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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO PARA A
CIÊNCIA E A MATEMÁTICA
GERALDA DE FATIMA NERI SANTANA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: AÇÕES PEDAGÓGICAS DE
PROFESSORES DE MATEMÁTICA DOS ANOS FINAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
MARINGÁ – PR
2016
GERALDA DE FATIMA NERI SANTANA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: AÇÕES PEDAGÓGICAS DE
PROFESSORES DE MATEMÁTICA DOS ANOS FINAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação
para a Ciência e a Matemática do Centro de Ciências Exatas da
Universidade Estadual de Maringá, como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre em Educação para a Ciência e a
Matemática.
Área de concentração: Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Marcelo Carlos de Proença.
MARINGÁ – PR
2016
...é uma estrada longa e ainda sem fim...
Tantos participantes na construção,
A família presente 24h diárias.
Os alunos de modo presencial
deste dia,
Os amigos, os conhecidos virtuais.
Minha gratidão sem medidas...
uma palavra de carinho
ACALANTO!
AGRADECIMENTOS
Agradecimento é essencial e faz tão bem! É difícil nomear, deixar de citar alguém é
imperdoável, na verdade, são muitas pessoas generosas que contribuíram das mais diversas
formas. Aos não nomeados, também, meus agradecimentos.
À família, pela ausência do convívio, por furtar-me da presença.
Aos meus filhos, pelo carinho em compreender a volta à Academia. Inverteram-se os
papéis, agora eu sou fia. E fia dá trabalho! Todos vocês participaram deste fazer: Efraim,
Naira, Naomi; mas a Franciele atuou incansavelmente. Deus os abençoe.
Meu marido, Rubens, por me acompanhar nos eventos e estar sempre por perto.
Ao orientador desta pesquisa, professor Dr. Marcelo Carlos de Proença, obrigada por
apresentar-me à resolução de problemas. Sua atenção nas orientações foi eficaz neste
aprendizado.
Aos componentes da banca examinadora de qualificação e defesa Dr. Nelson Antonio
Pirola, Dr. Ourides Santos Fantin, Dra. Maria Alice Ferreira Veiga e Dr. André Luis de
Oliveira por contribuições preciosas e apontamentos que foram fundamentais.
De modo especial agradeço:
Alexandre e Marisa do Núcleo Regional de Educação de Maringá.
Aos professores que colaboraram respondendo o questionário, em especial P6, P7, P9 e
P11. Vocês foram determinantes no levantamento dos dados coletados.
À professora Ana Obara pelo incentivo e por não me deixar desistir.
Ao Alexandre Polizel e Tania Rosetto por acompanharem de tão perto esta pesquisa.
À amiga Erika com quem pude compartilhar horas de estudos, momentos de incertezas
e conquistas.
À minha irmã Inez por se preocupar com meu bem estar.
Aos Lucas por sua afetividade.
À professora Leni Lage que cuidou dos detalhes na Casa da Gramática.
“Os que dormem não tocam as estrelas”
- Tania Regina Rossetto
RESUMO
Nesta pesquisa procuramos responder à seguinte questão: quais ações pedagógicas dos
professores que ensinam Matemática dos anos finais do Ensino Fundamental podem ser
identificadas quando trabalham na abordagem da resolução de problemas no processo de
ensino-aprendizagem de conteúdos de Matemática? É uma pesquisa de abordagem qualitativa
e foi realizada com quatro professores que ensinam Matemática na rede pública vinculados à
Secretaria da Educação do Estado do Paraná (SEED/PR), sob jurisdição do Núcleo Regional
de Educação de Maringá (NRE), Estado do Paraná. Propusemo-nos ao uso de Questionário
online, de Entrevista e Diário de Campo como instrumentos para a coleta de dados. O
Questionário online foi enviado ao e-mail (disponibilizado pelo NRE de Maringá) a 405
professores de Matemática jurisdicionados ao referido órgão. Destes 11 professores
retornaram o questionário. Pautando-se nas respostas, foram selecionados os professores
participantes desta pesquisa, denominados P6, P7, P9 e P11, sendo esta seleção dada sob
critérios estabelecidos: a) lecionar nos anos finais do Ensino Fundamental; b) utilizar a
resolução de problemas como abordagem de ensino e c) considerar importante que a
pesquisadora observasse-os em sala de aula. A Entrevista do tipo semiestruturada buscava
identificar na conversa informal, quais as ações do professor em sala de aula, em um ensino
com abordagem na resolução de problemas. O Diário de Campo para registrar o
desenvolvimento das ações pedagógicas dos professores que afirmaram utilizar a resolução de
problemas. Essas ações serviram de parâmetros para analisar as aulas ministradas pelos
professores investigados e se referem a: a) propor o problema como ponto de partida para
introduzir um novo conteúdo de Matemática que pudesse ser resolvido por diferentes
estratégias; b) discutir e cooperar na interpretação e compreensão do enunciado e estratégias
de resolução, dando voz aos alunos e/ou demonstrar as maneiras utilizadas para solução do
problema proposto; c) agrupar os alunos e permitir o tempo necessário para o planejamento e
a execução de um plano elaborado e, d) socializar com a classe as estratégias apresentadas,
promovendo o desenvolvimento de conceitos pelos alunos. Após as análises dos dados obtidos
foi possível identificar o que P6, P7, P9 e P11 afirmaram no Questionário e na Entrevista. Dos
quatro professores selecionados, três tiveram suas aulas analisadas, dados confirmados pelo
Diário de Campo. Os dados do Diário de Campo apontaram que os docentes P9 e P11 utilizam
o problema como ponto de partida possibilitando a participação ativa do aluno na discussão
das estratégias de resolução favorecendo a construção dos conceitos. As ações pedagógicas
dos docentes indagados indicam um ensino via resolução de problemas. A abordagem de
ensino do docente P7 condiz com a resolução de problemas como aplicação de conhecimentos
porque suas ações se iniciam a partir dos conceitos, os problemas vêm depois. Nesse sentido,
seria ensinar para a resolução de problemas.
