Relação Em Transformadores Elétricos

8/18/2019 Relação Em Transformadores Elétricos

1/27

‘

Relação em transformadores

elétricos

Felipe Pessoa Ruiz

Leonardo P. Dias

Lucas Paiva de Andrade

Luis Eduardo dos Santos Moraes

Matheus Salles dos Santos

Sorocaba 2014

1


2/27

‘

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA – JÚLIO DE MESQUITA FILHO

Felipe Pessoa Ruiz – RA:1!!"#"$

Leonardo P. Dias

Lucas Paiva de Andrade – RA: 1!!"#1#!

Luis Eduardo dos Santos Moraes – RA: 1!!"#111

Matheus Salles dos Santos – RA: 1!!"##"

Relação em transformadores elétricos

%ra&alho desenvolvido durante a

disciplina de Mate'(tica aplicada )

En*enharia co'o parte da avalia+,o

re-erente ao se*undo se'estre do ano de

!#1$.

Pro- respons(vel: /os0 Ro&erto Ri&eiro ortoleto.

Sorocaba 2014

Resumo

!


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‘

2o presente tra&alho3 as leis de 4irchho--3 Farada5 e Lenz -ora'

aplicadas e' trans-or'adores el0tricos3 a -i' de e6uacionar as rela+7es de tens7es

e correntes entre a &o&ina pri'(ria e a secund(ria e' -un+,o de par8'etros

construtivos 9indut8ncias e resistncias; e e


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‘

%rans-or'adores El0tricos............................................................................................"

@lassi-ica+,o dos %rans-or'adores El0tricos...............................................................

@lassi-ica+7es por -un+,o:..............................................................................

@lassi-ica+7es por nB'ero de -ases:............................................................1#

E6uaciona'ento..........................................................................................................11

@orrente Alternada........................................................................................11

@orrespondncia entre 2B'eros @o'ple


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‘

%a&ela 1 Especi-ica+7es de u' trans-or'ador 'odelo para servir co'o &ase para

as e6ua+7es propostas e a si'ula+,o virtual.............................................................!#

%a&ela ! alores de tens,o3 corrente e potncia dissipada no enrola'ento principal

e secund(rio respectiva'ente3 e' -un+,o da resistncia secund(ria.......................!1

%a&ela Medidas3 '0dias e desvio padr,o das resistncias e indut8ncias de cada

&o&ina do trans-or'ador.............................................................................................!$

%a&ela $ alores reti-icados das resistncias e indut8ncias.....................................!$

Introdução

C


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‘

Gs

trans-or'adores s,o dispositivos 6ue possi&ilita' 'odi-ica+7es nos valores de

tens,o e corrente entre seus ter'inais de entrada e saHda con-or'e suas

especi-ica+7es construtivas. Esta caracterHstica o torna u' co'ponente de vital

i'port8ncia para siste'as el0tricos3 principal'ente para o siste'a de trans'iss,o e

distri&ui+,o ener*0tica das cidades3 co'o ilustrado na Fi*ura 1.

Gse*uinte tra&alho te' co'o o&Ietivo e6uacionar e resolver as e6ua+7es 6ue

apresenta' o *anho de corrente e tens,o entre a entrada e saHda e' -un+,o de

detalhes construtivos co'o as indut8ncias e resistncias dos enrola'entos e a

-re6uncia do sinal de entrada3 considerando u' trans-or'ador ideal3 o seIa3 o -lu


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‘

Transformadores Elétricos

Gs trans-or'adores el0tricos s,o e6uipa'entos de *rande i'port8ncia

atual'ente para os siste'as de trans'iss,o de ener*ia el0trica3 onde s,o

a'pla'ente utilizados. 2o processo de trans'iss,o de ener*ia el0trica 0 'ais

vantaIoso 6ue ela seIa trans'itida co' u'a alta tens,o e &ai


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‘

potencial3 e isso 0 devido a corrente de saHda ser parcial'ente -ornecida pelo lado

de ali'enta+,o e parte induzida pelo ca'po3 per'itindo u' nBcleo 'enor e 'ais

&arato. De -or'a *eral3 apresenta rendi'ento 'ais e-icaz e custo 'enor3 'as por

outro lado h( a perda de isola'ento *alv8nico entre a entrada e saHda de &o&inas

devido a coincidncia parcial dos enrola'entos.

