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Dilatação dos Sólidos
Bruno Rafael Reichert Boaretto
Jhenifer Martins Hummel
Raphael Pereira Rodrigues
Vinícyus de Oliveira Martins
Setor de Ciências Exatas – Departamento de Física –Universidade Federal do Paraná
Centro Politécnico – Jd. das Américas – 81531-990 – Curitiba – PR – Brasil
e-mail 1: [email protected]
e-mail 2: [email protected]
e-mail 3: [email protected]
e-mail4: [email protected]
Resumo.O estudo da dilatação térmica em sólidos é feito em relação à dilatação linear. O objetivo deste
trabalho foi determinar o coeficiente de dilatação linear de três barras constituídas por materiais distintos
(alumínio, cobre e latão) por meio da análise gráfica do comportamento apresentado por cada barra. Os
valores obtidos para o alumínio, cobre e latão, foram de 21,9¿ 10-6 °C -1, 16,1¿ 10-6 °C -1 e 18,0¿ 10-6 °C -1,
respectivamente, com um erro médio de 5,05%. Esperava-se um erro menor, mas isto não foi possível devido
aos valores reais dos coeficientes, previamente tabelados, tomarem como referência materiais homogêneos, o
que não ocorreu na prática. Contudo, dado que as barras estudadas são formadas por ligas metálicas, os
resultados mostraram-se satisfatórios.
Palavras chave: dilatação térmica, dilatação linear, sólidos, coeficiente de dilatação linear.
Introdução
Ao denominar um corpo como sólido, não
estamos nos referindo ao corpo em si, mas ao
estado físico da matéria que o constituí. O estado
sólido é um estado da matéria cujas características
são ter volume e forma definidos, isto é, a matéria
resiste à deformação. No estado sólido, os átomos
ou as moléculas estão relativamente próximos, com
uma organização espacial fixa, movendo-se
ligeiramente devido à presença de energia cinética.
Durante o processo de aquecimento de um
corpo estamos transferindo energia de um sistema
(o ambiente externo, por exemplo) para outro (o
corpo em questão). Esta transferência de energia
(denominada energia térmica) é conhecida como
calor, e ocorre exclusivamente devido à diferença
de temperatura entre os sistemas. Temperatura é
uma grandeza física que mensura a energia cinética
média dos graus de liberdade de cada uma das
partículas de um sistema em equilíbrio térmico, o
que nada mais é que o equilíbrio (igualdade) das
temperaturas dos sistemas considerados.
Assim, consideremos a situação dos trilhos de
trem: porque, em determinadas circunstâncias,
vemos que as barras de ferro que o formam ficam
distorcidas? A resposta chave para este problema
provém de um conceito físico muito importante e
presente no nosso dia-a-dia, embora quase
imperceptível: a dilatação térmica.
As barras do trilho ficam expostas por longos
períodos a grandes variações de temperatura,
ficando muito quentes durante o dia e frias durante
a noite. Durante o dia, elas estão “recebendo” uma
grande quantidade de energia térmica provinda do
Sol, a qual faz com que a energia cinética dos
átomos que as constituem aumente
consideravelmente, aumentando a temperatura.
Quando isto ocorre, os átomos passam a vibrar com
uma amplitude cada vez maior (vide gráfico 1), e
este aumento na amplitude de agitação implica no
aumento de volume do corpo. Durante a noite, o
mesmo fenômeno ocorre, porém os trilhos resfriam-
se devido à “ausência” de uma fonte de calor como
o Sol e a amplitude de vibração dos átomos
diminui, fazendo com que o volume do corpo seja
contraído. Devido à esta variação significativa no
volume das barras do trilho, pode acontecer de uma
barra “forçar” a outra, ocasionando a deformação
do material de maneira permanente. É devido a este
fato que, ao olharmos atentamente para a região
entre duas barras que constituem o trilho,
percebemos que há um espaço vago entre elas,
justamente para considerar este efeito da dilatação,
evitando possíveis danos ao trilho e um provável
descarrilamento de um trem.
Conforme dito anteriormente, a dilatação
provém do aumento de energia interna do sistema
termodinâmico, o que fica evidenciado com base no
gráfico 1, o qual representa a curva de energia
potencial do sistema em relação à distância entre
duas partículas que o constituem.
Gráfico 1 - Representação da dilatação térmica em termos do aumento de energia interna (potencial).
