Relatório Final - 22 de Novembro 2007 · Desenvolvimento e aplicação de modelo de transferência de calor a caldeira de recuperação de ciclo combinado Bernardo Canha Gomes Rebelo

Desenvolvimento e aplicação de modelo de transferência de calor a caldeira de recuperação de

ciclo combinado

Bernardo Canha Gomes Rebelo de Freitas

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Mecânica

Júri Presidente: Prof. Luís Rego da Cunha de Eça

Orientador: Prof. João Luís Toste de Azevedo

Vogal: Prof. Jose Leonel Monteiro Fernandes

Outubro 2007

i

AGRADECIMENTOS

Gostaria de aproveitar esta secção para dedicar os mais sinceros agradecimentos a todas as

pessoas que contribuíram directa ou indirectamente para a concretização deste trabalho, que

representa o final de um longo ciclo e ao mesmo tempo o início de uma nova fase. Deixo uma nota

pessoal a várias pessoas que com a sua experiência, apoio emocional e económico tornaram a

realização deste trabalho possível. Ao Prof. Toste de Azevedo endereço os meus incomensuráveis

agradecimentos por todo o apoio e colaboração na realização do trabalho que com a sua

disponibilidade, inclusive aos fins-de-semana, participou activamente em todo o processo. Gostaria

também de agradecer ao Ricardo Ferreira e ao Tiago Ferreira por todo o apoio na elaboração do

modelo em C++, à Sara por todo o apoio nas horas mais difíceis e aos colegas de gabinete pela ajuda

e companhia ao longo deste trabalho. Finalmente uma nota de carinho especial à minha família por

todo o apoio e sacrifícios pessoais que permitiram que eu pudesse estudar e agora terminar o curso

numa das mais prestigiadas faculdades da Europa.

ii

RESUMO

Neste trabalho foi criado um algoritmo de resolução simultânea de sistemas de equações não-

lineares, aplicado ao estudo da secção de convecção de uma caldeira de recuperação de calor. O

algoritmo foi elaborado numa linguagem de programação orientada a objectos, permitindo criar um

modelo estruturado em componentes e ligações. As equações que constituem o sistema são criadas

de forma sistemática, a partir dos dados de entrada que definem os componentes da instalação. O

programa dispõe de um pré-processamento que permite verificar a consistência dos valores fixos e

considerados como aproximação inicial e ainda atribuir aproximações iniciais quando estas não são

especificadas.

Os testes efectuados permitiram verificar que em geral a utilização de valores iniciais

atribuídos pelo programa não prejudicaram muito a convergência. Este resultado pode ser devido aos

valores calculados desviarem-se dos valores de projecto considerados. Os testes realizados mostram

que o programa tem a capacidade de calcular as temperaturas do lado dos gases e água em

simultâneo e quando se fixam alguns valores o programa reproduz os restantes. A aplicação do

modelo a uma caldeira de recuperação para a qual existem dados de projecto, permitiram verificar

quais as inconsistências e quais os valores do coeficiente de transferência de calor considerados.

Faz-se finalmente uma análise da transferência de calor e dos perfis de temperatura nos dois

circuitos. O modelo tem a capacidade de calcular a distribuição de temperatura nos dois circuitos a

partir das condições de operação e da configuração geométrica dos permutadores.

Palavras-chave: Métodos Numéricos, Transferência de Calor, Caldeira de recuperação, Ciclo

Combinado, Modelação, Permutadores de Calor.

iii

ABSTRACT

This work presents an algorithm created in order to solve a system of non-linear equations. The

algorithm was developed in an object-oriented programming language, based on a structure of

components and connections. The equations are created in a systematic way, from heat transfer

equations and mass and energy balances applied to all components that are defined in a data base.

The program has a pre-processor that checks the consistency of the fixed values and the initial

approximations.

The tests carried out showed that the model is able to predict the temperature in both gas and

water circuits from the initial approximations and that the values obtained are always consistent. The

application of the model to a heat recovery boiler for which data from the project is available, allowed to

analyze the inconsistency of the values in the project and what were the heat transfer coefficients

considered. The heat transfer coefficients for all the heat exchangers are analyzed as well as

temperature in both circuits. The model has the capacity to calculate the temperature distribution in

both circuits using the heat transfer coefficients calculated from the operating conditions and

configurations of the heat exchangers.

Keywords: Numerical Methods, Heat Transfer, Heat Recovery Steam Generator, Combined Cycle,

Modeling, Heat Exchangers.

iv

ÍNDICE

AGRADECIMENTOS.....................................................................................................................i

RESUMO ......................................................................................................................................ii

ABSTRACT .................................................................................................................................. iii

ÍNDICE ......................................................................................................................................... iv

LISTA DE FIGURAS .................................................................................................................. viii

LISTA DE TABELAS.................................................................................................................... ix

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIAÇÕES...................................................................................xi

1 INTRODUÇÃO.................................................................................................................... 1

1.1 Modelação numérica de caldeiras .................................................................................. 1

1.2 Revisão bibliográfica de trabalho realizado no IST ........................................................ 3

1.3 Definição de objectivos e estrutura da tese.................................................................... 4

2 CICLO COMBINADO.......................................................................................................... 6

2.1 Caldeira de Recuperação de Calor................................................................................. 6

2.1.1 Componentes que constituem uma caldeira de recuperação de calor.................... 7

2.1.2 Aproximação de temperatura ................................................................................... 8

2.2 Caso de estudo: Central Termoeléctrica do Ribatejo – TER........................................ 11

2.2.1 Historial................................................................................................................... 11

2.2.2 Descrição da central............................................................................................... 11

2.2.3 Informação fornecida.............................................................................................. 17

3 MODELO NUMÉRICO...................................................................................................... 18

3.1 Sistemas de equações não-lineares............................................................................. 18

3.2 Método de Newton-Raphson ........................................................................................ 19

3.2.1 Ordem de convergência ......................................................................................... 20

3.2.2 Descrição do processo iterativo ............................................................................. 21

v

3.2.3 Critérios de paragem.............................................................................................. 22

3.2.4 Modificações ao método de Newton-Raphson ...................................................... 23

3.2.5 Não convergência do método ................................................................................ 25

3.3 Implementação do método ........................................................................................... 28

3.3.1 Programação Orientada a Objectos (POO) ........................................................... 28

3.3.2 Porquê a linguagem C++? ..................................................................................... 29

3.3.3 Definição das classes e objectos ........................................................................... 30

3.4 Descrição de componentes e equações de resíduos................................................... 31

3.4.1 Permutadores ......................................................................................................... 31

3.4.2 Caixas de mistura (Mix’s) ....................................................................................... 32

3.4.3 Caixas de derivação (Split’s).................................................................................. 33

3.4.4 Válvulas .................................................................................................................. 34

3.4.5 Barriletes ................................................................................................................ 34

3.4.6 Bombas .................................................................................................................. 35

3.4.7 Turbinas de vapor .................................................................................................. 36

3.5 Algoritmo desenvolvido................................................................................................. 37

3.5.1 Criação da base de dados ..................................................................................... 37

3.5.2 Módulo de leitura da base de dados e definição de circuitos ................................ 39

3.5.3 Módulo de verificação e atribuição de valores iniciais ........................................... 39

3.5.4 Criação da tabela de estados e constituição das incógnitas ................................. 44

3.5.5 Resolução do sistema de equações ...................................................................... 45

4 RESULTADOS ................................................................................................................. 46

4.1 Caso 1.A e Caso 1.B .................................................................................................... 46

4.1.1 Descrição................................................................................................................ 46

4.1.2 Propriedades das ligações ..................................................................................... 47

4.1.3 Variação dos erros ................................................................................................. 49

4.1.4 Aproximação de temperatura ................................................................................. 50

4.2 Caso 2........................................................................................................................... 51

vi

4.2.1 Descrição................................................................................................................ 51



4.3 Caso 3........................................................................................................................... 57

4.3.1 Descrição................................................................................................................ 57



4.4 Caso 4........................................................................................................................... 62

4.4.1 Descrição................................................................................................................ 62



4.5 Análise de sensibilidade ao parâmetro iupdt ................................................................ 66

4.6 Análise da consistência física dos resultados .............................................................. 68

4.6.1 Incoerências dos dados de projecto....................................................................... 68

4.6.2 Funções de cálculo das propriedades termodinâmicas dos gases ....................... 69

4.6.3 Análise da distribuição de temperaturas ................................................................ 70

4.6.4 Análise dos coeficientes globais de transferência de calor ................................... 72

5 CONCLUSÕES................................................................................................................. 76

6 SUGESTÕES DE TRABALHO FUTURO......................................................................... 78

7 REFERÊNCIAS ................................................................................................................ 79

ANEXOS .................................................................................................................................... 82

A.1 Diagrama esquemático dos circuitos de água/vapor da caldeira de recuperação de calor

da TER................................................................................................................................................ 83

A.2 Diagrama esquemático dos circuitos dos gases de escape da caldeira de recuperação

de calor da TER.................................................................................................................................. 84

A.3 Alguns conceitos da programação orientada a objectos (POO) ..................................... 85

vii

A.4 Correspondência entre os troços de caudal e as ligações dos circuitos de água/vapor e

de gás da TER.................................................................................................................................... 87

A.5 Informações de projecto fornecidas pela EDP ................................................................ 89

A.5.1 Propriedades das ligações........................................................................................ 89

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1- Representação esquemática das definições de "Pinch Point" e de "Approach Point"

(Fonte: Starr [10]). ..........................................................................................................................10

Figura 2.2 - Esquema simplificado do Grupo I da TER (Fonte: EDP Produção). .............12

Figura 3.1 - Representação gráfica do método de Newton para o caso unidimensional..26

Figura 3.2 - Não convergência do método de Newton quando nos deparamos com uma

derivada nula. .................................................................................................................................27

Figura 3.3 - Exemplo de um caso em que o método iterativo cai num ciclo vicioso. ........27

Figura 4.1 - Variação do erro de x ao longo do método de Newton para os casos 1.A e 1.B.

........................................................................................................................................................49

Figura 4.2 - Variação dos resíduos ao longo do método de Newton para os casos 1.A e 1.B.

........................................................................................................................................................50

Figura 4.3 - Variação da temperatura dos circuitos de água e de gás ao longo dos

permutadores da caldeira...............................................................................................................51

Figura 4.4 - Variação dos erros dos resíduos e das variáveis ao longo do método de Newton,

para o Caso 2. ................................................................................................................................56


para o Caso 3. ................................................................................................................................61


para o Caso 4. ................................................................................................................................65

Figura 4.7 - Variação do tempo de cálculo do programa com o parâmetro iupdt. ............66

Figura 4.8 - Variação do número de iterações com o parâmetro iupdt. ............................67

Figura 4.9 - Pormenor das ligações do circuito de água/vapor de AP. .............................68

Figura 4.10 – Representação gráfica da relação dos números Nusselt e Reynolds do

escoamento dos gases, para os vários permutadores. .................................................................75

Figura A.1.1 – Diagrama esquemático dos circuitos água/vapor da caldeira de recuperação de

calor da TER...................................................................................................................................83

Figura A.1.2 – Diagrama esquemático dos circuitos dos gases de escape da caldeira de

recuperação de calor da TER. .......................................................................................................84

ix

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 - Condições do projecto (Fonte: NEM [11]). ............................................................ 13

Tabela 2.2 - Composição dos gases de escape (Fonte: NEM [11)........................................... 13

Tabela 2.3 - Condições nominais de projecto das turbinas de vapor........................................ 14

Tabela 2.4 - Condições nominais de projecto do condensador. ............................................... 14

Tabela 4.1 - Resultados das temperaturas para os casos 1.A e 1.B. ....................................... 48

Tabela 4.2 - Resultados das temperaturas do circuito de água/vapor para o Caso 2. ............. 53

Tabela 4.3 - Comparação das temperaturas do circuito de gás obtidas no Caso 1.B com o

Caso 2. ................................................................................................................................................... 54

Tabela 4.4 - Comparação das temperaturas da água obtidas no Caso 2 com os valores que

foram fixados no Caso 1.B. .................................................................................................................... 55

Tabela 4.5 - Resultados dos caudais para o Caso 2................................................................. 55

Tabela 4.6 - Resultados das temperaturas do circuito de gás para o Caso 3. ......................... 58

Tabela 4.7 - Resultados das temperaturas do circuito de água/vapor para o Caso 3. ............. 59


foram fixados no Caso1.B. ..................................................................................................................... 60

Tabela 4.9 - Resultados dos caudais para o Caso 3................................................................ 60

Tabela 4.10 - Resultados das temperaturas do circuito de água/vapor para o Caso 4. ........... 63


foram fixados no Caso1.B. ..................................................................................................................... 64

Tabela 4.12 - Resultados dos caudais para o Caso 4............................................................... 65

Tabela 4.13 - Valores de projecto das ligações de água inconsistentes................................... 69

Tabela 4.14 – Comparação entre as temperaturas de projecto dos gases de escape e os

valores obtidos com os polinómios de Yaws [16] e da NASA [17]. ....................................................... 71

Tabela 4.15 - Resultados de algumas das propriedades dos permutadores para o Caso 1.B,

com os polinómios da NASA.................................................................................................................. 73

Tabela A.4.1 – Troços de caudal e respectivas ligações do circuito de água/vapor, com

injecções fechadas................................................................................................................................. 87

Tabela A.4.2 – Troços de caudal e respectivas ligações do circuito dos gases de escape...... 88

x

Tabela A.5.2 – Propriedades físicas das ligações da água (continuação)................................ 90

Tabela A.5.3 – Propriedades físicas das ligações de gás. ........................................................ 91

Tabela A.5.4 – Propriedades físicas dos permutadores de calor da caldeira da TER.............. 92

Tabela A.5.5 – Propriedades físicas dos permutadores de calor da caldeira da TER

(continuação).......................................................................................................................................... 93

Tabela A.5.6 – Propriedades físicas dos permutadores de calor da caldeira da TER

(continuação).......................................................................................................................................... 94

xi

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIAÇÕES

Símbolos

[A] Matriz dos coeficientes

[L] Matriz de diagonal unitária triangular inferior

[U] Matriz triangular superior

A Área [m2]

c Constante de erro assimptótico

cp Calor específico [kJ/kg.K]

D Diâmetro [m]

E Erro

f Função

h Coeficiente de convecção [W/m2.K]

h Entalpia específica [kJ/kg]

h Incremento à variável para cálculo de derivada

Iupdt Intervalo de iterações durante o qual se mantém a matriz das derivadas constante

m Caudal mássico [kg/s]

n Dimensão do sistema de equações

NL Número de tubos na direcção transversal

NT Número de tubos na direcção longitudinal

NTU Número de unidades de transferência

p Ordem de convergência

p Pressão [bar]

PCI Poder calorífico inferior [kJ/kg]

prop Proporção das divisões de caudal nas caixas de derivação

Q Potência Térmica [kW]

r Razão das capacidades térmicas dos fluidos

xii

SL Passo longitudinal [m]

ST Passo transversal [m]

T Temperatura [ºC]

tolf Tolerância admitida no erro das equações de resíduo

tolx Tolerância admitida no erro das variáveis

U Coeficiente global de transmissão de calor [W/m2.K]

v Volume específico [m3/kg]

x Variável/incógnita

ε Eficiência

η Rendimento

Índices

∞ Fluido a infinito

c Calculado

esp Especificado

f Equação de resíduo/função

fin Alheta

in Entrada

int Interior

isent Isentrópico

k Número de iteração

liq Líquido

min Mínimo

new Novo

old Antigo

out Saída

p Parâmetro de amortecimento

xiii

S Superfície

t Temporário

transf Transferência

vap Vapor

x Variável/incógnita

Acrónimos

AP Alta Pressão

BP Baixa Pressão

CFD Computational Fluid Dynamics

DLL Dynamic Link Library

EDP Electricidade de Portugal

GN Gás Natural

IST Instituto Superior Técnico

MP Média Pressão

NASA National Aeronautics and Space Administration

POO Programação Orientada a Objectos

RNT Rede Nacional de Transporte de energia eléctrica

TER Termoeléctrica do Ribatejo

VB Visual Basic

VBA Visual Basic for Applications

1

1 INTRODUÇÃO

Durante as últimas décadas, a optimização do desempenho de caldeiras (geradores de vapor)

em centrais térmicas tem sido um tema de principal interesse nos diversos centros de pesquisa e

investigação mundiais. No início, a investigação apenas tinha como objectivo principal tornar a

exploração das centrais mais rentável, hoje em dia são principalmente razões de natureza ambiental,

a crise no sector dos combustíveis fósseis e a competitividade no sector que fomentam a investigação

na área. O panorama económico e tecnológico actual exige caldeiras com ciclos de vida mais longos,

eficiências térmicas superiores, emissões de poluentes reduzidas e que operem numa gama alargada

não prevista em projecto, de regimes de carga e de qualidade do combustível.

Apesar dos progressos tecnológicos, ainda hoje a optimização das condições de

funcionamento das caldeiras resulta muitas vezes da experiência dos operadores da instalação e é

condicionada por vários factores que não são controlados directamente, tais como a qualidade do

combustível ou o estado das superfícies de permuta de calor das caldeiras. Também ao nível do

projecto a componente empírica está muito presente, recorrendo-se frequentemente à experiência

acumulada dos seus projectistas e do “feedback” dos seus clientes na elaboração de modelos semi-

empíricos Para competir numa economia global, o projecto deste tipo de equipamentos obriga as

empresas de engenharia a tirar partido de ferramentas de projecto que possibilitem acumular

experiência e dados empíricos e ao mesmo tempo reduzir custos. Uma dessas ferramentas é

precisamente a modelação numérica. A modelação numérica pode também ser considerada como um

auxiliar na condução de caldeiras permitindo avaliar o seu desempenho real em comparação com o

resultante do modelo de modo a identificar diferenças.

1.1 Modelação numérica de caldeiras

Uma forma de aumentar a eficiência na exploração das caldeiras em centrais térmicas, é a

utilização em tempo real de modelos numéricos de monitorização e simulação. Estes sistemas

permitem aos operadores, através dos sistemas de controlo, tomar medidas que evitem ou corrijam os

procedimentos desencadeados pelos alarmes. O accionamento dos sopradores de fuligem (“soot

blowers”) é um exemplo que pode ter uma influência directa na eficiência de uma caldeira. Os

modelos de simulação também podem ser utilizados no projecto ou avaliação de novas caldeiras

através da simulação da variação ou ajuste de parâmetros característicos da própria caldeira ou do

seu funcionamento, como por exemplo, a resistência térmica de sujamento devida aos depósitos ou

as áreas de permuta de calor. Valero e Cortéz [1] apresentam uma revisão de métodos de

2

caracterização da formação de depósitos e reconhecem a importância da aplicação de modelos de

monitorização como uma técnica de avaliação das condições de funcionamento das caldeiras.

Uma vez que os modelos não representam de forma exacta a realidade, alguns parâmetros de

funcionamento podem ser ajustados à situação real, entre os quais a resistência térmica de sujamento

atrás referida. Por outro, lado os modelos de monitorização podem ser utilizados para gerar os

parâmetros de transferência de calor que permitam ajustar melhor os resultados do modelo à situação

real de funcionamento. Deste modo, a simulação de caldeiras com base nos resultados da sua

monitorização permite adaptar de forma contínua o modelo de simulação à situação real da caldeira.

Hoje em dia a simulação é completada com recurso a estudos efectuados em programas de

dinâmica de fluidos computacional (CFD), executados em estações de computadores com elevadas

velocidades de processamento e memória de última geração. Apesar do avanço tecnológico verificado

nos computadores na última década, a utilização de modelos de simulação que recorram à análise

CFD está limitada à simulação “offline” devido aos elevados tempos de processamento

computacional. A necessidade de uma actuação imediata neste tipo de equipamentos, por questões

de segurança, torna impossível de conciliar a análise CFD com uma monitorização “online”. Uma

alternativa proposta em [2], consiste em acoplar aos sistemas de monitorização “online”, históricos

acumulados em testes “offline” efectuados com ferramentas CFD. Desta forma, com os dados que

foram possíveis acumular no histórico, nas mais variadas condições de operação, é possível ao

operador estar um passo à frente no comportamento da caldeira, desencadeando previamente os

procedimentos necessários para a normalização do seu comportamento, sempre que necessário.

Contudo, a utilização de modelos de monitorização e simulação “online” ainda é dominada por

modelos simplificados, baseados em pressupostos semi-empíricos, permitindo uma avaliação em

tempo real da caldeira.

A monitorização de caldeiras engloba diversas técnicas de avaliação do seu funcionamento,

incluindo a aplicação de métodos instrumentais para recolha de informação. Esta informação exige a

medição de grandezas como temperatura, pressão e velocidade em diversas secções do

equipamento. Apesar de ao longo da última década ter existido uma evolução técnica da

instrumentação envolvida, as condições adversas à recolha de informação que se encontram em

centrais térmicas e a falta de rigor na preparação e instalação desses instrumentos retiram um pouco

da utilidade dessa informação. Tipicamente, os dados de operação das caldeiras são utilizados pelos

operadores na gestão de alarmes da instalação. Diez e tal [3] apresentam estudos que propõem uma

metodologia rigorosa de preparação, reestruturação e interpretação da instrumentação de sistemas de

monitorização de caldeiras. A modelação numérica aplicada com base em conjuntos de valores

monitorizados ao longo do tempo, permite a construção de uma imagem da caldeira mais completa e

a identificação de eventuais inconsistências nos valores medidos.

3

Uma das principais vantagens da modelação numérica em projecto, quando comparada com

as experiências de simulação de laboratório (centrais piloto) é a flexibilidade de a partir de alguma

informação de operação, mesmo que escassa, poder obter parâmetros característicos do seu

funcionamento e facilmente alterar a geometria e cenários de operação, com custos reduzidos.

Existem programas comerciais para este tipo de análise, podendo ser adquirido em muitas empresas

de software e investigação (e.g. Aspen, Endat, General Electric Company, Thermoflow Inc., etc.), mas

os fabricantes deste tipo de equipamentos preferem desenvolver eles próprios os seus programas,

tirando partido da sua experiência técnica para validação. A experiência tem demonstrado que a

compra de programas, por si só, não são adequados para produzir resultados numéricos fiáveis. A

qualidade da análise depende muito do desenvolvimento de módulos para representar processos,

cujas características não são ainda consensuais, com alguma precisão, pelo que em muitos casos são

utilizados ajustes empíricos. De forma mais específica pode-se indicar que no caso das turbinas são

normalmente desenvolvidos modelos de equipamentos de fabricantes específicos, uma vez que a

quantidade de equipamentos deste tipo é também limitado. Por outro lado, no caso de permutadores

de calor, existe informação disponível na literatura aberta que pode ser incluída num programa de

análise de equipamentos, que considere mais do que os balanços de massa e energia. A

implementação deste tipo de sub-modelos nos programas requer uma grande familiarização com o

programa e apresenta também algumas desvantagens, uma vez que condiciona o utilizador a

respeitar todos os constrangimentos impostos pelos programas. Destes inconvenientes podemos

destacar a obrigatoriedade de escrever os modelos numa linguagem específica e a complexidade de

efectuar o acoplamento de variáveis do modelo para o programa base.

