, na representação deste conjunto através de diagramas, apresentamos o conjunto dos númerosirracionais como sendo um conjunto separado do conjunto dos números racionais.

É importante ressaltar que, a divisão de número inteiro diferente de zero pelo número zero éindefinida. Por outro lado, a divisão do número zero pelo número zero é indeterminada. Nestes doiscasos, tais divisões não são classificadas como números reais.

Z N Q

Z N II


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1.1.5 – Conjunto dos números Reais ( R )

A definição do conjunto dos números reais(como referência, o leitor poderá consultar o livro“Curso de análise”, Vol.1, do autor Ellon Lages Lima), ocorre antes da definição do conjunto dosnúmeros irracionais. De modo que, o conjunto dos números irracionais são todos os números reaisque não podem ser classificados como sendo racionais. Desse modo, o conjunto dos números reais,

em comparação com os números racionais e irracionais, é a união do conjunto dos númerosracionais com o conjunto dos números irracionais. Assim, podemos representá-lo pelo digrama:

1.2 – OPERAÇÕES BÁSICAS COM NÚMEROS INTEIROS

Nesta seção apresentaremos as regras básicas que deverão ser seguidas para correta solução deexpressões no conjunto dos números inteiros.

1.2.1 – Regras de precedência

Diante de uma expressão onde apareçam parênteses, colchetes e chaves. E ainda, dentro dos parênteses, colchetes e chaves apareçam operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.Devemos resolvê-la da seguinte maneira:I) Primeiro devemos resolver os parentes, na seqüência os colchetes e por último as chaves;II) Dentro dos parentes, colchetes ou chaves, devemos resolver primeiro as multiplicações ou

divisões (se existirem multiplicações e divisões, a ordem de solução entre elas não importa) e aseguir as adições e subtrações (entre subtrações e adições, a ordem de solução entre elas nãoimporta).

Para resolvermos corretamente as adições, subtrações, multiplicações e divisões devemos seguir aseguinte tabela:

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO + + = +- - = -

Sinais iguais, soma e conserva o sinal.Exemplo: -2-3=-5

+ - = ?- + = ?

Sinais diferentes, subtrai e conserva o sinal do maior.Exemplo: -9+5=-4

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO + + = +- - = +

Sinais iguais, temos como resultado, UsempreU, +Exemplos: (+2).(+5)=10 (-12):(-3)= 4

+ - = -- + = -

Sinais diferentes, temos como resultado, UsempreU, -Exemplos: (-8).(+2)= -16 20:(-2)= -10

Como exemplo, vamos resolver a expressão ( )[ ]{ }13.23.532:43.32 −++−−+ .

Solução:Primeiro, devemos resolver os parênteses. Dentro dos parênteses devemos resolver primeiro asmultiplicações ou divisões, para depois resolver as adições e subtrações. ATENÇÃO! Sempre que

vamos resolver multiplicações ou divisões, devemos fazer o “jogo de sinal”. Assim,( )[ ]{ }=−++−−+ 13.23.532:43.32 ( )[ ]{ }=−++−−+ 163.532:43.32

Z N II R


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( )[ ]{ }=−+−−+ 19.532:43.32 Neste momento, terminamos a solução dos parênteses, pois não há mais nada a ser feito dentro dosmesmos. Dessa maneira, a próxima etapa é solucionar os colchetes. Dentro dos colchetes devemosresolver primeiro as multiplicações ou divisões, para depois resolver as adições e subtrações.

Dessa forma,

( )[ ]{ }=−+−−+ 19.532:43.32 [ ]{ }=−+−−+ 14532:43.32

[ ]{ }=−−−+ 1482:43.32 Uma vez concluída a solução dos colchetes, devemos resolver as chaves. De maneira análoga,dentro das chaves devemos resolver primeiro as multiplicações ou divisões, para depois resolver asadições e subtrações. Dessa maneira,

[ ]{ }=−−−+ 1482:43.32 { }=−−−+ 14823.32

{ }=−+ 48.32

Terminada a solução dos parênteses, dos colchetes e das chaves, devemos resolver primeiro asmultiplicações e divisões, para depois resolver as adições e subtrações. Logo,

{ }=−+ 48.32 =−1442

142− Portanto, a resposta é -142.

1.3 – OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

Chamaremos de fração aos elementos do tipo

b

a onde Z a∈ e * Z b∈

Exemplos de frações:

1

3,

5

2,

7

4,

12

0

Em uma fração da formab

a, chamaremos de numerador o elemento a e de denominador o elemento

b . Note que, elementos cujo denominador é igual a zero, não é chamado de fração.