Embora a dilatação térmica ocorra e todas as
direções e sentidos (volumétrica), no caso particular
deste experimento será tratado somente a dilatação
linear, a qual é um caso especial da dilatação
volumétrica. Pelo fato dos materiais analisados
serem barras metálicas delgadas (cilíndricas), a
dilatação em relação à largura e espessura (raio) é
desprezível, pois é extremamente difícil mensurar a
dilatação em termos do raio. Por isso considerou-se
somente uma dimensão, o comprimento. A este
fato, onde a dilatação ocorre de maneira
significativa em apenas uma dimensão, denomina-
se dilatação linear.
A dilatação linear de uma barra depende apenas
da temperatura desta e de um coeficiente, α, o qual
é denominado coeficiente de dilatação linear. O
coeficiente de dilatação linear é uma grandeza que
não depende do formato do corpo, mas apenas do
material que o constitui. Este, por sua vez, indica
qual material ou substância dilata ou contrai-se
mais do que outra. Quanto maior for, maior será a
facilidade em dilatar, aumentando seu tamanho (a
recíproca é verdadeira).
Apesar do coeficiente ser denominado linear,
este é constante em apenas alguns intervalos de
temperatura. Por isso, a análise experimental a
partir deste ponto de não-linearidade pode ser
desconsiderada.
A dilatação linear de um sólido pode ser
descrita por meio da equação
Lf=L0+L0αT(1)
ondeLf é o comprimento final da barra,
L0 é o
comprimento inicial, α é o coeficiente de dilatação
linear do material que a constitui e T é a
temperatura instantânea.
A equação (1), então, pode ser escrita como
uma função de duas variáveis, obtendo
Lf (α ,T )=L0+L0 αT(2)
e, ainda, pode ser reescrita em termos da variação
de comprimento, ΔL,
ΔL=L0 αT(3)
Como o objetivo do experimento realizado é
determinar o coeficiente de dilatação linear de três
barras metálicas (alumínio, cobre e latão), é plotado
um gráfico (gráfico 2) de ΔL em função de T. Este,
porém, é linear. Então, aplicando-se o Método dos
Mínimos Quadrados sobre os conjunto de dados,
obtém-se as melhores retas que se ajustam aos
valores experimentais. Assim, com base na análise
dos coeficientes angular e linear de cada reta e na
análise da equação (3), podemos chegar à
determinação do coeficiente de dilatação das barras.
Logo, escrevendo (3) na forma da equação reduzida
da reta, dada por
y=ax+b (4)
obtemos que
y=ΔL (5)
x=T (6)
a=L0 α(7)
ondea é o coeficiente angular e b o linear das
melhores retas ajustadas.
Assim, com base na equação (7), podemos
determinar o coeficiente de dilatação linear, α .
Logo
α= aL0 (8)
Procedimento Experimental
A figura (1) mostra o exemplo do arranjo
experimental utilizado neste experimento.
Figura 1 - Arranjo Experimental
O experimento foi dividido em três etapas a fim
de determinar o coeficiente de dilatação linear de
três barras metálicas (cada barra equivalendo a uma
etapa) de diferentes composições: uma de alumínio,
uma de cobre e uma de latão.
Dentro de cada barra foi inserido um tubo de
vidro contendo uma resistência elétrica, onde, por
meio da conexão com uma fonte de tensão, gerou-
se calor para esquentá-las.
Então, a primeira barra (alumínio) foi colocada
e fixada no suporte com o auxílio de dois parafusos
(em lados opostos). Após, com o auxílio de uma
régua, mediu-se o comprimento inicial da barra, o
qual teve origem como o ponto de contato com os
parafusos e extremidade como o ponto de contato
com o micrômetro. Fez-se desta maneira pois a
barra dilata para ambos os lados. Então, para evitar
erros experimentais, determinou-se um ponto fixo
para adotar como referência, enquanto somente
uma das extremidades provocava variação na
leitura do micrômetro.
Assim, inseriu-se um termopar dentro da barra,
o qual fixou próximo ao centro de massa, a fim de
obter uma leitura de temperatura mais uniforme.
Em seguida, a barra foi coberta por um isolante
térmico, a fim de evitar com que houvesse troca
excessiva de calor entre ela e o ambiente externo,
podendo aumentar possíveis erros experimentais.
