Relat.rio Final de CQF - evunix.uevora.ptevunix.uevora.pt/.../relatorios/Relat%f3rio%20Final%20de%20CQF.pdf · 1 Controlo de Qualidade e Fiabilidade Matemática e Ciências da Computação

Relatório Final da disciplina de

Controlo de Qualidade e Fiabilidade

Matemática e Ciências da Computação Engenharia Agro-alimentar

Paulo Infante

Ano Lectivo 2003/2004

Índice • Relatório Crítico de Leccionação • Relatório Crítico de Leccionação em Inglês • Programa Detalhado e Informação da Disciplina • Programa Detalhado e Informação da Disciplina em

Inglês • Programa Resumido da Disciplina • Programa Resumido da Disciplina em Inglês • Sumários das Aulas • Algum Material de Apoio às Aulas Teóricas • Algum Material de Apoio às Aulas Práticas • Provas de Avaliação • Resultados da Avaliação • Inquérito Anónimo Realizado aos Alunos

Relatório Crítico de Leccionação

1

Controlo de Qualidade e Fiabilidade

Matemática e Ciências da Computação e Engenharia Agro-alimentar

Ano Lectivo 2003/2004

Relatório Crítico de Leccionação

A disciplina de Controlo de Qualidade e Fiabilidade é ministrada aos Cursos de

Licenciatura em Matemática e Ciências da Computação e Engenharia Agro-alimentar.

Funciona também para os alunos inscritos em Controlo de Qualidade dos Cursos mais

antigos (Ensino de Matemática, Matemática Aplicada, Matemática, Análise Matemática

e Probabilidades e Estatística). Trata-se de uma disciplina semestral, sendo leccionada

no 8º Semestre.

Sendo uma disciplina nova (embora com vários pontos comuns à disciplina de

Controlo de Qualidade anteriormente leccionada), houve necessidade de construir todo

um suporte em torno do Programa aprovado pela Comissão de Curso, o qual foi

globalmente cumprido. Podemos afirmar que os objectivos inicialmente propostos

foram atingidos.

Todo o material de apoio foi colocado à disposição dos alunos numa página

própria da disciplina na Internet. Esta página servia também para informações aos

alunos e disponibilização dos sumários das aulas. Pensamos que se trata de uma medida

a fomentar, pois num semestre lectivo, e para um número médio de alunos (que

participaram nas aulas e que se submeteram a alguma prova de avaliação) inferior a 40,

esta página teve mais de 1300 visitas, o que demonstra a importância da informação aí

disponibilizada.

Relativamente ao curso de Matemática e Ciências da Computação, esta disciplina

tem como disciplinas precedentes as disciplinas de Probabilidades e Estatística I (antiga

Introdução à Probabilidade) e de Probabilidades e Estatística II (antiga Introdução à

Estatística), leccionadas no 3º e 4º semestres respectivamente, e que funcionam como

seu suporte de base em termos teóricos e metodológicos. No início do semestre fez-se

uma revisão de conhecimentos básicos fundamentais. Houve necessidade de leccionar

alguma matéria como se fosse a primeira vez devido à turma ser muito heterogénea. Em

2

parte, esta heterogeneidade pode ser explicada pelo facto dos alunos frequentarem as

disciplinas base em anos lectivos distintos. Por exemplo, grande parte dos estudantes

não tinham ainda abordado o teste qui-quadrado de ajustamento e o teste de

Kolmogorov-Smirnov. Pensamos que, com as revisões curriculares levadas a cabo no

ano lectivo anterior, tal situação poderá ser corrigida no próximo ano lectivo ou daqui a

dois anos. Consequentemente, para uma primeira parte do Programa foi necessário mais

algum tempo de leccionação do que o inicialmente previsto.

No que concerne à sua carga horária semanal, esta disciplina tem 3 horas de aulas

teóricas e 2 horas de aulas práticas. Tem, assim, por semana, um total de 5 horas,

correspondendo-lhe 7 ECTS. Esta carga horária parece-nos insuficiente, tendo em conta

o potencial desta disciplina e o tipo de abordagens que se podem levar a cabo.

Pensamos, inclusive, que numa disciplina com uma vertente eminentemente prática,

como pensamos ser o caso desta, se justificava um número de horas práticas superior ao

número de horas teóricas. É, assim, difícil colocar em prática a perspectiva que

defendemos de que o Professor deve ensinar a pensar e ensinar a aprender. Refira-se,

com base em alguma experiência que temos do ensino deste tipo de matérias, que esta é

uma disciplina muito atractiva para os alunos e da qual estes esperam muito, mas que

pelos conhecimentos anteriores, capacidade de análise e sentido crítico que requer, se

torna muito exigente.

Decidimos, assim, reduzir alguma profundidade relativamente a um ou outro

tópico, procurando dar apenas uma visão panorâmica, enquanto que outros foram mais

aprofundados, até porque por muito que se leccione, fica sempre, e cada vez mais, muito

por leccionar. Este é um dos pontos que nos irá merecer alguma reflexão em cada ano

lectivo.

Refira-se, ainda, que se pretendeu dar uma perspectiva do potencial da

Investigação nesta área, no contexto da Investigação Científica desenvolvida pelo

Docente, procurando não só estimular o aluno e dar-lhe uma ideia do que é e o que se

pode fazer em Investigação, mas também dar-lhe um tipo de abordagem diferente da

usual.

Estando esta disciplina integrada nos Curricula de Engenharia Agro-Alimentar

(na prática, com alunos potenciais a partir de 2005/2006), será necessário reflectir um

pouco sobre como abordar determinadas matérias, pois são alunos com formações

diferentes e com perspectivas e objectivos diferentes. Neste caso, apenas existe uma

disciplina suporte base em termos teóricos e metodológicos, a disciplina de Estatística

3

que é leccionada no 6º semestre daquele curso. A questão não se colocou este ano

lectivo, pois não se inscreveu à disciplina ninguém daquele curso, até porque se trata de

uma disciplina que aparece num curso novo e numa fase curricular avançada.

O programa desta disciplina deve incluir também a utilização efectiva de software

estatístico. Neste ano optámos por ministrar algumas noções da folha de cálculo EXCEL,

importante para solucionar variadas questões em Controlo de Qualidade e pouco

conhecida pelos nossos alunos. Contudo, vimo-nos obrigado a limitar um pouco o uso

do computador pelo facto de estarem inscritos muitos alunos, o que implicaria falta de

condições físicas, quer ao nível do número de computadores quer ao nível das

infraestruturas. Aliás, como planeámos um pouco as aulas em função desse número de

inscritos, ficámos um pouco limitados na nossa acção, embora tivéssemos adaptado a

posteriori o planeamento da disciplina em função do número de alunos que

habitualmente assistiam às aulas. Pensamos que o facto dos alunos se poderem inscrever

a todas as disciplinas levanta algumas questões importantes relacionadas com o

planeamento e funcionamento das aulas, tipo de abordagens a determinadas matérias,

avaliação, marcação de salas para testes, entre outros.

O esquema de avaliação foi o usualmente utilizado na anterior disciplina de

Controlo de Qualidade. Os alunos podiam optar por Avaliação Contínua ou por

Avaliação por Exame Final. No sistema de Avaliação Contínua foram realizadas duas

provas de avaliação. O sistema de Avaliação por Exame Final consistiu na realização de

dois exames na época normal, onde o aluno optava por um, e dum exame em época de

recurso.

Mais uma vez pudemos concluir que o trabalho desenvolvido pelos alunos fora

das aulas constitui um aspecto muito importante, pois quase todas as notas mais

relevantes foram obtidas por alunos que passaram pela Avaliação Contínua.

Apesar de termos disponibilizado um horário para, de uma forma complementar e

menos formal, esclarecer dúvidas e aprofundar matérias, a verdade é que muito poucos

alunos apareceram, aumentando um pouco nos 2 ou 3 dias que antecederam cada prova

de avaliação. Em particular, registámos alguma utilização do e-mail para esclarecimento

de dúvidas.

Parece-nos de salientar que, excepto nas duas semanas finais, o número de alunos

que assistiram às aulas se manteve constante durante todo o ano lectivo, sendo

aproximadamente igual ao número de alunos que consideramos avaliáveis. Pensamos

que tal é revelador do interesse pela disciplina e da empatia entre alunos e docente,

4

podendo-se confirmar através dos resultados de um inquérito anónimo realizado aos

alunos. Refira-se que mais de 90% dos alunos que responderam ao inquérito avaliaram

globalmente o docente com notas de Bom ou Muito Bom.

Relativamente às aulas práticas, refira-se que foram criadas folhas de exercícios e

fornecidas as respectivas soluções, procurando incentivar-se o trabalho do aluno em

casa. Na parte da Fiabilidade, pela sua vertente mais teórica, justificava-se um menor

número de exercícios e optou-se por os ditar na aula. Houve a preocupação de adoptar

exercícios capazes de estimular os alunos, desenvolver o seu raciocínio e criar neles o

gosto pela disciplina. Pensamos que tais folhas podem ser melhoradas no próximo ano

lectivo através da introdução de novos exercícios num ou noutro tópico e,

eventualmente, na reformulação de um ou outro exercício que nos pareceu menos

conseguido.

No desenrolar das aulas práticas procurou-se corresponder às expectativas do

Processo de Bolonha. Procurámos, sempre que possível, que os alunos dinamizassem as

aulas, apesar de alguma resistência inicial. Fomentou-se as dúvidas carteira a carteira e

a resolução do exercício individualmente pelo aluno. Ainda em relação às aulas,

optámos por aulas teórico-práticas (respeitando a carga horária estabelecida) de modo a

que os tópicos fossem abordados muito pouco tempo após a sua introdução ao nível

teórico, permitindo não haver praticamente desfasamento entre a parte teórica e a sua

aplicação prática.

Finalmente, podemos considerar que os resultados finais, em termos de

aprovações e reprovações, foram bastante satisfatórios. Se tivermos como referência o

número de inscritos na disciplina (algo que, com o actual sistema de inscrições não nos

parece fazer qualquer sentido), a percentagem de aprovações foi igual a 23,4%.

Tomando como referência o número de alunos que compareceram a toda a avaliação

contínua e a algum dos exames, o que nós designamos por alunos avaliáveis (33), a

percentagem de aprovações foi igual a 66,7%.

O Docente

_______________________________

(Professor Auxiliar)

Relatório Crítico de Leccionação em Inglês

1

Quality Control and Reliability

Mathematics and Computer Science and Agro-Alimentar Engineering

2003/2004

Critical Report

Quality Control and Reliability is lectured to Mathematics and Computer Science

and Agro-Alimentar Engineering. This is a semester course, being lectured at 8th

semester and it comes to substitute Quality Control that was lectured in previous years

to old Mathematic courses (Education, Applied Mathematics, Mathematics,

Mathematical Analysis and Probabilities and Statistics).

Because it is a new course (although with some common points to Quality

Control) we had necessity to construct all the needed support around the Program

approved for the Course Commission, which globally was fulfilled. We can say that the

objectives initially considered had been reached.

The whole support material was available to the students in an internet page. This

page also provides information to the students including the summaries of the lessons.

We think that it should be a measure to implement because in about a period of learning

semester, and for an average number of students (that had participated in the lessons and

in some evaluation test) lesser than 40, this page had more than 1300 visits, which

demonstrates the importance of the information encountered there.

Relatively to Mathematics and Computer Science, this course has a theoretical and

methodological support on Probability and Statistics I (previously Introduction to

Probability) and on Probability and Statistics II (previously Introduction to Statistics)

lectured in the 3rd and 4th semester, respectively. In the beginning of the semester we

made a revision of the basic statistical methods, but we had necessity to lecture some

points as if it was the first time because our students had attended to the support courses

in different school years. For example, a great part of the students did not know the chi-

square and the Kolmogorov-Smirnov goodness of fit tests. We think that, with the

curricular revisions taken in the previous school year, such situation could be corrected

in the next school year or in the next two years. Therefore, some topics of the Program

were lectured slowly than the initially foreseen.

2

In that it concerns to its workload, this course has 3 hours of theoretical lessons

and 2 hours of practical lessons. It has, thus, per week, a total of 5 hours, corresponding

to it 7 ECTS. In our opinion, this workload seems to be insufficient if we have into

account the different points of the program that we could explore in a course with this

potential. We think, also, that in a practical course, as we think to be the case of this, it

justified a number of practical lessons greater than the theoretical ones. Such becomes

difficult to place in practical the perspective that we defend of that the Professor should

teach to think and teach to learn. We can say, according to some experience that we

have in teaching the topics included in the program of this course which is very

attractive and from which the students expect very much, that it comes very demanding

by previously knowledge’s required, the capacity of analysis and the critical sense

inherent.

Therefore we had necessity to reduce some depth relatively to one or other topic,

looking to give only one panoramic vision, even because no matter how much we teach,

it is always, and each time more, much for teaching. This is one of the points that

deserve some reflection in each academic year.

We had intended to give a perspective of the potential research in this area, in the

context of the scientific research developed by us. We looked for not only to stimulate

the students and give an idea of what it is and what we can do in scientific research but

also to give a different perspective of the usual one.

Because this course is integrated in Agro-Alimentar Engineering Curricula (in the

practical one, with potential students in 2005/2006), it will be necessary to think a little

on how to board different topics since students have different formation and different

perspectives and objectives. In this case it has a theoretical and methodological support

only on Statistics lectured in the 6th semester. The question did not take place in this

academic year because no registration occurred, since it appears in an advanced phase

of a new course.

The program of this disciplines should also includes the effective use of statistical

software. In this year we opted to EXCEL, important to solve different questions in

Quality Control and little known by our students. However, we saw ourselves obliged to

limit the use of the computer since we expected many students and it would imply a

lack of physical conditions (number of computers and infrastructures). Moreover, as we

planned the lessons in function of the number of expected students, we were a little

limited. Even so, we had adapted a posteriori the lessons planning in function of the

3

number of students that usually attended to the lessons. We think that the fact of the

students be able to inscribe to all that they want raises some important questions related

with the planning and functioning of the lessons, the way we board some topics, the

evaluation, the classrooms reserve for tests, among others.

The assessment method was the usually used in the past in Quality Control. The

students should opt between continuous evaluation and evaluation for final exam. The

continuous evaluation scheme consisted in two tests. In the final exam scheme, the

students choose to attend to one of two calls at normal time and accomplish one exam at

appeal time.

One more time we could conclude that the work developed by the students outside

the class constitutes a very important aspect since almost all the good marks had been

gotten by students that had opted by continuous evaluation.

Although we had presented a schedule for students complementary and less

formal form support, to clarify some questions and eventually to deep some topics, the

truth is that few students had appeared, with a relative increase when it misses 2 or 3

days to accomplish each test. Particularly, we noted some use of the email by the

students in order to solve some questions.

We must point out that, with the exception of the last two weeks, the number of

students that attended to the lessons stayed almost constant during the whole semester,

being approximately equal to the number of students which we consider available. We

think that it reflects the interest of the course and the empathy between students and

professor which we can confirm through the results of an anonymous inquiry carried out

by us in the second test of continuous evaluation and in the two calls of the exam at

normal time. The results of this inquiry show that more than 90% of the students that

answered to the inquiry evaluated globally the Professor with notes of Good or Very

Good.

Relatively to the practical lessons, we must point out that were created different

exercises and the respective solutions had been supplied, looking for to stimulate the

student’s homework. In Reliability part, because it’s more theoretical, we think that

lesser exercises were needed and we opted to dictate it in the lessons. We had the

concern of adopt exercises capable to stimulate the students and creating in them the

incentive and the taste for this course. We think that such exercises can be improved in

the next academic year through the introduction of new exercises in one or other topic

and, eventually, with the suppression of others with inferior pedagogical quality.

4

In uncurling of the lessons, we also tried to correspond to the ideas of the Bologna

Process. We looked that, when it was possible, the students put animation on the

lessons, although some initial resistance. We fomented the individually questions wallet

to wallet and the resolution of the exercises by the students. Still in relation to the

lessons, we opted by theoretical-practical lessons (respecting the established workload)

in order that the topics were boarded very little time after its theoretical introduction,

allowing a great proximity between the theoretical subjects and its practical application.

Finally, we can consider the final results, in terms of approbation or reprobation,

very satisfactory. If we have the number of inscribed students to the course as reference

(something that, with the actual system of registrations doesn’t seem to make much

sense), the percentage of approbation was equal to 23.4%. Taking as reference the

number of students that attended to all continuous evaluation and to some of the exams,

what we assign the available students (33) the percentage of approbations was equal

to 66.7%.

