Interpolação e Ajuste de Curvas
TM-236 Cálculo Numérico
Prof. Luciano K. Araki
2009/2
TM-236 Cálculo Numérico 2
Motivação
Dados: em geral, fornecidos em um conjunto discreto de valores. Por exemplo: propriedades físicas tabeladas ou resultados experimentais.
Muitas vezes, é necessário utilizar valores intermediários aos fornecidos.
TM-236 Cálculo Numérico 3
Motivação
Fonte:Incropera et al., “Fundamentos Transferência de Calor e de Massa”, 6 ed., LTC Editora, 2008.
TM-236 Cálculo Numérico 4
Motivação
Qual curva é a mais adequada?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Y =-0,74952+2,09714 X
Va
riá
vel d
ep
en
de
nte
Variável independente
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
Y =-0,24453-1,11365 X+2,38698 X2-0,58438 X3+0,05755 X4-0,00198 X5
Va
riáve
l de
pe
nde
nte
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico 5
Motivação
Aproximação: os dados exibem um grau significativo de erro ou “ruído”. A curva ajustada representa a tendência geral dos dados.
Interpolação: os dados são muito precisos e, assim, o ajuste de curvas deve passar diretamente por cada um dos pontos.
TM-236 Cálculo Numérico 6
Motivação
Fundamentação matemática:
Interpolação → expansões em séries de Taylor e diferenças finitas divididas.
Aproximação → estatística básica (conceitos de média aritmética, desvio padrão, distribuição normal, intervalos de confiança).
TM-236 Cálculo Numérico 7
Técnicas de aproximação
Mínimos Quadrados Discretos.
Polinômios Ortogonais e Aproximação por Mínimos Quadrados.
Polinômios de Chebyshev e Economia na Série de Potências.
Aproximação por Função Racional.
Aproximação por Polinômios Trigonométricos.
Transformadas Rápidas de Fourier (FFT).
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Mínimos Quadrados Discretos
Normalmente, empregada para prever valores intermediários para dados experimentais.
Apresenta uma tendência geral dos dados.
Minimização a discrepância entre os dados e os pontos da curva obtida, através da minimização da soma dos quadrados dos resíduos entre valores medidos e valores calculados.
TM-236 Cálculo Numérico 9
Mínimos Quadrados Discretos
Hipóteses estatísticas:
• Cada x tem um valor fixo; ele não é aleatório e é conhecido sem erros.
• Os valores de y são variáveis aleatórias independentes e têm todos a mesma variância.
• Os valores de y para um dado x devem estar normalmente distribuídos.
TM-236 Cálculo Numérico 10
Mínimos Quadrados Discretos
Modelo linear:
Determinação dos coeficientes:
n
i
n
i
n
iiiiiir xaayyyeS
1 1 1
210
2modelo,medido,
2
021
100
n
iii
r xaaya
S
021
101
n
iiii
r xxaaya
S
TM-236 Cálculo Numérico 11
Mínimos Quadrados Discretos
Coeficientes:
Quantificação do erro na regressão linear:
• Erro padrão da estimativa:
n
i
n
iii
n
i
n
i
n
iiiii
xxn
yxyxna
1
2
1
2
1 1 11
xaya 10
2/ n
Ss r
xy
TM-236 Cálculo Numérico 12
Mínimos Quadrados Discretos
• Coeficiente de determinação:
