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Resistência Interna de Fontes e Força Eletromotriz
Bruno Vecchi
Jacqueline Karla Alves da Silva
Vinícyus de Oliveira Martins
Setor de Ciências Exatas - Departamento de Física – Universidade Federal do Paraná
Centro Politécnico – Jd. das Américas – 81531-990 – Curitiba – PR - Brasil
e-mail 1: [email protected]
e-mail 2: [email protected]
e-mail 3: [email protected]
Resumo. O objetivo deste trabalho foi determinar experimentalmente a força eletromotriz, o
valor da resistência interna de uma fonte de tensão, utilizando como parâmetro de variação oito
resistores, e verificar o teorema da máxima transferência de potência da fonte para a carga
resistiva. Para a força eletromotriz e para a resistência da fonte, obtiveram-se os valores de
1,5458 V e 216,69 Ω, respectivamente, com um erro de 0,27% para a fem e 0,14% para a
resistência interna. Ao verificar a condição de máxima transferência de potência, observou-se que
este fenômeno ocorria quando os valores das resistências se igualavam, embora, mesmo tendo
máxima potência, a eficiência do uso da fonte era apenas de 50%, visto que metade da potência
gerada era dissipada em forma de calor diretamente na própria fonte. Contudo, pôde-se perceber
que os resultados obtidos foram satisfatórios.
Palavras chave: resistor, resistência, força eletromotriz, potência, Lei de Ohm, energia elétrica.
Introdução
Quando trabalhamos com circuitos elétricos, em
alguns casos, precisamos de um dispositivo que
mantenha uma diferença de potencial entre dois
terminais, pois, caso não houvesse esta diferença de
potencial, não haveria corrente elétrica circulando
pelo circuito. Para este tipo de dispositivo, dá-se o
nome de fonte de tensão.
Uma fonte de tensão é um aparelho que, ao ser
ligado a um circuito, submete os portadores de
carga a uma diferença de potencial, isto é, fornece a
energia para o movimento através do trabalho que
realiza sobre os portadores de carga. É justamente o
fato de executar trabalho sobre os portadores de
carga que se mantém uma diferença de potencial
entre os terminais. Esta “energia” produzida pela
fonte de tensão é denominada força eletromotriz
(ε), também conhecida como fem.
A força eletromotriz de uma fonte de tensão é
definida como sendo o trabalho que a fonte executa
para transferir cargas do terminal de menor
potencial para o terminal de maior potencial por
unidade de carga, ou seja,
dt
dW
(1)
, onde, no SI, a unidade da força eletromotriz é o
Joule por Coulomb, definido como Volt.
Uma fonte de tensão pode ser caracterizada de
dois tipos: fonte de tensão ideal e fonte de tensão
real.
Uma fonte de tensão ideal é aquela que não
apresenta nenhuma resistência ao movimento
interno das cargas de um terminal para outro. A
diferença de potencial entre os terminais de uma
fonte ideal é igual à sua força eletromotriz.
Na fonte de tensão real, isto não ocorre. Dentro
da fonte existem diversos materiais condutores,
onde cada um deles produzem uma certa resistência
ao movimento interno das cargas. Ao considerar a
resistência provinda de todos os condutores internos
à fonte, podemos defini-los como sendo um único
resistor cuja resistência equivalente é igual à soma
das resistências de todos os condutores. Com isso,
uma idealização de uma fonte de tensão real seria
considerá-la como sendo uma fonte de tensão ideal,
mas com uma resistência interna (r). Então, quando
uma fonte real não está ligada a um circuito, a
diferença de potencial entre os terminais desta é
exatamente igual ao valor de sua força eletromotriz.
A partir do momento em que se conecta a fonte ao
circuito, esta conduz uma corrente, fazendo com
que a diferença de potencial nos terminais seja
menor que a sua força eletromotriz.
Figura 1 - Esquema de uma fonte de tensão real conectada a um
circuito elétrico contendo um resistor externo (R).
