UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.1) 7 Ajuste de Curvas

7Ajuste de Curvas

Ajuste de curvas.

Mtodo dos mnimos quadradosAplicao tpica:Prever o comportamento de uma varivel dependente (Y) a partir do valor de uma varivel independente (x)Logo: Y uma VA cuja distribuio depende de x

Ajuste de curvas.

Mtodo dos mnimos quadradosCaso linear:

Y = a + b x + e

onde e uma varivel aleatria

uma estimativa de Y pode ser obtida a partir de:onde a e b so constantes

Ajuste de curvas.

mmq - caso linearPara cada ponto experimental (xi, yi) o erro ser:e o erro quadrtico:que, quando minimizado em relao a a e b, leva s equaes normais:

Ajuste de curvas.

inferncias baseadas nos estimadores do mmq definindo:

Ajuste de curvas.

inferncias baseadas nos estimadores do mmqa soluo das equaes normais :a varincia estimada a partir das somas dos erros quadrticos residuais por:

Ajuste de curvas.

intervalos de confiana para os coeficientesIntervalos de confiana para a e b:

Ajuste de curvas.

intervalos de confiana para os coeficientesintervalos de confiana para a + b x0intervalos de predio

Ajuste de curvas.

regresso curvilinearLinearizar onde for possvel:a) y = a bxlog y = log a + x log b

b)y = 1/(a + b x)1/y = a + b xz = a + b x,sendo z = 1/y

Ajuste de curvas.

ajustes de polinmiosy = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bp xp

Equaes normais:y = n b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bp xpxy = n b0 x + b1 x2 + b2 x3 + ... + bp xp+1

:xpy = n b0 xp + b1 xp+1 + b2 xp+2 + ... + bp x2p

Ajuste de curvas.

regresso mltiplay = b0 + b1 x1 + b2 x2 + ... + br xr

Equaes normais: (ex. r = 2)y = n b0 + b1 x1 + b2 x2x1y = b0 x1 + b1 x12 + b2 x1x2x2y = b0 x2 + b1 x1x2 + b2 x22

Ajuste de curvas.

verificao da adequabilidade do modeloPara verificar se o modelo de regresso escolhido adequado, deve-se:

Plotar os resduosVerificar a normalidade dos resduos

Ajuste de curvas.

Ajuste de curvas.

notao matricialO sistema de equaes:Pode ser escrito na notao matricial como:Cuja soluo :[x]{b} = {y}{b} = [x]-1{y}

Ajuste de curvas.

notao matricialO sistema de equaes redundantes (mais equaes que incgnitas):Tambm pode ser escrito na notao matricial como:Porm, sua soluo no pode ser obtida da mesma forma que o caso anterior porque matrizes no quadradas no possuem inversa.[x]{b} = {y}

Ajuste de curvas.

notao matricialPara resolver sistemas de equaes redundantes, faz-se:Cuja soluo :Que equivale soluo pelo mtodo dos mnimos quadrados{b} = ([x]T[x])-1[x]T{y}[x]T[x]{b} = [x]T{y}

Ajuste de curvas.

exemplo 1: ajuste de uma reta pelo mmqReta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4)y = -0,003227 + 1,044 x

Ajuste de curvas.

ajuste de um polinmioAjustar um polinmio do tipo:{b} = ([x]T[x])-1[x]T{y}y = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bk xkNotao matricial:[x]{b} = {y}

Ajuste de curvas.

ajuste de uma funoAjustar uma funo do tipo:{b} = ([x]T[x])-1[x]T{y}y = b0 + b1 ln(x) + b2 cos(x2) + ... + bk xNotao matricial:[x]{b} = {y}

Ajuste de curvas.

clculo dos resduosNo caso geral em que:A varincia do resduo pode ser estimada por:

Ajuste de curvas.

clculo da matriz de covarinciaMatriz de covarincia:que pode ser estimada por:

Ajuste de curvas.

intervalos de confiana para coeficientesPara cada parmetro (coeficiente) calculado:que leva seguinte estimativa de intervalo de confiana para valores interpolados pela equao:

Ajuste de curvas.

intervalos de confiana para predio:Para predio de valores a partir da equao ajustada, so estimados os seguintes intervalos de confiana:

Ajuste de curvas.

exemplo 2: clculo de resduos e varinciaReta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4)y = -0,003227 + 1,044 xresduos:varincia:

Ajuste de curvas.

exemplo 2: covarincias e intervalosmatriz de covarincias:Intervalos de confiana para os parmetros ajustados:

Ajuste de curvas.