RELAÇÕES ERELAÇÕES EEQUAÇÕES EQUAÇÕES

TRIGONOMÉTRICASTRIGONOMÉTRICAS

Define-se secante de um ângulo de medida x, e denota-se por sec x, a razão: sec x = , para cos x ≠ 0.

Exemplos

a) sec 45º = =

b) sec = =

Secante

Define-se cossecante de um ângulo de medida x, e denota-se por cossec x, a razão: cossec x = , para sen x ≠ 0

Cossecante

Exemplosa) cossec 120º =

b)

Define-se cotangente de um ângulo de medida x, e denota-se por cotg x, a razão:

cotg x = , para sen x ≠ 0 

Cotangente

Exemplos

a) cotg 135o = =

b) cotg = =

1. Sabendo que cos x = e que < x < 2, calcular:

a) sen x b) tg x c) sec x d) cossec x e) cotg x

Resoluçãoa) sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x + = 1 sen2 x = 1 – sen2 x =  

b)

EXERCÍCIOS

d)

e)

1. Resoluçãoc)

Vimos até agora cinco relações importantes na Trigonometria:

Relações fundamentais na Trigonometria

Realizando algumas operações, podemos determinar três relações a partir dessas:

tg2 x + 1 = sec2 x, com cos x ≠ 0

1 + cotg2 x = cossec2 x, com sen x ≠ 0

cotg x = , com sen x ≠ 0 e cos x ≠ 0

Relações fundamentais na Trigonometria

2. Simplificar a expressão .

ResoluçãoAplicando as relações cotg x = , cossec x = e sen2 x + cos2 x = 1, temos:

Portanto: 

EXERCÍCIOS

3. Sabendo que , calcular o valor de:

ResoluçãoAplicando as relações estudadas, e considerando x ∈ QI, temos:

e

EXERCÍCIOS

Portanto:

Logo, o valor de y é: 

3. Resolução

Relações para arcos complementaresDois arcos são complementares quando a soma de suas medidas é .

Equações trigonométricasa) Vamos resolver a equação sen x = , sendo U = ℝ. 

Logo, no universo real, temos:

Então, o conjunto solução é: 

Tomando o intervalo [0, 2], os arcos cujo seno vale são ou . 

b) Agora, vamos determinar x tal que sen x = sen , sendo U = ℝ. 

EXERCÍCIOS

Temos: sen = = sen

Assim, no universo real:

Então, o conjunto solução é: 

c) Vamos obter x tal que , sendo U = ℝ. 

No intervalo [0, 2], os arcos cujo cosseno vale são ou .

EXERCÍCIOS

Assim, temos:

Então, o conjunto solução é:

d) Vamos resolver a equação para U = ℝ. 

EXERCÍCIOS

Lembrando que cos (a) = cos (–a), temos:

Assim, no intervalo [0, 2], o arco tem cosseno igual a cos .Então, considerando o universo real:

Logo, o conjunto solução da equação é:

e) Vamos resolver a equação tg 2x = 1.

EXERCÍCIOS

Os arcos cuja tangente vale 1, considerando a primeira volta no ciclo trigonométrico, são e .

Quando o conjunto universo não é mencionado, convencionamos que U = ℝ.Considerando então o conjunto universo real, temos:

Assim, o conjunto solução é: 

f) Resolver a equação sen3 x – sen x = 0. 

EXERCÍCIOS

Resolução Colocando o fator comum sen x em evidência, temos:

sen3 x – sen x = 0 ⇒ sen x ∙ (sen2 x – 1) = 0Para um produto de dois fatores ser igual a zero, é necessário que um dos fatores seja igual a zero.

Assim: sen x ∙ (sen2 x – 1) = 0 ⇒ sen x = 0 (I) ou sen2 x – 1 = 0 (II)

4. Resolver a equação , sendo 0 ≤ x < 2. 

Então, temos:

Logo:

Resolução

EXERCÍCIOS

f) Resolução De (I), vem:sen x = 0 ⇒ x = 0 + k ∙ , k ∈ ℤ De (II), vem:sen2 x – 1 = 0 ⇒ sen2 x = 1 ⇒⇒ sen x = ±1 ⇒ x = + k ∙ , k ∈ ℤ

Logo: S =ou, escrevendo de outra forma,