Ajuste de Curvas-jc

7/24/2019 Ajuste de Curvas-jc

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Ajuste de Curvas

Prof. Jos CarlosAltho


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Ementa:

6.1 Introduo 6.2 Ajuste Linear Simples 6.3 Ajuste Linear Mltiplo

6.4 Ajuste Polinomial 6. !rans"orma#es de Modelos

$o Lineares em Lineares


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Os valores que uma funo podeassumir esto associados, alm doserros eperimentais, a outrasvari!veis cujo os valores se alteramdurante o eperimento.

Ao se estudar a relao entre duas

vari!veis deve"se inicialmente fa#erum dia$rama de disperso paratermos uma ideia do comportamento

da funo.


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Ajuste %inear &imples

'emplo ()

&eja a ta*ela a*aio que representadados de campo)

n i +i

( (, -

- , /,- /,( ,0

1,0 1,(

/ 0 /,0


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A ta*ela $era o $r!2co dedisperso a*aio

3 ( - / 1 4 0 5

3

(

-

/

1

4

+i


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% tipo de relao mais simples entre

duas &ari'&eis ( a relao linear.$esta relao) temos uma &ari'&elindependente *+, rela-ionada a uma

&ari'&el resposta ou dependente *,por meio de um modelo linear) pore+emplo/

01.+


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Para estimarmos os parmetros e

1) de&emos re-orrer ao m(todo dos5uadrados mnimos.

7sta t(-ni-a estima os parmetros

de "orma 5ue a distn-ia total entrea e5uao ajustada e os pontos doe+perimento seja a menor poss&el.


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As e5ua#es para determinao dos

parmetros e 1so/

( ) ( )

nxbyb

xnxyxnyxb

xbby

ii

ii

iiii

=

=

+=

.

.).(..

.

10

221

10


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Como vimos os par6metros *o e *(&o o*tidos atravs da an!lise do

desvio entre o + real e o + calculadoatravs da equao do ajuste.

7uando derivamos o desvio emrelao a 8o e *( e i$ualamos a

#ero encontramos duas equa9ese passamos a ter um sistema oqual pode ser escrito como umaoperao de matri#es.


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:$ualando a #ero e efetuando al$uns

al$e*rismos che$amos aos valoresde 8o e *(. ;as podemos pensartam*m na soluo de um sistemalinear.


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Calculando os somat


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i i +i

x2 x.y y2

( (, - (,15 -,1

- , /,- ((,/1 (4,10 -4,3

/,( ,0 -1,3( (5,0 (,

1,0 1,( 1,- (,0 4,-(

/ 0 /,0 1 1, ,1

-,1 --,5 (5,/ (-4,/ ((1,


13/31

=eali#ando a multiplicao dematri#es che$amos ao sistema

=esolvendo o sistema che$amosaos valores de *o e *(.


14/31

>tili#ando o sistema ou as

epress9es de *3 e *( conse$uimosencontrar a melhor reta quedescreve os pontos da ta*ela.

" "- "( 3 ( - / 1 4

"

"

"-

"(

3

(

-

f?@ 3.4 " (.

=B 3.50

%inear ?@


15/31

A 5ualidade do ajuste linear (medida atra&(s do -oe8-iente dedeterminao ) -al-ulado -omose9ue :-i( o &alor de -al-ulado

pela e5uao de re9resso;/

( )

( )22

2

2

.1

1

=

ii

cii

y

n

y

yyr

O r quadrado calculado do eemplofoi de 3,1404, demonstra umapreciso de 14,04


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Ajuste %inear ;Dltiplo

Ajuste Linear Mltiplo

mio tal 5ue/

01.+12.+2...p.+p


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=

iip

ii

ii

i

pipipipiipiip

iipiiiii

iipiiiii

ipii

yx

yx

yx

y

b

b

b

b

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxn

.

.

.

.

...

...

...

2

1

2

1

0

21

222212

112111

21

7+emplo/ ?ados os pontos a se9uir)

determine o ajuste linear mltiplo.


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i i( i- +i

3( 13, (30 -

3- 1(,( (35 -/5

3 13,- ((3 -/0

3 1(,- ((- -0/

3/ 1,- ((- -5

31 1,1 (( 4

34 1/,3 ((/ 1/

30 1,0 ((1 1

35 11,3 ((4 51

(3 14,5 ((5 (5

(( 10,- (-3

(- 11,/ (-- /

( 10,4 (- 0( 15,1 (-/ /3

(/ 15, (-0 /(0

(1 43,1 (3 ///


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%s somat@rios das -olunas da taela anterior so/i i( i- +i i(

- i-2 i(.i- i(.+i i-.+i

3( 13, (30 - 11,35 ((11 1/(-,

(((3,- -/-4-

3- 1(,( (35 -/5 4,-( ((00( 11/5,5

(/0-,5 -0-(

3 13,- ((3 -/0 1-,3 (-(33 11--

(//(,1 -003

3 1(,- ((- -0/ 4/, (-/ 10/, (4- (5-3

3/ 1,- ((- -5 55,- (-/ 4340,

-345-,0 100

31 1,1 (( 4 3,51 (-415 4(01,0

--315,- 5-((

34 1/,3 ((/ 1/ --/ (--/ 44/ -4-/ (54/

30 1,0 ((1 1 343,

(/1 433,0

-(/5

, -(3035 11,3 ((4 51 /1 (105 44-- -1(1 1-

(3 14,5 ((5 (5 1(3,( ((1( 0303,(

-0/3,( 501(

(( 10,- (-3 1/(,- (33 0(0

3-(-,1 /(13

(- 11,/ (-- / --,-/ (00 0(( -5/5-,/ /-53


20/31

i( i- +i i(- i-

2 i(.i- i(.+i i-.+i

(3/,- (045 1-3- 101,3- --(// (-304,(3(4,

1 40-1

olo-ando os &alores namatri=/

=

738326

6,410317

6202

.

