Resenha Modelos Lineares Generalizadosgiapaula/slides_resenha_mlgs.pdf · O objetivo desta palestra inaugural é fazer uma resenha dos Modelos Lineares Generalizados (MLGs) criados

Resenha Modelos Lineares Generalizados

Gilberto A. Paula

Departamento de EstatísticaIME-USP, Brasil

[email protected]

2o Semestre 2014

G. A. Paula (IME-USP) Resenha MLGs 2o Semestre 2014 1 / 75

Introdução

Sumário

1 Introdução

2 Exemplos MLGs

3 Um Exemplo Simples

4 Contribuições dos MLGs

5 Equações de Estimação Generalizadas

6 Modelos Aditivos Generalizados

7 Modelos Não Lineares

8 Modelos Lineares Generalizados Duplos

9 Modelos Lineares Generalizados Mistos

10 Aplicativos

11 Considerações Finais

12 Referências


Introdução

Introdução

Objetivos

O objetivo desta palestra inaugural é fazer uma resenha dos ModelosLineares Generalizados (MLGs) criados há 42 anos por Nelder eWedderburn (1972).Após uma breve introdução dos MLGs apresentaremos em ordemcronológica algumas das principais classes de modelos de regressãoque foram motivadas pelos MLGs. Algumas dessas classes serãoestudadas na disciplina Modelos Lineares Generalizados. Exemplosilustrativos são também apresentados ao longo do texto.


Introdução

Introdução

Antes dos MLGs

Os MLGs foram criados com o objetivo de reunir numa mesma famíliavários modelos estatísticos que eram tratados separadamente.Em geral, nas análises de regressão, procurava-se algum tipo detransformação que levasse à normalidade, tais como a transformaçãode Box-Cox (1964) dada abaixo

z =

{

yλ−1λ

se λ 6= 0logy se λ = 0,

em que y > 0 e λ é uma constante desconhecida.


Exemplos MLGs

Sumário

1 Introdução

2 Exemplos MLGs








10 Aplicativos


12 Referências


Exemplos MLGs

Exemplos MLGs

Modelo Logístico Linear

(i) yiind∼ Be(µi) (i = 1, . . . , n),

(ii) µi =exp(ηi )

1+exp(ηi ), ηi = x⊤

i β,

em que (0 < µi < 1).


Exemplos MLGs

Exemplos MLGs

Modelo Logístico Linear

(i) yiind∼ Be(µi) (i = 1, . . . , n),

(ii) µi =exp(ηi )

1+exp(ηi ), ηi = x⊤

i β,

em que (0 < µi < 1).

Modelo Recíproco Gama

(i) yiind∼ G(µi , φ) (i = 1, . . . , n),

(ii) µi = η−1i , ηi = x⊤

i β,

em que (µi > 0) e (yi > 0).


Exemplos MLGs

Exemplos MLGs

Modelo Log-Linear de Poisson

(i) yiind∼ P(µi) (i = 1, . . . , n),

(ii) µi = exp(ηi), ηi = x⊤i β,

em que (yi = 0, 1, 2, . . .), (µi > 0) e (Var(yi) = µi).


Exemplos MLGs

Exemplos MLGs

Modelo Log-Linear de Poisson

(i) yiind∼ P(µi) (i = 1, . . . , n),


em que (yi = 0, 1, 2, . . .), (µi > 0) e (Var(yi) = µi).

Modelo Log-Linear Binomial Negativo

(i) yiind∼ BN(µi , φ) (i = 1, . . . , n),


em que (yi = 0, 1, 2, . . .), (µi > 0) e (Var(yi) = µi +µ2

iφ).


Um Exemplo Simples

Sumário

1 Introdução

2 Exemplos MLGs








10 Aplicativos


12 Referências


Um Exemplo Simples

Um Exemplo Simples

Exposição de Bactérias

Vamos considerar um exemplo em que modelos de regressão normallinear são comparados com um modelo log-linear de Poisson paraajustar dados de contagem.

resposta: número de bactérias sobreviventes em amostras de umproduto elimentício exposto a uma temperatura de 300oF.

variável explicativa: tempo de exposição do produto (em minutos).

(Montgomery, Peck e Vining, 2001) (Paula, 2013a).