The Responsible

_______________________________

(Assistant Professor)

Programa Detalhado e

Informação da Disciplina

UNIVERSIDADE DE ÉVORA - Departamento de Matemática

CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE

Ano lectivo 2003/2004

• LICENCIATURA EM MATEMÁTICA E CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO e ENGENHARIA

AGRO-ALIMENTAR

• 8º Semestre

• Carga horária: 3 T + 2 P

• 7 ECTS

• Docente: Paulo Infante – [email protected]

• Todas as informações relativas à disciplina podem ser consultadas através do

link:

http://www.ensino.uevora.pt/cqf

OBJECTIVOS

Fornecer aos alunos, com base em conhecimentos anteriores de probabilidades e

estatística, uma perspectiva prática da sua aplicação em diferentes áreas, tais como a

indústria e os serviços, em que o controlo de qualidade e a fiabilidade assumem um

papel relevante, numa perspectiva essencialmente estatística, sem menosprezar os

aspectos de natureza económica.

PROGRAMA 1. Introdução ao Controlo de Qualidade

• Conceitos • Aplicações • Importância • Fases de aplicação • Custos • Software estatístico

2. Distribuição Normal

• Teorema do limite central (Recapitulação) • Teste do qui-quadrado e teste de Kolmogorov-Smirnov (Recapitulação) • Papel de probabilidade

• Recta de Henry • Estimação da média e do desvio padrão

3. Distribuições Amostrais

• Médias • Amplitudes • Desvios padrões

4. Controlo por variáveis

• Carta de controlo para a média • Carta de controlo para a amplitude • Carta de controlo para o desvio padrão • Cálculo de probabilidades associadas às cartas • Erros de tipo I e II • Outras cartas de controlo • Eficácia das cartas de controlo

5. Controlo por atributos • Carta de controlo para o número de peças defeituosas • Carta de controlo para a proporção de peças defeituosas • Carta de controlo para o número de defeitos por unidade • Eficácia das diferentes cartas de controlo

6. Controlo na recepção

• Custos de inspecção a 100%. • Amostragem • Lotes – Amostras • Nível de qualidade aceitável • Risco do fornecedor • Risco do cliente

7. Planos de Amostragem

• Simples • Dupla • Múltipla • Controlo normal • Controlo reforçado • Controlo reduzido

8. Tabelas • Tabelas MIL STD 105 D • Tabelas MIL STD 414 • Cálculo de probabilidades associadas

9. Métodos de amostragem • Métodos periódicos • Métodos não periódicos • Métodos não adaptativos

• Métodos adaptativos 10. Optimização em controlo de qualidade

• Custos envolvidos • Grandezas optimizantes • Minimização de um custo total médio

11. Fiabilidade

• Distribuições de tempos de vida • Função de fiabilidade • Taxa de risco • Taxa cumulativa de risco • Sistemas em série • Sistemas em paralelo

12. Políticas de inspecção de sistemas • Tipos de inspecção • Políticas periódicas • Custo total médio por ciclo • Minimização de custos • Políticas não periódicas

OSERVAÇÕES:

Pré-requisitos (não são precedências): Probabilidades e Estatística I e

Probabilidades e Estatística II

O programa desta disciplina pode incluir a utilização do software estatístico

SPSS e da folha de cálculo EXCEL.

AVALIAÇÃO Nesta disciplina, os alunos podem optar por dois tipos de avaliação:

1. Avaliação Contínua

a. O regime de avaliação contínua consiste na realização de 2 Frequências.

b. A primeira Frequência a realizar em 17 de Abril de 2004

c. A segunda Frequência a realizar em 29 de Maio de 2004

d. A matéria para avaliação em cada Frequência será definida nas aulas

teóricas uma semana antes da data prevista para a realização da

frequência.

e. Em cada Frequência o aluno(a) terá que ter uma nota superior ou igual a

8 valores. Caso a nota seja inferior a 8 valores na primeira Frequência, o

aluno(a) opta automaticamente pelo regime de avaliação por Exame

Final e caso a nota seja inferior a 8 valores na segunda Frequência o

aluno reprova à disciplina.

f. A nota final será a média aritmética das notas obtidas nas duas

frequências.

g. A apreciação do desempenho do aluno durante as aulas poderá, se daí

resultar benefício para o aluno, alterar a nota final.

h. Para obter aprovação à disciplina a nota final deverá ser igual ou superior

a 9.5 valores.

i. Caso o aluno(a) não realize uma das Frequências, opta automaticamente

pelo regime de avaliação por Exame Final.

2. Exame Final

a. O regime de avaliação por Exame Final, em época normal, consiste na

realização de duas chamadas, optando o aluno(a) por ir a uma só

chamada.

b. A primeira chamada realizar-se-á em 17 de Junho de 2004 e a segunda

chamada realizar-se-á em 25 de Junho de 2004.

c. A nota final será a da prova de exame e terá de ser igual ou superior a 9.5

valores para obter aprovação à disciplina.

d. A matéria para avaliação será toda aquela leccionada durante o semestre.

e. O Exame de Recurso realizar-se-á em 8 de Julho de 2004.

f. O Exame de Época Especial realizar-se-á em 16 de Setembro de 2004.

OBSERVAÇÕES:

As Frequências e os Exames são provas sem consulta, podendo os alunos utilizar

tabelas estatísticas fornecidos para o efeito.

Os alunos podem utilizar máquina de calcular (pessoal e intransmissível).

BIBLIOGRAFIA

• Barlow, R. E.; Proschan, F. (1996) – Mathematical Theory of Reliability, SIAM.

• Controle Statistique de la Qualité (1967) - Institut de Statistique des Universités

de Paris.

• Duncan, A. J. (1986) - Quality control and Industrial Statistics, 5th ed., Irwin,

Illinois.

• Infante, P. (1997) – Optimização em Controlo Estatístico de Qualidade, PAPCC

– Trabalho de Síntese, Universidade de Évora.

• Infante, P. (2003) – Métodos de Amostragem em Controlo de Qualidade, Tese

de Doutoramento, Universidade de Évora.

• Juran, J. M. (1974) – Quality Control Handbook, McGraw-Hill, 3rd ed..

• Montgomery, D.C. (2002) – Introduction to Statistical Quality Control, 4th ed.,

John Wiley.

• Rodrigues Dias, J. (1981) – Cartas de Controlo de Qualidade nas Indústrias

Agro-Alimentares, Jornadas de Informação Agrária 81 (JIA 81), Universidade

de Évora, 26 pp.

• Rodrigues Dias, J. (1983) – Importância do Controlo Estatístico de Qualidade na

Vida das Empresas, Economia e Sociologia, nº 36, pp 53-66.

• Rodrigues Dias, J. (1987) – Políticas de Inspecção de Sistemas, Tese de

Doutoramento, Universidade de Évora.

• Rodrigues Dias, J. (1990) – A New Approximation for the Inspection Period of

Systems with Different Failure Rates”, EJOR, European Journal of Operational

Research 45, pp 219-223.

• Ryan, T. P. (2000) – Statistical Methods for Quality Improvement, John Wiley.

• Ushakov, I. A. (1994) – Handbook of Reliability Engineering, John Wiley.

• Wadsworth, H. M.; Stephens, K. S.; Godfrey, A. B. (2001) – Modern Methods

for Quality Control and Improvement, 2nd Edition, John Wiley.

ATENDIMENTO AOS ALUNOS Segundas-feiras: 10h-11h

Quintas-feiras: 16h-17h

O docente apresenta total disponibilidade para responder a qualquer dúvida por e-

mail.

Programa Detalhado e

Informação da Disciplina em Inglês

UNIVERSITY OF ÉVORA – Department of Mathematics QUALITY CONTROL AND RELIABILITY

2003/2004

• MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCES and Agro-Alimentar Engineering

• 8th Semester

• Work load: 3 T + 2 P

• 7 ECTS

• Professor: Paulo Infante – [email protected]

• All of the information about the course can be consulted through the link:

http://www.ensino.uevora.pt/cqf

OBJECTIVES

To provide the students, on basis of previous knowledge of probability and statistics, a

practical perspective of its application in different areas, such as the industry and the

services, where the quality control and the reliability assume an important role, in a

perspective essentially statistics, without undervalue economic aspects.

PROGRAM CONTENTS 1. Introduction to Quality Control

• Concepts • Applications • Importance • Application Phases • Costs • Statistical Software

2. Normal Distribution • Central limit Theorem (Recapitulation) • The Chi-square and the Kolmogorov-Smirnov goodness of fit tests

(Recapitulation) • Probability paper • Henry straight line • Estimation of the mean and standard deviation

3. Sampling Distributions

• Mean • Range • Standard deviation

4. Control Charts for Variables

• The Control chart for the sample mean • The Control chart for the range • The Control chart for the standard deviation • Calculation of probabilities • Type I and type II errors • Other control charts • Operating-characteristic curves

5. Control Charts for Attributes • The control chart for fraction nonconforming • The control chart for nonconformities • The control chart for the number of defects in a unit of product • Operating-characteristic curves

6. Acceptance Sampling

• Costs of 100% inspection • Sampling • Lot – Samples • Acceptance quality level • Vendor’s risk • Consumer’s risk

7. Sampling Plans

• Single sampling • Double sampling • Multiple sampling • Normal inspection • Tightened inspection • Reduced inspection

8. Tables • Military Standard 105 D • Military Standard 414 • Calculation of associate probabilities

9. Sampling Methods • Periodic sampling procedures • Non periodic sampling procedures • Adaptive sampling procedures • Non adaptive sampling procedures

10. Optimization in Quality Control • Costs • Optimization parameters • Minimizing an expected total cost

11. Reliability

• Lifetime distributions • Reliability function • Hazard rate • Cumulative hazard rate • Series systems • Redundant sytems

12. Inspection Policies of Systems • Different inspection types • Periodic policies • Expected total cost during a cycle • Costs minimization • Non periodic policies

OSERVATIONS:

Per-requisites (not precedences): Probabilidades e Estatística I e Probabilidades

e Estatística II

This program can include EXCEL and the statistical software SPSS.

ASSESSMENT METHODS In this course, the students can opt between two evaluation methods:

1. Continuous Evaluation

a. The regimen of continuous evaluation consists in 2 Partial Tests.

b. The matter for evaluation in each Partial Test will be defined in the

lecture classes one week before the date foreseen for the accomplishment

of the partial test.

c. In each Partial Test the student must have a score greater or equal to 8

values. Case of score is less than 8 values in the first Partial Test, the

student automatically opts to the evaluation regimen of Final Exam and

case of score is less than 8 values in the second Partial Test the student

reproves.

d. The final score will be the arithmetic mean of the scores on both tests.

e. The student’s performance during the lessons can modify the final score,

if it benefits the student

f. To get approbation to the course the final score must be greater or equal

than 9.5 values.

g. Case the student doesn't attend to one of the Partial Tests automatically

opts to the regimen of evaluation for Final Exam.

2. Final Exam

a. In the Final Exam evaluation regimen, at normal time, the student

chooses to attend to one of two calls.

b. The final score will be the one of the exam proof and the student must

have a score greater or equal than 9.5 to obtain approval to the course.

c. The matter for evaluation will be that whole lectured during the

semester.

d. There will be one Appeal Exam and one Exam at Special Time.

OBSERVATIONS:

The Partial Tests and the Final Exams are proofs without consultation. The

students can use statistical tables supplied for the professor.

The students should use a personal calculator.

BIBLIOGRAPHY

• Barlow, R. E.; Proschan, F. (1996) – Mathematical Theory of Reliability, SIAM.

• Controle Statistique de la Qualité (1967) - Institut de Statistique des Universités

de Paris.

• Duncan, A. J. (1986) - Quality control and Industrial Statistics, 5th ed., Irwin,

Illinois.

• Infante, P. (1997) – Optimização em Controlo Estatístico de Qualidade, PAPCC

– Trabalho de Síntese, Universidade de Évora.

• Infante, P. (2003) – Métodos de Amostragem em Controlo de Qualidade, Tese

de Doutoramento, Universidade de Évora.

• Juran, J. M. (1974) – Quality Control Handbook, McGraw-Hill, 3rd ed..

• Montgomery, D.C. (2002) – Introduction to Statistical Quality Control, 4th ed.,

John Wiley.

• Rodrigues Dias, J. (1981) – Cartas de Controlo de Qualidade nas Indústrias

Agro-Alimentares, Jornadas de Informação Agrária 81 (JIA 81), Universidade

de Évora, 26 pp.

• Rodrigues Dias, J. (1983) – Importância do Controlo Estatístico de Qualidade na

Vida das Empresas, Economia e Sociologia, nº 36, pp 53-66.

• Rodrigues Dias, J. (1987) – Políticas de Inspecção de Sistemas, Tese de

Doutoramento, Universidade de Évora.

• Rodrigues Dias, J. (1990) – A New Approximation for the Inspection Period of

Systems with Different Failure Rates”, EJOR, European Journal of Operational

Research 45, pp 219-223.

• Ryan, T. P. (2000) – Statistical Methods for Quality Improvement, John Wiley.

• Ushakov, I. A. (1994) – Handbook of Reliability Engineering, John Wiley.

• Wadsworth, H. M.; Stephens, K. S.; Godfrey, A. B. (2001) – Modern Methods

for Quality Control and Improvement, 2nd Edition, John Wiley.

STUDENTS SUPPORT

Monday: 10h-11h

Thursday: 16h-17h

The professor presents total availability to answer to any doubt for email.

Programa Resumido da Disciplina

• Introdução ao controlo de qualidade: conceitos, fases e custos; software estatístico.

• Distribuição normal: recapitulação; recta de Henry. • Distribuições amostrais: médias, amplitudes e desvios padrões • Controlo por variáveis: cartas de controlo para a média, amplitude e desvio

padrão; erros de tipo I e II; eficácia das cartas; outras cartas de controlo. • Controlo por atributos: cartas de controlo para o número de peças defeituosas,

proporção de peças defeituosas e número de defeitos por unidade; eficácia das cartas.

• Controlo na recepção: lotes e amostras; nível de qualidade aceitável; risco do fornecedor; risco do cliente.

• Planos de amostragem: diferentes tipos e níveis de amostragem. • Tabelas: tabelas MIL STD 105 D e MIL STD 414. • Métodos de amostragem: periódicos, não periódicos, adaptativos e não

adaptativos. • Optimização em controlo de qualidade: custos envolvidos e sua minimização. • Fiabilidade: tempos de vida e taxas de risco; sistemas em série e paralelo. • Políticas de inspecção de sistemas: diferentes tipos e custos; optimização.

Programa Resumido da Disciplina em Inglês

• Introduction to Quality Control: concepts, phases and costs; statistical software. • Normal distribution: recapitulation; Henry straight line. • Sampling distributions: mean; range and standard deviation. • Control charts for variables: control charts for the sample mean, control charts

for the range and control charts for the standard deviation; type I and type II errors; operating-characteristic curve; other control charts.

• Control charts for attributes: control charts for nonconformities, control charts for fraction of defectives and control charts for the number of defects in a unit of product; operating-characteristic curve.

• Acceptance sampling: lots and samples; acceptance quality level; vendor’s risk; consumer’s risk.

• Sampling plans: different types and levels. • Tables: MIL STD 105 D and MIL STD 414 • Sampling methods: periodic, non periodic, adaptive and non adaptive. • Optimization in quality control: involved costs and its minimization. • Reliability: lifetime distributions and hazard rates; series systems and redundant

systems. • Systems inspection policies: different inspection types and costs; optimization.

Sumários

Lição Nº 1 – 16/02/04

Apresentação genérica do Programa e da Bibliografia. Considerações gerais sobre o

modo de funcionamento das aulas. Definição do método de avaliação da disciplina.

Marcação das datas dos testes e do horário de atendimento aos alunos. Introdução ao

Controlo de Qualidade: contextualização, conceitos básicos, importância, custos e

aplicações. Causas aleatórias e causas assinaláveis. As diferentes fases de aplicação do

controlo de qualidade.

Lição Nº 2 – 19/02/04 Estatística Descritiva (recapitulação): agrupamento dos dados e formação de classes;

frequências e tábuas de distribuição de frequências; representações gráficas. Estimação

da média e do desvio padrão. Distribuição Normal. Teste do qui-quadrado e recta de

Henry. Exercício de aplicação.

Lição Nº 3 – 26/02/04 Estatística Descritiva (recapitulação): mediana; moda; medidas de assimetria e de

achatamento. Cálculo empírico de probabilidades. Estimação da média e do desvio

padrão pela recta de Henry. Teste de Kolmogorov-Smirnov. Continuação do exercício

de aplicação.

Lição Nº 4 – 1/03/04 Teorema do limite central. Distribuição amostral de médias e de amplitudes. Intervalos

de confiança para a amplitude. Cartas de controlo do tipo Shewhart: princípios

estatísticos fundamentais. Erro do tipo I e erro do tipo II. Cartas de controlo por

variáveis. Carta de controlo para a média e carta de controlo para a amplitude.

Estimação da média e do desvio padrão na fase inicial do processo. Interpretação das

cartas de controlo. Exemplos e exercícios de aplicação.

Lição Nº 5 – 4/03/04 Limites de controlo provisórios. Algumas considerações sobre a fase inicial de controlo

do processo. Limites de controlo para a produção futura. Limites de aviso. Cálculo de

probabilidades associadas à carta de controlo para a média. Distribuição Binomial

(recapitulação).