Definição 1: Dizemos que dois números são primos entre si, quando não existe nenhum númerodiferente de 1 e -1, que divida simultaneamente os dois números.

Definição 2: Chama-se de fração irredutível a todas as frações onde o numerador e o denominadornão admitem divisor comum, ou seja, são primos entre si.

Para efetuarmos operações com frações é mais cômodo deixar os números que representam a fração(numerador e denominador) primos entre si, isto é, simplifique-os até torná-los irredutíveis.Para simplificar (em algumas, isto não é possível) uma fração, devemos, primeiramente, procurarum número que divida ao mesmo tempo o numerador e o denominador.

Por exemplo, considerando a fração90

60, observamos que o número 2, é um divisor comum do

número 60 e do número 90.

Em seguida, devemos dividir o numerador e o denominador pelo número que encontramos (nonosso exemplo, 2).


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Assim,45

30

90

602

2

=÷

÷

.

Dessa maneira, continuamos o processo:

3

2

15

10

45

30

90

605

5

3

3

2

2

===÷

÷

÷

÷

÷

÷

Note que, para a fração 32 não existe mais nenhum divisor comum do numerador e denominador,

por isso, esta fração é chamada de fração irredutível.

1.3.1 - Propriedades

Propriedade 1: Quando existe apenas uma fração em cada membro é permitido multiplicarmos osmeios pelos extremos.

d

c

b

amenbromenbro º2º1

= assim, cbd a .. =

Ex.:

a)2

3

6

9= ⇒ 3.62.9 =

b)2

39=

x ⇒ x32.9 =

c) x

10

2

5= ⇒ 205 = x

d) x

10

2

5≠ ⇒ 205 ≠ x

Quando tivermos mais de uma fração em um dos membros, para utilizarmos a propriedade 1 commais facilidade, devemos realizar as operações em cada membro até que resulte em apenas umafração em cada membro.

1.3.2 - Adição e Subtração de frações

1.3.2.1 - Frações com denominadores iguais

Quando as frações possuem o mesmo denominador, no processo de adição, assim como no processode subtração, basta conservarmos o denominador e efetuar a operação (adição ou subtração) com osnumeradores.

Ex.:

a)2

15

2

10

2

5=+

b)7

5

7

10

7

5−=−


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1.3.1.2 - Frações com denominadores diferentes

Quando as frações possuem denominadores diferentes, no processo de adição, assim como no processo de subtração, devemos reescrever estas frações de modo que, seus denominadores sejamiguais. Em seguida, utilizar o processo acima.

Por exemplo, no caso,3

10

2

5+ , devemos primeiramente calcular o mmc(2,3), ou seja, o menor

múltiplo comum entre 2 e 3.

63.2

3

2

1,1

3,1

3,2

=

Assim, o mmc(2,3)=6.

Em seguida, repetindo os sinais e a notação de divisão, colocamos o mmc como denominador dasduas frações.

663

10

2

5+=+

Na próxima etapa, devemos dividir o “novo” denominador ( 6 ), pelos “antigos” denominadores,multiplicando o resultado pelos numeradores, respectivamente. O resultado coloca-se na novafração correspondente. Ou seja, dividimos o denominador 6 pelo denominador 2 e multiplicamos oresultado (nesse caso, 3) pelo numerador 5, colocando o resultado 15 sobre a primeira “nova”fração, assim como dividimos o denominador 6 pelo denominador 3 e multiplicamos o resultado(nesse caso, 2) pelo numerador 10, colocando o resultado 20 sobre a segunda “nova” fração.

6

20

6

15

3

10

2

5+=+

A seguir, aplicamos o processo de adição de frações com denominadores iguais.

Assim:

6

35

6

20

6

15

3

10

2

5=+=+

Na subtração de frações com denominadores diferentes o processo é o mesmo. Na adição ousubtração de mais de duas frações, devemos encontrar o mmc entre os denominadores de todas asfrações envolvidas.

1.3.3 - Multiplicação de Frações

Para multiplicarmos duas ou mais frações, devemos multiplicar todos os numeradores entre si,assim como, todos os denominadores entre si, os resultados obtidos, serão, respectivamente, onumerador e o denominador da fração que representa o resultado dessa multiplicação.

a)6

50

3

10.

2

5=

b)30

100

5

2.

3

10.

2

5−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

c)10

100

5

2.

1

10.

2

5

5

2.10.

2

5−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

Lembre-se de realizar, quando necessário, o “jogo de sinal”. Muitas vezes, o cálculo torna-se maisfácil quando simplificamos uma fração. Por isto, caso tenha interesse, sempre que possível,simplifique as frações.