Palavras-chave: Resolução de Problemas. Ensino de Matemática. Ensino Fundamental.
ABSTRACT
In this research, we seek to answer the following question: which educational actions of
teachers who teach Mathematics in Primary Education II can be identified when they work in
the approach to problem solving in the teaching-learning process of Mathematics content? It
is a qualitative research and was carried out with four teachers who teach Mathematics in
public schools, and are linked to the Education Secretariat of the State of Paraná (SEED/PR),
under the jurisdiction of the Regional Center of Maringa Education, State of Parana. We
proposed the use of online questionnaire, interview and field diary as tools for data collection.
a) The online questionnaire was sent to the email address (provided by the Maringa Regional
Education Center) to mathematics teachers jurisdictional in that organ. Issues Questionnaire,
among others, aimed to identify methodological trends are used by teachers in mathematics
teaching content. b) the type of semi-structured interview sought to identify in this informal
conversation, what the teacher actions in the classroom, in an educational with approach in
the problem solving. c) the Field Diary to record the development of educational activities of
teachers that indicated use problem solving. Such actions served as parameters to analyze the
classes taught by teachers investigated and they refer to: a) propose the problem as a starting
point, to introduce a new mathematics content that permits be solved by different strategies;
b) discuss and cooperate in the interpretation and understanding of the statement and
resolution strategies, giving voice to the students so that they can speak and/or demonstrate
the ways used to solve the proposed problem; c) group students and allow time for the
planning and execution of an elaborate plan; d) socialize with the class the strategies
presented, promoting the development of concepts by students. The teachers participating in
this research were named P6, P7, P9 and P11. Unfortunately, there was no time to observe the
P6 classes; the delay in collecting these data was due to the strike of the classes in the state of
Paraná in this year of 2015. After the analysis of the collected data, it was possible to identify
that P6, P7, P9 and P11 showed both the verb form (Questionnaire) and oral (Interview) that
work in problem-solving approach. As the Field Diary and in accordance with the theoretical
framework we used, the surveyed teachers develop in classroom a theaching of mathematics
from the perspective of problem solving. The P9 and P11 teachers use the problem as a starting
point, enable active student participation in the discussion of solving strategies favoring the
construction of concepts. Such pedagogical actions indicate a teaching by way of problem
solving. The teaching approach of the P7 teacher matches the resolution of problems such as
application of knowledge, because their actions are initiated from the concepts, problems
come later as application of knowledge. Therefore it would be teach to the problem solving.
