Resistencia dos Materiais I - Caderno deConsultas

Instrucoes:

Resolva as questoes com clareza e ordem. A interpretacao dos enunciados faz parte da prova. Naosendo indicado o contrario, use aproximacoes de 4 algarismos significativos, considere os pesos propriosdesprezıveis e as deformacoes elasticas proporcionais. A seguir, as especificacoes de materiais a considerar:

Aco Alumınio Bronze MadeiraPeso Especıfico (N/m2) 77× 103 27× 103 88× 103 6× 103

Modulo de Elasticidade Longitudinal (MPa) 210× 103 70× 103 100× 103 10× 103

Modulo de Elasticidade Transversal (MPa) 84× 103 28× 103 42× 103 -Coeficiente de Dilatacao Termica (oC)−1 11, 7× 10−6 23, 2× 10−6 16, 9× 10−6 -

1 Unidades de Forca e Tensao

1.1 Sistema Internacional de Unidades (SI - MKS)

Forca: Newton (N), sendo usual o quilonewton (1 kN = 103 N)

Tensao: Pascal (Pa = 1 N/m2), sendo usual o Megapascal (1 MPa = 106 Pa = 1 N/mm2)

1.2 Sistema Tecnico (Mkfs)

Forca: quilograma Forca (kgf)

Tensao: kgf/m2 ou tf/cm2 ou kgf/mm2

1.3 Conversoes

1 kgf = 9,81 N ∼ 10 N

1 kgf/cm2 = 0,0981 MPa ∼ 0,1 MPa

1 N = 0,102 kgf ∼ 0,1 kgf

1 MPa = 10,2 kgf/cm2 ∼ 10 kgf/cm2

1

2 Tracao/Compressao Simples

Observacao: nao sendo indicado o contrario, admitir as deformacoes elasticas proporcionais (valida alei de Hooke)

• E = modulo de elasticidade longitudinal

• L = comprimento inicial da barra

• A (constante) ou Ax (variavel) = area da secao sransversal

• N (constante) ou Nx (variavel) = esforco normal

• σ (constante) ou σx (variavel) = tensao normal

• ε (constante) ou εx (variavel) = deformacao longitudinal especıfica

• ∆L = deformacao longitudinal (total) da barra

2.1 Barra prismatica com esforco normal constante:

σ = NA

ε = σE= N

E×A∆L = ε× L = σ×L

E= N×L

E×A

Figura 1: Barras submetidas a tracao e compresao simples

2.2 Barra de eixo reto e secao variavel, com esforco normal variavel:

Nx =∫ x0 qx dx+ F σx = Nx

Axεx = σx

E= Nx

E×Ax∆L =

∫ L0 εxdx =

∫ L0

Nx

E×Axdx

Figura 2: Barra com eixo e esforco normal variaveis

2

Observacoes:

• Se a carga axial distribuıda for o peso proprio, entao qx = γAx (γ e o peso especıfico):

Nx = F +∫ x0 γAxdx NB = F +

∫ L0 γAxdx = F +G

Onde:

∫ x0 γAxdx e o peso do corpo ate a secao S, e

∫ L0 γAxdx e o peso total (G) do corpo.

• No caso anterior se Ax = A (constante), entao q = γA (constante), assim temos que:

Nx = F + γAx σ = FA+ γx ( Variacoes lineares com maximo em x = L )

εx = FEA

+ γxE

−→ ∆L = FLEA

+ γL2

2E= (F+G/2)L

EA

2.3 Deformacoes transversal, superficial e volumetrica:

Sejam:

• a = uma dimensao da secao transversal

• A = area da secao transversal

• V = volume da barra

• εa, εA e εV as respecivas deformacoes especıficas

• ∆a, ∆A e ∆V as respectivas deformacoes totais

Entao:

εa = −νεx e ∆a = εaaεA = εy + εz e ∆A =

∫

A εAdAεV = εx + εy + εz e ∆V =

∫

V εV dV

Para Tracao e Compressao simples, segue:

εy = εz = −νεx ∆A = −2νεxA ∆V = 1−2νE

∫ L0 Nxdx

Observacao:

• Na analise dos efeitos da variacao de temperatura, a deformacao longitudinal (nao impedida) emum barra de comprimento L, secao constante ou variavel, devido a variacao de temperatura ∆T(◦C) e igual a: ∆L = αL∆T (α = coeficiente de dilatacao termica, (◦C)−1)

3 Cisalhamento em Secoes Isoladas

• Q = esforco cortante na secao

• A = area da secao transversal

• τ = tensao tangencial (de cisalhamento) media na secao: τ = Q/A

• G = modulo de elasticidade transversal: G = E/2(1 + ν)

• γ(rad) = distorcao angular (deformacao especıfica no cisalhameno puro): γ = τ/G

