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LINHAS DE TRANSMISSÃO

ÄÄ Resolução gráfica de problemas - 1

v Carta dos coeficientes de reflexão

• Os cálculos em linhas de transmissão ou em guias de onda utilizam as fórmulas que foram dadas anteriormente, são portanto de difícil resolução.

• Existem métodos gráficos que fornecem um meio rápido e eficiente para a realização destes cálculos.

• Na figura o número complexo Z está representado por um ponto no plano complexo

Im

ReR

XZ

f

|r|

Coordenadas de um número complexo

• O número complexo jXRZ += pode ser expresso em coordenadas polares por:

φjeZZ = onde 22 XRZ += e

RX

arctg=φ

• O número complexo que desejamos representar é o coeficiente de reflexão de tensão:

φρρ je=

e o plano cujos pontos representam coeficientes de reflexão é denominado plano dos coeficientes de reflexão.




• Nas linhas terminadas com cargas passivas o módulo do coeficiente de reflexão é sempre menor ou igual a 1. Consequentemente, vamos só dedicar a nossa atenção para a região do plano que é limitada por um círculo de raio 1 e centro na origem.

• A carta dos coeficientes de reflexão mostrada na figura, inclui una escala radial de ρ e uma periférica graduada

em graus o que permite uma rápida localização de ρρ.

0o

30o

60o120o

150o

±180o

-150o

-120o

-90o-60o

-30o

0, λ/2λ/4

90oλ/8

3λ/8

Carga

Gerador

0 10,5

|ρ|

60ο|ρ|=0,5

Carta dos Coeficientes de Reflexão




• Numa linha de transmissão sem perdas a amplitude do coeficiente de reflexão não se altera ao longo da linha, mas o seu argumento varia com a posição na linha a um ritmo duas vezes mais rápido que a fase de qualquer das ondas progressivas, incidente e reflectida, de acordo com a expressão:

( ) θβφ ρρρ jdjj eeed == − 2.

• A variação ( ) dd βφθ 2−= é positiva para um deslocamento em direcção à carga e negativa para um deslocamento em direcção ao gerador.

• Um deslocamento de meio comprimento de onda (λλ/2) ao longo da linha de transmissão faz com que o argumento do coeficiente de reflexão varie 360o.

• A escala periférica da carta dos coeficientes de reflexão pode ser também graduada em comprimentos de onda.

• Exemplo:

o Uma linha sem perdas é alimentada a 600 MHz. O coeficiente de reflexão em b é: ( ) ojeb 605,0=ρ

a) Determinar o coeficiente de reflexão nos pontos a e c situados a 10 cm de b.

b) Indicar a posição dos mínimos da envolvente da onda estacionária mais próximos de b.




a b c

10 cm 10 cm

gerador carga

ρ(a) ρ(c)ρ(b)

a) ( ) ( ) djeba βρρ 2−= deslocamento em direcção ao gerador

( ) ( ) djebc βρρ 2= deslocamento em direcção à carga

λλ 2,0505,010600

1036

8

=⇒==×

×== dcmm

fc

01448,02,02

22 === πλλπ

βd

conclui-se que:

( ) ( )oojea 144605,0 −=ρ e ( ) ( )oojec 144605,0 +=ρ

b) Os mínimos de tensão ocorrem quando as ondas incidente e

reflectida estão em oposição de fase, isto é quando ( ) od 180±=θ .

Recorrendo à carta dos coeficientes de reflexão, vê-se que o mínimo mais próximo ocorre a uma distância (medida na escala circular periférica graduada em comprimentos de onda) medida na direcção da carga dada por:

cmd 35,8167,01min

=≈ λ

Ocorre também um outro mínimo a:

cmd 65,16333,02min

=≈ λ

na direcção do gerador. Como era esperado 22min1minλ=+ dd ,

todos os restantes mínimos da envolvente da onda estacionária

encontram-se separados por múltiplos de 2λ .




