REMEMBER I MATEMÁTICA - Estudo dirigido1. Se dividirmos 64 em partes proporcionais a 2, 4 e 6, a menor das partes é:a) 5 1/ 2 b) 11 c) 10 2/ 3 d) 5e) n.r.a.

2. Seja R = g S – 4. Se S + 8, R = 16. Quando S = 10, o valor de R é: a) 11 b) 14 c) 20 d) 21 e) n.r.a.

3. A soma das raízes da equação 4x² + 5 – 8x = 0 é igual a: a) 8 b) -5 c) -5/4 d) -2 e) n.r.a.

4. Reduzindo-se a expressão a² - b² - ab – b² , obtém-se a expressão: ab ab – a²

a) a / b b) a² - 2b² c) a ² d) a – 2b e) n.r.a. ab

5. Se inserirmos 5 números entre 8 e 5832 de modo a formar uma progressão geométrica, então o 5º termo dessa série é:a) 648 b) 832 c) 1168 d) 1944 e) n.r.a.

6. Os valores de y que satisfazem as equações 2x² + 6x + 5y + 1 = 0 e 2x + y + 3 = 0 pode ser encontrado resolvendo-se :a) y² + 14y – 7 = 0 b) y² + 8y + 1 = 0 c) y² + 10y – 7 = 0 d) y² + y – 12 = 0

7. Se o dígito 1 é colocado após um número de dois dígitos cujo algarismo das dezenas é d e cujo algarismo das unidades é u, então o valor do novo número é dado por: a) 10d + u + 1 b) 100d + 10u + 1 c) 1000d + 10u + 1 d) d + u + 1

8. Se o raio de um círculo é aumentado em 100% , sua área fica aumentada em:a) 100% b) 200% c) 300% d) 400% e) n.r.a.

9. A área do maior triângulo que pode ficar em um semicírculo de raio r é:a) r² b) r³ c) 2r² d) 2r³ e) ½ r².

10 Depois de racionalizarmos o numerador de

√ 3 - √ 2 , o denominador na sua forma mais

√ 3 simples, é:

a) √ 3 ( √ 3 + √ 2) b) √ 3 ( √ 3 - √ 2 ) c) 3 - √ 3 √ 2 d) 3 + √ 6

11. Na fórmula C = e . n ; e , R e r são R + n.r

constantes positivas e n um inteiro positivo.

A medida que n cresce, C:a) cresce b) decrescente c) permanece constante d) cresce depois decresce e) decresce e depois cresce.

12. À medida que os lados de um polígono crescem de 3 até n, a soma dos ângulos externos

formados pela extensão de cada lado com o lado seguinte:a) cresce b) decresce c) permanece constante d) não pode ser prevista

e) vale (n – 3) ângulos retos.

13. As raízes de ( x² - 3x + 2 )(x)( x – 4 ) = 0 são:

a) 4 b) 0 e 4 c) 1 e 2 d) 0, 1, 2, e 4 e) 1, 2 e 4.

14. Para o sistema de equações 2x – 3y = 8 6y – 4x = 9 :

a) as soluções são x = 4 e y = 0 b) as soluções são x = 0 e y = 3/2 c) as soluções são x = y = 0 d) não existe solução e) existem infinitas soluções.

15. Os fatores reais de x² + 4 são: a) ( x² + 2)( x² + 2) b) ( x² + 2 ) ( x² - 2 ) c) x² ( x² + 4 ) d) ( x² - 2x + 2) ( x² + 2x + 2) e ) inexistentes.

16. O número de termos da expressão [(a + 3b)² ( a – 3b)²]² quando simplificada é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

17. A forma que expressa a relação entre x e y como mostra a tabela a seguir, é:

a) y = 100 – 10x b) y = 100 – 5x²

c) y = 100 – 5x – 5x² d) y = 20 – x – x²

e) n.r.a.

