Relatorio Condensador

A. Ferreira (67893), A. Patrıcio (67898), M. Prata (67933), T. Coutinho(67957)LCET, Engenharia Fısica Tecnologica 2o ano,

IST, Av. Rovisco Pais 1049-001 Lisboa, Portugal(Dated: 28 de Abril de 2011)

Estudamos o processo de carga e descarga de um condensador num circuito RC serie, comCvoltmetro = 1.07µF . Alguns dos calculos foram o da sua capacidade e o balanco energetico, consi-derando e nao a resistencia interna do sistema de aquisicao de dados e de perdas do condensador.Com esta correccao, obtivemos Cdescarga = 1.03± 0.01µF e Ccarga = 1.024± 0.003µF .

Estudamos a resposta em frequencia de um condensador plano de dielectrico LHI(polımero Mylarde espessura 100µm): a variacao da resistencia de perdas, permitividade e capacidade complexas.Vimos ser um erro conceptual considerar todo o espaco entre placas preenchido por dielectrico,existindo uma posıvel camada de ar com espessura dar = 65± 4µm, 39% do espaco entre placas.

1. INTRODUCAO TEORICA

Consideramos um sistema de dois condutores com cargas +Q e -Q,um condensador, para o qual podemos definir a diferenca de potencialV+−V−. Os teoremas de unicidade para V garantem que V ∝ Q peloque se introduz a capacidade C do condensador, C ≡ Q/V , medidaem farads(F=C.V −1) nas unidades SI.

Em contraste com os condutores, nos dielectricos cada carga estaassociada com um atomo especıfico ou molecula - move-se ligeiramentena regiao do atomo ou molecula, cujo efeito global e, quando o materiale sujeito a um campo ~E, a criacao de dipolos electricos que, em geral,se faz por: deformacao dos atomos do material, sendo ~p ≈ α~E, com αa polarizabilidade atomica; rotacao de dipolos permanentes existentesno material. Em termos da polarizacao ~P =momento dipolar porunidade de volume, a lei de Gauss reescreve-se como

∇ · ~D = ρf , ~D ≡ ε0 ~E + ~P (1)

Num dielectrico LHI, ~P = ε0χe ~E ⇒ ~D = ε0εr ~E = ε ~E, onde χee a susceptibilidade e εr = 1 + χe a permitividade relativa do meio.Em meios LHI densos, atomos ou moleculas nao polares, podemosrelacionar α com ε, pela eq. de Clausius-Mossotti:

ε = ε0 +Nα

1−Nα/3ε0(2)

Comecamos por estudar o processo de carga/descarga de um con-densador no seguinte circuito:

Sendo para o condensador ic = dq/dt = Cdvc/dt, a lei de Kirchoffpara as correntes da-nos a equacao caracterıstica:

Cdvc/dt = (VTH − vc)/RTH ⇔ Cdvc/dt+ vc/RTH = VTH/RTH (3)

cuja solucao geral vemos ser, para uma tensao constante VG:vc(t) = VTH + (V0 − VTH)e−(t−t0)/τ , V0 = vc(t = t0) (4)

onde τ = RTHC e o tempo de relaxacao do circuito, medida dequao rapida e a deriva de cargas num meio ohmico. Num perıodo decarga do condensador V0 < VTH e no perıodo de descarga V0 > VTH .Num processo de carga/descarga de t = t0 a t∗ = t0 + ∆t,a energiaposta em jogo em cada componente e:

WC =Cvc(t∗)2 − Cvc(t0)2

2, WR =

∫ t∗

t0

(VG − vC)2

Rdt (5)

WRv =

∫ t∗

t0

v2C

Rvdt, −WG =

∫ t∗t0

(VG − vC)VGdt

R= WC +WR (6)

Estudamos tambem um condensador de pratos paralelos preenchidocom material dielectrico de permitividade εr e, possivelmente, comuma camada de ar com espessura total 2x:

para o qual vemos facilmente ser a sua capacidade dada por:

C =Aε

d+ 2χex=

Aε0ε

dε0 + 2x(ε− ε0)⇒ 2x =

Aε− CdC(εr − 1)

(7)

Geralmente, o dielectrico e mau condutor, o que pode modelar-sepelo paralelo de um resistor RC com um condensador de dielectricoperfeito. Consideremos, entao, o circuito com tensao v2 sinusoidal:

E formalmente identico ao anterior, com Rv → Req,C → Ceq evG → v2. Temos para as amplitudes complexas:

I =V1 − V2

R= V2(Ceqjω+

1

Req), I2

ef =< V 2

1 > + < V 22 > −2 < V1 · V2 >

R2

(8)Assim, a potencia dissipada no conjunto Req + Ceq e

P =< V2 · V1 > − < V 2

2 >

R=< V 2

2 >

Req⇒ Req =

< V 22 >

P(9)

e obtemos tambem

Ceq =1

ωR

√< V 2

1 >

< V 22 >

−(

1 +R

Req

)2

(10)

Para o condensador plano em regime sinusoidal, este pode modelar-se por uma capacidade/permitividade complexa:

1

Cjω= RC ||(

1

Cjω)⇒ C = CRe − jCIm = C − j

1

RCω(11)

ε =C(d− 2x)

A− 2xCε0

= εRe − jεIm =(d− 2x)ε0

√C2Re + C2

Ime−jφ√

(Aε0 − 2xCRe)2 + (2xCIm)2(12)

comφ = arctan

[Aε0CIm

Aε0CRe − 2x(C2Re + C2

Im)

](13)

2. DESCRICAO EXPERIMENTAL

O circuito em estudo na primeira etapa representa-se na fig. 1.Consiste essencialmente no mesmo circuito apresentado na introdu-cao, sendo que Rv corresponde agora a resistencia interna da placade aquisicao digital que adquire os valores de vc(t), C corresponde aoparalelo da capacidade do condensador com a do sistema de aquisicaode dados e se despreza a resistencia interna Ri do voltımetro. Comoo voltımetro foi desligado do circuito apos medicao da forca electro-motriz ε do gerador(considera-se nula ri do gerador face a R e Rv),nao existe qualquer problema.

Figura 1: Esquema da primeira parte da experiencia.

Comecamos por analisar a descarga, sendo o posicionamento dointerruptor em b) efectuado automaticamente pelo sistema. Para cadaR entre 10kΩ e 60kΩ, efectuamos a representacao grafica de ln(vc(t)).De um ajuste linear( eq. 4 com VTH = 0), obtivemos o declive m =−1/τ e a ordenada na origem b = ln(V0), que permitiram obter umaestimativa para a capacidade do condensador C = τ/R. A tensaoinicial em regime estacionario ε0(indicada pelo sistema de aquisicao)permitiu obter uma estimativa corrigida para C, considerando Rv naanalise: ε0 = εRv/(Rv +R)⇒ (ε/ε0 − 1) = R/Rv (14)

Uma regressao linear aos pontos (R, ε/ε0−1) permitiu, assim, obteruma estimativa para Rv, usada no calculo de Ccorr.:

Ccorr. = τ/(R||Rv) = τ/R′ (15)Note-se que Ccorr e o paralelo de C com a capacidade do sistema

de aquisicao Cv, Ccorr = C + Cv. Efectuamos ainda o balanco ener-getico do processo, usando as eq.6, com Rv igual ao obtido no ajuste

e∫ t∗t0vc(t)

2dt efectuado pelo software.