Exemplo de aplicação da carta dos coeficientes de reflexão



v Rede de Impedâncias

• A impedância Z e o coeficiente de reflexão ρρ estão relacionados pela expressão:

ρρ

−+

=11

0ZZ

• definindo 0

ZZ

z = como sendo a impedância normalizada

obtemos:

jxrz +=

e considerando:

irjρρρ +=

obtemos:

ir

ir

j

jjxr

ρρρρ

−−++

=+1

1

• Igualando as partes reais e imaginárias dos dois membros obtemos:

( ) 22

22

1

1

ir

irrρρ

δδ+−

−−=

( ) 221

2

ir

irρρ

δ+−

=




• Estas duas equações podem ser escritas na forma:

( )2

2

2

1

1

1 +=+

+−

rr

rir

ρρ (*)

( )2

2

2 111

xxir=

−+− ρρ (**)

• A equação * representa uma família de circunferências no plano dos coeficientes de reflexão

irjρρρ += com

centro nos pontos

+0,

1rr

e raios 1

1+r

.

• Cada uma das circunferências desta família é o lugar geométrico de todas as impedâncias normalizadas com o mesmo valor de resistência normalizada.

• Todas as circunferências de r constante passam pelo ponto (1,0).

r=0 r=0,2 r=0,5 r=1 r=3

Resistências normalizadas no plano dos coeficientes de reflexão




• A equação ** representa uma família de circunferências

com centro no ponto

+

xj

11 e raio

x1

, sendo cada

circunferência o lugar geométrico de todas as impedâncias normalizadas com o mesmo valor de reactância normalizada.

• A valores positivos de x, reactâncias indutivas, correspondem circunferências localizadas acima do eixo real e a valores negativos de x, reactâncias capacitivas, correspondem circunferências localizadas abaixo do eixo real.

• Como os centros das circunferências de x constante estão a uma distância do eixo real igual ao raio, todas elas passam pelo ponto (1,0).

x=0

x=0,5

x=1

x=2

x=-0,5

x=-1x=-2

Reactâncias normalizadas no plano dos coeficientes de reflexão




• Na figura estão representadas circunferências, no plano dos coeficientes de reflexão, para vários valores de r e de x.

Rede de impedâncias



v Carta de Smith

• Na carta de Smith estão desenhadas circunferências de r constante e de x constante em número suficiente para permitir uma precisão razoável na leitura de impedâncias.

• A carta tem uma escala periférica graduada em graus e uma outra graduada em comprimentos de onda na direcção da carga e na direcção do gerador.

• A circunferência de raio unitário é, simultaneamente, o lugar geométrico das impedâncias normalizadas comparte real nula (r=0) e o lugar geométrico dos coeficientes de reflexão de módulo igual à unidade.

• Atendendo a que o módulo do coeficiente de reflexão é unitário para z=0 (curto-circuito), z=∞∞ (circuito-aberto) e para z=±±jx (reactâncias puras), a circunferência de raio unitário está graduada em reactância normalizada.

• Para z=r (x=0) a circunferência de x constante resulta numa recta (raio infinito), o eixo real, que está graduado com uma escala de resistência normalizada.

• A natureza da impedância nas diferentes regiões da Carta de Smith pode ser observada na figura.

+90o

0o±180o

-90o

|Z|<1indutiva

|Z|>1indutiva

|Z|<1capacitiva

|Z|>1capacitiva



v Carta de Smith



v Carta de Smith

• Exemplo de aplicação 1

o Determinar o coeficiente de reflexão provocado por uma carga ZL=25+j35 ΩΩ numa linha de transmissão com impedância característica Z0=50 ΩΩ.

o Resolução:

A impedância normalizada é:

7,05,00

jZ

Zz L

L+==

representada na carta de Smith pelo ponto A (intersecção da circunferência de r=0,5 e x=0,7), a que corresponde o coeficiente de reflexão:

oje 5,10052,0=ρ



v Carta de Smith



v Carta de Smith

• Coeficiente de onda estacionária

o Para x=0 a impedância é puramente resistiva e verifica-se:

>⇐>⇐

=−

+==

0

0

011

1

ZRVSWR

ZRVSWR

Z

Rr

ρ

ρ

o A impedância normalizada num ponto de máximo de tensão é igual ao coeficiente de onda estacionária.