O objetivo do experimento é determinar o valor
da resistência interna (r) da fonte de tensão e sua
força eletromotriz. Para isso, aplicamos um método
denominado método da conservação de energia
para deduzir a relação entre a corrente elétrica que
está passando pelo circuito, a força eletromotriz da
fonte e as resistências interna e externa. Sabemos
que
RiV (2)
,
ViP (3)
e
2RiP (4)
Então, em um intervalo de tempo dt, uma
energia dada por
dtridtP 2
1 (5)
e por
dtRidtP 2
2 (6)
é transformada em energia térmica no resistor R e r
da figura 1 (dizemos que essa energia é dissipada).
Durante um mesmo intervalo de tempo dt, uma
carga dada por
dtidq (7)
atravessa a fonte de tensão, e o trabalho realizado
pela fonte sobre a carga é dado pela equação (1),
isto é,
dtidqdW (8)
De acordo com a lei da conservação de energia,
o trabalho realizado pela fonte é igual à energia
térmica dissipada nos resistores. Assim,
dtRidtridti 22 (9)
Manipulando a equação (9), temos
dtiRrdti 2)( (10)
Dividindo ambos os lados da equação (10) por
dt,
2)( iRri (11)
Ainda, dividindo ambos os termos de (11) por
i e resolvendo a equação para i , obtemos
iRr )( (12)
rR
i (13)
A equação (13) nos dá a relação desejada entre
i , , R e r .
Então, numa fonte real, a diferença de potencial
entre os dois terminais nunca será igual à força
eletromotriz, pois, quando a corrente passa pelos
resistores, o sistema perde potencial dado pelo
negativo da equação (2). Assim, quando mais
cargas resistivas houverem no circuito, maior será a
diminuição do potencial provindo da força
eletromotriz.
Dada a relação (13), pede-se para determinar
experimentalmente os valores de r e . Para isso,
manipulamos a equação (13) de modo a deixar a
resistência externa em função dos demais termos.
Assim,
ri
R (14)
Com a equação (14), mediante simples
substituição de variáveis, podemos determinar uma
relação linear entre os termos R e i . Então, como a
equação de uma reta é dada por
BAxy (15)
substituímos os coeficientes e termos de (14) em
(15), obtendo
Ry (16)
i
x1
(17)
A (18)
rB (19)
Logo, ao plotar um gráfico (4) de R em função
do inverso da corrente (1i ), linearizamos a
equação (14). Aplicando o Método dos Mínimos
Quadrados, encontramos os valores dos coeficientes
A e B da equação (14), conforme queríamos.
Procedimento Experimental
Para a realização deste trabalho, foi montado
um experimento utilizando os seguintes materiais:
Placa para montagem do circuito elétrico;
Fonte de tensão de fem =1,55V e
resistência interna r = 217 Ω;
Cabos do tipo “banana-banana” para
conexão elétrica;
Dois multímetros digitais;
Interruptor;
Oito resistores com resistências variando
entre 10 Ω e 1KΩ.
Em posse de todos os materiais citados, foi
montado um circuito conforme o da figura (2).
Com a fonte conectada ao circuito, fixaram-se
dois pontos “A” e “V” nos quais foram colocados
os dois multímetros digitais para fazer a leitura da
tensão e da corrente que passava pelo circuito.
Figura 2 - Circuito utilizado no experimento.
Na posição “A”, foi colocado um multímetro na
função amperímetro. Tal ponto foi escolhido devido
à presença do resistor externo (R) e do interruptor,
pois, com base em R, poderíamos determinar o
valor da resistência interna da fonte e sua força
eletromotriz medindo a corrente elétrica que fluía
após sua passagem pelo resistor R devido ao
fechamento do interruptor.
Na posição “V”, foi colocado o segundo
multímetro na função voltímetro. Escolheu-se esse
ponto pois gostaríamos de determinar a queda de
tensão no circuito como um todo mediante a
variação do resistor externo.
Assim, fechando o interruptor, mediu-se,
através da leitura mostrada nos multímetros, os
valores da tensão e da corrente relacionados com o
resistor externo utilizado. Foram feitas medidas
para os oito resistores e, de um modo geral, foi
plotada a tabela (1), relacionando a queda de tensão
e a corrente com cada resistor.
