UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.1)
77Ajuste de Curvas
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.2)
Método dos mínimos quadradosMétodo dos mínimos quadrados• Aplicação típica:
– Prever o comportamento de uma variável dependente (Y) a partir do valor de uma variável independente (x)
– Logo: Y é uma VA cuja distribuição depende de x
Y
X
f(Y)
Y = + x
x1 x2 x3
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.3)
Método dos mínimos quadradosMétodo dos mínimos quadrados• Caso linear:
Y = + x +
– onde é uma variável aleatória
• uma estimativa de Y pode ser obtida a partir de:
bxay ˆ
– onde a e b são constantes
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.4)
mmq - caso linearmmq - caso linearPara cada ponto experimental (xi, yi) o erro será:
)(ˆ iiii xbayyye
n
iii xbay
1
2)(
n
i
n
ii
n
iiii
n
i
n
iii
xbxayx
xbnay
1 1
2
1
1 1
e o erro quadrático:
que, quando minimizado em relação a “a” e “b”, leva às equações normais:
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.5)
inferências baseadas nos estimadores do mmqinferências baseadas nos estimadores do mmq
definindo:
n
i
n
iii
n
iixx x
nxxxS
1
2
1
22
1
1)(
n
i
n
iii
n
iiyy y
nyyyS
1
2
1
22
1
1)(
n
i
n
ii
n
iiii
n
iiixy yx
nyxyyxxS
1 111
1))((
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.6)
inferências baseadas nos estimadores do mmqinferências baseadas nos estimadores do mmq• a solução das equações normais é:
xx
xy
SS
b
xbya
n
i
xxxyyyiie n
SSSxbay
nS
1
222
2/)(
)]([21
• a variância é estimada a partir das somas dos erros quadráticos residuais por:
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.7)
intervalos de confiança para os coeficientesintervalos de confiança para os coeficientes
xxea
xxe
SStb
Sx
nSta
1..:
1.:
2/
2
2/
• Intervalos de confiança para e :
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.8)
intervalos de confiança para os coeficientesintervalos de confiança para os coeficientes
intervalos de confiança para + x0
xx
oe S
xxn
Stxba2
2/0)(1..)(
xx
oe S
xxn
Stxba2
2/0)(11..)(
x
y
intervalos de predição
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.9)
regressão curvilinearregressão curvilinear
Linearizar onde for possível:a) y = x
log y = log + x log
b) y = 1/( + x)1/y = + xz = + x, sendo z = 1/y
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.10)
ajustes de polinômiosajustes de polinômios
y = 0 + 1 x + 2 x2 + ... + p xp
Equações normais:y = n b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bp xp
xy = n b0 x + b1 x2 + b2 x3 + ... + bp xp+1
:
xpy = n b0 xp + b1 xp+1 + b2 xp+2 + ... + bp x2p
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.11)
regressão múltiplaregressão múltipla
y = 0 + 1 x1 + 2 x2 + ... + r xr
Equações normais: (ex. r = 2)y = n b0 + b1 x1 + b2 x2
x1y = b0 x1 + b1 x12 + b2 x1x2
x2y = b0 x2 + b1 x1x2 + b2 x22
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.12)
verificação da adequabilidade do modeloverificação da adequabilidade do modelo
Para verificar se o modelo de regressão escolhido é adequado, deve-se:
1. Plotar os resíduos2. Verificar a normalidade dos resíduos
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.13)
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0 1 2 3 4 5
y = 2,0006x + 3,2369
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
y = 3,2229x + 2,3971
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4 5
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.14)
notação matricialnotação matricial
O sistema de equações:
2210
1110
yxbbyxbb
Pode ser escrito na notação matricial como:
2
1
1
0
2
1
11
yy
bb
xx
Cuja solução é:
2
11
2
1
1
0
11
yy
xx
bb
[x]{b} = {y}
{b} = [x]-1{y}
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.15)
notação matricialnotação matricial
O sistema de equações redundantes (mais equações que incógnitas):
3310
2210
1110
yxbbyxbbyxbb
Também pode ser escrito na notação matricial como:
3
2
1
1
0
3
2
1
111
yyy
bb
xxx
Porém, sua solução não pode ser obtida da mesma forma que o caso anterior porque matrizes não quadradas não possuem inversa.
