Relatório experimento 6: Ondas senoidais e curvas de Lissajous.

Fenômenos eletromagnéticos

Discentes:

Bruno César Prado Cássio Gonçalves Falcão

Fernando Henrique Gomes Zucatelli Thiago Rodrigues Brito

Profº Marcio Peron Godoy

Santo André

2010

Sumário

1. INTRODUÇÃO..................................................................................................................2 2. OBJETIVOS.......................................................................................................................3 3. PARTE EXPERIMENTAL................................................................................................3

3.1. Materiais .....................................................................................................................3 3.2. Métodos ......................................................................................................................3

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO .......................................................................................4 4.1. Parte 1 .........................................................................................................................4 4.2. Parte 2 .........................................................................................................................5 4.3. Parte 3 .........................................................................................................................7

5. CONCLUSÃO....................................................................................................................8 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...............................................................................8

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1. INTRODUÇÃO

O osciloscópio é um instrumento utilizado para observar, analisar e quantificar

sinais elétricos que variam com o tempo. Ele representa num gráfico uma função V(t)

em que V(t) é um potencial elétrico (tensão elétrica ou diferença de potencial elétrico

– ddp), e permite visualizar a evolução temporal de um sinal ou a sua evolução

relativamente a um outro sinal, e também permite verificar diferenças de fase entre

sinais periódicos.

Nos osciloscópios analógicos a visualização é através de um feixe de elétrons,

como sua massa é pequena e por serem carregados, eles são acelerados e

defletidos por um campo magnético ou elétrico [1]. Apesar deste aparelho permitir

apenas a visualização e a análise de tensões elétricas, a sua aplicação não se limita

ao mundo da eletrônica, o osciloscópio permite observar muitos fenômenos e medir

muitas grandezas, desde que se use um transdutor adequado (aparelho que

transforma um estímulo físico, tal como o som, a luz, o calor, a pressão em sinal

elétrico) [2].

Figuras de Lissajous (devido a Jules Antoine Lissajous ou ainda curva de

Bowditch – devido a Nathaniel Bowditch, ambos trabalharam com este tipo de

equações paramétricas) são imagens formadas quando aplicadas tensões senoidais

simultaneamente nas placas defletoras horizontais e verticais. Uma aplicação das

curvas é a determinação da relação entre as frequências comparando a figura obtida

com uma de referência e outra aplicação é a determinação do ângulo fase δ,

também se comparando figuras quando as frequências são diferentes ou ainda

quando as tensões aplicadas têm a mesma frequência e amplitude é possível

calcular com os dados da Figura 1 na equação (1). Todavia as imagens só podem

ser obtidas se as amplitudes das placas defletoras verticais e horizontais forem

iguais.

Em todas as figuras o diagrama em um certo número de pontos toca as linhas

horizontais e verticais, assim a relação do número de pontos de tangência é igual a

relação das frequências [3].

Na Figura 1 tem-se um figura de referência para valores medidos numa curva

de Lissajous quando a relação de frequência é 1:1. Estes valores são usados de

acordo com a equação (1) para calcular a diferença de fase δ.

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Figura 1 – parâmetros necessários para medir diferença de fase entre dois sinais de igual frequência.

1 11 1

2 2

sin siny x

y xδ

− −

= =

(1)

Outra forma de se calcular o ângulo de defasagem δ é igualando os valores

das duas senóides, x(t) e y(t), sendo cada uma delas de acordo com as equações

(2) e (3):

( ) .cos( )x t A tω= (2)

( ) .cos( )y t B tω δ= + (3)

2. OBJETIVOS

Este experimento tem por objetivo identificar amplitude, período e frequência

de diversos tipos de sinais e também identificar diferença de fase entre sinais de

mesma frequência e as curvas de Lissajous para diferentes razões de freqüências

entre os sinais.

3. PARTE EXPERIMENTAL

3.1. Materiais

• 2 fontes geradoras de sinal Tektronix modelo AFG 3021B.

• 1 osciloscópio digital Tektronix modelo TDS 2022B.

• Cabos BNC.

• Papel milimetrado.

3.2. Métodos

Cada gerador de sinais teve sua saída conectada a um canal do osciloscópio.

As frequências, amplitudes e fases de ambos os geradores foram ajustadas

para os mesmo valores de forma que fosse possível perceber a diferença entre o

valor exibido no gerador de sinais e o medido no osciloscópio.

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A partir disto foram colocadas algumas combinações de diferentes ondas e

medidos com uso do recurso “cursor” do osciloscópio a amplitude e o período do

sinal, além da defasagem entre os dois sinais.

Estas figuras foram reproduzidas em papel milimetrado, juntamente com sua

respectiva figura de Lissajous. Em seguida foram utilizadas as figuras de Lissajous

para determinar a diferença de fase e a relação das frequências.

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

4.1. Parte 1

Na Figura 2 encontra-se uma onda senoidal com uma amplitude de 0,5 V e

com período de 5 ms o que implica em uma frequência de 200 Hz.

Figura 2 – Onda senoidal para f1 = 200 Hz.

