- 1 - Resoluo de Prova Professor: Ccero Demtrio
[email protected] Joo Pessoa/PB - 2 - Resoluo da Prova de
MatemticaCaixa Econmica Federal 2008 Concurso Nacional 29/06/2008
As solues apresentadas aqui podem no ser nicas, mas so todas de
autoria do professor Ccero Demtrio ([email protected]) 01.
Em uma urna h 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5 e 6 bolas brancas
numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem
reposio, duas bolas. Quantas so as extraes nas quais a primeira
bola sacada verde e a segunda contem um nmero par? a) 15 b) 20 c)
23 d) 25 e) 27 Soluo:
EsteumProblemadeContagem,descritonoedital,ondeusaremosoPrincpioFundamentalda
Contagem (PFC). O problema deseja que formemos pares de bolas onde
a 1 bola tem cor verde (independente do nmero) e a 2 bola contenha
um nmero par (independente da cor). Vamos dividir em duas situaes:
1 situao: A 1 bola ser verde e com n mpar e a 2 ter um nmero par.
Assim, o nmero de possibilidades para a 1 3, pois s temos trs bolas
verdes e com nmero mpar (1, 3 e 5) e o nmero de possibilidades para
a 2 5,
poisteremostodasascincobolaspares(2e4verdese2,4e6brancas).UsandooPFC,teremos15
5 3 = possibilidades da 1 ser verde com n mpar e a 2 conter um
nmero par. 2 situao: Ora, a 1 bola ou apresentar um nmero mpar ou
apresentar um nmero par. Supondo agora que ela contenha um nmero
par, o nmero de possibilidades para a 1 bola ser2, pois s temos
duas bolas verdes e com nmero par (2 e 4) e o nmero de
possibilidades para a 2 4, pois teremos todas as quatro bolas pares
(as trs bolas brancas com 2, 4 e 6 e uma das verdes ou 2 ou 4, j
que uma delas foi usada na 1 bola) . Usando o PFC, teremos8 2 4 =
possibilidades da 1 ser verde com n par e a 2 conter um nmero par.
Por fim, como ou ocorre a 1 situao, ou ocorre a 2 situao, o total
de possibilidades a soma das possibilidades de cada situao acima,
ou seja,8 15+= 23. Letra C. 02. Aps a data de seu vencimento, uma
dvida submetida a juros compostos com taxa mensal de 8%, alm de
seracrescidadeumamultacontratualcorrespondente2%dadvidaoriginal.Sabendo-seque30
, 0 2 log10= e 48 , 0 3 log10=
eutilizando-separatodooperodoosistemadecapitalizaocomposta,determineotempo
mnimo necessrio, em meses, para que o valor a ser quitado seja 190%
maior do que a dvida original. a) 10 b) 11,5 c) 13 d)23,5 e) 24
Soluo: - 3 - Pelo problema, devemos ter que o montante da dvida de
valor inicial V a juros compostos de 8% ao ms acrescido de 2% de V
deve ser igual a 290% de V (que so os 100% de V que j se devia
acrescido de 190% de V referente ao total de juros e multa).
Montando essa equao, teremos: ( )( )( )( ) 88 , 2 08 , 188 , 2 08 ,
102 , 0 90 , 2 08 , 190 , 2 02 , 0 08 , 0 1= = = = + + ttttV VV V
VV V V Aplicando o logaritmo na base 10 nos dois lados da equao,
teremos: ( ) ( )|.|
\|=|.|
\|=100288log100108log88 , 2 log 08 , 1 logtt Sabendo que 3 23 2
108 =e que 2 53 2 288 =e que( ) ( ) ( ) 2 1 2 10 log 2 10 log 100
log2= = = = , teremos: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 3 log
2 2 log 5 2 3 log 3 2 log 22 3 log 2 log 2 3 log 2 log2 3 2 log 2 3
2 log100 log 288 log 100 log 108 log2 5 3 22 5 3 2 + = + + = + = =
tttt Pela questo,30 , 0 2 log10=e48 , 0 3 log10= . Da, por fim,
teremos: ( )meses t ttt5 , 1144604 , 046 , 046 , 0 04 , 02 48 , 0 2
3 , 0 5 2 48 , 0 3 3 , 0 2== == + = + Letra B. 03. Em um caminho
retilneo h um canteiro formado por 51 roseiras, todas enfileiradas
ao longo do caminho, como ilustrado. A distncia entre quaisquer
duas roseiras consecutivas de 1,5 m. Nesse caminho h ainda uma
torneira - 4 - h 10 m da primeira roseira. Gabriel decide molhar