3

4 Torcao em eixos de secao circular anular

r e d = raio e diametro internos n = rR= d

D(n = 0 para secao circular)

R e D = raio de diametro externos

• momento polar de inercia: J0 =πD4

32 (1− n4)

• modulo de resistencia a torcao: W0 = J0/R

• tensao maxima: τmax =TW0

= 16TπD3(1−n4)

• tensao em uma fibra distante ρ unidades de comprimento do eixo: τ = τmaxρ/R

• angulo de torcao entre duas secoes distantes L unidades de comprimento entre si, sendo o momentotorsor T constante e sendo o modulo de elasticidade transversal G:

θ =TLGJ0

=τmaxLRG

Figura 3: Secao anelar submetida a torcao

5 Torcao em tubos de paredes finas

• T = momento torsor na secao

• Am = area delimitada pela linha media

• Lm = comprimento da linha media

• f = fluxo de cisalhamento (constante ao redor da secao)

• e = espessura (constante ou variavel ao redor da secao)

• τ = tensao de cisalhamento em um ponto

• J = constante de torcao

• θ = angulo de torcao para um comprimento L

• G = modulo de elasticidade transversal

f = T2Am

τ = fe= T

2eAm

θ = TLGJ

J = 4Am2

∫ LM

0

ds

e

4

Figura 4: Linha media de uma secao transversal de um tubo de paredes finas.

6 Torque aplicado a um eixo na transmissao de potencia

• Torque: T (Nm)

• Potencia: P (1W = 1N.m/s)

• Velocidade Angular: ω (rad/s) −→ T = P/ω

• Frequencia: f (Hertz: 1Hz = 2π rad/s) −→ T = P/2πf

• Frequencia: f (rpm: 1rpm = (2π/60) rad/s) −→ T = 60P/2πf

Potencia em cavalos-vapor: 1 cv = 736 W (Watts)

Potencia em cavalos-forca: 1 hp = 746 W (Watts)

7 Tensoes em Vigas

7.1 Tensoes normais devido ao momento fletor na flexao reta (pura ou

simples)

Eixos principais de inercia da secao:- eixo-y: eixo de solicitacao (ES), intersecao entre o plano de cargas e o plano da secao.- eixo-x: linha neutra (LN), intersecao da superfıcie neutra com o plano da secao.

Sejam:

• M = momento fletor na secao

• I = momento de inercia da secao em realacao a LN

• y = ordenada de uma cama de fibras paralelas a superfıcie neutra

• σ = tensao normal nas fibras dessa camada

Figura 5: Tensoes em fibras em funcao do momento

5

Entao:σ = M

Iy Variacao Linear conforme mostra o diagrama de tensoes a seguir, para M > 0

Figura 6: Diagrama de tensoes normais devido ao momento fletor M

• As tensoes maximas em valor absoluto, que ocorrem nos extremos da secao, sao :

σs =MWs

e σi =MWi

• Onde Ws e Wi sao os modulos de resistencia a flexao (elasticas e proporcional, isto e, tensoes edeformacoes proporcionais, obedecendo a lei de Hooke) e sao determinados por:

Ws =Ids

e Wi =Idi

7.2 Tensoes de Cisalhamento

Figura 7: Tensao de cisalhamento e momento estatico em uma superfıcie AB de uma secao S, qualquer.

• Q = esforco cortante na secao

• I = momento de inercia da secao, em relacao a LN

• t = largura da secao, constante ou variavel t = t(y)

• Ms = momento estatico (1o ordem), em relacao a LN e em valor absoluto, da area Ai (inferior acamada AB) ou da area As (superior a camada AB)

6

Na camada de fibras AB, paralela a LN, de ordenada y:

• Fluxo de Cisalhamento (forca de cisalhamento lingitudinal por unidade de comprimento): f = QMs

I

• Tensao de Cisalhamento (constante na largura da secao): τ = ft= QMs

It

• Ms = MAi= |MAs | (momento estatico: Ms =

∫

A ydA = Ay)

Obs.: Ms, f e τ sao funcoes de y (−ds ≤ y ≥ di), iguais a zero no topo e na base. Ms e f sao maximosna LN, enquanto que a posicao da camada de τmax depende de t(y).