Keywords: Problems Solving. Mathematics. Teaching. Elementary School.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Triângulos, apresentação no quadro de giz e no software GeoGebra e atividades do
livro. .......................................................................................................................................... 73
Figura 2. Frações: Estratégias de resolução apresentadas pelos alunos ................................... 80
Figura 3. Frações: Estratégias de resolução apresentadas pelos alunos no quadro de giz ....... 83
Figura 4.Geometria plana, representações nosoftware GeoGebra e no quadro de giz ............ 86
Figura 5. Juros simples – estratégias de resolução no quadro de giz ....................................... 98
LISTA DE QUADROS
Quadro 1. Relação entre autores e perspectiva das etapas/fases e estágios do pensamento
criativo durante a solução de problemas................................................................................... 37
Quadro 2. Trabalhos apresentados no XI ENEM nos quais foi abordada a perspectiva de
resolução de problemas no Anos finais do Ensino Fundamental. ............................................ 45
Quadro 3. Perfil dos professores que responderam o Questionário online. ............................. 53
Quadro 4. Síntese dos procedimentos de coleta de dados ........................................................ 57
Quadro 5. Ações pedagógicas elencadas pelos professores. .................................................... 63
Quadro 6. Respostas apresentadas pelos entrevistados relacionadas à formalização do conceito
.................................................................................................................................................. 65
Quadro 7. Respostas dos entrevistados, ao trabalhar com a resolução de problemas ............ 67
Quadro 8. Perfil dos participantes da pesquisa ......................................................................... 69
Quadro 9. Informações gerais das turmas as quais as aulas foram observadas ........................ 70
Quadro 10. Quanto à abordagem de um determinado conteúdo/assunto ................................. 74
Quadro 11. Quanto a proposição de problemas que permitam ser solucionados por diferentes
estratégias ................................................................................................................................. 78
Quadro 12. Referente à sondagem de conhecimentos prévios ................................................. 79
Quadro 13. Em relação ao nível de dificuldade dos problemas. .............................................. 81
Quadro 14. Enquadre de acordo com a cooperação na interpretação e compreensão do
enunciado .................................................................................................................................. 86
Quadro 15. Quanto a postura do professor em relação as contribuições dadas ao processo de
resolução ................................................................................................................................... 87
Quadro 16. Agrupamento e disponibilidade de tempo para execução de um plano elaborado 90
Quadro 17. Quanto ao tempo disponibilizados pelos docentes ao processo de resolução ....... 91
Quadro 18. Desenvolvimento das ações da resolução do problema1 apresentada pelos grupos
no quadro de giz ....................................................................................................................... 92
Quadro 19. Representação escrita pelos alunos do 6º ano, para o conceito de fração ............. 95
Quadro 20. Socialização das estratégias. .................................................................................. 99
Quadro 22. Ações pedagógicas analisadas conforme os três instrumentos de coleta de dados
................................................................................................................................................ 100
LISTA DE SIGLAS
CEE Conselho Estadual de Educação.
CNE Conselho Nacional de Educação.
DCN Diretrizes Curriculares Nacionais.
ENADE Exame Nacional de Desempenho de Estudantes.
ENEM Encontro Nacional de Educação Matemática.
GETOM Grupo de Estudos e Trabalhos das Olimpíadas de Matemática.
GT Grupo de Trabalho.
GT7 Grupo de Trabalho Sete.
NRE Núcleo Regional de Educação.
OBMEP Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas.
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais.
PDE Programa de Desenvolvimento Educacional.
PDT Plano de Trabalho Docente
PISA Programa Internacional de Avaliação de Estudantes
PPP Projeto Político Pedagógico.
PR Estado do Paraná.
PSS Processo Seletivo Simplificado.
PUC Pontifícia Universidade Católica.
QPM Quadro Próprio do Magistério
RP Resolução de Problemas .
RS Estado do Rio Grande do Sul.
SBEM Sociedade Brasileira de Educação Matemática.
SEED Secretaria da Educação do Estado do Paraná.
TIC Tecnologias de Informação e Comunicação.
UEM Universidade Estadual de Maringá
UMT Universidade Federal do Mato Grosso.
UFT Universidade Federal do Tocantins.