o Consequentemente, a parte da escala de resistências normalizadas que contém os valores de r entre 1 e ∞∞ pode também ser considerada também uma escala de VSWR. A parte do eixo real que contém os valores de r entre 0 e 1 pode ser utilizada como uma escala de 1/S.

o A partir da medição do coeficiente de onda estacionária e da localização de um dos extremos da envolvente da onda estacionária é possível obter o valor correspondente da impedância de carga normalizada.



v Carta de Smith


o Determinar o VSWR provocado por uma carga ZL=25+j35 ΩΩ numa linha com Z0=50 ΩΩ e a distância do primeiro mínimo de tensão à carga.

o Resolução:

A impedância normalizada é:

7,05,00

jZ

Zz L

L+==

a que corresponde o ponto A na carta. A circunferência de VSWR constante (linha sem perdas) intersecta a escala de resistência normalizada no ponto F, consequentemente VSWR=3,17.

Os pontos E e F correspondem a pontos da linha em que se verificam mínimos e máximos, a fase de ρρ é 180o em E e 0o em F. A distância do primeiro mínimo de tensão à carga é a distância representada pelo arco AE, medida na escala graduada em comprimentos de onda em direcção ao gerador.

( ) λλ 3895,01105,05,0min

=−=d



v Carta de Smith



v Carta de Smith

• Impedância de entrada

o A impedância em qualquer ponto duma linha terminada com uma impedância ZL é dada por:

dtgjz

djtgz

Z

Zz

L

Lin

in ββ

++

==1

0

o Embora esta relação seja empregue com alguma frequência, é utilizado por vezes um processo de cálculo dividido em três fases:

1º 11

+−

=L

L

zz

ρ 2º ( ) djed βρρ 2−= 3º ( )( )dd

zin ρ

ρ−+

=11

o Este processo é especialmente útil se a carta de Smith for utilizada para relacionar ρρ e zin.


o Uma linha sem perdas com Z0=50 ΩΩ é terminada por uma impedância ZL=20+j100 ΩΩ. Determinar a impedância de entrada.

o Resolução:

O ponto B representa a impedância de carga normalizada marcada na carta de Smith. Um deslocamento de λλ/4 ou 180o em direcção ao gerador sobre a circunferência de |ρρ| constante conduz ao ponto C. Este ponto representa a impedância normalizada zin=0,10-j0,48, logo

Ω−= 245 jZin



v Carta de Smith



v Carta de Smith


o Numa linha com Z0=50 ΩΩ e comprimento 0,35λλ mediu-se um VSWR=3 e registou-se um mínimo de tensão à distância de 0,15λλ da carga. Determine a impedância de entrada da linha.

o Resolução:

A impedância da carga deve estar localizada na carta sobre a circunferência correspondente a VSWR=3.

O ponto E corresponde ao ponto da linha em que se verifica o mínimo de tensão (φφ=±±180o).

Movendo o ponto E, ao longo da circunferência de VSWR constante e medindo 0,15λλ na escala graduada em comprimentos de onda em direcção à carga obtemos o ponto C.

Ao ponto C corresponde a impedância de carga normalizada zL=0,8-j1.

Um novo movimento ao longo da circunferência de VSWR constante, correspondente a 0,35λλ em direcção ao gerador (partindo do ponto C) permite localizar o ponto D correspondente à impedância de entrada normalizada zin=1,7+j1,33

Ω+= 5,6685 jZin



v Carta de Smith



v Carta de Smith

• Admitância de entrada

o A admitância duma linha de transmissão é dada por:

ρρ

+−

==1

111

0ZZ

Yin

in

onde ρρ é o coeficiente de reflexão no ponto da linha.

o A admitância normalizada será:

( )( )ρ

ρρρ

−−−+

=+−

===1

1

1

10

0 in

in

in Z

Z

Y

Yy

o Vê-se nesta equação que a relação entre yin e -ρρ é idêntica à relação entre zin e ρρ. A carta de Smith pode ser também considerada como a representação de y no plano -ρρ.

o Sendo y=g+jb, as circunferências de r constante transformam-se em circunferências de g constante (g condutância normalizada) e as circunferências de x constante transformam-se em circunferências de b constante (b susceptância normalizada).

