2.6 – RESERVATÓRIOS DE PAREDE FINA SOB PRESSÃO

O cálculo de tensões normais em vasos de parede fina que armazenam ou transportam fluidos sob pressão é de simples realização, desde que se possa admitir simetria circunferencial para a atuação da pressão (caso de gases e caso de líquidos em reservatórios cilíndricos com eixo na posição vertical) como também uma distribuição uniforme dessas tensões ao longo da pequena extensão da parede do reservatório (menor que 10% do raio de curvatura da casca).

Analisando o equilíbrio dos esforços atuantes nos elementos indicados na Fig. 32 podemos determinar os valores das componentes de tensão normal (circunferencial e longitudinal), para o caso mais comum de um reservatório cilíndrico de raio R e parede de espessura e (menor que R/10).

O equilíbrio das forças atuantes no corpo livre representado na Fig. 32(a) (metade do cilindro, secionado por um plano longitudinal, com extensão L, incluindo o fluido em seu interior) permite escrever:

p x (2R x L) = 2c x e x L >>>>>>> c = pR/e

ou seja, .............................................................................................(2.3)

1

c

c

c

cL

L

L

L

LP

P

P

fluido

c cP

L

R

Fig. 32 – Tensões Circunferencial e Longitudinal em reservatórios cilíndricos de parede fina sob pressão p (pressão manométrica – diferença entre a pressão absoluta do fluido pabs e a pressão do meio externo patm).

c

(a)

(b)

e

c = pd/2e

fluido

O equilíbrio das forças atuantes no corpo livre representado na Fig. 32(b) (parte do tubo, fechado na outra extremidade e secionado por um plano transversal, incluindo o fluido) permite escrever:

P x R2 = L x 2R x e (já que e << R) e então L = pR/2e

ou seja, ............................................................................................... (2.4)

Para o caso de um reservatório esférico, a tensão circunferencial será a mesma em todas as direções e seu valor será igual àquele correspondente à tensão longitudinal presente em um reservatório cilíndrico de mesmo diâmetro e espessura de parede, sob a mesma pressão (a dedução seria idêntica, utilizando a Fig. 32 b). Esta é a razão de se utilizar reservatórios esféricos para gases em alta pressão, já que a tensão na casca será a metade daquela correspondente a um reservatório cilíndrico de mesmas proporções.

Exemplo 1 – O reservatório cilíndrico da Fig. 33, de tampas hemisféricas, com diâmetro interno D = 1,00m, comprimento L = 3,00m, é fabricado em chapa de aço (E = 200 GPa, = 0,300 e escoamento = 250 MPa), com espessura e = 2mm. Pede-se determinar:

a) a pressão admissível (em atmosferas) para o reservatório, supondo um coeficiente de segurança 2,5 para a tensão normal, com relação ao escoamento, e

b) os acréscimos do diâmetro D e da dimensão L, devido às deformações do reservatório.

NOTA – 1 atmosfera = 105 N/m2 = 100 kPa (~ 1,0 kgf/cm2 ~ 14,7 lbf/pol2 ~ 14,7 psi)

Solução - A maior tensão normal de tração na chapa do reservatório ocorrerá em seu corpo cilíndrico, na direção circunferencial e terá para valor admissível:

adm = esc / C.S. = 250 x 106 / 2,5 = 100MPa = pD/2e = p (1,0)/2(0,002 = 100x106 e

então, .............. p = 4 x 105 = 4 atmosferas (resposta a).

2

L = pd/4e

Pe

D

L

Quanto às deformações, verifica-se que a tensão circunferencial provocará um aumento do perímetro do recipiente (e, portanto, de seu diâmetro) que será, em parte, diminuído pelo efeito lateral (Poisson) decorrente do aumento da dimensão longitudinal L, em decorrência da tensão longitudinal.

As tensões circunferencial e longitudinal no corpo cilíndrico valerão:

c = pD/2e = 100MPa e L = pD/4e = 50 MPa

Portanto, à luz da Lei de Hooke Generalizada, podemos escrever:

c = (1/E) [ c - L ] = (1/200x109) [ 100 – 0,3 (50) ] x 106 = 0,425 x 10-3

D = c x D = 0,425 x 10-3 x (1,0 m) = 0,425 mm (resposta b).

L = (1/E) [ L - c ] = (1/200x109) [ 50 – 0,3 (100) ] x 106 = 0,100 x 10-3

L = L x L = 0,100 x 10-3 x (3,0 m) = 0,300 mm (resposta b).

OBS.: (o efeito da pressão, como uma terceira tensão 3 = -p, agindo na parede interna do duto, no sentido de diminuir a espessura, é desprezivel, como também sua influência na variação das outras dimensões).