8 Baricentros e Momentos de Inercia de Superfıcies Planas

Seja uma superfıcie S de Area A e baricentro (Centro de Gravidade) G(x,y), P(x,y) um ponto genericode S, e um elemento dA em torno de P:

• Momento Estatico (1o ordem) em relacao a um eixo (eixo-x ou eixo-y):

Mx =∫

S ydA = yA e My =∫

S xdA = xA

• Momento de Inercia (2o ordem) em relacao a um eixo (eixo-x ou eixo-y):

Ix =∫

S y2dA e Iy =

∫

S x2dA

• Momento Polar de Inercia em relacao a origem J0:

J0 =∫

S r2dA =

∫

S(x2 + y2)dA = Ix + Iy

• Teorema dos eixo paralelos:

J = JCG + d2A

9 Deformacoes em Vigas - Linha Elastica da Flexao

9.1 Equacao da linha elastica

• q = q(x) = ordenada de carga

• Q = Q(x) = esforco cortante

• M = M(x) = momento fletor

• θ = θ(x) = angulo de rotacao

7

Figura 8: Equacao diferencial da linha elastica da flexao em uma secao s de abscissa x generica

• v = v(x) = flecha = ordenada da linha elasticak = 1

ρ= dθ

dx= d2v

dx2 = −MEI

−→ d3vdx3 = − Q

EIe d4v

dx4 = − qEI

• k = curvatura

• ρ = raio de curvatura (na secao s)

• E = modulo de elasticidade longitudinal

• I = momento de inercia da secao (em relacao a linha neutra)

9.2 Condicoes de apoios e articulacoes (extraıda de Hibbeler (2008))

Apoio do 10 genero de extremidade Apoio do 20 genero de extremidade

MA = 0 MA = 0vA = 0 vA = 0θA 6= 0 θA 6= 0

Apoio interno do 10 genero Apoio interno do 20 genero

vA = vB = 0 vA = vB = 0θA = θB 6= 0 θA = θB 6= 0

Apoio do 30 genero Extremidade livre

MA 6= 0 QA 6= 0 MA = 0 QA = 0vA = 0 θA = 0 vA 6= 0 θA 6= 0

Pino ou articulacao interna

M = 0 (no pino) QA = QB

vA = vB θA 6= θB

8

10 Propriedades geometricas de figuras planas

9

11 Tabela de propriedades de Perfis Metalicos

10

11

12

13

12 Deflexoes e Inclinacoes de Vigas

Fonte: Mecanica dos Solidos - Volume 1 - Timoshenko

Tabela 1: Deflexoes e inclinacoes de vigas engastadas embalanco (EI constante)

Caso Equacoes

v = deflexao na direcao yv′ = dv

dx= θ = inclinacao da linha elastica

vB = v(L) = deflexao na extremidade direita da vigaθB = inclinacao na extremidade direita da viga

(1)

v = qx2

24EI(6L2 − 4Lx+ x2)

θ = qx6EI

(3L2 − 3Lx+ x2)

vB = qL4

8EIθB = qL3

6EI

(2)

v = qx2

24EI(6a2 − 4ax+ x2) 0 ≤ x ≤ a

θ = qx6EI

(3a2 − 3ax+ x2) 0 ≤ x ≤ a

v = qa3

24EIθ = qa3

6EIa ≤ x ≤ L

Para x = a : v = qa4

8EIθ = qa3

6EI

vB = qa3

24EI(4L− a) θB = qa3

6EI

(3)

v = qx2

12EI(3bL+ 3ab− 2bx)

0 ≤ x ≤ a

θ = qbx2EI

(L+ a− x)0 ≤ x ≤ a

v = q24EI

(x4 − 4Lx3 + 6L2x2 + ...−4a3x+ a4) a ≤ x ≤ L

θ = q6EI

(x3 − 3Lx2 + 3L2x− a3)a ≤ x ≤ L

Para x = a : v = qa2b12EI

(3L+ a)

Para x = a : θ = qabL2EI

vB = q24EI

(3L4 − 4a3L+ a4)θB = q

6EI(L3 − a3)

(4)

v = Px2

6EI(3L− x) θ = Px

2EI(2L− x)

vB = PL3

3EIθB = PL2

2EI

(5)

v = Px2

6EI(3a− x) θ = Px

2EI(2a− x) 0 ≤ x ≤ a

v = Pa2

6EI(3x− a) θ = Pa2

2EIa ≤ x ≤ L

Para x = a : v = Pa3

3EIθ = Pa2

2EI

vB = Pa2

6EI(3L− a) θB = Pa2

2EI

Continua na proxima pagina.