1.2 Revisão bibliográfica de trabalho realizado no IST

No Instituto Superior Técnico tem sido desenvolvida a implementação de modelos de

monitorização aplicados a diversas caldeiras, com o objectivo de analisar a variação das resistências

térmicas de sujamento ao longo do tempo. Silva e Azevedo [4] apresentam a aplicação deste tipo de

modelo à caldeira da Central Termoeléctrica de Sines. Nesse trabalho foi feito o ajuste de correlações

para o coeficiente de convecção entre o gases de combustão e os permutadores da caldeira a partir

dos valores observados na monitorização, sendo desta forma efectuada a adaptação do modelo às

condições reais de funcionamento da caldeira. A partir do modelo de monitorização foi também criado

um modelo de simulação, o qual permitiu avaliar o efeito da resistência térmica de sujamento na

eficiência da caldeira. Os cálculos efectuados no referido modelo baseiam-se num algoritmo

sequencial a partir dos valores medidos da temperatura nas saídas das duas passagens paralelas da

câmara de convecção. A caracterização da transferência de calor na câmara de convecção de uma

caldeira utilizando um algoritmo semelhante foi feita por Azevedo, et al [5]. Foram realizadas outras

4

aplicações para caldeiras utilizando como combustível biomassa, onde a passagem dos gases ocorre

sempre em série através dos diversos permutadores [6]. Neste caso os cálculos também são

efectuados de forma sequencial, utilizando balanços de energia ao circuito de água e vapor e ao

circuito de gases. No âmbito de uma tese de mestrado, em detrimento dos métodos sequenciais,

Canhoto [7] procedeu à aplicação de um método de resolução simultânea de equações não-lineares

(Newton-Raphson) provenientes da análise de balanços de energia e cálculo de transferência de calor

na câmara de convecção da caldeira da central do Carregado antiga. Uma metodologia semelhante foi

adoptada por Rodrigues [8] no desenvolvimento de um modelo de monitorização da caldeira da

central de Sines. A linguagem utilizada no primeiro caso foi o Fortran, enquanto que no segundo foi

adoptado o Basic (VBA), mas em ambos os casos os programas produzidos permitem apenas o

tratamento da configuração para a qual foram preparados.

1.3 Definição de objectivos e estrutura da tese

O presente trabalho pretende fazer uso de uma metodologia diferente da implementada em

modelos anteriores de monitorização e simulação de caldeiras. Os modelos anteriores, apesar de

apresentarem resultados satisfatórios, pecavam por não poderem ser generalizados a qualquer

caldeira. Isto é, os modelos foram criados para caldeiras específicas, sendo o sistema de equações

criado manualmente e não de uma forma sistemática.

O objectivo deste trabalho consistiu em criar um modelo que possa transpor uma análise da

zona de convecção de uma caldeira para um modelo analítico. O contributo deste projecto passou por

criar um algoritmo de raiz que estabelecesse as equações de balanço de energia, balanço de massa e

transferência de calor de uma forma automática, a partir da informação mínima e necessária para

descrever os ciclos de gás e água/vapor. Este algoritmo teve de ser organizado de uma forma

estruturada ao invés da abordagem sequencial envolvida nos trabalhos já desenvolvidos no IST,

adoptando para tal uma programação orientada a objectos. Para tal, foram criados objectos que

representassem os diferentes componentes e as respectivas ligações. Assim, o programa associa a

cada componente as equações de resíduo que estão relacionadas com os balanços e transferência de

calor. O método numérico adoptado consiste na resolução simultânea de um sistema de equações

não lineares.

Este trabalho encontra-se assente em seis capítulos principais. Após este primeiro capítulo

introdutório, será abordado no Capítulo 2 o tema das centrais térmicas de ciclo combinado, onde

daremos destaque às caldeiras de recuperação de calor e será apresentado o caso de estudo

analisado – Central Termoeléctrica do Ribatejo. No Capítulo 3 faremos uma descrição generalizada do

modelo numérico adoptado. Este modelo será usado para resolver os sistemas de equações não-

lineares com que seremos confrontados ao longo dos casos testados com o algoritmo criado. A

5

apresentação e discussão de resultados estão reservadas ao Capítulo 4 e as conclusões finais

encontram-se expostas posteriormente, no Capítulo 5. Os comentários e sugestões de trabalho a

desenvolver no futuro são mencionados no Capítulo 6. No final do trabalho apresentam-se as

referências bibliográficas consultadas no desenvolvimento deste trabalho e apresentam-se os anexos

que contêm informação complementar.

6

2 CICLO COMBINADO

A busca contínua por maiores eficiências térmicas ao longo do tempo resultou em inovações

aos modelos convencionais de produção de energia. A alteração mais popular foi a que conjugou o

tradicional ciclo de potência de turbina a gás – Brayton – com o ciclo de vapor – Rankine –

denominado de ciclo combinado de gás-vapor, ou simplesmente ciclo combinado.

Devido às temperaturas elevadas a que se gera calor nos ciclos a gás, o ciclo de Brayton tem

um excelente potencial para atingir eficiências térmicas elevadas. Contudo, o facto da temperatura

dos gases de escape à saída da turbina a gás ser ainda muito elevada (tipicamente acima dos 500 ºC)

penaliza o rendimento da mesma, pois existe um elevado potencial energético que não foi

aproveitado. Alterações ao ciclo como a regeneração [9] minimizam esta situação, mas de forma

limitada. Sendo assim, faz todo o sentido tentar aproveitar o calor proveniente dos gases de escape

de uma turbina a gás noutro tipo de aplicação. O ciclo combinado tira partido das elevadas

temperaturas dos gases de escape da turbina a gás, para produzir vapor numa caldeira de

recuperação, que pode ter ou não, queima adicional de combustível.

Uma das grandes virtudes deste ciclo é o facto de ter uma eficiência térmica superior à de

qualquer um dos ciclos que o constituem, quando executados individualmente. Para além do alto

índice de eficiência energética (superior a 50%), as centrais de ciclo combinado reúnem melhores

condições para satisfazer os requisitos exigidos para a protecção e conservação do ambiente.

A aposta de Portugal neste tipo de centrais termoeléctricas deve-se não só ao facto de

possuírem grandes vantagens em relação às centrais tradicionais, mas também devido ao facto de ser

necessário rentabilizar o grande investimento feito nos últimos anos, na construção do gasoduto para

abastecimento de gás natural e na construção do terminal de gás natural liquefeito, em Sines.

2.1 Caldeira de Recuperação de Calor

Tal como já foi referido, numa central de ciclo combinado, o vapor produzido no ciclo de

Rankine é obtido através do aproveitamento do calor dos gases de escape da turbina a gás. O

componente responsável por tal processo é denominado de caldeira de recuperação de calor.

Geralmente estas caldeiras não possuem queimadores, contudo podem ser adicionados queimadores

quando se pretendem atingir elevadas temperaturas de vapor ou quando se pretende ter uma caldeira

mais versátil. As caldeiras de recuperação de calor podem ser utilizadas para produzir água quente ou

vapor, com a característica de operarem com temperaturas substancialmente mais baixas, quando

7

comparadas com as caldeiras convencionais. O vapor entretanto produzido pode ser utilizado para

alimentar uma turbina de vapor ou ser directamente utilizado num processo industrial.

As caldeiras de recuperação de calor são elementos do tipo modular, permitindo a existência

de diversas configurações de construção, adequando-se ao espaço e capital de investimento

disponível. As configurações podem resultar da combinação de diversos factores como:

• Construção vertical ou horizontal;

• Circulação natural ou forçada;

• Um nível de pressão ou múltiplos níveis de pressão;

• Operação contínua ou com possibilidade de regime de bypass;

• Com ou sem queima adicional.

• No próximo capítulo fazemos uma apresentação dos principais componentes que

constituem uma caldeira deste tipo.

2.1.1 Componentes que constituem uma caldeira de recuperação de calor

De uma forma genérica, as caldeiras de recuperação de calor são constituídas pelos seguintes

componentes: Economizador, Evaporador, Sobreaquecedor e Reaquecedor.

Basicamente, estes componentes são arranjos de tubos, dentro dos quais circulam água ou

vapor, estrategicamente colocados ao longo da caldeira que funcionam como permutadores de calor.

2.1.1.1 Economizador

Os economizadores são usados para transferir calor para água, são os últimos permutadores

percorridos pelos gases antes de estes seguirem para a chaminé. Os economizadores simplesmente

pré-aquecem a água antes desta entrar no circuito evaporador. Podem ser organizados de forma a

receber escoamentos de gases horizontais ou verticais, dependendo do espaço disponível. A

superfície pode ser alhetada, não alhetada, ou uma combinação das duas, e as correntes de gás e de

água/vapor estão normalmente orientadas correntes cruzadas ou em contracorrente.

8

2.1.1.2 Evaporador

Os evaporadores são simplesmente permutadores de calor, cuja superfície pode ser alhetada

ou não, usados para produzir vapor saturado. Estes componentes encontram-se localizados entre as

secções dos economizadores e a dos sobreaquecedores. Os evaporadores de circulação natural são

os mais adaptáveis e, consequentemente, os mais utilizados. A circulação natural é obtida através da

diferença de densidades dos fluidos água/vapor no circuito barrilete/evaporador, podendo os tubos

serem ordenados horizontal ou verticalmente. O barrilete (“boiler drum”) funciona como um

reservatório de duas fases, com a água líquida separada do líquido por efeito da acção da gravidade.

2.1.1.3 Sobreaquecedor

Os sobreaquecedores são utilizados para transferir ainda mais calor para o vapor saturado

proveniente dos evaporadores, obtendo assim vapor sobreaquecido. Este vapor é um requisito

necessário para alguns processos industriais e para as turbinas de vapor de alta eficiência. Estes

permutadores encontram-se localizados na zona mais quente da caldeira, onde os gases de escape

ainda estão a elevada temperatura e, como tal, têm dimensões mais reduzidas que os outros

permutadores, pois a diferença de temperaturas é mais elevada.

2.1.1.4 Reaquecedor

O reaquecedor é um componente opcional da caldeira, frequentemente utilizado em

aplicações de ciclo combinado. A função deste tipo de componentes é receber vapor sobreaquecido

que já expandiu parcialmente na turbina de vapor. Reaquecendo o vapor já expandido em centrais de

ciclo combinado tem o efeito de aumentar o título à saída da turbina de baixa pressão, reduzindo o

efeito erosivo das gotas de água nas pás da turbina.

2.1.2 Aproximação de temperatura

Para o dimensionamento de caldeiras de recuperação, existem dois parâmetros importantes

que determinam a quantidade de calor que pode ser produzido. Os termos usados vêm da literatura

anglo-saxónica e são os seguintes: “Pinch Point Temperature” e “Approach Point Temperature”.

Ao extrair calor dos gases de escape, o ideal seria que a diferença de temperatura entre os

gases e a água fosse constante. Tal é simples de conseguir se estivermos a tentar aquecer outro gás

9

ou um líquido sem ocorrer mudança de fase, que é precisamente o que ocorre nos sobreaquecedores

e nos economizadores, respectivamente. Em casos como estes, é relativamente fácil manter uma

diferença de temperatura constante entre os gases e o fluido a aquecer, no entanto o mesmo já não

se passa no evaporador.

Como o próprio nome indica, é nos evaporadores que se dá a mudança de fase da água que

circula no interior dos tubos da caldeira e, como se sabe, este é um processo que ocorre a

temperatura constante. A lei de arrefecimento de Newton diz-nos que a transferência de calor por

convecção é dada por:

( )conv conv sQ A h T T∞= × × − (2.1)

Em que Ts e T∞ representam a temperatura da superfície exterior dos tubos e a temperatura

dos gases de escape, respectivamente. Note-se que, se a temperatura da água ao longo do

evaporador é constante, consequentemente também a temperatura Ts o será.

Com a diminuição da temperatura dos gases (T∞) ao longo do evaporador, corremos o risco da

temperatura se aproximar demasiado da temperatura dos tubos (Ts). Assumindo que o coeficiente de

convecção se mantém relativamente constante ao longo do evaporador, se a diferença de

temperaturas tender para zero, para podermos continuar a extrair calor aos gases teríamos que

aumentar drasticamente a área do evaporador para valores incomportáveis quer a nível financeiro

quer a nível de espaço físico.

Sendo assim, tem de haver um compromisso entre a área de permuta do evaporador e a

diferença de temperaturas entre os gases de escape à saída do evaporador e a água. Deste

compromisso resulta normalmente uma diferença de temperaturas da ordem dos 4 a 8ºC [10], a esta

diferença chamamos normalmente o “Pinch Point”. Este é um problema que não se coloca nas

centrais a carvão ou a fuelóleo, porque nestes casos as temperaturas na fornalha, onde se localiza o

evaporador, chegam a atingir os 1700ºC, encontrando-se o vapor no interior dos tubos a uma

temperatura da ordem dos 180 a 200ºC.

A temperatura à entrada das turbinas de vapor pode atingir valores ligeiramente superiores a

600ºC mas a temperatura dos gases na saída da fornalha é da ordem de 1000ºC e portanto não se

colocam problemas. Deve-se notar que no caso de fornalhas para ciclos de vapor faz-se normalmente

o pré-aquecimento do ar de combustão, que absorve a energia do arrefecimento final dos produtos de

combustão.

10

Outro ponto que os projectistas deste tipo de equipamentos têm que estudar é a temperatura

de aproximação da água ao evaporador – “Approach Temperature” – ou seja, à saída do

economizador. Se fosse mantida a diferença do “Pinch Point”, isto é, se a temperatura à saída do

economizador fosse igual à temperatura de entrada do evaporador, poderíamos cair na situação de

ocorrer mudança de fase. Este fenómeno iria bloquear o escoamento, provocando uma mudança de

fase de todo o líquido no economizador e consequentemente dar origem ao desequilíbrio da

instalação. Alguns dos principais problemas seriam o sobreaquecimento dos tubos e vibrações

indesejadas. Sendo assim, a temperatura da água à saída do economizador é mantida ligeiramente

abaixo da temperatura de saturação. Tal dimensionamento pode ser conseguido de várias formas,

como por exemplo diminuindo a área de permuta do economizador ou simplesmente intercalando um

sobreaquecedor, de um nível de pressão inferior, entre o economizador e o evaporador do nível de

pressão em questão. Tipicamente, as caldeiras de recuperação de calor apresentam pontos de

aproximação (“Approach Temperatures”) de cerca de 4ºC.

Na figura abaixo podemos verificar a variação das temperaturas da água e dos gases de

escape ao longo do economizador, evaporador e sobreaquecedor, podendo observar a definição de

“Pinch Point” e “Approach Point”.

Figura 2.1- Representação esquemática das definições de "Pinch Point" e de

"Approach Point" (Fonte: Starr [10]).

11

2.2 Caso de estudo: Central Termoeléctrica do Ribatejo – TER

Neste capítulo vamos dar a conhecer o ciclo combinado da central térmica que se utilizou

como caso de estudo – Termoeléctrica do Ribatejo.

2.2.1 Historial

A Central Termoeléctrica do Ribatejo foi projectada em 2000 e inaugurada em Abril de 2003,

com o último dos três grupos a entrar em funcionamento em Março de 2006. A construção desta

central de ciclo combinado foi da responsabilidade do consórcio construtor Siemens/Koch com um

investimento global de 550 milhões de euros em três grupos geradores com uma potência unitária de

cerca de 392 MWe.

• A localização desta central em terrenos junto da anterior Central do Carregado, na

margem direita do rio Tejo apresenta algumas vantagens das quais se destacaram as

seguintes:

• Proximidade do gasoduto principal de abastecimento de Gás Natural (GN);

• Facilidade de acesso à Rede Nacional de Transporte de energia eléctrica (RNT);

• Proximidade dos locais de maior consumo de energia eléctrica;

• Proximidade do rio Tejo para o abastecimento de água e para o transporte mais fácil

dos componentes da instalação mais pesados.

2.2.2 Descrição da central

Na Central do Ribatejo, cada grupo gerador é constituído pelos seguintes componentes

principais:

• Turbina de gás, para queima exclusiva de GN;

• Caldeira de recuperação de calor, sem queima adicional;

• Turbina de vapor, de condensação, com reaquecimento e três corpos de expansão

(alta, média e baixa pressão);

• Alternador montado em veio único accionado por ambas as turbinas;

12

• Transformador principal, elevador da tensão de geração (20kV) para a tensão da RNT

(220kV no Grupo 1 e 400kV nos Grupos 2 e 3).

Na Figura 2.2 encontra-se um esquema ilustrado de um dos grupos geradores da central

térmica em estudo.

Turb ina de V apor

A P B PM P

A lternador

Torre de R efrigeração

G ás N atura l

Turb ina de G ás

A r

A

A PM PB P

B

Transform ador

G erador de V apor

Turb ina de V apor

A P B PM P

A lternador

Torre de R efrigeração

G ás N atura l

Turb ina de G ás

A r

AA

A PM PB P

BB

Transform ador

G erador de V apor

Figura 2.2 - Esquema simplificado do Grupo I da TER (Fonte: EDP Produção).

A energia produzida pela turbina de gás representa cerca de 2/3 da energia eléctrica total

produzida. O calor residual dos gases de escape da turbina a gás é então utilizado, sem queima

adicional de GN, na caldeira de recuperação para gerar o vapor que acciona a turbina a vapor. Ligada

ao mesmo alternador, esta turbina é responsável pelo restante 1/3 da energia total produzida.

O arrefecimento do condensador de vapor é obtido pela circulação de água em circuito

fechado através de uma torre de arrefecimento com ventilação forçada de ar. Existem duas torres de

arrefecimento, com 60 metros de altura: uma comum aos Grupos 1 e 2, e a segunda, de menor

diâmetro, exclusiva do Grupo 3.

Neste circuito de arrefecimento, a água perdida por evaporação na torre é visível numa pluma

de condensação que se forma no respectivo topo superior e é compensada através do abastecimento

de água proveniente do rio Tejo, após tratamento prévio de decantação, cloragem e filtragem.

A Central dispõe de algumas instalações auxiliares comuns aos 3 grupos que incluem:

• Uma estação de desmineralização de água, destinada a abastecer o ciclo de vapor

dos grupos;

• Uma caldeira auxiliar a GN para produção de vapor no arranque;

13

• Um gerador de emergência com motor Diesel para alimentação eléctrica em caso de

falha na alimentação pela RNT.

De seguida apresentamos alguns dos dados mais importantes da central térmica que tivemos

acesso. São referidas algumas características como também é feita uma descrição dos parâmetros de

projecto dos componentes mais importantes.

2.2.2.1 Turbina de gás

A turbina de gás instalada nos grupos da central de ciclo combinado do Ribatejo, TER, é do

fabricante Siemens, modelo V94.3A. Entre outras particularidades, esta turbina dispõe de uma câmara

de combustão anelar constituída por 24 queimadores e consoante a carga solicitada, é aplicado um

dos dois tipos de combustão existentes: pré-mistura e difusão. As condições nominais de

funcionamento da turbina a gás encontram-se descritas nas tabelas seguintes.

Tabela 2.1 - Condições do projecto (Fonte: NEM [11]).

Grandeza Valor Unidades PCI do Gás Natural 45109 kJ/kg

Velocidade de rotação 3000 rpm Temperatura ambiente 15,4 ºC Pressão atmosférica 1,013 bar

Humidade relativa do ar 75 % Temperatura do GN 15 ºC

Pressão do GN 30-40 bar Temperatura dos gases de escape 593,9 ºC

Caudal dos gases de escape 655,8 kg/s Entalpia dos gases de escape 656,2 kJ/kg

Tabela 2.2 - Composição dos gases de escape (Fonte: NEM [11).

Composição dos gases de escape %mássica

O2 14,14% N2 73,39% Ar 1,22%

CO2 5,96% H2O 5,29%

2.2.2.2 Turbina de vapor

A turbina de vapor é constituída por três corpos, AP, MP e BP, um por cada nível de pressão:

alta, média e baixa, respectivamente. As condições de funcionamento encontram-se resumidas na

Tabela 2.3.

14

Tabela 2.3 - Condições nominais de projecto das turbinas de vapor.

Pressão de entrada

[bar]

Temperaturade entrada

[ºC]

Caudal de vapor

[kg/s]

Rendimento isentrópico

Corpo de AP 131,05 567,3 74,640 0,847

Corpo de MP 31,80 331,8 15,320 0,937

Corpo de BP 4,00 236,9 12,270 0,89

2.2.2.3 Condensador

No corpo de baixa pressão, o vapor expande até à pressão de condensação, entrando no

condensador. As condições de projecto são apresentadas na Tabela 2.4.

Tabela 2.4 - Condições nominais de projecto do condensador.

Grandeza Valor Unidades

Pressão de condensação 0,05 bar

Temperatura da água de arrefecimento 20,60 ºC

2.2.2.4 Caldeira de recuperação

Finalmente, vamos apresentar o componente mais importante no âmbito deste trabalho – a

caldeira de recuperação de calor. Na TER, a recuperação do calor contido nos gases de escape

provenientes da turbina de gás é efectuada com recurso a uma caldeira de recuperação sem queima

adicional. Esta caldeira é essencialmente constituída por um conjunto de permutadores de calor

dispostos sequencialmente na secção transversal da caldeira, através dos quais é promovida a

transferência de calor entre os gases de escape provenientes da turbinas de gás e a água ou vapor

existentes no interior dos bancos de tubos.

A caldeira de recuperação utilizada na TER, em operação contínua, é do tipo horizontal com

harpas verticais e de circulação natural, com três níveis de pressão. Os tubos dos permutadores de

calor estão dispostos de forma desfasada e possuem alhetas helicoidais de forma a aumentar a área

de transferência de calor.

15

Circuito de água/vapor

O caudal de água de alimentação divide-se nos caudais para o sistema de baixa, média e alta

pressão, sendo pressurizados para as respectivas pressões nominais através de duas bombas de

alimentação. Uma bomba aspira a água do condensador e eleva a pressão até ao nível de baixa

pressão enquanto a outra bomba aumenta a pressão para os outros dois níveis de pressão de

funcionamento do ciclo.

O andar de vapor de baixa pressão (BP) é constituído por um barrilete e pelo respectivo

sobreaquecedor, enquanto que os andares de vapor de AP e MP, com reaquecimento, são

constituídos por economizadores, evaporadores e respectivos barriletes e sobreaquecedores. A água

proveniente do condensador é pré-aquecida num permutador de calor colocado no final do circuito dos

gases da caldeira.

