RELAÇÕES ERELAÇÕES EEQUAÇÕES EQUAÇÕES
TRIGONOMÉTRICASTRIGONOMÉTRICAS
Define-se secante de um ângulo de medida x, e denota-se por sec x, a razão: sec x = , para cos x ≠ 0.
Exemplos
a) sec 45º = =
b) sec = =
Secante
Define-se cossecante de um ângulo de medida x, e denota-se por cossec x, a razão: cossec x = , para sen x ≠ 0
Cossecante
Exemplosa) cossec 120º =
b)
Define-se cotangente de um ângulo de medida x, e denota-se por cotg x, a razão:
cotg x = , para sen x ≠ 0
Cotangente
Exemplos
a) cotg 135o = =
b) cotg = =
1. Sabendo que cos x = e que < x < 2, calcular:
a) sen x b) tg x c) sec x d) cossec x e) cotg x
Resoluçãoa) sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x + = 1 sen2 x = 1 – sen2 x =
b)
EXERCÍCIOS
d)
e)
1. Resoluçãoc)
Vimos até agora cinco relações importantes na Trigonometria:
Relações fundamentais na Trigonometria
Realizando algumas operações, podemos determinar três relações a partir dessas:
tg2 x + 1 = sec2 x, com cos x ≠ 0
1 + cotg2 x = cossec2 x, com sen x ≠ 0
cotg x = , com sen x ≠ 0 e cos x ≠ 0
Relações fundamentais na Trigonometria
2. Simplificar a expressão .
ResoluçãoAplicando as relações cotg x = , cossec x = e sen2 x + cos2 x = 1, temos:
Portanto:
EXERCÍCIOS
3. Sabendo que , calcular o valor de:
ResoluçãoAplicando as relações estudadas, e considerando x ∈ QI, temos:
e
EXERCÍCIOS
Portanto:
Logo, o valor de y é:
3. Resolução
Relações para arcos complementaresDois arcos são complementares quando a soma de suas medidas é .
Equações trigonométricasa) Vamos resolver a equação sen x = , sendo U = ℝ.
Logo, no universo real, temos:
Então, o conjunto solução é:
Tomando o intervalo [0, 2], os arcos cujo seno vale são ou .
b) Agora, vamos determinar x tal que sen x = sen , sendo U = ℝ.
EXERCÍCIOS
Temos: sen = = sen
Assim, no universo real:
Então, o conjunto solução é:
c) Vamos obter x tal que , sendo U = ℝ.
No intervalo [0, 2], os arcos cujo cosseno vale são ou .
EXERCÍCIOS
Assim, temos:
Então, o conjunto solução é:
d) Vamos resolver a equação para U = ℝ.
EXERCÍCIOS
Lembrando que cos (a) = cos (–a), temos:
Assim, no intervalo [0, 2], o arco tem cosseno igual a cos .Então, considerando o universo real:
Logo, o conjunto solução da equação é:
e) Vamos resolver a equação tg 2x = 1.
EXERCÍCIOS
Os arcos cuja tangente vale 1, considerando a primeira volta no ciclo trigonométrico, são e .
Quando o conjunto universo não é mencionado, convencionamos que U = ℝ.Considerando então o conjunto universo real, temos:
Assim, o conjunto solução é:
f) Resolver a equação sen3 x – sen x = 0.
EXERCÍCIOS
Resolução Colocando o fator comum sen x em evidência, temos:
sen3 x – sen x = 0 ⇒ sen x ∙ (sen2 x – 1) = 0Para um produto de dois fatores ser igual a zero, é necessário que um dos fatores seja igual a zero.
Assim: sen x ∙ (sen2 x – 1) = 0 ⇒ sen x = 0 (I) ou sen2 x – 1 = 0 (II)
4. Resolver a equação , sendo 0 ≤ x < 2.
Então, temos:
Logo:
Resolução
EXERCÍCIOS
f) Resolução De (I), vem:sen x = 0 ⇒ x = 0 + k ∙ , k ∈ ℤ De (II), vem:sen2 x – 1 = 0 ⇒ sen2 x = 1 ⇒⇒ sen x = ±1 ⇒ x = + k ∙ , k ∈ ℤ
Logo: S =ou, escrevendo de outra forma,