Resultados e Análise
Com o auxílio de um amperímetro de precisão
igual a 1,0 10-2
A e de um voltímetro de precisão
igual a 1,0 10-2
V, foram medidos os valores da
corrente elétrica e da queda de tensão em cada
resistor. Tais valores foram anotados e relacionados
na tabela (1).
Resistor Resistência (Ω) Corrente (A) Tensão (V)
1 22 6,490 x 10-3
0,220
2 33 6,180 x 10-3 0,270
3 68 5,450 x 10-3 0,430
4 100 4,860 x 10-3 0,540
5 220 3,550 x 10-3 0,820
6 560 2,000 x 10-3 1,130
7 800 1,500 x 10-3 1,240
8 1000 1,280 x 10-3 1,280
Tabela 1 - Relação entre a resistência externa, corrente e tensão.
De posse dos valores da tabela (1), foi plotado o
gráfico (1), o qual relaciona o comportamento da
queda de tensão nos resistores em função da
corrente elétrica que passa pelo circuito.
Gráfico 1 - Relação entre a tensão e corrente.
Podemos notar que esta relação entre a queda de
tensão e a corrente no circuito é inversamente
proporcional. Da equação (13), sabemos que a
corrente diminui quando aumentamos os valores de
R e aumenta quando diminuímos estes valores.
Assim, substituindo (13) em (2), obtemos
rR
RV (20)
Dividindo o numerador e o denominador de (20)
por R, temos que
R
rV
1
(21)
Assim, percebemos em (13) que quando ocorre
o aumento do valor da resistência R (visto que r é
constante), a intensidade da corrente elétrica decai.
Em (19), vemos que quando R cresce, a tensão
aumenta. Então, em relação à resistência externa, a
queda de tensão e a corrente elétrica que passa
pelos resistores são inversamente proporcionais.
A necessidade de mostrar esta relação entre
corrente e tensão decorreu somente para estudar
como estas grandezas se comportam à medida em
que varia-se o resistor externo.
Dito isso, foram plotados dois gráficos (gráfico
(2) e gráfico (3)), os quais evidenciam de uma
maneira mais nítida esta relação entre tensão,
corrente e resistência, comprovando o que foi
comentado anteriormente.
Gráfico 2 - Relação entre a queda de tensão e a resistência externa.
Gráfico 3 - Relação entre a corrente e a resistência externa.
A partir do gráfico (3), pôde-se encontrar uma
maneira para determinar experimentalmente os
valores da força eletromotriz e da resistência
interna da fonte utilizada. Com isso, houve a
necessidade de linearizá-lo, a fim de facilitar a sua
análise e interpretação.
Para fazer a linearização, foi criada uma tabela
(2), relacionando os resistores com o inverso da
corrente que passava por eles. Logo, teve-se
Resistor Resistência (Ω) Corrente -1 (A-1
)
1 22 154,0832
2 33 161,8123
3 68 183,4862
4 100 205,7613
5 220 281,6901
6 560 500,0000
7 800 666,6667
8 1000 781,2500
Tabela 2 - Relação entre a resistência externa e o inverso da
corrente.
Com os valores da tabela (2), foi plotado o
gráfico (4), o qual evidencia um comportamento
aparentemente linear da resistência em função do
inverso da corrente.
Gráfico 4 - Relação entre a resistência externa e o inverso da
corrente.
Baseando-se no comportamento do gráfico (4),
foi aplicado o método dos mínimos quadrados, a
fim de determinar a melhor reta que se ajustava à
curva de pontos obtida. Após a aplicação do
método e por meio das equações (14), (15), (16),
(17), (18) e (19), pôde-se determinar o valor da
força eletromotriz e o da resistência interna da fonte
trabalhada. Tais valores foram anotados na tabela
(3).
Coeficiente Significado Valor
A Força Eletromotriz 1,5458
B - (Resistência Interna) - 216,69274
Tabela 3 - Coeficientes provindos do MMQ.
Logo,
Item Valor Real Valor Obtido
(Ajustado)
Erro Relativo
Percentual
Força
Eletromotriz 1,55 V 1,5458 V 0,27%
Resistência
Interna 217 Ω 216,69274 Ω 0,14%
Tabela 4 - Comparação entre os valores medidos com os valores
obtidos experimentalmente (ajustados).