UNICAMP Universidade Estadual de Campinas.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 16 1. FORMAÇÃO DE PROFESSORES .............................................................................. 19 1.1Formação do professor de Matemática ................................................................................ 22 1.2 Pesquisas sobre formação do professor na resolução de problemas .................................. 27
2. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ................................................................................ 31 2.1 Ensinar em uma perspectiva da resolução de problemas ................................................... 31 2.2 O que é um problema? ........................................................................................................ 33
2.3 Etapas da resolução de problemas ...................................................................................... 36 2.4 A importância da abordagem da resolução de problemas no ensino de Matemática ......... 40 2.5 Ações pedagógicas em sala de aula: como abordar a resolução de problemas no ensino .. 42
3. METODOLOGIA ........................................................................................................... 48 3.1. Problema de pesquisa e natureza da pesquisa ................................................................... 48 3.2. Instrumentos de coleta de dados ........................................................................................ 49 3.3 Procedimentos da pesquisa ................................................................................................. 51
3.3.1.Primeiro momento: Envio do Questionário online .................................................. 51
3.3.2 Segundos momentos: Leitura e seleção dos Questionários online e análise dos
dados ................................................................................................................................. 52
3.3.3 Terceiros momento: Entrevistas com os professores selecionados ......................... 54 3.3.4 Quarto momento: Observação das aulas ministradas pelos professores e análises . 55
4. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS ..................................................................... 58 4.1 Apontamentos dos participantes indicados no questionário online em relação ao trabalho
na abordagem da resolução de problemas .......................................................................... 58
4.2 Análise das entrevistas....................................................................................................... 62 4.3 Análises das aulas .............................................................................................................. 68
4.3.1 Propor o problema como ponto de partida, para introduzir um novo conteúdo de
Matemática e que permita ser resolvido por diferentes estratégias .................................. 71 4.3.2 Discutir e cooperar na interpretação e compreensão do enunciado e estratégias de
resolução, dando voz aos alunos para que possam falar e/ou demonstrar as maneiras
utilizadas para solução do problema proposto .................................................................. 82 4.3.3 Agrupar os alunos e permitir tempo necessário para o planejamento e a execução
de um plano elaborado ...................................................................................................... 88 4.3.4 Socializar com a classe as estratégias apresentadas, promovendo o
desenvolvimento de conceitos pelos alunos ..................................................................... 91
5. CONCLUSÃO ............................................................................................................... 100 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................... 103
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 105 APÊNDICE A – CARTA CONVITE E QUESTIONÁRIO ONLINE ............................. 113 APÊNDICE B – TERMO DE CONSENTIMENTO ......................................................... 116 APÊNDICE C – INSTRUMENTO PARA COLETA DE DADOS: DIÁRIO DE CAMPO
................................................................................................................................................ 117
14
APRESENTAÇÃO
Minha trajetória na Educação iniciou-se antes mesmo de ir para escola. Aprendi a
leitura e escrita com minha mãe e seus livros. Em um deles, o manuscrito, de tão gasto não
mais visualizamos sua data de publicação e título. Nas páginas 100 e 101, temos o texto “A
primeira escola de São Paulo de compilações históricas de R. Puiggari”, do qual retirei o
excerto “Fundou-se o collegio de São Paulo em 1554. [...] Ali o Padre Anchieta ensinou a
seus alunnos [...] livros não os tinham e o mestre tinha que remediar essa falta copiando as
licções nos cadernos de cada um dos alunnos, [...] os pequenos indígenas iam pouco a pouco
adquirindo esses conhecimentos, que transformavam os [...] filhos das mattas em auxiliares da
civilização européa, que aqui se desenvolveu”.
Será que acabaram tais embaraços? Naquela época, era a falta de livros, na minha
infância o transporte até a escola. Ainda hoje, continuam certamente, em outros moldes.
Em meu caderno escolar de 1965 está registrado: “Eu tenho 8 anos [...] eu quero ser
normalista”. Um sonho, um desejo de criança, uma profissão não surge assim [...] Constrói-se.
Em 1973, na escola Normal Colegial Estadual de Altônia, em meus registros na disciplina de
Didática há esta definição: “professor – aquele que ensina [...]. Necessário e fundamental que
o professor tenha uma boa didática, a fim de poder, realmente, dirigir a aprendizagem de seus
alunos de maneira satisfatória [...]. Aprender é modificar-se, é assumir novas atitudes, adquirir
novas reações [...]”. E assim, normalista!
Ao final de 1980, já havia concluído as licenciaturas em Ciências/Matemática e
Pedagogia. Nessa trajetória iniciei minha profissão, na qual atuo com responsabilidade e
compromisso, buscando abordar diferentes formas de ensino de Matemática como, por
exemplo, a resolução de problemas.
Dos cursos de formação continuada em que participo/participei, destaco o Programa
de Desenvolvimento Educacional - PDE, que me motivou a voltar aos bancos escolares como
aluna de mestrado. No artigo final produzido para o PDE ficou registrado: “Mesmo com
alguns anos de prática docente, esta experiência fez com que a Professora PDE afirmasse:
nunca mais minhas abordagens pedagógicas sobre o conteúdo equação do 2º grau serão as
mesmas”. (SANTANA; NOGUEIRA, 2009, p. 29).
A forma de ensinar um conteúdo em Matemática sempre me trouxe inquietações.
Para algumas dessas inquietações ainda busco respostas. O primeiro contato sobre a temática
da resolução de problemas partiu das discussões e orientações do professor Dr. Marcelo
15
Carlos Proença, e a partir delas aflorou meu interesse em investigar o ensino de Matemática
nessa perspectiva. Desse modo, a resolução de problemas veio para tornar as aulas e a
Matemática significativas aos alunos. Ensinar com eficácia também se tornou minha busca
incessante como docente nesse campo.
