1. INTRODUÇÃO

O presente trabalho tem como objetivo introduzir dados levantados em campo,

em mediações da Faculdade de Tecnologia de São Paulo (Fatec-SP), aos cálculos

básicos de um levantamento topográfico, tendo sido levantada a área em torno da

Associação de Docentes da Faculdade de Tecnologia de São Paulo (Adfatec) – chamada

neste relatório de Poligonal A – que possibilitou o estudo de uma poligonal fechada;

bem como relatar a importância e contribuição da Topografia para a ciência moderna,

sendo facilitada pela utilização de aparelhos especializados. Com auxilio de estação

total, dos devidos marcos e pontos estabelecidos e através de uma orientação como

norte, foram feitos levantamentos que permitiram observação de ângulos horizontais,

sendo possível com isso, a representação de uma porção de área da superfície terrestre

no plano.

1

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Topografia trata-se da ciência que estuda a representação de uma porção da

superfície terrestre no papel, com seus detalhes naturais e artificiais considerando o

relevo, utilizando uma planta, uma carta ou um mapa, sendo diferenciadas pela escala.

Os métodos topográficos de levantamento não levam em consideração a curvatura

terrestre (depende do tamanho da área levantada). Na topografia temos como grande

finalidade fazer levantamentos topográficos de áreas que precisam ser dimensionadas

para a utilização (determinação de Área de Preservação Permanente-APP ou Reserva

Legal, agropecuária, construções, delimitações de territórios, entre outras), para isso há

a necessidade de medir distâncias horizontais, como também determinar a elevação de

um ponto em relação a outros, gerando então uma distância vertical. Usamos

geralmente, quatro tipos de medidas: distâncias horizontais, distâncias verticais, ângulos

horizontais e ângulos verticais.

A NBR 13133 de 1994 é uma norma brasileira que impõem critérios para a

execução dos levantamentos topográficos destinados a obter:

Conhecimento geral do terreno: relevo, limites, confrontantes, área, localização,

amarração e posicionamento;

Informações sobre o terreno destinadas a estudos preliminares de projetos;

Informações sobre o terreno destinadas a anteprojetos ou projetos básicos e

Informações sobre o terreno destinadas a projetos executivos.

Os critérios exigidos neste tipo de levantamento topográfico devem conciliar

medidas angulares, medidas lineares, medidas de desníveis e as respectivas tolerâncias

em função dos erros, selecionando métodos, processos e instrumentos para a obtenção

de resultados compatíveis com a destinação do levantamento, assegurando que a

propagação de erros não exceda os limites de segurança inerentes a que se dedica.

Essa norma define também exatamente o que é levantamento topográfico:

“Levantamento Topográfico: conjunto de métodos e processos que, através de

medições de ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais e

inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, primordialmente,

implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas

topográficas. A estes pontos se relacionam os pontos de detalhes visando à sua exata

2

representação planimétrica numa escala predeterminada e à sua representação

altimétrica por intermédio de curvas de nível, com equidistância também

predeterminada e/ou pontos cotados.”

Sobre as poligonais tem-se:

“Poligonal Auxiliar: poligonal que, baseada nos pontos de apoio topográfico

planimétrico, tem os seus vértices distribuídos na área ou faixa a ser levantada, de tal

forma, que seja possível coletar, direta ou indiretamente, por irradiação, interseção ou

por ordenadas sobre uma linha-base, os pontos de detalhe julgados importantes, que

devem ser estabelecidos pela escala ou nível de detalhamento do levantamento”.

As finalidades das cinco classes de poligonais planimétricas:

a) Classe IP: Adensamento da rede geodésica - (transporte de coordenadas);

b) Classe IIP: Apoio topográfico para projetos básicos, executivos, como

executado, e obras de engenharia;

c) Classe IIIP: Adensamento do apoio topográfico para projetos básicos,

executivos, como executado, e obras de engenharia;

d) Classe IVP: Adensamento do apoio topográfico para poligonais IIIP.

Levantamentos topográficos para estudos de viabilidade em projetos de

engenharia;

e) “Classe VP - Levantamentos topográficos para estudos expeditos”.