Ainda, pôde-se analisar um segundo item, o
qual era verificar o teorema da condição de máxima
transferência de potência da fonte para a carga
resistiva. Para isso, criou-se um conjunto de dados
relacionando a potência dissipada com cada resistor
utilizado.
Resistor Resistência (Ω) Potência Dissipada em
R - Medida (W)
1 22 0,93 x 10-3
2 33 1,26 x 10-3
3 68 2,02 x 10-3
4 100 2,36 x 10-3
5 220 2,77 x 10-3
6 560 2,24 x 10-3
7 800 1,80 x 10-3
8 1000 1,64 x 10-3
Tabela 5 - Potência dissipada (medida) em cada resistor R.
A tabela (5) foi montada utilizando os valores
medidos diretamente nos multímetros (valores da
tabela (1)). Para o cálculo da potência dissipada em
cada resistor, foi utilizada a equação (4).
Com os valores da tabela (5), foi plotado o
gráfico (5), relacionando a potência dissipada no
resistor externo com os respectivos resistores R.
Gráfico 5 - Potência (medida) dissipada no resistor externo em
função dos resistores externos.
A fim de obter uma comparação entre os valores
reais (valores medidos) com os obtidos
experimentalmente (ajustados), criou-se a tabela
(6). Na tabela (6) foram dispostos os valores das
potências dissipadas (ajustadas) no resistor externo,
isto é, com os dados obtidos por meio do processo
de linearização do gráfico (4) – coeficientes A e B –
foi determinada uma corrente elétrica ajustada em
função de cada resistor R. E, com o valor desta
corrente, apenas substituindo-o na equação (4),
obteve-se o valor da potência ajustada no resistor.
Resistor Resistência (Ω) Potência Dissipada
em R – Ajustada (W)
1 22 0,92 x 10-3
2 33 1,26 x 10-3
3 68 2,00 x 10-3
4 100 2,38 x 10-3
5 220 2,76 x 10-3
6 560 2,22 x 10-3
7 800 1,85 x 10-3
8 1000 1,62 x 10-3
Tabela 6 - Potência dissipada (ajustada) em cada resistor R.
A partir da tabela (6), foi plotado o gráfico (6).
Observe que ser comportamento está muito
próximo ao comportamento da curva do gráfico (5),
mostrando satisfatoriedade nos resultados obtidos
até então.
Gráfico 6 - Potência (ajustada) dissipada no resistor externo em
função dos resistores externos.
Também, foi calculada a potência dissipada no
resistor interno em função dos resistores externos.
Com isso, foi montada a tabela (7) e, com estes
valores, foi plotado o gráfico (7), conforme segue.
Resistor Resistência (Ω) Potência Dissipada
em r (W)
1 22 9,14 x 10-3
2 33 8,29 x 10-3
3 68 6,45 x 10-3
4 100 5,13 x 10-3
5 220 2,73 x 10-3
6 560 0,87 x 10-3
7 800 0,49 x 10-3
8 1000 0,36 x 10-3
Tabela 7 - Relação entre a potência dissipada no resistor interno
e R.
Gráfico 7 - Potência dissipada no resistor interno em função dos
resistores externos.
A partir das potências dissipadas nos resistores
externos e no resistor interno, pôde-se determinar a
potência total dissipada no circuito. Assim, foi
constituída a tabela (8) e, também, plotado o gráfico
(8) relacionado à estes dados.
Resistor Resistência ( Ω)
Potência Total
Dissipada (Pint+Pext)
(W)
1 22 10,05 x 10-3
2 33 9,54 x 10-3
3 68 8,46 x 10-3
4 100 7,48 x 10-3
5 220 5,50 x 10-3
6 560 3,11 x 10-3
7 800 2,29 x 10-3
8 1000 1,99 x 10-3
Tabela 8 - Potência total dissipada nos resistores.
Gráfico 8 - Potência total dissipada nos resistores em função da
resistência externa.
Para uma melhor visualização, os gráficos
relacionados às potências dissipadas foram postos
num único gráfico (gráfico (9)).
Gráfico 9 - Potências dissipadas em função da resistência.