18. Das afirmações a seguir:

1) a (x – y) = ax – ay 2) a x-y = a x – a y 3)

log ( x – y) = log x – log y

4) log x / log y = log x – log y

5) a (x y) = ax. ay, são verdadeiras:

a) apenas 1) e 4) b) apenas 1) e 5)

c) apenas 10 e 30 d) apenas 1) e 2)

e) apenas 1)

19.Se m homens fazem um trabalho em d dias,

então m + r homens farão o mesmo trabalho em

quantos dias?

a) d + r b) d – r c) m d d )

d e) n.r.a m + r

m + r

20. Se x13 + 1 é dividido por x – 1, o resto é:

a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e)n.r.a.

21. O volume de um sólido retangular cujas faces medem 12 cm², 8 cm² e 6 cm² é: a) 576 cm³ b) 24 cm³ c) 9 cm³ d) 104 cm³ e) nra.

22. Dois descontos sucessivos de 10% e de 20% são equivalente a um único desconto de:

a) 30% b) 15% c) 72% d) 28% e) n.r.a.

x 0 1 2 3 4

y 100 90 70 40 0

1

23. Um homem compra uma casa por R$ 10.000,00 e a aluga. Ele separa 12,5% do aluguel mensal para manutenção e pequenos concertos; ele paga ainda R$ 325,00 de impostos ao ano e ainda consegue 5,5% de lucro ao ano sobre o investimento. O valor de aluguel mensal é:a) R$ 64,82 b) R$ 83,33 c) R$ 72,08 d) R$ 45,83 e) R$ 177,08

24. A equação x + √ x – 2 = 4 tem: a) 2 raízes reais b)1 raiz real e 1 imaginária c) 2 raízes imaginárias

d) nenhuma raiz e) uma raiz real.

25. O valor de log5 (125)(625) é igual a: 25a) 725 b) 6 c) 3125 d) 5 e) n.r.a.

26. Se log 10 m = b – log 10 n, então m =

a) b/n b) bn c) 10b n d) b – 10n e) 10b/n

27. Um carro viaja 120 km de A para B, a uma velocidade de 30 km/h mas faz a volta a uma velocidade de 40 km/h. A velocidade média do percurso,ida e volta, é :a) 33 km/h b) 34 km/h c) 35 km/h d) 36 km/h e) 37 km/h.

28. Dois rapazes A e B começam, no mesmo instante uma corrida entre duas cidades distante 60 km uma da outra. A corre 4 km/h mais devagar que B. B, sendo mais rápido, completa o percurso de ida e inicia imediatamente à volta. Depois de correr já 12 km da volta, cruza com A ainda no percurso de ida. A velocidade de A é:

a) 4 km/h b) 8 km/h c) 12 km/hd) 16 km/h e) 20 km/h.

29. Um industrial produz uma máquina que endereça 500 envelopes em 8 minutos. Ele deseja construir mais uma máquina de tal forma que ambas, operando juntas, endereçarão 500 envelopes em 2 minutos. A equação que indica quantos minutos a segunda máquina irá demorar para endereçar 500 envelopes sozinha, é:a) 8 – x = 2 b) 1 + 1 = 1 8 x 2c) 500 + 500 = 500 d) x + x = 1 8 x 2 8

30. 15 meninas saem de um grupo de meninos e meninas. No grupo restante, ficam dois meninos para cada menina. Aí então, 45 meninas abandonam o grupo. Ficam então 5 meninas para cada menino. O número de meninas no grupo inicial era: a) 40 b) 43 c) 29 d) 50 e) n.r.a.

31. João comprou 4 pares de meias pretas e alguns pares de meias azuis. Na hora do pedido ser anotado, as cores foram trocadas. As meias pretas custaram o dobro das azuis. Isto fez o pedido ficar 50% mais caro. A proporção de meias pretas para as meias azuis no pedido original era:

a) 4: 1 b) 2: 1 c) 1: 4 d) 1: 2 e) 1: 8.

32. Uma escada de 25m está encostada na parede vertical de um edifício, de forma que o pé da escada está a 7 m da base do prédio. Se o topo da escada escorregar 4 m, quanto irá escorregar o pé da escada?a) 9m b) 4m c) 13m d) 8m e) n.r.a.