Lição Nº 6 – 8/03/04 Breve referência e algumas considerações sobre regras de controlo suplementares.

Principais padrões não aleatórios associados às cartas de controlo. Exemplos. Curvas de

eficácia para alterações da média e do desvio padrão. Distribuição Geométrica

(recapitulação). Número médio de amostras até detecção (ARL). Exercícios de

aplicação.

Lição Nº 7 – 11/03/04 Algumas considerações sobre a distribuição do número de amostras até ao aparecimento

de um ponto fora dos limites de controlo (RL). Cálculo de probabilidades associadas à

carta de controlo para a média usando a distribuição geométrica. Limites naturais de

tolerância e limites de especificação. Exemplos. Capacidade do processo em produzir

dentro das especificações. Exercícios.

Lição Nº 8 – 15/03/04 Processos centrados e não centrados. Exemplo. Índices de capacidade do processo.

Interpretação. Exemplos de aplicação. Exercícios. Carta de controlo para o desvio

padrão. Estimação do desvio padrão na fase inicial.

Lição Nº 9 – 18/03/04 Exercícios envolvendo análise de cartas de controlo na fase inicial, análise de

capacidade do processo e cartas para médias e desvio padrão. Cartas para medidas

individuais: carta X e carta MR (amplitudes móveis). Estimação do desvio padrão

através das amplitudes móveis. Exemplo de aplicação.

Lição Nº 10 – 22/03/04 Algumas considerações sobre questões de amostragem vs questões de estimação.

Introdução ao controlo por atributos. Carta para a proporção de elementos defeituosos

(Carta p) e carta para o número de elementos defeituosos (carta np). Limites provisórios

e limites standard. Questões relacionadas com a definição do tamanho das amostras.

Curvas de eficácia. Exemplos e exercícios de aplicação. Aproximação da distribuição

binomial pela distribuição normal.

Lição Nº 11 – 25/03/04 Exercícios sobre a carta p. Carta para o número de defeitos por unidade (carta c).

Exemplos de aplicação. Alteração da unidade de inspecção numa carta c. Carta para o

número médio de defeitos por unidade inspeccionada (carta u).

Lição Nº 12 – 29/03/04 Exercícios sobre a carta c e sobre a carta u. Aproximação da distribuição de Poisson

pela distribuição normal. Amostras de tamanhos variáveis. Exemplos e exercícios de

aplicação. Controlo por atributos vs controlo por variáveis.

Lição Nº 13 – 01/04/04 Princípios básicos das cartas de controlo CUSUM e EWMA. Exemplos de aplicação.

Exercícios.

Lição Nº 14 – 15/04/04 Aula Laboratorial.

Lição Nº 15 – 19/04/04 Controlo na recepção. Amostragem por aceitação. Lotes e amostras. Planos de controlo

por atributos: conceito de plano de amostragem simples e de plano de amostragem

duplo. Conceitos de nível de qualidade aceitável, risco do fornecedor e risco do cliente.

Tabelas MIL STD 105. Controlo normal, controlo reduzido e controlo reforçado.

Critérios de passagem entre os diferentes tipos de controlo. Exemplos e exercícios de

aplicação utilizando planos de amostragem simples.

Lição Nº 16 – 22/04/04 Planos de amostragem duplos. Número médio de elementos inspeccionados por lote.

Exemplos e exercícios de aplicação utilizando planos de amostragem duplos.

Lição Nº 17 – 26/04/04 Cálculo de probabilidades associadas a planos de amostragem duplos. Breve referência

a curvas de eficácia associadas aos planos de amostragem. Inspecção rectificativa:

conceito, obtenção do número médio de elementos inspeccionados por lote e do nível

médio de qualidade de saída. Planos de controlo por variáveis. Vantagens e

desvantagens dos planos de controlo por variáveis. Tabelas MIL STD 414. Exemplos de

aplicação. Caso em que a variabilidade é conhecida: Forma 1, Forma 2, um só limite de

especificação e dois limites de especificação com um e dois níveis de qualidade

aceitável. Exercícios. Caso em que a variabilidade é desconhecida – método do desvio

padrão: Forma 1, Forma 2, um só limite de especificação e dois limites de especificação

com um e dois níveis de qualidade aceitável. Exercícios.

Lição Nº 18 – 29/04/04 Caso em que a variabilidade é desconhecida – método da amplitude: Forma 1, Forma 2,

um só limite de especificação e dois limites de especificação com um e dois níveis de

qualidade aceitável. Exercícios. Breve referência a outros planos e esquemas de

amostragem: Dodge-Romig, amostragem contínua (CSP-1) e lotes alternados (skip-lot).

Inspecção a 100% vs planos de amostragem.

Lição Nº 19 – 03/05/04 Algumas considerações sobre a primeira frequência. Introdução à Fiabilidade: conceitos

de tempo de vida, fiabilidade, taxa de risco e de taça cumulativa de risco. Relações entre

a função de fiabilidade, função densidade, função distribuição, taxa de risco e taxa

cumulativa de risco. Exemplos e exercícios de aplicação.

Lição Nº 20 – 06/05/04 Modelos de tempos de vida de sistemas. Modelo Exponencial e Modelo Weibull:

função densidade, função de distribuição, função de fiabilidade, taxa de risco, falta de

memória, valor médio e variância. Exemplos e exercícios de aplicação.

Lição Nº 21 – 10/05/04 Continuação dos exercícios da aula anterior. Outros modelos de tempos de vida de

sistemas: normal, lognormal, Hjorth. Sistemas em série: função de fiabilidade, taxa de

risco, exemplos e exercícios de aplicação.

Lição Nº 22 – 13/05/04 Sistemas em paralelo: função de fiabilidade, taxa de risco, exemplos e exercícios de

aplicação. Redundância activa e redundância passiva. Sistemas com componentes em

série e em paralelo. Exemplos e exercícios de aplicação.

Lição Nº 23 – 17/05/04 Políticas de Inspecção de sistemas. Tipos de Inspecções: determinísticas e aleatórias,

periódicas e não periódicas, perfeitas e imperfeitas. Conceito de ciclo. Custo total médio

por ciclo. Número médio de inspecções e tempo médio de detecção. Minimização do

custo total médio por ciclo quando se consideram inspecções periódicas. Obtenção de

uma aproximação para o período de amostragem. Exemplos e exercícios de aplicação.

Lição Nº 24 – 20/05/04 Obtenção de uma outra aproximação para o período de inspecção. Inspecções não

periódicas: política de risco constante. Exemplos e exercícios de aplicação.

Lição Nº 25 – 31/05/04 Optimização em Controlo de Qualidade: custos envolvidos, grandezas optimizantes,

número médio de amostras inspeccionadas e período médio de mau funcionamento.

Métodos de amostragem em controlo de qualidade: método periódico clássico, métodos

de intervalos predefinidos e métodos adaptativos.

Lição Nº 26 – 03/06/04

Aula de dúvidas.

Algum Material de Apoio

Às Aulas Teóricas

1

Generalidades sobre o Controlo de Qualidade

Controlo de Qualidade e FiabilidadeMatemática e Ciências da Computação 2003/04

2

QualidadeIndústria, serviços, ..., vidaFactor determinante na selecção de produtos e serviçosPapel fundamental nas estratégias competitivas de muitas empresasSobrevivência de muitas empresas qualidade permanentemente melhorada

⇒

3

Preocupação com a “Qualidade”APQ – Associação Portuguesa para a QualidadeEOQ – European Organization for QualityEFQM – European Foundation for Quality

Management

DECO – Associação de Defesa do Consumidor

CertificaçãoNíveis de Excelência....

4

Crescente de ImportânciaShewhart (1930)

Controlo de qualidade começa a assumir um papel importante

Duncan (1956)Controlo de qualidade começa a assumir importância do ponto de vista dos decisores empresariais

Introdução de normas e consequente adopção a nível mundial (MIL STD, ISO)

5

Qualidade

Preço Quantidade

Nível óptimo de qualidadeControlo Estatístico de QualidadeControlo total (integrado) de qualidade (ex: TQM)

Recursos humanosRelações com fornecedoresIntrodução de novos produtosGestão dos processos produtivosEnfoque do cliente

6

Senso comumUm produto tem qualidade quando satisfaz uma ou mais características que nele se pretende encontrar

Qualidade tem a ver com:“materiais”métodosmáquinasmedidasmão-de-obra...

7

VariabilidadeIntrínseca ( “natural”)Causas aleatórias – inerentes ao processoNão Intrínseca Causas assinaláveis – detectadas e eliminadas

Redução da variabilidade - Uma das chaves para melhorar a qualidade de um produto

8

Avaliar uma ou mais características:Índole Quantitativa – Controlo por Variáveis

Qualidade expressa por um número (mensurável)(ex: volume, peso, diâmetro, resistência,...)

Índole Qualitativa – Controlo por AtributosProporção de elementos defeituosos(possui ou não determinado atributo – defeituoso ou não defeituoso)(ex: sabor, cor, aspecto,...) Número de defeitos por unidade

9

Controlo de QualidadeConhecer o nível da qualidadeCorrigir / melhorar a qualidade

Perspectiva:preventiva / correctivanão punitiva

10

Controlo Estatístico de QualidadeControlo estatístico do processo (SPC)Delineamento experimentalAmostragem por aceitaçãoAnálise se capacidade do processo

11

Fases do Controlo de Qualidade

Controlo de QualidadeControlo de Qualidadena recepçãodurante a produçãona comercialização

“Matérias Primas”

ProdutoFinal...

12

Na RecepçãoVerificar se o que está recebendo corresponde ao nível de qualidade que acordou com o fornecedor

Impossibilidade prática (custos, tempo, testes destrutivos, ...) de analisar todos os produtos(inspecção a 100%)

Analisar amostras, definindo regras e limites de aceitação (e de rejeição) da qualidade da produção em causa Planos de Controlo

(MIL STD 105D / MIL STD 414

13

Na RecepçãoN nNQA nMaior (menor) convicção do cliente, obtida a partir de dados anteriores, menor (maior) é a exigência ao nível da dimensão das amostras extraídas, associada ao controlo dito reduzido (reforçado).

Risco fornecedor (cliente rejeitar um lote bom)Risco do Cliente (aceitar um lote mau)

⇒⇒

14

Durante a Produção (de um qualquer bem ou serviço)

Fase inicialVerificar se está sob controlo e se a qualidade corresponde ou não ao que foi previamente definido

Fase de normal funcionamentoDetectar eventuais alterações como resultado do aparecimento de causas assinaláveis

15

Durante a Produção

Cartas de Controlo• Distinguir entre causas aleatórias e causas assinaláveis

• Avaliar o desempenho do processo ao longo do tempo

• Estimar parâmetros

• Sistema (produtivo) ⇒ Falhas ⇒ Vigilância ⇒ Obtenção de (produção defeituosa) Amostras T v.a.

16

Aplicações das Cartas de ControloIndústriaSaúdeÁrea financeiraLaboratórios clínicosDesempenho atléticoEducaçãoEngenharia CivilEcologiaLeis... “quase tudo”

17

Fase de Normal FuncionamentoDistribuição Normal – grande parte das aplicações práticas – Teorema do Limite CentralProcesso está sob controlo?

Erro de 1ª espécie (falso alarme)Erro de 2ª espécie (considerar que está sob controlo quando, de facto, não está)

Quando recolher as amostras?Quantos elementos analisar? OptimizaçãoOptimizaçãoQuais os limites das cartas?

18

Na ComercializaçãoEventualmente aquando da constituição de lotesO produtor deverá ter uma informação final global do produto que está colocando no mercado.Cliente (ou consumidor) tem uma palavra importante, que poderá ser decisiva para a aceitação do produto

Reflexos directos, imediatos ou não, no sucesso do produtor

Destinatário: fábrica, departamento, grande público

Em certo sentido, esta terceira fase pode considerar-se como sendo coincidente com a primeira – Fecha-se o ciclo.

MÉTODOS DE AMOSTRAGEM EM CONTROLO DE QUALIDADE

Controlo de Qualidade Controlo de Qualidade e e

FiabilidadeFiabilidade

Métodos de Amostragem 2

Introdução

Cartas de ControloCartas de Controlo• Distinguir entre causas aleatórias e causas assinaláveis

• Avaliar o desempenho do processo ao longo do tempo

• Estimar parâmetros

• Sistema (produtivo) ⇒ Falhas ⇒ Vigilância ⇒ Obtenção de (produção defeituosa) Amostras T v.a.

X~N(µ, σ)x, R, s, p, c


Introdução (continuação)

Controlo de QualidadeControlo de QualidadeCarta de controlo para a média

Questões?Questões?

Quando Inspeccionar?Qual o Tamanho das Amostras?Quais os Limites de Controlo?


Procedimentos de Amostragem

ClássicoClássicoCarta com limites fixos (“3-sigma”), amostras de tamanho fixo (4 a 9) retiradas periodicamente.Parâmetros PredefinidosParâmetros PredefinidosParâmetros fixos, mas não constantes durante o controlo do processo. Os seus valores são obtidos no início do processo produtivo, não sendo actualizados.

Parâmetros AdaptativosParâmetros AdaptativosPelo menos um parâmetro varia em função dos valores da estatística amostral. Informação do estado do processo actualizada em cada instante de amostragem.(VSI, VSS, VSSI, VP, DP, VSIFT, VSSIFT, DPVSI, SPRT,...)


Um Critério de Comparabilidade

Condições iguais sob controlo:Número Médio de Falso AlarmesNúmero Médio de AmostrasNúmero Médio de Elementos Analisados

100%P NPAATS

P

AATS AATSQAATS−

= ×

MedidaMedida dada ReduçãoRedução RelativaRelativa no AATS,no AATS,quandoquando se se utilizautiliza um um ProdedimentoProdedimento NãoNão PeriódicoPeriódico ..


Método VSS

L

W

0

-W

-Ln1

n1

n2

n2>n>n1

VSS (a) VSS (a) -- (n(n11, n, n22)=(2, 25); W=1.5032)=(2, 25); W=1.5032

( )( )( )

2 11

2 1

2 L n n n nW

2 n n− Φ − + −

= Φ −


Método VSI

L

W

0

-W

-Ld1

d1

d2

d2>d>d1

VSI (b)VSI (b)-- (d(d11, d, d22)=(0.015, 1.5); W=0.9572)=(0.015, 1.5); W=0.9572

( )( )( )

−

−+−ΦΦ= −

21

211

dd2ddddL2W


Outros Métodos Adaptativos

VSSI – Alterna um longo intervalo de amostragem com uma amostra pequena e um pequeno intervalo de amostragem com uma amostra grande

VSSI (a)VSSI (a)-- (d(d11, d, d22)=(0.015, 1.394); (n)=(0.015, 1.394); (n11, n, n22)=(1, 15); W=1.0633)=(1, 15); W=1.0633

VP – Estatísticas amostrais representadas numa carta de controlo com dois limites de aviso (superiores e inferiores) e dois limites de controlo (superiores e inferiores).

Tem-se L1>L>L2 e W1>W2, onde i=1 se a última amostra é pequena e i=2 se a última amostra é grande.

VP (a) VP (a) -- (d(d11, d, d22)=(0.015, 1.394); (n)=(0.015, 1.394); (n11, n, n22)=(1, 15); )=(1, 15);

(L(L11, L, L22)=(6.0000, 2.5953); (W)=(6.0000, 2.5953); (W11, W, W22)=(1.0676; 1.0527))=(1.0676; 1.0527)


Valores dos Parâmetros para Estudo Comparativo

Método de Amostragem

Parâmetros

VSI (a) (d1, d2)=(0.015, 2.0); W=0.6665 VSI (b) (d1, d2)=(0.015, 1.5); W=0.9572 VSI (c) (d1, d2)=(0.015, 1.2); W=1.3689

VSS (a) (n1, n2)=(2, 25); W=1.5032 VSS (b) (n1, n2)=(3, 15); W=1.3757 VSS (c) (n1, n2)=(4, 9); W=1.2754

VSSI (a) (d1, d2)=(0.015, 1.394); (n1, n2)=(1, 15); W=1.0633 VSSI (b) (d1, d2)=(0.015, 1.281); (n1, n2)=(3, 12); W=1.2151 VSSI (c) (d1, d2)=(0.015, 1.328); (n1, n2)=(4, 8); W=1.1454

VP (a) (d1, d2)=(0.015, 1.394); (n1, n2)=(1, 15); (L1, L2)=(6.0000, 2.5953); (W1, W2)=(1.0676; 1.0527)

VP (b) (d1, d2)=(0.015, 1.281); (n1, n2)=(3, 12); (L1, L2)=(6.0000, 2.5078); (W1, W2)=(1.2206; 1.1961)

VP (c) (d1, d2)=(0.015, 1.328); (n1, n2)=(4, 8); (L1, L2)=(6.0000, 2.5491); (W1, W2)=(1.1504; 1.1309)


Método Adaptativo RD

Instantes de amostragem são obtidos através de (Rodrigues Dias (1999)):

ti - instante de inspecção de ordem i mi - média da amostra de ordem iφ(u) - função densidade da distribuição normal reduzidaK - constante de escala

( )i 1 i it t k u+ = + φ

( )i i 0 0 0 1u m µ n σ , t 0, t k (0)= − = = φ

( )21 uu exp

22

φ = − π


Estudo de Robustez

Comparação entre FSI e RD por forma a que o intervalo médio de

amostragem sob controlo seja o mesmo.