Para o estudo da carga, e feita a ligacao a a) no interruptor pelosistema de aquisicao. A analise e identica a efectuada para a descarga,sendo que agora registamos os valores aproximados ε∞ = VC(t =∞),∫ t∗t0

(ε∞ − vc(t))2dt,∫ t∗t0

(ε∞ − vc(t))dt, uteis nas eq. 6, e representa-

mos a dependencia temporal ε∞ − vC(t).Na segunda etapa, usamos um gerador de funcoes para produzir

uma tensao alternada sinusoidal com frequencia f e amplitude V1, emserie com uma resistencia R e com um condensador de pratos paraleloscom resistencia de perdas RC e capacidade C:

Figura 2: Esquema da segunda parte da experiencia.O circuito para a direita do porto bb’ e exactamente o analisado na

introducao, com Ceq = C + 120pF e Req = (RC ||1MΩ).O sistema digital de aquisicao permitiu obter < v2

1 >, < v22 > e

< v1 ·v2 > para f entre 200Hz e 0.5MHz. A cada medicao, ajustamosR por forma a que V2ef ≈ V1ef /2. Testamos ainda a possıvel existen-cia de uma camada de ar no condensador obtida pela eq.7), sendo odielectrico o polımero Mylar, com εr ≈ 3.2.

3. DADOS EXPERIMENTAIS

Medimos com o multımetro a capacidade C do condensador, tendoobtido C = (1.07 ± 0.01) × 10−6 F , valor tomado como exacto, comum desvio a precisao de 0.9%. Tambem medimos a forca electromotrizdo gerador, conseguindo ε = 5.017 ± 0.001V , com desvio a precisaode 0.1%. Os valores de R foram medidos com o multımetro digital epossuem o erro de medida eR = 10 Ω.

Nas tabelas I e II relativas a descarga/carga do condensador, as es-timativas para os erros no declive, na ordenada na origem e no integralforam obtidas considerando duas medicoes. Na tabela III mostram-se os dados relativos a resposta em frequencia de um condensador,sendo os valores de tensao apresentados a media de dois calculadospelo programa e o respectivo erro a diferenca entre medicoes.

R(Ω)a -m(s−1) b ε0(V) Integral(V 2.s)9980 101.0± 0.5 1.60± 0.01 4.91± 0.01 0.123± 0.001

19980 51.0± 0.5 1.57± 0.01 4.82± 0.01 0.228± 0.00129970 34.9± 0.5 1.53± 0.01 4.70± 0.01 0.317± 0.00639950 26.6± 0.5 1.51± 0.01 4.61± 0.01 0.399± 0.00149696 21.7± 0.5 1.50± 0.01 4.50± 0.01 0.463± 0.00159970 18.4± 0.5 1.48± 0.01 4.42± 0.01 0.528± 0.001

Tabela I: Dados relativos a descarga do condensador.

R(Ω) -m(s−1) b ε∞(V) Integral(V 2.s) Integral(V.s)9980 102.5± 0.5 1.59± 0.01 4.91± 0.01 0.122± 0.002 0.0488± 0.0001

19980 51.0± 0.1 1.57± 0.01 4.815± 0.005 0.226± 0.001 0.0928± 0.000529970 35.3± 0.2 1.54± 0.01 4.72± 0.01 0.306± 0.001 0.1310± 0.000439950 26.6± 0.1 1.51± 0.01 4.635± 0.005 0.390± 0.001 0.1696± 0.000449696 21.75± 0.05 1.49± 0.01 4.55± 0.01 0.43± 0.01 0.203± 0.00259970 18.4± 0.1 1.42± 0.06 4.47± 0.01 0.52± 0.01 0.234± 0.001

Tabela II: Dados relativos a carga do condensador.

f(Hz) R(Ω) V1ef(V) V2ef

(V) < V1 · V2 > (V 2)