Em atividades realizadas em sala de aula com uma turma de 9º ano desenvolvi ações
com a proposição de um problema para início do novo conteúdo; fiz trabalho em grupos e
discussão de diferentes estratégias de resolução propostas pelos alunos, socialização e
promoção do desenvolvimento de conceitos. Conforme Santana e Proença (2014), foi possível
promover a evolução do conceito de sistema de equações polinomiais do primeiro grau,
mediante as ideias dos alunos. Desde modo, averiguamos que, ao introduzir o conteúdo
sistema de equações tendo o problema como ponto de partida, os alunos participaram
ativamente de todo processo ensino e de aprendizagem ao socializar com a turma as
estratégias elaboradas.
Em pesquisa de Santana e Proença (2015a, 2015b) com uma turma de 7º ano do
Ensino Fundamental, viu-se que o ensino via de resolução de problemas levou-se os alunos
aos conceitos de números negativos. Destacaram-se na pesquisa as ações: a adoção do
problema como primeira abordagem para apresentação do assunto, o levantamento de
conhecimentos prévios, a mediação junto aos alunos dos recursos e registros elaborados por
eles, bem como a interpretação dos dados e a (re) discussão das soluções apresentadas.
Quanto as minhas vivências na docência e ao (re) pensar a formação inicial e
continuada de professores, volto-me a pensar em estratégias que valorizem a participação do
aluno na construção dos conceitos. Os resultados que tenho alcançado no trabalho com a
abordagem da resolução de problemas levou-me a esta dissertação. Dessa forma, nesta
pesquisa apresentamos a maneira como professores da disciplina de Matemática que atuam
nos anos finais do Ensino Fundamental trabalham na perspectiva da resolução de problemas.
Na introdução desta dissertação a seguir, discorremos sobre a pesquisa na ótica da
relevância do referencial sobre resolução de problemas para impulsionar reflexões necessárias
à formação inicial e continuada de professores.
16
INTRODUÇÃO
A temática desta pesquisa é a investigação dos conhecimentos de professores da
disciplina de Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental com foco na resolução de
problemas.
As pesquisas realizadas por Proença (2013) Redling (2011) e Coelho (2005), indicam
que os docentes têm ciência de que a resolução de problemas é uma abordagem no ensino de
Matemática, contudo o entendimento dos professores a respeito desse enfoque em sala de aula
ainda não ocorre efetivamente.
Além de a resolução de problema não ser utilizada em sala de aula, Coelho (2005)
também evidencia defasagens na compreensão dessa abordagem. Durante os anos letivos de
2003-2004, a pesquisadora acompanhou 12 reuniões pedagógicas realizadas por professores e
o coordenador da área de Matemática da Rede Municipal de Ensino de Ribeirão Preto/SP,
para investigar se nos discursos os professores, mesmo nas entrelinhas, suas concepções sobre
resolução de problemas. De acordo com seus estudos, o ensino via resolução de problemas
(problema abordado como ponto de partida no ensino de um conteúdo) ainda não é uma
prática entre os professores participantes da pesquisa. Para eles essa abordagem ainda é um
desafio; nas aulas ocorre um ensino baseado em fórmulas com a busca de soluções imediatas,
resultando apenas na transmissão dos conteúdos. Para Coelho (2005) os docentes
participantes da investigação não tinham conhecimentos para um ensino com abordagens na
resolução de problemas.
Nos resultados da investigação de Redling (2011), há dificuldades não apenas nas
concepções sobre a abordagem de resolução de problemas, como também em sua aplicação
por alguns docentes, pois o dizer-fazer não se encontravam alinhados. Redling (2011) em sua
pesquisa acompanhou professores de Matemática em sala de aula com a finalidade de
observar se utilizavam a resolução de problemas como Metodologia de Ensino-
Aprendizagem. Constatou, primeiramente, em entrevista, que cinco dos sujeitos pesquisados
disseram utilizar a resolução de problemas como metodologia de ensino para introduzir um
novo assunto, ao observar as aulas, este fato não foi evidenciado.
Já Proença (2013) confirmou que há dificuldades quanto conhecimento relacionado a
resolução de problemas no ensino e aprendizagem pelos professores que ensinam Matemática.
Demonstrou essa situação quando analisou trabalhos apresentados no Encontro Nacional de
Educação Matemática. Dentre 10 trabalhos analisados, apenas dois deles foram classificados
17
pelo autor como abordagem de ensino via resolução de problemas. Isso caracterizou ao
pesquisador que o ensino nessa perspectiva ainda não é um trabalho efetivo.
As pesquisas de Coelho (2005), Redling (2011) e Proença (2013) indicam as
dificuldades dos professores em relação ao uso da resolução de problemas no ensino. Desde
1980 os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática já apontavam “a falta de
uma formação profissional qualificada, as restrições ligadas às condições de trabalho, a
ausência de políticas educacionais efetivas e as interpretações equivocadas de concepções
pedagógicas” (BRASIL, 1998, p. 21).