Transformadores de corrente: E' sua -or'a &(sica3 possue' u'

enrola'ento pri'(rio co'posto *eral'ente de poucas espiras3 e u' secund(rio no

6ual a corrente no'inal trans-or'ada 0 i*ual a CA. S,o e6uipa'entos destinados a

operar co' seus enrola'entos secund(rios so&re car*a de i'ped8ncia &astante

reduzida3 e co' os instru'entos de 'edi+,o e prote+,o 'enores. S,o

e6uipa'entos 6ue per'ite' aos instru'entos de prote+,o e 'edi+,o se' corrente

no'inal de acordo co' a corrente do circuito ao 6ual s,o conectados3 -uncione' da

-or'a correta. Pode' ser do tipo &arra ou Ianela3 co' v(rios enrola'entos pri'(rios

ou secund(rios. S,o utilizados e' aplica+7es de alta tens,o3 -ornecendo correntes

induzidas e isoladas do circuito pri'(rio a -i' de possi&ilitar sua utiliza+,o para

instru'entos ta'&0' de controle3 e' rel0s de indu+,o3 'edidores de ener*ia e

co'o supri'ento de aparelhos co' &ai


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‘

Transformador ideal: O' trans-or'ador 0 considerado ideal se a

per'ea&ilidade 'a*n0tica do nBcleo -erro'a*n0tico -or in-inita3 tendo co'o

conse6uncia3 o -lu


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‘

E(uacionamento

Corrente !lternada@ha'ase corrente el0trica o 'ovi'ento ordenado das car*as el0tricas e'

u' condutor. Estas car*as s,o aceleradas pela di-eren+a de potencial a 6ue est,o

su&'etidas. Se a di-eren+a de potencial -or constante3 o 'ovi'ento das car*as

el0tricaster( u' Bnico sentido e velocidade constante3 e' circuitos co'uns co'

certa resistncia. Gu seIa3 neste caso o -lu'ediata'ente ap=s aplicada a tens,o3 a corrente el0trica varia de 'aneirairre*ular co' o te'po. Este 0 o cha'ado e-eito transiente. Ap=s cessar o transiente3

a corrente el0trica oscila de 'aneira senoidal da 'es'a -or'a 6ue a tens,o

aplicada.

A e


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‘

Correspond)ncia entre *"meros Comple%os e +unções Senoidais

A rela+,o entre nB'eros i'a*in(rios e as -un+7es senoidais 0 e


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‘

F =qE+q (vXB )

A For+a de Lorentz nada 'ais 0 do 6ue a superposi+,o da força elétrica3

proveniente de u' ca'po el0trico E3 co' a -or+a 'a*n0tica3 devida a u' ca'po'a*n0tico 3 6ue atua' so&re u'a partHcula carre*ada eletrica'ente se 'ovendo

no espa+o.

Evidente'ente3 para 6ue a superposi+,o ocorra3 0 necess(rio 6ue a partHcula

possua u'a car*a el0trica lH6uida n,o nula 9 q≠0 ; e esteIa e' 'ovi'ento e' u'a

re*i,o do espa+o 6ue possua o ca'po 'a*n0tico. Analisando apenas as -or+as de

car(ter el0trico3 se v=0 3 a partHcula estar( so'ente so& in-luncia da -or+a

el0trica 9 F = F e=qE ;.

A contri&ui+,o a F devido ) -or+a el0trica Fe 0 paralela ao ca'po el0trico E3

resultando e' acelera+,o da partHcula carre*ada na 'es'a dire+,o e sentido do

ca'po 9u'a partHcula carre*ada ne*ativa'ente3 so-rer( acelera+,o no sentido

contr(rio ao ca'po;. A contri&ui+,o re-erente ) -or+a 'a*n0tica 9 F m=q ( vxB ) ; 0

se'pre perpendicular ao ca'po e ) velocidade v si'ultanea'ente3 con-or'e ditaa re*ra do produto vetorial.

ale a pena notar 6ue a -or+a 'a*n0tica n,o realiza tra&alho3 u'a vez 6ue 0

perpendicular ao desloca'ento 9ou seIa3 n,o e


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‘

Assi'3 a Lei de Farada5 enuncia 6ue: o valor da -or+a eletro'otriz induzida

e' u'a espira de (rea A 0 i*ual ) ta


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‘

XA corrente induzida e' u' circuito aparece se'pre co' u' sentido tal 6ue o

ca'po 'a*n0tico 6ue ele cria tende a contrariar a varia+,o do -lu


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‘

%o'ando co'o &ase u' trans-or'ador ideal3 te'se pela Lei de Farada5

Lens 6ue a tens,o 9; e' cada u'a das &o&inas 0 dada pela se*uinte e6ua+,o:

V =− A ∆ B

∆t

E' 6ue 2 0 o nB'ero de voltas na &o&ina3 Z a varia+,o do ca'po

'a*n0tico e A o valor da (rea.