Distribuição normal contaminada –

X∩ p% N(µ0, σ0) p=0.01; 0.05; 0.10; 0.20, 1.00 ; σ0=1.5; 3

Desvios padrões amostrais, SE, estimados com base em 200 000

valores simulados de cada estatística

Caso 1 – Normalidade Assumida – Limites de controlo iguais a ±3SE.

Caso 2 – Normalidade Não Assumida – Limites de controlo determinados com base em 200 000 amostras por forma a que uma proporção específica das observações caísse dentro dos limites de controlo (99.73%)


Estudo de Robustez

Distribuição de BurrX ∩Burr(c=2, k’=5) - α3=1.22 α4=5.83n=1Caso 1 – Normalidade Assumida – Limites simétricos Caso 2 – Normalidade Não Assumida - Limites de controlo com simetria probabilística (Yourstone andZimmer (1992))

AATS obtido para as diferentes populações considerando diferentes aumentos e diminuições da média


Alguns Resultados do Estudo de Robustez

Caso 1- Normalidade Assumida

Q1 σ=1.5 σ=3.0

λ λ %

cont.

AATS(RD)

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

Q1 .01 25.28 101.04 91.56 15.60 .01 25.28 101.04 91.56 15.60 0

AATS(RD) 369.56 34.81 2.88 .78 .60 369.56 34.81 2.88 .78 .60

Q1 -.08 25.27 101.74 91.19 15.24 -2.53 24.64 112.04 91.19 10.73 5

AATS(RD) 339.33 34.43 2.88 .78 .60 128.02 31.33 2.99 .78 .61

Q1 -.35 25.20 102.76 91.19 14.91 -3.22 24.39 116.07 89.48 8.48 20

AATS(RD) 306.84 34.09 2.90 .78 .60 136.48 29.07 3.05 .79 .61

Q1 -.36 25.22 103.11 91.43 15.10 -1.55 24.94 107.43 90.20 12.25 50

AATS(RD) 305.75 34.14 2.89 .78 .60 205.79 31.96 2.96 .79 .60

1 .100%P RD

RD

AATS AATSQAATS

−=

E

01 ||σµ−µ

=λ


Alguns Resultados do Estudo de Robustez

Caso 2- Normalidade Não Assumida

λ Distrib.

Burr Alteração

da média

Q1

AATS(RD) 0 .5 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 Q1 -.72 -.47 10.58 40.21 100.96 318.25 168.44 18.07

AumentoAATS(RD) 372.57 403.01 147.32 47.90 14.54 1.44 .62 .58

Q1 -.72 14.06 31.41 42.45 38.05 7.76 -8.57 -12.71

c=2; k=5

α3=1.22 α4=5.83 Redução

AATS(RD) 372.57 26.38 5.89 2.12 1.13 .67 .60 .58

Q1 -.24 4.07 22.60 61.82 127.15 201.80 56.21 -4.33 Aumento

AATS(RD) 371.44 216.68 62.7 18.49 5.23 .89 .60 .58

Q1 -.24 7.31 26.05 51.15 67.58 36.58 -.17 -11.07

c=3; k=4

α3=.68 α4=4.04 Redução

AATS(RD) 371.44 87.74 17.81 4.77 1.82 .73 .60 .58

Q1 .02 4.71 23.33 60.97 119.58 159.86 40.00 -6.42 Aumento

AATS(RD) 370.49 196.02 53.45 14.68 4.29 .85 .60 .58

Q1 .02 7.13 25.84 52.89 74.11 45.47 2.18 -10.75

c=3; k=6

α3=.48 α4=3.38 Redução

AATS(RD) 370.49 97.27 20.24 5.37 1.97 .74 .60 .58


Menor Intervalo Imposto

Variações Relativas do AATS (d1=0.015)

Valores de d1

0.05 0.10 0.25 0.50

0.00 0,0 0,1 0,7 3,20.25 0,0 0,2 1,2 5,30.50 0,1 0,5 3,5 12,70.75 0,3 1,5 8,6 27,91.00 0,7 3,0 15,6 45,71.25 0,9 3,5 17,3 46,61.50 0,7 2,4 11,7 29,51.75 0,4 1,1 5,5 13,22.00 0,2 0,2 1,9 4,02.50 0,0 -0,4 -0,3 -1,1

Val

ores

de λ

3.00 0,0 -0,5 -0,5 -1,5


Método RD: Algumas Conclusões

Melhor que o esquema periódico na detecção de alterações pequenas e moderadas.Mais eficazeficaz que outros esquemas adaptativosna detecção de alterações moderadasalterações moderadas da média.RobustoRobusto em situações de afastamento da normalidade e quando o menor intervalo deamostragem é limitado.


Uma Nova Metodologia: Intervalos Diferentes Predefinidos

Instantes de Amostragem ti obtidos através de (Rodrigues Dias (2002)):

se IFR → ti+1-ti < ti-t i-1se DFR→ ti+1-tk>ti-ti-1se h(t) = c.te → ti+1-ti=ti-ti-1

[ ]1i

0

t R exp( i H)t 0

−= − ∆

=

i

i 1

H(t ) i HH(t ) (i 1) H+

= ∆= + ∆ [ ]

t

0H(t) h(t)dt taxa cumulativa de risco

R(t) exp H(t) funçao de fiabilidade

= − = − −

∫


Valor de ∆H

( )Hexp11)N(E d ∆−−

=

i di

1E(N ) E(N ) H ln 1E(N )

= → ∆ = − −

)T(EPH ≅∆

∆H obtido por forma a que o número médio de amostras até àfalha seja igual nos dois métodos

Ni , Nd - número de amostras, incluindo a 1ª após a falha

(intervalos iguais, diferentes)


Alguns Resultados (Caso δ=3)

λ P / E(T)

0.25 0.50 1.00 1.50 2.00 3.00

0.0001 22.6 14.6 7.3 4.5 3.2 2.9

0.001 43.5 29.7 15.4 9.5 6.9 6.2

0.005 62.0 45.9 25.5 16.0 11.6 10.5

0.01 69.8 53.8 31.3 19.9 14.5 13.1

0.02 76.7 61.9 37.9 24.6 18.0 16.3

0.05 84.4 72.0 47.8 32.1 23.8 21.6

0.1 88.8 78.7 55.8 38.7 29.0 26.4

100%P IPAATS

P

AATS AATSQAATS

−= ×


Intervalos Predefinidos: Algumas Conclusões

As reduçõesreduções no AATSno AATS tornam-se maisacentuadasacentuadas com o aumento da taxa de risco.Melhor quanto menor a alteração do processo.Melhor quanto menor o número de amostrasanalisadas no período de controlo.Sempre melhor que o esquema periódicoSempre melhor que o esquema periódico (o que não acontece com os esquemas adaptativos)Mais rápidoMais rápido na detecçãona detecção que os esquemas adaptativos para alterações pequenas e grandes.


λ

0.125 0.250 0.500 0.750 1.000 1.250 1.500 1.750 2.000 3.000

RD 1,8 7,0 24,2 42,7 53,6 51,8 37,5 16,7 -1,1 -15,1

VSI(a) 3,0 11,6 37,3 58,4 61,2 42,2 5,1 -38,4 -72,6 -98,5VSI(b) 2,6 10,0 33,4 55,2 63,3 53,2 27,4 -4,4 -29,9 -49,2VSI(c) 1,8 7,2 25,4 45,8 58,0 55,7 39,0 15,4 -4,3 -19,7VSS(a) 4,7 34,3 74,2 67,4 42,9 5,6 -37,1 -70,7 -81,4 -18,6VSS(b) 2,0 17,6 58,7 66,0 52,9 27,2 -4,7 -28,7 -34,2 -2,3VSS(c) 0,7 6,3 30,5 45,5 43,1 29,1 10,0 -4,9 -9,0 -0,2

VSSI(a) 5,5 31,4 74,1 71,4 46,4 10,2 -29,3 -60,2 -73,2 -47,7VSSI(b) 3,6 21,0 66,0 77,7 69,1 51,5 28,4 4,0 -14,5 -27,7VSSI(c) 2,8 13,7 49,7 71,4 71,2 56,9 33,1 5,8 -15,8 -32,3VP(a) 33,5 62,4 80,6 71,8 46,2 9,7 -29,9 -61,0 -74,1 -49,4VP(b) 24,7 52,7 77,7 79,3 69,0 51,2 27,7 2,8 -16,3 -30,1

Inte

rval

os A

dapt

ativ

os

VP(c) 12,9 35,1 66,4 76,2 71,7 56,5 32,2 4,3 -18,0 -33,8Weibull

δ=2.0 33,9 26,7 15,4 9,2 5,9 4,0 2,9 2,2 1,7 1,5

δ=3.0 51,3 43,5 29,7 20,9 15,4 11,9 9,5 7,9 6,9 6,2

δ=4.0 62,7 54,3 40,6 31,1 24,7 20,4 17,2 14,9 13,5 12,5

δ=5.0 68,2 61,7 48,8 39,4 32,8 28,0 24,5 21,9 20,2 19,1

δ=7.0 76,5 71,1 60,1 51,5 45,1 40,3 36,6 33,8 32,0 30,8Burr

c=4.8737 v=6.15784

65,9 59,5 46,9 37,6 31,2 26,5 23,1 20,6 19,0 17,9Inte

rval

os P

rede

finid

os

c=3 v=1

32,6 29,5 21,2 15,1 11,1 8,3 6,2 4,6 3,6 2,8

P NPAATS

P

AATS AATSQ 100%

AATS−

= ×

0 1

0

µ −µλ=

σ


Método Combinado de Amostragem

Instantes de Amostragem

Tempo de Vida Weibull

( ) ( )−

+ ++

+ φ + − ∆ − ∆+ = =RD 1RD IPi ii 1 i 1

i 1

t k u R exp i H Ht tt2 2

( ) ( ) ( )δ δδ π − − α ∆ + − ∆ =π

1/ 1/1/ 2i

i

2 i i 1 H kexp u /2t

2 2

( ) ( )− φ + ∆ = =1

0 1

k 0 R exp Ht 0, t

2


Método Combinado: cálculo dos valores dos parâmetros

Mesmas condições durante o período de controlo:

número médio de falsos alarmesnúmero médio de amostrasnúmero médio de itens

( )1k H

E(T)2 L 0.5β π

= ∆ =Φ −

( ) δπ α ∆ +

∆ =π

1/

1

2 H kt

2 2


Influência do Tamanho da Amostra

010203040506070

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λ

QA

ATS

n=1 n=3 n=5 n=8 n=15

δ=4


Período Médio de Mau Funcionamento (AATS)

-5

10

25

40

55

70

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

λ

QA

ATS

δ=0 .8 δ=1 δ=2 δ=3 δ=4 δ=5 δ=7


λ

0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 3.00

δ VSI (b) – (d1=0.015; d2=1.5)

0.8 -9,9 -31,8 -73,5 -95,9 -53,3 -8,0 15,5 26,1 30,8

1.0 -7,2 -31,8 -75,3 -98,4 -56,1 -9,5 14,7 25,1 30,1

2.0 11,7 -10,9 -47,9 -66,5 -32,9 5,3 24,6 33,3 37,2

3.0 24,5 7,3 -21,7 -34,0 -7,1 21,6 36,0 41,8 45,0

4.0 30,6 16,7 -5,2 -13,5 9,2 32,2 43,0 47,6 50,0

5.0 34,9 22,8 5,7 -0,9 19,3 38,4 47,5 51,1 53,1

7.0 39,7 30,0 16,3 12,4 30,2 45,1 52,0 55,0 56,2

Comparação com VSI

VSI CAATS

VSI

AATS AATSQ 100%

AATS−

= ×


Número Médio de Amostras sob Controlo

0

1

2

3

4

5

6

7

8

P/E(T)=0,001 P /E(T)=0,005 P /E(T)=0,01 P /E(T)=0,05

QN

δ=0,8 δ=3 δ=5


Esquema Combinado: Algumas Conclusões

Sempre melhor que o esquema periódico Sempre melhor que o esquema periódico em sistemas com taxas de risco crescentes (o que não acontece com os outros esquemas adaptativos).ReduçõesReduções muito significativas (superiores a 50%superiores a 50%) no AATSAATS para diferentes alterações da média.Muito bom desempenho para diferentes dimensões amostrais.Globalmente mais eficiente que o método VSIGlobalmente mais eficiente que o método VSI em sistemas com taxas de risco crescentes.Redução no número médio de amostras analisadas sob controlo (superiores a 5%) – acentua-se com os aumentos de P e de δ.

Algum Material de Apoio

Às Aulas Práticas


CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE (2003/04)

Exercícios – Folha 1

__________________________________________________________________________________________ Licenciatura em MATEMÁTICA E CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO 1

Considere a seguinte tábua de distribuição de frequências relativa a um determinado lote de

1524 fichas, em que se considerou uma dada grandeza mensurável X - diâmetro das fichas

(microns).

a) Reflicta sobre o modo como foi elaborada a tábua de distribuição de frequências.

b) Esboce o histograma e o polígono de frequências absolutas e relativas.

c) Esboce o polígono de frequências acumuladas (ogiva) absolutas e relativas.

d) Que tipo de distribuição de X será eventualmente sugerido pelos gráficos anteriores?

e) Determine a média, a mediana e a moda.

f) Determine o desvio padrão.

g) Classifique a distribuição quanto à assimetria e ao achatamento.

h) Calcule a percentagem (probabilidade) de valores:





i. menores que 2481;

ii. maiores que 2481;

iii. entre 2471 e 2541;

iv. entre 2465 e 2512.

i) Havendo uma tolerância inferior Ti e uma tolerância superior Ts, como determinaria a

percentagem de elementos não defeituosos?

j) Analise a hipótese da distribuição de X ser normal (ou aproximadamente normal),

usando:

i. a recta de Henry;

ii. o teste Qui-Quadrado.

Classes ni Probabilidades nei (ni-nei)^2/nei

<2431 0 9,2E-05 0,140266[2431, 2441) 1 0,000572 0,871272[2441, 2451) 4 0,003017 4,598542 5 5,610079 0,066344[2451, 2461) 13 0,011705 17,838611 13 17,838611 1,312443[2561, 2471) 43 0,036164 55,114633 43 55,114633 2,662893[2471, 2481) 144 0,081949 124,890001 144 124,890001 2,924110[2481, 2491) 235 0,147458 224,725546 235 224,725546 0,469748[2491, 2501) 300 0,199104 303,434287 300 303,434287 0,038869[2501, 2511) 300 0,200761 305,960304 300 305,960304 0,116111[2511, 2521) 235 0,160522 244,635923 235 244,635923 0,379548[2521, 2531) 144 0,095647 145,765840 144 145,765840 0,021392[2531, 2541) 69 0,042826 65,267183 69 65,267183 0,213490[2541, 2551) 26 0,015242 23,228963 26 23,228963 0,330563[2551, 2561) 8 0,004005 6,102921 10 7,528630 0,811259[2561, 2571) 2 0,000794 1,209688>2571 0 0,000142 0,216020

Qui-quadrado= 9,3467701524 1524

0,4059

k) Estime os parâmetros da distribuição de X a partir da recta de Henry.









l) Suponha que apenas tinha uma amostra de 20 valores da mesma população:

2445 2480 2508 2530 2560 2472 2555

2465 2500 2512 2530 2525 2460 2520

2465 2505 2490 2540 2520 2490

Para testar a normalidade da distribuição aplicou-se o teste de Kolmogorov-Smirnov.

Reflicta sobre como se obtiveram as tabelas (a) e (b) e conclua.