Um Exemplo Simples

Um Exemplo Simples

Descrição dos Dados

Bactérias 175 108 95 82 71 50Exposição 1 2 3 4 5 6Bactérias 49 31 28 17 16 11Exposição 7 8 9 10 11 12


Um Exemplo Simples

Um Exemplo Simples

Descrição dos Dados

Bactérias 175 108 95 82 71 50Exposição 1 2 3 4 5 6Bactérias 49 31 28 17 16 11Exposição 7 8 9 10 11 12

Gráfico de Dispersão

Tempo de Exposicao

Num

ero

de B

acte

rias

2 4 6 8 10 12

5010

015

0


Um Exemplo Simples

Um Exemplo Simples

Ajuste Modelos Normais

Com base na aproximação da Poisson pela normal vamos proporinicialmente os seguintes modelos:

√yi = α+ βtempoi + ǫi

e √yi = α+ βtempoi + γtempo2

i + ǫi ,

em que ǫiind∼ N(0, σ2).


Um Exemplo Simples

Resíduos Modelos Normais

Percentil da N(0,1)

Res

iduo

Stu

dent

izad

o

-1 0 1

-20

24

6

(Linear)Percentil da N(0,1)

Res

iduo

Stu

dent

izad

o-1 0 1

-20

24

(Quadratico)


Um Exemplo Simples

Um Exemplo Simples

Modelo Log-linear de Poisson

Vamos supor agora o seguinte modelo log-linear de Poisson:

logµi = α+ βtempoi ,

em que yiind∼ P(µi). As estimativas desse modelo são apresentadas na

tabela abaixo.

Parâmetro Estimativa E/E.Padrãoα 5,30 88,34β -0,23 -23,00

Desvio 8,42 (10 g.l.)


Um Exemplo Simples

Resíduos Modelo Log-Linear de Poisson

Percentil da N(0,1)

Com

pone

nte

do D

esvi

o

-1 0 1

-2-1

01

23


Um Exemplo Simples

Um Exemplo Simples

Interpretação Modelo de Poisson

O modelo ajustado fica então dado por

µ̂(x) = e5,30−0,23x ,

em que x denota o tempo de exposição.Logo, se diminuirmos de uma unidade o tempo de exposição avariação no valor esperado fica dada por

µ̂(x − 1)µ̂(x)

= e0,23 = 1, 259.

Ou seja, o número esperado de sobreviventes aumentaaproximadamente 25,9%.


Um Exemplo Simples

Curva Ajustada Modelo Log-Linear de Poisson

Tempo de Exposicao

Nu

me

ro d

e B

acte

ria

s

2 4 6 8 10 12

50

10

01

50


Contribuições dos MLGs

Sumário

1 Introdução

2 Exemplos MLGs








10 Aplicativos


12 Referências



Constribuições dos MLGs

Algumas Contribuições

Ligação entre a média e o preditor linear: µi = g−1(ηi). Para cadadistribuição da família exponencial novos modelos podem sergerados variando-se a função de ligação g(·).Função desvio: D(y; µ̂) = 2{L(y, y)− L(µ̂, y)} =

∑ni=1 d2(yi , µ̂i).

É uma distância entre as (log) verossimilhanças do modelosaturado e do modelo postulado. Para alguns modelos adistribuição do desvio é uma qui-quadrado facilitando avaliar aqualidade do ajuste.

Resíduo componente do desvio: tDi = ±√

d2(yi , µ̂i). Esse resíduoé muito utilizado para detectar pontos aberrantes e para avaliar aadequação da distribuição assumida para a resposta.




Algumas Contribuições

Função de variância: V (µ). Caracteriza a distribuição da famíliaexponencial. Ou seja, para cada V (µ) existe apenas umadistribuição na família exponencial e vice-versa. Além disso,quando φ → ∞ tem-se que

√φ(Y − µ) →d N(0,V (µ))

(Jørgensen, 1987).

Processo iterativo na forma de mínimos quadrados reponderados.A estimativa de máxima verossimilhança β̂ pode ser obtidaatravés do seguinte processo iterativo:

β(m+1) = (X⊤W(m)X)−1X⊤W(m)z(m),

para m = 0, 1, . . . , X é a matriz modelo, W é a matriz de pesos e za variável dependende modificada. Esse processo iterativo éinicializado nos próprios valores observados e em geral convergeem um número finito de passos.