A importância da escolha de poligonais fechadas para esses fins dá-se por serem

aceitáveis os métodos de compensação que consistem em efetuar, primeiramente, uma

distribuição dos erros angulares e, em seguida, fazer uma distribuição dos erros lineares,

quer distribuindo as componentes do erro de fechamento igualmente por todas as

coordenadas relativas ou projeções dos lados (∆x e ∆y), quer fazendo uma distribuição

proporcionalmente ao comprimento dos lados quer ainda efetuando uma repartição

proporcionalmente aos valores absolutos das coordenadas relativas (∆x e ∆y). Esta

recomendação tem como fundamento a diversidade de erros inerentes às poligonais

(medições de ângulos e lados e estacionamento dos instrumentos de medição) e a difícil

determinação da propagação de erros.

3

3. MATERIAIS E MÉTODOS3.1. MATERIAIS

Para o presente trabalho, foram utilizados em campo para o levantamento da

área em torno da Adfatec: Estação Total (marca: Ruide) nº 14721, Prisma, Trena,

Balizas, e Bússola para obtenção do norte magnético.

3.2. MÉTODOS

Uma vez decidida a área a ser levantada, foi-se a campo para reconhecimento.

Abaixo pode ser observado o croqui da situação da Adfatec com os respectivos pontos

levantados:

Figura 1: Croqui da área a ser levantada

4

Para a realização do transporte, situou-se a Estação Total no ponto P4, zerou-se a

leitura no ponto P3 e leu-se o ângulo horizontal até o ponto A1 para obtenção do

azimute. Conforme ilustrado no croqui abaixo:

Figura 2: Croqui de transporte.

Quanto ao levantamento da poligonal: A Estação Total foi posicionada no ponto

A1 zeramos na ré (Ponto A4) e lemos a vante (Ponto A2), e fizemos uma irradiação na

Perimetral 1 (PM1) e em seguida leu-se os pontos 1 até 24 (indicados no croqui da

figura 1). Seguiu-se o caminhamento, como o outro grupo estava fazendo a leitura da

poligonal B cujo um dos pontos ficava próximo ao nosso Ponto A2, estacionamos a

Estação Total no Ponto A3, zeramos na ré (Ponto A2) e visamos sua vante (Ponto A4).

Visamos uma irradiação situada na PM3 e lemos os pontos 25 até o 49. Voltamos para o

ponto A2 onde foi estacionada a Estação Total para zerarmos a ré no Ponto A1,

visarmos sua vante no Ponto A3 e efetuarmos a leitura do PM2 e dos pontos 50 até 60.

No último ponto a Estação Total foi colocada sobre o Ponto A4, zerou na ré (Ponto A3),

leu a vante (Ponto A1), o PM4 e o ponto 61 para concluir o trabalho de poligonal

fechada e possibilitar os ajustes. A figura abaixo representa a poligonal e suas

perimetrais, onde a Estação Total foi estacionada nos pontos A1, A2, A3 e A4 e foram

feitas as leituras indicadas:

5

Figura 3: Croqui dos Pontos de Perímetro

6

4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Os dados coletados em campo estão representados nas anotações anexas no final

deste relatório.

7

5. FECHAMENTO ANGULAR

De acordo com a nossa apostila: “Para poligonais fechadas o controle do

fechamento angular pode ser feito a partir dos ângulos internos, externos e deflexões. A

diferença entre o ângulo calculado e a soma dos ângulos observados resulta no erro

angular (ea)”. Para o nosso caso, será feito o fechamento a partir dos ângulos externos

por meio da seguinte fórmula:

ângulos externos = 180º (n + 2).

Onde: n = nº de vértices (no nosso caso, n = 4).

É possível saber quanto se errou em graus, se comparado com o somatório total

dos ângulos externos, sabendo-se que os ângulos externos de um polígono somam

1.080°(rever), para posteriormente ajustar o fechamento distribuindo o erro

parcialmente em todos os ângulos da poligonal. Assim o erro obtido foi de 1’13,5”.

Pela fórmula para Tolerância Angular (Ta), conforme NBR 14645:

Ta = 1’ x √n

Onde: n = nº de vértices (no nosso caso, n = 4).

Observou-se que o levantamento não precisaria ser refeito, uma vez que o erro

angular não excede a tolerância permitida (2’). Seguiu-se, então, distribuindo os

1’13,5”, nos quatro ângulos externos lidos. Estes, que eram: 285º03’01”, 271º28’36”,

269º15’50” e 254º13’46,5” passaram a ser: 285º02’41,8”, 271º28’20,3”, 269º15’30,8” e

254º13’27,3”.