[x]{b} = {y}
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.16)
notação matricialnotação matricial
Para resolver sistemas de equações redundantes, faz-se:
Cuja solução é:
3
2
1
3211
0
3
2
1
321
111
111
111
yyy
xxxbb
xxx
xxx
Que equivale à solução pelo método dos mínimos quadrados
{b} = ([x]T[x])-1[x]T{y}
[x]T[x]{b} = [x]T{y}
3
2
1
321
1
3
2
1
3211
0 111
111
111
yyy
xxxxxx
xxxbb
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.17)
exemplo 1: ajuste de uma reta pelo mmqexemplo 1: ajuste de uma reta pelo mmq
Reta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4)
4,72,52,30,1
1,710,510,310,11
1
0
bb
y = -0,003227 + 1,044 x
4,72,52,30,1
1,70,50,30,11111
1,710,510,310,11
1,70,50,30,11111
1
0
bb
14,8980,16
41,8510,1610,1600,4
1
0
bb
044,1003227,0
1
0
bb
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.18)
ajuste de um polinômioajuste de um polinômio
Ajustar um polinômio do tipo:
nk
knnn
k
k
y
yy
b
bbb
xxx
xxxxxx
2
1
2
1
0
2
2222
1211
1
11
{b} = ([x]T[x])-1[x]T{y}
y = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bk xk
Notação matricial:
[x]{b} = {y}
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.19)
ajuste de uma funçãoajuste de uma função
Ajustar uma função do tipo:
nk
nnn y
yy
b
bbb
xxx
xxxxxx
2
1
2
1
0
2
2222
1211
)cos()ln(1
)cos()ln(1)cos()ln(1
{b} = ([x]T[x])-1[x]T{y}
y = b0 + b1 ln(x) + b2 cos(x2) + ... + bk x
Notação matricial:
[x]{b} = {y}
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.20)
cálculo dos resíduoscálculo dos resíduos
nknn
k
k
xxx
xxxxxx
x
21
22221
11211
1
11
][
ny
yy
y2
1
}{
kb
bbb
b2
1
0
}{
No caso geral em que:
A variância do resíduo pode ser estimada por:
}ˆ]{[}{}ˆ]{[}{1
1)ˆ(1
1ˆ1
22 bxybxykn
yykn
Tn
iii
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.21)
cálculo da matriz de covariânciacálculo da matriz de covariância
)(),(),(),(
),(),()(),(),(),(),()(
][
210
121101
020100
kkkk
k
k
bvârbbcôvbbcôvbbcôv
bbcôvbbcôvbvârbbcôvbbcôvbbcôvbbcôvbvâr
C
Matriz de covariância:
que pode ser estimada por:
12 ][][ˆ][
xxC T
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.22)
intervalos de confiança para coeficientesintervalos de confiança para coeficientes
jjknjjjjknj CtbbCtb .ˆˆ.ˆˆ 2,2/
2,2/
Para cada parâmetro (coeficiente) calculado:
que leva à seguinte estimativa de intervalo de confiança para valores interpolados pela equação:
}{][][}{ˆˆ
}{][][}{ˆˆ
01
02
,2//
/01
02
,2//
0
00
xxxxt
xxxxt
TTknxxy
xxyTT
knxxy
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.23)
intervalos de confiança para predição:intervalos de confiança para predição:
Para predição de valores a partir da equação ajustada, são estimados os seguintes intervalos de confiança:
}){][][}{1(ˆˆ
}){][][}{1(ˆˆ
01
02
,2/0
001
02
,2/0
xxxxty
yxxxxty
TTkn
TTkn
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.24)
exemplo 2: cálculo de resíduos e variânciaexemplo 2: cálculo de resíduos e variância
Reta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4)
y = -0,003227 + 1,044 x
0091,0017,0071,0041,0
044,1003277,0
1,70,50,30,11111
4,72,52,30,1
044,1003227,0
1
0
bb
resíduos:
35500,0044,1003277,0
1,70,50,30,11111
4,72,52,30,1
044,1003277,0
1,70,50,30,11111
4,72,52,30,1
1141ˆ 2
T
variância:
UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.25)
exemplo 2: covariâncias e intervalosexemplo 2: covariâncias e intervalos
matriz de covariâncias:
0,00017210,0006928-0,0006928-0,003675
][][ˆ][12 xxC T
Intervalos de confiança para os parâmetros ajustados:
367500,0*0,003547ˆ367500,0*0,003547ˆ3,025,0003,025,00 tbbtb
jjknjjjjknj CtbbCtb .ˆˆ.ˆˆ 2,2/
2,2/
0083,00147,0 0 b 046,1042,1 1 b