o Para utilizar uma carta de impedâncias como carta de admitâncias basta rodar 180o a escala do argumento de ρρ.



v Carta de Smith

• Admitância de entrada de STUBS

o Um stub é uma linha de transmissão sem perdas terminada em circuito-aberto ou em curto-circuito. Numa linha deste tipo o módulo do coeficiente de reflexão é 1 e o VSWR é ∞∞.

o As impedâncias (ou admitâncias) de entrada dos stubs são reactâncias (ou susceptâncias) puras de valor determinado pelo respectivo comprimento. O seu lugar geométrico na carta de Smith é a circunferência de r=0.

o A admitância (ou a impedância) de entrada de um stub é determinada, na carta de Smith, através de um deslocamento (correspondente ao seu comprimento) sobre a circunferência de raio unitário em direcção ao gerador, partindo do ponto correspondente à terminação respectiva.

+90o

0o±180o

-90o

cc - impedânciaca - admitância

impedância - caadmitância - cc

Impedância e admitância de stubs



v Carta de Smith

Ø Dispositivos para adaptação de impedâncias

• O comportamento de um sistema que utiliza uma linha de transmissão para transporte de potência de um gerador para uma carga depende essencialmente da relação de impedâncias na terminação da carga.

• Como geralmente não é possível adaptar a carga à linha de transmissão alterando um dos parâmetros que a constituem, é necessário adicionar à linha um dispositivo para adaptação.

• Razões para a adaptar uma carga a uma linha de transmissão:

o Um baixo valor de VSWR (≈≈1) na linha indica que não há potência reflectida pela carga, toda a potência incidente é absorvida pela carga.

o A potência máxima que pode ser transmitida pela linha é limitada pela tensão de disrupção do dieléctrico (diferença de potencial entre os condutores que provoca a perfuração do isolamento) e pelo aquecimento dos condutores da linha. Se o valor do VSWR for próximo de 1 a tensão e corrente serão constantes (em amplitude) ao longo da linha e terão os valores estritamente necessários para fornecer a potência pretendida à carga.

o Alguns dispositivos utilizados como geradores tornam-se instáveis quando o nível de desaptação ultrapassa um determinado limite.



v Carta de Smith


q Adaptação com um stub

• O circuito da figura representa um adaptador com um stub que é muito utilizado em linhas de transmissão.

d1 ou d2

ZL

Z0

Z0

P

Adaptador com um stub

• Para se conseguir uma adaptação perfeita com um dispositivo de adaptação de impedâncias, este deve possuir dois ajustes.

• No adaptador com um stub os dois ajustes disponíveis são o comprimento do stub e a distância do stub à carga.

• A admitância de entrada da linha à direita no plano P deve ser yP=1±±jb, para que o sistema se apresente adaptado à esquerda do plano P (yP=1). O comprimento do stub deve ser de modo que a sua susceptância de entrada seja ±±jb.



v Carta de Smith



• Supondo que a impedância de carga normalizada zL é representada na carta de Smith pelo ponto A, a admitância correspondente é representada pelo ponto B. Num ponto da linha à distância d1 da carga (em direcção ao gerador) a admitância normalizada é igual a 1+jb e está representado pelo ponto C.

Adaptação com um stub



v Carta de Smith



o Se um stub com susceptância de entrada normalizada igual a –jb for ligado em paralelo com a linha à distância d1 da carga, a linha estará adaptada à esquerda do plano P.

o Com a colocação do stub em paralelo o ponto C move-se ao longo da circunferência de g=1 para o ponto E correspondente à admitância (ou impedância) normalizada 1+j0.

o Analisando a figura conclui-se que existe outra solução, além das que diferem da anterior em um múltiplo inteiro de λλ/2. À distância d2 da carga a admitância normalizada seria 1-jb, representada pelo ponto D, que pode ser transformada em 1+j0 por um stub com susceptância de entrada normalizada igual a jb.

o As susceptâncias +jb ou –jb também podem ser obtidas utilizando um stub terminado em circuito-aberto, embora na prática sejam preferidos stubs terminados em curto-circuito.



v Carta de Smith




o Uma linha com Z0=70 ΩΩ é terminada por ZL=84+j85,75 ΩΩ. Determinar o comprimento que deverá Ter um stub com a mesma impedância característica terminado em curto-circuito e a distância à carga onde deverá ser ligado para que o sistema fique adaptado.

o Resolução:

A impedância da carga normalizada é:

225,12,1 jzL

+=

representado na figura pelo ponto A. O ponto B representa a admitância normalizada correspondente.