A distribuição do erro angular (de) foi feito utilizando-se a seguinte fórmula:

de = ea / n

Onde: ea = erro angular n = nº de vértices

8

6. DISTÂNCIAS HORIZONTAIS

As distâncias horizontais foram fornecidas pela própria Estação Total. São elas:

Ponto Distância (m)

A1 A2 31,133

A2 A3 13,843

A3 A4 27,149

A4 A1 13,979

Tabela 1: Distâncias horizontais

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7. ÂNGULOS ORIENTADOS AO NORTE (AZIMUTES)

Com base nos ângulos horizontais lidos, uma vez que eles são conhecidos, torna-

se possível o cálculo dos azimutes (Az), através da fórmula:

Az = Az anterior ± 180º ± ângulo lido

Que diz que o azimute da estação atual é igual ao azimute da estação anterior

mais o ângulo horizontal externo formado entre elas, menos 180° (isto muda caso os

ângulos sejam medidos no sentido anti-horário). Em ocasiões onde os ângulos

ultrapassem os valores limites do círculo trigonométrico, deve-se somar ou subtrair

360° do seu resultado; somar em caso de o resultado ser menor que o limite inferior,

subtrair caso seja maior que o limite superior. Assim temos:

Ponto Azimute

A1 A2 14º49’16,5”

A2 A3 106º17’56,5”

A3 A4 195º33’46,5”

A4 A1 269º47’33”

Tabela 2: Azimutes

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8. COORDENADAS PARCIAIS (X, Y)

Segundo a nossa apostila: “Calculados os azimutes ou rumos dos lados da

poligonal e suas distâncias horizontais, as coordenadas ortogonais “x” e “y” de um

vértice “n” qualquer são calculadas conforme as expressões a seguir. A origem dessas

coordenadas é sempre o ponto anterior (n-1)”.

x = ℓ x sen y = ℓ x cos

Onde: ℓ = comprimento da linha = rumo ou azimute

Tem-se:

dA1 dA2 = 31,133 m

xA2 = 7,96396 m

yA2 = 30,09716 m

dA2 dA3 = 13,843 m

xA3 = 13,28665 m

yA3 = - 3,88504 m

dA3 dA4 = 27,149 m

xA4 = - 7,284 m

yA4 = - 26,154 m

dA4 dA1 = 13,979 m

xA1 = - 13,979 m

yA1 = - 0,051 m

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9. AJUSTE LINEAR

Verificação do Erro Linear:

∑n=1

n

x ¿¿ ∑n=1

n

y¿¿

Para o fechamento da poligonal, a condição deve ser:

∑n=1

n

x=0 ∑n=1

n

y=0

Onde: (x) e (y) são as coordenadas parciais (n) é o número de vértices

Obteve-se:

∑n=1

n

x=−0,012m ∑n=1

n

y=0,007m

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10.PERÍMETRO

O perímetro é obtido pela soma das distâncias horizontais:

P = 31,133 + 13,843 + 27,149 + 13,979 = 86,104 m

Onde: P = Perímetro

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11.CORREÇÃO DAS COORDENADAS PARCIAIS

Pela aplicação da correção parcial dada pelas fórmulas abaixo, nas coordenadas,

obteve-se um ajuste linear da poligonal, podendo posteriormente ser recalculadas as

irradiações, uma vez que as coordenadas dessas dependem diretamente da localização

das suas estações. As correções estão representadas na tabela 3

Cx = exP

x ℓ Cy = eyP

x ℓ

Onde:

Cx = Correção da abscissa do lado correspondente

Cy = Correção da ordenada do lado correspondente

ℓ = Comprimento do lado considerado

P = Perímetro da poligonal

Tabela 3: Correção dos pontos da poligonal

PontoCorreção

Cx Cy

A1 0,004 0,003

A2 0,002 0,001

A3 0,004 0,002

A4 0,002 0,001

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12.CÁLCULO DE ÁREA

Uma vez que as coordenadas foram estabelecidas, pode-se determinar a área do

levantamento feito, que envolve os pontos que delimitam a figura (vértices), de acordo

com o gráfico abaixo:

Tabela 4: Cálculo de área

Pontos y ∆ x (xf−xi) (y ∙∆ x¿

PA1 – PA2 504.707,873 11,828 5.970.157,842

PA2 – PA3 504.782,613 17,233 8.698.918,770

PA3 – PA4 504.739,219 8,553 - 4.317.034,540

PA4 – PA1 504.704,479 20,508 - 10.350.479,455

2 ∙ A=(1.562,617 )

A=1.562,6172

=781,309m ²

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13.CONCLUSÃO

Com este trabalho, foi possível concluir que um dos elementos necessários para

a definição de uma poligonal são os ângulos formados por seus lados. A medição destes

ângulos pode ser feita utilizando técnicas como pares conjugados, repetição ou outra

forma de medição de ângulo. Normalmente são determinados os ângulos externos ou

internos da poligonal. Também, é comum realizar a medida dos ângulos de deflexão dos

lados da poligonal. Dois conceitos a prestar atenção: leitura ré e leitura vante. No

sentido de caminhamento da poligonal, a leitura anterior à estação ocupada denomina-se

de leitura RÉ e a leitura seguinte de VANTE. Assim, para a poligonal fechada, antes de

calcular o azimute das direções, é necessário fazer a verificação dos ângulos medidos.