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1.3.4 - Divisão de Frações

Para dividir duas frações, basta conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso (trocar de posição o numerador pelo denominador) da segunda fração. Ex.:

a)20

15

10

3.

2

5

3

10:

2

5==

b)14

20

7

4.

2

5

4

7:

2

5−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

c)12

10

3

5.

4

2

5

3:

4

2

5

34

2

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

−

−

Muitas vezes, quando ocorrem divisões de duas frações ou de um número por uma fração, faz-se

necessário o conhecimento correto da notação que está sendo utilizada. Em geral, quem determinaqual será a primeira e a segunda fração é o maior traço de divisão (ou ainda, as notações de divisão: ou ÷ ). Ou ainda, a utilização de parênteses que separa a primeira da segunda fração. Algumasnotações:

a)

5

34

2

−

−

b) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

5

3:

4

2

c) ( )[ ] ( )[ ]5:3:4:2 −−

1.4 - TRANSFORMAÇÕES DE DECIMAIS EXATOS EM FRAÇÕES

Para escrever um número decimal exato em fração, basta retirar a vírgula do número dado, eescrevê-lo sobre o número 1 “acompanhado por uma quantidade de zeros igual ao número de casasdecimais depois da vírgula”. Por exemplo, para escrever o número 0,007 em fração, devemos:1º) retirar a vírgula, assim obtemos o número 7.2º) contar quantos números temos depois a vírgula, no nosso caso, 3.

3º) escrever em forma de fração, ou seja, 1000

7

007,0 = .Ex.:

a)100

303,0 =

b)100

11313,1 =

c)1000

1021021,1 =

d)

10

411,4 =


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1.5 - TRANSFORMAÇÕES DE ALGUMAS FRAÇÕES EM DECIMAISEXATOS

Para transformar frações cujos denominadores são múltiplos de 10 em decimais devemosinicialmente contar quantos zeros há no denominador. A seguir, repete-se o número que se encontrano numerador sem a vírgula. Na última etapa, localiza-se a posição da vírgula no numerador e

desloca-a para a esquerda em quantidade de casas decimais iguais a quantidade de zeros existentesno denominador. Como exemplo, vamos transformar a razão

100

5,0 em decimal exato.

Note que, no denominador existem 2 zeros e no numerador a vírgula encontra-se entre o algarismozero e o algarismo 5. Assim, devemos deslocar a vírgula duas casas decimais para a esquerda à

partir da posição inicial da vírgula. Como a vírgula ao deslocar apenas uma casa para a esquerda jáse encontra na frente do zero e segundo as observações acima devemos deslocá-la duas casasdecimais, então devemos acrescentar zeros até que consigamos deslocar a vírgula duas casas para aesquerda. Assim, temos 005, , porém este valor não tem sentido em matemática. Logo, acrescenta-se um zero antes da vírgula. Dessa maneira, teremos 005,0 .

Portanto, 005,0100

5,0 =

Quando, no numerador, não aparecer vírgula, considerarmos que a vírgula encontra-se inicialmenteapós o último algarismo da direita deste número. Por exemplo, caso no numerador apareça onúmero 123 , devemos reescrever este número como sendo 0,123 e então contar o número de zerosque aparecem no denominador para depois deslocarmos a vírgula.É importante relembrar que o caminho indicado acima vale somente para frações cujosdenominadores são múltiplos de 10.

1.6 - PORCENTAGEM

Porcentagem é uma razão (quociente entre dois números) centesimal (denominador 100), ou seja,representa uma parte de 100. Representa-se com o símbolo % (lê-se: por cento).Quando buscamos encontrar, por exemplo, 2% de uma quantidade, na realidade estamos querendodividir a quantidade em 100 partes iguais e considerar 2 destas partes.A notação 2% pode ser reescrita de maneira diferente, ou seja, encontrar 2% de uma quantidade é a

mesma coisa que encontrar100

2 da mesma quantidade, ou ainda, encontrar 02,0 dessa mesma

quantidade.

Ex.:

a) 20%=10020

b) 0,05%=100

05,00005,0=

Outra forma de justificar as informações mostradas acima é aplicar as propriedades que já

aprendemos. Assim: 0005,010000

5

100

1.

100

5

1

100

100

5

1

100100

5

100

05,0%05,0 ===÷=== .

c) 05,0100

5%5 ==


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Note que, no exemplo (c), temos três maneiras diferentes de representar a mesma coisa. Cada uma

destas três maneiras recebe um nome especial, ou seja, 5% é a taxa percentual,100

5 é a razão

centesimal e 0,05 é a taxa unitária.