200 ± 1 (2.51 ± 0.01) × 105 6.344 ± 0.001 3.169 ± 0.001 12.595 ± 0.005

500 ± 1 (1.065 ± 0.001) × 105 6.357 ± 0.001 3.177 ± 0.001 11.223 ± 0.005

1000 ± 1 (5.400 ± 0.005) × 104 6.355 ± 0.001 3.176 ± 0.001 10.223 ± 0.005

2000 ± 10 (2.739 ± 0.002) × 104 6.353 ± 0.001 3.178 ± 0.001 10.458 ± 0.005

5000 ± 10 (1.096 ± 0.002) × 104 6.345 ± 0.001 3.170 ± 0.001 10.36 ± 0.02

10000 ± 100 (5.516 ± 0.005) × 103 6.329 ± 0.001 3.166 ± 0.003 10.261 ± 0.005

20000 ± 100 (2.699 ± 0.005) × 103 6.28 ± 0.010 3.207 ± 0.001 10.61 ± 0.01

50000 ± 100 (1.059 ± 0.002) × 103 6.15 ± 0.010 3.18 ± 0.010 10.416 ± 0.001

100000 ± 1000 (5.36 ± 0.01) × 102 5.944 ± 0.001 3.041 ± 0.001 9.708 ± 0.002

200000 ± 1000 (2.755 ± 0.001) × 102 5.583 ± 0.001 2.79 ± 0.010 8.441 ± 0.003

500000 ± 1000 (1.071 ± 0.001) × 102 4.661 ± 0.001 2.290 ± 0.001 6.035 ± 0.003

Tabela III: Dados relativos a resposta em frequencia do condensador.4. ANALISE DE RESULTADOS

4.1. Descarga do CondensadorBaseados nos valores da tab.I, calculamos a constante de tempo τ ,

a capacidade C nao corrigida e o valor inicial de tensao V0 obtido porajuste. Estes mostram-se na tabela IV.

R(Ω) RC(s) C(F) V0(V)

9980 (9.90± 0.05)× 10−3 (9.92± 0.06)× 10−7 4.95± 0.05

19980 (1.96± 0.02)× 10−2 (9.8± 0.1)× 10−7 4.81± 0.05

29970 (2.87± 0.04)× 10−2 (9.6± 0.1)× 10−7 4.62± 0.05

39950 (3.76± 0.07)× 10−2 (9.4± 0.2)× 10−7 4.53± 0.05

49696 (4.6± 0.1)× 10−2 (9.3± 0.2)× 10−7 4.48± 0.04

59970 (5.4± 0.1)× 10−2 (9.1± 0.2)× 10−7 4.39± 0.04

Tabela IV: τ , C nao corrigida e V0 obtida por ajuste para a descarga.

Aplicamos uma regressao linear aos resultados, tendo obtido a fig.3.Conseguimos uma capacidade C = (9.3±0.1)×10−7F e uma ordenadana origem b = (6.0± 1.3)× 10−4 s. Este valor apresenta um desvio aprecisao de 1.1% e de 12.7% a exactidao.

Figura 3: Ajuste linear para determinacao de C sem correccao.

A capacidade calculada parece diminuir com o aumento de R, oque indica claramente que devemos considerar nao R mas um valorR′ < R no calculo de C a partir da constante de tempo τ .

A correccao a efectuar consiste na inclusao nos calculos da resis-tencia interna do sistema de aquisicao de dados e da resistencia deperdas do condensador, como discutido no procedimento.

Para determinar Rv, realizamos entao a regressao linear da equacao14 aos dados (R, ε/ε0 − 1) presente na fig. 4.

Figura 4: Ajuste linear para obtencao de Rv na descarga.

O declive obtido por ajuste 1/Rv = (2.32±0.06)×10−6 Ω−1 revelauma resistencia Rv = 432 ± 11 kΩ, com desvio a precisao de 2.6%.A ordenada na origem obtida foi b = (−2.8 ± 2.2) × 10−3, com des-vio a precisao de 79 %, o que parece confirmar a boa qualidade doajuste. Com este valor de Rv, determinamos R′ e novos valores paraC resumidos na tabela VII.

R(Ω) R′(Ω) eR′ (Ω) C(µF ) eC(µF )9980 9755 15 1.015 0.00719980 19096 31 1.03 0.0129970 28025 56 1.02 0.0239950 36567 89 1.03 0.0249696 44567 129 1.03 0.0359970 52656 176 1.03 0.03

Tabela V: Resultados com correccao para a descarga.

Para obter o valor corrigido Ccorr, aplicamos uma regressao linearaos pontos experimentais (R′, τ), presente na fig. 5.

Figura 5: Ajuste linear para obter C corrigido na descarga.