Circuito dos gases de escape

Tal como já foi referido, a caldeira é constituída por 25 módulos em sequência, na direcção de

passagem dos gases. A lista desses módulos, de acordo com o circuito dos gases de escape, desde o

primeiro que é percorrido pelos gases (sobreaquecedor de AP 4) até ao último (pré-aquecedor de

condensados) é apresentada abaixo:

1) Sobreaquecedor de AP 4

2) Reaquecedor MP 22







9) Evaporador de AP 2

10) Evaporador de AP 1

11) Sobreaquecedor de MP

12) Economizador de AP 5


14) Evaporador de MP 2

16

15) Evaporador de MP 1


17) Sobreaquecedor de BP

18) Economizador de AP 2 em paralelo com o Economizador de MP 1 e 2

19) Economizador de AP 11 em paralelo com o Economizador de AP 12

20) Evaporador de BP 3



23) Pré-aquecedor de condensado 3



Tal como se pode verificar pela listagem dos módulos da caldeira, existe uma passagem dos

gases de escape em paralelo, nos módulos 18 e 19.

O modelo da central que foi implementado no programa desenvolvido neste trabalho sofreu

algumas alterações ao que aqui foi descrito. As alterações principais ocorreram na caldeira de

recuperação de calor, onde se procedeu à junção de módulos que tinham características geométricas

e de escoamento semelhantes. Um exemplo destes acoplamentos ocorreu nos módulos dos pré-

aquecedores de condensados 1, 2 e 3, sendo representados por apenas um componente no modelo

informático. Outra das alterações levadas a cabo diz respeito aos valores de caudal mássico dos

vários circuitos. No modelo real existem algumas purgas que conduzem a perdas de caudal ao longo

do circuito, que são repostas continuamente no tanque de alimentação. No modelo adoptado no

programa teve-se que uniformizar o caudal ao longo dos vários troços, para que se garantisse a

conservação do caudal mássico.

Nos anexos A.1 e A.2 são apresentados os esquemas do modelo implementado no programa.

Nessas figuras é possível verificar que os componentes da caldeira ali representados não

correspondem directamente aos 25 módulos reais, tendo sido organizados de forma diferente mas

que continua a ser representativo do modelo real.

17

2.2.3 Informação fornecida

Para que pudéssemos efectuar este trabalho, foi fornecida por parte da EDP alguma

informação de projecto e alguns dados de comissionamento. Da informação de projecto, alguma já

apresentada ao longo deste capítulo, apenas tínhamos dados detalhados das propriedades dos

fluidos (pressão, temperatura e caudal) para a condição de carga máxima. Esta informação, para além

de não cobrir outros regimes de carga, também não era muito detalhada tendo mesmo que se assumir

alguns valores para determinadas ligações do circuito. Quanto aos valores propriamente ditos, foram

detectadas inconsistências nas temperaturas da água, na secção paralela do circuito de alta pressão.

Esta constatação, desenvolvida na secção 4.6.1, conduziu a que se fizessem ajustes aos dados

fornecidos, originando resultados diferentes daqueles que estão documentados em projecto.

18

3 MODELO NUMÉRICO

Neste capítulo apresentamos o modelo numérico que permitiu, a partir da passagem de uma

base física para uma base analítica, obter a resolução dos vários sistemas de equações que

caracterizavam a análise da caldeira de recuperação de calor.

A título introdutório decidiu-se começar este capítulo por uma breve abordagem à análise

numérica, nomeadamente a análise de sistemas de equações não-lineares.

3.1 Sistemas de equações não-lineares

O algoritmo que se pretendia implementar tinha que ser capaz de resolver um conjunto de

equações em simultâneo de modo a determinar as propriedades num conjunto de permutadores

ligados entre si. Este cálculo pode também ser realizado numa abordagem do tipo sequencial mas

neste último caso a automatização do cálculo é mais difícil.

No método sequencial é possível calcular as condições de saída de um componente a partir

das suas condições à entrada, desde que conhecidas. Para o componente seguinte, as suas

condições de entrada, iguais às de saída do componente anterior já calculadas, permitiriam

determinar as suas condições de saída, e assim sucessivamente. Este processo iria se repetir até

chegar ao último componente, no qual as condições à saída deste corresponderiam igualmente às

condições à saída do sistema. Os algoritmos nem sempre podem ser organizados de forma

sequencial devido nomeadamente devido à presença de passagens em paralelo e para cada

aplicação é necessário definir um algoritmo de acordo com o circuito dos gases e da água.

Surgiu então a necessidade de implementar um algoritmo que fosse capaz de resolver um

conjunto de equações, em detrimento da já mencionada abordagem sequencial.

As equações a que nos propomos a resolver são, regra geral, funções simples como balanços

de energia ou balanços de massa, com uma dependência tipicamente linear da entalpia e dos

caudais. Contudo, existem componentes que envolvem equações não lineares, como é a equação de

transferência de calor nos permutadores ou a aplicação do rendimento isentrópico das turbinas. Na

secção 3.4 são apresentadas com detalhe as equações de resíduos envolvidas nos vários

componentes.

A resolução de equações não lineares consiste em determinar os valores x que tornam nulos

os valores do vector f, ou seja, resolver o sistema de equações:

19

( ) 0=f x (3.1)

Neste trabalho apenas nos propusemos a lidar com sistemas de equações que resultassem

em matrizes de coeficientes quadradas, isto é, sistemas em que o número de equações fosse igual ao

número de incógnitas. Decidiu-se não entrar no detalhe dos sistemas sobredeterminados uma vez que

não fazia parte dos objectivos a que nos propusemos e também porque no futuro facilmente se pode

incluir um módulo que seja capaz de resolver este tipo de cálculos.

Devido ao carácter generalista que se quis impor ao algoritmo desenvolvido, e ao facto de só

em casos excepcionalmente simples o sistema admitir uma solução analítica, teve-se que recorrer a

um método aproximado que, através de procedimentos iterativos, devolvesse uma solução para as

raízes do vector f(x). Por sua vez, a resolução de sistemas não lineares a partir de métodos iterativos

acarreta diversas dificuldades, nomeadamente a existência de convergência, a respectiva rapidez e a

necessidade de ter uma estimativa inicial.

O método que foi decidido implementar no algoritmo desenvolvido foi o método de Newton-

Raphson, metodologia que também já tinha sido adoptada com sucesso por Canhoto [7],

implementado na linguagem Fortran e adaptado por Rodrigues [8] para VBA. Neste trabalho o método

foi totalmente reestruturado de modo a ser configurado a partir dos componentes definidos numa base

de dados.

3.2 Método de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson, ou simplesmente método de Newton, permite resolver

sistemas de equações não lineares através de um processo iterativo com base em aproximações

iniciais – valores temporários que são atribuídos inicialmente às incógnitas do problema. Se forem

atribuídos valores iniciais suficientemente próximos da solução final, o método fornece-nos uma boa

indicação sobre o sentido da convergência para uma raiz, caso contrário este diverge.

O principal objectivo do algoritmo desenvolvido neste trabalho é, como já referido, analisar a

secção de convecção de caldeiras de recuperação de calor de centrais térmicas de ciclo combinado.

Ora, neste tipo de análise, a atribuição de “bons” valores iniciais às várias variáveis envolvidas

(temperaturas e caudais) não constitui um problema de maior. Isto porque a quantidade de informação

normalmente disponível, sejam dados de projecto ou de funcionamento, permite especificar valores

relativamente próximos das soluções finais. Existem técnicas de balizagem de intervalos onde se

encontram as raízes das equações como documentado em Pina [12]. No caso de circuitos as

20

propriedades têm uma variação entre pontos conhecida e assim a atribuição de valores iniciais deve

satisfazer a variação esperada. Deste modo, em nome da generalidade, foi implementada uma

modificação ao método de Newton que diminui a dependência do sucesso do método com a qualidade

das aproximações iniciais.

Apesar de no caso de estudo em análise existir muita informação sobre as variáveis

envolvidas (entalpias/temperatura e caudais), decidiu-se implementar e testar um algoritmo que fosse

capaz de atribuir boas aproximações iniciais, caso estas não tivessem sido especificadas pelo

utilizador. A secção 3.5.3 faz uma breve descrição dos procedimentos adoptados para a inicialização

das variáveis. As metodologias ali destacadas acabaram por dar origem a resultados muito

satisfatórios, os quais podem ser consultados na secção dos Resultados (Capítulo 4).

3.2.1 Ordem de convergência

De todos os métodos numéricos de resolução de sistemas de equações não lineares

multidimensionais existentes, o método de Newton é, provavelmente, o mais simples, mas ao mesmo

tempo de grande confiança e dos que mais rapidamente converge para a solução do problema [13].

A ordem de convergência de um método relativamente a um zero de uma função – p – é um

parâmetro que representa a taxa de diminuição do erro ao longo do processo iterativo. A forma como

a ordem de convergência se relaciona com o erro em cada iteração está representada na expressão

seguinte:

1lim kpk

k

ec

e+

→∞= (3.2)

O parâmetro e representa o erro da solução em relação ao zero da função que se pretende

calcular e o índice k indica o número da iteração. A constante c, por sua vez, é a constante de erro

assimptótico. A situação ideal ocorre quando a constante c tende para zero à medida que o número

de iterações – k – aumenta. Como se afere pela expressão anterior, tal convergência será tanto maior

quanto maior for o parâmetro p.

A principal vantagem do método de Newton reside no facto de que, quando converge,

converge rapidamente e, eventualmente, com convergência quadrática (p = 2) [12]. Como tal, é

natural que este método nos conduza às soluções dos sistemas de equações não-lineares com um

menor número de iterações quando comparado com um método de primeira ordem.

21

3.2.2 Descrição do processo iterativo

Podemos apresentar, de uma forma concisa, os passos do processo iterativo do método de

Newton-Raphson, que são os seguintes [13]:

Consideremos um conjunto de n equações a n variáveis desconhecidas, escritas em notação

indicial da seguinte forma:

1 1 2

2 1 2

1 2

( , ,..., ) 0( , ,..., ) 0

( , ,..., ) 0

n

n

n n

f x x xf x x x

f x x x

==

=

(3.3)

1. Inicialmente são assumidos valores temporários para as variáveis, os quais se apresentam

na seguinte notação x1,t, x2,t, …, xn,t.

2. Os valores de f1, f2, …, fn são calculados em função dos valores temporários assumidos no

ponto anterior.

3. Cálculo das derivadas parciais das funções, ou seja, o cálculo da matriz jacobiana. Este

cálculo é necessário para poder executar o ponto seguinte.

4. Aproximando a função f(x) pelo seu desenvolvimento em séries de Taylor, obtém-se um

sistema de equações lineares que é resolvido de forma simultânea.

Efectuando a expansão em séries de Taylor em torno dos valores temporários, truncada a

partir do termo que envolve a segunda derivada e igualando a zero, obtém-se para cada equação:

( ) ( )

( )1 1, 2 2, ,

1, 2, , 1 2 1, 2, ,

1, 2, , 1 21 2

, ,..., ... , ,..., 0

, ,..., ... 0t t n n t

i t t n t n i c c n c

i i ii t t n t n

nx x x x x x

f x x x x x x f x x x

f f ff x x x x x xx x x

δ δ δ

δ δ δ= = =

+ + + + = = ⇔

∂ ∂ ∂⇔ + × + × + + × =∂ ∂ ∂

(3.4)

Em que, , ,j j c j tx x xδ = − . Assim, as equações tomam a forma abaixo apresentada:

22

( ) ( ) ( )

( )

1 1, 2 2, ,

1, 1, 2, 2, , ,1 2

1, 2, ,

...

, ,...,

t t n n t

i i ic t c t n c n t

nx x x x x x

i t t n t

f f fx x x x x xx x x

f x x x

= = =

∂ ∂ ∂× − + × − + + × − =∂ ∂ ∂

=−

(3.5)

Agrupando os termos numa forma matricial, obtém-se o seguinte sistema linear de equações:

1, 1, 11 1 1

1 2

2, 2, 22 2 2

1 2

, ,

1 2

...

...

...

t c

n

t c

n

m m m n t n c m

n

x x ff f fx x x

x x ff f fx x x

f f f x x fx x x

⎧ ⎫ ⎫⎡ ⎤ −⎪∂ ∂ ∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ −∂ ∂ ∂ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥∂ ∂ ∂ =⎨ ⎬ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂ −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪∂ ∂ ∂ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪⎭ ⎭⎪⎩

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩

(3.6)

Apesar de não se ter indicado por uma questão de simplicidade, as derivadas parciais na

matriz jacobiana acima representada são calculadas a partir dos valores temporários, ou seja, para

,j j tx x= .

5. Resolução do sistema matricial de equações lineares, de forma a determinar todas os

incrementos a atribuir às varáveis.

6. Correcção das variáveis.

7. Estudo da convergência. Caso os resultados obtidos sejam satisfatórios, isto é, caso

tenhamos alcançado o critério de paragem, o programa termina. Caso contrário retorna ao ponto 2.

3.2.3 Critérios de paragem

Foram definidos dois critérios de paragem do processo iterativo, que estão relacionados com

duas variáveis do programa, as tolerâncias, tolf e tolx. Os critérios adoptados foram então os

seguintes:

Quando o erro associado aos resíduos, fE , é inferior a uma tolerância tolf.

23

f iE f tolf= ≤∑ (3.7)

Quando o erro associado ao xi, xE , é inferior a uma tolerância tolx.

x iE x tolxδ= ≤∑ (3.8)

Onde ( ), , , ,i i new i old i c i tx x x x xδ = − = −

No algoritmo elaborado, foi dado ao utilizador a oportunidade de alterar os valores associados

a estas variáveis, sendo que quanto mais preciso se pretenda um resultado, menor deverão ser os

valores das tolerâncias. Contudo, dever-se-á ter algum cuidado na escolha destes valores, pois

quanto menores forem os valores das tolerâncias, maior será o número de iterações e,

consequentemente, maior será o tempo de cálculo. Para o caso em análise, a definição das funções fi

é efectuada de modo a representar tanto quanto possível erros relativos em balanços de energia. As

incógnitas consideradas são valores de caudal e entalpias, pelo que achou-se aceitável a adopção de

tolerâncias de 41 10−× .

3.2.4 Modificações ao método de Newton-Raphson

De forma a aumentar a eficiência, através da redução do tempo de cálculo dispendido em

cada iteração, foram efectuadas várias alterações ao método de Newton original, sugeridas pela

bibliografia da especialidade [12]. As alterações efectuadas estão descritas nos próximos parágrafos.

3.2.4.1 Cálculo espaçado da matriz jacobiana

Ao longo do processo iterativo, o cálculo da matriz jacobiana é, porventura, o que representa o

maior custo computacional. A forma mais expedita de reduzir o custo do cálculo desta matriz é a de

proceder ao seu cálculo espaçadamente, ou seja, mantê-la constante durante um certo número de

iterações.

No algoritmo desenvolvido, é dada ao utilizador a possibilidade de variar um parâmetro que

representa o número das iterações durante as quais se deseja manter a matriz jacobiana constante.

24

Embora a taxa de convergência quadrática fique prejudicada, uma escolha cuidadosa do parâmetro

anterior pode permitir uma redução do esforço computacional. A selecção do parâmetro depende dos

casos considerados e de modo a evitar problemas de convergência, a primeira aproximação será a de

efectuar o cálculo em todas as iterações. Na secção 4.5 é apresentada uma análise da variação do

número total de iterações e do tempo de cálculo com o número de iterações nas quais se mantém as

derivadas parciais constantes.

Outra forma de amenizar o problema do custo computacional que envolve o cálculo da matriz

das derivadas foi, para cada equação, calcular apenas as derivadas parciais em ordem às variáveis

que faziam parte da equação, permanecendo as outras a zero. De forma a tornar este procedimento

genérico, associaram-se as funções a componentes dos circuitos e para cada componente verificam-

se se as propriedades das suas ligações são incógnitas. Esta verificação é efectuada apenas uma vez

permitindo definir a matriz das equações.

3.2.4.2 Cálculo aproximado da matriz jacobiana por diferenças finitas

No ponto 3 da descrição do método de Newton-Raphson é indicado que se deve proceder ao

cálculo das derivadas parciais das funções em ordem às n variáveis. À partida seria de esperar que o

cálculo fosse feito recorrendo à derivação analítica das equações de resíduos definidas na secção 3.4.

Apesar de não ser impossível obter as derivadas das equações de resíduos dos vários componentes,

seria complicado identificar as derivadas parciais para todos os casos e definir todas as equações das

mesmas. Para que o método implementado fosse o mais generalizado possível, optou-se por avaliar

as derivadas parciais recorrendo à sua aproximação por diferenças finitas, cuja definição é a seguinte:

( ) ( )i i i ii

i

f x h f xfx h

+ −∂ =∂

(3.9)

Este cálculo é efectuado apenas para as funções que dependem da variável xi, sendo

colocada a derivada parcial com um valor nulo nos outros casos.

3.2.4.3 Método de Newton amortecido (“Damped Newton method”)

De forma a aumentar a robustez do algoritmo, o método de Newton é alterado de forma a

garantir, em cada iteração k, a diminuição da norma euclidiana dos resíduos.

25

( 1) ( )

2 2( ) ( )k kf x f x+ < (3.10)

Para tal, no caso do valor da norma euclidiana aumentar para uma determinada iteração

( 1)kx + , atribui-se um novo valor à variável dividindo o intervalo ( )jxΔ sucessivamente até p vezes, de

acordo com a expressão seguinte:

( )( 1) ( ) 2

jj j p

xx x+

Δ= + (3.11)

Este facto pode ser decisivo na convergência da solução, pois a alteração introduzida reduz o

incremento a atribuir às variáveis, de forma a satisfazer a condição anterior.

3.2.5 Não convergência do método

O método de Newton-Raphson converge na maioria dos casos, contudo existem algumas

situações que podem conduzir à não convergência do método.

Apesar de estarmos perante problemas multidimensionais, de dimensão n, uma forma simples

de explicar os casos de insucesso do método de Newton generalizado é recorrer à perspectiva

geométrica do problema unidimensional. Simplificando as equações até ao caso unidimensional, o

sistema de equações do caso multidimensional resume-se à equação seguinte:

( )( ) ( )

( )t

t

tt

x x

x x

f xdf x x f x xdf xdxdx

δ δ=

=

× =− ⇒ = (3.12)

Graficamente, o processo iterativo do método de Newton consiste em traçar uma curva

tangente à função no valor de x tomado como aproximação inicial, a intersecção da tangente com o

eixo dos xx fornece-nos a abcissa para a aproximação seguinte e assim sucessivamente, até que

tenhamos atingido um dos critérios de paragem definidos.

26

A figura seguinte evidencia o que foi explicado no parágrafo anterior.

Figura 3.1 - Representação gráfica do método de Newton para o caso

unidimensional.

Neste momento, torna-se mais fácil explicar e compreender algumas situações que podem

levar à não convergência do método, descritas nos próximos pontos.

3.2.5.1 Iteração indefinida

Imaginemos o caso em que durante o processo iterativo, a intersecção da tangente com o eixo

dos xx conduz a um ponto no qual a função atinge um valor máximo ou mínimo, ou seja, a derivada

vale zero. Quando avançarmos para a próxima iteração, neste caso, ( ) ( )i if x f x′ é indefinido.

Graficamente, o que acontece é que a linha tangente é paralela ao eixo dos xx e portanto nunca

intersecta o eixo. Consequentemente temos uma iteração indefinida, como podemos verificar na

Figura 3.2. Para obviar este tipo de problema verifica-se a matriz das derivadas parciais, que devem

pelo menos ter um valor não nulo para todas as funções e variáveis. No caso de se definir uma

derivada parcial com um valor muito pequeno mas não nulo, em que a correcção do valor de x é muito

elevada, não se permite uma correcção acima de um determinado limite para cada tipo de variável.

27

Figura 3.2 - Não convergência do método de Newton quando nos deparamos

com uma derivada nula.

3.2.5.2 Oscilação

Outro dos casos em que podemos não atingir uma convergência do método iterativo é um em

que a sucessão kx pára entre dois (ou mais) valores, isto é, 2k kx x+ = . Ou seja, o valor de xδ oscila

entre dois valores, iteração a iteração, caindo num ciclo interminável. Para evitar este tipo de

problema, o método é implementado com um número máximo de iterações.

Figura 3.3 - Exemplo de um caso em que o método iterativo cai num ciclo

vicioso.

28

3.3 Implementação do método

O desenvolvimento desta tese foi efectuado com base no trabalho realizado anteriormente

para diversas centrais térmicas, como revisto no Capítulo 1. Como referido, a aplicação de algoritmos

sequenciais foi integrada com uma interface gráfica para a qual se concebeu uma estrutura e

classificação para as variáveis tendo em conta os componentes. Por outro lado, o algoritmo

inicialmente desenvolvido em Fortran não utilizava variáveis estruturadas, o que foi parcialmente

efectuado ao passar o método para uma aplicação em VBA – “Visual Basic for Applications”, no Excel.

No início desta tese, decidiu-se então preparar a implementação do método de uma forma

geral, que pudesse ser definida a partir de uma interface gráfica onde os dados se encontram

agrupados por componentes e por ligações que ligam os componentes entre si. Em paralelo com a

definição dos objectivos, colocou-se também a questão de qual a linguagem de programação a

utilizar. Esta era uma questão que tinha de ser analisada com muita cautela, pois a partir do momento

que se iniciassem os trabalhos, não poderíamos voltar atrás, sob o risco de não atingir os objectivos

delineados.

Os trabalhos que já tinham sido desenvolvidos nesta área, no Instituto Superior Técnico,

recorreram a linguagens como o Fortran ou o Visual Basic, sendo a primeira opção considerada por

ter sido utilizada no ensino de programação e a segunda por ser utilizada com mais frequência em

interfaces gráficas. O Fortran apresenta como grandes limitações o facto de requerer outras

aplicações quando se pretendem utilizar bibliotecas em ficheiros DLL – “Dynamic Link Library”. O VB

foi também adoptado para utilizar em alternativa, através do VBA acoplado ao Excel, o que permitiu

uma verificação dos cálculos mas a velocidade de processamento revelou-se muito menor do que

num executável. Como se pretendeu utilizar a definição de componentes de forma estruturada optou-

se por utilizar uma linguagem que permita estruturar as variáveis em classes e subgrupos. Assim

apesar da maior familiaridade com as linguagens já utilizadas antes, achou-se por bem elevar a

fasquia e conceber um programa numa linguagem que melhor se adaptasse à realidade do projecto,

conferindo-lhe ao mesmo tempo uma versatilidade e robustez que não existiam nos trabalhos

anteriores.