Uma vez que a poligonal forma um polígono fechado é possível verificar se houve

algum erro na medição dos ângulos, que são corrigidos através de cálculos próprios para

a poligonal fechada.

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14.REFERÊNCIAS

(2013, 05). Poligonal Fechada. TrabalhosFeitos.com. Retirado 05, 2013, de

http://www.trabalhosfeitos.com/ensaios/Poligonal-Fechada/847905.html

2012. Apostila de Topografia. Fatec-SP

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15.APRESENTAÇÃO DE CÁLCULOS

Coordenadas:

X: 160.028,741

Y: 252.358,734

Ajustamento da Poligonal:

Ângulos Externos:

285º03’01”

271º28’36”

269º15’50”

254º13’46,5”

Erro Angular (Ea):

Ea: 180º x (4 + 2) = 1080º

Ea: 1080º01’13,5” – 1080º

Ea: 01’13,5”

Tolerância Angular (Ta):

Ta: 1’ x √4 = 2’

(poligonal não precisou ser refeita)

Distribuição do Erro (de) Angular:

de=1'13,5 } over {4} =18,3¿

285º03’01” – 18,4” = 285º02’41,8”

271º28’36” – 18,4” = 271º28’20,3”

269º15’50” – 18,4” = 269º15’30,8”

254º13’46,5” – 18,4” = 254º13’21,3”

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Distâncias Horizontais:

DPA – A1 = 58,1125 m

DA1 – A2 = 31,133 m

DA2 – A3 = 13,843 m

DA3 – A4 = 27,149 m

DA4 – A1 = 13,979 m

Coordenadas Parciais:

XA2 = 31,133 x sen 14º49’16,5” = 7,96396 m X(E)

YA2 = 31,133 x cos 14º49’16,5” = 30,09716 m Y(N)

XA3 = 13,843 x sen 106º17’56,5” = 13,28665 m X(E)

YA3 = 13,843 x cos 106º17’56,5” = - 3,88504 m Y(S)

XA4 = 27,149 x sen 195º33’46,5” = - 7,284 m X(W)

YA4 = 27,149 x cos 195º33’46,5” = - 26,154 m Y(S)

XA1 = 13,979 x sen 269º47’33” = - 13,979 m X(W)

YA1 = 13,979 x cos 269º47’33” = - 0,051 m Y(S)

X(E) = 21,251

X(W) = 21,263

Y(N) = 30,097

Y(S) = 30,090

Erro de fechamento linear

X(E) – X(W) = - 0,012

Y(N) – Y(S) = 0,007

Correção das coordenadas parciais

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−0,01286,104

∙31,133=0,00 4

−0,01286,104

∙13,843=0,002

−0,01286,104

∙27,149=0,00 4

−0,01286,104

∙13,979=0,002

−0,00786,104

∙31,133=0,003

−0,00786,104

∙13,843=0,001

−0,00786,104

∙27,149=0,002

−0,00786,104

∙13,979=0,001

Coordenadas parciais corrigidas

X(E):

7,964 + 0,002 = 7,966

13,287 + 0,004 = 13,291

X(W):

13,979 – 0,004 = 13,975

7,284 – 0,002 = 7,282

Y(N):

30,097 - 0,001 = 30,096

Y(S):

0,051 + 0,003 = 0,054

3,885 + 0,002 = 3,887

26,154 + 0,001 = 26,155

Coordenadas totais

(X)

160.028,741 + 7,966 = 160.036,707

160.036,707 + 13,291 = 160.049,998

160.049,998 – 7,282 = 160.042,716

160.042,716 – 13,975 = 160.028,741

(Y)

252.358,734 + 30,096 = 252.388,830

252.388,830 – 3,887 = 252.384,943

252.384,993 – 26,155 = 252.358,788

252.358,788 – 0,054 = 252.358,734

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ANEXO – AS ANOTAÇÕES FEITAS EM CAMPO

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