Nesse sentido, para que esses e outros desafios sejam superados, é preciso pensar o
que diz Perrenoud (2002). Para ele, há mais de uma década desde a formação inicial do
professor se faz necessária a qualificação profissional para que o futuro professor possa
refletir sobre sua prática em sala de aula de modo a possibilitar um fazer pedagógico que
pense a abordagem dos conteúdos para que o aluno participe efetivamente do processo de
construção do conhecimento. Assim, para propiciar um ensino que resulte em aprendizagem,
é imperativo que o professor continue se capacitando, embasando sua prática mediante
participação em cursos de formação continuada e em pesquisas acadêmicas.
Ao contrário do que essas pesquisas anteriormente citadas apontaram sobre as
dificuldades de professores de Matemática para abordar a resolução de problemas em sala de
aula, verificam-se em estudos indicações do que seria importante ser feito nessa abordagem.
Um estudo nessa direção é o de Puti (2011), indicando que, ao abordar a resolução de
problemas em sala de aula, é necessário formar grupos e entregar a atividade; observar o
comportamento dos alunos e promover a interação entre eles; ajudar no sentido de relembrar
conhecimentos prévios; convidar os alunos para fazer os registros das estratégias de resolução
na lousa; discutir as estratégias apresentadas; tecer as conclusões buscando consenso das
ideias, finalizar com a solução correta e apresentar o conteúdo por meio da linguagem
matemática.
Na pesquisa de Pereira (2011) é destacado que cabe ao professor organizar a aula de
modo que cada aluno possa construir seu próprio conhecimento matemático e discutir
possíveis soluções dos problemas apresentados que sejam diferentes daquela do docente. Na
investigação de Rodrigues (2011) é apresentada a necessidade de o professor ser questionador
durante todo o processo de resolução, explorar os problemas e fazer analogias.
As pesquisas citadas demonstraram que os problemas apresentados permitiram
estratégias de resolução diversificadas se o professor elaborasse junto aos alunos a construção
dos significados dos conteúdos. Fundamentados nessas constatações, levantamos a hipótese
18
de que há possibilidade de evidenciar ações pedagógicas relativas à resolução de problemas
na prática do professor. Nesse sentido,
[...] o professor precisa desenvolver saberes práticos, mas precisa também,
em seu processo de formação, munir-se de saberes teóricos, pedagógicos ou
dos conteúdos com que vai lidar [...] qual o sentido daquilo que o professor
faz? Por que ele faz o que faz? Essa realidade, [...] deve ser apreendida,
discutida, e por meio dela nos aproximamos dos saberes da prática, dos
saberes da experiência (FRANCO, 2012, p.106).
Para Franco (2012) as práticas pedagógicas antecedem as ações em sala de aula uma
vez que envolve questões como o enfoque metodológico, os materiais didáticos utilizados, os
métodos, além de outros fatores. Afirma Franco que
[...] o professor ao construir sua prática pedagógica, está em contínuo
diálogo com o que faz, por que faz e como deve fazer [...] construir e
desconstruir; começar de novo; acompanhar e buscar novos meios e
possibilidades. Essa dinâmica é o que faz da prática uma prática pedagógica
(FRANCO, 2012, p.170).
Em relação aos estudos aqui apresentados elaboramos seguinte problema de
pesquisa: quais ações pedagógicas dos professores que ensinam Matemática nos anos finais
do Ensino Fundamental podem ser identificadas quando trabalham na abordagem da
resolução de problemas no processo de ensino-aprendizagem de conteúdos de Matemática?
Quanto à resolução de problemas, os PCN apontam “a resolução de problemas como
ponto de partida da atividade matemática” (BRASIL, 1998, p.39-40). Corroborando com os
PCN, Andrade e Nogueira (2005) nos dizem que, para abordar a resolução de problemas os
conceitos e definições, é preciso que sejam pensados pelos alunos e não repassados pelo
professor. Ou seja, as estratégias apresentadas pelos alunos geram a elaboração dos conceitos.
Desta forma, estruturamos o escopo desta pesquisa da seguinte forma: na primeira
seção, abordamos a formação de professores, formação do professor de Matemática e as
pesquisas sobre a formação do professor na resolução de problemas. Destacamos que exercer
o ofício de ensinar requer um profissional comprometido com suas ações pedagógicas para
construir um ensino de qualidade.