Após um breve período de análise, concluiu-se que a linguagem que melhor satisfazia os

requisitos anteriores seria uma que recorresse a uma filosofia de programação orientada a objectos.

3.3.1 Programação Orientada a Objectos (POO)

A Programação Orientada a Objectos (POO) é um paradigma de análise, projecto e

programação de sistemas de software baseado na composição e interacção entre diversas unidades

denominadas de objectos. A análise e projecto orientados a objectos têm como meta identificar o

29

melhor conjunto de objectos para descrever um sistema, sendo mais fáceis de compreender, corrigir e

modificar. O funcionamento deste sistema dá-se através do relacionamento e troca de informações

entre estes objectos. Na POO, implementa-se um conjunto de classes que definem os objectos

presentes no sistema de software. Cada classe determina o comportamento e estados possíveis dos

seus objectos, assim como o relacionamento com outros objectos. No Anexo A.3 deste trabalho

poderá ver alguns conceitos fundamentais sobre este paradigma de programação.

Tendo já definido o tipo de linguagem que queríamos utilizar, o problema recai agora sobre a

escolha da linguagem propriamente dita. Hoje em dia existem diversas linguagens de programação

viradas para a filosofia de programação orientada a objectos (Java, Javascript, Php, Python, C++, C#,

VB.NET) dada a influência deste tipo de linguagens no mercado. No final, tendo ponderado vários

cenários possíveis, entendeu-se escolher como ferramenta de trabalho a linguagem C++.

3.3.2 Porquê a linguagem C++?

A linguagem C++ possui determinadas características que a faz sobressair das restantes

linguagens de programação. As qualidades mais sonantes deste tipo de linguagem são de seguida

apresentadas.

3.3.2.1 Exportabilidade

É possível compilar um código implementado em C++ em qualquer tipo de computador e

sistema operativo, sem praticamente ter de fazer alguma alteração ao código original. A linguagem

C++ é a mais utilizada e adaptada de todas as linguagens de programação existentes no mundo da

informática.

3.3.2.2 Simplicidade da linguagem

O código escrito em C++ é bastante curto em comparação com outras linguagens, uma vez

que é fomentada a utilização de caracteres especiais em detrimento de palavras comuns, poupando

algum esforço ao programador.

30

3.3.2.3 Programação modular

Uma aplicação escrita em C++ pode ser composta por diversos ficheiros fonte (*.cpp), que por

sua vez são compilados separadamente e então depois interligados entre si. Tal vantagem é útil pois

não é necessário recompilar toda a aplicação sempre que é feita uma alteração a um dos ficheiros

fonte, mas apenas é necessário recompilar o ficheiro que foi alvo da alteração. Aliada a vantagem

encontra-se a possibilidade de ligar a qualquer aplicação módulos criados noutras linguagens como a

C ou a Assembler.

3.3.2.4 Rapidez

O código resultante de uma compilação em C++ é muito eficiente, principalmente devido à

dualidade de linguagem de alto nível (linguagem com uma elevada abstracção da informação que é

processada pelas máquinas, mais próxima da linguagem humana) com a de baixo nível (mais próxima

do hardware, linguagem processada pelos computadores – 0´s e 1´s).

3.3.3 Definição das classes e objectos

Tal como já foi mencionado anteriormente, é a partir de classes e objectos e da interacção

entre eles que se desenrola um programa escrito em C++. Como tal, antes de mais nada, era

necessário especificar que tipos de classes e objectos iríamos criar para atingir os objectivos

delineados.

No programa concebido foram criadas duas classes principais (classes-mãe), uma delas diz

respeito aos componentes e a outra está relacionada com as ligações dos circuitos. Dentro da classe

dos componentes foram criadas várias subclasses para lidar com componentes muito específicos

como os permutadores, as turbinas e as caixas de derivação (split’s). A classe principal dos

componentes admite atributos que são transversais a todos os componentes, ao passo que as

subclasses servem para albergar os atributos que apenas dizem respeito a determinados

componentes. A partir destas classes, criaram-se os objectos que, no modelo informático,

representam os vários componentes e as respectivas ligações do modelo real. Para cada uma das

classes e consequentemente para os seus objectos, foram criadas variáveis de vários tipos para que

pudessem simular os vários atributos e características dos circuitos dos gases de escape e de

água/vapor.

31

3.4 Descrição de componentes e equações de resíduos

Após uma análise dos ciclos do caso de estudo e de outras centrais térmicas, verificou-se que

era possível caracterizar a maioria dos circuitos recorrendo a sete tipos de componentes. A lista não é

extensiva à câmara de combustão, onde é importante considerar trocas de calor por radiação e

cálculos de combustão já utilizados em outros trabalhos [4-6; 14]. Os próximos pontos revelam quais

são esses componentes e as respectivas equações de resíduos. Serão estas equações que

posteriormente terão que ser resolvidas em simultâneo pelo método iterativo adoptada, com o

objectivo de calcular as incógnitas do sistema.

As propriedades da água são calculadas com base na formulação IF97 [15], que foi preparada

em linguagem C++ e utilizada numa biblioteca de funções. As propriedades termodinâmicas dos

gases, isto é, a entalpia em função da temperatura, foram obtidas considerando polinómios de quarto

grau [16] e posteriormente foram efectuados testes com polinómios sugeridos pela NASA [17].

3.4.1 Permutadores

Os objectos que representam os permutadores da caldeira de recuperação de calor fazem

parte de uma classe que deriva da classe-base dos componentes. Assim, herdam os atributos dos

componentes em geral mas possuem mais um pacote de informação específica. Essa informação

inclui características geométricas, propriedades termodinâmicas do escoamento interior e exterior, e

ainda as propriedades das alhetas. No que diz respeito às ligações, os permutadores modelo

concebidos apenas aceitam uma ligação de entrada e outra de saída para cada tipo de fluido.

No caso dos permutadores, temos a possibilidade de definir duas equações por componente.

Na primeira, referenciada por “P1”, comparamos os ganhos/perdas de calor por convecção do lado da

água e do gás, respectivamente. A equação encontra-se adimensionalizada pela potência térmica da

água e é a seguinte:

1 1gásP

água

Qres

Q= − (3.13)

Sendo as potências de convecção obtidas a partir dos balanços de energia ao componente do

lado do gás e da água, representadas pelas expressões seguintes:

32

( )( )

gás gás in out gás

água água out in água

Q m h h

Q m h h

= × −

= × − (3.14)

Na segunda, referenciada por “P2”, procedemos à comparação entre o calor recebido por

convecção por parte do circuito de água/vapor e a potência transferida por parte do gás, a partir das

equações constitutivas dos permutadores. Também esta equação foi adimensionalizada pela potência

térmica da água.

.2 1transfP

água

Qres

Q= − (3.15)

Para o cálculo da potência transferida pelo gás no permutador, foi utilizado o método do ε-

NTU, cuja expressão é a seguinte:

( ) ( ). , ,mintransf gás in água inQ m cp T Tε= × × × − (3.16)

3.4.2 Caixas de mistura (Mix’s)

As caixas de mistura são componentes que, como o próprio nome indica, servem para

representar as zonas do circuito onde ocorrem misturas de correntes de fluido. São componentes que

admitem duas ligações de entrada e uma de saída. Os atributos que os seus objectos possuem são

aqueles que foram definidos para qualquer componente genérico, não tendo qualquer particularidade,

ao contrário do que acontecia nos permutadores.

Também no caso dos mix’s temos a possibilidade de formular duas equações de balanço. A

primeira, referenciada por “M1”, representa um balanço de massa a um sistema aberto,

adimensionalizado pelo caudal total.

,1 ,21 1in in

Mout

m mres

m+

= − (3.17)

33

A outra equação, referenciada por “M2”, é um balanço de energia a um sistema aberto,

adimensionalizado pelo fluxo de entalpia de saída.

,1 ,1 ,2 ,22 1in in in in

Mout out

m h m hres

m h× + ×

= −×

(3.18)

3.4.3 Caixas de derivação (Split’s)

No programa desenvolvido era necessário criar objectos que representassem os pontos de

separação de caudal. Estes objectos, à semelhança dos permutadores, também pertencem a uma

classe com atributos especiais, mas ao derivar da classe base dos componentes, mantém as

propriedades dessa classe principal. Entendeu-se ser necessário criar esta subclasse devido à

necessidade de ter pontos de divisão de caudal com uma proporção de separação predeterminada

pelo utilizador, propriedade que não deveria ser confundida com os atributos que dizem respeito a

todos os componentes. Esta propriedade não é transversal a todos os split’s, ou seja, podem existir

caixas de derivação que tenham proporções de caudal de separação diferentes consoante as

condições de operação da caldeira, como é o caso das injecções de vapor.

No caso dos split’s, foi considerada a possibilidade de estes componentes terem duas ou três

saídas. Existem dois tipos de equações de resíduo para estes componentes – “S1” e “S2” – que têm

dois objectivos principais. Um deles, imposto pela primeira equação, é garantir a igualdade das

propriedades, uma vez que no modelo analítico não foram consideradas perdas de calor nos tubos. O

objectivo da segunda equação é garantir a proporção de caudal, isto caso estejamos perante um split

de proporções de separação de caudal constantes.

A condição da equação “S1” é garantida obrigando a que cada saída, uma a uma, tenha o

mesmo valor de entalpia da ligação de entrada. Como tal, podemos ter duas ou três equações por

split, consoante este tenha duas ou três ligações de saída, respectivamente. Para que cada resíduo

represente um erro relativo, estes encontram-se ponderados pelo caudal, como se pode ver pela

definição da equação:

( ),1 ,

out iS out i in

in

mres h h

m= − (3.19)

34

Para que se possa proceder ao cálculo do resíduo da segunda equação, os objectos desta

classe têm que conter a informação das proporções do caudal entrada que seguem em cada ligação

de saída. Se considerarmos que para uma dada ligação de saída esse valor é definido pela variável

iprop , então a equação de resíduo é definida por:

, in2

in

out i iS

m prop mres

m− ×

= (3.20)

Tal como sucedia na equação “S1”, também aqui teremos tantas equações quantas ligações

de saída.

3.4.4 Válvulas

Outro elemento simples mas fundamental para representar os circuitos da caldeira de

recuperação é a denominada válvula. Estes componentes são, à semelhança das bombas e turbinas,

os responsáveis pelas variações de pressão impostas ao sistema. Devido à sua simplicidade, os

objectos que o representam pertencem à classe base dos componentes, não tendo qualquer atributo

especial. São elementos que apenas aceitam uma ligação de entrada e outra de saída, tendo como

objectivo provocar uma queda de pressão no escoamento. Esta queda de pressão é efectuada sem

que haja uma variação de entalpia, uma vez que consideramos que válvula está bem isolada

(adiabática) e que esta não realiza trabalho sobre o fluido, como decorre do balanço de energia a um

volume de controlo que inclua a válvula. A equação de resíduo adoptada – “V1” – traduz precisamente

o balanço de energia aplicado à válvula.

1V in outres h h= − (3.21)

3.4.5 Barriletes

Os barriletes são reservatórios de água/vapor, como tal, apenas entram na composição dos

circuitos de água/vapor. São componentes que têm a função de separar o vapor gerado nos

35

evaporadores e servem de reservatório intermédio para absorver as variações da produção de vapor,

por exemplo quando ocorrem variações de carga ou de outras condições. Os objectos que

representam os barriletes no modelo informático pertencem à classe base dos componentes, pois não

requerem propriedades especiais, podendo ter no entanto até cinco ligações de entrada e outras

tantas de saída.

Durante a elaboração deste trabalho, usou-se algumas vezes como referência a designação

de caudal principal do barrilete – principalm . Quando nos referimos ao caudal principal estamos a falar

do caudal que vem dos economizadores e que depois segue para os sobreaquecedores em regime

estacionário, como os modelos para todos os componentes. Designamos este caudal de principal

porque é o que realmente faz parte do ciclo termodinâmico global da caldeira de recuperação, os

restantes caudais que seguem para os evaporadores são recirculações secundárias, apenas com o

objectivo de manter os níveis de vapor saturado adequados no barrilete.

A equação de resíduo que foi implementada neste componente é simplesmente um balanço

de energia a um volume de controlo que inclui o barrilete, adimensionalizado pela potência térmica

que se obteria num evaporador com o caudal principal do barrilete. A esta equação referenciou-se a

por B1 e está representada na expressão abaixo.

( ) ( )

( ), , , ,

1 11

n n

out i out i in i in ii i

Bprincipal vap liq

m h m hres

m h h= =

× − ×=

× −

∑ ∑ (3.22)

3.4.6 Bombas

Um componente indispensável na composição de um ciclo de Rankine é aquele que promove

o aumento de pressão do fluido para a pressão de operação da turbina, ou seja, as bombas. Os

objectos que representam as bombas não requerem propriedades especiais, como tal pertencem à

classe que contém os atributos básicos dos componentes e apenas aceitam uma ligação de entrada e

outra de saída. A equação de resíduo adoptada para este componente, referenciada por “pump1”,

representa um balanço de energia e está representada na expressão seguinte:

( )1pump out in out inres h h v p p= − − × − (3.23)

36

3.4.7 Turbinas de vapor

Tal como os permutadores e os split’s, também para as turbinas foi criada uma subclasse

particular. Esta opção prende-se com o facto de existirem alguns atributos muito específicos como o

rendimento isentrópico da turbina – isentη , o ângulo de inclinação da primeira pá e o coeficiente de

perdas de calor.

A equação de resíduo deste elemento faz uma comparação do cálculo da entalpia de saída a

partir de duas formas distintas. Uma delas é a entalpia que se obtém recorrendo a qualquer tabela de

vapor ou uma função equivalente, tendo a pressão e a temperatura de saída como argumentos. Como

tal, esta entalpia depende directamente dos valores de pressão e temperatura especificados pelo

utilizador, daí a seguinte nomenclatura:

( ), ,out esp out outh f T p= (3.24)

A outra forma de calcular a entalpia de saída é a que recorre à definição de rendimento

isentrópico e é dada por:

( ), ,out in isent in out sh h h hη η= − × − (3.25)

Aqui surge o termo ,out sh , que diz respeito à entalpia de saída da turbina caso o escoamento

fosse isentrópico. À semelhança da entalpia de saída – ,out esph , também a entalpia de entrada é obtida

com recurso a qualquer tabela de vapor ou função semelhante, que aceita como argumentos a

pressão e temperatura de entrada.

Finalmente podemos apresentar a equação de resíduo adoptada para as turbinas – “T1”, a

qual se encontra adimensionalizada pela diferença entre as entalpias de entrada e de saída calculada

a partir do rendimento isentrópico.

, ,1

,

out esp outT

in out

h hres

h hη

η

−=

− (3.26)

37

3.5 Algoritmo desenvolvido

Finalmente, após a escolha da linguagem de programação a utilizar e depois de termos uma

noção geral do comportamento que o programa deveria ter, deu-se início à elaboração do algoritmo.

Neste capítulo fazemos uma descrição das várias fases que envolveram a criação do

complexo algoritmo. Embora não faça parte do algoritmo em si, este capítulo começa com descrição

da criação da base de dados, pois esta é um elemento fundamental para a representação do

problema e estabelece a ligação entre o modelo real e o programa propriamente dito. De seguida,

explica-se de forma muito sucinta os vários módulos que compõem o algoritmo criado e as técnicas

utilizadas para processar os dados até ao método de Newton.

3.5.1 Criação da base de dados

A primeira fase do trabalho desenvolvido consistiu na construção de uma base de dados. Aqui

está contida toda a informação que diz respeito aos ciclos de gás e de água/vapor, desde as

propriedades dos componentes e ligações e a forma como estes estão relacionados entre si. A partir

da informação aqui definida, o programa deverá ser capaz de ler a definição de todos os objectos e as

variáveis correspondentes, de forma a poder caracterizar os sistemas em análise.

3.5.1.1 Software utilizado

Apesar de já ter sido desenvolvido no passado um módulo de interface gráfica e respectiva

base de dados [6], que permite ao utilizador a criação dos circuitos de gás e água/vapor de forma

simples e directa, este não foi adoptado por utilizar uma base de dados Access, que teria de ser

também alterada de acordo com o programa desenvolvido aqui., como tal, teve de se recorrer a uma

base de dados criada manualmente. A escolha do programa para criar a respectiva base de dados

recaiu então sobre o Microsoft Excel. Tal escolha poderá dar origem a tempos de processamento

superiores do que se tivéssemos utilizado uma ferramenta específica para a criação de base de dados

(e.g. Microsoft Access), pois o acesso e a escrita aos ficheiros de Excel podem ser

computacionalmente menos eficientes. Mesmo assim, apesar desta desvantagem aparente, a opção

recaiu pela utilização do Microsoft Excel, essencialmente por duas razões. A primeira tem a ver com o

facto de já terem sido criadas bases de dados semelhantes nos trabalhos desenvolvidos

anteriormente no IST [8; 18]. A segunda devido ao carácter académico do programa, cujos objectivos

não se centram na velocidade de processamento mas sim na capacidade de desenvolver uma

38

ferramenta de análise da secção de convecção de caldeiras de recuperação de calor de centrais

termodinâmicas.

Deve-se realçar que a opção de estabelecer a base de dados no Microsoft Excel tem uma

consequência importante. No futuro, se quisermos acoplar este módulo ao de uma interface gráfica

com a respectiva base de dados, teremos de alterar o código fonte do programa quando se faz o

acesso à leitura e escrita de resultados na base de dados.

3.5.1.2 Representação de um caso de estudo na base de dados

Do ponto de vista do utilizador, a análise de qualquer caso de estudo exige que este seja

representado na respectiva base de dados, um ficheiro do Microsoft Excel. No ficheiro Excel foram

preparadas duas fichas para acolher toda a informação necessária. Uma que basicamente contém

todas as características dos componentes e a forma como se relacionam entre si, através da

indicação dos índices das ligações de entrada e saída dos mesmos. Na outra ficha, estão reservados

os locais para a introdução de valores das diversas variáveis envolvidas e o seu estado, fixo ou

incógnita. São propriedades como a pressão, a temperatura e o título (esta propriedade só faz sentido

no circuito de água/vapor) e ainda o caudal no caso das ligações, ou o coeficiente global de

transferência de calor, no caso dos permutadores, que permitem caracterizar todas as variáveis que

definem ambos os circuitos – gás e água/vapor. A questão da variável ter um índice que indica se esta

é fixa ou incógnita serve para o programa verificar se o valor de uma determinada propriedade é tida

como inalterada, ou se pelo contrário, é apenas uma aproximação inicial, exigindo assim que o

programa calcule o seu valor exacto.

A composição dos gases de escape no caso presente é constante, mas é especificado de uma

forma geral em todas as ligações para permitir tratar casos que incluam a câmara de combustão. Esta

informação é utilizada para o cálculo das propriedades.

Esta fase de preenchimento das fichas da base de dados, algo morosa devido à quantidade de

informação envolvida, é de extrema importância para o sucesso da análise que se pretenda efectuar.

Deverão ser seguidas as fichas modelo, implicando a necessidade de adaptar a interface de modo a

conter o mesmo tipo de informação para todos os objectos.

Tendo definido a base de dados e criado o código que estabelece a relação do modelo real

com as classes e objectos que constituem o programa, passou-se à fase de carregamento da

informação da base de dados.

39

3.5.2 Módulo de leitura da base de dados e definição de circuitos

Basicamente, neste módulo está todo o acesso de leitura à base de dados. Aqui é carregada a

informação que diz respeito a cada tipo de componente e às respectivas ligações. A informação é lida

sequencialmente, iniciando-se no circuito de água/vapor e terminando no circuito de gás.

Dos componentes em geral, são lidas variáveis como por exemplo o índice, o tipo de

componente, o fluido associado (gás ou água/vapor), as ligações que entram e saem, etc. O programa

também foi preparado para carregar variáveis específicas de determinadas classes de componentes,

tais como a área de permuta, no caso dos permutadores, ou o rendimento isentrópico no caso das

turbinas, ou a proporção de caudais de saída de caixas de derivação (split’s), entre muitas outras.

As ligações, para além de efectuarem a ponte entre os diversos equipamentos, também

contêm toda a informação necessária para caracterizar o estado do fluido que nelas circulam. O

programa carrega aqui variáveis como pressão, temperatura, caudal e título.

Com a informação até aqui recolhida, através de diversas metodologias de análise e pesquisa,

o programa identifica os vários níveis de pressão envolvidos e identifica, por nível isobárico, as

ligações e componentes, os troços de caudal constante, bem como os diversos percursos possíveis

segundo o sentido das correntes.

O troço de caudal, a que cada ligação pertence, está indicado em todas as ligações através de

uma variável do tipo inteiro. A correspondência de cada troço de caudal ao grupo de ligações

associadas é armazenada para ambos os circuitos de gás e de água/vapor. Esta informação é

importante e imprescindível para a fase seguinte, que é a de verificação da consistência física dos

circuitos criados.

Toda a informação anterior é deveras importante e imprescindível para a fase seguinte, que é

a de verificação da consistência física dos circuitos criados. A aplicação do programa ao caso em

estudo conduz à definição dos troços de circuitos apresentados no Anexo A.4.

3.5.3 Módulo de verificação e atribuição de valores iniciais

A partir do levantamento de informação que ocorre no módulo abordado no capítulo

precedente, o passo seguinte foi fazer uma análise dos circuitos concebidos. Neste módulo,

começamos por fazer uma verificação da definição de uma quantidade mínima de valores de pressão,

temperatura e caudal, de seguida é avaliada a consistência física dos valores especificados. Este

módulo foi, porventura, a etapa mais complicada na elaboração do algoritmo, tendo em conta a

complexidade dos circuitos e as diversas regras que as várias propriedades tinham de respeitar.

40

Vejamos então o procedimento, em linhas gerais, adoptado para a validação dos dados de

entrada das diferentes grandezas.

3.5.3.1 Caudal Mássico

Quanto ao caudal mássico, o utilizador deve especificar os valores mínimos (sejam eles fixos

ou incógnitas) para que se possa definir o caudal em todos os troços dos circuitos de água/vapor e de

gás. Assim, ou são definidos tantos valores quantos os troços, ou então são especificados os valores

necessários e suficientes para que o programa, através de simples balanços de massa nas caixas de

mistura (mix’s) complete os valores em falta.

Ultrapassada a verificação dos valores mínimos de caudal mássico, em caso de sucesso, o

programa faz a verificação da consistência física dos valores adoptados. Aqui são confirmadas várias

situações, nomeadamente se são respeitados os balanços de massa nas caixas de mistura, de

derivação e nos barriletes, e se não existem variações de caudal em troços de caudal constante.