Conseguimos a capacidade corrigida Ccorr. = 1.03 ± 0.01µF , comum desvio a precisao de 1.1% e a exactidao de 3.3%. A ordenada daorigem b = (−1.9 ± 1.4) × 10−4 s apresenta um desvio a precisao de72%, suficiente para considerar o ajuste razoavel, identico ao obtidono grafico anterior como seria expectavel.

Veja-se que a recta obtida se ajusta muito bem aos dados experi-mentais, estando todos os desvios cobertos pelas barras de erro. Estebom ajuste em conjunto com a pequena ordenada na origem(cerca de50 vezes inferior ao menor valor experimental) garante que o modeloteorico usado nao e de todo despropositado. Note-se tambem que aaproximacao a recta ‘teorica’ e melhor que no grafico sem correccao.

Finalmente, os resultados do balanco energetico corrigidoapresentam-se graficamente na figura 6.

Figura 6: Comparacao grafica entre a energia inicial no condensadore a dissipada nas resistencias no processo de descarga.

Com excepcao de R ≈ 10 kΩ, todos os valores de WR sao inferioresa WC0 , como prevısivel por desconsideracao de outras perdas energe-ticas e devido a baixa resolucao no integral numerico no sistema deaquisicao. Para todos os valores de R, logo R′, os erros no calculo das

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energias cobrem a diferenca entre os valores obtidos. De facto, paratodos os valores de R, os desvios a precisao no calculo de WR −WC0

sao todos superiores a 200%. Note-se tambem a diminuicao da energiaposta em jogo no processo com o aumento de τ , como seria previsıvel.

O calculo da energia em jogo no condensador foi feito usando ε∞Poderıamos tentar explicar o primeiro valor por algum efeito capaci-tivo inicial do sistema de aquisicao p.e.; porem, vemos de imediatoque os valores V0 obtido por ajuste e ε∞ dado pelo sistema de aquisi-cao indicam ser estes pequenos erros resultantes da precisao mınimacom que o sistema permite trabalhar.

4.2. Carga do Condensador

Com base nos valores da tab. II, calculamos τ , C nao corrigida e V0

obtido por ajuste(V0 = ε∞ − eb). Com base em V0 e em ε∞, calcula-mos uma estimativa para o tempo de descarga tD(tD ≈ ln(ε∞/V0)τ)efectuada pelo sistema de aquisicao. Estes mostram-se na tabela VI.R(Ω) RC(s) C(F) V0(V) ≈ tD(s)

9980 (9.76± 0.05)× 10−3 (9.78± 0.06)× 10−7 0.01± 0.06 -

19980 (1.961± 0.004)× 10−2 (9.81± 0.02)× 10−7 0.03± 0.03 0.10± 0.02

29970 (2.833± 0.02)× 10−2 (9.45± 0.06)× 10−7 0.06± 0.03 0.13± 0.02

39950 (3.76± 0.01)× 10−2 (9.41± 0.04)× 10−7 0.11± 0.03 0.14± 0.01

49696 (4.60± 0.02)× 10−2 (9.25± 0.04)× 10−7 0.11± 0.05 0.17± 0.02

59970 (5.43± 0.03)× 10−2 (9.06± 0.05)× 10−7 0.35± 0.28 0.14± 0.04

Tabela VI: τ , C nao corrigida e V0 obtida por ajuste para a carga.

Note-se que a tensao inicial no condensador e inicialmente nuladentro do erro experimental, mas que, a medida que realizamos maisciclos de carga, este valor vai aumentando, o que indica ser o tempo dedescarga automaticamente efectuada pelo sistema de aquisicao de da-dos insuficiente para descarregar completamente o condensador. Istoacentua-se com o aumento de R porque o tempo de relaxacao tambemaumenta. Obtivemos uma estimativa media para o tempo de descargatD ≈ 0.13± 0.04 s, que nao considera o valor para R ≈ 10 kΩ por esteser demasiado sensıvel a pequenas variacoes de b.

Aplicamos aos resultados a regressao linear presente na fig.7. Con-seguimos a capacidade C = 0.919 ± 0.003µF e uma ordenada naorigem b = (9.4± 1.1)× 10−4 s. Este valor de C apresenta um desvioa precisao de 0.3% e de 14.1% a exactidao.