Modelos de Quase-Verosimilhança

Definição

Os modelos de quase-verossimilhança podem ser definidos daseguinte maneira:

(i) yiind∼ QV(µi , σ

2) (i = 1, . . . , n),E(yi) = µi e Var(yi) = σ2V (µi),

(ii) µi = g−1(ηi), ηi = x⊤i β,

em que g(·) função de ligação e σ2 > 0 é o parâmetro de dispersão. Oparâmetro β do preditor linear pode ser estimado através de umprocesso iterativo de mínimos quadrados reponderados similar aosMLGs.



Aplicação

Descrição

Seja yij a proporção da área afetada da folha da cevada da variedade jno local i (i = 1, . . . , 9 e j = 1, . . . , 10) (McCullagh e Nelder, 1989,Tabela 9.2). Como 0 ≤ yij ≤ 1 propomos o seguinte modelo de QV:

(i) yijind∼ QV(µij , σ

2) (0 < µij < 1),E(yij) = µij e Var(yij) = σ2V (µij),

(ii) µij =exp(ηij )

1+exp(ηij ), ηij = α+ βi + γj .

Vamos comparar os ajustes com V (µij) = µij(1 − µij) eV (µij) = µ2

ij (1 − µij)2.



Diagnóstico V (µij) = µij(1 − µij)

0 20 40 60 80

0.0

0.5

1.0

1.5

Índice

Dis

tânc

ia d

e C

ook

38

65

−8 −6 −4 −2 0 2

−3−2

−10

12

3

Preditor Linear

Res

íduo

de

Pear

son



Diagnóstico V (µij) = µ2ij (1 − µij)

2

0 20 40 60 80

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Índice

Dis

tânc

ia d

e C

ook

24

52

65

76

−8 −6 −4 −2 0 2

−3−2

−10

12

3

Preditor Linear

Res

íduo

de

Pear

son


Equações de Estimação Generalizadas

Sumário

1 Introdução

2 Exemplos MLGs








10 Aplicativos


12 Referências




Definição

Liang e Zeger (1986) propuseram as Equações de EstimaçãoGeneralizadas (EEGs) que são uma extensão dos modelos de QVpara dados correlacionados. Supondo que y i = (yi1, . . . , yini )

⊤

correspondem às ni respostas do i-ésimo indivíduo (ou grupo) asEEGs saem do seguinte modelo de QV:

(i) yij ∼ QV(µij , σ2) (i = 1, . . . , n), (j = 1, . . . , ni),

E(yij) = µij e Var(yij) = σ2V (µij),

(ii) µij = g−1(ηij), ηij = x⊤ij β,

(iii) corr(Yi) = Ri(ρ), em que ρ = (ρ1, . . . , ρq)⊤.

Ri(ρ): matriz trabalho.



Aplicação

Descrição

Considere os dados abaixo descritos em Myers, Montgomery e Vining(2002), em que pacientes com problemas respiratórios receberamdois tratamentos.

Visita 1 Visita 2 Visita 3 Visita 4Droga Ativa 22/27 13/27 5/27 1/27Placebo 20/29 18/29 21/29 15/29

Os pacientes foram aleatorizados da seguinte maneira:27 receberam uma droga ativa e 29 receberam placebo. Cadapaciente foi observado em quatro ocasiões em que mediu-se acondição respiratória (boa ou ruim).



Aplicação

Modelo Proposto

Variáveis observadas para cada paciente: Trat (=0 droga ativa, =1placebo), Idade (em anos), Gênero (=0 feminino, =1 masculino) eBase (=0 ausência, =1 presença).Seja yij a condição respiratória (=1 ruim, =0 boa) do i-ésimo pacientena j-ésima ocasião, i = 1, . . . , 56 e j = 1, 2, 3, 4. Propomos o seguintemodelo de QV:

(i) yij ∼ Be(µi) (0 < µi < 1),

(ii) µi =exp(ηi )

1+exp(ηi ), em que

ηi = α+ β1Idadei + β2Trati + β3Generoi + β4Basei ,

(iii) corr(yij , yij ′) = ρ|j−j ′| para j 6= j ′ (AR(1)),

estrutura de correlação autoregressiva de 1a ordem.