33. O número de tubos circulares de diâmetro interno de 1 cm que são necessários para dar vazão igual a de um tubo circular de diâmetro interno de 6 cm é:a) 6 b) 6 c) 12 d) 36 e) 36

34. Quando a circunferência de uma bexiga de gás aumenta de 20 para 25cm, seu raio aumenta:

a) 5 cm b) 2,5 cm c) 5/ cm d) 5/2 e) /5 cm.

35. Num triângulo ABC, AC = 24 cm, BC = 10 cm e AB = 26 cm. O raio do círculo inscrito é:

a) 26 cm b) 4 cm c) 8 cm d) 13 cm e) n.r.a.

36. Um comerciante compra produtos com um desconto de 25% da tabela. Ele deseja estabelecer preços que lhe permitam dar um desconto de 20% para o freguês e assim obter 25% de lucro sobre o preço da venda. Qual é a percentagem de aumento sobre o preço da lista que ele deve dar aos produtos?a) 125% b) 100% c) 120% d) 80% e) 75%

37. Se y = loga x, e a > 1, então das afirmações abaixo é incorreta?a) se x = 1, y = 0 b) se x = a, y = 1

c) se x = -1, y é imaginário(complexo) d) se 0 < x < 1, y é sempre menor que 0 e decresce sem limite à medida que x tende a zero. e) apenas algumas das afirmações acima são corretas.

38. Se a expressão a c tem valor ab – cd d b

para todos os valores de a, b, c e d então a equação 2x 1 = 3 :

x xa) è satisfeita para um valor de x b) é satisfeita para dois valores de xc) não é satisfeita para nenhum valor de xd) é satisfeita para uma infinidade de valores dex e) n.r.a.

39. Dada a série 2 + 1 + ½ + ¼ + ... e as seguintes afirmações:1) a soma cresce sem limite2) a soma decresce sem limite3) a diferença entre um termo qualquer da seqüência e zero pode se tornar menor que qualquer quantidade positiva, não importa quão pequena.4) a diferença entre a soma e 4 pode se tornar menor que qualquer quantidade positiva, não importa quão pequena 5) a soma tende a um limite.

2

SOLUÇÕES

Das afirmações acima, as corretas são:a) apenas (3) e (4) b) apenas (5)c) apenas (2) e (4) d) apenas (2), ( 3) e (4) e) apenas (4) e (5).

40. O limite de x² - 1 quando x tende a 1 é: x – 1 a) 0 b) indeterminado c) x – 1 d) 2 e) 1.

41. O menor valor da função ax² + bx + c; (a > 0) é:

a) – b/a b) – b/ 2a c) b² - 4ac

d) 4ac – b ² e) n.r.a. 4.a

x...

42. A equação x x = 2 é satisfeita quando x é igual a:a) infinito b) 2 c) 4√ 2 d) √ 2 e) n.r.a.

43. A somatória infinita 1 + 2 + 1 + 2 + ... é igual a: 7 7² 7³ 74

a) 1/5 b) 1/24 c) 5/48 d) 1/16 e) n.r.a.

44. O gráfico y = log xa) corta o eixo dos y b) corta todas as retas perpendiculares ao eixo xc) corta o eixo dos xd) não corta nenhum eixo

45. O número de diagonais que podem ser traçadas de um polígono de 100 lados é:a) 4850 b) 4950 c) 9900 d) 98 e) 8800

46. Num triângulo ABC, AB = 12, AC = 7 e BC = 10. Se os lados AB e AC são dobrados e BC permanece igual, então:

a) a área dobra b) a altura dobra c) a área é o quádruplo da original

d) a mediana não muda e) a área do triângulo é zero.