todas as roseiras desse caminho. Por isso, utiliza um regador que,
quando cheio, tem capacidade para molhar trs roseiras. Dessa forma,
Gabriel encaminha-se para a primeira
roseira,molha-a,caminhaparaasegundaroseira,molha-ae,aseguir,caminhaataterceiraroseiramolhando-a
tambm,esvaziandooregador.Cadavezqueoregadorficavazio,Gabrielvoltatorneira,encheoregadore
repete a rotina anterior para as trs roseiras seguintes. No momento
em que acabar de regar a ltima das roseiras, quantos metros Gabriel
ter percorrido ao todo desde que encheu o regador pela primeira
vez? a) 748 m b) 833 m c) 1.496 m d) 1.581 m e) 1.666 m Soluo:
Brilhante questo de seqncias numrias. Vejamos que para Gabriel sair
da torneirae ir at a 3 roseira ele anda 10 + 1,5 + 1,5 = 13 m Como
ele tem que voltar para encher o regador, anda mais 13 m,
perfazendo26 13 2 = m. Agora Gabriel deve ir
ata6roseira,andando4,5mamaisquenopercursodeidaanteriorevoltandoparaencheroregador,anda
tambm os mesmos 4,5 m a mais totalizando 9 m a mais que o percurso
anterior, perfazendo um total de 26 + 9 =
35m.Saindodatorneirapelasegundavez,Gabrieldeveirata9roseiraerepitiromesmoacrscimodo
percurso anterior, ou seja, mais 9 m perfazendo dessa vez 35 + 9 =
44 m. Notemos que temos a formao de uma
ProgressoAritmticaderazo9e1termo26.Gabrieldeveirata51roseira,oquecorrespondeaandar
17351= termos(jqueele anda de3em3roseiras).Asseqnciafica( )17, , 44
, 35 , 26 a .Usandoo termo geral da P.A., teremos: ( )( )1709 16
269 1 17 2611717171= + = + = + =aaar n a an Vejam que nesta P.A.
estamos colocando as distncias percorridas de ida e de volta, mas
na ltima roseira Gabriel
noprecisamaisvoltartorneira,oquecorresponderiaa170/2=85m,poisjregoutodasasroseiras.Da,
somaremos os 17 termos da P.A. e no final, retiraremos estes 85 m
que ele no andou.( )( )666 . 1217196217170 2621717171= = + =+
=SSSna a Sn n Vejamquetemos1.666 mnasalternativas,mas,arespostano
essa,poistemosaindaqueretirar os85mque Gabriel no andou no final
(que pela P.A. havamos suposto que ele teria andado). Logo, a
resposta final : 1.666 85 = 1.581 m. - 5 - Letra D. 04. Um
investimento consiste na realizao de 12 depsitos mensais de R$
100,00, sendo o primeiro deles feito um
msapsoinciodatransao.Omontanteserresgatadoummsdepoisdoltimodepsito.Seataxade
remunerao do investidor de 2% ao ms, no regime de juros compostos,
o valor do resgate, em reais ser de: a) 2.128,81 b) 1.368,03 c)
1.241,21 d) 1.224,00 e) 1.200,00 Soluo: Observe o diagrama a
seguir. EsteomodeloclssicodeCapitalizaocujomontantedadopor ( )iiP
Mn1 1 + = ,ondeMomontante retirado no ltimo perodo. Substituindo os
valores00 , 100 = P ,12 = ne02 , 0 % 2 = = i , teremos: ( )02 , 01
02 , 0 110012 + = MPela tabela fornecida no final da prova,( )
268242 , 1 02 , 0 112 = +(devemos usar as 6 casas decimais),
teremos: 21 , 341 . 12100268241 , 0 100100 / 2268242 , 010002 , 01
268242 , 1100 = = = = M . Porm, a questo pede que o montante seja
resgatado um ms depois do ltimo depsito e isto significa que o
montante encontrado ficar ainda 1 ms aplicado a 2% ao ms. Chamemos
esse valor de V. - 6 - Da, o valor pedido ser( ) ( ) 03 , 368 . 1
02 , 0 1 21 , 341 . 1 11=+ = + = M i M V . Letra B. P.S.: A prova
at aqui est cheia de armadilhas. 05. A taxa efetiva anual de 50%,
no regime de juros compostos, equivale a uma taxa nominal dei% ao
semestre, capitalizada bimestralmente. O nmero de divisores
positivos de i : a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Soluo: Encontremos a taxa
efetiva bimestral com equivalncia de taxas a juros compostos. ( ) (
) ( ) ( ) ( ) 5 , 1 1 5 , 0 1 1 1 16 6 1 6= + + = + + = +b b a bi i
i i .