Aplicação

Resultados

Estimativas dos ajustes através de modelos logísticos supondoindependência e estrutura de correlação AR(1).

Correlação AR(1) IndependênciaEfeito Estimativa z-robusto Estimativa z-robustoIntercepto -0,377 -0,386 -0,404 -0,474Idade 0,043 3,380 0,048 3,443Placebo 1,001 3,066 1,070 3,425Gênero -2,003 -2,988 -2,178 -3,162Base 0,492 0,586 0,498 0,977ρ 0,275 0,00



Resíduos Modelo Logístico

−3 −2 −1 0 1 2 3

−6−4

−20

2

Percentil da N(0,1)

Res

íduo

de

Pear

son



Distância de Cook Modelo Logístico

0 10 20 30 40 50

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Unidade Experimental

Dis

tânc

ia d

e C

ook

(18,4)

(28,4)

(53,4)


Modelos Aditivos Generalizados

Sumário

1 Introdução

2 Exemplos MLGs








10 Aplicativos


12 Referências




Definição

Hastie e Tibshirane (1990) propuseram substituir o preditor linear dosMLGs por um preditor aditivo formado por funções não paramétricasf1(x1), . . . , fp(xp) dos valores x1, . . . , xp de variáveis explicativas (porexemplo splines cúbicos).Essa nova classe de modelos de regressão é definida por:

(i) yiind∼ FE(µi , φ), (i = 1, . . . , n),

(ii) µi = g−1(ηi),

em que ηi = α+ f1(x1i) + · · ·+ fp(xpi).



B-Splines

Definição

As funções f (x) em geral assumem a forma f (x) =∑r

ℓ=1 bℓ(x)γℓ, emque b1(x), . . . , br (x) é a base que depende dos valores de x eγ1, . . . , γr são parâmetros a serem estimados. O logaritmo da funçãode verossimilhança penalizada assume a forma

Lp(θ) = L(θ)− 12

p∑

j=1

λj f⊤j Sj f j ,

em que θ = (α, f⊤1 , . . . , f⊤p )

⊤, f j = (fj(x0j1), . . . , fj(x

0jrj))⊤, Sj é uma matriz

rj × rj que depende dos valores distintos x0j1 < . . . < x0

jrje λj são os

parâmetros de suavização.



Aplicação

Descrição

Considere os dados apresentados em Neter et al. (1996) sobre o perfildos clientes de uma determinada loja oriundos de 110 áreas de umacidade. O objetivo do estudo é relacionar o número de clientes emcada área (Nclientes) com as seguintes variáveis explicativas em cadaárea: número de domicílios (em mil) (Domic), renda média anual (emmil USD) (Renda), idade média dos domicílios (em anos) (Idade),distância ao concorrente mais próximo (em milhas) (Dist1) e distânciaà loja (em milhas) (Dist2).



Diagramas de Dispersão

Renda

Clie

nte

s

20000 60000 100000

05

10

20

30

Idade

Clie

nte

s

0 10 20 30 40 50 60

05

10

20

30

Dist1

Clie

nte

s

1 2 3 4 5 6

05

10

20

30

Dist2

Clie

nte

s

2 4 6 8 10

05

10

20

30



Aplicação


Supor o seguinte MLG:

(i) Nclientesiind∼ P(µi), (i = 1, . . . , 110),

(ii) logµi =α+ β1Domici + β2Rendai + β3Idadei + β4Dist1i + β5Dist2i .



Aplicação


Supor o seguinte MLG:


(ii) logµi =α+ β1Domici + β2Rendai + β3Idadei + β4Dist1i + β5Dist2i .

Estimativas

Efeito Parâmetro Estimativa E/E.PadrãoConstante α 2,942 14,21Domicílio β1 0,606 4,27Renda β2 -0,012 -5,54Idade β3 -0,004 -2,09Dist1 β4 0,168 6,54Dist2 β5 -0,129 -7,95



Resíduos Modelo Log-linear de Poisson

Percentil da N(0,1)

Com

pone

nte

do D

esvi

o

-2 -1 0 1 2

-20

2



Aplicação

Modelo Aditivo de Poisson

Supor o seguinte modelo aditivo:


(ii) logµi = α+ f1(Domici) + f2(Rendai) + f3(Idadei)+f4(Dist1i) + f5(Dist2i),

em que f1(x), . . . , f5(x) são splines cúbicos.