3

150mm

150,3mm

3,0mm

Exemplo 2 - O eixo maciço de aço (Eaço = 210 GPa e aço = 12 x 10-6 °C-1), com diâmetro de 150,1 mm, vai ser encamisado por uma bronzina (Ebronze = 100 GPa e bronze = 17 x 10-6 °C-1 ) com diâmetro interno de 150,0mm e espessura 3,0 mm. Para a montagem é dado um acréscimo de temperatura T à camisa e, após o resfriamento do conjunto até a temperatura ambiente, a peça ficará montada com interferência. Pede-se determinar:a) o acréscimo T mínimo para permitir a

montagem;b) a tensão circunferencial despertada na camisa após restabelecido o equilíbrio térmico.

Solução – a) O aumento de diâmetro da luva, necessário para a montagem, será alcançado através de uma deformação circunferencial, aumentando o perímetro (d), pelo efeito da dilatação térmica.

Assim, d = do T, e portanto, T = d / do = 0,1 / 150 x 17 x 10-6 = 39,2ºC. (Resp. a)b) Ao ser resfriado o conjunto, retornando à temperatura ambiente, a luva ficará com uma tensão circunferencial c = pd / 2e = E c = 100 x 109 x (0,1)/(150) = p (150) / 2 x 3, de onde se tira:

p = 2.667 MPa. Portanto: c = 2,667 x 150 / 2 x 3 = 66,7 MPa (valor que, pela Tabela 1, corresponderia a um coeficiente de segurança igual a 2,1, com relação ao escoamento) (Resp. b) O efeito da pressão p sobre o eixo maciço provocaria uma diminuição em seu diâmetro, que não foi considerada nos cálculos, porque é desprezível em presença da interferência entre as dimensões. Realmente, 3 = (1/E)[(-p) - (-p)] = (1/E) (1 - )(-p) = (1/210x109)(1 – 0,3)(-2,667x106) =8,889 x 10-9, o que daria uma diminuição de diâmetro da ordem de 150 x 8,889 x 10-9 = 0,00133 mm.

O caso geral de reservatórios de parede fina, com dupla curvatura, satisfazendo às hipóteses simplificadoras de simetria circunferencial para a pressão e uniformidade na distribuição da tensão ao longo da espessura da parede, é tratado através da equação de Laplace:

..............................................................(2.5)

4

Fig. 33 – Cascas de parede fina com dupla curvatura. Equação de Laplace.

ds1 ds2

ds2

ds1

R2

R1 d

d

t

R1) + R2)= (p/e)

O equilíbrio de forças agindo no sentido da normal ao elemento da casca (ds1 x ds2) fornece:

p x ds1 x ds2 = 2( x ds2 x e) sen(d 2( x ds1 x e) sen(d

Como ds1 = R1 d e ds2 = R2 d; sen(d (d tem-se: p R1 R2 = R2 e + R1 e, que nos leva à (2.5)

O caso particular de uma casca esférica (R1 = R2 = R) nos permite obter o valor para a tensão circunferencial (uniforme para todas as direções) como sendo c = pR/2e. Já nos casos de cascas cilíndricas ou cônicas (onde R2 ), tem-se c

= pR/e. A outra componente da tensão será determinada analisando-se o equilíbrio de forças atuantes numa seção transversal do duto.

5

r

R

Exemplo 3 – Um recipiente em forma de um toróide (como uma câmara para pneu), com espessura e na parede e os raios R e r indicados na figura, é submetido a uma pressão interna p . Pede-se determinar o valor da maior tensão normal na parede do recipiente, indicando o ponto onde ela ocorre.Solução: Analisaremos os pontos A, B e C mostrados, através do equilíbrio de esforços atuantes nas partes do duto correspondentes, assinaladas nas figuras abaixo:

B

A

C

e

B B

A Ap p

p p

c c

c c

Para o PONTO A, o equilíbrio das forças verticais no corpo livre esquematizado fornece:c x 2 (R + r) e = p [(R + r)2 – R2 ]; portanto, c = (pr/2e)[(2R+r)/(R+r)].

Levando em (2.5), obtem-se L = pr/2e.Para o PONTO B, obtem-se, analogamente:c x 2 (R - r) e = p [(R)2 - (R - r)2]; portanto, c = (pr/2e)[(2R-r)/(R-r)].

Levando em (2.5), obtem-se, da mesma forma, L = pr/2e.Convém realçar que o valor da tensão longitudinal é o mesmo para todos os pontos da parede, conclusão a que se pode chegar analisando o equilíbrio de forças atuantes em um setor infinitesimal em qualquer posição no duto, escrevendo: L x e x r d p x ½ (r d) r L = pr/2e. No PONTO C, teremos, de (2.5): (c / r) + (L / ) = p/e

c = (pr/2e).Como para R>r, (2R-r)/(R-r) < (2R+r)/(R+r), conclui-se que B é o ponto crítico do toro, pela maior tensão circunferencial atuante:c = (pr/2e)[(2R-r)/(R-r)]. Note que, para R, c = (pr/e) e paraR r, c .

L

p

rd

6