2213553,1230871879

3,12308702,684642,1045

18792,104516

2

1

0

b

b

b

Podemos resol&er o sistema de e5ua#es a-imaatra&(s de 5ual5uer m(todo :Bauss;.


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Cesultado do sistema de e5ua#es/

0D14E)4

1013)4

20E)F

Assim) a e5uao de ajuste (/

0D14E)4 13)4.+1 E)F.+2O*s) O coe2ciente de determinao =quadrado calculado da mesma forma que oajuste linear simples

( )( )22

2

2

.1

1

=

ii

cii

yn

y

yyr


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'ercEcio

Fado os pontos representados na

ta*ela a*aio, ajustar os mesmos aequao)

01.+12.+2i (i -i yi( "- " (/- 3 "( (-

- 3 (3

( /

/ 1 56

0 /

7 (3 4 "-

G011) D)EF3.+1 )F1.+2

=espostaesperada)


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Ajuste Polinomial

Hm -aso parti-ular do ajuste linear

mltiplo ( a5uele em 5ue 5ueremosajustar um polin>mio de 9rau *9,.$este -aso) teremos somente uma

&ari'&el independente *+,rela-ionada a uma &ari'&eldependente *, atra&(s de um

polin>mio do tipo/ 01.+2.+2...9.+9


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Para este -aso parti-ular) o sistema dee5ua#es anterior se simpli8-a para/

=

++

+

+

i

g

i

ii

i

ggggg

g

g

i

g

ii

yx

yx

yx

y

b

b

b

b

xxxx

xxxx

xxxx

xxxn

i

i

iiii

iiii

iii

i

.

.

.

. 2

2

1

0

.221

2432

132

2


25/31

7+emplo/ ?ada a taela aai+o)en-ontre o melor polin>mio de 9rau

3 5ue se ajusta aos dados/i i +i3(

3,3(

3,(333

3

-

3,(

3

3,(

1-3

3,-3

3,4-

3

3,3

3,/44

3

/

3,

3

3,1

-/31

3,/3

3,434(

34

3,13

3,441

30

3,43

3,014

Calculamos os somat


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i i +i i- i

i i

/ i1 i+i i

-+i i+i

3(

3,3(

3,(333 3,333( ('"31 ('"30 ('"(3 ('"(- 3,33( ('"3/ ('"34

3-

3,(3

3,(1- 3,3( 3,33( 3,333( ('"3/ ('"31 3,3(1 3,33- 3,333

3

3,-3

3,4- 3,3 3,330 3,33(1 3,333

1,'"3/ 3,305 3,3(45 3,331

3

3,3

3,/44 3,35 3,3-4 3,330( 3,33-

3,3334 3,(1 3,35 3,3(0

3/ 3,3 3,1-/ 3,(1 3,31 3,3-/1 3,3(3- 3,33( 3,-/ 3,(3(- 3,33/

31

3,/3

3,434( 3,-/ 3,(-/ 3,31-/ 3,3(

3,3(/1 3,/1 3,(410 3,300

34

3,13

3,441 3,1 3,-(1 3,(-51 3,3440

3,3111 3,10 3,-405 3,(14

30

3,43

3,014 3,5 3, 3,-3( 3,(10(

3,((41/ 3,/0/4 3,( 3,-04

35

3,03

3,05 3,1 3,/(- 3,351 3,-44

3,-1-( 3,4(// 3,/4- 3,/45

(3

3,53

3,504 3,0( 3,4-5 3,1/1( 3,/53/

3,/( 3,0/0 3,410 3,15(1

( (,3 (,33

A taela -om os somat@rios (/i +i i

- i i

i/ i

1 i+i i-+i i

+i

/,/(4,-3/

(,0/3

(,3-/

-,/

-,-30

(,540(

,/(-4

,40-,4/(


27/31

olo-ando os &alores na matri=/

=

7514,2

378,3

5127,42051,7

.

97841,12083,25333,2025,3

2083,25333,2025,38501,3

5333,2025,38501,351,5025,38501,351,511

3

2

1

0

b

b

bb

Cesol&endo este sistema de e5ua#esatra&(s de 5ual5uer m(todo j' &isto:Bauss;/


28/31

Soluo do sistema/

0)111

102)6F

20D2)1EF2

301)1F6

7 o polin>mio de ajuste ser'/0)1112)6F.+D2)1EF2.+21)1F6.+3


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Transformao de modelos no lineares emlineares

al9uns -asos) deparamos -om modelosessen-ialmente no lineares) -omo por e+emplo) seo dia9rama de disperso de uma determinada"uno se ajustar a uma e+ponen-ial. $estes -asos)apli-amos al9umas re9ras simples paratrans"ormar este modelo no linear em linear para

poder ser traalado.J importante resaltar 5ue os parmetros assim

otidos no so @timos. Isto por5ue o 5ue se ajusta

( o prolema lineari=ado) e no o ori9inal.


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7+emplos de trans"orma#es/ 0a.+ K ln:;0ln:a;.ln:+; 0a.+K ln:;0ln:a;ln:;.+ 0a.e.+ K ln:;0ln:a;.+ 0e:a.+1-.+2;K ln:;0a.+1-.+2

21..

21

21

2121

..11

ln1

1

..1

..

1

)ln(.)ln(.)ln()ln(..

21

xcxbaye

y

xcxba

yxcxba

y

xcxbayxxay

xcxba

cb

++=

+=

++=

++

=

++==

++


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'emplo) Ajustar os pontos a*aio aequao

i i +i

( 3,( /,5

- (,/ 0,0

, (-

,/ (5,0

/ / -(,/

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