14

Tabela 1 – Continuacao

Caso Equacoes(6)

v = Mx2

2EIθ = Mx

EI

vB = ML2

2EIθB = ML

EI

(7)

v = q0x2

120LEI(10L3 − 10L2x+ 5Lx2 − x3)

θ = q0x24LEI

(4L3 − 6L2x+ 4Lx2 − x3)

vB = q0L4

30EIθB = q0L3

24EI

(8)

v = q0x2

120LEI(20L3 − 10L2x+ x3)

θ = q0x24LEI

(8L3 − 6L2x+ x3)

vB = 11q0L4

120EIθB = q0L3

8EI

15

Tabela 2: Deflexoes e inclinacoes de vigas simplesmenteapoiadas (EI constante)

Caso Equacoes

v = deflexao na direcao yv′ = dv

dx= θ = inclinacao da linha elastica

vC = v(L/2) = deflexao no meio do vaox1 = distancia de A ao ponto de deflexao maxima

vmax = deflexao maximaθA = angulo na extremidade esquerda da vigaθB = angulo na extremidade direita da viga

(1)v = qx

24EI(L3 − 2Lx2 + x3)

θ = q24EI

(L3 − 6Lx2 + 4x3)

vC = vmax = 5qL4

384EIθA = θB = qL3

24EI

(2)v = qx

384EI(9L3 − 24Lx2 + 16x3)

0 ≤ x ≤ L2

θ = q384EI

(9L3 − 72Lx+ 64x3)0 ≤ x ≤ L

2

v = qL384EI

(8x3 − 24Lx2 + 17L2x− L3)L2≤ x ≤ L

θ = qL384EI

(24x2 − 48Lx+ 17L2)L2≤ x ≤ L

vC = 5qL4

768EIθA = 3qL3

128EIθB = 7qL3

384EI

(3)

v = Px48EI

(3L2 − 4x2) 0 ≤ x ≤ L2

θ = P16EI

(L2 − 4x2) 0 ≤ x ≤ L2

vC = vmax = PL3

48EI

θA = θB = PL2

16EI

(4)v = Pbx

6LEI(L2 − b2 − x2) 0 ≤ x ≤ a

θ = Pb6LEI

(L2 − b2 − 3x2) 0 ≤ x ≤ a

θA = Pab(L+b)6LEI

θB = Pab(L+a)6LEI

→ Se a ≥ b, vC = Pb(3L2−4b2)48EI

→ Se a ≥ b, x1 =√

L2−b2

3e

vmax = Pb(L2−b2)3/2

9L√3EI

Continua na proxima pagina.

16

Tabela 2 – Continuacao

Caso Equacoes(5)

v = qx24LEI

× ...(a4 − 4a3L+ 4a2L2 + 2a2x2 + ...−4aLx2 + Lx3) 0 ≤ x ≤ a

θ = q24LEI

× ...(a4 − 4a3L+ 4a2L2 + 6a2x2 + ...−12aLx2 + 4Lx3) 0 ≤ x ≤ a

v = qa2

24LEI(−a2L+ 4L2x+ a2x− 6Lx2 + 2x3)

a ≤ x ≤ L

θ = qa2

24LEI(4L2 + a2 − 12Lx+ 6x2)

a ≤ x ≤ L

θ = qa2

24LEI(4L2 + a2 − 12Lx+ 6x2) a ≤ x ≤ L

θa =qa2

24LEI(a2 − 4aL+ 4L2)

θB = qa2

24LEI(2L2 − a2)

(6)v = Px

6EI(3aL− 3a2 − x2) 0 ≤ x ≤ a

θ = P2EI

(aL− a2 − x2) 0 ≤ x ≤ av = Pa

6EI(3Lx− 3x2 − a2) a ≤ x ≤ L

2

θ = Pa2EI

(L− 2x) a ≤ x ≤ L2

θA = Pa(L−a)2EI

vC = vmax = Pa24EI

(3L2 − 4a2)

(7)v = Mx

6LEI(2L2 − 3Lx+ x2)

θ = M6LEI

(2L2 − 6Lx+ 3x2)

vC = ML2

16EIθA = ML

3EIθB = ML

6EI

x1 = L(

1−√33

)

e

vmax = ML2

9√3EI

(8)v = Mx

24LEI(L2 − 4x2) 0 ≤ x ≤ L

2

θ = M24LEI

(L2 − 12x2) 0 ≤ x ≤ L2

vC = 0 θA = ML24EI

θB = − ML24EI

(9)v = Mx

6LEI× ...

(6aL− 3a2 − 2L2 − x2) 0 ≤ x ≤ aθ = M

6LEI× ...

(6aL− 3a2 − 2L2 − 3x2)0 ≤ x ≤ aPara x = a : v = Ma

3LEI(3aL− 2a2 − L2)

Para x = a : θ = M3LEI

(3aL− 3a2 − L2)θA = M

6LEI(6aL− 3a2 − 2L2)

θB = M6LEI

(3a2 − L2)

Continua na proxima pagina.

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Tabela 2 – Continuacao

Caso Equacoes(10)

v = q0x360LEI

(7L4 − 10L2x2 + 3x4)θ = q0

360LEI(7L4 − 30L2x2 + 15x4)

vC = 5q0L4

768EIθA = 7q0L3

360EIθB = q0L3

45EI

x1 = 0, 5193L vmax = 0, 00652 q0L4

EI

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