Numa situação real existem purgas por exemplo nos barriletes, o que pode ser considerado através

de uma repartição de caudal com valor conhecido de experiência. Outras situações em que ocorre

uma variação de caudal é no caso de turbinas onde parcelas de caudais são utilizadas como vapor de

selagem e podem ser transferidos para níveis de pressão inferiores (outras turbinas). Neste caso o

modelo da turbina tem de ser alterado ou modelado considerando uma tiragem de vapor a misturar

com a entrada de vapor de outro nível de pressão depois de passar por uma válvula. Estas pequenas

variações de caudais não foram consideradas, mas como indicado podem ser modeladas com o

programa preparado, exigindo-se uma conservação do caudal mássico nos troços dos circuitos.

Em caso de não verificação de alguma das situações anteriores, o programa reporta os erros

ocorridos e o utilizador terá de corrigir os dados iniciais de forma a torná-los coerentes.

3.5.3.2 Pressão

No que diz respeito aos valores mínimos, foi estabelecido que cada nível de pressão teria que

ter definido pelo menos um valor de pressão. Caso um determinado nível isobárico tenha

especificados vários valores de pressão, o programa certifica-se de que não existem aumentos de

pressão ao longo dos troços, aceitando no entanto quedas de pressão. O cálculo das perdas de carga

não foi considerado neste trabalho, no entanto as verificações preparadas servem como base para

esse cálculo se for implementado.

41

Quanto à atribuição dos valores em falta, podem ocorrer várias situações. A mais simples

corresponde ao caso em que o utilizador apenas especificou um valor de pressão. Neste caso o

programa apenas estende a atribuição desse valor às restantes ligações desse nível de pressão. No

caso de o utilizador ter especificado mais do que um valor de pressão, o programa segue a seguinte

metodologia:

Ao percorrer os vários circuitos, segundo o sentido das correntes (definidos num módulo

anterior), procura um primeiro valor de pressão para tomar como referência. Assim que o encontra,

coloca esse mesmo valor nas ligações já percorridas (que não tinham qualquer valor de pressão

especificado). A partir daqui, volta a procurar uma ligação com pressão definida e, caso encontre,

toma-a como segunda referência. Se existirem ligações interiores às duas de referência, sem valor de

pressão definido, o programa atribui valores através de uma interpolação linear. Pode sempre

acontecer a situação em que, após um determinado valor de referência, cheguemos ao fim do

caminho que estávamos a percorrer sem encontrar mais nenhuma ligação com pressão definida.

Neste caso, o programa atribui a todas as ligações posteriores à última com valor conhecido esse

mesmo valor.

Terminada a verificação dos valores de pressão em cada nível isobárico, o programa vai testar

a consistência física das alterações de pressão ocorridas em componentes como bombas, válvulas e

turbinas.

No caso de não serem respeitadas as variações de pressão impostas nos componentes de

transição (positivas no caso das bombas e negativa no caso dos outros componentes) ou no caso de

ocorrerem erros na análise dos valores introduzidos num mesmo nível isobárico, o programa gera um

relatório para o utilizador.

3.5.3.3 Temperatura/entalpia

No caso da temperatura, foi assumido que deveriam ser especificados dois valores mínimos

por nível de pressão. Esta opção não é definitiva, podendo o utilizador alterar este valor através de

uma variável destinada para esse efeito, no início do programa.

Caso não ocorram incidentes na verificação dos valores mínimos exigidos, o programa avança

para a verificação de diversas condições preestabelecidas para os vários componentes e também

procede à atribuição de aproximações iniciais, sempre que possível. A verificação e atribuição de

temperaturas nas ligações são efectuadas consoante o tipo de componente, sendo de seguida

apresentado de forma sucinta os procedimentos adoptados para os vários componentes.

42

Barriletes: Neste tipo de equipamento, o programa começa por fazer uma verificação dos

valores introduzidos na entrada principal, aquela que vem do circuito principal de água/vapor. Aqui é

exigido que a temperatura seja, no máximo, igual à temperatura de saturação para a pressão

correspondente. Caso o utilizador não tenha especificado um valor de temperatura para a entrada

principal do barrilete, o programa atribui como aproximação inicial a temperatura de saturação. Este

teste é necessário pois as caldeiras são dimensionadas para não ocorrer mudança de fase nos

componentes que precedem os barriletes no circuito principal, os economizadores. Quanto à saída

principal do barrilete, caso esta não tenha especificado um valor de temperatura ou título, o programa

impõe como valor fixo a temperatura de saturação e o título igual a um. O cálculo da recirculação nos

evaporadores não foi incluída pois requer o cálculo das perdas de carga como apresentado por

exemplo por Monteiro [18]. A influência no cálculo global é limitada, uma vez que se obtêm elevados

coeficientes de convecção no interior dos tubos. Quanto às saídas para os evaporadores o programa

impõe o título igual a zero (líquido saturado).

Caixas de derivação (split’s): Nas ligações deste tipo de componentes, é assumido que não

existem perdas de calor nos tubos, como tal assume-se que existe conservação da entalpia. O

programa não só faz a verificação como também define o valor de temperatura naquelas ligações que

não tenham valor especificado, desde que pelo menos uma delas tenha um valor atribuído.

Caixas de mistura (mix’s): Quando estamos perante este tipo de componentes, basicamente

o que o programa verifica é se foram respeitados os balanços de energia aquando da especificação

da temperatura por parte do utilizador. O programa também tem a capacidade de atribuir valores de

temperatura às ligações do mix, caso não estejam definidas e estejam reunidos os valores mínimos

para aplicar o balanço de energia.

Turbinas de Vapor: Uma das características das turbinas carregadas no ficheiro de entrada é

o rendimento isentrópico da turbina. Esta propriedade serve precisamente para, a partir da

temperatura de entrada, atribuir um valor de temperatura de saída. Basicamente, o programa recorre

à definição de rendimento isentrópico, que também é usada na definição da equação de resíduo das

turbinas, eq. (3.25). Este procedimento foi implementado porque em geral definem-se as condições de

entrada na turbina e assim pode-se calcular a temperatura/entalpia de saída da turbina de vapor.

Permutadores: Os permutadores que se encontram na caldeira de recuperação de calor têm

o objectivo de promover a transferência de calor entre os gases de escape, provenientes da turbina a

43

gás, e a água/vapor que circula no interior dos tubos. Como tal, uma das condições preestabelecidas

na verificação dos valores de temperatura à entrada e saída dos permutadores da caldeira é a

garantia de uma variação positiva de entalpia. Pelo contrário, no condensador o objectivo é promover

a condensação da mistura água/vapor proveniente da turbina de baixa pressão, como tal, é exigido

que os valores de temperatura especificados traduzam uma variação de entalpia negativa, e nunca o

contrário.

Nos permutadores, a atribuição de valores de temperatura como aproximações iniciais, é

semelhante ao procedimento adoptado no tratamento da pressão. Também aqui são percorridos os

circuitos de um determinado nível isobárico segundo o sentido das correntes. Assim que o programa

tenha dois valores de temperatura como referência, os valores de temperatura das ligações interiores,

caso existam, são interpolados. Mas desta feita a interpolação não é linear, mas sim ponderada pela

área dos permutadores intermédios. Para que o programa possa fazer este tipo de atribuição, é

necessário que o utilizador especifique a temperatura no início e no final de cada troço constituído

apenas por permutadores.

Válvulas: Nas válvulas, é considerada a situação em que apenas uma das temperaturas está

definida. Nestes casos, o programa atribui como aproximação inicial à ligação desconhecida, a

temperatura correspondente à entalpia conhecida com base na pressão.

Como aqui foi possível constatar, esta fase de verificação e atribuição de valores iniciais de

pressão, temperatura e caudal é algo complexa e naturalmente, foi a que consumiu mais tempo de

trabalho. Embora possa não parecer evidente, este progresso foi muito importante para a obtenção de

um programa versátil e ao mesmo tempo robusto, criando um relatório completo de erros quando não

se verificam a consistência dos valores especificados. Tendo em conta que nem sempre nos é

fornecida uma informação completa e criteriosa dos dados de funcionamento ou de projecto deste tipo

de caldeiras (situação verificada no caso de estudo desta tese), é importante realçar a capacidade do

programa conseguir especificar valores fisicamente consistentes. Obviamente que tal só é possível a

partir de um valor mínimo de informação.

Terminada a fase de verificação e atribuição de valores, apenas em caso de sucesso em

ambos os circuitos (gás e água/vapor) é que o programa irá prosseguir para a preparação da

informação necessária para determinar as incógnitas, a partir do método de Newton.

44

3.5.4 Criação da tabela de estados e constituição das incógnitas

Tal como já foi mencionado, caso não tenham ocorrido erros na verificação ou atribuição dos

valores das diversas variáveis envolvidas, o programa prossegue para a criação da tabela de estados.

Basicamente, a tabela de estados é uma matriz que relaciona as várias equações de resíduos com as

respectivas incógnitas. Esta tabela estabelece uma forte analogia com a matriz dos coeficientes de um

sistema de equações do tipo [ ]{ } { }A x b= , em que as colunas estão relacionadas com as variáveis

(xi) e cada linha corresponde a uma equação de resíduo. Efectivamente, a única diferença desta

tabela para a matriz [A] dos coeficientes é que esta, no lugar dos coeficientes, apenas aceita dois

valores – 0 ou 1. Estes valores indicam se uma determinada variável da coluna j, na equação da linha

i, está fixa ou é variável, respectivamente. Tal informação é importante para saber se a equação que

estamos a considerar é relevante para a resolução do sistema de equações ou se, por outro lado, é

redundante. Não nos interessa ter uma equação que só envolva variáveis que já são tidas como fixas.

A construção da tabela é efectuada linha a linha, para tal é necessário saber a dimensão das

colunas e a que propriedades estão associadas. As equações para cada tipo de componente

correspondem às equações de resíduos já definidas na secção 3.4.

O número de colunas da tabela, como já foi dito, está relacionado com as variáveis envolvidas

no sistema. Sendo assim, a dimensão das colunas está directamente relacionada com o número de

ligações e o número de componentes. As variáveis consideradas são de dois tipos:

entalpias/temperaturas ou troços de caudal. Como temos dois tipos de circuitos – gás e água/vapor –

temos que considerá-las para ambos. Consequentemente, o número de colunas será igual ao número

de ligações dos circuitos de gás e de água/vapor mais o número de troços de caudal dos dois

circuitos. Internamente, o programa tem a informação de qual a variável e o tipo de fluido a que

corresponde cada coluna.

A partir da informação anterior, o programa percorre todos os componentes para cada tipo de

fluido. Sabendo as equações que estão associadas a cada tipo de componente, avalia o estado das

propriedades (entalpias e caudais) que estão relacionadas com a equação que está a analisar e

verifica se está fixa ou é incógnita. Isto é, inicialmente o programa inicializa a linha a zeros e depois

percorre as várias colunas, se uma determinada variável não entra na linha/equação em análise,

então ficará a zero. Se por outro lado essa mesma variável fizer parte da equação e for incógnita

então o coeficiente será alterado para 1, caso contrário (valor fixo) permanecerá a 0. Assim,

propriedade a propriedade, o programa vai à coluna correspondente e indica o seu estado, 0 ou 1 –

fixo ou variável.

No final deste processo, só nos interessam as linhas da matriz que tenham coeficientes

diferentes de zero e as colunas que correspondam verdadeiramente a incógnitas (não tidas como

45

valores fixos). Sendo assim, o programa faz uma pesquisa pela matriz para eliminar as linhas e

colunas que não servem para a resolução do sistema de equações, simplificando e aumentando a

eficiência do método iterativo.

A partir daqui, pode dar-se início à resolução do método iterativo de Newton modificado, desde

que o número de equações seja igual ao número de incógnitas.

3.5.5 Resolução do sistema de equações

Na secção 3.2.2 foi efectuada uma descrição da metodologia do método iterativo que resolve o

sistema de equações não lineares. Contudo, nada foi adiantado quanto ao método que resolve as

equações obtidas após a linearização do sistema de equações não-lineares, a partir do

desenvolvimento das funções em séries de Taylor.

A partir do sistema de equações lineares do tipo [ ]{ } { }A x b= , é feita uma factorização

triangular [L][U] da matriz [A]. O método utilizado nesta factorização é o método de Crout [12], em que

a matriz [L] é triangular inferior e a matriz [U] é triangular superior de diagonal unitária. Uma vez obtida

a factorização [L][U], a determinação da solução passa pela resolução em sucessão de dois sistemas

triangulares: um inferior e outro superior, à custa de substituições descendentes e ascendentes,

respectivamente.

46

4 RESULTADOS

Nesta secção iremos apresentar os vários casos em que testámos o programa desenvolvido

nesta tese. O principal objectivo dos casos aqui apresentados era verificar a capacidade do programa

em aceder à base de dados e, a partir da informação recolhida, criar e resolver um sistema de

equações constituído por algumas das equações de resíduos definidas na secção 3.4. As secções 4.1

a 4.4 são apresentadas para validar o modelo perante várias situações, verificando a consistência das

equações de resíduos adoptadas, a convergência e a robustez do método iterativo implementado. Na

secção 4.5 será efectuado um estudo à sensibilidade do tempo de cálculo e do número de iterações

com o intervalo de iterações entre o qual se actualiza a matriz das derivadas (iupdt). A secção 4.6 está

reservada à análise uma mais fina dos resultados, onde se procedeu a algumas alterações ao código

fonte, comparando os valores obtidos com os dados especificados no documento de projecto da

caldeira [11], que foram transcritos para o Anexo A.5.

Ao longo deste capítulo serão feitas referências aos índices das ligações e dos componentes

dos circuitos dos gases de escape e de água/vapor. Para um melhor acompanhamento da

apresentação e discussão dos resultados, a sua leitura deverá ser acompanhada da consulta dos

anexos A.1 e A.2, sempre que necessário.

Tal como já foi referido na secção 2.2.3, apenas tínhamos dados detalhados dos circuitos de

água e de gás para um regime de carga a 100%, como tal, todos os testes efectuados foram em

condições de carga máxima. Nos dados de projecto, as injecções que efectuam o controlo de

temperatura à entrada das turbinas de alta e média pressão encontram-se fechadas. Como tal, em

todos os testes simulados com o algoritmo criado também se decidiu manter as injecções fechadas.

Sendo assim, as ligações do circuito de água/vapor número 36, 52, 53, 54, 21 e 32 estarão sempre

com o caudal fixo e igual a zero, não sendo consideradas em nenhum dos sistemas testados.

4.1 Caso 1.A e Caso 1.B

4.1.1 Descrição

Os primeiros testes efectuados com o algoritmo criado tinham como objectivo testar o método

numa situação simplificada, em que apenas iríamos libertar como incógnitas as temperaturas do

circuito dos gases de escape, à excepção da temperatura à entrada do Sobreaquecedor de AP 4,

componente número 2 do circuito de gás (Anexo A.2). Às restantes propriedades dos gases e do

47

circuito de água/vapor seriam especificados valores fixos, usando para tal a informação de projecto

que nos foi facultada para a carga de 100%.

O princípio de constituição do sistema de equações tem como premissa a associação das

incógnitas, que correspondem a propriedades de ligações, a equações que são fornecidas pelos

componentes a montante dessas ligações. Seguindo esta filosofia, foram testadas neste caso as

equações de resíduos “P1” dos permutadores (3.13), “S1” dos “split’s” (3.19) e “M2” dos “mix’s” (3.18).

As primeiras são utilizadas para calcular as temperaturas dos gases nas ligações a montante dos

permutadores, enquanto que as segundas servem para calcular as temperaturas aquando da

divergência do circuito principal para os circuitos paralelos dos gases de escape (ligações nº 15 e 16).

Quanto à equação dos mix’s, esta serve para calcular a temperatura dos gases de escape na ligação

nº 21, após a reunião das correntes paralelas no componente nº 20. Fazendo as contas com recurso

ao diagrama do circuito dos gases de escape (Anexo A.2) verificamos que o sistema terá 22

incógnitas, que correspondem a 22 entalpias/temperaturas de gás, e 22 equações, constituídas por 19

equações “P1”, 2 equações “S1” e 1 equação “M1”.

Para verificar a capacidade do programa atribuir estimativas iniciais às incógnitas, foram

testados dois casos. Num deles, o Caso 1.A colocou-se manualmente as estimativas iniciais, com

valores próximos da solução final, no outro, o Caso 1.B, deixou-se o programa atribuir

automaticamente os valores iniciais de temperatura dos gases de escape ao longo da caldeira. Para

que a inicialização automática das variáveis fosse bem sucedida, foi necessário cumprir os requisitos

mínimos da especificação manual de valores, procedimento já explicado na secção 3.5.3.

4.1.2 Propriedades das ligações

Assim que o programa termina o processo iterativo, são escritos vários ficheiros de saída com

informações sobre as propriedades das ligações e dos permutadores. Nesta secção apresentamos

alguma da informação recolhida desses ficheiros de saída, nomeadamente informação sobre as

variáveis que queríamos calcular: as temperaturas do circuito dos gases de escape.

Na próxima tabela são apresentados os valores das estimativas iniciais adoptadas e os

valores finais das incógnitas após o processo iterativo, para os casos 1.A e 1.B.

48

Tabela 4.1 - Resultados das temperaturas para os casos 1.A e 1.B.

Temperatura

[ºC] Caso 1.A Caso 1.B

Lig. Fluido Estimativa inicial Valor final Estimativa

inicial Valor final

2 Gás 584,000 584,739 584,987 584,739 3 Gás 565,400 565,360 574,812 565,360 4 Gás 551,000 550,988 562,335 550,988 5 Gás 525,000 525,012 551,397 525,012 6 Gás 494,900 494,886 528,954 494,886 7 Gás 463,200 463,179 518,016 463,179 8 Gás 355,300 355,299 431,545 355,300 9 Gás 350,000 350,008 423,138 350,008 10 Gás 346,900 346,930 408,279 346,930 11 Gás 296,900 296,874 330,573 296,874 12 Gás 259,900 259,878 268,746 259,878 13 Gás 248,100 248,116 245,886 248,116 14 Gás 244,900 244,869 234,900 244,869 15 Gás 244,900 244,869 234,900 244,869 16 Gás 244,900 244,869 234,900 244,869 17 Gás 221,200 221,160 205,167 221,160 18 Gás 237,400 237,353 206,967 237,353 19 Gás 201,500 201,474 190,300 201,474 20 Gás 219,000 218,989 193,000 218,989 21 Gás 213,200 213,165 192,101 213,165 22 Gás 177,300 177,260 155,579 177,244 23 Gás 113,300 113,284 87,100 113,268

Uma primeira análise que se pode fazer a esta tabela é identificar precisamente a diferença do

Caso 1.A para o Caso 1.B. Tal como já tinha sido dito anteriormente, as aproximações iniciais

atribuídas manualmente no Caso 1.A são muito próximas dos valores finais. Para que se tenha uma

ideia, o maior afastamento da solução para o valor inicial ocorre na ligação 23, onde a diferença é de

0,15%. Já no Caso 1.B, onde o programa fez uma atribuição inicial de valores automática, a diferença

dos valores finais da solução para as aproximações iniciais é maior, mas mesmo assim muito boa,

pois o afastamento médio das temperaturas é de 5,4%. Outro resultado que também seria de esperar

é o facto de, quer para o Caso 1.A quer para o Caso 1.B, o método ter convergido para soluções

idênticas em todas as ligações.

49

4.1.3 Variação dos erros

Uma análise que não podia deixar de ser feita era à evolução dos parâmetros Ex e Ef, que

representam o erro associado às variáveis (através dos incrementos que são dados às variáveis) e o

erro associado aos resíduos, respectivamente. No fundo, são estes dois parâmetros que nos dão a

indicação da convergência do método de Newton e condicionam o número total de iterações, pois é

através deles que se define os critérios de paragem do processo iterativo, eqs. (3.7) e (3.8).

O facto da ordem de convergência do método de Newton ser supralinear e sob determinadas

condições chegar a ser quadrática [12], faz com que os erros tenham uma diminuição abrupta, pelo

que se teve de usar uma escala logarítmica para representar as evoluções de forma legível. As

próximas figuras ilustram a variação destas duas propriedades.

Variação do erro das variáveis

1,0E-031,0E-021,0E-011,0E+001,0E+011,0E+021,0E+03

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Iteração

E x

Caso 1.BCaso 1.A

Figura 4.1 - Variação do erro de x ao longo do método de Newton para os

casos 1.A e 1.B.

O gráfico acima representado permite confirmar o que já antes tinha sido referido acerca das

aproximações iniciais das variáveis. No caso 1.A, o facto de termos inicializado as variáveis com

valores muito próximos da solução final reflecte-se tanto no valor inicial do erro (Ex = 5,66), que é

substancialmente inferior ao do Caso 1.B (Ex = 671,5).

50

Variação do erro dos resíduos

1,0E-06

1,0E-04

1,0E-02

1,0E+00

1,0E+02

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Iteração

E fCaso 1.BCaso 1.A

Figura 4.2 - Variação dos resíduos ao longo do método de Newton para os

casos 1.A e 1.B.

Na Figura 4.2 é possível observar a evolução do valor dos resíduos ao longo do método

iterativo. Também aqui está evidenciado, embora de forma menos evidente, a vantagem que a

inicialização manual leva sobre a inicialização automática na iteração zero, que dá origem a que no

Caso 1.A se atinja o critério de paragem mais cedo do que no Caso 1.B. Outra ressalva que se pode

fazer é o facto de, em ambos, o critério de paragem que se atingiu ter sido o que está relacionado com

os resíduos Ef. Os valores finais atingidos foram de 3,09E-05 para o Caso 1.A e de 9,91E-06 para o

Caso 1.B, que são inferiores à tolerância tolf admitida (1,0E-04).

4.1.4 Aproximação de temperatura

Na secção 2.1.2 foi apresentada a definição dos parâmetros de projecto de caldeiras de

recuperação de calor “Pinch Point” e “Approach Point”. Aproveitando os testes efectuados, achou-se

por bem apresentar uma representação gráfica da variação de temperatura dos circuitos dos gases e

de água/vapor da caldeira.

51

Variação de temperatura

0

200

400

600

0,0E+00 1,0E+05 2,0E+05 3,0E+05 4,0E+05Potência acumulada [kW]

Tem

pera

tura

[ºC

]

Gas

AP

MP

BP

Figura 4.3 - Variação da temperatura dos circuitos de água e de gás ao longo

dos permutadores da caldeira.

A figura anterior permite confirmar a existência dos parâmetros já mencionados anteriormente.

É possível verificar em todos os evaporadores (troços isotérmicos) uma pequena desfasagem da

temperatura de entrada da água em relação ao valor correspondente dos gases de escape – “Pinch

Point”. Por outro lado, também é possível observar a diferença entre as temperaturas à saída dos

economizadores e à entrada dos respectivos evaporadores – “Approach Point”.