47. Um retângulo é inscrito em um triângulo, tendo sua base coincidente com a base b do triângulo. Se a altura do triângulo é h e a altura x do retângulo é igual à metade da base do retângulo, então: a) x = 1/2 h b) x = (bh) / (h+ b)c) x = bh / (2h + b) d) x = √ hb / 2. 48. Um ponto é escolhido ao acaso dentro de um triângulo eqüilátero. Deste ponto são traçadas perpendiculares a cada um dos lados. A soma dos comprimentos dos segmentos de reta que une o ponto aos lados do triângulo é : a) Mínima quando esse ponto é o centro de gravidade do triângulob) maior que a altura do triângulo

c) igual a altura do triângulo d) metade da soma dos lados do triângulo

e) máximo quando esse ponto é o centro de gravidade.

49. Um triângulo tem uma base fixa AB de 2m de comprimento. A medida de A até o lado BC mede 1,5 m e pode assumir qualquer posição

partindo de A. O lugar geométrico do vértice C do triângulo é:a) uma linha reta AB, a 1,5m de A

b) um círculo de centro A e raio 2m c) círculo de centro A e raio 3m d) circulo de r=3m e centro 4m de B na reta BA e) uma elipse que tem A como foco.

50. Uma embarcação de vigilância descobre um navio infrator a 10 km a 11mph às 11h 45 min, com uma boa brisa soprando, a embarcação navega a 11km/h, enquanto o navio só pode fazer 8km/h na tentativa de fuga. Depois de duas horas de perseguição, a embarcação de vigilância consegue aumentar sua velocidade para 17km/h enquanto a outra passa a fugir a 15km/h. Desta forma a embarcação de vigilância vai infratora às: a) 15h 45 min b) 15h 30 min c) 17 h d) 14h 45 min e) 17h 30 min

GABARITO

01.(C) Números proporcionais a 2, 4 e 6 seriam 2x, 4x e 6x, respectivamente. 2x + 4x + 6x = 64 x=5 1/2 e 2x=10 2/3.

02.(D) Substituindo S + 8 e R = 16 temos 16 = 8g-4 g = 2 ½ e R = (2 ½) 10 – 4 = 21.

03.(E) 4x²+5 – 8x = 0 ou x² - 8x/4 + 5/4 = 0 r1 + r2 = - (-8)/4 = 2.

04.(A) a² - b² - b(a – b) = a² - b² + b² = a ab a(b – a) ab ab b

05.(A) Denotando os termos da P.G. por a1=8, a2=8r, ... a7 = 8r6 =5832 então r6=729 e r = 3.Assim a5=8r4=648.

06.(C) Resolvendo a 2ªequação em x e substituindo o valor de x na 1ª equação e simplificando obtemos:x = - y + 3 , 2( - y + 3 )² + 6 ( - y + 3) + 5y + 1 = 0 2 2 2 y² + 10y – 7 = 0.

1.C 11.B 21.B 31.C 41.D2.D 12.C 22.D 32.D 42.D3.E 13.D 23.B 33.D 43.E4.A 14.D 24.E 34.D 44.C5.A 15.E 25.D 35.B 45.A6.C 16.B 26.E 36.A 46.E7.B 17.C 27.B 37.E 47.C8.C 18.E 28.B 38.B 48.C9.A 19.C 29.B 39.E 49.D10.D 20.D 30.A 40.D 50.A

3

07.(B) Se colocamos o dígito 1 à direita de um número dado, o algarismo das dezenas d passa a ser o algarismo das centenas, o algarismo das unidades u passa a ser o algarismo das dezenas. Assim, o valor do novo número passa a ser: 100 d + 10 u + 1.

08 (C) Seja r o raio inicial; novo raio = 2r; r² = área original; 4r² = nova área;

Aumento percentual em área = 4r²- r². 100 = 300. r²

09(A) Todos os triângulos(∆) inscritos vão ter igual base; o diâmetro do semicírculo. Portanto o triângulo de maior área será o de máxima altura, exatamente o ∆ cuja altura = raio. Área ∆ = 2r.r / 2 = r².

10(D) √ 3 - √ 2 . √ 3 + √ 2 = 1___

√ 3 √ 3 + √ 2 3 + √ 6

11(B) C = en = e . Quando n cresce,

R + nr (R/n) + r o denominador decresce, já que todos os demais valores permanecem constantes, aumentando portanto o valor da fração.