Fazendo a raz,o entre a volta*e' P na &o&ina pri'(ria e a volta*e' S na

&o&ina secund(ria3 o&t'se a rela+,o:

V P

V S= 1

2= !

Gnde 21 e 2! representa' o nB'ero de voltas na &o&ina pri'(ria e

secund(ria respectiva'ente e 4 u'a constante resultante da raz,o. Este

e6uaciona'ento 0 cha'ado de rela+,o entre espiras. @aso 21 seIa 'aior 6ue 2!3 o

trans-or'ador el0trico 0 considerado co'o u' a&ai


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‘

Figura 4 - Transformador ideal

Resultados e &iscussões

@onsiderando 6ue para u' trans-or'ador el0trico tra&alhase co' a varia+,o

de u' ca'po 'a*n0tico3 as correntes do circuito pri'(rio i P e secund(rio iS deve'

ser do tipo alternada3 assi' co'o a tens,o vp -ornecida ao circuito pri'(rio. Atrav0s

da rela+,o entre nB'eros co'plep e >s representa' as a'plitudes de onda da corrente pri'(ria e

secund(ria3 p a a'plitude de onda da tens,o pri'(ria3 a -re6uncia an*ular3 t o

te'po e I u'a unidade i'a*in(ria.

Para calcular a varia+,o da corrente pri'(ria e secund(ria3 derivouse as

e6ua+7es de iP9t; e iS9t; e' rela+,o ao te'po:

eV v jwt

P

P jwdt

d .

)(=

1"


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‘

e I i jwt

P

P jwdt

d .

)(=

e I i jwt S S jwdt d

.)(

=

Su&stituindose ent,o os resultados o&tidos aci'a nas e6ua+7es do circuito

do trans-or'ador:

dt

d M

dt

d ii L Riv

S P

p P −+=

11

e I e I L Re I eV jwt

S

jwt

P

jwt

p

jwt

P Mjw jw −+=

11

dt

d

dt

d M

i L Ri

i S S

P

22 +=

e I L Re I e I jw jwt

S

jwt

S

jwt

jw P

M 22

+=

@ortando os ter'os e' co'u' e' a'&as as e6ua+7es 9 e #$t

; e separando

a parte real e i'a*in(rias:

( ) I I L R I V S P p P Mww j −+= 1191;

W j Mjw I L R I I S S P 22 +=

9!;

G&tevese ent,o u' siste'a de duas e6ua+7es 6ue apresenta' duas

inc=*nitas3 >P e >S. Ao 'anipular a se*unda e6ua+,o3 -oi possHvel encontrar u'a

rela+,o entre as a'plitudes de onda das correntes do circuito secund(rio e pri'(rio:

jw

Mjw

L R

I I

P

S

22 +

=

1


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‘

Su&stituiuse ent,o a es na e6ua+,o 91;3 encontrando

u'a nova e6ua+,o:

+−+=

jw

jw M w j

L R I

I L R I V P

P p P

22

22

11

Gr*anizouse a e6ua+,o3 colocando o >pe' evidncia:

+−+=

jwwj

L Rw M j

L R I V p P 22

222

11

Fazendo o 'Hni'o 'Bltiplo co'u' e' todos os ter'os dentro dos

parnteses:

+

++=

−+ jw

jw jw

L R

w M jw j L L R L L R R R I V p P

22

22

22

2121

2211 2

@onsiderando 6ue a indut8ncia 'Btua M 0 dada por √ L1 L2 e' u'

acopla'ento ideal e 6ue a unidade i'a*in(ria I elevada ao 6uadrado 0 i*ual a 13

conse*uiuse reduzir a e6ua+,o para a se*uinte esolouse % P e -oi deter'inada u'a e6ua+,o para o 'es'o:

( ) jww

jw P

R L L R R R

LV RV

I

P

p

212121

22

++

+=

1N


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‘

2o entanto3 a'&as as e6ua+,o o&tidas para as a'plitudes de corrente ainda

possue' unidades i'a*in(rias3 calculouse ent,o o '=dulo de cada -or'ula. Para

% P :

( )

( ) ( ) R Lww L R R R

w LV RV I

P P p

212121

22

22

22

)(

++

+=

( )

( ) ( ) R Lww L R R R

w L RV I

P

p

212121

2222

22

++

+=

@alculando a*ora o '=dulo de % S :

w L R

I I

P

S

w M

22

2

2

2

222

+=

w L R

I I

P

S

Mw

22

2

2

2 +

=

Assi'3 -oi possHvel deter'inar e6ua+7es para as a'plitudes de corrente docircuito pri'(rio e secund(rio. Para veri-icar se a'&as e6ua+7es est,o corretas3

co'parouse seus resultados co' o da calculadora presente no site 5perPhisics

na sess,o de trans-or'adores3 utilizando as se*uintes especi-ica+7es:

