Interpolação e Ajuste de Curvas TM-236 Cálculo Numérico Prof. Luciano K. Araki 2009/2

Interpolação e Ajuste de Curvas

TM-236 Cálculo Numérico

Prof. Luciano K. Araki

2009/2

TM-236 Cálculo Numérico 2

Motivação

Dados: em geral, fornecidos em um conjunto discreto de valores. Por exemplo: propriedades físicas tabeladas ou resultados experimentais.

Muitas vezes, é necessário utilizar valores intermediários aos fornecidos.


Motivação

Fonte:Incropera et al., “Fundamentos Transferência de Calor e de Massa”, 6 ed., LTC Editora, 2008.


Motivação

Qual curva é a mais adequada?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Y =-0,74952+2,09714 X

Va

riá

vel d

ep

en

de

nte

Variável independente

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Y =-0,24453-1,11365 X+2,38698 X2-0,58438 X3+0,05755 X4-0,00198 X5

Va

riáve

l de

pe

nde

nte



Motivação

Aproximação: os dados exibem um grau significativo de erro ou “ruído”. A curva ajustada representa a tendência geral dos dados.

Interpolação: os dados são muito precisos e, assim, o ajuste de curvas deve passar diretamente por cada um dos pontos.


Motivação

Fundamentação matemática:

Interpolação → expansões em séries de Taylor e diferenças finitas divididas.

Aproximação → estatística básica (conceitos de média aritmética, desvio padrão, distribuição normal, intervalos de confiança).


Técnicas de aproximação

Mínimos Quadrados Discretos.

Polinômios Ortogonais e Aproximação por Mínimos Quadrados.

Polinômios de Chebyshev e Economia na Série de Potências.

Aproximação por Função Racional.

Aproximação por Polinômios Trigonométricos.

Transformadas Rápidas de Fourier (FFT).


Mínimos Quadrados Discretos

Normalmente, empregada para prever valores intermediários para dados experimentais.

Apresenta uma tendência geral dos dados.

Minimização a discrepância entre os dados e os pontos da curva obtida, através da minimização da soma dos quadrados dos resíduos entre valores medidos e valores calculados.



Hipóteses estatísticas:

• Cada x tem um valor fixo; ele não é aleatório e é conhecido sem erros.

• Os valores de y são variáveis aleatórias independentes e têm todos a mesma variância.

• Os valores de y para um dado x devem estar normalmente distribuídos.



Modelo linear:

Determinação dos coeficientes:

n

i

n

i

n

iiiiiir xaayyyeS

1 1 1

210

2modelo,medido,

2

021

100

n

iii

r xaaya

S

021

101

n

iiii

r xxaaya

S



Coeficientes:

Quantificação do erro na regressão linear:

• Erro padrão da estimativa:

n

i

n

iii

n

i

n

i

n

iiiii

xxn

yxyxna

1

2

1

2

1 1 11

xaya 10

2/ n

Ss r

xy



• Coeficiente de determinação:

• Coeficiente de correlação:

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

i

n

i

n

iiiii

yynxxn

yxyxnr

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1 1

t

rt

S

SSr

2

n

iit yyS

1

2



Exemplo 01: Ajuste uma reta aos valores de x e y para os dados apresentados na tabela a seguir:

ix iy

1 0,5 2 2,5 3 2,0 4 4,0 5 3,5 6 6,0 7 5,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

1

2

3

4

5

6

7

Va

riáve

l de

pe

nde

nte




Solução:

ix iy 2ix ii yx

1 0,5 1,0 0,5 2 2,5 4,0 5,0 3 2,0 9,0 6,0 4 4,0 16,0 16,0 5 3,5 25,0 17,5 6 6,0 36,0 36,0 7 5,5 49,0 38,5

n

iix

1

28

n

iiy

1

24

n

iix

1

2 0,140

n

iii yx

1

5,119

4x 428571,3y

7n



Solução:

8392857,0281407

24285,11972

1

2

1

2

1 1 11

n

i

n

iii

n

i

n

i

n

iiiii

xxn

yxyxna

07142857,048392857,0428571,310 xaya



Solução:

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

Y =0,07143+0,83929 X

V

ari

áve

l de

pe

nd

en

te




Solução:

ix iy 2yyi 210 xaayi

1 0,5 8,576531 0,168686 2 2,5 0,862245 0,562500 3 2,0 2,040816 0,347258 4 4,0 0,326531 0,326531 5 3,5 0,005102 0,589605 6 6,0 6,612245 0,797194 7 5,5 4,290816 0,199298

n

iix

1

28

n

iiy

1

24

n

iit yyS

1

2 7143,22

n

iir xaayS

1

210 9911,2

4x 428571,3y



Solução:

• Desvio padrão:


9457,1

17

7143,22

11

2

n

yys

n

ii

y

7735,027

9911,2

2/

n

Ss r

xy



Solução:



Conclusão: 86,8% da incerteza original é explicada pelo modelo linear.