• Coeficiente de correlação:
n
i
n
iii
n
i
n
iii
n
i
n
i
n
iiiii
yynxxn
yxyxnr
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1 1
t
rt
S
SSr
2
n
iit yyS
1
2
TM-236 Cálculo Numérico 13
Mínimos Quadrados Discretos
Exemplo 01: Ajuste uma reta aos valores de x e y para os dados apresentados na tabela a seguir:
ix iy
1 0,5 2 2,5 3 2,0 4 4,0 5 3,5 6 6,0 7 5,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
1
2
3
4
5
6
7
Va
riáve
l de
pe
nde
nte
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico 14
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
ix iy 2ix ii yx
1 0,5 1,0 0,5 2 2,5 4,0 5,0 3 2,0 9,0 6,0 4 4,0 16,0 16,0 5 3,5 25,0 17,5 6 6,0 36,0 36,0 7 5,5 49,0 38,5
n
iix
1
28
n
iiy
1
24
n
iix
1
2 0,140
n
iii yx
1
5,119
4x 428571,3y
7n
TM-236 Cálculo Numérico 15
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
8392857,0281407
24285,11972
1
2
1
2
1 1 11
n
i
n
iii
n
i
n
i
n
iiiii
xxn
yxyxna
07142857,048392857,0428571,310 xaya
TM-236 Cálculo Numérico 16
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
0 1 2 3 4 5 6 7 80
1
2
3
4
5
6
7
Y =0,07143+0,83929 X
V
ari
áve
l de
pe
nd
en
te
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico 17
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
ix iy 2yyi 210 xaayi
1 0,5 8,576531 0,168686 2 2,5 0,862245 0,562500 3 2,0 2,040816 0,347258 4 4,0 0,326531 0,326531 5 3,5 0,005102 0,589605 6 6,0 6,612245 0,797194 7 5,5 4,290816 0,199298
n
iix
1
28
n
iiy
1
24
n
iit yyS
1
2 7143,22
n
iir xaayS
1
210 9911,2
4x 428571,3y
TM-236 Cálculo Numérico 18
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
• Desvio padrão:
• Erro padrão da estimativa:
9457,1
17
7143,22
11
2
n
yys
n
ii
y
7735,027
9911,2
2/
n
Ss r
xy
TM-236 Cálculo Numérico 19
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
• Coeficiente de determinação:
• Coeficiente de correlação:
Conclusão: 86,8% da incerteza original é explicada pelo modelo linear.
868,07143,22
9911,27143,222
t
rt
S
SSr
932,0868,0 r
TM-236 Cálculo Numérico 20
Mínimos Quadrados Discretos
Linearização de relações não-lineares:
• Modelo exponencial;
• Modelo potência simples;
• Modelo da taxa de crescimento da saturação.
Emprego de manipulações matemáticas simples transformando-os em modelos lineares.
TM-236 Cálculo Numérico 21
Mínimos Quadrados Discretos
Uma função do tipo exponencial:
Pode ser linearizada empregando-se:
xey 11
exy lnlnln 11
xy 11lnln
TM-236 Cálculo Numérico 22
Mínimos Quadrados Discretos
Uma função do tipo potência:
Pode ser linearizada empregando-se:
22
xy
22 logloglog xy
TM-236 Cálculo Numérico 23
Mínimos Quadrados Discretos
Uma função do tipo taxa de crescimento da saturação:
Pode ser linearizada empregando-se:
x
xy
33
33
3 111
xy
TM-236 Cálculo Numérico 24
Mínimos Quadrados Discretos
Gráficos:
TM-236 Cálculo Numérico 25
Mínimos Quadrados Discretos
Exemplo 02: Ajustar os dados da seguinte tabela empregando-se uma função do tipo potência.