Analisando o gráfico (9), temos que a potência
dissipada nos resistores externos (carga resistiva) é
conhecida como potência útil, isto é, a potência
provinda da fonte que realmente será utilizada
(dissipada) pela carga que estiver no circuito. A
potência dissipada no resistor recebe o nome de
potência dissipada, pois está acaba sendo
transformada em energia térmica dentro da própria
fonte, sendo, portanto, inutilizada pelos demais
elementos do circuito.
Ainda interpretando as curvas do gráfico (9),
percebemos que as curvas formadas pelas potências
dissipadas nos resistores externos (medida e
ajustada) possuem um ponto de máximo. Neste
ponto ocorre um fenômeno interessante, a máxima
transferência de potência da fonte para o resistor
externo.
Para determinar este ponto, substituímos a
equação (13) em (4) e calculamos a sua primeira
derivada, igualando-a a zero. Assim, temos:
rR
R
rRRRiP
22
2
(22)
Derivando (20):
0)(
)(2)(4
22
rR
rRRrR
dR
dP
0)(
2
)(
132
2
rR
R
rRdR
dP (23)
Manipulando a equação (23):
3
2
2
2
)(
2
)( rR
R
rR
Dividindo ambos os termos por 2
:
32 )(
2
)(
1
rR
R
rR
Multiplicando ambos os membros por
2)( rR :
rR
R21 (24)
Assim, multiplicando ambos os termos de (24)
por rR :
RrR 2 (25)
Subtraindo R de ambos os lados da equação
(25), obtemos, por fim:
Rr (26)
Isto significa que a máxima transferência de
potência da fonte para a carga resistiva ocorrerá
quando o valor da resistência externa assumir o
mesmo valor da resistência interna da fonte.
Então, analisando a curva descrita pela potência
dissipada no resistor externo, temos que quando o
valor de sua resistência é menor que o valor da
resistência interna da fonte, esta é obrigada a gerar
muita energia elétrica, onde boa parte desta energia
é dissipada na própria fonte. Isto tem um efeito
ruim, pois pode superaquecê-la, aumentando
consideravelmente o consumo de energia (se for
uma bateria ou pilha, ela acabará descarregando-se
muito mais rápido que o normal), podendo danificá-
la. Notamos que, pela equação (13), a corrente que
passa pelo circuito é uma função inversamente
proporcional ao valor da resistência externa. Como
o valor dessa resistência está aumentando
gradativamente, a corrente decai. Com a corrente
caindo, a diferença de potencial nos resistores
também decai. Logo, as potências dissipadas, tanto
em R quanto em r, também deveriam cair.
Entretanto, a potência dissipada no resistor externo
cresce. Ela cresce, pois, neste intervalo, a maior
parte da potência total gerada pela fonte está sendo
dissipada no resistor interno, visto que r >R e, que a
corrente, mesmo decaindo, é igual em ambos os
resistores. Por isso, a dissipação de potência na
resistência externa cresce, compensando a queda da
corrente, fazendo com que a dissipação no resistor
interno decaia mais rápido. Vemos ainda que a
maior parte da potência gerada não é aproveitada
pelos componentes resistivos do circuito, pois, sua
maior parte é transformada em calor na própria
fonte, sendo assim, “perdida”.
Quando os valores das resistências são iguais, a
corrente continua caindo, mas ainda assim é a
mesma em ambos resistores. Com isso, a diferença
de potencial nos resistores é a mesma, resultando
numa igualdade entre as potências dissipadas. Com
essa igualdade na dissipação, tem-se que a potência
total gerada acaba sendo dissipada 50% em cada
resistor. Embora tenha-se a máxima transferência
de potência para o resistor externo, percebemos que
a eficiência da fonte não é máxima. Isso é
facilmente evidenciado ao ver a igualdade da
dissipação das potências, onde metade da potência
gerada foi dissipada na própria fonte em forma de
calor. Assim, apenas 50% da potência gerada foi
realmente aproveitada e utilizada pela carga
resistiva.