4.2 Caso 2

Tendo já verificado a convergência do método perante o caso em que o circuito dos gases de

escape é desconhecido decidiu-se aumentar o número de incógnitas, alargando o estudo ao circuito

de água/vapor.

4.2.1 Descrição

Nos casos anteriores apenas tínhamos testado as equações de resíduo “P1”, “S1” e “M2”.

Neste teste vamos ter a oportunidade de verificar a convergência do método perante outras equações

de resíduos. Para além das equações já testadas iremos verificar a convergência do método utilizando

as outras equações dos permutadores – “P2” eq. (3.15) e as equações dos barriletes “B1” eq. (3.22).

De forma a aumentar o grau de complexidade de forma gradual, apenas se irá alargar o

estudo ao circuito de água/vapor de alta pressão, circuito representado a vermelho no diagrama

esquemático do Anexo A.1. As equações “P1”, “S1” e “M2” continuarão a ser utilizadas para o cálculo

52

do circuito de gás enquanto que as equações “P2” servirão para calcular as temperaturas das ligações

da água do circuito de alta pressão, que serão colocadas como incógnitas. Para que continuássemos

com sistemas determinados, era necessário fixar os valores dos coeficientes globais de transmissão

de calor (U) dos permutadores nos quais soltou-se as temperaturas de água. Os valores dos

coeficientes globais de transmissão de calor são calculados explicitamente pelo programa após a

resolução do sistema de equações, através da equação de transferência de calor. Assim, os valores

de U aqui impostos são os que foram obtidos no Caso 1.B. Nos evaporadores não será efectuado o

cálculo de “P2” porque o programa está preparado de forma a impor a temperatura de saturação à

entrada e saída deste como condição de projecto, não aceitando outros valores senão estes. Quanto

às equações dos barriletes, estas servirão para calcular os caudais de recirculação dos barriletes.

Este cálculo refere-se apenas ao caudal que é evaporado, independentemente de parte do caudal que

circula no evaporador não vaporizar.

Neste caso, ficamos com um sistema de equações que é constituído por variáveis de três

tipos: entalpias/temperaturas de gás, entalpias/temperaturas de água e troços de caudais de água. No

total são 38 incógnitas que serão obtidas através de 19 equações “P1”, 10 equações “P2”, 4 equações

“S1”, 2 equações “M1” e 3 equações “B1”.

No que diz respeito à especificação de valores iniciais, foram seguidos exactamente os

mesmos critérios e valores utilizados no Caso 1.B.


Seguindo a lógica de apresentação de resultados seguida nas secções anteriores,

começamos por apresentar os valores das incógnitas obtidos após o método iterativo. Os primeiros

resultados a serem apresentados neste caso são os valores de temperatura obtidos para as ligações

de água do circuito de alta pressão, na Tabela 4.2.

53

Tabela 4.2 - Resultados das temperaturas do circuito de água/vapor para o Caso 2.

Temperatura

[ºC]

Lig. Fluido Estimativa inicial Valor final

8 Água 160,000 220,539 40 Água 150,667 188,671 41 Água 160,000 200,936 42 Água 191,688 227,188 43 Água 299,403 325,357 44 Água 320,000 329,946 48 Água 397,135 392,043 49 Água 460,000 475,086 50 Água 460,000 474,626 51 Água 512,499 530,136 55 Água 550,000 567,189 56 Água 550,000 567,189 58 Água 160,000 189,980

De forma a não facilitar a tarefa do método de Newton, as aproximações iniciais atribuídas às

temperaturas do circuito de alta pressão da água, foram afastadas da solução final. Em média, o

afastamento da aproximação inicial da temperatura em relação ao valor da solução foi de 25,2 ºC,

tendo-se verificado um afastamento máximo de 60,5 ºC na ligação 8. Assim, fica mais uma vez

demonstrada a capacidade do método convergir, mesmo quando as aproximações iniciais não são

próximas do valor exacto. Deve também ser salientado o facto de alguns dos valores iniciais

atribuídos às variáveis do circuito de água/vapor terem sido especificados pelo programa, à

semelhança do que foi feito para o circuito de gás, a saber: as ligações 8, 40, 41, 42, 43, 48 e 51.

Como já foi mencionado, os valores das temperaturas de água que se tomaram como fixas

foram iguais aos utilizados no Caso 1.B e os valores dos coeficientes U dos permutadores, nos quais

se recorreu à equação “P2”, foram aqueles se obteve nos resultados do caso antecessor. Sendo

assim, seria de esperar uma convergência do método para os mesmos valores temperatura de gás

que se verificaram nos resultados do Caso 1.B, e também que os valores de temperatura das ligações

de água libertadas fossem iguais aos valores fixados no caso anterior. A Tabela 4.3 evidencia a

primeira constatação enquanto que a verificação da igualdade das temperaturas de água é

apresentada na Tabela 4.4.

54

Tabela 4.3 - Comparação das temperaturas do circuito de gás obtidas no Caso 1.B com o Caso 2.

Temperatura [ºC]

Lig. Fluido Valor final Caso 1.B

Valor final Caso 2

Erro absoluto

2 Gás 584,739 584,701 0,038 3 Gás 565,360 565,322 0,038 4 Gás 550,988 550,861 0,127 5 Gás 525,012 524,893 0,119 6 Gás 494,886 494,767 0,119 7 Gás 463,179 463,081 0,098 8 Gás 355,300 355,088 0,211 9 Gás 350,008 349,797 0,211 10 Gás 346,930 346,727 0,203 11 Gás 296,874 296,768 0,105 12 Gás 259,878 259,772 0,106 13 Gás 248,116 248,046 0,070 14 Gás 244,869 244,799 0,070 15 Gás 244,869 244,799 0,070 16 Gás 244,869 244,799 0,070 17 Gás 221,160 221,090 0,070 18 Gás 237,353 237,287 0,066 19 Gás 201,474 201,424 0,050 20 Gás 218,989 218,938 0,051 21 Gás 213,165 213,114 0,051 22 Gás 177,244 177,193 0,051 23 Gás 113,268 113,216 0,052

Confirmando as expectativas, para além do método ter convergido para uma solução do

sistema de equações, os valores da temperatura dos gases de escape ao longo da caldeira foram

praticamente iguais aos valores obtidos no Caso 1.B. Efectivamente, a maior diferença verificada não

chega a atingir os 0,07% da temperatura fixada anteriormente.

55

Tabela 4.4 - Comparação das temperaturas da água obtidas no Caso 2 com os valores que foram fixados no Caso 1.B.

Temperatura

[ºC]

Lig. Fluido Valor fixo Caso 1.B

Valor final Caso 2 Erro absoluto

8 Água 220,600 220,539 0,061 40 Água 188,700 188,671 0,029 42 Água 227,200 227,188 0,012 43 Água 325,500 325,357 0,143 44 Água 330,100 329,946 0,154 48 Água 392,100 392,043 0,057 49 Água 475,200 475,086 0,114 51 Água 530,400 530,136 0,264 55 Água 567,300 567,189 0,111 58 Água 190,000 189,980 0,020

Como se pode verificar pelos valores apresentados na Tabela 4.4, o erro absoluto associado

às temperaturas do circuito de água, obtidas por utilização da equação “P2”, não chega a ultrapassar

os 0,270ºC em nenhuma ligação. O desvio relativo dos dois resultados tem um valor médio de

0,026%.

Outra das novidades introduzidas neste teste foi a libertação de troços de caudal como

incógnitas. Os valores tomados como estimativas iniciais e respectivas soluções após o processo

iterativo estão representados na tabela seguinte.

Tabela 4.5 - Resultados dos caudais para o Caso 2.

Caudal mássico

[kg/s] Troço Fluido Valor inicial Valor Final

12 Água 10,000 12,485 13 Água 20,000 15,786 14 Água 80,000 76,773

Também neste tipo de variáveis seguiu-se a lógica de atribuir valores iniciais afastados da

solução final. A correspondência entre os troços e as respectivas ligações pode ser consultada no

Anexo A.4.

56


Nesta secção é feita uma apresentação sobre a convergência do método de Newton verificada

na resolução do Caso 2. A análise é efectuada através da observação dos erros associados às

variáveis (Ex) e dos erros associados aos resíduos (Ef), verificados em cada iteração. Observemos

então a Figura 4.4.

Variação dos erros ao longo do método de Newton

1,0E-061,0E-051,0E-041,0E-031,0E-021,0E-011,0E+001,0E+011,0E+02

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Iteração

E f

1,0E-041,0E-031,0E-021,0E-011,0E+001,0E+011,0E+021,0E+031,0E+04

E x

Erro dosresíduos

Erro X

Figura 4.4 - Variação dos erros dos resíduos e das variáveis ao longo do

método de Newton, para o Caso 2.

O primeiro comentário que se pode fazer à figura anterior é assinalar a diferença do número

total de iterações verificada neste caso, 14, em relação aos Casos 1.A e 1.B, onde o número total não

excedeu as 3 iterações. Esta diferença está relacionada com vários aspectos, entre eles podemos

destacar os seguintes:

No Caso 2 temos um sistema mais complexo, com um maior número de incógnitas, 38, contra

as 22 verificadas nos primeiros casos;

Ao contrário do que sucedia nos testes anteriores, no Caso 2 temos três tipos de variáveis

diferentes: entalpias/temperaturas de gás, entalpias/temperaturas de água e troços de caudal;

A tabela de estados de um caso e de outro são diferentes, sendo que a tabela de estados dos

casos 1.A e 1.B é uma matriz menos esparsa.

No gráfico da anterior podemos verificar alguma irregularidade na evolução dos erros, com

destaque para a variação do erro Ex, que neste caso não apresenta uma evolução monótona

decrescente como a verificada nos casos anteriores para ambos os erros, chegando mesmo a

aumentar o seu valor em algumas iterações (4, 8 e 12).

57

Tal como já se tinha verificado nos casos anteriores, o critério de paragem atingido foi o que

está relacionado com o Ef. Os valores finais dos erros são de 5,55E-04 para o Ex e de 2,28E-06 para o

Ef. Este comportamento não é de estranhar tendo em conta que o erro dos resíduos na iteração 0 (Ef

= 49,5), estava bem mais próximo da tolf do que o erro das variáveis (Ex = 1047,7) estava da tolx.

4.3 Caso 3

Na sequência dos testes anteriores, pretendeu-se aumentar o grau de complexidade do

sistema de equações a resolver. O objectivo era aumentar a dimensão do sistema, a partir da

colocação de mais temperaturas do circuito de água como incógnitas, recorrendo a algumas das

equações de resíduos já testadas mas também introduzindo novas equações para obter a solução do

sistema.

4.3.1 Descrição

Neste teste, para além das incógnitas que tínhamos no caso anterior, foram libertadas mais

temperaturas/entalpias de água que antes tinham sido mantidas fixas. Assim, para além do cálculo

dos perfis de temperaturas dos gases de escape e do circuito de alta pressão da água, resolvemos

testar o algoritmo com as temperaturas/entalpias do circuito de média pressão da água/vapor

(conjunto de ligações a azul no diagrama esquemático da caldeira, Anexo A.1) como incógnitas. À

semelhança do Caso 2, também aqui foi mantido o cálculo dos caudais das ligações secundárias dos

barriletes. O facto de termos libertado o circuito de média pressão permitiu verificar o comportamento

do método perante um maior número de incógnitas e testar uma equação que ainda não tinha sido

utilizada: a equação de resíduo definida para as turbinas – “T1”.

Nestas circunstâncias, o sistema de equações final é um sistema 47X47, composto por 19

equações “P1”, 13 equações “P2”, 7 equações “M2”, 2 equações “S1”, 3 equações “B1” e 3 equações

“T1”.


Na tabela seguinte são apresentados os valores das temperaturas dos gases de escape ao

longo da caldeira de recuperação de calor. Os valores iniciais atribuídos a estas propriedades

continuam a ser os mesmos aplicados nos casos anteriores. Assim, como seria de esperar, os

58

resultados obtidos após a convergência do método são idênticos aos verificados nos dois casos

anteriores.

Tabela 4.6 - Resultados das temperaturas do circuito de gás para o Caso 3.

Temperatura

[ºC]


2 Gás 584,987 584,700 3 Gás 574,812 565,310 4 Gás 562,335 550,851 5 Gás 551,397 524,886 6 Gás 528,954 494,776 7 Gás 518,016 463,089 8 Gás 431,545 355,115 9 Gás 423,138 349,831

10 Gás 408,279 346,760 11 Gás 330,573 296,792 12 Gás 268,746 259,796 13 Gás 245,886 248,068 14 Gás 234,900 244,821 15 Gás 234,900 244,821 16 Gás 234,900 244,821 17 Gás 205,167 221,112 18 Gás 206,967 237,308 19 Gás 190,300 201,440 20 Gás 193,000 218,954 21 Gás 192,101 213,131 22 Gás 155,579 177,209 23 Gás 87,100 113,233

Na Tabela 4.7 podemos ver os resultados finais das temperaturas das ligações dos circuitos

de alta e média pressão. Apesar das ligações 12, 13 e 14 não pertencerem aos circuitos de alta ou

média pressão, estas tiveram que ser impostas como desconhecidas para que o sistema final de

equações fosse determinado.

59


Temperatura

[ºC]


8 Água 180,000 220,556 12 Água 230,000 257,985 13 Água 230,584 255,160 14 Água 50,000 32,875 27 Água 320,000 331,543 28 Água 350,000 364,491 29 Água 340,000 358,670 30 Água 450,000 474,102 31 Água 520,000 550,444 33 Água 520,000 550,403 40 Água 157,333 188,683 41 Água 180,000 200,948 42 Água 207,727 227,205 43 Água 301,977 325,384 44 Água 320,000 329,972 48 Água 397,135 392,048 49 Água 460,000 475,084 50 Água 460,000 474,623 51 Água 512,499 530,128 55 Água 550,000 567,185 56 Água 550,000 567,185 58 Água 180,000 189,990

Seguindo o mesmo critério dos casos anteriores, para não simplificar demasiado o problema,

as aproximações iniciais dadas às variáveis não são próximas do valor exacto. Efectivamente, os

valores iniciais atribuídos às temperaturas estão em média a cerca de 19,6 ºC do valor final, sendo

que na ligação 8 o afastamento atingiu um máximo de 40,6 ºC.

Tal como foi efectuado no Caso 2, para além da inicialização automática das variáveis do

circuito de gás, também alguns dos valores iniciais de temperaturas/entalpias do circuito de alta e

média pressão da água foram especificados pelo programa, nomeadamente nas ligações 8, 13, 29,

40, 41, 42, 43, 48 e 51.

60

Tabela 4.8 - Comparação das temperaturas da água obtidas no Caso 3 com os valores que foram fixados no Caso1.B.

Temperatura

[ºC]



8 Água 220,600 220,556 0,044 27 Água 331,700 331,543 0,157 30 Água 474,200 474,102 0,098 31 Água 550,500 550,444 0,056 40 Água 188,700 188,683 0,017 42 Água 227,200 227,205 0,005 43 Água 325,500 325,384 0,116 44 Água 330,100 329,972 0,128 48 Água 392,100 392,048 0,052 49 Água 475,200 475,084 0,116 51 Água 530,400 530,128 0,272 55 Água 567,300 567,185 0,115 58 Água 190,000 189,990 0,010

Como se pode aferir pela tabela anterior, também neste caso as temperaturas de água obtidas

pelo método de Newton a partir da equação “P2” não se afastam muito das que foram fixadas no Caso

1.B. Neste caso o erro absoluto é sempre inferior a 0,300ºC.

Os resultados dos caudais de recirculação dos barriletes estão representados na tabela

seguinte.


Caudal mássico


12 Água 10,000 12,485 13 Água 20,000 15,786 14 Água 80,000 76,839

Comparando estes resultados com os obtidos no caso anterior verificamos que o programa

converge para a mesma solução, apenas sendo ligeiramente diferente (ao nível da primeira casa

decimal) o valor do troço 14, que representa o caudal de recirculação do barrilete de alta pressão.

61


Tal como tem sido feito nos casos predecessores, iremos verificar a evolução dos erros que

marcam o passo do método de Newton, pois são eles que indicam a proximidade ou o afastamento da

solução final do sistema de equações.


1,0E-07

1,0E-05

1,0E-03

1,0E-01

1,0E+01

1,0E+03

0 2 4 6 8 10 12

Iteração

E f

1,0E-041,0E-031,0E-021,0E-011,0E+001,0E+011,0E+021,0E+031,0E+04

E x

Erro dosresíduosErro X



A Figura 4.5 revela um pormenor curioso, que tem a ver com o número total de iterações

Apesar de o sistema de equações neste caso ter mais nove incógnitas/equações do que o sistema

testado no Caso 2, e o facto de termos usado os mesmo critérios na definição dos valores iniciais,

levanta a questão intrigante de perceber o porquê de o número de iterações ter passado de 14 para

10. Não existe nenhuma explicação aparente para este facto, mas arriscamos a lançar uma

justificação para este comportamento. O facto de termos dado maior liberdade ao sistema, libertando

o circuito de média pressão, e a introdução da equação de resíduo das turbinas permitiu que o

programa pudesse ajustar todas as variáveis de uma forma mais homogénea. Ao contrário do que

acontecia no Caso 2.

Outra observação que se pode fazer ao gráfico da figura anterior é o facto de mais uma vez,

ter sido o erro dos resíduos que provocou a paragem do método iterativo, com um valor final de Ef =

6,18E-07 contra um valor de Ex = 1,21E-04.

62

4.4 Caso 4

Chegámos ao último dos testes numéricos efectuados com o algoritmo criado. Seguindo a

linha de orientação dos restantes casos, aumentou-se o número de incógnitas do sistema de

equações à custa do circuito de água/vapor e introduziu-se equações de resíduos ainda não testadas.

4.4.1 Descrição

Neste último caso, levou-se ao limite a possibilidade de explorar a capacidade do programa no

que diz respeito ao cálculo de temperaturas para a instalação considerada. Foram libertadas como

incógnitas todas as temperaturas de gás e as do circuito de água/vapor de alta, média e baixa

pressão. As únicas ligações de água nas quais se mantiveram os valores de temperatura fixos foram

as dos evaporadores (ligações 7, 9, 24, 25, 45 e 46), as saídas principais dos barriletes (ligações 10,

26 e 47) e a temperatura à saída do condensador (ligação 15), por serem condições de projecto.

A libertação do circuito de baixa pressão implicou que o programa recorresse à utilização de

equações de resíduo que ainda não tinham sido testadas, nomeadamente as equações “V1” das

válvulas e as equações “pump1” das bombas. Este teste é interessante para verificar a capacidade do

método lidar com vários tipos de variáveis e equações, num sistema de dimensão já relativamente

grande. O sistema final de equações aqui testado é constituído por 67 equações e 67 incógnitas. São

19 equações “P1”, 16 “P2”, 8 “M2”, 11 “S1”, 3 “B1”, 4 “V1”, 3 “pump1” e 3 equações “T1”.

Os resultados obtidos neste caso podem-se considerar satisfatórios, pois o programa

convergiu para uma solução realista, o que prova que todas as equações de resíduo criadas foram

bem constituídas. Apesar de tudo, o método de Newton apenas convergiu para uma solução quando

se fez a actualização da matriz das derivadas em todas as iterações, ou seja, com iupdt = 1.


Os resultados apresentados na tabela seguinte dizem respeito às temperaturas do circuito de

água vapor, onde se podem observar os valores finais da temperatura obtidos após o método iterativo

e os valores tomados como aproximação inicial. Também neste caso foi dada ao programa a

liberdade de atribuir as estimativas iniciais de temperatura em todas as ligações. Apenas foram

atribuídos manualmente os valores mínimos para que o programa pudesse aplicar as técnicas de

atribuição automática implementadas. Das temperaturas tidas como incógnitas (42), apenas foram

especificados manualmente os valores iniciais em 16 ligações, o que representa 38% do número total

63

de variáveis. Estes são dados que espelham a versatilidade e robustez do programa no que diz

respeito à leitura e atribuição de variáveis, facilitando o trabalho do utilizador desde que este entenda

os requisitos mínimos de atribuição de valores (secção 3.5.3).

Mais uma vez, os dados foram organizados para que as aproximações iniciais não estivessem

muito próximo da solução final. Em média, o afastamento das temperaturas iniciais do circuito de água

foi de 32,9 ºC, sendo que o valor mais afastado foi atribuído na ligação 2, a uma distância de 156,5 ºC

da raiz.


Temperatura [ºC]

Lig. Estimativa inicial Valor final Lig. Estimativa

inicial Valor final

1 33,000 32,970 30 440,000 474,097 2 300,070 143,597 31 500,000 550,442 3 80,000 52,592 33 500,000 550,401 4 110,000 142,719 34 110,000 142,719 5 110,000 142,719 35 110,000 144,230 6 110,000 142,975 37 110,000 144,230 8 180,000 219,985 38 110,000 144,677 11 190,000 234,415 39 110,000 144,697 12 190,000 257,984 40 133,333 187,817 13 190,000 255,112 41 180,000 200,185 14 50,000 32,875 42 210,565 226,666 16 110,000 142,719 43 314,461 325,265 17 110,000 143,079 44 334,328 329,868 18 110,000 143,079 48 392,135 392,046 19 110,000 143,079 49 450,000 475,082 20 200,000 229,977 50 450,000 474,622 22 200,000 229,977 51 502,499 530,127 23 238,512 230,065 55 540,000 567,185 27 300,000 331,481 56 540,000 567,185 28 341,469 364,490 57 110,000 144,697 29 334,354 358,659 58 180,000 189,119

Como já foi dito, as temperaturas que foram calculadas a partir da equação “P2” deveriam ser

iguais às que tinham sido impostas no Caso 1.B. Isto porque os valores do coeficiente global de

transmissão de calor que faz parte da equação “P2” e que aqui foram impostos como fixos, foram os

valores obtidos no Caso 1.B. À semelhança do que tinha sido efectuado nos casos 2 e 3, também aqui

é exposta a diferença entre as temperaturas calculadas com o recurso à equação “P2” e o valor fixado

no Caso 1.B.

64

Tabela 4.11 - Comparação das temperaturas da água obtidas no Caso 4 com os

valores que foram fixados no Caso1.B.