(a)

xi ni S(x) F(x) D- D+

2445 1 0,05 0,0013 0,0013 0,0487 2460 1 0,10 0,0135 0,0365 0,0865 2465 2 0,20 0,0257 0,0743 0,1743 2472 1 0,25 0,0572 0,1428 0,1928 2480 1 0,30 0,1235 0,1265 0,1765 2490 2 0,40 0,2638 0,0362 0,1362 2500 1 0,45 0,4581 0,0581 0,0081 2505 1 0,50 0,5627 0,1127 0,0627 2508 1 0,55 0,6239 0,1239 0,0739 2512 1 0,60 0,7007 0,1507 0,1007 2520 2 0,70 0,8283 0,2283 0,1283 2525 1 0,75 0,8870 0,1870 0,1370 2530 2 0,85 0,9297 0,1797 0,0797 2540 1 0,90 0,9772 0,1272 0,0772 2555 1 0,95 0,9974 0,0974 0,0474 2560 1 1,00 0,9989 0,0489 0,0011

20 0,2283 0,1928 (b)

xi ni S(x) F(x) D- D+

2445 1 0,05 0,0350 0,0350 0,01502460 1 0,10 0,0889 0,0389 0,01112465 2 0,20 0,1164 0,0164 0,08362472 1 0,25 0,1643 0,0357 0,08572480 1 0,30 0,2328 0,0172 0,06722490 2 0,40 0,3371 0,0371 0,06292500 1 0,45 0,4557 0,0557 0,00572505 1 0,50 0,5173 0,0673 0,01732508 1 0,55 0,5541 0,0541 0,00412512 1 0,60 0,6024 0,0524 0,00242520 2 0,70 0,6939 0,0939 0,00612525 1 0,75 0,7459 0,0459 0,00412530 2 0,85 0,7928 0,0428 0,05722540 1 0,90 0,8697 0,0197 0,03032555 1 0,95 0,9440 0,0440 0,00602560 1 1,00 0,9594 0,0094 0,0406

20 0,0939 0,0857





2. Relativamente aos dados do exercício anterior:

a) Calcule a probabilidade do diâmetro médio de uma amostra de 4 fichas ser inferior a

2516.

b) Calcule a probabilidade do diâmetro médio ser inferior a 2516, considerando agora

uma amostra de 9 fichas.

c) Obtenha intervalos de confiança a 95%, 95.44%, 99.73% e 99.8 % para o diâmetro

médio das fichas, considerando amostras de tamanhos 4 e 9.

d) Obtenha intervalos de confiança a 95% e 99% para a amplitude do diâmetro das

fichas, considerando amostras de tamanhos 4 e 9.

e) Obtenha os intervalos de confiança pedidos na alínea anterior, considerando a

distribuição das amplitude aproximadamente normal. Que conclui?

f) Comente a proposição: “A probabilidade da amplitude de uma amostra de 9 fichas ser

superior a 95 microns é inferior a 0.05.”.

3. Suponha que, para controlar o valor médio de uma determinada grandeza num

processo produtivo, usa uma carta de controlo para a média.

a) Diga como na fase inicial do processo pode estimar a respectiva média.

b) Calcule, em termos genéricos, os limites de controlo e de aviso da respectiva carta.

c) Comente a proposição: “Como a média de uma amostra é menor que o limite superior

de controlo, então o desvio padrão do processo mantém-se.”.

d) Calcule a probabilidade de ter:

i) Um valor da média de uma amostra entre os limites de aviso e de controlo.

ii) Dois valores consecutivos entre aqueles limites.

iii) Um valor acima do LSC e a seguir um valor entre os limites superiores de

aviso e de controlo.

iv) Em três amostras consecutivas ter 2 médias entre os limites de aviso e de

controlo de um só lado da linha central.

v) Em 5 amostras consecutivas ter 4 médias de um dos lados dos limites situados

a um desvio padrão da linha central.

vi) Oito médias consecutivas acima da linha central.





e) Suponha que o desvio padrão do processo produtivo duplicou. Calcule, para amostras

de tamanhos 4 e 9, as probabilidades das respectivas médias estarem fora dos limites

de controlo. Que comentários lhe merecem os resultados obtidos?

f) Resolva a alínea anterior, supondo que tinha ocorrido uma alteração da média de

magnitude λ=1.

4. As figuras (a)-(e) descrevem o comportamento da distribuição de uma dada

característica da qualidade ao longo do tempo. Diga, justificando, quais as cartas de

médias e amplitudes, representadas nas figuras 1-5, que correspondem a cada um.

5. A

p

a

r

t

i

r

d

e

u

m

d

e

t

e

r

m

i





Nº amostra Média Amplitude1 104 22 105 113 104 44 106 35 102 76 105 27 106 48 104 39 105 410 103 211 102 312 105 413 104 514 105 315 106 516 102 217 105 418 103 219 103 420 102 5

2081 79

nado processo de produção de fontes de alimentação retiraram-se 20 amostras de

dimensão 5, sendo medida a tensão de saída de cada fonte analisada. No quadro

seguinte apresentam-se as médias e as amplitudes obtidas.

a) Calcule as linhas centrais e os limites de

controlo apropriados para controlar a futura

produção.

b) Assumindo que a tensão de saída segue uma

distribuição normal, estime o desvio padrão do

processo.

c) Obtenha os limites de tolerância natural do

processo.

d) Estime a percentagem de produtos não

conformes, caso as especificações tenham sido

fixadas em 103±4.

e) Como poderia reduzir a percentagem de fontes

que não estão de acordo com as especificações?

6. Suponha que na fase inicial de um processo produtivo se utilizaram 30 amostras de

dimensão 5, sendo a média das médias e a média das amplitudes iguais a 101.5 cm e

12.5 cm, respectivamente.

a) Deduza as expressões e calcule os limites de controlo das cartas das médias e das

amplitudes.

b) Suponha que pretendia testar a hipótese de, nessa fase inicial, a produção ser normal,

com média 100 cm e desvio padrão 5 cm. Que poderia concluir, usando o teste do qui-

quadrado, sabendo que 30% dos valores são inferiores a 100 cm e 60% iguais ou

maiores que 100 cm e inferiores ao limite superior de aviso?

c) Admita agora que, após correcções e ajustamentos feitos no processo produtivo, a

média passou a ser 100 cm e o desvio padrão 5 cm.

i) Calcule os novos limites de controlo das cartas das médias e das amplitudes,

continuando a considerar n=5.





ii) Mantendo-se o processo sob controlo, calcule a probabilidade de obter em 4

médias consecutivas:

1. A primeira amostra entre o limite superior de aviso e o limite superior

de controlo.

2. As 3 primeiras amostras acima da linha central.

3. Três de entre elas estarem do mesmo lado da linha central.

iii) Calcule o número médio de amostras a analisar até obter um falso alarme.

d) Que comentários lhe merecem as seguintes seqüências de médias amostrais:

i) 117.0, 99.9, 100.2, 106.5, 107.9, 112.0, 109.9.

ii) 97.5, 93.5, 108.5, 93.8.

e) Suponha agora que o processo produtivo, devido a uma causa assinalável, sofreu uma

alteração na média, passando esta a ser igual a 110 cm, mantendo-se o desvio padrão.

i) Calcule o número médio de amostras até detectar essa alteração através da

carta das médias.

ii) Calcule a probabilidade da alteração ser detectada apenas na 3ª amostra

analisada após esta ter ocorrido.

iii) Calcule a probabilidade da alteração ser detectada nas primeiras 4 amostras

analisadas após esta ter ocorrido.

iv) Refaça as sub-alíneas anteriores, considerando amostras de tamanho 9.

f) Esboce as curvas de eficácia da carta de médias, considerando amostras de dimensão 5

e 9.

g) Considere agora que a média se mantém, mas que o desvio padrão aumenta para 7.5

cm.

i) Qual o número médio de amostras até ter um ponto fora dos limites de controlo

da carta das médias?

ii) Admitindo que retira as amostras de duas em duas horas e que o custo de mau

funcionamento por hora é igual a 100, determine um limite inferior para o

custo médio de mau funcionamento quando utiliza apenas uma carta de

controlo para a média.

iii) No contexto descrito na subalínea anterior, obtenha um limite superior

aproximado para o custo médio de mau funcionamento se utilizar as duas





cartas (médias e amplitudes) simultaneamente. Que comentários lhe merecem

os resultados obtidos?

h) Que comentários lhe merecem as seguintes sequências de amplitudes:

i) 1.5, 2.0, 1.8, 1.0.

ii) 18.8, 9.0, 16.0, 18.9, 10.0, 18.0, 18.3.

7. Suponha que, para controlar uma determinada característica, usa amostras de

dimensão 4 e simultaneamente uma carta de controlo para a média e uma carta de

controlo para o desvio padrão, cujos limites e linhas centrais são dados por:

Carta X Carta S

LSC 710 18.080

C 700 7.979

LIC 690 0

Admita, ainda, que o processo está sob controlo estatístico e que a característica da

qualidade segue uma distribuição normal.

a) Estime a média e o desvio padrão do processo.

b) Caso pretendesse usar uma carta para amplitudes em vez da carta para o desvio

padrão, quais seriam a linha central e os limites de controlo desta?

c) Sabendo que as especificações foram colocadas em 705±15, que conclusões pode tirar

relativamente à capacidade do processo produzir itens dentro das especificações?

d) Calcule a probabilidade de ocorrer um falso alarme na carta de controlo para a média.

e) Admita que a média do processo se alterou para 698 e que o desvio padrão

simultaneamente se alterou para 12. Determine o número médio de amostras

necessárias para detectar esta alteração quando usa apenas a carta de médias.

f) Calcule a probabilidade da alteração anterior não ser detectada pela carta de controlo

para a média nas duas primeiras amostras analisadas após esta ter ocorrido.

8. Num determinado processo são retiradas periodicamente amostras de 8 elementos,

sendo medida uma certa característica da qualidade do produto e calculada a média e a

amplitude de cada amostra. Após a observação de 50 amostras, obteve-se





50 50

i ii 1 i=1

x 2000 e R 250=

= =∑ ∑ .

a) Esboce as cartas de controlo para a média e para a amplitude.

b) Admitindo que todas as amostras estão dentro dos limites, quais são os limites de

tolerância natural do processo?

c) Com base num intervalo de confiança para a amplitude, comente a proposição: “O

erro de 1ª espécie associado à carta das amplitudes é inferior a 1 em 100.”.

d) Caso as especificações tenham sido fixadas em 41±5, que conclusões se podem tirar

relativamente à capacidade do processo produzir elementos dentro dessas

especificações? E se a média pudesse ser ajustada para 41?

e) Admita que os produtos cuja característica da qualidade está acima do limite superior

de especificação podem ser aproveitados, enquanto que aqueles cuja característica

analisada se encontra abaixo do limite inferior de especificação são considerados

sucata. Calcule a percentagem de produtos que são considerados sucata.

f) Caso a média do processo pudesse ser ajustada para µ=41, qual seria o efeito na

percentagem de produtos que seriam considerados sucata? E na percentagem de

produtos que, embora fora das especificações, podiam ainda ser aproveitados?

9. Os dados seguintes correspondem a 15 leituras da viscosidade de uma determinada

tinta utilizada para a pintura de aviões, cada uma correspondente a um lote.

a) Estabeleça as cartas de controlo para a amplitude móvel

e para as medições individuais da viscosidade. Que

pode concluir relativamente ao estado do processo?

b) Estime a média e o desvio padrão do processo.

c) Admita que 10 novos lotes foram observados, tendo-se

obtido os seguintes valores para a viscosidade: 3350;

3325; 3340; 3327; 3465; 3450; 3470; 3429; 3449;

3503. Retire as conclusões que entender convenientes.

Lote Viscosidade1 33752 33053 34004 33815 33466 34027 33688 33279 3349

10 332011 336212 330013 335414 331215 3384



Soluções dos Exercícios da Folha 2 (Controlo por Variáveis)


2.

a) ( )4P X 2516 0.9292< =

b) ( )9P X 2516 0.9854< =

c) n=4 n=9

i.c. para X a 95% (2483.4, 2520.6)i.c. para X a 95.44% (2483.0, 2521.0)i.c. para X a 99.73% (2473.5, 2530.5)i.c. para X a 99.8% (2472.6, 2531.4)

i.c. para X a 95% (2489.6, 2514.4)i.c. para X a 95.44% (2489.3, 2514.7)i.c. para X a 99.73% (2483.0, 2521.0)i.c. para X a 99.8% (2482.4, 2521.6)

d) n=4 n=9

i.c. para R a 95% (11.21, 75.62)i.c. para R a 99% (6.46, 89.11)


e) n=4 n=9



f) ( ) ( )P R 95 P W 4.70 0.025, pelo que a proposiçao e verdadeira.′> < > =

3.

d) i) 0.0429 ii) 0.0018 iii) 0.00003 iv) 0.00135 v) 0.0027 vi) 0.0039

e) 0.1336

f) n= 4 0.1587; n=9 0.5

4.

(a) – 2; (b) – 4; (c) – 5; (d) – 1; (e) – 3

5.

a) X

X

LSC 106.06

ˆ X 104.00LIC 101.94

=µ = = =

R

R

R

LSC 7.57

ˆ R 3.58LIC 0

=µ = = =

b) ˆ 1.539σ =

c) LNTS= 108.62

LNTI = 99.38





d) p 0.0262 (26185 ppm)=

6.

a) X

X

LSC 108.71

ˆ X 101.50LIC 94.29

=µ = = =

R

R

R

LSC 26.43

ˆ R 12.50LIC 0

=µ = = =

b) Como χ2=4.8> 21; 0.95 3.84χ = , podemos concluir, ao nível de 5%, que a produção não é

normal com média 100 e desvio padrão 5.

c) i) X

X

LSC 106.71 ˆ 100.00LIC 93.29

= µ = =

R

R

R

LSC 24.59 ˆ 11.63LIC 0

= µ = =

ii) 1.) 0.0215 2.) 0.1250 3.) 0.5000

e) i) 1.08 ii) 0.0047 iii) 0.999975 iv) 1.00; 1.8×10-6; 1

g) i) 21.93 ii) 4186 iii) 1124

7.

a) ˆ 700; ˆ 8.661µ = σ =

b) R

R

X

LSC 40.696 17.832LIC 0

= µ = =

c) p 0.1355= (135500 ppm); CPk=0.38

d) α=0.0208

e) 8.73

f) 0.7839

8.

a) X

X

LSC 41.86 ˆ 40.00LIC 38.14

= µ = =

R

R

LSC 9.32

R 5.00LIC 0.68

=

= =

b) LNTS= 45.27

LNTI=34.73





c) i.c. para R a 99% (1.90, 9.24) - Proposição Verdadeira

d) p 0.01164= (11640 ppm) ; PkC 0.76= ; PC 0.95= (4400 ppm)

e) Lp 0.0113= (1.13%)

f) U Lˆ ˆp 0.0022 p= = (0.22%)

9.

a) X

X

LSC 3480.17 ˆ 3352.33LIC 3224.48

= µ = =

MR

MR

LSC 157.12

MR 48.07LIC 0

=

= =

b) ˆ 3352.33; ˆ 42.62µ = σ =





10. Considere uma carta de controlo para a proporção de elementos defeituosos de numa

determinada produção, com limite inferior de controlo nulo, limite superior de

controlo igual a 0.1951 e linha central igual a 0.08.

a) Obtenha os limites de controlo e a linha central da carta de controlo equivalente para

o número de elementos defeituosos.

b) Utilize a aproximação mais adequada para calcular o erro de 1ª espécie associado.

c) Calcule o erro de 2ª espécie se a percentagem de elementos defeituosos, devido ao

aparecimento de uma causa assinalável, se alterar para 20%.

d) Relativamente à alteração referida na alínea anterior:

i. Calcule o número médio de amostras a analisar até a detectar.

ii. Calcule a probabilidade de ser detectada apenas na 3ª amostra extraída após o

aparecimento da causa assinalável.

iii. Calcule a probabilidade de ser detectada nas duas primeiras amostras extraídas

após o aparecimento da causa assinalável.

e) Esboce a curva de eficácia da carta de controlo.

f) Se pretender detectar uma alteração da proporção para 0.15 em pelo menos 50% dos

casos, qual o tamanho da amostra que deveria utilizar? E em pelo menos 90% dos

casos?

g) Caso fosse considerado importante ter um limite inferior de controlo positivo, que

dimensão amostral deveria ser utilizada?

11. Após se inspeccionarem 20 amostras de 100 interruptores cada, registou-se no quadro

seguinte o número de interruptores defeituosos em cada amostra.

Nº amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº elementos defeituosos

7 4 1 3 6 8 10 5 2 7

Nº amostra 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Nº elementos defeituosos

6 15 0 9 5 1 4 5 7 12

a) Obtenha uma carta p para controlar a futura produção de interruptores.





b) Admita que nas cinco amostras seguintes obteve 5, 6, 4, 6 e 5 interruptores

defeituosos. Comente.

c) Sabendo que são inspeccionados 200 interruptores por dia, determine a probabilidade

de detectar uma alteração da proporção de defeitos para 0,10 no final do terceiro dia

após esta ter ocorrido.

d) Que alteração na proporção de interruptores defeituosos seria detectada após

inspeccionar em média 200 interruptores?

12. Num determinado processo são produzidas correias de borracha em lotes de 2500. Os

registos dos últimos 20 lotes produzidos são apresentados no quadro seguinte.

Nº lote 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº correias defeituosas

230 435 221 346 230 327 285 311 342 308

Nº lote 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Nº correias defeituosas

456 394 285 331 198 414 131 269 221 407

a) Calcule os limites provisórios de uma carta de controlo para a proporção de correias

defeituosas.

b) Se pretender uma carta para a produção futura, como utilizaria a informação anterior

para obter a linha central e os limites de controlo?