12 (C ) É um teorema da geometria elementar que a soma dos ângulos exteriores de um polígono convexo qualquer é constante e vale 180º.

13(D) Fazendo cada um dos fatores igual a zero teremos que: x = 0 ; x – 4 = 0 ; x² - 3x +2 = 0 e portanto as raízes são 0, 4, 2 e 1.

14(D) Geometricamente as equações 2x-3y= 8 e 6y – 4x = 9 representam duas retas paralelas de coeficiente angular = 2/3, não possuindo nenhum ponto comum. Algebricamente, se a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2, multiplicando-se a 1ª equação por b2 e a 2ª por b1, e subtraindo-se uma da outra temos:

(a1 b2 – a2 b1)x = c1 b2 – c2 b1x= c1b

2 – c

2b

1

a1b2 - a2b1.Mas como a1b2 – a2b1 = 0 com c10 e c20 então x é indefinido e não há solução.

15(E) A fatoração restrita a termos com coeficientes racionais e potências inteiras de x não existe para a expressão x² + 4. Em outras palavras, dentro das condições acima, x² + 4 não é fatorável.

16(B) A expansão binomial de (x + y)n tem n + 1 termos. Portanto [(a + 3b)²(a– 3b)²]² = [(a² - (3b)²)²]²=[(a² - 9b²)²]² = (a² - 9b²)4 o que indica que a expansão terá 4 + 1 = 5 termos.

17( C ) A solução de procurar a expressão que dá y como de x foge ao escopo. O mais simples é testar as opções oferecidas. (A) não serve de solução pois y não é uma função linear em x, o que se pode observar facilmente pois os valores eqüiespaçados de y não correspondem valores eqüiespaçados de x. (B) não é válida para x = 1. ( C ) é válida para toda a tabela. (D) não é válida para x = 1.

18(E) No campo real, (1) vale, (2), (3) e (5) não valem. (4) não vale também, visto que log (x/y) = log x – log y e log (x/y) não deve ser confundida com log x / log y. Portanto a resposta correta é (E).

19( C ) O trabalho requer md homens-dias de trabalho. Um homem faz o serviço em md dias.

Portanto, m + r homens farão o trabalho em md/(m +r) dias. Em regra de três simples, temos:

x = m x = md

d m + r m + r

20(D) Usa-se o Teorema do Resto: R = P(1)=113 + 1 = 2.

21(B) Considerando o sólido retangular com arestas de comprimentos k,h e w, então kh = 12, hw = 8 e kw=6.Eliminando h temos k = 3w/2. Eliminando k, 3w²/2 = 6. Portanto w=2, k = 3 e h = 4 e V = khw=24.Outro modo: V = khw V² = k²h²w² = kh. hw.kw= 12.8.6 = 3.4.2.4.2.3 = 3².4².2². Logo V = 3.4.2 = 24.

22 (D) Seja P o preço original. 10% de descontos dão o preço: P – 0,1P = 0,9P. Com mais 20% de descontos, teremos: 0,9P – 0,2(0,9P) = 0,72P. Portanto o desconto total é de: P – 0,72P = 0,28P, ou seja, 28%. Outro modo: d1 + d2 – d1d2 = 10/100 +20/100 – 2/100 = 28/100 = 28%.

23 (B) Seja A o valor do aluguel. Então o valor o valor separado mensalmente para manutenção é 0,125ª; o valor (mensal) dos impostos é R$ 325/12 e o valor do lucro (anual) é 0,055. 10 000. Portanto:

A – 0,125 A – 325 = 0,055. 10 000,00 12 12donde tiramos que A R$ 83,33.

24(E) Transpondo x para o 2ºmembro e quadrando-se a equação temos: √ x – 2 = 4 – x x – 2 = 16 – 8x + x² x² - 9x + 18 = 0. x1 = 6 e x2 = 3. Substituindo-se os valores de x na equação, temos que x = 3 é a única solução.