ix iy
1 0,5 2 1,7 3 3,4 4 5,7 5 8,4
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Va
riáve
l de
pe
nde
nte
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico 26
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
ix iy ii xw log ii yz log 2iw iizw
1 0,5 0,000000 -0,301030 0,000000 0,000000 2 1,7 0,301030 0,230449 0,090619 0,069372 3 3,4 0,477121 0,531479 0,227645 0,253580 4 5,7 0,602060 0,755875 0,362476 0,455082 5 8,4 0,698970 0,924279 0,488559 0,646043
n
iiw
1
079181,2
n
iiz
1
141052,2
n
iiw
1
2 169299,1
n
iiizw
1
424077,1
415836,0w 428210,0z
TM-236 Cálculo Numérico 27
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
Logo:
75172365,1141052,2169299,15
141052,2079181,2424077,152
1
2
1
2
1 1 11
n
i
n
iii
n
i
n
i
n
iiiii
zwn
zwzwna
30021979,0415836,075172365,1428210,010 waza
75172365,1;500934,010 230021979,0
2
TM-236 Cálculo Numérico 28
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
1 10
1
10
Y =-0,30022+1,75172 X
V
ari
áve
l de
pe
nd
en
te
Variável independente
75172365,1500934,0 xy
TM-236 Cálculo Numérico 29
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
iw iz 2zzi 210 waazi
0,000000 -0,301030 0,531792 6,5643E-07 0,301030 0,230449 0,039110 1,1205E-05 0,477121 0,531479 0,010664 1,6694E-05 0,602060 0,755875 0,107364 2,1081E-06 0,698970 0,924279 0,246084 9,3692E-09
n
iiw
1
079181,2
n
iiz
1
141052,2
n
iit zzS
1
2 935014,0
n
iir ExaayS
1
210 050673,3
415836,0w 428210,0z
TM-236 Cálculo Numérico 30
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
• Desvio padrão:
• Erro padrão da estimativa:
483481,0
15
935014,0
11
2
n
yys
n
ii
y
55
/ 105884,525
100673,3
2
n
Ss r
xy
TM-236 Cálculo Numérico 31
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
• Coeficiente de determinação:
• Coeficiente de correlação:
Conclusão: 99,9967% da incerteza original é explicada pela função do tipo potência.
999967,0435014,0
100673,3435014,0 52
t
rt
S
SSr
999984,0999967,0 r
TM-236 Cálculo Numérico 32
Mínimos Quadrados Discretos
Regressão polinomial: o procedimento de mínimos quadrados para ajustes lineares pode ser estendido para polinômios de grau mais elevado.
Supondo-se um polinômio de segundo grau ou quadrático:
exaxaay 2210
TM-236 Cálculo Numérico 33
Mínimos Quadrados Discretos
Soma dos quadrados dos resíduos:
Determinação dos coeficientes:
n
iiiii
r xaxaayxa
S
1
2210
1
2
n
iiiir xaxaayS
1
2210
n
iiii
r xaxaaya
S
1
2210
0
2
n
iiiii
r xaxaayxa
S
1
2210
2
2
2
TM-236 Cálculo Numérico 34
Mínimos Quadrados Discretos
Sistema de equações normais:
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
yxaxaxax
yxaxaxax
yaxaxan
1
22
1
41
1
30
1
2
12
1
31
1
20
1
12
1
21
10
TM-236 Cálculo Numérico 35
Mínimos Quadrados Discretos
Polinômio de grau m:
Erro padrão:
exaxaxaay mm 2
210
1/
mn
Ss r
xy
TM-236 Cálculo Numérico 36
Mínimos Quadrados Discretos
Exemplo 03: Ajustar um polinômio de segundo grau aos dados apresentados na tabela a seguir.
ix iy
0 2,1 1 7,7 2 13,6 3 27,2 4 40,9 5 61,1
0 1 2 3 4 50
10
20
30
40
50
60
70
Va
riá
vel d
ep
en
de
nte
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico 37
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
ix iy 2ix 3
ix 4ix ii yx ii yx
2
0 2,1 0 0 0 0,0 0,0 1 7,7 1 1 1 7,7 7,7 2 13,6 4 8 16 27,2 54,4 3 27,2 9 27 81 81,6 244,8 4 40,9 16 64 256 163,6 654,4 5 61,1 25 125 625 305,5 1527,5
n
iix
1
15
n
iiy
1
6,152
n
iix
1
2 55
n
iix
1
3 225
n
iix
1
4 979
n
iii yx
1
6,585
n
iii yx
1
2 8,2488
5,2x 433333,25y
6n2m
TM-236 Cálculo Numérico 38
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
86071,1
35929,2
47857,2
8,2488
6,585
6,152
97922555
2255515
55156
2
1
0
2
1
0
a
a
a
a
a
a
286071,135929,247857,2 xxy
TM-236 Cálculo Numérico 39
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
0 1 2 3 4 50
10
20
30
40
50
60
70Y =2,47857+2,35929 X+1,86071 X2
V
ari
áve
l de
pe
nd
en
te
Variável independente
TM-236 Cálculo Numérico 40
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
ix iy 2yyi 22210 xaxaayi
0 2,1 544,44 0,14332 1 7,7 314,47 1,00286 2 13,6 140,03 1,08160 3 27,2 3,12 0,80487 4 40,9 239,22 0,61959 5 61,1 1272,11 0,09434
n
iix
1
15
n
iiy
1
6,152
n
iit yyS
1
2 39,2513
n
iir xaxaayS
1
22210 74657,3
5,2x 433333,25y
TM-236 Cálculo Numérico 41
Mínimos Quadrados Discretos
Solução:
• Erro padrão da estimativa:
• Coeficiente de determinação:
• Conclusão: 99,851% da incerteza original foi explicada pelo modelo quadrático.