Ajustes Modelo Aditivo de Poisson

20000 40000 60000 80000 120000

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

renda

s(re

nda,

1)

0 10 20 30 40 50 60

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

idade

s(id

ade,

1)

1 2 3 4 5 6

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

dist1

s(di

st1,

3.12

)

2 4 6 8 10

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

dist2

s(di

st2,

1)



Comparação de Ajustes

5 10 15 20 25 30 35

510

1520

2530

Predito ajuste GLM

Pre

dito

aju

ste

GA

M


Modelos Não Lineares

Sumário

1 Introdução

2 Exemplos MLGs








10 Aplicativos


12 Referências




Definição

Cordeiro e Paula (1989) propuseram os Modelos Não Lineares deFamília Exponencial, em que o preditor linear dos MLGs é substituídopor um preditor não linear. Wei (1998) agregou novos resultados aesta classe que é definida por:

(i) yiind∼ FE(µi , φ), (i = 1, . . . , n),

(ii) µi = g−1(ηi),

em que ηi = f (x i ;β) com f (x i ;β) sendo uma função não linear em β.



Exemplo

Mistura de Drogas

Modelo proposto por Finney (1978) para avaliar a mistura de duasdrogas A e B:

(i) yiind∼ FE(µi , φ), (i = 1, . . . , n),

(ii) g(µi) = α+ δlog{x1i + ρx2i + k√ρx1ix2i},

em que Y é a resposta, x1 e x2 representam as log-doses das drogasA e B, respectivamente, δ é a inclinação comum na relação log-dose eresposta, ρ é a potência da droga B em relação à doga A e krepresenta a interação entre as duas drogas (k = 0 ausência deinteração, k > 0 sinergismo e k < 0 antagonismo).



Aplicação

Descrição

Diagrama de dispersão entre o peso das lentes dos olhos (em mg) e aidade (em dias) de um tipo de coelho europeu largamente encontradona população selvagem da Austrália (Ratkowsky, 1983).

0 200 400 600 800

5010

015

020

025

0

Idade do coelho(em dias)

Pes

o da

s le

ntes

dos

olh

os d

o co

elho

(em

mg)



Aplicação

Modelo Proposto

Wei (1998) e Possamai (2009) propuseram o seguinte modelo nãolinear para explicar o peso médio das lentes dos olhos dos coelhos emfunção da idade:

(i) yiind∼ NI(µi , φ), (i = 1, . . . , 76),

(ii) µi = αexp{

− βxi+γ

}

ou logµi = µ− βxi+γ

,

em que Yi e xi denotam, respectivamente, o peso das lentes dosolhos e a idade do i-ésimo coelho, α é a assíntota ou o valor máximoesperado para o peso das lentes dos coelhos, β está relacionado como aumento do peso das lentes dado a idade e γ é um tipo de correçãopara a idade do coelho. Note que Var(yi) = φ−1µ3

i .



Aplicação

Estimativas Modelo Não Linear

Efeito Estimativa E/E.Padrãoµ 5,63 224,96β 128,53 21,09γ 36,78 16,65

Daí podemos estimar a assíntota (tamanho máximo esperado para opeso das lentes) como sendo α̂ = 278, 66(0, 067).



Curva Ajustada

0 200 400 600 800

5010

015

020

025

0

Idade do coelho(em dias)

Pes

o da

s le

ntes

dos

olh

os d

o co

elho

(em

mg)


Modelos Lineares Generalizados Duplos

Sumário

1 Introdução

2 Exemplos MLGs








10 Aplicativos


12 Referências



MLGs Duplos

Definição

Smyth (1989) introduziu os modelos lineares generalizados duploscom modelagem conjunta da média e do parâmetro de precisão (φ) oudispersão (φ−1), os quais são definidos por:

(i) yiind∼ FE(µi , φi), (i = 1, . . . , n),

(ii) µi = g−1(ηi), ηi = x⊤i β,

(iii) φi = h−1(λi), λi = z⊤i γ,

em que x i = (xi1, . . . , xip)⊤ e zi = (zi1, . . . , ziq)

⊤ contêm valores devariáveis explicativas e β = (β1, . . . , βp)

⊤ e γ = (γ1, . . . , γq)⊤ são

parâmetros a serem estimados.