Ta!ela 1 - Especificaç"es de um transformador modelo para ser#ir como !ase para as e$uaç"es propostas e a simulação #irtual%

*1 *2 3 +re(u)ncia /3 R1 53 R2 53 -1 3 -2 3

!## $## 1!# ?# # 1## 1 $

!#


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‘

A partir da raz,o entre o nB'ero de voltas e' cada &o&ina3 esperase 6ue a

volta*e' do circuito secund(rio seIa o do&ro da volta*e' pri'(ria3 sendo ent,o de

!$#.

2este ep se reduz ent,o para:

( ) R Lw

w L RV I

P

p

21

22

22 +

=

Gs resultados o&tidos para as a'plitudes de corrente pri'(ria >p e secund(ria

>s atrav0s das e6ua+7es -or'uladas -ora' de $311A e !3NNA respectiva'ente.

Otilizando a calculadora para trans-or'adores do site 5perPhisics3 os resultados

-ora' $31#A e !3$#1A. ouve u'a discrep8ncia de apro


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‘

Ta!ela 2 - *alores de tensão+ corrente e pot(ncia dissipada no enrolamento principal e secund)riorespecti#amente+ em função da resist(ncia secund)ria%

RS 53 3 S 3 I !3 IS !3 63 S 63 A&erta 11N ! .! # C# #

1## NN 1N $. !.# 11$ NC

!# ?# 1!# 1!.1 ?.# "!N "1"

C !$ $ 1N.! N.? 1$$ $?#

1 C." 11.$ !!.N 11.$ !?1! 11

Gnde PP e PS representa' a potncia dissipada pelos resistores pri'(rio e

secund(rio respectiva'ente.

E' todas as varia+7es de RS propostas3 perce&euse 6ue a raz,o entre a

volta*e' pri'(ria e secund(ria 'antevese constante e' ePJ>S U 2!J21; n,o 0 v(lida para u' trans-or'ador real6uando o valor da resistncia secund(ria 0 alto3 'as ainda apresentando resultados

pr=


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‘

Para apro-unda'ento do tra&alho3 disponi&ilizouse u' trans-or'ador el0trico

real co'o as das i'a*ens a&ai


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‘

'P e !3$NA para >S3 u'a discrep8ncia de

apro


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‘

Apesar de n,o ter sido possHvel 'edir o nB'ero de n=s e' cada

&o&ina do trans-or'ador3 p[dese encontrar sua rela+,o atrav0s da raz,o entre as

volta*ens do circuito pri'(rio e secund(rio:

1

2=V"

Vs=5,17

Perce&euse 6ue a raz,o entre as correntes >S e>P n,o 0 a 'es'a da

rela+,o aci'a3 sendo de 13N!. Este resultado con-ir'a a suposi+,o anterior de 6ue

a rela+,o entre os n=s das &o&inas e as correntes dos circuitos n,o 0

co'pleta'ente v(lida para trans-or'adores reais.

Ao contr(rio dos casos anteriores3 o trans-or'ador e' 6uest,o 0 u'

a&ai


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‘

Refer)ncias

1. R.2AE3 %rans-or'er Poèr @alculation 3 !#1!. DisponHvel e':

http:JJh5perph5sics.ph5astr.*su.eduJh&aseJ'a*neticJtracir!.ht'lbc1. Acesso e':

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!. R.2AE3 @ircuit E6uations: %rans-or'er 3 !#1!. DisponHvel e':

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!# outu&ro !#1$.

:iblio,rafia

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DisponHvel e' http:JJpt.slideshare.netJictorSaidJrelatriotrans-or'adores

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• 5perph5sics: XElectricit5andMa*netis'Y. DisponHvel e'

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• Mundo Educa+,o: XLei de Farada5Y. DisponHvel e'

http:JJ```.'undoeducacao.co'J-isicaJlei-arada5.ht'. Acesso e' !C Gut

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http:JJ```.&rasilescola.co'J-isicaJaleilenz.ht'. Acesso e' !C Gut !#1$.

•

SE23 P.@. XPrinciples o- Eletric Machines And Po`er EletronicsY – Ed. /ohnile5g Sons3 ! Edi+,o3 EOA3 1NN?.

• >n-o Escola: X@orrente AlternadaY. DisponHvel e'

http:JJ```.in-oescola.co'Jeletro'a*netis'oJcorrentealternadaJ. Acesso

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Documents

Relação Em Transformadores Elétricos