1.6.1 – Transformação de taxa percentual para razão centesimal

Para transformar uma taxa percentual para razão centesimal devemos retirar o símbolo de porcentagem e colocar este valor sobre 100. Por exemplo, para transformar a taxa percentual

%017,0 em razão centesimal, devemos retirar o símbolo de porcentagem e colocar o valor sobre

100, ou seja,100

017,0%017,0 = .

1.6.2 – Transformação de razão centesimal para taxa unitária

A transformação de uma razão centesimal em taxa unitária poderá ser feita aplicando os

conhecimentos adquiridos na Seção 1.5. Assim, por exemplo, a razão centesimal100017,0 em taxa

unitária, é igual a 00017,0 .

1.6.3 – Transformação de taxa unitária para taxa percentual

Quando desejamos transformar uma taxa unitária em taxa percentual, devemos multiplicar a taxaunitária por 100 e em seguida acrescentar o símbolo de porcentagem, ou seja, %. Dessa maneira,

por exemplo, para transformar a taxa unitária 00017,0 em taxa percentual devemos multiplicar ataxa unitária por 100 (note que 017,0100.00017,0 = ) e a seguir acrescentar o símbolo de

porcentagem, assim, %017,000017,0 = .

1.7 – NOÇÕES DE ARREDONDAMENTO

Algumas tecnologias disponíveis ao administrador utilizam alguns critérios para arredondamento,entre elas, encontram-se as calculadoras e o Excel. Uma das técnicas utilizadas paraarredondamento de números decimais e a adotada por este livro segue a seguinte regra: se o númeroa direita da casa decimal a ser arredondada for menor do que 5, conserva-se o mesmo valor a casadecimal a ser arredondada. Caso o número a direita da casa decimal a ser arredondada for maior ouigual a 5, aumenta-se uma unidade no valor da casa decimal a ser arredondada. O arredondamento

deve ser feito até que se consiga o número de casas decimais desejadas, sempre da direita para aesquerda. Por exemplo, 23,4234,4 ≅ , 24,4235,4 ≅ e 24,4235,42349,4 ≅≅ .

1.8 – FRAÇÕES E OS PROBLEMAS

Em problemas onde desejamos encontrar uma fração de alguma quantidade, por exemplo, “quanto

vale3

2 de 12”, basta trocarmos a proposição “de” por multiplicação.

Assim, para calcularmos quanto vale3

2 de 12, basta fazermos

832412.

32 ==


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Exemplos:

a) Determinar qual é a metade de um quarto de 502 .

Basta escrevermos,

47

3

5050

3

50

22

2

2.2

1

2.4

1

.2

1

===

Logo, o valor procurado é igual a 472 .

b) Determine 10% de 30% de 50% de R$1800,00.

Basta transformarmos a taxa percentual em razão centesimal e aplicarmos o raciocínioanterior da Seção 1.8. Assim, nosso problema se resume a encontrar

100

10

de 100

30

de 100

50

de 1800.

Apenas para facilitar os cálculos, simplificando as frações, temos:

10

1 de

10

3 de

10

5 de 1800

Dessa maneira, basta resolvermos,

271000

270001800.

10

5.

10

3.

10

1==

Portanto, o valor procurado é igual a R$27,00.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Diversas são os métodos que podemos utilizar para resolver muitos problemas envolvendo porcentagens. Como uma das alternativas na solução de tais problemas, podemos utilizar a Regra detrês simples. Visando apenas a aplicação de tal regra na solução de problemas envolvendo

porcentagem, estudaremos apenas uma das variações da Regra de três simples, ou seja, suaaplicação à grandezas diretamente proporcionais.

Como exemplo, considere o seguinte exemplo:

(CESPE/95) Uma loja adota a seguinte política de venda: à vista com 10% de desconto sobre o preço de tabela, ou pagamento em 30 dias após a compra com 8% de acréscimo sobre o preço detabela. O preço de uma mercadoria que à vista é vendida por R$540,00, para pagamento em 30dias, será de:a) R$594,00 b) R$ 641,00 c) R$648,00 d) R$ 652,42 e) R$ 653,27

Conforme o problema acima, nosso objetivo é saber o preço de uma mercadoria vendida para pagamento em 30 dias tendo conhecimento apenas do preço a vista (diferente do preço de tabela).Após termos uma visão geral do problema, devemos procurar um método que seja capaz de resolvê-lo. Sabendo que, caso tenhamos conhecimento do preço de tabela a solução será mais fácil,começaremos a solução buscando conhecer o preço de tabela.