Na segunda seção, discutimos o sentido de ensinar na perspectiva da resolução de
problemas, o que é problema, etapas da resolução de problemas, a importância da abordagem
de resolução de problemas no ensino de Matemática e ações pedagógicas em sala de aula, isto
é, como abordar a resolução de problemas no ensino.
19
Na terceira seção, especificamos os procedimentos metodológicos que direcionam
esta pesquisa, ou seja, a coleta de dados por meio dos instrumentos: Questionário online,
Entrevista e a observação das aulas registrando no Diário de Campo o desenvolvimento das
ações pedagógicas. Identificamos os participantes da pesquisa.
Na quarta seção, efetuamos a análise e discussão dos dados de acordo com as
categorias elencadas. Após observação das aulas, buscamos identificar se a prática
desenvolvida em sala de aula se aproxima dos dizeres dos professores que indicaram usar a
resolução de problemas como abordagem de ensino.
Na quinta seção, apresentamos a conclusão, elencando os resultados mediante o que
foi proposto inicialmente evidenciando os aportes teóricos e os instrumentos de coleta de
dados.
Na sexta seção propusemos a delimitar as considerações finais.
1. FORMAÇÃO DE PROFESSORES
Na trajetória histórica da formação e ofício docente, apreendemos que a presença do
professor se fez e se faz necessária nas questões de âmbito social. De acordo com
Hengemühle (2008), a função de educar competia àqueles que pudessem dirigir determinadas
cerimônias, contribuir para a difusão do conhecimento, formar valores morais e preencher o
tempo dos iniciantes, quer sejam crianças ou jovens. De início, não era exigida nenhuma
formação profissional, nenhum título, mas um bom caráter. Salientamos que questões como
bom caráter, moral e honorabilidade, continuam sendo valorizadas.
Na Idade Média e início da Renascença, havia uma preocupação com a formação do
futuro professor, relacionada aos conhecimentos ensinados e à preparação para o seu
desenvolvimento técnico. No século XVI, com a ordem dos jesuítas, os professores foram
sistematicamente treinados em padrões rígidos e, após anos de preparação, o candidato
começava a ensinar supervisionado pelos seus superiores. Conforme Hengemühle (2008,
p.75) “os estágios, o início da vida profissional em escolas de Educação Básica, embora feitos
com menos disciplina do que os daquela época dos inícios jesuíticos são referenciais
praticados até nossos dias”.
Da segunda metade do século XVII ao início do século XVIII houve uma recorrente
preocupação com a formação dos professores. No século XIX destacamos a influência
exercida pelo pedagogo Herbart (1776-1841) no preparo dos professores. Herbart é
considerado o fundador da “pedagogia científica” (HENGEMÜHLE, 2008, p.80). Nesse
20
percurso, “[...] é importante frisar que a formação e as práticas pedagógicas dos professores
foram, de maneira muito significativa, influenciadas pelos avanços da ciência, ou seja, do
pensamento científico” (HENGEMÜHLE, 2008, p.66).
Quando se discorre sobre as práticas pedagógicas e a formação de professores, é
importante destacar que existe na literatura explicações sobre como poderia ser desenvolvida
a formação de professores. Levando em consideração mudanças de cunho social, político e
econômico essa preocupação existiu para compreender o exercício da docência e a construção
da profissionalização do ofício de docente.
Contreras (2002) mostra vários autores que contribuíram nesse sentido. Discute e
apresenta as contribuições de Schön, Stenhouse e Elliot. Levando em consideração as
características do ensino temos: o especialista técnico, o profissional reflexivo e o intelectual
crítico. Aos que consideram a prática profissional do ensino a partir da racionalidade técnica,
a ideia desse modelo consiste em procedimentos técnicos e teóricos, diante de imprevistos que
requer procedimentos que diferem dos planejados, este profissional não está capacitado. A
concepção do profissional reflexivo remete àquele que, ao enfrentar situações incertas, busca
solução superando seus limites. Essa prática remete ao próprio termo reflexivo, ou seja, de um
fazer pedagógico refletindo sobre suas ações em questões imprevistas transformando o
docente em investigador de suas ações. Isso resulta em conhecimento acumulado no decorrer
de sua atuação profissional e é interpretada como contraponto ao modelo de especialista
técnico.
A concepção de professor como intelectual crítico tem por finalidade analisar as
diversas faces da autonomia e cada uma em suas particularidades. Remete às contribuições de
Giroux que, a partir dos anos de 1980, trouxe uma abordagem do professor como intelectual
crítico, apoiando-se nos fundamentos filosóficos e nos processos de reflexão crítica coerentes
com a visão do exercício profissional, contrapondo-se aos limites do professor como artista
reflexivo.
Na literatura pedagógica tornou-se habitual referir-se ao ensino como prática reflexiva.