Temperatura

[ºC]



4 Água 143,900 142,719 1,181 8 Água 220,600 219,985 0,615 11 Água 234,800 234,415 0,385 20 Água 230,500 229,977 0,523 27 Água 331,700 331,481 0,219 30 Água 474,200 474,097 0,103 31 Água 550,500 550,442 0,058 40 Água 188,700 187,817 0,883 42 Água 227,200 226,666 0,534 43 Água 325,500 325,265 0,235 44 Água 330,100 329,868 0,232 48 Água 392,100 392,046 0,054 49 Água 475,200 475,082 0,118 51 Água 530,400 530,127 0,273 55 Água 567,300 567,185 0,115 58 Água 190,000 189,119 0,881

A tabela anterior revela que os valores finais das temperaturas obtidos através da segunda

equação dos permutadores são praticamente iguais aos que foram impostos no Caso 1.B. De

qualquer maneira, estes resultados foram os que mais se afastaram dos valores impostos no primeiro

caso. Enquanto que nos casos 2 e 3 as diferenças entre as temperaturas não nunca foi superior a

0,300ºC (Tabela 4.4 e Tabela 4.8), neste caso em particular a diferença de valores chegou a atingir

1,181ºC na ligação 4. Este resultado pressupõe que poderão existir algumas inconsistências nos

valores de projecto, como será analisado com maior detalhe na secção 4.6.1.

Tendo em conta que o objectivo deste teste era criar um sistema com o maior número de

incógnitas possíveis, também aqui foram calculados os caudais que circulam nos evaporadores dos

sistemas de alta, média e baixa pressão. Os resultados obtidos foram semelhantes aos que se obteve

nos casos anteriores, estando representados na tabela seguinte.

65


Caudal mássico


12 Água 10,000 12,517 13 Água 20,000 15,807 14 Água 80,000 76,889


Finalmente chegamos à análise dos erros do caso mais complexo testado com o algoritmo

criado. Na Figura 4.6 é possível verificar a convergência do método para o sistema 67X67, que

terminou ao fim de 5 iterações. O critério de paragem atingido foi novamente o que está relacionado

com o erro dos resíduos, dado pela expressão 3.7, com um valor final de Ef = 7,61E-06, enquanto que

o erro associado às variáveis ficou com um valor final de Ex = 6,9E-03.


1,0E-06

1,0E-04

1,0E-02

1,0E+00

1,0E+02

1,0E+04

0 2 4 6

Iteração

E f

1,0E-031,0E-021,0E-011,0E+001,0E+011,0E+021,0E+031,0E+04

E x

Erro dosresíduos

Erro X



Apesar deste resultado positivo, devemos salientar mais uma vez que o método apenas

convergiu quando se impôs a actualização da matriz das derivadas em todas as iterações (iupdt = 1),

o que também justifica um número total de iterações bastante inferior aos registados nos casos 2 e 3,

com 14 e 10, respectivamente. Este resultado pode ser devido ao facto de o sistema ter mais graus de

liberdade e conseguir obter um gradiente para a solução final com menos iterações.

66

4.5 Análise de sensibilidade ao parâmetro iupdt

Como já foi mencionado na secção 3.2.4, uma das modificações ao método de Newton

consistia em actualizar a matriz das derivadas não em todas as iterações mas apenas num intervalo

de iterações predefinido pelo utilizador, através do parâmetro iupdt.

Nesta secção é realizada uma análise à sensibilidade do número total de iterações e do tempo

de cálculo do programa à variação deste parâmetro. A próxima figura ilustra a variação do tempo de

processamento do computador, ao longo do decorrer do programa, com o parâmetro iupdt para os

vários casos testados. Os testes foram efectuados num computador com um processador Intel

Centrino de 1,73MHz, com 1 GB de memória RAM suportados numa plataforma Windows XP – SP2.

Variação do tempo de cálculo com o iupdt

7,0

8,0

9,0

10,0

11,0

12,0

0 1 2 3 4 5

iupdt

Tem

po [s

]

Caso 1.BCaso 1.ACaso 2Caso 3Caso 4

Figura 4.7 - Variação do tempo de cálculo do programa com o parâmetro

iupdt.

Antes de mais nada, uma primeira ilação que podemos tirar da figura é a relativa rapidez com

que o programa executa os cálculos, ao contrário das perspectivas mais pessimistas por se estar a

usar uma folha de cálculo do Excel como base de dados. Tendo em conta a complexidade do

algoritmo, entende-se que o facto de o programa não exceder, em nenhum dos casos, os 12

segundos, representa uma excelente performance.

Quanto à variação do tempo de cálculo com o intervalo de iterações entre o qual se actualiza a

matriz das derivadas, a análise do gráfico anterior é inconclusivo quanto à existência de um intervalo

de actualização óptimo. Nos vários casos testados, obtiveram-se tempos de processamento mínimos

com intervalos diferentes. Nos casos 1.A e 1.B a variação do tempo de processamento com o iupdt é

tão ténue (as diferenças não chegam a atingir os 0,3 segundos) que não faz sentido este tipo de

análise. Nos casos 2 e 3, o menor tempo de processamento foi obtido com intervalos de actualização

67

de variáveis de três e de duas iterações, respectivamente. Tal como referido por Pina [12] a escolha

do parâmetro ideal depende de vários factores como a dimensão do sistema ou as aproximações

iniciais, não devendo ser levada a cabo uma generalização do parâmetro ideal.

A Figura 4.7 anterior também permite verificar que no Caso 3, o programa não converge para

uma solução com intervalos de actualização de variáveis superiores a três iterações e que no Caso 4

o método apenas convergiu com o iupdt igual a um. Perante estes factos, tendo em conta a pouca

variação do tempo de cálculo com o iupdt, é sugerido que se faça uma actualização da matriz das

derivadas em todas as iterações quando se lida com sistemas desta ordem de grandeza.

Outra constatação que podemos salientar nos resultados dos casos 1.A e 1.B é o facto dos

tempos de processamento serem bastante próximos, revelando mais uma vez a capacidade do

programa em atribuir bons valores iniciais.

Variação do número total de iterações com o iupdt

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

iupdt

Itera

ção

Caso 1.BCaso 1.ACaso 2Caso 3Caso 4

Figura 4.8 - Variação do número de iterações com o parâmetro iupdt.

Quanto à variação do número de iterações com o iudpt, por inspecção da Figura 4.8,

percebemos que quanto menor for o intervalo de actualização das derivadas menor será o número

total de iterações, como seria de esperar.

Uma observação que também se pode fazer é o facto do Caso 1.A ter apresentado tempos de

processamento e números totais de iterações inferiores aos verificados no Caso 1.B. Este resultado

tem a justificação lógica de no primeiro caso termos inicializado as variáveis do sistema com valores

muito próximos da solução final, revelando que para além da importância que as aproximações iniciais

têm na convergência do método também influenciam as propriedades aqui analisadas.

68

4.6 Análise da consistência física dos resultados

Nas secções anteriores, apenas fizemos uma análise dos resultados com o objectivo de

verificar as potencialidades do programa e validar o procedimento de cálculo, uma vez que se partiu

de situações em que se conheciam propriedades do circuito de água, por exemplo, que foram

posteriormente calculadas pelo programa e conduzindo a resultados idênticos. Este processo de

validação é importante para garantir que o programa funcione em condições mais realistas de projecto

ou de análise de conjuntos de dados de operação.

Nesta secção efectua-se uma discussão mais quantitativa dos resultados obtidos. A consulta

dos valores de projecto da entalpia dos gases de escape, permitiu constatar que esses valores

estavam de acordo com os calculados mas não as temperaturas. Deste modo, concluiu-se que o

método de cálculo das propriedades dos gases não era preciso e testou-se a utilização de polinómios

para o calor específico, adoptados pela NASA e crê-se que pela maior parte dos programas de cálculo

[17]. Com base nestas propriedades, procedeu-se a uma repetição do Caso 1.B, e efectuou-se uma

comparação dos novos resultados com os valores anteriores e com os dados de projecto.

Posteriormente, também procederemos à apresentação do cálculo dos coeficientes globais de

transmissão de calor e de outras propriedades dos permutadores.

4.6.1 Incoerências dos dados de projecto

Os valores de projecto fornecidos pela EDP para a realização deste trabalho, em anexo a este

documento (Anexo A.5) apresentam à partida algumas inconsistências, as quais fazemos agora

referência. As incoerências encontradas dizem respeito às temperaturas das ligações número 8, 41,

42 e 58 do circuito de água/vapor de alta pressão.

Figura 4.9 - Pormenor das ligações do circuito de água/vapor de AP.

69

Na tabela seguinte são apresentados os valores das propriedades das ligações incoerentes no

documento de projecto.

Tabela 4.13 - Valores de projecto das ligações de água inconsistentes.

Ligação Fluido Caudal [kg/s]

Temperatura [ºC]

8 Água 26,47 220,6 41 Água 74,65 220,6 42 Água 74,65 237,2 / 227,2 58 Água 48,18 190

A primeira incongruência dos valores acima destacados tem a ver com a mistura dos caudais

que ocorre no componente nº 8. O valor da temperatura à saída da mistura das duas correntes de

caudal provenientes das ligações 8 e 48, tem obrigatoriamente de se encontrar entre os valores das

temperaturas de entrada. Se repararmos, o valor da temperatura de saída, na ligação 41, é igual ao

valor da temperatura da ligação 8, precisamente a que menos contribui para a temperatura final da

mistura, pois é a que tem menor caudal. Como tal, entendemos que estes valores não são coerentes

e nas simulações efectuadas com o programa, impôs-se a temperatura da ligação 41 igual à que se

obtém efectuando um balanço de energia à caixa de mistura: T = 200,9ºC.

Outra das inconsistências detectadas tem a ver com o valor da temperatura da ligação 42. O

que se constatou foi que no documento de projecto surge uma temperatura para a saída do

componente 34 (Economizador de AP 3) e outro valor para a entrada do componente 35

(Economizador de AP 4), que representam a mesma ligação. A diferença de temperaturas é de 10ºC,

pelo que se adoptou o valor mais baixo porque a área de permuta do Economizador de AP 3 é

substancialmente inferior à área de transferência do Economizador de AP 4.

Tendo em conta estas incoerências e o facto de não termos exactamente os mesmos valores

de caudal dos que são indicados no projecto (devido à não contabilização das purgas), é natural que

alguns dos valores resultantes do método de Newton não sejam consistentes com os valores de

projecto.

4.6.2 Funções de cálculo das propriedades termodinâmicas dos gases

No início da elaboração do algoritmo foram implementadas funções de cálculo das

propriedades da água e dos gases que já tinham sido utilizadas em trabalhos anteriores [7;8].

Aquando da análise dos resultados obtidos e já apresentados nas secções anteriores, verificou-se

algumas inconsistências dos resultados com os valores de projecto. Após uma análise exaustiva, para

70

além das incoerências dos valores de projecto já apresentadas, chegou-se à conclusão de que as

funções utilizadas para calcular as propriedades dos gases reproduziam valores com algum grau de

erro, principalmente a baixas temperaturas, cerca de 10%. As funções então utilizadas eram baseadas

nos polinómios de terceiro grau [16], foram entretanto substituídas por formulações mais recentes com

polinómios de quinto grau [17] com dois troços de temperatura. No que diz respeito às propriedades

da água, as funções da viscosidade e da condutividade térmica também foram reajustadas porque

conduziam a valores incorrectos para os cálculos da transferência de calor. As aproximações

polinomiais foram substituídas por expressões do tipo potência ajustadas a valores apresentados em

tabelas [19].

A razão pela qual se decidiu apresentar os resultados anteriores, apesar de não serem

totalmente consistentes com os dados de projecto, prende-se com o facto de o erro só ter sido

detectado posteriormente e também porque a discussão efectuada consistiu numa análise às

capacidades do método, para efeitos de validação do modelo e não da coerência física dos

resultados.

Nas próximas secções faremos uma comparação dos resultados obtidos com as diferentes

funções e os dados de projecto para o caso mais simples, em que apenas consideramos as

temperaturas dos gases de escape como incógnitas.

4.6.3 Análise da distribuição de temperaturas

A alteração dos polinómios que eram utilizados para calcular as propriedades dos gases e da

água conduziu a resultados mais consistentes com os que são apresentados no documento de

projecto. A Tabela 4.14 sintetiza as diferenças verificadas na repetição do Caso 1.B com os

polinómios actualizados, onde apenas se tomou como incógnitas as temperaturas dos gases de

escape.

71

Tabela 4.14 – Comparação entre as temperaturas de projecto dos gases de escape e os

valores obtidos com os polinómios de Yaws [16] e da NASA [17].

Temperatura

[ºC]

Ligação Fluido Valor de Projecto

Resultados (C. Yaws [16])

DiferençaAbsoluta

Diferençarelativa1

[%] Resultados (NASA [17])

Diferença absoluta

Diferençarelativa1

[%] 2 Gás 584,000 584,739 0,739 0,146 584,399 0,399 0,079 3 Gás 565,800 565,360 0,440 0,087 564,275 1,525 0,301 4 Gás 550,600 550,988 0,388 0,077 549,328 1,272 0,251 5 Gás 505,900 525,012 19,112 3,770 522,263 16,363 3,228 6 Gás 490,200 494,886 4,686 0,924 490,796 0,596 0,118 7 Gás 456,700 463,179 6,479 1,278 457,595 0,895 0,177 8 Gás 342,600 355,300 12,700 2,505 344,145 1,545 0,305 9 Gás 337,000 350,008 13,008 2,566 338,568 1,568 0,309 10 Gás 333,700 346,930 13,230 2,610 335,324 1,624 0,320 11 Gás 285,500 296,874 11,374 2,244 282,557 2,943 0,581 12 Gás 246,300 259,878 13,578 2,679 243,580 2,720 0,537 13 Gás 238,300 248,116 9,816 1,936 231,198 7,102 1,401 14 Gás 234,900 244,869 9,969 1,967 227,781 7,119 1,404 15 Gás 234,900 244,869 9,969 1,967 227,781 7,119 1,404 16 Gás 234,900 244,869 9,969 1,967 227,781 7,119 1,404 17 Gás 209,800 221,160 11,360 2,241 202,850 6,950 1,371 18 Gás 212,500 237,353 24,853 4,903 219,874 7,374 1,455 19 Gás 190,300 201,474 11,174 2,204 182,176 8,124 1,603 20 Gás 193,000 218,989 25,989 5,127 200,568 7,568 1,493 21 Gás 192,100 213,165 21,065 4,156 194,450 2,350 0,464 22 Gás 154,200 177,244 23,044 4,546 156,774 2,574 0,508 23 Gás 87,000 113,268 26,268 5,182 89,983 2,983 0,588

Como se pode verificar por inspecção da tabela anterior, as diferenças absolutas das

temperaturas dos gases de escape, em relação aos valores de projecto, diminuíram significativamente

com os novos polinómios, principalmente na segunda metade do percurso. A queda total de

temperatura dos gases com a utilização dos polinómios da NASA – 503,9ºC, aproxima-se mais da

diminuição de 506,9ºC prevista em projecto. Já no caso dos resultados obtidos através dos polinómios

sugeridos por Yaws [16], a diferença da queda total de temperatura para os dados de projecto é cerca

de 26,3ºC. Os resultados obtidos com os polinómios da NASA [17] apresentam em média desvios

absolutos da ordem dos 4,4ºC, representado apenas cerca de 0,8% da queda de temperatura total

1 Este valor representa o peso da diferença em relação à queda total de temperatura de

projecto dos gases na caldeira de recuperação de calor, que é de 506,9ºC.

72

prevista em projecto. Com excepção da ligação 5, os maiores desvios ocorrem na segunda metade do

percurso dos gases de escape, o que sugere que será nessa zona que estarão as inconsistências das

temperaturas de água.

4.6.4 Análise dos coeficientes globais de transferência de calor

Após o cálculo das temperaturas o programa calcula explicitamente os coeficientes globais de

transferência de calor – Ubalanço, dos vários permutadores, recorrendo à definição do NTU:

( )p mín

balançoext

NTU m cU

A

× ×= (4.1)

Em que o NTU – Número de Unidades de Transferência, é calculado previamente através da

expressão que relaciona a eficiência ε com a razão r (<1) das capacidades térmicas dos fluidos, para

permutadores de correntes cruzadas com ambos os fluidos separados [19].

( )0,78 0,22exp 1

1 expr NTU NTU

rε

⎧ ⎫⎪ ⎪− × − ×⎪ ⎪⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ (4.2)

Para efeitos de comparação, foram também calculados os valores dos coeficientes globais de

transmissão de calor dos vários permutadores através de uma correlação empírica. O coeficiente

global de transferência de calor foi calculado com base em correlações para o coeficiente de

convecção no interior de tubos [19] e o coeficiente de convecção para o escoamento de gases em

torno de alhetas em arranjos de tubos desalinhados com base na correlação de Kaunas [20]. Assim, o

coeficiente global de transferência pode ser expresso em termos dos coeficientes de convecção e da

resistência térmica de condução, desprezando a resistência de sujamento, por:

( )

( )( )

1

int

int int int

ln1 12 1 1

i extext ext

ext fin fin ext ext

D D DA U

A h A k A A A hη

−⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

(4.3)

73

A Tabela 4.15 apresenta os valores calculados a partir dos resultados obtidos para as

temperaturas. Recorrendo à aplicação das correlações indicadas antes, são apresentados os

coeficientes globais de transmissão de calor, calculados a partir da eq. (4.1) e da eq. (4.3), e do

coeficiente de convecção interior. A tabela também inclui as potências térmicas dos vários

permutadores, ou seja, o calor permutado.

Tabela 4.15 - Resultados de algumas das propriedades dos permutadores para o

Caso 1.B, com os polinómios da NASA.

Permutador Potência [MW]

Ubalanço [W/m2.K]

Ucorrelação [W/m2.K]

hint [W/m2.K]

Sobreaquecedor de AP 4 7,367 44,9 43,9 12084,0 Reaquecedor 21,22 15,548 56,6 56,7 5632,9 Sobreaquecedor de AP 3 11,499 37,9 38,0 7009,6 Sobreaquecedor de AP 2 20,712 40,1 35,2 6959,2 Reaquecedor 11,12 23,904 27,4 39,0 3756,9 Sobreaquecedor de AP 1 25,018 44,1 33,4 5016,6 Evaporador de AP 1,2 83,974 44,0 37,4 1,0E+20 Sobreaquecedor de MP 4,071 23,9 21,8 910,6 Economizador de AP 5 2,366 37,6 32,2 7485,0 Economizador de AP 4 38,248 58,3 31,9 4820,3 Evaporador de MP 1,2 27,984 51,0 34,5 1,0E+20 Economizador de AP 3 8,845 37,4 30,9 4403,7 Sobreaquecedor BP 2,436 Indefinido 27,2 300,6 Economizador de MP 1,2 5,906 Indefinido 102,6 2094,0 Economizador de AP 2 3,758 25,8 38,4 3298,9 Economizador de AP 12 4,877 49,4 23,4 3075,0 Economizador de AP 11 9,150 49,8 36,9 4972,4 Evaporador de BP 1,2,3 26,605 29,1 37,5 1,0E+20 Pre Aq Cond 1,2,3 46,732 67,1 20,3 3316,4

A primeira constatação que podemos efectuar através da tabela anterior é que os coeficientes

globais de transmissão de calor, calculados a partir das equações de balanço da caldeira, são da

mesma ordem de grandeza dos valores estimados pela correlação. Contudo, para o Sobreaquecedor

de BP e para o Economizador de MP 1,2, o programa devolveu valores de U indefinidos. A explicação

para este resultado reside no facto do método de Newton ter convergido para valores de temperatura

dos gases de escape que são inconsistentes fisicamente. Se reparamos nas temperaturas de água

que foram impostas no Caso 1.B (Tabela 4.11) e nos resultados obtidos com os polinómios da NASA

(Tabela 4.14), verificamos que a temperatura da água à saída destes componentes, ligações 11 e 20,

é superior à respectiva temperatura de entrada dos gases (ligações 13 e 15). Esta situação é possível

a partir apenas dos balanços de energia (Equações do tipo P1) mas não têm realidade física em

termos de transferência de calor. O teste efectuado é o de testar uma determinada distribuição de

74

temperatura e permite obter como conclusão a impossibilidade física. Quando as equações do tipo P2

são consideradas, este tipo de situação não ocorre, de qualquer modo é necessário alguma

precaução se no processo iterativo este tipo de situação ocorrer. Os valores dos coeficientes globais

de transmissão de calor obtidos através dos resultados do método de Newton são, regra geral,

superiores aos coeficientes estimados pela correlação, à excepção de alguns permutadores que

provavelmente estão a ser afectados pelas inconsistências nos valores de temperatura na zona de

passagem paralela dos gases. Mesmo assim, pode-se afirmar que os dados de projecto não

contemplavam qualquer resistência de sujamento, ou seja, os valores foram calculados por excesso.

Esta situação poderá justificar o facto das temperaturas de vapor atingidas à entrada das turbinas

serem aquém das expectativas de projecto, realidade transmitida pela EDP. O facto de não se ter

considerado uma resistência de sujamento na eq. (4.3) não prejudicou a análise dos resultados,

contudo, deverão ser calculados novos valores de coeficientes de globais de transmissão de calor a

partir de outras correlações para confirmar os resultados aqui apresentados e ter a certeza de que os

dados de projecto são optimistas.

Os coeficientes de convecção do escoamento no interior dos tubos apresentados na Tabela

4.15, revelam resultados que já seriam de esperar. O facto dos coeficientes de convecção dos

evaporadores serem todos iguais a 1,0E20 W/m2.K prende-se com o facto destes valores serem

impostos pelo programa e não calculados através de uma expressão, pois o programa tem a

capacidade de verificar se está perante uma mudança de fase, fenómeno que é caracterizado por

elevados coeficientes de convecção. O coeficiente de convecção interior para o caso do vapor

apresenta valores muito diferentes entre os vários circuitos de baixa, média e alta pressão. Esta

variação tem a ver com o aumento do fluxo mássico nestes circuitos que tomam valores aproximados

de 6; 80 a 140 e 300 a 650 kg/s/m2 e com o aumento da massa específica e da condutibilidade com a

pressão. Os coeficientes de convecção interior com água líquida e.g. nos economizadores são

também elevados e mais uniformes entre os vários níveis de pressão.

Quanto às potências dos permutadores, facilmente se verifica que no global a caldeira de

recuperação da TER tem uma potência calorífica de cerca de 370 MW, sendo que o permutador que

mais contribui para esse valor é o Evaporador de AP 1,2 com uma potência individual de cerca de 84

MW, situação que também já podia ser constatada na Figura 4.3.

A Figura 4.10 apresenta os valores do número de Nusselt correspondente ao coeficiente de

convecção do escoamento exterior. São apresentados os valores obtidos da correlação para o

escoamento em torno de tubos alhetados de Kaunas [20] e os valores calculados a partir dos valores

do coeficiente global de transferência obtido dos balanços através da equação (4.3). Como se pode

observar os valores estimados dos balanços são em geral superiores aos obtidos da correlação,

sugerindo que o projecto é optimista em relação à transferência de calor. Alguns dos valores

apresentam um grande desvio em relação ao que seria de esperar, o que se pode dever às

75

inconsistências observadas nos valores da temperatura da água que afectam os componentes na

passagem em paralelo e ao Pré-aquecedor de condensados.