Devido ao coeficiente de dilatação deixar de ser
linear a partir de um certo intervalo de temperatura,
foi escolhido um intervalo entre 30°C e 90°C para
efetuar as medidas, evitando que este fator
interferisse na análise dos resultados.
Com todos os fatores definidos, ligou-se a fonte
de tensão e começou-se a aquecer a barra. A
temperatura variou de 19°C, a qual era a
temperatura ambiente, até aproximadamente 95°C.
Quando a barra começou a entrar em equilíbrio
térmico, a temperatura começou a decair e, no
instante em que esta atingiu 90°C, as medidas
começaram a ser tomadas, relacionando a dilatação
mostrada pelo micrômetro com a temperatura
naquele instante. A partir do momento em que a
temperatura atingiu o valor mínimo no intervalo
estipulado (35°C), as medidas foram interrompidas
e fez-se a troca da barra analisada.
Para as barras de cobre e latão, o mesmo
procedimento foi adotado.
Resultados e Análise
Com auxílio de uma régua de precisão
1,0×10−3m , foi medido o comprimento inicial
L0 das três barras metálicas utilizadas no
experimento. Estes valores foram anotados na
tabela (1).
Tabela 1 - Comprimento inicial das barras metálicas
Material da Barra L0 (±0 ,0005 ) (m)Alumínio 0,6400
Cobre 0,6400Latão 0,6400
Então, com o auxílio de uma fonte de tensão e
uma resistência elétrica, gerou-se calor e as barras
foram aquecidas, tendo suas temperaturas variadas
de 19°C, a qual era a temperatura ambiente, até
95°C. Com base nisso, foi definido um intervalo
entre 30°C até 90°C para serem feitas as medidas.
Deixou-se a fonte de tensão ligada até 95°C,
esperou-se a barra entrar em equilíbrio térmico e, a
partir daí, quando a temperatura atingiu 90°C, as
medidas começaram a ser tomadas, onde o intervalo
entre cada uma deu-se, no máximo, entre 12°C.
Assim, foi preenchida a tabela (2), a qual
relaciona a dilatação de cada barra em função da
temperatura instantânea.
Após obtida a tabela (2), devido ao objetivo do
experimento, foram plotados três gráficos
relacionando ΔL em função de ΔT, onde cada
gráfico corresponde ao comportamento de dilatação
do material correspondente a cada barra analisada.
Tabela 2 - Relação entre ΔL, T e ΔT.
Material Medida 1 2 3 4 5 6 7 8 9
AlumínioT (°C) 87 82 77 72 60 55 50 40 35
ΔL (mm) 0,93 0,86 0,78 0,70 0,54 0,46 0,40 0,27 0,20ΔT (°C) 68 63 58 53 41 36 31 21 16
Cobre T (°C) 80 70 60 50 45 40 35 - -
ΔL (mm) 0,62 0,52 0,40 0,30 0,25 0,21 0,16 - -
ΔT (°C) 61 51 41 31 26 21 16 - -
LatãoT (°C) 80 70 60 50 45 40 35 - -
ΔL (mm) 0,71 0,58 0,46 0,35 0,29 0,24 0,19 - -ΔT (°C) 61 51 41 31 26 21 16 - -
Gráfico 2 - Relação ΔL x ΔT para o alumínio.
Gráfico 3 - Relação ΔL x ΔT para o cobre.
Gráfico 4 – Relação ΔL x ΔT para o latão.
Com base nos gráficos (2), (3) e (4), podemos
notar que as barras metálicas, mesmo quando
submetidas a uma mesma variação de temperatura,
dilatam-se de maneiras distintas, pois o fator que
determina o quanto uma barra pode expandir ou
contrair seu tamanho é o coeficiente de dilatação
linear, o qual é específico de cada material.
Para cada gráfico foi determinado o coeficientes
angular da reta que melhor descrevia o fenômeno
(ou melhor se ajustava à curva de pontos
experimentais). Tais coeficientes foram plotados na
tabela (3).
Tabela 3 - Coeficiente angular
MaterialCoeficiente Angular (m⋅° C−1
)Alumínio 1 ,403×10−6
Cobre 1 ,030×10−5
Latão 1 ,154×10−5
O objetivo do experimento é determinar o
coeficiente de dilatação linear, α , para cada barra
metálica analisada, Então, por meio do método
gráfico (tabela (3)), utilizando a equação (9) e os
valores anotados na tabela (1), chegou-se à tabela
(4), a qual contém os valores obtidos
experimentalmente dos coeficientes de dilatação
linear de cada material.