Sabemos que o valor R$540,00 corresponde à 90% do preço de tabela, pois tal valor corresponde ao preço de tabela com um desconto de 10%. Por outro lado, o preço de tabela corresponde a 100%.Assim,


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Valor Preço de tabela(%)540 90%T 100%

Onde T corresponde ao preço de tabela. Desse modo, resolvendo a equação100

90540=

T , temos

T 9054000 =

T =90

54000

600=T Logo, o preço de tabela corresponde a R$600,00. Como o nosso objetivo é encontrar o valor damercadoria para pagamento em 30 dias, devemos aplicar novamente a Regra de três simples,

porém, considerando R$ 600,00 como 100% e o valor procurado como 108% (100%+8%, ou seja, preço de tabela adicionado dos juros), assim,

Valor Preço de tabela(%)

600 100%P 108%

Onde P corresponde o valor pago em 30 dias. Dessa forma,108

100600=

P, ou ainda,

P100108.600 = P10064800 =

P=108

64800

648=P Logo, o preço da mercadoria para pagamento em 30 dias é igual a R$648,00, ou seja, a resposta

procurada é a alternativa c.

“A única coisa que separa o SUCESSO do FRACASSO é a PERSEVERANÇA!”Autor desconhecido


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EXERCÍCIOS

1) Resolva:

a) 11+9= b) 15-12=

c) 20+3=d) 25-17=e)-11+15f) 9-13=g) -5-12=h)21-30=

i)-22-12= j) -25+0=

k) 0-12=l) -5-0=m) 12.3=n) (+2).(+5)=o) (-9).(+2)=

p) (-5).(-3)=

q) (-21):7=r) (-24):(-8)=

s) =−−

210

t) =− 5

15

u) =10

10

v) =− 2

0

x) (-12):5=y) 1:(-2)=w) (-1).(-1)=z) (-1):1=

2) Resolva as expressões abaixo:

a) =+−++−− 6)132(8.598

b) =+−−+−−+−+− 115:0)3(:9)]3.24(4.8[1:2)04( c) =−−+−+ 2]5)23:6(7.2[ d) {30:(-2)-1+2.[-1+11-9.(-2)+4:2-(5-8.0+1)]}-3.1-1=e) {-1[-2+3.(-1)+(9.0-3:3+1).(2-1+7-2.3)] +[-3+2.(-5)].(-5)}-2=f) {-2+[-2+9.(0+3):9-4+3]+[-6+8:(-2)+3.0].[9:3+2.(-1)]+1}=g) (curiosidade:em programação) (2.3+5.2-1.(9-0.1).(-3))+3=

3) Resolva:

a) =+3

6

3

2

b) =−−3

6

3

2

c) =−−

7

6

7

5

d) =−−11

11

11

2

11

7

e) =+2

6

3

2

f) =+− 3

5

4

5

g) =−+−6

3

3

1

4

2

h) =−++−5

33

2

5

4

22

i) =−−++−−

25

01

3

51

4

2

j) =5

3.

4

2

k) =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

5

3.

4

2

l) =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

6

2.

4

2

m) =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

2

1.

4

2

n) =⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

53.6

o) =−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ − )3.(

4

2

p) =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

3

2:

5

1

q) =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

9

1:

7

2

r) =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

6

2:

6

8

s) =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

6

2:)3(

t)

29

1

2

=

4) Resolva as expressões abaixo:

a) =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

4

1:

2

5

3

1

b) =+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−+ 6)3(:27

4

212

3

1.3


15/21


c) =+−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−++− 1)2(:)25(:2

3

2:7

4

21

2

1)22.(3

d) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

−+−

4

2:

5

2

3

1).2(

e)=+−

−+−+

)3.21(:5

2

3

1

).2(3

f) =+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++− 3

3

2.1

3

14:

5

22

3

1:

2

19

g) =+5

23,0

h) =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−++− 13.2

1

2.1,2)9(:7,2

3

1:24

5) Calcule:

a) =−

−+

35

2

13

2

2

1

b) =+−

−+−

3

12

5

2

14

12

3

c) =−−

+

5

13,0

2

12,0

d)2

1:

2

15

21

.3

32

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

e) =+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−

−

− 234

2 23

2)4(

f) =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−+−

5

6.

10

155:

2

4

4

312,07

g) =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

−

−++−0

3

33

7

3

27

841

6) (UnB) Simplificando a expressão a seguir, obtêm-se:

⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

+−

⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

++

53

952

11.

53

951

11

a) 1 b) 148/201c) 148/53d) 201/53e) 9/2

7) Considere que determinado produto está sendo vendido no valor de R$ 268. Calcule o descontooferecido ao cliente nas seguintes situações:

a) 5% b) 3%

c) 6%d) 1,8%

e) 1,5%f) 0,5%

g) 0,03%h) 0,05%


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8) Determinada loja está oferecendo um desconto de 15% para compra à vista de um determinadoaparelha de TV. Sabendo que este televisor está custando R$568,00, determine o preço a ser pago

pelo consumidor em uma compra à vista.