Figura 7: Ajuste linear para determinar C sem correccao na carga.Novamente se ve um padrao de decrescimo de C com R e um ra-

zoavel afastamento entre a curva teorica e a de ajuste. Assim, deter-minamos Rv realizando o ajuste presente na fig.8.

O declive conseguido 1/Rv = (2.01± 0.06)× 10−6 Ω−1 revela Rv =497± 15 kΩ, com desvio a precisao de 3.0%. Ja a ordenada na origemobtida foi b = (2.03 ± 1.99) × 10−3, com desvio a precisao de 98%, oque parece legitimar o ajuste.

Com o valor de Rv, determinamos R′ e novos valores para C:R(Ω) R′(Ω) C(µF )9980 9783± 15 0.997± 0.00619980 19207± 31 1.021± 0.00429970 28264± 57 1.002± 0.00839950 36975± 90 1.017± 0.00649696 45174± 131 1.018± 0.00859970 53507± 180 1.016± 0.009

Tabela VII: Resultados com correccao para a carga.

Figura 8: Ajuste linear para obtencao de Rv no processo de carga.No entanto, note-se que, se considerarmos um tempo finito de carga,

pareceria mais razoavel admitir como valores mais verosımeis para Rvaqueles obtidos com tempos de relaxacao menores(logo R menores).Caso unıssemos os dois primeiros pontos por uma recta, obterıamosRv = 500 kΩ, valor coberto pelo erro atras apontado, pelo que usare-mos o valor Rv = 497± 15 kΩ.

Conseguimos um valor corrigido Ccorr por aplicacao da regressaolinear aos pontos (R′, τ) patente na fig. 9.

Figura 9: Ajuste linear para obter C corrigido na carga.Obtivemos a capacidade Ccorr = 1.024± 0.003µF , com um desvio

a precisao de 0.3% e a exactidao de 4.3%. A ordenada da origemb = (−1.1 ± 0.7) × 10−4 s apresenta um desvio a precisao de 61%,suficiente para considerar o ajuste razoavel.

Devo notar que os valores obtidos para Ccorr. nos processos decarga e descarga, apesar de diferentes, sao consistentes devido ao errona determinacao deste valor no processo de descarga.

A nao ser que tenhamos ligeiramente alterado o valor da capacidadedo condensador com um toque no manıpulo, a diferenca de ambosos valores ao medido pelo voltımetro nao e explicavel em termos deuma capacitancia em paralelo com a que pretendemos medir, bempelo contrario. Assim, parece mais razoavel razoavel supor que acapacidade experimental para o condensador e Cave. = 1.03±0.01µF .

Os resultados do balanco energetico apresentam-se na fig.10.

Figura 10: Ajuste linear para obter C corrigido na carga.Ao analisarmos este balanco para o processo de carga do conden-

sador, verificamos que a energia fornecida pela bateria e semelhante asoma da energia posta em jogo no condensador com a energia dissipi-ada na resistencia e os erros associados cobrem os desvios observados.Assim, poderemos assumir que modelar o condensador real por umcondensador ideal em paralelo com uma resistencia se apresenta comouma maneira correcta de modelar este componente.

4.3. Resposta em Frequencia

Apresentamos na tab. VIII os valores da resistencia de perdasRC , de Ceq(condensador+ponta de prova), da parte real e imaginariaCRe = Ceq − 120pF , CIm da capacidade do condensador, parametrosindependentes do modelo(sem/com camada de ar).

f(Hz) RC (Ω) Ceq(nF ) CRe(nF ) CIm(pF.m−1)