13. Na fase inicial de um processo produtivo obtiveram-se 140 defeitos em 25 amostras de

dimensão 100.

a) Esboce uma carta apropriada para analisar, nesta fase, a qualidade através do número

de elementos defeituosos.

b) Supondo que, após correcções e melhoramentos feitos no processo, a proporção de

peças defeituosas passou a ser igual a 5%, ajuste a carta de controlo para a futura

produção.

c) Determine o erro de 1ª espécie associado a esta carta.

d) Relativamente à dimensão das amostras, que aconteceria se considerasse 80 peças?





e) Se a percentagem de peças defeituosas se alterar para 17%, determine o número

médio de peças a analisar até se questionar sobre a alteração, caso utilize amostras

de dimensão 100 e caso utilize amostras de dimensão 80. Comente.

14. No quadro seguinte estão registados o número de defeitos por 1000 metros de cabo

telefónico em 20 unidades inspeccionadas.

Unidade 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº defeitos 1 1 3 7 8 10 5 13 0 19

Unidade 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Nº defeitos 24 6 9 11 15 8 3 6 7 4

a) Determine uma carta de controlo apropriada para a futura produção.

b) Admita que se considera uma nova unidade de 2500 m de cabo.

i. Obtenha a linha central e os limites de controlo da carta adequada para controlar

a futura produção baseada no número total de defeitos na nova unidade.

ii. Se pretender controlar o número médio de defeitos por cada metro de cabo, quais

deverão ser os limites de controlo e a linha central da carta apropriada?

15. Suponha que, na produção de um determinado tipo de unidades de tecido (calças, por

exemplo), o número médio de defeitos por unidade é igual a 9.

a) Calcule a probabilidade de uma dessas unidades ter pelo menos dois defeitos.

b) Calcule a probabilidade de uma dessas unidades ter no máximo um defeito.

c) Calcule a probabilidade de em 500 unidades haver pelo menos metade delas com

pelo menos 10 defeitos cada uma.

d) Obtenha uma carta de controlo apropriada para este caso.

e) Admita que o número de defeitos por unidade passou a ser igual a 12 (por exemplo,

devido a alteração de matérias-primas).

i. Calcule a probabilidade, através de uma unidade inspeccionada, de não detectar

a alteração.

ii. Calcule o número médio de unidades de tecido a inspeccionar até poder concluir

que a qualidade piorou.





iii. Que distribuições de probabilidade considerou nas duas questões anteriores?

Justifique.

f) Esboce a curva de eficácia para esta carta de controlo

16. Suponha que em 20 rolos de papel se observaram 320 pequenos defeitos.

a) Determine os limites de controlo e a linha central de uma carta de controlo apropriada.

b) Comente a afirmação: “A carta de controlo que obteve na alínea anterior pode ser

utilizada na futura produção de rolos de papel.”.

c) Se num rolo de papel encontrar 23 pequenos defeitos, que considerações poderia

fazer?

d) No seguimento da alínea anterior, admita que na inspecção de mais 5 rolos de papel se

registaram 25, 26, 28, 18, 12 pequenos defeitos, respectivamente. Que considerações

poderia fazer?

e) Melhoramentos introduzidos no processo permitiram reduzir para 10 o número de

pequenos defeitos por rolo.

i. Quantos rolos necessitam ser inspeccionados em média até se poder questionar

sobre a melhoria da qualidade?

ii. Admita que apenas rejeita uma determinada qualidade caso dois pontos

consecutivos estejam fora dos limites de controlo. Neste contexto, calcule o

número médio de rolos a analisar até se questionar sobre a alteração.

iii. Calcule o erro de 1ª espécie quando usa a regra de decisão referida na alínea

anterior. Que comentários lhe merecem os resultados obtidos?

17. Uma empresa de manutenção procura melhorar a eficiência do seu trabalho de

reparação através do controlo do número de pedidos de manutenção que necessitaram

de uma segunda chamada para completar a reparação. No quadro seguinte está

registada a informação referente a 15 semanas.

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Pedidos 200 250 250 250 200 200 150 150 150 150 100 100 100 200 200

Nova Visita

6 8 9 7 3 4 2 1 0 2 1 0 1 4 5

Reflicta sobre o esquema de controlo adequado para esta situação.



Soluções dos Exercícios da Folha 3 (Controlo por Atributos)


10.

a) LSC 9.76 (9)np 4LIC 0

= = =

b) α ≅0.0081

c) β ≅0.4286

d) i) 1.75 ii) 0.1050 iii) 0.8163

f) n≥150; n≥345

g) n≥104

11.

a) LSC 0.1213p 0.0537 LIC 0

= = =

c) 0.0653

d) p=0.1263

12.

a) LSC 0.1425p 0.1228LIC 0.1031

= = =

13.

a) LSC 12.50 (12)np 5.6LIC 0

= = =

b) LSC 11.54 (11)np 5LIC 0

= = =

c) α ≅0.0055 (α=0.0043)

d) LSC 9.85 (9)np 4LIC 0

= = =

; α ≅0.0081 (α=0.0065)



Soluções dos Exercícios da Folha 3 (Controlo por Atributos)


e) ARL= 1.06 para n=100; ARL=1.13 para n=80.

14.

a) LSC 13.35 (13)c 6LIC 0

= = =

b) i) LSC 26.62 (26)nc 15LIC 3.38 (4)

= = =

ii) LSC 0.0133u 0.0060LIC 0

= = =

15.

a) 0.9988

b) 0.0012

c) 0.00135

d) LSC 18c 9LIC 0

= = =

e) i) 0.9699 ii) 33.22

16.

a) LSC 28c 16LIC 4

= = =

e) i) 97.09 ii) 9425.96 iii) α=5×10-6





18. Na tabela seguinte apresentam-se os cálculos necessários para obter uma carta CUSUM

para a média com h=5 e k=0.5 e uma carta EWMA para a média com δ=0.1 e L=2.7, a

partir de 30 amostras. As primeiras 20 amostras foram extraídas de um processo com a

média µ=10 e desvio padrão σ=1, enquanto que as últimas 10 amostras foram extraídas de

um processo com média µ=11 e desvio padrão σ=1.

xi xi-(µ0+k) C+ (µ0-k)-xi C- zi LSC LIC

1 10,45 -0,05 0,00 -0,95 0,00 10,05 10,27 9,732 9,63 -0,87 0,00 -0,13 0,00 10,00 10,36 9,643 11,54 1,04 1,04 -2,04 0,00 10,16 10,42 9,584 11,71 1,21 2,25 -2,21 0,00 10,31 10,47 9,535 9,91 -0,59 1,66 -0,41 0,00 10,27 10,50 9,506 8,84 -1,66 0,00 0,66 0,66 10,13 10,52 9,487 9,04 -1,46 0,00 0,46 1,12 10,02 10,54 9,468 11,30 0,80 0,80 -1,80 0,00 10,15 10,56 9,449 9,89 -0,61 0,19 -0,39 0,00 10,12 10,57 9,43

10 9,35 -1,15 0,00 0,15 0,15 10,05 10,58 9,4211 9,59 -0,91 0,00 -0,09 0,06 10,00 10,59 9,4112 12,02 1,52 1,52 -2,52 0,00 10,20 10,59 9,4113 8,85 -1,65 0,00 0,65 0,65 10,07 10,60 9,4014 10,34 -0,16 0,00 -0,84 0,00 10,09 10,60 9,4015 9,87 -0,63 0,00 -0,37 0,00 10,07 10,61 9,3916 10,24 -0,26 0,00 -0,74 0,00 10,09 10,61 9,3917 8,57 -1,93 0,00 0,93 0,93 9,94 10,61 9,3918 11,13 0,63 0,63 -1,63 0,00 10,06 10,61 9,3919 10,10 -0,40 0,23 -0,60 0,00 10,06 10,61 9,3920 8,64 -1,86 0,00 0,86 0,86 9,92 10,61 9,3921 11,01 0,51 0,51 -1,51 0,00 10,12 10,62 9,3822 10,45 -0,05 0,46 -0,95 0,00 10,09 10,62 9,3823 10,55 0,05 0,51 -1,05 0,00 10,12 10,62 9,3824 10,39 -0,11 0,40 -0,89 0,00 10,26 10,62 9,3825 10,79 0,29 0,69 -1,29 0,00 10,40 10,62 9,3826 11,16 0,66 1,35 -1,66 0,00 10,43 10,62 9,3827 12,32 1,82 3,17 -2,82 0,00 10,40 10,62 9,3828 11,08 0,58 3,75 -1,58 0,00 10,67 10,62 9,3829 11,50 1,00 4,75 -2,00 0,00 10,90 10,62 9,3830 12,26 1,76 6,51 -2,76 0,00 11,02 10,62 9,38

a) Reflicta sobre o modo como se obtiveram os valores necessários à obtenção da carta

CUSUM.

b) Reflicta sobre o modo como se obtiveram os valores necessários à obtenção da carta

EWMA.





c) Nas figuras seguintes estão representadas as respectivas cartas CUSUM e EWMA,

bem como a carta X.

i. Identifique cada carta.

ii. Que comentários lhe merecem a observação das referidas cartas?

19. Os dados seguintes representam observações individuais do peso molecular obtido de hora

a hora a partir de um processo químico.

1045 1055 1037 1064 1095 1008 1050 1087 1125 1146

1139 1169 1151 1128 1238 1125 1163 1188 1146 1167

Sabendo que µ0=1050 e que o desvio padrão do processo é igual a 25:

a) Obtenha uma carta CUSUM para a média deste processo com h=4 e k=0.5. Comente.

b) Obtenha uma carta EWMA para a média deste processo com δ=0.2 e L=3. Comente.

20. Aplique uma carta CUSUM tabular com h=8.01 e k=0.25 e uma carta EWMA com δ=0.2

e L=2.86 aos dados do exercício 9, admitindo que o valor médio da viscosidade a

controlar é µ0 = 3350. Retire as conclusões que entender convenientes.

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30-7,0-5,0-3,0-1,01,03,05,07,0

0 5 10 15 20 25 30

8,59,09,5

10,010,511,011,5

0 5 10 15 20 25 30



Soluções dos Exercícios da Folha 4 (Cartas CUSUM e EWMA )


19. xi xi-(µ0+kσ) C+ (µ0-kσ)-xi C- zi LSC LIC1045 -17,50 0,00 -7,50 0,00 1049,00 1065,00 1035,001055 -7,50 0,00 -17,50 0,00 1050,20 1069,21 1030,791037 -25,50 0,00 0,50 0,50 1047,56 1071,47 1028,531064 1,50 1,50 -26,50 0,00 1050,85 1072,81 1027,191095 32,50 34,00 -57,50 0,00 1059,68 1073,62 1026,381008 -54,50 0,00 29,50 29,50 1049,34 1074,13 1025,871050 -12,50 0,00 -12,50 17,00 1049,47 1074,44 1025,561087 24,50 24,50 -49,50 0,00 1056,98 1074,65 1025,351125 62,50 87,00 -87,50 0,00 1070,58 1074,77 1025,231146 83,50 170,50 -108,50 0,00 1085,67 1074,86 1025,141139 76,50 247,00 -101,50 0,00 1096,33 1074,91 1025,091169 106,50 353,50 -131,50 0,00 1110,87 1074,94 1025,061151 88,50 442,00 -113,50 0,00 1118,89 1074,96 1025,041128 65,50 507,50 -90,50 0,00 1120,71 1074,98 1025,021238 175,50 683,00 -200,50 0,00 1144,17 1074,98 1025,021125 62,50 745,50 -87,50 0,00 1140,34 1074,99 1025,011163 100,50 846,00 -125,50 0,00 1144,87 1074,99 1025,011188 125,50 971,50 -150,50 0,00 1153,50 1075,00 1025,001146 83,50 1055,00 -108,50 0,00 1152,00 1075,00 1025,001167 104,50 1159,50 -129,50 0,00 1155,00 1075,00 1025,00

20.

-400

-200

0

200

400

600

800

0 5 10 15 20 25

3300

3320

3340

3360

3380

3400

3420

3440

0 5 10 15 20 25

xi xi-(µ0+kσ) C+ (µ0-kσ)-xi C- zi LSC LIC3375 14,35 14,35 -35,65 0,00 3355,00 3374,38 3325,623305 -55,65 0,00 34,35 0,00 3345,00 3381,22 3318,783400 39,35 39,35 -60,65 0,00 3356,00 3384,90 3315,103381 20,35 59,69 -41,65 0,00 3361,00 3387,06 3312,943346 -14,65 45,04 -6,65 0,00 3358,00 3388,38 3311,623402 41,35 86,39 -62,65 0,00 3366,80 3389,21 3310,793368 7,35 93,73 -28,65 0,00 3367,04 3389,72 3310,283327 -33,65 60,08 12,35 0,00 3359,03 3390,05 3309,953349 -11,65 48,42 -9,65 2,69 3357,03 3390,26 3309,743320 -40,65 7,77 19,35 9,69 3349,62 3390,39 3309,613362 1,35 9,12 -22,65 0,00 3352,10 3390,48 3309,523300 -60,65 0,00 39,35 16,69 3341,68 3390,53 3309,473354 -6,65 0,00 -14,65 24,69 3344,14 3390,56 3309,443312 -48,65 0,00 27,35 12,69 3337,71 3390,59 3309,413384 23,35 23,35 -44,65 0,00 3346,97 3390,60 3309,403350 -10,65 12,69 -10,65 0,00 3347,58 3390,61 3309,393325 -35,65 0,00 14,35 3,69 3343,06 3390,62 3309,383340 -20,65 0,00 -0,65 13,69 3342,45 3390,62 3309,383327 -33,65 0,00 12,35 11,69 3339,36 3390,62 3309,383465 104,35 104,35 -125,65 0,00 3364,49 3390,62 3309,383450 89,35 193,69 -110,65 0,00 3381,59 3390,62 3309,383470 109,35 303,04 -130,65 0,00 3399,27 3390,63 3309,373429 68,35 371,39 -89,65 0,00 3405,22 3390,63 3309,373449 88,35 459,73 -109,65 0,00 3413,97 3390,63 3309,373503 142,35 602,08 -163,65 0,00 3431,78 3390,63 3309,37



Exercícios – Folha 5 (Controlo na Recepção)


21. Considere que um determinado fornecedor envia a um cliente lotes de 5000 peças, e que

entre ambos foi acordado um nível de qualidade aceitável de 0,4%.

a) Com base no facto de, num determinado lote, o cliente ter encontrado 3 peças defeituosas

num plano de amostragem simples e controlo normal, que decisão tomaria no que concerne

à aceitação do referido lote? Justifique.

b) Admitindo que num lote existem 50 peças defeituosas, calcule o inerente risco do cliente.

c) Estando em controlo normal, passando o nível de qualidade para 2%, qual a probabilidade

de introduzir controlo reforçado?

d) Caso tenha adoptado um plano de amostragem simples e controlo normal, se em 9 lotes

consecutivos aceites o número total de elementos defeituosos fosse igual a 2, acha que o

tipo de controlo poderia vir a ser alterado no 10º lote?

e) Estabeleça regras de decisão apropriadas admitindo um plano de amostragem dupla e:

i) controlo normal;

ii) controlo reforçado;

iii) controlo reduzido.

f) Calcule a probabilidade de passar de um plano duplo e controlo reduzido para um plano

duplo e controlo normal.

g) Admita que utiliza um plano de amostragem dupla e controlo normal.

i) Calcule o número médio de peças a inspeccionar.

ii) Se no lote existirem 250 peças defeituosas, calcule o inerente risco do cliente.

22. Suponha que um determinado fornecedor envia a um cliente lotes de 3000 peças e que,

entre ambos, foi acordado um nível de qualidade aceitável de 1%.

a) Estabeleça regras de decisão quanto à aceitação dos lotes considerando que usa um plano

de amostragem:

i) simples e controlo normal;

ii) simples e controlo reduzido;

iii) duplo e controlo normal.

b) Diga em que condições, neste contexto, passaria do plano i) para o plano ii) referidos na

alínea anterior.





c) Admitindo que adopta um plano de amostragem simples e controlo normal e que num lote

existem 6 peças defeituosas, calcule o inerente risco do fornecedor.

d) Esboce a curva de eficácia do plano de amostragem simples e controlo reforçado.

23. Relativamente ao exercício anterior, suponha que adoptou um plano de amostragem dupla

e controlo normal.

a) Caso o cliente, nos primeiros 100 elementos inspeccionados de um determinado lote, tenha

encontrado 4 peças defeituosas, que decisão tomaria no que concerne à aceitação do lote?

Justifique.

b) Admita, agora, que a proporção de peças defeituosas em lotes consecutivos submetidos a

controlo é igual a 5%.

i) Calcule o inerente risco do cliente.

ii) Calcule a probabilidade de passar a controlo reforçado, explicitando, então, o respectivo

plano de amostragem.