Natabelafornecidanofimdaprova,tomemosoperodo6eindonahorizontalencontramos1,50073050
, 1 ~exatamente em 7%. Logo, a taxa efetiva bimestral de 7%. Assim,
a taxa nominal semestral ser de% 21 3 % 7 = .
Da,temosque21%aosemestre,capitalizadabimestralmenteequivaletaxaefetivade50%aoano.Portanto,
21 = i . Como 21 possui 4 divisores positivos (1, 3, 7, 21), a
resposta a letra A. 06. A tabela abaixo apresenta um fluxo de caixa
de um certo projeto. Perodos (anos)012 Valor (milhares de reais)
410PP
Para que a taxa interna de retorno anual seja de 5%, o valor de
P, em milhares de reais, deve ser: a) 216,50 b) 216,50 c) 218,50 d)
219,50 - 7 - e) 220,50 Soluo: Observe o diagrama a seguir. Como a
taxa de retorno (aquela que iguala as entradas s sadas numa mesma
data) de 5%, escolhendo o final do 2 ano como data focal, levaremos
todos os capitais para esta data. Assim, teremos: ( ) ( )50 ,
220025 , 452 05 , 21025 , 1 410 05 , 105 , 1 410 05 , 0 12 1== = +=
+ +PPP PP P Letra E. 07. Um emprstimo de R$ 300,00 ser pago em seis
prestaes mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias aps o
emprstimo,comjurosde4%aomssobreosaldodevedor,peloSistemadeAmortizao
Constante(SAC).O valor, em reais, da quarta prestao ser: a) 58,00
b) 56,00 c) 54,00 d) 52,00 e) 50,00 Soluo: Uma das questes mais
esperadas desta prova!!! Pela frmula( ) ( ) i n A V A Pn + =
1encontraremos o valor da prestao. Temos que: n = 4 (prestao
desejada)506300= = A (Amortixao constante) 300 = V (Saldo devedor
inicial)04 , 0 % 4 = = i?4 = P( ) ( )( )00 , 56 04 , 0 150 5004 , 0
150 300 5004 , 0 1 4 50 300 504 444= + = + = + =P PPP - 8 - Letra
B.
08.Joga-seNvezesumdadocomum,deseisfaces,no-viciado.Atqueseobtenha6pelaprimeiravez.A
probabilidade de que N seja menor que 4 : a) 21625 b) 21655 c)
21675 d) 21691 e) 216150 Soluo: Excelente questo de probabilidade!
A questo pede a probabilidade para que o nmero de vezes em que o
dado for lanado seja menor que 4 (ou 3, ou 2, ou 1) para que o 6
aparea pela primeira vez. Ento pode ser no 1
lanamento,no2lanamentoouatno3lanamento.Sabemosqueaprobabilidadedeaface6sairem1
lanamento de 1/6 e de no sair 5/6. Lembremos quese A e B so dois
eventos sucessivos e independentes, ento: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) B
P A P B e A PB P A P B ou A P =+ =
No3lanamento:Vejaqueaprobabilidadedeencontrarmosaface6apenasno3lanamentosignificaquenos
dois primeiros a face 6 no deve ocorrer. Assim, a probabilidade
ser: P(3 lanamento) = p(no ocorrer no 1 e no ocorrer no 2 e ocorrer
no 3) P(3 lanamento) = p(no ocorrer no 1) p(no ocorrer no 2)
p(ocorrer no 3) P(3 lanamento) = 21625616565= . No 2 lanamento: P(2
lanamento) = p(no ocorrer no 1 e ocorrer no 2) P(2 lanamento) =
p(no ocorrer no 1) p(ocorrer no 2) P(2 lanamento) = 3656165= No 1
lanamento: P(2 lanamento) = 61. Por fim, a probabilidade de sair em
um nmero de lanamentos4 < Nsignifica: - 9 - ( ) ( )( ) ( ) ( ) (
)( ) ( )21691461365216254 1 2 3 4 1 2 3 4=