Nusselt vs Reynoldspara os gases de escape

0

20

40

60

80

100

3,E+03 5,E+03 8,E+03 1,E+04 1,E+04 2,E+04

Re

Nu

Nu_ext_bal

Nu_ext_corr

Figura 4.10 – Representação gráfica da relação dos números Nusselt e

Reynolds do escoamento dos gases, para os vários permutadores.

76

5 CONCLUSÕES

O tema principal desta tese de Mestrado foi o desenvolvimento e a aplicação de um modelo de

transferência de calor a uma caldeira de recuperação de ciclo combinado. O objectivo era criar um

algoritmo que, a partir de uma leitura de uma base de dados, estabelecesse um sistema de equações

resolúvel que pudesse caracterizar os circuitos de água/vapor e dos gases de escape de uma caldeira

de recuperação de calor.

O algoritmo desenvolvido foi elaborado numa linguagem de programação orientada para

objectos, permitindo criar um modelo estruturado em componentes e ligações. As equações que

constituem o sistema são criadas de forma sistemática, a partir da transferência de calor nos

permutadores e de balanços de massa e de energia efectuados aos vários componentes dos circuitos

de gás e água/vapor. Ao contrário de outros trabalhos desenvolvidos anteriormente o programa

permite o cálculo de diversos circuitos de água-vapor e de gases que são exclusivamente

especificados através de uma base de dados, não sendo necessário nenhuma alteração ao programa.

O programa criado é capaz de fazer um levantamento de toda a informação incluída na base

de dados e efectuar uma análise da consistência dos valores introduzidos, alertando o utilizador

quando os dados são incoerentes ou insuficientes. Para a resolução simultânea das equações não-

lineares resultantes das leis constitutivas dos vários componentes, teve que se recorrer a um método

iterativo, neste caso o Método de Newton Generalizado. Este tipo de métodos de resolução requerem

a especificação de valores iniciais às variáveis que podem condicionar ou não a convergência do

método. Uma das virtudes do algoritmo implementado consiste na capacidade do programa

especificar atribuições iniciais automaticamente, desde que sejam impostos os valores mínimos.

Quantitativamente, foi possível inicializar automaticamente cerca de 40% das variáveis envolvidas,

sem prejuízo da convergência. Apesar de existir sempre a possibilidade do método não convergir,

neste caso, esta situação só ocorreu quando se aumentou o número de iterações entre as quais o

programa actualizava a matriz das derivadas (a partir de três iterações), numa tentativa de reduzir

peso computacional do método.

As técnicas de redução do tempo de processamento revelaram não ter muita influência nos

casos testados. De qualquer forma, estas técnicas poderão ser testadas em outros casos com o

objectivo de minimizar os tempos de processamento.

Os testes realizados mostram que o programa tem a capacidade de calcular as temperaturas

do lado dos gases e da água em simultâneo e que reproduz exactamente os mesmos valores outrora

fixados, como ocorreu com as temperaturas de água com a utilização da equação de transferência de

calor, aplicada aos permutadores.

77

A aplicação do modelo a uma caldeira de recuperação para a qual existiam dados de projecto,

como a caldeira da TER, permitiu verificar que existiam inconsistências nos valores apresentados.

Outra conclusão que foi possível tirar deste trabalho foi a falta de precisão dos polinómios de terceiro

grau para o cálculo do calor específico, tendo-se procedido à actualização das funções através de

polinómios utilizados pela NASA. Apesar das incoerências dos valores de projecto, a queda global de

temperatura dos gases na caldeira da TER obtida pelo programa (506,9ºC) revelou-se muito

semelhante àquela indicada em projecto (503,9ºC). Os coeficientes globais de transferência de calor

estimados dos balanços de energia são um pouco superiores aos calculados por correlações de

transferência de calor.

78

6 SUGESTÕES DE TRABALHO FUTURO

Tendo atingido com sucesso os objectivos a que nos propusemos no início deste projecto,

podemos deixar aqui algumas sugestões de trabalho a desenvolver no futuro.

Uma das poucas situações que não tivemos oportunidade de testar o modelo criado foi uma

eventual libertação de todas as variáveis do sistema, incluindo os caudais de água/vapor dos sistemas

de alta, média e baixa pressão. Uma análise dos caudais poderá ser útil na determinação dos caudais

de injecção (atemperadores) a impor de forma a não se atingir temperaturas excessivamente elevadas

à entrada das turbinas. Outra das simplificações levadas a cabo neste trabalho foi o facto de não se

ter considerado as perdas de carga do escoamento de água/vapor, lacuna que poderá ser colmatada

num desenvolvimento posterior.

Tal como foi constatado nos resultados obtidos, as equações de resíduo adoptadas não são

sensíveis à possibilidade de o programa convergir para soluções de temperaturas para as quais se

verifiquem inversões do fluxo de calor, ou seja, o fluido quente passa a ser o circuito de água/vapor.

Perante esta situação, deverão ser implementados mecanismos que permitam ao programa ter

conhecimento de que está a aproximar-se de uma solução indesejada, aumentando bruscamente o

valor do resíduo local, por exemplo.

Um desafio muito aliciante também seria o de se desenvolver uma interface gráfica e

consequente base de dados, com o objectivo de tornar a utilização do programa mais simples e

atractiva para o utilizador. A ideia de desenvolver um algoritmo estruturado, capaz de tratar cada

componente como um bloco que é tratado de forma independente mas automática, também deveria

ser aplicada a um método de cálculo de combustão e transferência de calor numa fornalha. Deste

modo poderia ser efectuado um estudo mais completo, considerando por exemplo a radiação, em que

alguns dos parâmetros de entrada do modelo criado, como a temperatura ou a composição dos gases

de escape à entrada da caldeira seriam dados de saída do modelo da fornalha.

79

7 REFERÊNCIAS

[1] Valero, A., Cortés C., “Ash fouling in coal-fired utility boilers - Monitoring and optimization of

on-load cleaning”, Prog. Energy Combus. Sci., vol. 22, pp. 189–200, 1996.

[2] Díez, L.I., Cortés, C., Campo, A., “Modelling of pulverized coal boilers: review and validation

of on-line simulation techniques”, Applied Thermal Engineering 25 1515-1533, 2004.

[3] Díez, L.I., Cortés, C., Arauzo, I., Valero, A., “Combustion and heat transfer monitoring in

large utility boilers”, Int. J. Therm. Sci 40 489-496, 2001.

[4] Silva, L., Azevedo, J., “On-line assessment of heat exchanger characteristics from

pulverised coal fired boilers”, Modelus 2000, Oct. 2000.

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Bar-Cohen, D. Butterworth, and W. Roetzel, eds.), pp. 117-129, Gordon and Breach Publishers, 1998.

[6] Azevedo, J. L. T., “Implementation of heat transfer monitoring systems in solid fuel fired

boilers”, Proceedings of the 17th International Congress of Mechanical Engineering, (São Paulo,

Brasil), Nov. 2003.

[7] Canhoto, P., “Modelação e Simulação da Transferência de Calor em Arranjos de

Permutadores para a Análise da Eficiência de Caldeiras.”, Dissertação para obtenção do Grau de

Mestre em Engenharia Mecânica, Instituto Superior Técnico, Março 2004.

[8] Rodrigues, F, “Desenvolvimento de modelos de monitorização de transferência de calor em

caldeiras”, Trabalho Final de Curso, Instituto Superior Técnico, Maio 2004.

[9] Cengel, Y. A., Boles M. A., “Thermodynamics An Engineering Approach”, 5th Ed.

80

[10] Starr, F., “Background to the design of HRSG Systems and implications for CCGT Plant

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[11] “Thermal modelling of HRSG”, NEM, 2002.

[12] Pina, H., Métodos Numéricos, McGraw-Hill, Lisboa, 1995.

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ou leito fluidizado”, Trabalho Final de Curso, Instituto Superior Técnico, 2002.

[15] Wagner, W., Span, R. and Bonsen, C., Wasser und Wasserdampf – IAPWS-IF97,

Springer, 2000.

[16] Yaws, C.L., Physical properties – A guide to the physical, thermodynamic and transport

property data of industrially important chemical compounds, New York, McGrawHill, 1977.

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[18] Monteiro, L.M.P., Modelo de transferência de calor para avaliar o sujamento em caldeiras,

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[19] Incropera, F.P. e DeWitt, D.P., Fundamentals of heat and mass transfer, 5th Ed., John

Wiley and Sons, 2002.

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Ed. G.F. Hewitt, Begell House, 1998.

81

OUTRA BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

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Teruel, E., Cortés, C., Díez, L. I., Arauzo, I., “Monitoring and prediction of fouling in coal-fired

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Canhoto, P., Azevedo, Toste J. L. T., “Desenvolvimento, teste e utilização de um modelo de

transferência de calor numa caldeira”, Métodos Computacionais em Engenharia, 2004.

Deitel, H. M., “C++ How to Program”, Prentice Halll, 5ª Edição, 2005.

82

ANEXOS

83

A.1 Diagrama esquemático dos circuitos de água/vapor da caldeira de recuperação de calor da TER

Figura A.1.1 – Diagrama esquemático dos circuitos água/vapor da caldeira de recuperação de calor da TER.

83

84

A.2 Diagrama esquemático dos circuitos dos gases de escape da caldeira de recuperação de calor da TER

Figura A.1.2 – Diagrama esquemático dos circuitos dos gases de escape

da caldeira de recuperação de calor da TER.

85

A.3 Alguns conceitos da programação orientada a objectos (POO)

Classe: representa um conjunto de objectos com características afins. Uma classe define

o comportamento dos objectos, através de métodos, e quais os estados que ele é capaz de

manter, através de atributos. Exemplo de classe: Os seres humanos.

Objecto: é uma instância de uma classe. Um objecto é capaz de armazenar estados

através dos seus atributos e reagir a mensagens a ele enviadas, assim como se relacionar e

enviar mensagens a outros objectos. Exemplo de objectos da classe Humanos: João, José, Maria.

Atributos: são características de um objecto. Basicamente a estrutura de dados que vai

representar a classe. Exemplos: Funcionário: nome, endereço, telefone, CPF, ...; Carro: nome,

marca, ano, cor, ...; Livro: autor, editora, ano. Por sua vez, os atributos possuem valores. Por

exemplo, o atributo cor pode conter o valor azul.

Métodos: definem as habilidades dos objectos através de funções ou subrotinas. Um

método numa classe é apenas uma definição, a acção só ocorre quando o método é invocado

através do objecto. Normalmente, uma classe possui diversos métodos.

Herança: (ou generalização) é o mecanismo pelo qual uma classe (subclasse) pode

derivar de outra classe (classe-mãe), aproveitando seus comportamentos (métodos) e estados

possíveis (atributos). Há Herança múltipla quando uma subclasse possui mais de uma classe-

mãe. Um exemplo de herança: “Mamífero” é a classe-mãe de “Humano”.

Polimorfismo: é o princípio pelo qual duas ou mais classes derivadas de uma mesma

classe-mãe podem invocar métodos que têm a mesma assinatura (lista de parâmetros e retorno)

mas comportamentos distintos, especializados para cada classe derivada, usando para tal uma

referência a um objecto do tipo da classe-mãe.

Encapsulamento: consiste na separação de aspectos internos e externos de um objecto.

Este mecanismo é utilizado amplamente para impedir o acesso directo ao estado de um objecto

(atributos), disponibilizando externamente apenas os métodos que alteram estes estados.

Exemplo: não precisamos de conhecer os detalhes dos circuitos de um telefone para utilizá-lo. O

86

invólucro do telefone encapsula esses detalhes, apresentando uma interface mais amigável (os

botões, o auscultador e os sinais de tom).

87

A.4 Correspondência entre os troços de caudal e as ligações dos circuitos de água/vapor e de gás da TER

Tabela A.4.1 – Troços de caudal e respectivas ligações do circuito de água/vapor, com injecções fechadas.

Troços 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 5 16 34 41 13 18 19 29 39 57 7 24 45 21 4 6 17 35 42 14 2 20 30 40 58 9 25 46 32 – 10 – 37 43 15 – 22 31 8 – – – – 36 – 11 – 38 44 1 – 23 33 – – – – – 52 – – – – 47 – – 26 12 – – – – – 53 – – – – 48 – – 27 – – – – – – 54 – – – – 49 – – – – – – – – – – – – – – 50 – – – – – – – – – – – – – – 51 – – – – – – – – – – – – – – 55 – – – – – – – – – – – – – – 56 – – – – – – – – – –

Água

Ligações

– – – – 28 – – – – – – – – – –

87

vb

ouvbwbv

88

Tabela A.4.2 – Troços de caudal e respectivas ligações do circuito dos gases de escape.

Troços 1 2 3 4 1 15 16 21 2 17 18 22 3 19 20 23 4 – – – 5 – – – 6 – – – 7 – – – 8 – – – 9 – – – 10 – – – 11 – – – 12 – – – 13 – – –

Ligações

14 – – –

89

A.5 Informações de projecto fornecidas pela EDP2

A.5.1 Propriedades das ligações

Tabela A.5.1 – Propriedades físicas das ligações da água.

Ligação Fluido Pressão [bar]

Caudal [kg/s]

Temperatura [ºC]

1 Água 22,10 102,590 35,5

2 Água 22,10 21,910 145,7

3 Água 22,10 124,500 54,9

4 Água 21,14 124,500 143,9

5 Água 21,14 12,480 144,2

6 Água 4,09 12,480 144,2

7 Água 4,09 12,480 144,4

8 Água 138,37 26,470 220,6

9 Água 4,09 12,480 144,4

10 Água 4,09 12,480 144,4

11 Água 3,73 12,480 234,8

12 Água 3,73 90,110 258,0

13 Água 3,73 102,590 255,2

14 Água 0,05 102,590 32,9

15 Água 0,05 102,590 32,9

16 Água 21,14 37,370 144,2

17 Água 56,49 37,370 144,3

18 Água 56,49 21,910 144,3

19 Água 56,49 15,460 144,3

20 Água 53,88 15,460 230,5

21 Água 53,88 0,000 144,3

22 Água 53,88 15,460 230,5

23 Água 32,60 15,460 230,6

24 Água 32,60 15,460 238,5

25 Água 32,60 15,460 238,5

26 Água 32,60 15,460 238,5

27 Água 32,42 15,460 331,7

28 Água 31,96 74,650 364,6

29 Água 31,96 90,110 358,7

2 A informação aqui apresentada foi transcrita do documento de projecto [11] da caldeira

de recuperação de calor da TER.

90

Tabela A.5.2 – Propriedades físicas das ligações da água (continuação).


Caudal [kg/s]

Temperatura [ºC]

30 Água 31,21 90,110 474,2

31 Água 30,63 90,110 550,5

32 Água 30,53 0,000 144,3

33 Água 30,53 90,110 550,4

34 Água 21,14 74,650 144,2

35 Água 170,00 74,650 146,0

36 Água 170,00 0,000 0,0

37 Água 170,00 74,650 146,0

38 Água 140,90 74,650 146,0

39 Água 139,60 26,470 146,0

40 Água 138,98 26,470 188,7

41 Água 137,75 74,650 200,9

42 Água 137,13 74,650 237,2 / 227,2

43 Água 136,52 74,650 325,5

44 Água 135,90 74,650 330,1

45 Água 135,90 74,650 334,3

46 Água 135,90 74,650 334,3

41 Água 137,75 74,650 200,9

42 Água 137,13 74,650 227,2

43 Água 136,52 74,650 325,5

44 Água 135,90 74,650 330,1

45 Água 135,90 74,650 334,3

46 Água 135,90 74,650 334,3

47 Água 135,80 74,650 334,3

48 Água 135,20 74,650 392,1

49 Água 134,00 74,650 475,2

50 Água 133,10 74,650 474,7

51 Água 132,50 74,650 530,4

52 Água 133,10 0,000 0,0

53 Água 133,10 0,000 0,0

54 Água 132,10 0,000 0,0

55 Água 131,10 74,650 567,3

56 Água 131,10 74,650 567,3

57 Água 139,60 48,180 146,0

58 Água 138,68 48,180 190,0

91

Tabela A.5.3 – Propriedades físicas das ligações de gás.


Caudal [kg/s]

Temperatura [ºC]

1 Gás 1,04 655,800 593,9

2 Gás 1,04 655,800 584,0

3 Gás 1,04 655,800 565,8

4 Gás 1,04 655,800 550,6

5 Gás 1,04 655,800 505,9

6 Gás 1,04 655,800 490,2

7 Gás 1,04 655,800 456,7

8 Gás 1,04 655,800 342,6

9 Gás 1,04 655,800 337,0

10 Gás 1,04 655,800 333,7

11 Gás 1,04 655,800 285,5

12 Gás 1,04 655,800 246,3

13 Gás 1,04 655,800 238,3

14 Gás 1,04 655,800 234,9

15 Gás 1,04 218,400 234,9

16 Gás 1,04 437,400 234,9

17 Gás 1,04 218,400 209,8

18 Gás 1,04 437,400 212,5

19 Gás 1,04 218,400 190,3

20 Gás 1,04 437,400 193,0

21 Gás 1,04 655,800 192,1

22 Gás 1,04 655,800 154,2

23 Gás 1,04 655,800 87,1

92

A.5.2 Propriedades dos permutadores

Tabela A.5.4 – Propriedades físicas dos permutadores de calor da caldeira da

TER.

SAq. AP 4 Reaquec. 21,22 SAq. AP 3 SAq. AP 2 Reaquec.

11,12 SAq. AP 1 Evap. AP 1,2

Área exterior [m2] 4386,55 5007,89 6140,86 5383,25 11045,75 5383,25 42558,30

Dist. tranv. [m] 10,07 10,07 10,07 10,07 10,07 10,07 10,07

Dist. long. [m] 0,22 0,44 0,22 0,22 0,44 0,22 1,10

Comprimento do tubo [m] 20,73 20,73 20,73 20,73 20,73 20,73 20,73

Nº tubos transv. (NT) 117,00 117,00 117,00 117,00 117,00 117,00 117,00

Passo transversal (ST) [mm] 84,9 84,9 84,9 84,9 84,9 84,9 84,9

Diâmetro ext. do tubo (Dout) [mm] 38,0 44,5 38,0 31,8 38,0 31,8 31,8

Espessura do tubo [mm] 4,1 2,6 3,0 3,5 2,6 2,6 2,6

Diâmetro int. do tubo (Din) [mm] 29,8 39,3 32,0 24,8 32,8 26,6 26,6

Nº tubos long. (NL) 2,00 4,00 2,00 2,00 4,00 2,00 12,00

Passo transversal (SL) [mm] 11,1 11,1 11,1 11,1 11,1 11,1 9,2

Nº de alhetas/m 255,00 140,00 270,00 270,00 240,00 270,00 277,75

Altura das alhetas [mm] 10,0 8,0 13,0 13,0 13,0 13,0 16,0

Espessura das alhetas [mm] 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

Material dos tubos SA-213T91 SA-213T91 SA-213T91 SA-213T22 SA-213T22 SA-213T11 SA-210 A1

Material das alhetas T409 T409 T409 T409 T409 T409 CS

93

Tabela A.5.5 – Propriedades físicas dos permutadores de calor da caldeira da TER (continuação).

SAq. MP Eco. AP 5 Eco. AP 4 Evap. MP 1,2 Eco. AP 3 SAq. BP Eco. MP 1,2

Área exterior [m2] 4137,59 7313,14 38244,18 30428,96 11250,98 5406,95 9561,05

Dist. tranv. [m] 10,07 10,07 10,07 10,07 10,07 10,07 5,03

Dist. long. [m] 0,11 0,44 1,78 0,89 0,89 0,22 2,44

Comprimento do tubo [m] 20,73 20,73 20,73 20,73 20,73 20,73 20,73

Nº tubos transv. (NT) 117,00 117,00 120,00 120,00 120,00 120,00 60,00

Passo transversal (ST) [mm] 84,9 82,8 82,8 82,8 82,8 82,8 82,8

Diâmetro ext. do tubo (Dout) [mm] 38,0 31,8 31,8 38,0 31,8 38,0 31,8

Espessura do tubo [mm] 2,6 2,6 2,6 2,6 2,6 2,6 2,6

Diâmetro int. do tubo (Din) [mm] 32,8 26,6 26,6 32,8 26,6 32,8 26,6

Nº tubos long. (NL) 1,00 4,00 24,00 8,00 12,00 2,00 33,00

Passo transversal (SL) [mm] 11,1 11,1 7,4 11,1 7,4 11,1 7,4

Nº de alhetas/m 287,00 287,00 287,00 255,00 287,00 175,00 287,00

Altura das alhetas [mm] 16,0 16,0 14,0 16,0 16,0 16,0 14,0

Espessura das alhetas [mm] 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

Material dos tubos SA-210 A1 SA-210 A1 SA-210 A1 SA-210 A1 SA-210 A1 SA-210 A1 SA-210 A1

Material das alhetas CS CS CS CS CS CS CS

94

Tabela A.5.6 – Propriedades físicas dos permutadores de calor da caldeira da TER (continuação).

Eco. AP 2 Eco. AP 12

Eco. AP 11

Evap. BP 1,2,3

PrAq. Cond 1,2,3

Área exterior [m2] 9561,05 4780,52 4780,52 33949,42 63655,17

Dist. tranv. [m] 5,03 5,03 5,03 10,07 10,07

Dist. long. [m] 0,89 0,67 0,67 0,77 3,04

Comprimento do tubo [m] 20,73 20,73 20,73 20,73 20,73

Nº tubos transv. (NT) 60,00 60,00 60,00 128,00 120,00

Passo transversal (ST) [mm] 82,8 82,8 82,8 82,8 82,8

Diâmetro ext. do tubo (Dout) [mm] 31,8 31,8 31,8 38,0 38,0

Espessura do tubo [mm] 2,6 2,6 2,6 2,6 2,6

Diâmetro int. do tubo (Din) [mm] 26,6 26,6 26,6 32,8 32,8

Nº tubos long. (NL) 12,00 9,00 9,00 7,50 33,00

Passo transversal (SL) [mm] 7,4 7,4 7,4 10,3 9,2

Nº de alhetas/m 287,00 287,00 287,00 287,00 287,00

Altura das alhetas [mm] 14,0 14,0 14,0 16,0 16,0

Espessura das alhetas [mm] 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

Material dos tubos SA-210 A1 SA-210 A1 SA-210 A1 SA-210 A1 SA-210 A1

Material das alhetas CS CS CS CS CS

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Relatório Final - 22 de Novembro 2007 · Desenvolvimento e aplicação de modelo de transferência de calor a caldeira de recuperação de ciclo combinado Bernardo Canha Gomes Rebelo