A partir do momento em que o valor da
resistência externa é maior que o da resistência
interna, vemos que a corrente decai de uma forma
mais abrupta. Com isso, a diferença de potencial no
resistor interno decaiu mais que a diferença de
potencial no resistor externo. Como R é maior que
r, a maior parte da potência gerada passou a ser
dissipada no resistor externo. Portanto, ambas as
curvas passaram a ter um comportamento
decrescente, pois não houve mais a necessidade de
compensar a queda da corrente como na situação
em que a resistência interna tem um valor maior
que a externa, visto que em r a potência decai muito
mais rápido do que em R.
Assim, podemos perceber que quando o valor
do resistor interno à fonte for muito menor que o
valor do resistor externo, quase toda a potência
gerada pela fonte será efetivamente transferida e
dissipada em R. Embora o resistor interno ainda
dissipe uma fração da potência gerada, está é muito
pequena ao ser comparada com a potência que foi
dissipada no resistor externo, podendo assim ser
desprezada.
Conclusão
O experimento realizado teve como objetivo
principal determinar a força eletromotriz e a
resistência interna de uma fonte de tensão real,
além de verificar o teorema da máxima
transferência de potência.
A determinação da força eletromotriz e da
resistência interna da fonte deu-se através da
passagem de corrente elétrica em um circuito
contendo uma resistência externa R. Com isso,
medindo a corrente e a queda de tensão nos
resistores, foi possível plotar um gráfico linear da
resistência externa em função do inverso da
corrente. Através deste gráfico foi possível
determinar experimentalmente o valor da força
eletromotriz da fonte utilizada no experimento e,
também, o valor da resistência interna, obtendo
1,5458 V e 216,69 Ω.
Ao comparar os valores ajustados graficamente
neste trabalho com os valores medidos previamente
com o auxilio dos multímetros para a confecção da
tabela (1), obteve-se um erro relativo percentual de
0,27% para a força eletromotriz e de 0,14% para a
resistência interna.
Além disso, pôde-se demonstrar que a corrente
elétrica que flui pelo circuito e a queda de tensão
nos resistores são funções das cargas resistivas
presentes neste. Como a força eletromotriz e o valor
da resistência interna da fonte são fixas, teve-se
que, com o aumento do valor da resistência externa,
a corrente decaiu, enquanto a tensão mostrou ter um
comportamento diretamente proporcional ao valor
da resistência.
Para verificar o teorema da máxima
transferência de potência, foram plotados gráficos
que relacionam as potências dissipadas nos
resistores interno e externo com a variação dos
resistores externos.
Analisando estes gráficos, foi detectado um
ponto em que a potência dissipada no resistor
externo foi máxima. Este ponto ocorreu quando os
valores das resistências foram igualadas, obtendo
uma potência útil de ~5,50 x 10-3
W. A fonte
deveria acabar fornecendo toda a sua potência para
o circuito e a dissipando por completo na carga
resistiva. Entretanto, na prática, esta situação não
ocorreu. Metade da potência total gerada pela fonte
acabou sendo dissipada em forma de calor nela
mesma, forçando-a a gerar energia elétrica.
Para evitar esta perda de potência, aumentando
a eficiência do uso da fonte, é aconselhável fazer
com que a resistência interna da fonte seja quase
nula, isto é, ao ser comparada com a resistência
externa, a potência dissipada na fonte é desprezível.
Assim, praticamente toda a potência gerada acaba
sendo transformada em potência útil e sendo
dissipada no resistor externo, tendo máxima
eficiência.
Portanto, quando trabalhando com sistemas
eletrônicos, quer-se que a perda de energia seja a
mínima possível. Faz-se, então, que o valor das
resistências dos receptores sejam igualadas ao valor
da resistência interna, aproveitando quase os 100%
da potência gerada.
De um modo geral, pôde-se concluir que os
resultados obtidos foram satisfatórios.
Referências
[1] Fundamentos de Física, vol. 3: Eletromagnetismo/
Halliday, Resnick, Jearl Walker; tradução e revisão técnica
Ronaldo Sérgio de Biasi. – Rio de Janeiro: LTC, 2009.
[2] Nussenzveig, Herch Moysés – Curso de Física Básica –
vol. 3: Eletromagnetismo. 4ª Edição – São Paulo: Edgard
Blücher, 2002.
[3] Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. – Lectures
on Physics – vol. 2: Eletromagnetism and Matter – CALTECH,
1964.