12,1126
74657,3
1/
mn
Ss r
xy
99851,039,2513
74657,339,25132
t
rt
S
SSr
TM-236 Cálculo Numérico 42
Interpolação Polinomial
Consiste em determinar um único polinômio de grau n que passa pelos n+1 pontos fornecidos.
Embora exista um único polinômio de grau n que passa por n+1 pontos, há diversas fórmulas matemáticas para expressá-lo.
Formas adequadas para implementação computacional: Newton e Lagrange.
TM-236 Cálculo Numérico 43
Interpolação Polinomial
Diferenças Divididas de Newton:
Interpolação linear:
01
01
0
01 )()()()(
xx
xfxf
xx
xfxf
)()()(
)()( 001
0101 xx
xx
xfxfxfxf
TM-236 Cálculo Numérico 44
Interpolação Polinomial
Exemplo 04: Faça uma estimativa do logaritmo natural de 2, utilizando uma interpolação linear. Faça o cálculo utilizando dois intervalos:
• o primeiro, empregando ln(1)=0 e ln(6)=1,791759;
• e o segundo, utilizando ln(1) = 0 e ln(4)=1,386294.
• Valor real: ln(2)=0,6931472
TM-236 Cálculo Numérico 45
Interpolação Polinomial
Solução:
(a) 6;1 10 xx
1216
0791759,10)(
)()()()( 0
01
0101
xxxx
xfxfxfxf
791759,1)6()(;0)1()( 10 fxffxf
3583519,0)2(1 f
TM-236 Cálculo Numérico 46
Interpolação Polinomial
Solução:
(b) 4;1 10 xx
1214
0386294,10)(
)()()()( 0
01
0101
xxxx
xfxfxfxf
386294,1)4()(;0)1()( 10 fxffxf
4620981,0)2(1 f
TM-236 Cálculo Numérico 47
Interpolação Polinomial
Solução
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5-0,50
-0,25
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
fun
ção
f(x
)
variável independente x
Erros relativos:
(a) 48,3%
(b) 33,3%
TM-236 Cálculo Numérico 48
Interpolação Polinomial
Diferenças Divididas de Newton:
Interpolação Quadrática:
• que pode ser reescrita como:
))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf
12021022
201102 )( xxbxxbxxbxbxbxbbxf
TM-236 Cálculo Numérico 49
Interpolação Polinomial
Interpolação Quadrática:
• sendo:
22102 )( xaxaaxf
22
120211
1020100
ba
xbxbba
xxbxbba
TM-236 Cálculo Numérico 50
Interpolação Polinomial
Interpolação Quadrática:
• Determinação dos coeficientes:
02
01
01
12
12
2
01
011
00
)()()()(
)()(
)(
xx
xxxfxf
xxxfxf
b
xx
xfxfb
xfb
TM-236 Cálculo Numérico 51
Interpolação Polinomial
Exemplo 05: Ajuste um polinômio quadrático aos três pontos seguintes:
Utilize o polinômio obtido para calcular ln(2), cujo valor verdadeiro é 0,6931472.