9) O funcionário Antônio, da empresa Hoje&Sempre foi promovido. Em virtude da promoção,houve um aumento de 13% no seu salário. Sabendo que, antes da promoção, este funcionário

ganhava R$850,00, determine o novo salário deste funcionário.

10) Uma pessoa, ao comprar um objeto cujo valor era de R$6000,00, obteve um desconto deR$1200,00. Qual foi a taxa percentual do desconto?

11) A loja Visão&Comunicação, está vendendo um aparelho celular no valor de R$100,00 à vista.Oferecendo também, o mesmo aparelho por R$120,00 em 6 vezes (R$20,00 cada parcela). A lojaComunicação Rápida, está oferecendo o mesmo aparelho celular da loja Visão&Comunicação porR$120,00 em 6 vezes sem juros(R$20,00 cada parcela), ou à vista com 20% de desconto. Qual lojaoferece o menor preço à vista? Por quê?

12) Responda V(verdadeiro) ou F(falso), em cada uma das afirmações abaixo:

a) ( ) ( ) 1010 33 −=− ;

b) ( ) ( ) 2)2(:2 24562457 =−− ;

c) ( ) 01235461425.1235461425

17567894349 1

10 =− −

−;

d) ( ) Na solução de expressões numéricas, onde aparecem parênteses, colchetes e chaves, devemosresolver primeiro os parênteses, em seguida os colchetes e por último as chaves. Na solução dos parênteses,colchetes e chaves, devemos resolver primeiro as multiplicações e divisões e por último as adições esubtrações.

e) ( ) 3433373 =+− ;

f) ( )( )( )

21

1

3.3

4764

77

=−

−+

++;

g) ( ) ( )3

71234567890)2.(

3

2 01

=+−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ − ;

h) ( ) 42459 1)1( −=− ;

i) ( ) Em porcentagem, 5% é a taxa percentual,100

5 é a razão centesimal e 0,05 é a taxa unitária;

j) ( )25

77577737 =

−+−

13) Maria é filha de Joana e Renato. Hoje, a idade de Maria corresponde a7

2 da idade da sua mãe.

Determine a idade de Maria, sabendo que Joana possui 35anos.

14) Hoje, o restaurante da empresa Junior&Cia possui em caixa R$ 7950,00. Sabendo-se que5

1 desse valor

será gasto no pagamento dos funcionários do restaurante e12

2 do valor em caixa será gasto com aluguel,

determine:

a) o valor que será gasto com funcionários; b) o valor que será gasto com aluguel;c) o valor em caixa após o pagamento dos funcionários e do aluguel.


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15) A empresa Belas Artes investe 8% do valor obtido com a venda de computadores em novas tecnologias. No mês de agosto, a empresa Junior&Cia, fez um investimento de 12% do seu lucro na compra decomputadores da empresa Belas Artes. Sabendo que no mês de agosto o lucro da empresa Junior&Cia foi deR$709.720,00 determine o valor mínimo investido pela empresa Belas Artes em novas tecnologias.

16) João, proprietário da empresa Belas Artes é amigo de infância de Pedro, proprietário da empresaGrandes Marcas. A empresa Grandes Marcas passando por dificuldades financeiras, obrigou Pedro a procurar ajuda do seu amigo João através de um empréstimo em dinheiro. João, temendo que sua empresatambém entrasse em crise e ao mesmo tempo desejando ajudar o amigo, propôs, a Pedro, um empréstimo de

apenas15

8 do lucro mensal de sua empresa. Sabendo que a empresa de João tem um lucro mensal de R$

175.000, determine o valor do empréstimo oferecido por João a Pedro.

17) Hoje, o restaurante da empresa Junior&Cia possui em caixa R$ 22950,00. Sabendo-se que, deste valor,30% será gasto no pagamento dos funcionários do restaurante, 20% será gasto com aluguel, 15% será gastocom manutenção dos serviços (aquisição de produtos de limpeza, alimentos, gás, etc.) determine:a) o valor que será gasto com funcionários; b) o valor que será gasto com aluguel;

c) o valor que será gasto com manutenção dos serviços;d) o valor em caixa após as despesas com funcionários, com aluguel e com a manutenção dos serviços.

18) Considere que em determinado estado existem 1.680.000 alunos (ensino fundamental, ensino médio esuperior) e que destes, apenas 7% são do curso superior. Considerando ainda, que apenas 12% dos alunos docurso superior gostam de matemática, determine o número de alunos do curso superior que gostam dematemática.

