UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

CENTRO TECNOLÓGICO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

INTRODUCÃO À MECÂNICA DOS FLÚIDOS

TRABALHO COMPUTACIONAL

RELATÓRIO 1

ANDREI CARLOS BASTOS

VITÓRIA

2014

1 OBJETIVO

Este e o primeiro relatorio referente ao trabalho da disciplina Mecanica dos Solidos,

com objetivo de resolver a questao abaixo:

”Uma placa plana fina horizontal, presa por uma haste vertical tambem fina, esta

imersa em um fluxo uniformede ar a 20 ◦C. Calcular a forca de arraste nas duas faces,

desprezando-se os efeitos de bordos, tanto de ataque quanto de escape.

Se existe uma geracao termica na placa, dada por 200W/cm2, calcular o calor total

trocado (especifique um coeficiente de filme apropriado).As dimensoes da placa sao:

A = 5m

B = 10m

Divida a placa em 20 tiras de 5m · 50cm para solucaao discreta. Utilizar M1, com o

compilador Fortran e o CFD Studio (2 solucoes)”

Figura 1 – Figura referente a questao computacional

Os objetivos deste relatorio sao:

1. Gerar uma descricao detalhada do que vai ser feito;

2. Compilar e executar o caso exemplo do M1.

2 DECLARACAO DETALHADA DO QUE

SERA FEITO

As equacoes para fluxo laminar incompreenssıvel em uma placa plana onde o gradiente

de pressao e nulo, sao obtidas a partir das equacoes de Navier Stokes. Assim:

A equacao de continuidade:∂vx∂x

+∂vy∂y

= 0 (2.1)

A equacao de momento:

vx∂vx∂x

+ vy∂vx∂y

= v∂2vx∂y2

(2.2)

Onde:

v –viscosidade cinematica

µ – viscosidade

As condicoes de fronteira para as equacoes acima sao:

vx(x, 0) = 0 (2.3)

vy(x, 0) = 0 (2.4)

vx(x,∞) = Us (2.5)

Onde Us e a velocidade do vapor livre.Uma aproximacao das cinco equacoes chega-se

a:

η = y

√

Us

vx(2.6)

ψ =√

vxUs · f(η) (2.7)

Sabendo η, f(η) e a funcao a ser testada no compilador. Alem disso, podemos definir

novas equacoes anteriores podemos definir novas formas para Vx e Vy, tais que:

Vx =∂ψ

∂y

Vs =∂(√vxUf(η))

∂y

Vx =√

vxU ·∂f(η)

∂η· ∂η∂y

Mas como η = y√

Us

vxe ∂η

∂y=

√

Us

vx,assim:

Vx =√

vxUs ·∂f(η)

∂η·√

Us

vx

Vx = Us ·∂f(η)

∂η

Vx = Us · g2

Para Vy, temos:

Vy = −∂ψ

∂x

Vy = −∂(√vxUs · f(η))∂x

Vy = −√

vUs ·∂(x

1

2f(η)

∂x

Vy = −√

vUs(x1

2 · ∂f(η)∂η

· ∂η∂x

+ f(η) · 12· x−1

2 )

Mas como η = y√

Us

vxe ∂η

∂x= y

√

Us

v· −1

2· x−3

2 , entao:

Vy =y

2x· Usg2 ·

1

2√x·√

vUs · g1

Daı:

| Vx,y |=√

V 2x + V 2

y (2.8)

θ = tg−1(VyVx

) (2.9)

3 COMPILAR E EXECUTAR O CASO DO

EXEMPLO M1

A funcao que sera compilada e dada por:

f · ∂2f

∂η2+ 2 · ∂

3f

∂η3(3.1)

Com as seguintes condicoes iniciais:

f(0) = 0 (3.2)

∂f(0)

∂η= 0 (3.3)

∂f(∞)

∂η= 1 (3.4)

Para que a equacao 3.1 seja resolvida, precisamos escolher um algortimo computacio-

nal para obtermos a solucao do problema. Para tanto, utilizaremos a subrotina RKF45

(Runge-Kutta-Fehlberg Method), ja que e a melhor escolha para a resolucao de equacoes

diferenciais quando a malha e aumentada. Este metodo numerico sera detalhado no se-

gundo relatorio individual.

Cada ponto do nosso espaco possui uma coordenada (x, y) que se relaciona com a

velocidade V do fluido. Tendo Vx e Vy, sera possıvel obter o perfil das velocidades deste

sistema. Assim, podemos dizer que a solucao e obtida dividindo V em suas componentes

vetoriais Vx e Vy.

Para facilitar a entrada de dados no compilador e neste relatorio, vamos substituir

algumas variaveis, tal que:

r1 = f (3.5)

r2 =∂f

∂η(3.6)

r3 =∂2f

∂η2(3.7)

Inserindo os dados no programa e tomando o resultado final, que e dado apos 20

iteracoes do metodo RKF45, temos as seguintes tabelas-resultado para tiras de 0.5m:

η r1 r2 r31 0.934555 0.500000 0.2000002 1.313720 0.400000 0.1000003 1.132131 0.350000 0.0500004 1.035704 0.325000 0.0250005 0.985779 0.337500 0.0125006 1.010895 0.331250 0.0062507 0.998376 0.334375 0.0031258 1.004646 0.332813 0.0015639 1.001514 0.332031 0.00078110 0.999946 0.332422 0.00039111 1.000730 0.332227 0.00019512 1.000338 0.332129 0.00009813 1.000142 0.332080 0.00004914 1.000044 0.332056 0.00002415 0.999995 0.332068 0.00001216 1.000019 0.332062 0.00000617 1.000007 0.332059 0.00000318 1.000001 0.332057 0.00000219 0.999998 0.332058 0.00000120 0.999999 0.332058 0.000000

Tabela 1 – Tabela obtida das iteracoes do RK45

4 CONCLUSAO

O metodo utilizado na resolucao deste problema foi satisfatorio, todavia pode apre-

sentar grandes esforcos computacionais a medida em que a malha aumenta de tamanho,

pois isso acarreta um maior numero de iteracoes para que a solucao se aproxime de seu

valor real.

Podemos concluir tambem que a obtencao de uma solucao numerica e melhor do que

uma solucao analıtica, isto e, a solucao numerica aproxima melhor valores de η quando

este tende ao infinito nas condicoes de fronteira.