Tabela 4 - Coeficientes de dilatação linear.
Material Coef.de Dilatação (α ) (¿10−6 ° C−1)
Alumínio 21,9Cobre 16,1Latão 18,0
Com base na tabela de referência disponível em
sala de aula e em tabelas disponíveis em livros e na
Internet, os valores reais dos coeficientes de
dilatação linear para cada material aqui abordado
foram anotados na tabela (5).
Tabela 5 - Valores reais dos coeficientes de dilatação.
Material Coef. de Dilatação (α ) (¿10−6 ° C−1)
Alumínio 23,0Cobre 17,0Latão 19,0Então, fez-se uma comparação entre os valores
obtidos experimentalmente com os valores reais,
previamente tabelados. Os erros relativos
percentuais foram dispostos na tabela (6).
Tabela 6 - Erros relativos entre valores experimentais e "teóricos".
Material Erro Relativo PercentualAlumínio 4,78%
Cobre 5,29%Latão 5,08%
Os erros apresentados na tabela (6) devem-se ao
fato das barras metálicas não serem 100% puras,
isto é, não são constituídas, em sua totalidade, por
um único material ou substância. Estas são
constituídas por meio de ligas formadas entre
outros tipos de metais. Como os coeficientes de
dilatação linear dispostos na tabela (5) são valores
que fazem referência aos metais 100% puros, os
erros obtidos estão dentro de um intervalo de
confiança, atestando a satisfatoriedade do
experimento realizado.
Conclusão
O experimento teve como objetivo principal
determinar o coeficiente de dilatação linear (α ) de
três barras metálicas delgadas, sendo uma de
alumínio, uma de cobre e outra de latão.
O coeficiente de dilatação linear é uma grandeza
que indica o quanto uma barra é capaz de dilatar ou
contrair seu volume. É dito linear pois o efeito de
dilatação em relação à largura e espessura (no caso
de barras cilíndricas, o raio) é quase imperceptível,
podendo ser desconsiderado na presente análise.
Para determinar o coeficiente α , foram
plotados três gráficos de ΔL em função de ΔT (ΔT
é a variação de temperatura “instantânea”) em que
cada gráfico representava o fenômeno da dilatação
na respectiva barra analisada e, com base no
coeficiente angular de cada reta e no comprimento
inicial das barras, foi calculado o coeficiente de
dilatação. Para a barra de alumínio obteve-se um
valor de 21 , 9×10−6° C−1, para a de cobre,
16 , 1×10−6° C−1 e, para a de latão, 18 , 0×10−6
° C−1.
Por meio dos gráficos (2), (3) e (4), podemos
notar que para um mesmo intervalo de temperatura
a dilatação das barras ocorreu de maneira diferente,
comprovando que materiais diferentes dilatam-se
de maneiras distintas, onde o parâmetro que
determina qual barra tem mais capacidade para se
dilatar é o coeficiente de dilatação linear, o qual
evidenciou-se ser dependente somente do material
ou substância que constitui o corpo analisado,
conforme observado na tabela (4).
Ao comparar os valores dos coeficientes obtidos
experimentalmente com valores previamente
tabelados, o erro médio entre os coeficientes de
cada barra foi de 5,05% (valor obtido por meio da
média aritmética entre os erros relativos percentuais
de cada material, dispostos na tabela (6)). Este erro
deve-se ao fato das barras estudadas não serem
constituídas por uma mesma substância (não são
homogêneas), onde são formadas por meio de ligas
metálicas.
Os valores dos coeficientes tabelados são
determinados considerando que os materiais são
100% puros, homogêneos, o que não ocorreu na
prática. Por isso a presença deste erro era esperada.
Dadas as condições dos materiais utilizados
(não-homogêneos), o erro obtido
experimentalmente condiz com a realidade,
comprovando a satisfatoriedade dos resultados.
Referencias
[1] Nussenzveig, Herch Moysés -“Curso de Física Básica”- Vol. 1 / 4ª Edição – São Paulo: Blucher (2002) – 156-164.
[2] Halliday, David; Resnick, J. W. - “Fundamentos de Física”– Vol. 2 / 8ª Edição – Rio de Janeiro (2009) – 183-190.