868,07143,22

9911,27143,222

t

rt

S

SSr

932,0868,0 r



Linearização de relações não-lineares:

• Modelo exponencial;

• Modelo potência simples;

• Modelo da taxa de crescimento da saturação.

Emprego de manipulações matemáticas simples transformando-os em modelos lineares.



Uma função do tipo exponencial:

Pode ser linearizada empregando-se:

xey 11

exy lnlnln 11

xy 11lnln



Uma função do tipo potência:


22

xy

22 logloglog xy



Uma função do tipo taxa de crescimento da saturação:


x

xy

33

33

3 111

xy



Gráficos:



Exemplo 02: Ajustar os dados da seguinte tabela empregando-se uma função do tipo potência.

ix iy

1 0,5 2 1,7 3 3,4 4 5,7 5 8,4

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Va

riáve

l de

pe

nde

nte




Solução:

ix iy ii xw log ii yz log 2iw iizw

1 0,5 0,000000 -0,301030 0,000000 0,000000 2 1,7 0,301030 0,230449 0,090619 0,069372 3 3,4 0,477121 0,531479 0,227645 0,253580 4 5,7 0,602060 0,755875 0,362476 0,455082 5 8,4 0,698970 0,924279 0,488559 0,646043

n

iiw

1

079181,2

n

iiz

1

141052,2

n

iiw

1

2 169299,1

n

iiizw

1

424077,1

415836,0w 428210,0z



Solução:

Logo:

75172365,1141052,2169299,15

141052,2079181,2424077,152

1

2

1

2

1 1 11

n

i

n

iii

n

i

n

i

n

iiiii

zwn

zwzwna

30021979,0415836,075172365,1428210,010 waza

75172365,1;500934,010 230021979,0

2



Solução:

1 10

1

10

Y =-0,30022+1,75172 X

V

ari

áve

l de

pe

nd

en

te


75172365,1500934,0 xy



Solução:

iw iz 2zzi 210 waazi

0,000000 -0,301030 0,531792 6,5643E-07 0,301030 0,230449 0,039110 1,1205E-05 0,477121 0,531479 0,010664 1,6694E-05 0,602060 0,755875 0,107364 2,1081E-06 0,698970 0,924279 0,246084 9,3692E-09

n

iiw

1

079181,2

n

iiz

1

141052,2

n

iit zzS

1

2 935014,0

n

iir ExaayS

1

210 050673,3

415836,0w 428210,0z



Solução:

• Desvio padrão:


483481,0

15

935014,0

11

2

n

yys

n

ii

y

55

/ 105884,525

100673,3

2

n

Ss r

xy



Solução:



Conclusão: 99,9967% da incerteza original é explicada pela função do tipo potência.

999967,0435014,0

100673,3435014,0 52

t

rt

S

SSr

999984,0999967,0 r



Regressão polinomial: o procedimento de mínimos quadrados para ajustes lineares pode ser estendido para polinômios de grau mais elevado.

Supondo-se um polinômio de segundo grau ou quadrático:

exaxaay 2210



Soma dos quadrados dos resíduos:

Determinação dos coeficientes:

n

iiiii

r xaxaayxa

S

1

2210

1

2

n

iiiir xaxaayS

1

2210

n

iiii

r xaxaaya

S

1

2210

0

2

n

iiiii

r xaxaayxa

S

1

2210

2

2

2



Sistema de equações normais:

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yxaxaxax

yxaxaxax

yaxaxan

1

22

1

41

1

30

1

2

12

1

31

1

20

1

12

1

21

10



Polinômio de grau m:

Erro padrão:

exaxaxaay mm 2

210

1/

mn

Ss r

xy



Exemplo 03: Ajustar um polinômio de segundo grau aos dados apresentados na tabela a seguir.

ix iy

0 2,1 1 7,7 2 13,6 3 27,2 4 40,9 5 61,1

0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

60

70

Va

riá

vel d

ep

en

de

nte




Solução:

ix iy 2ix 3

ix 4ix ii yx ii yx

2

0 2,1 0 0 0 0,0 0,0 1 7,7 1 1 1 7,7 7,7 2 13,6 4 8 16 27,2 54,4 3 27,2 9 27 81 81,6 244,8 4 40,9 16 64 256 163,6 654,4 5 61,1 25 125 625 305,5 1527,5

n

iix

1

15

n

iiy

1

6,152

n

iix

1

2 55

n

iix

1

3 225

n

iix

1

4 979

n

iii yx

1

6,585

n

iii yx

1

2 8,2488

5,2x 433333,25y

6n2m



Solução:

86071,1

35929,2

47857,2

8,2488

6,585

6,152

97922555

2255515

55156

2

1

0

2

1

0

a

a

a

a

a

a

286071,135929,247857,2 xxy



Solução:

0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

60

70Y =2,47857+2,35929 X+1,86071 X2

V

ari

áve

l de

pe

nd

en

te




Solução:

ix iy 2yyi 22210 xaxaayi

0 2,1 544,44 0,14332 1 7,7 314,47 1,00286 2 13,6 140,03 1,08160 3 27,2 3,12 0,80487 4 40,9 239,22 0,61959 5 61,1 1272,11 0,09434

n

iix

1

15

n

iiy

1

6,152

n

iit yyS

1

2 39,2513

n

iir xaxaayS

1

22210 74657,3

5,2x 433333,25y



Solução:



• Conclusão: 99,851% da incerteza original foi explicada pelo modelo quadrático.

12,1126

74657,3

1/

mn

Ss r

xy

99851,039,2513

74657,339,25132

t

rt

S

SSr


Interpolação Polinomial

Consiste em determinar um único polinômio de grau n que passa pelos n+1 pontos fornecidos.

Embora exista um único polinômio de grau n que passa por n+1 pontos, há diversas fórmulas matemáticas para expressá-lo.

Formas adequadas para implementação computacional: Newton e Lagrange.



Diferenças Divididas de Newton:

Interpolação linear:

01

01

0

01 )()()()(

xx

xfxf

xx

xfxf

)()()(

)()( 001

0101 xx

xx

xfxfxfxf



Exemplo 04: Faça uma estimativa do logaritmo natural de 2, utilizando uma interpolação linear. Faça o cálculo utilizando dois intervalos:

• o primeiro, empregando ln(1)=0 e ln(6)=1,791759;

• e o segundo, utilizando ln(1) = 0 e ln(4)=1,386294.

• Valor real: ln(2)=0,6931472



Solução:

(a) 6;1 10 xx

1216

0791759,10)(

)()()()( 0

01

0101

xxxx

xfxfxfxf

791759,1)6()(;0)1()( 10 fxffxf

3583519,0)2(1 f



Solução:

(b) 4;1 10 xx

1214

0386294,10)(

)()()()( 0

01

0101

xxxx

xfxfxfxf

386294,1)4()(;0)1()( 10 fxffxf

4620981,0)2(1 f



Solução

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

fun

ção

f(x

)

variável independente x

Erros relativos:

(a) 48,3%

(b) 33,3%



Diferenças Divididas de Newton:

Interpolação Quadrática:

• que pode ser reescrita como:

))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf

12021022

201102 )( xxbxxbxxbxbxbxbbxf




• sendo:

22102 )( xaxaaxf

22

120211

1020100

ba

xbxbba

xxbxbba




• Determinação dos coeficientes:

02

01

01

12

12

2

01

011

00

)()()()(

)()(

)(

xx

xxxfxf

xxxfxf

b

xx

xfxfb

xfb



Exemplo 05: Ajuste um polinômio quadrático aos três pontos seguintes:

Utilize o polinômio obtido para calcular ln(2), cujo valor verdadeiro é 0,6931472.

791759,1)(;6

386294,1)(;4

;0)(;1

22

11

00

xfx

xfx

xfx



Solução:

0518731,016

4620981,046

386294,1791759,1

)()()()(

4620981,014

0386294,1)()(

0)(

02

01

01

12

12

2

01

011

00

xx

xxxfxf

xxxfxf

b

xx

xfxfb

xfb



Solução:

• Logo, o polinômio interpolador é:

• E o valor aproximado de ln(2) é:

)4)(1(0518731,0)1(4620981,00)(2 xxxxf

5658444,0)2(2 f



Solução:

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

Estimativa linear (a)

Estimativa linear (b)

Estimativa quadrática

Função real

fun

ção

f(x

)


Erros relativos (lineares):

(a) 48,3%

(b) 33,3%

Erro relativo (quadrática):

18,4%



Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de Newton:

• Deseja-se ajustar um polinômio de grau n a n+1 pontos fornecidos, obtendo-se:

• Coeficientes:

)())(()()( 110010 nnn xxxxxxbxxbbxf

],,,,[

],,[

],[

)(

011

0122

011

00

xxxxfb

xxxfb

xxfb

xfb

nnn




• Os colchetes representam a valores de funções calculados através de diferenças divididas.

• Primeira diferença dividida:

ji

jiji xx

xfxfxxf

)()(

],[




• Segunda diferença dividida:

• N-ésima diferença dividida:

ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

],[],[

],,[

0

02111011

],,,[],,,[,,,,

xx

xxxfxxxfxxxxf

n

nnnnnn






• Não é necessário que os dados sejam igualmente espaçados ou que os valores das abscissas estejam necessariamente em ordem crescente.