24. Suponha que ao armazém de uma fábrica chegam lotes de 500 peças cada e que entre

cliente e fornecedor foi acordado um nível de qualidade aceitável de 1,5%, tendo sido

estabelecido um plano de amostragem simples e controlo reduzido.

a) Caso numa amostra extraída a proporção de peças defeituosas fosse igual a 1%, que

decisão tomaria?

b) Calcule a probabilidade de passar a controlo normal, sabendo que a proporção de peças

defeituosas num determinado lote é igual a 1,66%.

c) Admita que algum tempo depois teve de adoptar controlo reforçado. Caso a proporção de

peças defeituosas, num determinado lote, fosse igual a 10,3%, como justificaria, sem

efectuar cálculos, a afirmação: “ O risco do cliente é inferior a 10%.”

25. Considere que um determinado fornecedor envia a um cliente lotes de 400 peças e que,

entre ambos, foi acordado um nível de qualidade aceitável de 2.5%.

a) Caso extraísse uma amostra de dimensão 40 e tivesse 5 peças defeituosas, que decisão

poderia tomar? Justifique convenientemente.





b) Comente a proposição: “Caso se se extraísse uma amostra de dimensão 50 de um lote em

que a proporção de peças defeituosas fosse 2.7%, a probabilidade de ele ser aceite seria

inferior a 95%.”.

c) Caso passasse a um plano reduzido apropriado e obtivesse numa amostra de um lote duas

peças defeituosas, que pensaria e o que faria?

d) Suponha que a proporção de peças defeituosas em lotes consecutivos submetidos a controlo

é 12.9%.

i) Calcule a probabilidade de rejeitar um primeiro lote.

ii) Calcule a probabilidade de passar no máximo, ao fim de 3 lotes, a controlo reforçado,

explicitando, então, o respectivo plano de amostragem.

26. O limite de elasticidade mínima de um certo material é fixado em 58000 psi. Um lote de

500 elementos é submetido a controlo adoptando-se um nível de qualidade aceitável igual

a 1,5%. Sabe-se, ainda, que σ=3000.

a) Estabeleça um plano de amostragem apropriado.

b) Considerando que numa amostra se obtiveram os valores 62500, 60500, 68000, 59000,

65500, 62000, 61000, 69000, 58000 e 645000, que decidiria quanto à aceitação do lote?

c) Estime a percentagem de produtos defeituosos no lote.

27. No seguimento da alínea anterior, admita que também foi fixado um limite de elasticidade

máxima igual a 67000 psi.

a) Que decidiria, neste caso, quanto à aceitação do lote?

b) Caso fosse adoptado NQA (Ts)=1% e NQA (Ti)=2.5%, e numa amostra tivesse obtido os

valores 62500, 60500, 64000, 59000, 65500, 62000, 61000, 60631, 68000, 62000 e

63000, que decisão tomaria?

28. A densidade de uma peça plástica utilizada numa calculadora de bolso está fixada num

mínimo de 0.7 g/cm3. Um conjunto de 1000 peças é submetido a controlo, sendo adoptado

um nível de qualidade aceitável igual a 2.5%. Retirada uma amostra de dimensão

conveniente, obteve-se uma densidade média igual a 0.73 g/cm3 e um desvio padrão igual

a 0.0135 g/cm3.

a) Que decidiria quanto à aceitação das 1000 peças?





b) Admita que foi especificado também um limite superior igual a 0.755 g/cm3.

i) Adoptando o mesmo nível de qualidade aceitável, qual seria a sua decisão?

ii) Supondo que para o limite superior foi adoptado um nível de qualidade aceitável igual a

1.5%, qual seria a sua decisão?

29. O número máximo especificado de rotações por unidade de tempo dum certo equipamento

está fixado em 54. Um conjunto de 100 equipamentos é submetido a controlo, sendo

adoptado um NQA=0.4%. Considerando que utiliza o método da amplitude e que numa

amostra obteve os valores 50, 52, 54, 51, 53, 48, 50, 52, 49 e 51:

a) Que decidiria quanto à aceitação do lote?

b) No caso de também ser especificado um número mínimo de rotações igual a 47, adoptando

aqui um nível de qualidade aceitável de 1%, qual seria a sua decisão?

c) Estime as percentagens de equipamentos defeituosos, considerando separadamente o caso

da alínea a) e da alínea b) anteriores.

30. A resistência mínima especificada de um determinado equipamento está fixada em 46.

Um conjunto de 80 unidades é submetido a controlo, sendo adoptado um NQA de 0.65%.

Considere que numa amostra obteve os valores 47, 50, 52, 50, 51, 47, 49, 51, 48 e 50.

a) Caso utilizasse o método da amplitude, que decidiria quanto à aceitação do lote?

b) Utilizando, ainda, o método da amplitude, admita, agora, que também tinha um limite

superior de especificação, igual a 53. Adoptando, relativamente a este limite, um NQA de

1%, qual seria a sua decisão?

c) Resolva as alíneas anteriores, caso utilizasse o método do desvio padrão.



Soluções dos Exercícios da Folha 5 (Controlo na Recepção)


22.

a) i) n=125; A=3, R=4

ii) n=50; A=1; R=4

iii) n1=n2=80; A1=1 e R1=4; A2=4 e R2=5

b) Aceitar 10 lotes consecutivos e nº total de elementos defeituosos não excede 7 e aprovação

do cliente.

c) 0,013%.

23. a) Continuar a inspeccionar as restantes 60.

b) i) 13,6%

ii) 0,9985 atendendo a que P(rejeitar o lote | p=0,05)=0,8636.

Em controlo reforçado tem-se n1=n2=80; A1=0 e R1=3; A2=3 e R2=4

25. b) Falso

c) n=20; A=1; R=4 – aceitar o lote e passar a controlo normal

29. a) Qs=1,80; sp =2,19%; M=1,14% - Rejeitar o lote

b) Rejeitar o lote

c) ˆ ˆp(a) 2,19%; p(b) 2, 21%= =

30. a) Qi=1,87; ip =1,65%; M=2,05% - Aceitar o lote

b) Qs=1,87; sp =1,65%; Ms=3,23% - Rejeitar o lote

c) s=1,72

i) Qi=2,03; ip =1,03%; M=2,17% - Aceitar o lote

ii) Qs=2,03; sp =1,03%; Ms=3,26% - Aceitar o lote

Provas de Avaliação


1ª Frequência de CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE

17 de Abril de 2004

Notas:

• Justifique as respostas de uma forma sucinta.

• Indique na primeira página o número de folhas de teste.

• Duração: 2h30m

1. Indique um teste estatístico que pode utilizar para testar a normalidade de uma dada

distribuição de valores. Apresente os seus traços fundamentais.

2. Suponha que, numa dada estrada nacional, o número médio de multas, por semana, devido

a infracções várias, é igual a 25. Admita que recentemente foi efectuada uma campanha

publicitária e que, nas 5 semanas seguintes se registaram 26, 18, 12, 16 e 11 multas,

respectivamente. Utilizando uma carta de controlo apropriada, diga, justificando em

termos analíticos, se a campanha publicitária poderá ter provocado uma diminuição do

número médio de multas por semana.

3. Suponha que, na fase inicial de um processo produtivo, após a observação de 25 amostras

de dimensão 4, obteve os valores 10.50 e 2.06 para a média das médias das amostras e

para a média das amplitudes, respectivamente.

a) Obtenha, justificando analiticamente, limites de controlo para uma carta de médias e

para uma carta de amplitudes. Como procederia para poder controlar a futura

produção?

b) Caso o processo esteja sob controlo e as especificações tenham sido fixadas em 10±3,

que pode concluir acerca da capacidade do processo produzir elementos dentro destas

especificações?

4. Relativamente ao exercício anterior, admita que, após ajustamentos feitos ao processo

produtivo, a média passou a ser 10 e o desvio padrão 1. Admita, ainda, que as amostras

são retiradas de hora a hora.

a) Caso pretendesse substituir a carta de controlo para a amplitude por uma carta de

controlo para o desvio padrão, quais seriam a linha central e os limites de controlo

apropriados para essa carta?

b) Suponha agora que o processo produtivo, devido ao aparecimento de uma causa

assinalável, sofreu uma alteração na média, passando esta a ser igual a 8.5.

Considerando apenas a carta de médias:

i) Comente, sem efectuar cálculos, a proposição: “Em média necessitamos

inspeccionar menos de duas amostras até detectar a alteração.”

ii) Calcule a probabilidade de ter a alteração detectada antes de terem decorrido 3

horas após o aparecimento da causa assinalável.

iii) Caso a alteração da média tenha ocorrido 15 minutos depois de uma dada amostra

ter sido inspeccionada, determine o prejuízo esperado (em termos do número de

elementos defeituosos produzidos) que resulta deste procedimento de controlo.

5. Admita que para controlar a proporção de interruptores defeituosos, usa amostras de

dimensão 200 e uma carta de controlo com linha central igual a 0.04, limite superior de

controlo igual a 0.075 e limite inferior de controlo igual a 0.005.

a) Descreva, de uma forma sucinta, a fase inicial do controlo na qual foi obtida a

estimativa para a proporção de interruptores defeituosos.

b) Sabendo que a probabilidade de ter uma proporção inferior ou igual ao limite superior

de controlo é igual a 0.9970, determine o erro de 1ª espécie associado a esta carta.

c) Suponha que o aparecimento de uma causa assinalável provocou um aumento da

proporção de interruptores defeituosos para 10%. Determine o número médio de

amostras a inspeccionar até detectar a alteração.

6. Diga, justificando sucintamente, se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições:

a) “Quando temos amostras de tamanhos variáveis o procedimento mais correcto é usar

cartas de controlo com limites variáveis.”

b) “As cartas de controlo CUSUM e EWMA dão o mesmo peso à informação contida nas

diferentes amostras.”


2ª Frequência de CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE

5 de Junho de 2004

Notas:


• Duração: 2h30m

1. Suponha que ao armazém de uma fábrica chegam lotes de 1000 peças cada.

a) Caso o cliente, usando amostragem simples e controlo normal, rejeitasse um dos lotes

com base no facto de ter encontrado na amostra respectiva 3 peças defeituosas, o que

pensaria então do NQA que teria sido acordado entre ele e o fornecedor?

b) Admita que foi acordado um NQA igual a 1% e que num determinado lote sujeito a

controlo existem 70 peças defeituosas. Comente a proposição: “O risco do cliente é

inferior a 10%.”.

c) Ainda considerando um NQA igual a 1%, suponha, agora, que adoptou um plano de

amostragem dupla e controlo reduzido e que a proporção de peças a inspeccionar em

lotes consecutivos submetidos a controlo é igual a 2%. Calcule a probabilidade de

passar a controlo normal no máximo ao fim de 3 lotes inspeccionados.

2. A resistência mínima especificada de um determinado equipamento está fixada em 46.

Um conjunto de 80 unidades é submetido a controlo, sendo adoptado um NQA de 0.65%.

Considere que numa amostra obteve os valores 47, 50, 52, 50, 51, 47, 49, 51, 48 e 50.

a) Caso utilizasse o método da amplitude, que decidiria quanto à aceitação do lote?

b) Utilizando, ainda, o método da amplitude, admita, agora, que também tinha um limite

superior de especificação, igual a 53. Adoptando, relativamente a este limite, um NQA

de 1%, qual seria a sua decisão?

3. Suponha que um sistema tem 3 componentes A, B e C, com tempos de vida Weibull,

estando A e B em série e estando C em paralelo em relação ao subsistema constituído por

A e B. Considere, ainda, que a distribuição do tempo de vida dos três componentes tem o

mesmo parâmetro de escala igual a 1000, o tempo médio de vida de cada componente em

série é igual a 1000 horas e que a distribuição do tempo de vida do componente C tem um

parâmetro de forma igual a 3.

a) Qual o tipo de taxa de risco do componente C? Explique o seu significado.

b) Justifique a afirmação:”O subsistema em série não envelhece nem rejuvenesce.”.

c) Calcule a probabilidade do sistema estar ainda operacional ao fim de 500 horas de

utilização.

4. Considere um sistema, sujeito a inspecções periódicas e perfeitas, com taxa de risco

constante e cuja fiabilidade para 5000 horas é igual a 1−e .

a) Com base numa aproximação para o tempo médio de detecção, obtenha uma solução

aproximada para o período de inspecção, com o objectivo de minimizar o custo total

médio por ciclo, explicitando as grandezas que achar apropriadas.

b) No seguimento da alínea anterior, sabendo que o custo de uma inspecção é igual a 10 e

que o custo por unidade de tempo de mau funcionamento é igual a 1000, calcule o

número médio de inspecções por ciclo. Deduza analiticamente a expressão que

utilizou.

5. Diga, justificando sucintamente, se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições:

a) “Num método de amostragem adaptativo a amostragem pode ser periódica.”.

b) “A Inspecção rectificativa de lotes conduz a uma melhoria da qualidade dos lotes e a

uma redução do número médio de elementos inspeccionados.”

Cotação:

1a)1.5 1b)1.5 1c)2.0 2a)1.5 2b)1.5 3a)1.0 3b)1.5 3c)2.5 4a)2.5 4b)2.5

5a)1.0 5b)1.0


Exame de CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE – 1ª Chamada

17 de Junho de 2004

Notas:


• Duração: 3h

1. Suponha que, na fase inicial de um processo produtivo, a soma das média e das

amplitudes de 30 amostras, de dimensão 8, são iguais, respectivamente, a 900 e a 120.

a) Obtenha, justificando analiticamente, limites de controlo para uma carta de médias.

b) Caso o processo esteja sob controlo e as especificações tenham sido fixadas em

30 5± , que comentários pode fazer relativamente à capacidade do processo produzir

elementos dentro dessas especificações?

c) Admita que a carta de controlo para a média obtida anteriormente é utilizada para

controlar a futura produção e que, como resultado do aparecimento de uma causa

assinalável, a média do processo diminuiu uma unidade de desvio padrão.

i) Calcule a probabilidade de necessitar analisar pelo menos 3 amostras até detectar a

alteração.

ii) Se pretender detectar a alteração anterior com uma probabilidade não inferior a

0.5, qual deveria ser a dimensão da sua amostra?

2. No controlo de qualidade por atributos, na fase inicial de um processo produtivo, diga, de

uma forma sucinta, como procede para estimar a proporção de elementos defeituosos.

3. Suponha que, na produção de um determinado tipo de unidades de tecido (calças, por

exemplo), o número médio de defeitos por unidade é igual a 9. Admita, ainda, que o

número médio de defeitos por unidade passou a ser igual a 12 (por exemplo, devido a

alteração de matérias-primas). Com base numa carta de controlo apropriada, calcule o

número médio de unidades de tecido a inspeccionar até poder concluir que a qualidade

piorou.

4. Suponha que, entre cliente e fornecedor, foi acordado um nível de qualidade aceitável de

0,25% e que os produtos são enviados em lotes de 20000 peças.

a) Estabeleça um plano de amostragem dupla e controlo normal.

b) Tendo passado a controlo reforçado, acha que, após a observação de 4 elementos

defeituosos obtidos a partir de amostras convenientes extraídas de 5 lotes

consecutivos, poderia passar a controlo normal? Justifique, apresentando um exemplo.

5. Suponha que um sistema tem 3 componentes A, B e C, com tempos de vida Weibull,

estando A e B em paralelo e estando C em série em relação ao subsistema constituído por

A e B. Considere, ainda, que a distribuição do tempo de vida dos três componentes tem o

mesmo parâmetro de escala igual a 1000, o tempo médio de vida do componente C é igual

a 1000 horas e que a distribuição do tempo de vida dos componentes A e B tem um

parâmetro de forma igual a 4.

a) Qual o tipo de taxa de risco do componente C? Explique o seu significado.

b) Calcule a probabilidade do sistema não estar operacional ao fim de 1000 horas de

utilização.

6. Considere um sistema sujeito a inspecções de hora a hora e cuja taxa de risco é constante e

igual a 0.001 horas. Admitindo que existe uma probabilidade igual a 0.2 de uma falha não

ser detectada através de uma inspecção, calcule um valor exacto e outro aproximado do

respectivo tempo médio de mau funcionamento.

7. Interprete geometricamente, justificando em termos analíticos, o tempo médio de vida de

um sistema com base na respectiva função de fiabilidade.

8. Comente a seguinte proposição: “Num método de amostragem com intervalos

predefinidos a amostragem não pode ser periódica.”.