200 (6.3 ± 3.7) × 107 4.96 ± 0.06 4.84 ± 0.06 13 ± 7

500 (2.0 ± 0.5) × 107 4.97 ± 0.02 4.85 ± 0.02 16 ± 4

1000 (6.1 ± 0.9) × 106 5.00 ± 0.02 4.88 ± 0.02 26 ± 4

2000 (3.4 ± 0.5) × 106 4.97 ± 0.01 4.85 ± 0.01 23 ± 4

5000 (5.4 ± 1.1) × 105 4.98 ± 0.02 4.86 ± 0.02 59 ± 12

10000 3.0 ± 0.2) × 105 4.95 ± 0.01 4.83 ± 0.01 52 ± 4

20000 (9.4 ± 0.5) × 104 4.91 ± 0.02 4.79 ± 0.02 84 ± 5

50000 (3.7 ± 0.8) × 104 4.90 ± 0.05 4.78 ± 0.05 86 ± 20

100000 (1.09 ± 0.02) × 104 4.87 ± 0.03 4.75 ± 0.03 145 ± 4

200000 (3.4 ± 0.3) × 103 4.86 ± 0.04 4.74 ± 0.04 230 ± 20

500000 (7.12 ± 0.06) × 102 4.97 ± 0.01 4.85 ± 0.01 446 ± 5

Tabela VIII: Resultados para a resposta em frequencia.

Figura 11: Resistencia de perdas, funcao da frequencia.

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Figura 12: Parte real da capacidade do condensador.

Figura 13: Parte real da permitividade relativa do polımero. Ajustede εRe/ε0 = ¯εRe forneceu ¯εRe = 1.038± 0.007.

Figura 14: Parte imaginaria da permitividade relativa do polımero.Ajuste de εIm/ε0 = a + bxc forneceu a = (3.3 ± 0.7) × 10−3, b =(1.8 ± 0.9) × 10−5 e c = 0.65 ± 0.04 para os valores sem correccao ea = 0.012 ± 0.003, b = (1.1 ± 0.6) × 10−3 e c = 0.48 ± 0.04 para osvalores com correccao.

Figura 15: Factor de perdas tan(φ) = εIm/εRe, funcao da frequencia.Ajuste de tan(φ) = a + bxc forneceu a = (3.4 ± 0.6) × 10−3, b =(1.5 ± 0.5) × 10−5 e c = 0.66 ± 0.02 para os valores sem correccao ea = (5.0± 1.3)× 10−3, b = (1.9± 0.8)× 10−4 e c = 0.54± 0.04 paraos valores com correccao.

Detectamos um decrescimo da resistencia de perdasRC com o au-mento de f . A forma da curva sugeriu um ajuste de uma lei potencialRC = a + bfc , tendo-se obtido os parametros a = −520 ± 54 Ω,b = (9.1 ± 1.7) × 1010 Ω e c = −1.38 ± 0.02. O valor obtido para oparametro a, negativo, indica apenas que RC diminui para um valorproximo de nulo quando f →∞. Porem, deve-se notar que este ajustese revela valido apenas no domınio dos pontos experimentais, sendoilegitimo efectuar extrapolacoes. O ajuste, que atribui uma naturezapotencial para RC , nao e mutito util no que toca a previsoes, mas per-mite atribuir uma certa regularidade aos dados experimentais. Parabaixos valores de f, o condensador comporta-se praticamente como umcondensador ideal, sendo as perdas pequenas. Para grandes valoresde f , o comportamento nao perfeito do condensador acentua-se. Estecomportamento de RC transmite-se a CIm, que aumenta com f .

Relativamente a CRe, confirma-se o esperado: a parte real da ca-pacidade mantem-se aproximadamente constante. Porem, verifica-seque a partir dos 10kHz o valor da capacidade diminui ligeiramente em

media. Como pretendemos obter uma estimativa C para a capacidadedo condensador com ω = 0 de forma a determinar a espessura de umapossıvel camada de ar, ajustamos uma recta CRe = C aos 6 primeirospontos experimentais, tendo obtido C = (4.85± 0.01)× 10−9 F .

Baseados neste valor , estimamos a espessura 2x de uma possıvelcamada de ar. Sendo d− 2x = 100± 1µm a espessura do dielectricoe A = (5.25 ± 0.04) × 10−2 m2, estimamos 2x ≈ 65 ± 3µm. Assim,para justificar a existencia de uma camada de ar, esta tera que ocuparcerca de 39% do espaco d entre placas, valor razoavel.