Na Figura 3 encontra-se uma onda quadrada com uma amplitude de 0,5 V e

com período de 5 ms o que implica em uma frequência de 200 Hz.

Figura 3 – Onda quadrada para f1 = 200 Hz.

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Na Figura 4 encontra-se uma onda triangular com uma amplitude de 0,5 V e

com período de 5 ms o que implica em uma frequência de 200 Hz.

Figura 4 – Onda triangular para f1 = 200 Hz

4.2. Parte 2

Na Tabela 1 os valores de δ das respectivas figuras foram encontrados

utilizando a equação (1).

Tabela 1 – Ângulos (°) de defasagem pelas figuras de Lissajous.

Y1 Y2 δ (°)

Figura 5 1,0 1,0 90,0

Figura 6 0,0 1,0 0,0

Figura 7 0,5 1,0 30,0

Figura 5 – Onda senoidal defasada em 90° e sua respectiva figura de Lissajous

Figura 6 - Onda senoidal sem defasagem e sua respectiva figura de Lissajous

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Figura 7 - Onda senoidal defasada em 30° e sua respectiva figura de Lissajous

Também foi comparado através do método matemático igualando as funções

x(t) e y(t + ∆t), de acordo com as equações (2) e (3), da seguinte forma: dadas

funções x(t) e y(t) com mesma amplitude mas defasadas δ graus, uma delas atinge o

valor de pico após a outra em um intervalo ∆t de tempo e ambas devem possuir a

mesma frequência.

( ) ( )

.cos( ) .cos( ( ) );

cos( ) cos( ( ) )

x t y t t

A t B t t A B

t t t

ω ω δ

ω ω δ

= + ∆

= + ∆ + =

= + ∆ +

(4)

Usando t = 0 por conveniência, para ter δ em função de ω e ∆t tem a equação

(5), na qual δ é dado em radianos.

cos(0) cos( . ) . ; 2 2t t f f tω δ δ ω ω π δ π= ∆ + ⇒ = − ∆ = ∴ = − ∆ (5)

Assim, lendo as divisões para o período de cada onda e a diferença de tempo

entre dois picos das ondas (∆t), e conhecendo a relação tempo / divisão ajustada no

osciloscópio pode também calcular a defasagem. Os valores calculados desta

maneira para as mesmas figuras da Tabela 1 estão na Tabela 2.

Tabela 2 – Ângulos (°) de defasagem aplicando equação (5) nas ondas em função do tempo.

ms / Div Período T (Div) Período T (s) f (Hz) Δt (DIV) Δt (ms) Módulo de δ (°)

Figura 5 2,5 2,0 0,005 200 0,50 1,25 90

Figura 6 2,5 2,0 0,005 200 0,00 0,00 0

Figura 7 2,5 2,0 0,005 200 0,15 0,38 27 ≅ 30

Comparando os valores das duas tabelas, somente para a Figura 7, houve

alguma diferença, mas justificável pela leitura das divisões do osciloscópio.

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4.3. Parte 3

Nesta parte, serão comparados sinais com diferentes relações entre suas

frequência e suas respectivas curvas de Lissajous.

Figura 8 – Ondas senoidais e figura de Lissajous para f1 = 200 Hz e f2= 200 Hz. 1:1

Para a Figura 8, o valor de δ é de 30° como visto anteriormente na Tabela 1

para a Figura 7.

Na Figura 9, a relação entre as frequências é de 2:1, assim a curva de

Lissajous obtida é uma projeção com eixos x e y trocados em relação à curva 1:2.

Figura 9 – Ondas senoidais e figura de Lissajous para f1 = 400 Hz e f2 = 200 Hz. 2:1.

A Figura 10 mostra sinais cuja relação de frequências é de 3:1. O ocorre o

mesmo efeito de troca de eixos em relação a uma figura para a relação 1:3.

Figura 10 – Ondas senoidais e figura de Lissajous para f1= 600 Hz e f2= 200 Hz. 3:1.

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5. CONCLUSÃO

Conclui-se que o osciloscópio permite visualizar e mensurar diversas

grandezas utilizadas em sinais elétricos.

Com o uso do osciloscópio também é possível comparar 2 sinais entre si, seja

pelo uso do modo V(t), em que se visualizam ambos os sinais e pode-se calcular

suas grandezas em relação ao tempo, ou seja pelo modo XY, em que cada sinal é

responsável por um eixo (vertical / horizontal) do plano de visualização, neste plano

são vistas as curvas de Lissajous e a partir da medição de alguns valores também é

possível verificar a defasagem entre sinais e/ou relação entre frequências ou pode-

se simplesmente comparar a figura obtida com uma figura de referência.

6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: Eletromagnetismo, 4.ed. Rio de Janeiro, LTC, 1996. v.3.

[2] RÓLDAN, José. Manual de medidas elétricas, Curitiba, Editora Homus

[3] CURSO de osciloscópio. Departamento de Engenharia Elétrica – Universidade Federal de Mato Grosso do Sul. Disponível em <http://www.del.ufms.br/tutoriais/oscilosc/oscilosc.htm>. Acesso em 25 de abr. 2010.