Cotação:

1a)1.5 1b)1.5 1ci)2.0 1cii)1.5 2)1.0 3)2.0 4a)1.5 4b)1.5 5a)1.0 5b)2.0 6)2.0

7)1.5 8)1.0


Exame de CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE – 2ª Chamada

25 de Junho de 2004

Notas:


• Duração: 3h

1. Suponha que quer elaborar uma carta de controlo para a média e uma carta de controlo

para a amplitude para controlar uma dada característica da qualidade de média 100 e

desvio padrão 10, usando amostras de tamanho 9.

a) Obtenha, justificando analiticamente, os limites de controlo da carta de amplitudes.

b) Admita que, como resultado do aparecimento de uma causa assinalável, a média se

alterou para 105 e que o desvio padrão se alterou para 12. Considerando apenas a carta

de controlo para a média:

i) Calcule o número médio de amostras a analisar até detectar a alteração.

ii) Sabendo que o custo de mau funcionamento por hora é igual a 1000 e que utiliza

um período de amostragem igual a 2 horas, acha que 18000 é um valor possível

para o custo médio de mau funcionamento?

2. Comente a proposição: “Um processo centrado na média tem uma maior capacidade de

produzir elementos de acordo com as especificações do que um processo não centrado.”

3. Suponha que a percentagem de elementos defeituosos numa dada produção é igual a 10%

e que usa amostras de 50 elementos para a controlar. No caso dessa percentagem passar a

ser 15%, qual a probabilidade de encontrar 2 valores consecutivos entre os limites de

controlo de uma carta apropriada?

4. Pretendendo controlar o número de defeitos por unidade, diga, de uma forma sucinta,

como procede para estimar a linha central de uma carta de controlo apropriada.

5. Suponha que um determinado fornecedor envia a um cliente lotes de 3000 peças e que,

entre ambos, foi acordado um nível de qualidade aceitável de 1%. Admita, ainda, que

adoptou um plano de amostragem dupla e controlo normal.

a) Caso o cliente, nos primeiros 100 elementos inspeccionados de um determinado lote,

tenha encontrado 4 peças defeituosas, que decisão tomaria? Justifique.

b) Calcule o número médio de elementos a inspeccionar.

6. A resistência especificada de um determinado equipamento está fixada num mínimo igual

a 450 e num máximo igual a 520. Sabe-se, ainda, que σ=19. Um conjunto de 100 unidades

é submetido a controlo, sendo adoptado um NQA de 1%. Caso, numa amostra apropriada,

tivesse obtido uma média igual a 490, qual seria a sua decisão no que concerne à aceitação

do lote?

7. Suponha que um sistema tem 4 componentes A, B, C e D, com tempos de vida

exponenciais, estando A e B em série, C e D também em série e estando o subsistema

constituído por C e D em paralelo em relação ao subsistema constituído por A e B.

Considere, ainda, que o tempo médio de vida de cada componente é igual a 10000 horas.

a) Obtenha a expressão da função de fiabilidade do sistema.

b) Sabendo que o sistema esteve operacional durante 20000 horas, calcule a

probabilidade do sistema não ter avarias num serviço de 10000 horas.

8. Para uma política periódica de inspecção, obtenha analiticamente, com base na função de

fiabilidade, a expressão do número médio de inspecções (perfeitas e imperfeitas).

9. Diga, em traços gerais, o que entende por método de amostragem adaptativo.

Cotação:

1a)1.0 1bi)2.0 1bii)1.5 2)1.5 3)2.5 4)1.0 5a)2.0 5b)1.5 6)1.5 7a)1.5 7b)1.0

8)2.0 9)1.0


Exame de Recurso CONTROLO DE QUALIDADE E FIABILIDADE

8 de Julho de 2004

Notas:


• Duração: 3h

1. No controlo de qualidade por variáveis, na fase inicial de um processo produtivo, diga, de

uma forma sucinta, como procede para estimar a média e o desvio padrão no caso de

utilizar uma carta de controlo para a média e outra para a amplitude.

2. Apresente, recorrendo a ilustrações, dois padrões não aleatórios que pode encontrar numa

carta de controlo para a média ou para a amplitude, indicando uma possível causa que

esteja eventualmente na origem de cada um.

3. Suponha que, na fase de normal funcionamento de um processo produtivo, controla uma

determinada característica da qualidade, com média 100 e desvio padrão 5.

a) No caso da média se alterar para 105, mantendo-se o desvio padrão, calcule o número

médio de amostras a analisar, com base na carta de médias e amostras de tamanho 4,

até detectar a alteração.

b) Considere que a fábrica estabeleceu dois limites de especificação para a produção

iguais a 90 e a 115. Elabore uma carta de controlo para a proporção de elementos

defeituosos, admitindo que utiliza amostras de 25 elementos.

4. Suponha que pretende controlar o número de pequenos defeitos em aparelhos de televisão

e que ao inspeccionar 15 conjuntos de 6 aparelhos cada encontrou 225 pequenos defeitos.

Admita, ainda, que rejeita a produção apenas quando dois valores consecutivos aparecem

fora dos limites de controlo.

a) Calcule o erro de 1ª espécie associado a uma carta de controlo adequada.

b) Se o número de pequenos defeitos passasse a ser 9, devido a uma melhoria da

qualidade na matéria-prima, calcule a probabilidade de poder questionar-se sobre a

alteração depois de ter inspeccionado, no máximo, 3 conjuntos.

5. Suponha que um determinado fornecedor envia a um cliente lotes de 3000 peças.

a) Caso o cliente, usando amostragem simples e controlo reduzido, tivesse passado a

controlo normal com base no facto de num lote inspeccionado ter encontrado na

amostra respectiva 3 peças defeituosas, o que pensaria então do NQA que teria sido

acordado entre ele e o fornecedor?

b) Considerando que o NQA acordado foi 1%, admita que adoptou um plano de

amostragem dupla e controlo normal e que a proporção de peças defeituosas em lotes

consecutivos submetidos a controlo é igual a 5%. Calcule o inerente risco do cliente.

6. Suponha que um sistema tem 3 componentes A, B e C, com tempos de vida exponencial,

estando A em paralelo com o sub-sistema constituído por B e C que estão em série.

Sabendo que cada componente tem uma fiabilidade de 95% para 1000 horas e que o

sistema funciona sem avarias há 500 horas, calcule a probabilidade de ocorrer uma avaria

nas próximas 500 horas.

7. Considere um sistema sujeito a inspecções periódicas e perfeitas, sendo C1 o custo de cada

inspecção e C2 o custo por unidade de tempo de mau funcionamento.

a) Deduza uma solução aproximada para o período de inspecção que minimiza o custo

total médio por ciclo.

b) Sabendo que o sistema tem uma taxa de risco constante igual a 0.001, C1=1 e C2=100,

calcule um valor aproximado para o custo total médio de funcionamento do sistema

por unidade de tempo, quando utiliza para período de inspecção o valor obtido através

da fórmula deduzida na alínea anterior.

8. Em que se distinguem, no essencial, um procedimento de amostragem com intervalos

adaptativos e um procedimento de amostragem com intervalos predefinidos.

Cotação:

1)1.5 2)1.5 3a)2.0 3b)2.0 4a)1.5 4b)1.5 5a)1.5 5b)2.0 6)2.5 7a)1.5 7b)1.5 8)1.0

Resultados da Avaliação

Notas de Controlo de Qualidade e Fiabilidade (Finais)

Número Nome Curso 1ª Freq. 2ª freq Ex 1 Ex 2 Recurso Final10551 Ana Filipa da Silva Ramos Estiveira MA 1,6 210862 Sonia Andreia Nunes Lopes Rodrigues MCC 2,0 212552 Dina Maria Fernandes Saraiva Correia MCC 4,5 9,5 1012598 Ana Isabel Godinho dos Santos MCC D D12604 Elisabete Pires Custodio Bajanca MEN 9,5 1012783 José João Sardinha Cabaceira MEN 10,0 13,2 1212816 Cristina Isabel Félix Antunes MCC 5,5 613618 Carla Margarida da Rocha Martins MEN 12,2 11,5 1213628 Vera Lúcia dos Santos Marques MEN 12,6 16,7 1513698 Bruno Miguel Ferreira das Neves Barata MEN 7,5 4,3 413890 André Guia Martins MEN 12,4 14,2 1414135 Pedro Manuel Quitério Marques Firmino MCC D 9,5 1014500 Filipa Alexandra Rijo Paixão MCC D D14776 Sérgio Miguel Tomaz Torrinha MCC 7,5 8,0 7,6 814936 Nuno Miguel Costa Marcelo MCC 6,5 8,3 14,5 1514978 Ana Isabel dos Santos Custódio MCC D F15112 Ana Patrícia dos Reis Vigário MCC 4,4 F15271 Andrea Sofia Miranda Eduardo MCC 2,9 3,8 415341 Vanda Isabel Faustino Mocho MCC 2,0 215347 Helena Isabel Martins de Oliveira MCC 8,1 16,9 1315654 Nádia Figueiredo Agostinho MCC 7,5 D 9,6 1015670 Marta Andreia Borges Castanheira MCC 9,1 10,4 1015752 Silvia Marisa Santos Sousa MCC 8,9 11,5 1215814 Elisabete Pereira da Silva MCC 5,8 9,6 1015839 Sandra Cristina Lobato Ramos MCC 5,3 9,8 1015924 Ana Maria Sousa Reforço Apolinario MCC D F16091 Emanuel António Geraldes Duarte Matos MCC 6,3 F16122 Rute Jacinta Curião Feiteira MCC 7,5 7,9 11,6 1216201 Maria João Belchior Martins Vieira MCC 3,4 F16273 Cláudia Marina da Cruz Antunes MCC 9 9,9 D 1016298 Francisco Manuel Gomes Saias MCC 14,1 13,7 15,7 1616354 Claudia Alexandra Santos da Silva MCC 9,8 13,3 11,5 1216378 Ana Rita Gomes Frazao Carreira MCC 5,0 5,9 7,9 816497 Susana Isabel Condeço Nunes MCC D 9,5 1016671 Rita Mafalda Comenda da Silva Isidro MCC 5,6 6,1 8,0 816752 Janete Cristina Mendes Batista MCC 10,2 13,6 1416763 Ana Rita Jeremias Carapinha MCC 4,1 F17014 Catarina Liborio Ferreira MCC 4,7 7,2 12,6 1317558 Carlos Miguel Andrade dos Santos MEN 11,8 16,7 17

Frequencies

Statistics

Notas Finais

310

10,032310,0000

10,004,07008

-,567,421

-,206,8212,00

17,002,40008,0000

10,000013,000015,0000

ValidMissing

N

MeanMedianModeStd. DeviationSkewnessStd. Error of SkewnessKurtosisStd. Error of KurtosisMinimumMaximum

1025507590

Percentiles

Notas Finais

3 9,7 9,7 9,72 6,5 6,5 16,11 3,2 3,2 19,43 9,7 9,7 29,09 29,0 29,0 58,15 16,1 16,1 74,22 6,5 6,5 80,62 6,5 6,5 87,12 6,5 6,5 93,51 3,2 3,2 96,81 3,2 3,2 100,0

31 100,0 100,0

2,004,006,008,0010,0012,0013,0014,0015,0016,0017,00Total

ValidFrequency Percent Valid Percent

CumulativePercent

Page 1

Notas Finais

2019181716151413121110987654321

Notas FinaisFr

eque

ncy

10

8

6

4

2

0

31N =

Notas Finais

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

Page 2

Inquérito Anónimo

Realizado Aos Alunos

Proposta de Avaliação do Docente e da Disciplina

Controlo de Qualidade e Fiabilidade 2003/2004 Departamento de Matemática da Universidade de Évora

Caro aluno, Com o objectivo de melhorar a forma e o conteúdo desta disciplina neste e nos próximos anos, muito lhe agradecíamos se pudesse partilhar a sua opinião sobre o conteúdo e a docência desta disciplina. Nos pontos que a seguir se seguem, avalie, por favor, o Docente e a Disciplina, assinalando com uma cruz a sua opção. Use as seguintes categorias de resposta:

A – Muito Bom B – Bom C – Suficiente D – Insuficiente E – Muito insuficiente

A) Avaliação da disciplina

1. A adequação do número de horas lectivas desta disciplina é: A B C D E 2. Na sua opinião, o acesso bibliografia recomendada nesta disciplina é: A B C D E 3. A correspondência entre conhecimentos avaliados e matéria leccionada é: A B C D E 4. A adequação dos recursos utilizados para a leccionação desta disciplina A B C D E 5. Considera a sua assiduidade às aulas desta disciplina A B C D E

B) Avaliação do Docente 6. Preparação, organização e utilização do tempo de aula ______ A B C D E 7. Clareza com que o Docente expõe a matéria__ A B C D E 8. Empenho e entusiasmo mostrados no ensino ________ A B C D E 9. Aptidão para incentivar e para estimular o interesse dos Alunos A B C D E 10. Disponibilidade do Docente para esclarecer dúvidas _ A B C D E 11. Respeito, tolerância e honestidade para com os Alunos A B C D E 12. Assiduidade e pontualidade do Docente _ A B C D E 13. Transparência, lealdade e igualdade na avaliação dos Alunos A B C D E 14. Classificação global do Docente ___ A B C D E

CRÍTICAS / COMENTÁRIOS / SUGESTÕES

Adequação do número de horas lectivas

1 7,1 7,1 7,15 35,7 35,7 42,94 28,6 28,6 71,44 28,6 28,6 100,0

14 100,0 100,0

InsuficienteSuficienteBomMuito BomTotal


CumulativePercent

Adequação do número de horas lectivas

Muito BomBomSuficienteInsuficiente

Per

cent

40

30

20

10

0

Acesso à bibliografia recomendada

4 28,6 28,6 28,64 28,6 28,6 57,13 21,4 21,4 78,63 21,4 21,4 100,0

14 100,0 100,0

InsuficienteSuficienteBomMuito BomTotal


CumulativePercent

A) Avaliação da Disciplina

Acesso à bibliografia recomendada

Muito BomBomSuficienteInsuficiente

Per

cent

30

20

10

0

Correspondência entre conhecimentos avaliados e matéria leccionada

3 21,4 21,4 21,47 50,0 50,0 71,44 28,6 28,6 100,0

14 100,0 100,0

SuficienteBomMuito BomTotal


CumulativePercent

Adequação dos recursos utilizados para leccionação

5 35,7 38,5 38,54 28,6 30,8 69,24 28,6 30,8 100,0

13 92,9 100,01 7,1

14 100,0


Valid

SystemMissingTotal

Frequency Percent Valid PercentCumulative

Percent

Muito BomBomSuficiente

Per

cent

40

30

20

10

0


Perc

ent

60

50

40

30

20

10

0

Assiduidade do Aluno

3 21,4 21,4 21,44 28,6 28,6 50,07 50,0 50,0 100,0

14 100,0 100,0



CumulativePercent


Perc

ent

60

50

40

30

20

10

0

Preparação, organização e utilização do tempo de aula

1 7,1 7,1 7,11 7,1 7,1 14,35 35,7 35,7 50,07 50,0 50,0 100,0

14 100,0 100,0

Muito InsuficienteSuficienteBomMuito BomTotal


CumulativePercent

B) Avaliação do Docente

Muito BomBom

SuficienteMuito Insuficiente

Per

cent

60

50

40

30

20

10

0

Clareza de exposição

3 21,4 21,4 21,47 50,0 50,0 71,44 28,6 28,6 100,0

14 100,0 100,0



CumulativePercent


Per

cent

60

50

40

30

20

10

0

Empenho e entusiasmo no ensino

1 7,1 7,1 7,12 14,3 14,3 21,4

11 78,6 78,6 100,014 100,0 100,0



CumulativePercent


Per

cent

100

80

60

40

20

0

Aptidão para incentivar e estimular o interesse dos Alunos

1 7,1 7,1 7,16 42,9 42,9 50,07 50,0 50,0 100,0

14 100,0 100,0



CumulativePercent


Per

cent

60

50

40

30

20

10

0

Disponibilidade para esclarecer dúvidas

4 28,6 28,6 28,610 71,4 71,4 100,014 100,0 100,0

BomMuito BomTotal


CumulativePercent

Muito BomBom

Per

cent

80

60

40

20

0

Respeito, tolerância e honestidade para com os alunos

3 21,4 21,4 21,411 78,6 78,6 100,014 100,0 100,0

BomMuito BomTotal


CumulativePercent

Muito BomBom

Per

cent

100

80

60

40

20

0

Assiduidade e pontualidade

5 35,7 35,7 35,79 64,3 64,3 100,0

14 100,0 100,0

BomMuito BomTotal


CumulativePercent

Muito BomBom

Per

cent

70

60

50

40

30

20

10

0

Transparência, lealdade e igualdade na avaliação dos Alunos

1 7,1 7,1 7,16 42,9 42,9 50,07 50,0 50,0 100,0

14 100,0 100,0



CumulativePercent


Per

cent

60

50

40

30

20

10

0

Clasificação global do Docente

1 7,1 7,1 7,14 28,6 28,6 35,79 64,3 64,3 100,0

14 100,0 100,0



CumulativePercent




Per

cent

70

60

50

40

30

20

10

0

Documents

Relat.rio Final de CQF - evunix.uevora.ptevunix.uevora.pt/.../relatorios/Relat%f3rio%20Final%20de%20CQF.pdf · 1 Controlo de Qualidade e Fiabilidade Matemática e Ciências da Computação