19) Um saco de feijão possui 60kg. Qual o peso de 2/3 do saco?

20) A quantas horas correspondem 3/8 das horas de um dia?

21) Dos 72 alunos que formam o primeiro semestre de administração de minha faculdade, 3/8 nãogostam de Matemática. Quantos alunos do primeiro semestre de administração da minha faculdadegostam de Matemática?

22) Um bolo custa R$ 36,00. Quantos eu pagarei por 5/12 desse bolo?

23) Um tanque de combustível de um determinado automóvel armazena 44 litros de gasolina.Quantos litros faltam para completar o tanque, sabendo-se que o marcador de combustível registra1/4 do tanque?

24) Determinado cliente, ao efetuar uma compra na loja A, obteve um desconto de 13% sobre o preço à vista de determinada mercadoria. Sabendo que o valor do desconto foi de R$76,05,determine o preço à vista da mercadoria adquirida e o valor pago por tal mercadoria.

25) Sabendo que o valor pago em determinada mercadoria, após desconto 17% sobre o preço àvista, foi de R$375,00, determine, aproximadamente, o preço à vista de tal mercadoria.

26) Na compra de uma televisão, à vista, João obtive um desconto de R$55,00. Sabendo que odesconto obtido corresponde a 12,5% do preço total, podemos afirmar que o preço pago foi igual a:

a)R$440,00 b)R$220,00 c)R$880,00 d)R$1760,00 e)N.D.A.


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27) Antônio, pensando em abrir a sua própria empresa, aplicou um capital no valor R$1.500.000,00em um fundo de investimento. Sabendo que o capital investido por João ficou aplicado durantedois anos a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês com capitalização mensal, temos que omontante (representado pela letra M na fórmula) que João irá receber daqui a 2 anos será

( )niC M += 1. , ou ainda, ( )2401,01.1500000 += M . Após dois anos, finalmente João, após regatar omontante (capital investido somado com os juros) M , gastou, deste valor, 30% com aquisição do

imóvel para a sede da empresa, 3% com a aquisição de equipamentos (mesas, computadores, papéis,etc.), 5% com a contratação de funcionários, 3% com propaganda e aplicou 40% em umnovo fundo de investimento. Após as despesas (considerar o valor investido no novo fundo comodespesa), o valor que sobrou no caixa da empresa de João foi igual, aproximadamente, a:

a) R$361.874,37 b) R$152.368,16 c) R$514.242,53 d) R$ 209.506,22 e) N.D.A

28) Antônio, portador de dois títulos de crédito, resolve descontá-los para que, com o valor obtido pelo desconto de tais títulos, ele possa abrir adquirir um micro computador. O primeiro título, de R$1.000,00 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 10% ao mês, poroutro lado, o segundo título, de R$ 2.000,00 é descontado com 4 meses de antecedência sendo a

taxa de 60% a.a. com capitalização mensal e o critério de desconto racional composto. Assim, ovalor recebido por João referente ao primeiro título foi igual a

ni

N A

)1(1 += , ou ainda,

31 )1,01(

1000

+= A . Por outro lado, o valor recebido pelo segundo título foi igual a

ni

N A

)1(2 += , ou

ainda,42 )05,01(

2000

+= A . Dessa forma, podemos afirmar que o valor que João conseguiu após o

desconto dos dois títulos foi de:

a) R$2.326,12 b) R$3.000,00 c) R$2.396,71 d) R$1.985,45 e)N.D.A.

29) Resolva a equação ( ) 11215.43

2

2

3,02

1.2

3+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ÷+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

conferindo a resposta com a

calculadora científica. O comando utilizado para conferir a resposta através da calculadoracientífica deve permanecer juntamente com a resposta, pois tal comando faz parte da nota dareferida questão.

30) No décimo sétimo dia do mês de novembro de 2007, Tiago e Michele, resolvem se casar em

doze meses, a saber, no dia 17 de novembro de 2008. Para tanto, visando uma linda festa decasamento, ambos resolvem investir suas economias em um mesmo fundo de investimento a curto prazo. O cálculo do valor a ser recebido por cada um deles, que depende do valor aplicado( C ), da

taxa de juros( i ) e do período de aplicação( n ), pode ser obtido através da fórmula ( )niC M += 1. .Sabendo que o período de aplicação é dado em meses (n=12), que a taxa de juros é 009,0=i , que ocapital investido por Tiago foi de 00,3500$ R e que o capital investido por Michele foi igual a