A circunferência de VSWR constante que passa por B intersecta a circunferência de g=1 primeiro em C e depois em D, para um deslocamento em direcção ao gerador. As admitâncias normalizadas correspondentes aos pontos C e D são, respectivamente, 1+j1,125 e 1-j1,125.

1ª solução (ponto C)

A distância do stub à carga está representada na carta pelo arco BC, medido na escala graduada em comprimentos de onda na direcção do gerador:

( ) λλ 237,0166,0071,01

=+=d



v Carta de Smith



A susceptância normalizada necessária para adaptar a carga à linha é –j1,125, representada na carta pelo ponto E. O comprimento do stub terminado em curto-circuito será:

( ) λλ 116,025,0366,01

=−=l

2ª solução (ponto D)

O arco BD, expresso em comprimentos de onda em direcção ao gerador, representa a distância do stub à carga:

( ) λλ 405,0334,0071,02

=+=d

Para realizar a adaptação o stub deverá ter a susceptância de entrada normalizada j1,125, deverá ter o comprimento:

( ) λλ 384,0134,025,02

=+=l



v Carta de Smith





v Carta de Smith


q Adaptação com dois stubs

• Com este método de adaptação procura-se eliminar a principal desvantagem do método anterior que reside no facto de a posição do stub depender da impedância da carga.

• Neste método a distância entre os dois stubs é constante, embora os stubs possam ser colocados em qualquer ponto da linha próximo da carga.

d

b a

Stub 2 Stub 1

ZL

d

ZL

b a

Stub 2 Stub 1



v Carta de Smith



O método consiste em variar o comprimento do stub 1 de modo a que a admitância normalizada no plano b sem o stub 2 seja yb=1±jb anulando-se em seguida a susceptância com o stub 2, ficando o sistema adaptado para a esquerda do plano b (yb=1+j0).

Adaptação com dois stubs



v Carta de Smith



o Para poder ser adaptada a admitância em b tem que ser igual a y=1±±jb (circunferência 1).

o A admitância vista no plano b (circunferência 1) tem uma correspondência no plano A. A admitância estará numa circunferência de igual raio mas cujo centro sofreu uma rotação correspondente à distância d (em comprimentos de onda) em direcção à carga (circunferência 2).

o A admitância da carga vista no plano a, encontra-se no ponto A. Somando a admitância do stub 1 fazemos com que a admitância do stub 1+carga se desloquem sobre uma circunferência de g constante.

o A circunferência de g constante que passa por A intersecta a circunferência 2 nos pontos B e C o que nos dá dois pontos de possível adaptação.

o Para se realizar a adaptação, o ponto A deverá ser transformado em B ou C por ajustamento do stub 1. Este stub deve apresentar uma susceptância de entrada normalizada correspondente aos arcos AB ou AC.

CC

BB

AA

jbgy

jbgy

jbgy

+=+=+=

admitância do stub 1 ( )( )

ACACSC

ABABSB

bbjyyy

bbjyyy

−=−=−=−=



v Carta de Smith



o É necessário calcular a susceptância do ponto B e do ponto C no plano b, para isso deslocamos estes pontos de uma distância d na direcção do gerador. Obtemos assim os pontos B’ e C’ na circunferência de g=1.

o Este stub deve apresentar uma susceptância de entrada normalizada correspondente aos arcos AB’ ou AC’.