25(D) log 5 ( 5³ . 54 ) = log 5 5 5 = 5 log 5 5 = 5. 5²

26(E) b = log10 m + log 10 n = log 10 mn mn = 10 b m = 10b/ n. Ou então:log10 m = log1010b – log10 n = log10(10b/n) m = 10b/n.

27( B) Se um carro viaja uma distância d com uma velocidade v1 e retorna a mesma distância a uma velocidade v2 então temos:

Veloc. média = dist. total = 2d____

tempo total d1/v1 + d2/v2

= 2v1 v

2 = 2. 30. 40 34,3 km/h.

v1 + v2 30 + 40

28(B) Observe que o tempo de percurso de A e B são iguais. Como A correu 48 km e B 72 km, temos que:

tA = tB= t 48 = 72 v = 8 km/h. v v + 4

29(B) Uma vez que a 1ª máquina endereça 500 envelopes em 8 minutos, endereça 500/8 envelopes em 1 minuto, logo, 2 . 500 / 8 envelopes em dois minutos. Se a 2ª endereça 500 envelopes em x minutos, então ela endereça 2 . 500 / x envelopes em dois minutos. O valor de x para que o número de envelopes endereçados por ambas as máquinas, nos será dado

por: 2. 500 + 2 . 500 = 500 2 + 2 = 1 8 x 8 x

4

b-r b-r c b r r a-r r r

a-r r a

y

P M Q y =

y V

P M Q y = k

x

ou 1/8 + 1/x = ½.

30(A) Se M é o número de meninas e B o número de meninos, então: M = 2; M – 45 = 1 B = 40 B – 15 B – 15 5

31( C) Seja x = nº de pares de meias azuis; y = preço do par de meias azuis. Então o par de meias pretas custa 2y e então: x.2y + 4y = 3/2( 4.2y + x.y). Dividindo por y e resolvendo em x temos:x = 16 4 : x = 4 : 16 = 1: 4.

32(D) Antes de escorregar, a situação da escada era representada por um triângulo retângulo de hipotenusa 25m, cateto horizontal 7m e vertical de 24m. Depois de escorregar, a situação continua representada por um triângulo retângulo de hipotenusa 25m, cateto vertical de 20m e horizontal de 15m. Logo 15 – 7 = 8 e portanto ;D é a resposta certa.

33(D) A área de uma seção do tubo R². o nº de tubos de 1cm de raio que produzem igual área é de 6² / 1² = 36, ou seja, o tubo de 36cm de diâmetro oferece igual vazão que 36 tubos de 1cm de diâmetro.

34(D) Como C = 2r; sendo r2 o raio original e r1 o raio final temos:25 – 20 = 2r1 - 2r2 = 2( r1 – r2) r1 – r2 = 5/2 cm.

35(B) Para todo triângulo retângulo vale: a – r + b – r = c, onde r é o raio do círculo inscrito. 2r = a + b – c = 24 + 10 – 26 = 8 r = 4.

36(A) Seja: C = o custo cobrado pelo mercador; P= o preço de venda do produto; M= o preço marcado; V= o preço de venda e L = o lucro. Então:C = P - ¼ P = ¾ P ; V = M – 1/5 M = 4/5 M .Como V (Pr. de venda) = C (Pr.de compra)+L(lucro), temos: 4/5 M = ¾ P + ¼ . 4/5 M M = 5/3 . ¾ P = 5/4 P.

37(E) Examinando-se os gráficos de y = loga x, com a > 1 ou a igualdade x = ay, observa-se que (A), (B), (C) e (D) são corretas.

38(B) 2x 1 = 2x. x – 1.x = 3 2x² - x – 3 = 0 x x x1 = 1 e x2 = 3/2.

39(A) A seqüência dada é uma PG infinita de razão q = ½ < 1. Portanto, se a é o seu primeiro termo e S a

sua soma, temos: S = a = 2 = 4.

1 – q 1 – ½Logo (4) e (5) são corretas.

40(D) Temos que: x² - 1 = (x + 1)((x – 1) = x + 1, desde que x 1. x – 1Portanto o limite para x → 1 é 2 e a resposta correta é (D). Obs.: esta questão é considerada fora do escopo da competição.