],,,[)())((

],,[))((],[)()()(

01110

012100100

xxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxf

nnn

n



Exemplo 06: Faça uma estimativa de ln(2) empregando um polinômio interpolador de Newton de terceiro grau utilizando os seguintes pontos:

609438,1)(;5

791759,1)(;6

386294,1)(;4

;0)(;1

33

22

11

00

xfx

xfx

xfx

xfx



Solução:

• O polinômio de terceiro grau a ser obtido possui a forma:

• As primeiras diferenças divididas para o problema são:

))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxbxxxxbxxbbxf

4620981,014

0386294,1],[ 01

xxf



Solução:

• As segundas diferenças divididas para o problema são:

1823216,065

791759,1609438,1],[

2027326,046

386294,1791759,1],[

23

12

xxf

xxf

02041100,045

2027326,01823216,0],,[

05187311,016

4620981,02027326,0],,[

123

012

xxxf

xxxf



Solução

• A terceira diferença dividida é:

• Polinômio interpolador de Newton:

007865529,015

02041100,0],,,[ 0123

xxxxf

)6)(4)(1(007865529,0

)4)(1(05187311,0)1(4620981,00)(3

xxx

xxxxf



Solução:

• Valor aproximado para ln(2)=0,6287686

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5-0,50

-0,25

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

Estimativa cúbica

Estimativa linear (a)

Estimativa linear (b)

Estimativa quadrática

Função real

fun

ção

f(x

)


Erros relativos (lineares):

(a) 48,3%

(b) 33,3%

Erro relativo (quadrática):

18,4%

Erro relativo (cúbica):

9,3%



Erros nos Polinômios Interpoladores de Newton

• Erro de truncamento da série de Taylor:

• onde ξ é algum ponto do intervalo fornecido. Para um polinômio interpolador de grau n, analogamente, o erro é dado por

11

)1(

)(!)1(

)(

n

ii

n

n xxn

fR

)())((!)1(

)(10

)1(

n

n

n xxxxxxn

fR



Erros nos Polinômios Interpoladores de Newton

• Utilizando diferenças divididas e um ponto adicional:

)())(](,,,,[ 10011 nnnnn xxxxxxxxxxfR



Exemplo 07: Estimar o erro para o polinômio interpolador de segundo grau do Exemplo 05. Utilize o ponto adicional f(5)=1.609438 para obter os resultados.

Solução:

• Do Exemplo 05, tem-se que:

5658444,0)2(2 f



Solução:

• E o erro verdadeiro é igual a

• A estimativa do erro pode ser feita através de:

1273028,05658444,06931472,0 E

))()(](,,,[ 21001232 xxxxxxxxxxfR



Solução

• Substituindo valores:

• E, no caso de x=2, tem-se:

• Que possui a mesma ordem de grandeza do erro verdadeiro.

)6)(4)(1(007865529,02 xxxR

0629242,0)62)(42)(12(007865529,02 R



Polinômios Interpoladores de Lagrange:

• Reformulação do polinômio de Newton, que evita o cálculo de diferenças divididas.

• Representação:

n

iiin xfxLxf

0

)()()(

n

ijj ji

ji xx

xxxL

0

)(



Polinômio Interpolador de Lagrange:

• Versão linear:

• Versão quadrática:

)()()( 101

00

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxf

)(

)()()(

21202

10

12101

200

2010

212

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf



Exemplo: Empregar o polinômio interpolador de Lagrange de primeiro e de segundo graus para calcular ln(2) com base nos seguintes dados:

791759,1)(;6

386294,1)(;4

;0)(;1

22

11

00

xfx

xfx

xfx



Solução:

• Polinômio de primeiro grau:

4620981,0)386294,1(14

12)0(

41

42)2(

)()()(

1

101

00

10

11

f

xfxx

xxxf

xx

xxxf



Solução:

• Polinômio de segundo grau:

5658444,0)791760,1()46)(16(

)42)(12(

)386294,1()64)(14(

)62)(12()0(

)61)(41(

)62)(42(

)(

)()()2(

21202

10

12101

200

2010

212

xfxxxx

xxxx

xfxxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxf



Estimativa do erro para o polinômio interpolador de Lagrange:

Se um ponto adicional estiver disponível, nota-se que é possível fazer uma estimativa do erro do polinômio de Lagrange. Isso, contudo, raramente é feito, uma vez que as diferenças divididas não são calculadas como parte do algoritmo de Lagrange.

n

iinnn xxxxxxfR

001 )(],,,,[



Casos em que o grau do polinômio é desconhecido: preferível utilizar o método de Newton (vantagens na percepção do comportamento das fórmulas para diferentes ordens).

Casos em que o grau do polinômio é conhecido a priori: preferível empregar o método de Lagrange (um pouco mais fácil de programar).

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Interpolação e Ajuste de Curvas TM-236 Cálculo Numérico Prof. Luciano K. Araki 2009/2