791759,1)(;6
386294,1)(;4
;0)(;1
22
11
00
xfx
xfx
xfx
TM-236 Cálculo Numérico 52
Interpolação Polinomial
Solução:
0518731,016
4620981,046
386294,1791759,1
)()()()(
4620981,014
0386294,1)()(
0)(
02
01
01
12
12
2
01
011
00
xx
xxxfxf
xxxfxf
b
xx
xfxfb
xfb
TM-236 Cálculo Numérico 53
Interpolação Polinomial
Solução:
• Logo, o polinômio interpolador é:
• E o valor aproximado de ln(2) é:
)4)(1(0518731,0)1(4620981,00)(2 xxxxf
5658444,0)2(2 f
TM-236 Cálculo Numérico 54
Interpolação Polinomial
Solução:
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5-0,50
-0,25
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
Estimativa linear (a)
Estimativa linear (b)
Estimativa quadrática
Função real
fun
ção
f(x
)
variável independente x
Erros relativos (lineares):
(a) 48,3%
(b) 33,3%
Erro relativo (quadrática):
18,4%
TM-236 Cálculo Numérico 55
Interpolação Polinomial
Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de Newton:
• Deseja-se ajustar um polinômio de grau n a n+1 pontos fornecidos, obtendo-se:
• Coeficientes:
)())(()()( 110010 nnn xxxxxxbxxbbxf
],,,,[
],,[
],[
)(
011
0122
011
00
xxxxfb
xxxfb
xxfb
xfb
nnn
TM-236 Cálculo Numérico 56
Interpolação Polinomial
Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de Newton:
• Os colchetes representam a valores de funções calculados através de diferenças divididas.
• Primeira diferença dividida:
ji
jiji xx
xfxfxxf
)()(
],[
TM-236 Cálculo Numérico 57
Interpolação Polinomial
Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de Newton:
• Segunda diferença dividida:
• N-ésima diferença dividida:
ki
kjjikji xx
xxfxxfxxxf
],[],[
],,[
0
02111011
],,,[],,,[,,,,
xx
xxxfxxxfxxxxf
n
nnnnnn
TM-236 Cálculo Numérico 58
Interpolação Polinomial
TM-236 Cálculo Numérico 59
Interpolação Polinomial
Forma Geral dos Polinômios Interpoladores de Newton:
• Não é necessário que os dados sejam igualmente espaçados ou que os valores das abscissas estejam necessariamente em ordem crescente.
],,,[)())((
],,[))((],[)()()(
01110
012100100
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxxfxf
nnn
n
TM-236 Cálculo Numérico 60
Interpolação Polinomial
Exemplo 06: Faça uma estimativa de ln(2) empregando um polinômio interpolador de Newton de terceiro grau utilizando os seguintes pontos:
609438,1)(;5
791759,1)(;6
386294,1)(;4
;0)(;1
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
TM-236 Cálculo Numérico 61
Interpolação Polinomial
Solução:
• O polinômio de terceiro grau a ser obtido possui a forma:
• As primeiras diferenças divididas para o problema são:
))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxbxxxxbxxbbxf
4620981,014
0386294,1],[ 01
xxf
TM-236 Cálculo Numérico 62
Interpolação Polinomial
Solução:
• As segundas diferenças divididas para o problema são:
1823216,065
791759,1609438,1],[
2027326,046
386294,1791759,1],[
23
12
xxf
xxf
02041100,045
2027326,01823216,0],,[
05187311,016
4620981,02027326,0],,[
123
012
xxxf
xxxf
TM-236 Cálculo Numérico 63
Interpolação Polinomial
Solução
• A terceira diferença dividida é:
• Polinômio interpolador de Newton:
007865529,015
02041100,0],,,[ 0123
xxxxf
)6)(4)(1(007865529,0
)4)(1(05187311,0)1(4620981,00)(3
xxx
xxxxf
TM-236 Cálculo Numérico 64
Interpolação Polinomial
Solução:
• Valor aproximado para ln(2)=0,6287686
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5-0,50
-0,25
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
Estimativa cúbica
Estimativa linear (a)
Estimativa linear (b)
Estimativa quadrática
Função real
fun
ção
f(x
)
variável independente x
Erros relativos (lineares):
(a) 48,3%
(b) 33,3%
Erro relativo (quadrática):
18,4%
Erro relativo (cúbica):
9,3%
TM-236 Cálculo Numérico 65
Interpolação Polinomial
Erros nos Polinômios Interpoladores de Newton
• Erro de truncamento da série de Taylor:
• onde ξ é algum ponto do intervalo fornecido. Para um polinômio interpolador de grau n, analogamente, o erro é dado por
11
)1(
)(!)1(
)(
n
ii
n
n xxn
fR
)())((!)1(
)(10
)1(
n
n
n xxxxxxn
fR
TM-236 Cálculo Numérico 66
Interpolação Polinomial
Erros nos Polinômios Interpoladores de Newton
• Utilizando diferenças divididas e um ponto adicional:
)())(](,,,,[ 10011 nnnnn xxxxxxxxxxfR
TM-236 Cálculo Numérico 67
Interpolação Polinomial
Exemplo 07: Estimar o erro para o polinômio interpolador de segundo grau do Exemplo 05. Utilize o ponto adicional f(5)=1.609438 para obter os resultados.