41(D)

O gráfico da função y = ax² +bx + c. a0, é uma parábola com seu eixo de simetria (a reta que passa por MV) paralelo ao eixo y. Nós estamos procurando as coordenadas do ponto V. Seja y = k uma reta qualquer, paralela ao eixo x, e cortando a parábola nos pontos P e Q. Então a abscissa do ponto M(ponto médio de PQ) é igual a de V. Uma vez que P e Q são as interseções da reta y = k com a parábola, as abscissas de P e Q devem satisfazer à equação:ax² + bx + c = k ou ax² + bx + c – K = 0. As raízes da equação são:

x1 = - b + √ b² - 4ac e x2 = -b - √ b² - 4ac 2.a 2.a

a abscissa de V; xv = x1 + x

2 = -b / 2a . 2e a ordenada de V; yv = a(-b/2.a)² +b(-b/2.a) + c == (- b²/4.a) + c = (4ac – b²) / 4.a = - ∆ / 4.a.Se a > 0 , s ordenada de V(yv) é o mínimo da função ax²+bx +c e se a < 0, ela é seu valor máximo. x...

42(D) Se xx = 2, então o expoente, que novamente é x...xx. é também 2. Logo x² = 2. Portanto x = √ 2.

43(E) Podemos rearranjar os termos do seguinte modo:

s1 = 1 / 7 + 1 / 7² + ... = 1 / 7 = 7 / 48 1 – (1/7²)

s2 = 2 / 7² + 2 /74 + ... = 2 / 7 ² = 2 / 48 1 – (2 /7²) s = s1 + s2 = 3 / 16.

5

pa pb P pc

44(C ) Examinando y = logb x ou, equivalente, x = by, vemos que y = 0 para x = 1. Logo o gráfico da função corta o eixo dos x em x = 1.

45(A) d = n( n – 3 ) = 100 . 97 = 4850 .2 2

46(E) No novo triângulo, AB = AC + BC, isto é, C está na reta AB. Logo, a altura e consequentemente a área valem zero.

47(C ) Usando semelhança de triângulos, teremos:( h – x ) = 2x x = b.h

h b (2h + b )

48(C) Seja P um ponto arbitrário no triângulo eqüilátero ABC com lados de comprimento s, e chamando as perpendiculares de p a , p b e p c teremos: Área ∆ ABC = área ∆APB + área ∆BPC+ área ∆CPA = ½ ( s.pa + s.pb + s.pc ) = ½ s.( pa + pb + pc).Mas vale também que a área ∆ ABC = ½ s.h onde h é a altura do ∆ ABC. Portanto, h = pa + pb + pc, o que significa que a soma dessas 3 parcelas independem do ponto P escolhido. A

B C s

49(D) A abordagem mais simples para este problema deve set através das coordenadas geométricas. Seja o triângulo A(0,0); B(2,0) e C(x,y). Então A1, ponto médio de BC, tem coordenadas [((x+2)/2, y/2)]. Logo usando a fórmula da distância, temos: √ [ (( x + 2)/2 )² + ( y/2) ² = 3 / 2 ou

x + 2 2 + y 2 = 9 / 4 ou ( x + 2 )² + y² = 9. 2 2Esta equação representa um círculo de raio 3m e centro a 4m de B na reta BA.

50( A) Após duas horas de perseguição, ou seja, às 13h e 45 min, a distância entre os barcos deverá ser de 4 km. Seja t o tempo (em horas) necessário para que o barco de vigilância alcance o barco infrator. A distância que o infrator percorrerá até esse instante será D (km) e o barco vigilante, D + 4. Sendo V1 a velocidade do barco que foge e V2 a do que persegue, teremos:v1 . t = D e V2 . t = D + 4 15 . t = D e 17 . t = D + 4.Tirando o valor de t na 1ª equação e substituindo na 2ª,temos: 17 . D / 15 = D + 4 17D = !5D + 60 D = 30.Então: t = D / 15 = 2hou seja, duas horas após 13:45, logo, às 15h e 45 min.

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