A representacao de εReε0(f) permite admitir como razoavel a exis-tencia da camada de ar com espessura atras estimada, pois as permiti-vidades relativas εRe/ε0 nao corrigidas tem valores proximos de 1.04,bastante inferior a do polımero εr ≈ 3.2. Corrigindo estes valores pelaexistencia da camada de ar, obtem-se valores de permitividade εRe/ε0mais proximos do previsto εr ≈ 3.2. Os valores corrigidos parecemindicar que εRe e ligeiramente decrescente com f , mas nao e possıvelgaranti-lo dado o pequeno intervalo de frequencias estudado.

A parte imaginaria da permitividade corrigida confirma o compor-tamento de CIm: para valores baixos de f εIm e muito menor que ε0e para f ≈ 500kHz temos ja εIm/ε0 ≈ 0.3. Novamente, os ajustesapenas permitem atribuir regularidade aos dados na regiao em estudo.

O factor de perdas exibe um comportamento qualitativo muito se-melhante a εIm, pois εRe e aproximadamente constante. Indica quepara baixas frequencias εIm e desprezavel face a εRe, mas que paraaltas frequencias as suas magnitudes se aproximam.

O diagrama de Cole-Cole corrigido, com barras de erro verticaisapenas para maior legibilidade, mostra-se na fig.16. Este resume osaspectos anteriores, nomeadamente para os 6 primeiros pontos(f ≤10kHz) εRe/ε0 ≈ 3.2 e εIm aumenta com a frequencia. A partir de10kHz, os pontos parecem percorrer uma semi-circunferencia.

Figura 16: Diagrama de Cole-Cole experimental com correccao.

5. ANALISE SUMARIA E CONCLUSOESNo processo de carga e descarga, as primeiras estimativas para C

apresentaram desvios a precisao de 12.7% e 14.1%, relativamente ele-vados. A correccao a estes valores por consideracao da resistenciainterna do sistema de aquisicao de dados/condensador, permitiu ob-ter valores mais exactos para C, com desvios de 3.3% e 4.3%.

No que diz respeito a analise do balanco energetico, verificamos queno caso da descarga a energia fornecida pelo condensador foi pratica-mente, toda dissipada. A imagem 6 mostra que a energia dissipadana resistencia e menor que a energia inicial do condensador para amaioria dos valores de R, mas verifica-se que os erros experimentaiscobrem as diferencas. Ja no caso da carga, verificamos que a energiafornecida pela bateria e semelhante a soma da energia do condensadorcom a energia dissipiada na resistencia e os erros associados cobrem osdesvios observados. Assim, poderemos assumir que modelar o conden-sador real por um condensador ideal em paralelo com uma resistenciase apresenta como uma maneira correcta de modelar este componente.

No estudo da resposta em frequencia, vimos que a resistencia deperdas do condensador diminui com a frequencia, que a parte realda capacidade se mantem aproximadamente constante e que a parteimaginaria aumenta com f . Os valores da parte real da permeabi-lidade(com media 1.04) levaram-nos a indagar sobre a existencia deuma camada de ar, com espessura estimada 2x ≈ 65± 3µm, 39% doespaco entre as placas do condensador. A correccao dos resultadoscom esta hipoetese levou a resultados mais credıveis para o acetatousado, que se resumem parcialmente no diagrama de Cole-Cole.

Uma melhoria possıvel a ultima etapa seria realizar um estudo es-tatıstico, distinguindo-se melhor causas de erro normais de especiais,apesar de tal nao ser possıvel dno tempo de laboratorio disponıvel.

[1] D.J.Griffiths,Introduction to Electrodynamics, 3rd ed[2] J.L.Figueirinhas, Aula de apresentacao sobre o Condensador.[3] J.L.Figueirinhas, http://www.ciul.ul.pt/~figuei/conden.pdf[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Dielectric_spectroscopy

[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Capacitance#Frequency_

dependent_capacitors

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