00,2000$ R , responda verdadeiro ou falso:a) ( ) No dia 17 de novembro de 2008, Tiago irá receber o corresponde a 28,897.3$ R e Michele ocorrespondente a 02,227.2$ R ;

b) ( )( )

80139,1922789,01 13 =+

c) ( )( )( )

432769,259901,01

789,0115

13

=−

+


19/21


d) ( )( )( )

182769,260301,01

789,01

4

53

15

13

=−

++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ×

31) As vendas do mês de agosto da empresa Belas Artes foi maior do que a venda de qualquer mêsdos últimos dois anos. Como incentivo aos seus funcionários, resolveu dividir 20% do lucro de cada

departamento com os funcionários do mesmo, conforme o desempenho individual de cada um dosfuncionários. No mês de agosto, o departamento A gerou um lucro de 00,000.15$ R à empresa. Nodepartamento A trabalham apenas quatro funcionários, a saber, João, Antônio, Cristina e Mariana.

Sabendo que João recebeu5

1 do valor que foi dividido entre os funcionários do departamento,

Antônio recebeu4

5 do valor que recebeu Cristina e que Cristina recebeu

3

1 do que recebeu

Mariana, determine, aproximadamente, o valor recebido por Cristina.

a) 457,18 b) 500,00 c)289,45 d)612,63 e)N.D.A

32) A sala da administração do restaurante da empresa Junior&Cia passará por uma reforma no mês dedezembro de 2008. Após pesquisa de mercado, a empresa Junior&Cia resolve contratar os serviços daempresa Belas Artes para execução da reforma. O valor cobrado pela empresa Belas Artes foi igualR$18.000,00. No orçamento da empresa Belas Artes dizia:

- EQUIPAMENTOS ELETRÔNICOS: valor equivalente a18

7 do valor cobrado para a reforma completa;

- MÓVEIS ESTOFADOS: valor equivalente por5

3 do valor cobrado para reforma das portas e janelas;

- PORTAS E JANELAS: valor equivalente a3

1 do valor cobrado pela reforma das paredes;

-DEMAIS SERVIÇOS: R$585,00Com base nestas informações, podemos afirmar que o valor cobrado pela reforma das portas e janelas foiigual a:a)R$6792,39 b)R$2264,13 c)R$452,83 d)R$6000,00 e)NDA

“Ensina a criança no caminho em que deve andar, e, ainda quando for velho, não se desviará dele”

Provérbios 22:6


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GABARITO

Exercício 1: a) 20

b) 3c) 23

d) 8e) 4f) -4g) -17h) -9

i) -34 j) -25k) -12

l) -5m) 36n) 10o) -18

p) 15

q) -3r) 3s) 5

t) -3u) 1v) 0

x)5

12−

y) 2

1−

w) 1z) -1

Exercício 2:

a) -31 b) 26

c) 7d) 28

e) 68f) -11

g) 46

Exercício 3:

a)38

b)3

8−

c)7

11−

d)11

6−

e)

3

11

6

22=

f)125

g)3

2−

h)5

32

20

128=

i)6

5−

j)

10

3

20

6=

k)103−

l)6

1

m)4

1

n)5

18

o)

2

3

p)103

q)7

18−

r) 4s) 9

t)9

4

Exercício 4:

a)3

29−

b)6

5

c)12

71

d)15

22−

e)75

169

f)40

249−

g)10

7

h)10

77−

Exercíco 5:

a)

78

5− b)

76

303 c)

5

7−

d) 2−

Exercício 6: 1Exercício 7:

a) R$ 13,40 b) R$ 8,04

c) R$ 16,08d) 4,824≅ R$ 4,82

e) R$ 4,02f) R$ 1,34

g) R$ 0,08h) R$ 0,13

Exercício 8: R$482,80 Exercício 9: R$960,50 Exercício 10: 20%Exercício 11: A loja Comunicação Rápida, pois está vendendo o celular por R$ 96,00 à vistaExercício 12:a) F

b) Fc) V

d) V

e) Ff) F

g) V

h) Vi) V

j) F

Exercício 13: 10 anos


21/21

Exercício 14:a) R$ 1590,00 b) R$ 1325,00 c) R$ 5035,00Exercício 15: R$ 6813,31Exercício 16: R$ 93.333,33Exercício 17: a) R$ 6885,00 b) R$ 4590,00 c) R$ 3442,50 d) R$ 8032,50

Exercício 18: 14.112 alunosExercício 19: 40 kgExercício 20: 9 horasExercício 21: 45 alunosExercício 22: R$ 15,00Exercício 23: 33 litrosExercício 24: Valor à vista R$585,00, valor pago R$508,95Exercício 25: Valor à vista R$451,81

Documents

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