Aplicação

Descrição

Vamos considerar um estudo desenvolvido na Faculdade de SaúdePública da USP em que 4 formas diferentes de um novo tipo de snackcom baixo teor de gordura saturada e de ácidos graxos (denotadospor B, C, D e E) foram comparados ao longo de 20 semanas com umtipo padrão (denotado por A). Neste novo produto optou-se porsubstituir, totalmente ou parcialmente, o agente responsável pelafixação do aroma do produto, a gordura vegetal hidrogenada por óleode canola. Uma das variáveis de interesse é o comportamento datextura dos produtos através da força necessária para o cisalhamento(Paula, Moura e Yamaguchi, 2004; Paula, 2013b).



Força de Cisalhamento pela Semana

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

4060

8010

012

0

Semanas

Cis

alha

men

to



Força de Cisalhamento segundo o Grupo

A B C D E

4060

8010

012

0

Grupo

Cis

alha

men

to



Tendências

5 10 15 20

4550

5560

6570

Semanas

Cis

alha

men

to M

edio

5 10 15 20

2025

30

Semanas

CV

Cis

alha

men

to



Aplicação

Modelo Proposto

Com base nas tendências para a média da força de cisalhamento epara o coeficiente de variação da força de cisalhamento, vamos proporo seguinte modelo:

(i) yijind∼ G(µij , φij),

(ii) µij = β0 + βi + β6semanaj + β7semana2j ,

(iii) log(φij) = γ0 + γi + γ6semanaj + γ7semana2j ,

em que Yijk denota a força de cisalhamento referente à k -ésimaréplica do i-ésimo grupo na j-ésima semana, β1 = 0 e γ1 = 0.



Aplicação

Estimativas Modelo Gama Duplo

Média PrecisãoEfeito Estimativa E/E.Padrão Estimativa E/E.PadrãoConstante 36,990 11,53 1,560 7,27Grupo B -10,783 -6,40 0,468 2,95Grupo C -3,487 -1,98 0,050 0,31Grupo D -14,829 -9,18 0,815 5,05Grupo E -15,198 -9,54 0,817 5,06Semana 5,198 9,88 0,155 3,91Semana2 -0,189 -8,88 -0,005 -2,99



Resíduos para Média Modelo Gama Duplo

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4−2

02

Percentil da N(0,1)

Com

pone

nte

do D

esvi

o



Resíduos para Precisão Modelo Gama Duplo

−3 −2 −1 0 1 2 3

−6−4

−20

24

Percentil da N(0,1)

Com

pone

nte

do D

esvi

o


Modelos Lineares Generalizados Mistos

Sumário

1 Introdução

2 Exemplos MLGs








10 Aplicativos


12 Referências



MLGs Mistos

Definição

Breslow e Clayton (1993) propuseram os Modelos LinearesGeneralizados Mistos (MLGs Mistos) em que o preditor linear éformado por um componente fixo (paramétrico) e um componentealeatório (efeitos aleatórios). Supondo que y i = (yi1, . . . , yini )

T

correspondem às ni respostas do i-ésimo indivíduo os MLGs Mistossão definidas por:

(i) yij |b iind∼ FE(µij , φ), (i = 1, . . . , n), (j = 1, . . . , ni),

(ii) µij = g−1(ηij), ηij = x⊤ij β + z⊤ij b i ,

(iii) b iiid∼ Nq(0,D).

em que x i = (xi1, . . . , xip)⊤ e zi = (zi1, . . . , ziq)

⊤ contêm valores devariáveis explicativas, β = (β1, . . . , βp)

⊤ e b i = (bi1, . . . , biq)⊤ são os

efeitos aleatórios.



Modelo Marginal

Descrição

Sejam fij(yij |b i ,β, φ) e f (b i |D) as f.d.p.’s de yij |b i e b i , respectivamente.Então, a f.d.p. marginal de y = (y1, . . . , yn)

T , em quey i = (yi1, . . . , yimi )

T , fica dada por (McCullogh e Searle, 2001)

f (y|β, φ,D) = Πni=1

∫

IRq{Πmi

j=1fij(yij |b i ,β, φ)}f (bi |D)db i .