''

''

1

1

CC

BB

jby

jby

+=+=

admitância do stub 2 ''

''

CSC

BSB

jby

jby

−=−=

• Limitações ao método dos dois stubs

o Para se poder utilizar este método, a circunferência de g constante a que pertence o ponto da carta de Smith que representa a admitância da carga normalizada yL deve intersectar a circunferência de g=1 transferida em direcção à carga a distância d (em comprimentos de onda) igual à separação entre os stubs (circunferência 2).



v Carta de Smith



o Na figura estão ilustrados três casos particulares. Se a admitância de carga normalizada yL for representada pelo ponto A, a colocação de um stub em derivação na carga corresponderá a um deslocamento do ponto A ao longo de uma circunferência de g constante que não intersecta a circunferência 2, o que torna impossível a adaptação pelo método dos dois stubs.

o Analisando a figura conclui-se que, para se conseguir a adaptação com dois stubs, a componente real da admitância de carga deverá ser:

a) gL≤≤1 para d=λλ/4

b) e c) gL≤≤ para d=λλ/8 ou d=3λλ/8

o O valor máximo de gL para o qual é possível a adaptação com dois stubs depende da separação destes. Pode-se demonstrar que, estando o primeiro stub ligado à linha na carga e sendo d a distância entre os stubs, a adaptação é possível se:

dseng

L β2

1≤



v Carta de Smith



Casos particulares das limitações do método dos dois stubs



v Carta de Smith




o O coeficiente de reflexão na carga que termina uma linha de transmissão com Z0=50 ΩΩ é ρρ=0,667(90o). Para adaptar a carga à linha são utilizados dois stubs com a mesma impedância característica terminados em curto-circuito e distanciados 0,375λλ entre si, estando o stub mais próximo da carga a 0,1λλ da mesma.

Determinar as combinações possíveis de comprimentos de stubs que proporcionam a adaptação desejada.

o Resolução: A impedância de carga normalizada está representada na carta pelo ponto A. O ponto B representa a admitância correspondente. A admitância normalizada à distância de 0,1λλ da carga está representada pelo ponto C.

Ajustando o comprimento do stub mais próximo da carga (stub 1), o ponto C desloca-se sobre a circunferência de g=0,2 para o ponto D (1ª solução) ou para o ponto E (2ª solução) que, transferidos 0,375λλ em direcção ao gerador, se transforma em F e G, respectivamente.

Ajustando o comprimento do stub 2, os pontos F (1ª solução) ou G (2ª solução) deslocam-se sobre a circunferência de g=1 para o centro da carta 1ª solução:

stub 1 ( ) λλ 212,025,0462,01

=−=l

stub 2 ( ) λλ 426,025,0176,02

=−=l

2ª solução:

stub 1 ( ) λλ 096,025,0346,01

=−=l

stub 2 ( ) λλ 039,025,0289,02

=−=l



v Carta de Smith





v Carta de Smith

Ø Escalas radiais na carta de Smith

• Coeficiente de reflexão:

o de tensão: identetensão inc

lectidatensão refñ =

o de potência: ncidentepotência i

eflectidapotência rñ =

2

• Perdas na linha (em dB):

o ( )ñ

dBeflectidapotência r

ncidentepotência i retornoperdas por

1log20==

( )2

1

1log10

ñdB

ransmitidapotência t

ncidentepotência i reflexãoperdas por

−==

Coeficiente de onda estacionária:

o imatensão mín

imatensão máxVSWR =

e os valores correspondentes em dB.

• Coeficiente de perdas:

o 2

2

1

1

ñ

ñ

ransmitidapotência t

reflectidancidentepotência ise de perdacoeficient

−

+=

+=

que, para um dado nível de potência incidente, nos indica o aumento das perdas no meio de transmissão, por desadaptação, em relação à situação de adaptação perfeita.



v Carta de Smith

Ø Escalas radiais na carta de Smith

• Uma escala de e-2ααd em que cada divisão corresponde a 1 dB. Pode-se utilizar esta escala de perdas por transmissão graduada em intervalos de 1 dB para tomar em consideração o factor e-2ααd que relaciona os módulos dos coeficientes de reflexão em dois pontos distintos de uma linha de transmissão.

• Sendo conhecido o coeficiente de reflexão num dado ponto de uma linha, o valor a uma distância d no sentido do gerador ou da carga pode ser calculada assumindo inicialmente a linha sem perdas e em seguida reduzindo ou aumentando, respectivamente, o raio do factor e-2ααd.

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