Solução:
• Do Exemplo 05, tem-se que:
5658444,0)2(2 f
TM-236 Cálculo Numérico 68
Interpolação Polinomial
Solução:
• E o erro verdadeiro é igual a
• A estimativa do erro pode ser feita através de:
1273028,05658444,06931472,0 E
))()(](,,,[ 21001232 xxxxxxxxxxfR
TM-236 Cálculo Numérico 69
Interpolação Polinomial
Solução
• Substituindo valores:
• E, no caso de x=2, tem-se:
• Que possui a mesma ordem de grandeza do erro verdadeiro.
)6)(4)(1(007865529,02 xxxR
0629242,0)62)(42)(12(007865529,02 R
TM-236 Cálculo Numérico 70
Interpolação Polinomial
Polinômios Interpoladores de Lagrange:
• Reformulação do polinômio de Newton, que evita o cálculo de diferenças divididas.
• Representação:
n
iiin xfxLxf
0
)()()(
n
ijj ji
ji xx
xxxL
0
)(
TM-236 Cálculo Numérico 71
Interpolação Polinomial
Polinômio Interpolador de Lagrange:
• Versão linear:
• Versão quadrática:
)()()( 101
00
10
11 xf
xx
xxxf
xx
xxxf
)(
)()()(
21202
10
12101
200
2010
212
xfxxxx
xxxx
xfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
TM-236 Cálculo Numérico 72
Interpolação Polinomial
Exemplo: Empregar o polinômio interpolador de Lagrange de primeiro e de segundo graus para calcular ln(2) com base nos seguintes dados:
791759,1)(;6
386294,1)(;4
;0)(;1
22
11
00
xfx
xfx
xfx
TM-236 Cálculo Numérico 73
Interpolação Polinomial
Solução:
• Polinômio de primeiro grau:
4620981,0)386294,1(14
12)0(
41
42)2(
)()()(
1
101
00
10
11
f
xfxx
xxxf
xx
xxxf
TM-236 Cálculo Numérico 74
Interpolação Polinomial
Solução:
• Polinômio de segundo grau:
5658444,0)791760,1()46)(16(
)42)(12(
)386294,1()64)(14(
)62)(12()0(
)61)(41(
)62)(42(
)(
)()()2(
21202
10
12101
200
2010
212
xfxxxx
xxxx
xfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxf
TM-236 Cálculo Numérico 75
Interpolação Polinomial
Estimativa do erro para o polinômio interpolador de Lagrange:
Se um ponto adicional estiver disponível, nota-se que é possível fazer uma estimativa do erro do polinômio de Lagrange. Isso, contudo, raramente é feito, uma vez que as diferenças divididas não são calculadas como parte do algoritmo de Lagrange.
n
iinnn xxxxxxfR
001 )(],,,,[
TM-236 Cálculo Numérico 76
Interpolação Polinomial
Casos em que o grau do polinômio é desconhecido: preferível utilizar o método de Newton (vantagens na percepção do comportamento das fórmulas para diferentes ordens).
Casos em que o grau do polinômio é conhecido a priori: preferível empregar o método de Lagrange (um pouco mais fácil de programar).