O logaritmo da função de verossimilhança marginal fica dado por

L(β, φ,D) =n

∑

i=1

log∫

IRq{Πmi

j=1fij(yij |b i ,β, φ)}f (bi |D)db i .



Aplicação

Descrição

Hadgu e Koch(1999) discutem os resultados de um ensaio clínico com109 adultos voluntários com pré-existência de placa dentária. Nesseestudo os indivíduos foram distribuídos de forma aleatória parareceberem um líquido tipo A (34 indivíduos), um líquido tipo B (36indivíduos) e placebo (39 indivíduos). As placas dentárias de cadaindivíduo foram avaliadas e classificadas segundo um escore no iníciodo tratamento, após 3 meses e após 6 meses.



Perfis Placas Dentárias

Período

Esco

re

0.00.51.01.52.02.53.03.5

0.00.51.01.52.02.53.03.5

0.00.51.01.52.02.53.03.5

Placebo

RINSE A

RINSE B

Início Após 3 meses Após 6 meses



Distribuição Inicial Placas Dentárias

2.0 2.5 3.0 3.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Placa

Den

sida

de



Aplicação

Modelo Gama de Intercepto aleatório

Seja yijk o escore do k -ésimo indivíduo do i-ésimo grupo (placebo,líquido A, líquido B) e j-ésimo período (início do tratamento, após 3meses, após 6 meses), i , j = 1, 2, 3, k = 1, . . . , nij com n1j = 39,n2j = 34 e n3j = 36. Vamos propor o seguinte modelo de interceptoaleatório:

(i) yijk |bkind∼ G(µijk , φ),

(ii) logµijk = ηijk , ηijk = α+ bk + βi + γj + δij ,

(iii) bkiid∼ N(0, σ2

e),

em que bk denota efeito aleatório de indivíduo, βi , γj e δij denotam,respectivamente, os efeitos de líquido, tempo e interação, com β1 = 0,γ1 = 0, δ1j = 0 e δi1 = 0.



Aplicação

Estimativas Modelo Gama de Intercepto Aleatório

Efeito Parâmetro Estimativa E/E.PadrãoConstante α 0,938 13,95Líquido A β2 0,020 0,21Líquido B β3 -0,026 -0,27Tempo(3M) γ2 -0,409 -5,41Tempo(6M) γ3 -0,424 -5,46A*Tempo(3M) δ22 -0,376 -3,39A*Tempo(6M) δ23 -0,319 -2,93B*Tempo(3M) δ32 -0,419 -3,72B*Tempo(6M) δ33 -0,498 -4,51Efeito aleatório σ2

e 0,064


Aplicativos

Sumário

1 Introdução

2 Exemplos MLGs








10 Aplicativos


12 Referências


Aplicativos

Aplicativos

Detalhes

O primeiro aplicativo desenvolvido para o ajuste de MLGs GLIM estádesativado. Aplicativos com MLGs e extensões:

S-Plus (http://www.insightful.com)

R (http://www.r-project.org)

SAS (http://www.sas.com)

STATA (http://www.stata.com)

MATLAB (http://www.mathworks.com)

SUDAAN (http://www.rti.org/sudaan)


Considerações Finais

Sumário

1 Introdução

2 Exemplos MLGs








10 Aplicativos


12 Referências




Conclusões

Os MLGs trouxeram uma nova notação para a área de Modelos deRegressão e nesses 42 anos receberam várias extensões commodificações na parte aleatória, na estrutura de correlação e nocomponente sistemático com a inclusão, por exemplo, decomponentes não paramétricos, componentes não lineares ecomponentes aleatórios.Todavia, os MLGs na sua forma original continuam sendo aplicadosnum grande número de problemas práticos com excelentes resultados.


Referências

Sumário

1 Introdução

2 Exemplos MLGs








10 Aplicativos


12 Referências


Referências

Referências

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McCullagh, P. e Nelder, J. A. (1989). Generalized Linear Models,2nd. Edition. Chapman and Hall, London.

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Documents

Resenha Modelos Lineares Generalizadosgiapaula/slides_resenha_mlgs.pdf · O objetivo desta palestra inaugural é fazer uma resenha dos Modelos Lineares Generalizados (MLGs) criados