Para Stenhouse os docentes são como artistas que, ao refletir sobre suas ações, buscam
aperfeiçoá-las dando sentido a particularidades sem pretensão de generalizar, visto que as
classes, os alunos, as situações de ensino “refletem características únicas e singulares”
(CONTRERAS, 2012, p.128). Nesse sentido traz a ideia de professor pesquisador.
O professor, ao desenvolver seu trabalho em sala de aula, deve transformar o ensino
em atividade cada vez melhor, pois suas ações vão além dos conteúdos a ser ensinados
21
estabelecidos no currículo e em seu plano de trabalho docente visando desenvolver o senso
crítico em seus alunos.
Contudo, essa autonomia docente, mesmo processualmente produzida em quesitos de
formação, esbarra, muitas vezes, em recursos reduzidos ou investimentos mal planejados
destinados à educação brasileira que, por vezes, não têm contribuído com os avanços que se
esperam. Deste modo, “[...] os docentes se sentem muitas vezes isolados, esgotados, [...] o seu
nível de stress aumenta diante dos múltiplos obstáculos e dificuldades que encontram em seu
trabalho diário” (TARDIF; LESSARD, 2011, p.10). As dificuldades, destacadas são o número
excessivo de alunos, alta carga horária entre outras, problemas observados desde 1960. No
plano qualitativo, alguns fatores têm contribuído para deixar mais árdua a tarefa do professor,
ou seja, grupos de alunos heterogêneos e necessidades bem diversificadas. As mudanças na
sala de aula parecem caminhar a passos lentos, e mesmo com tantas reformas que dizem
respeito ao trabalho docente, os professores mantêm uma postura tradicional e desconfiada,
apesar de seus esforços para adaptar suas práticas de acordo com as novas propostas. Nessa
perspectiva, salientamos que
[...] apesar de mudanças e reformas nas últimas décadas, apesar das novas
tendências atuais que se desenham, tem muita dificuldade em escapar às
formas estabelecidas do trabalho docente: aprendizagem do ofício na prática;
valorização da experiência; ofício com forte dimensão feminina; classes
fechadas que absorvem o essencial do tempo profissional; individualismo no
ensino e logo pouca colaboração entre os pares; pedagogia tradicional; visão
muitas vezes estática do saber escolar (TARDIF; LESSARD, 2011, p. 12).
Nesse sentido, conforme Pimenta (2009, p.15) “repensar a formação inicial e
continuada, a partir da análise das práticas pedagógicas, tem-se revelado uma das demandas
importantes dos anos 90”.
Sobre os saberes docentes dos profissionais que atuam em sala de aula, observamos
que “[...] se compõe na verdade, de vários saberes provenientes de diferentes fontes. Esses
saberes são os disciplinares, curriculares, profissionais (incluindo os das ciências da educação
e da pedagogia) e experienciais” (TARDIF, 2008, p. 33).
Quanto aos saberes disciplinares, estes estão relacionados aos diferentes campos do
conhecimento científico da disciplina. Os saberes curriculares são aqueles que estão nos
programas escolares. São os objetivos, conteúdos e métodos de ensino aos quais o professor
deve tomar ciência. Os saberes experienciais são resultantes do próprio ofício de mestre,
produzidos no decorrer da docência que vão sendo incorporados à experiência individual e o
22
saber profissional formado por outros saberes vindos das instituições de formação, da
formação profissional.
Os estudos de Tardif (2008) ganharam importância no cenário educacional uma vez
que servem de apoio para aqueles que desejam rever suas linhas de pesquisa e de docência
com envolvimento e a participação dos que atuam diretamente na sala de aula.
Esses estudos demonstram a importância da formação do professor no decorrer dos
tempos e nos fazem perceber a necessidade de buscas por formas eficazes na formação inicial
e continuada de professores para que estas venham contribuir com um ensino de qualidade.
1.1 Formação do professor de Matemática
Fiorentini (1995), em seu artigo Alguns modos o de ver e conceber ensino da
matemática no Brasil discorre, entre outras coisas, sobre as concepções da Matemática, os
modos de obter/produzir o conhecimento matemático, as concepções de ensino e de
aprendizagem. A finalidade é apresentar as diferentes interpretações a esse respeito.
O modo de ver, conceber e ensinar Matemática depende da maneira de pensar e agir
do próprio indivíduo em cada época, pois são conhecimentos construídos historicamente. Em
relação ao ensino da Matemática, para alguns estudiosos este tem ligação com as atividades
do cotidiano, e para outros está relacionado à cidadania. Como o professor vai conduzir o
ensino depende de suas crenças, de suas concepções, de como ele acredita que o aluno
aprende se é por repetição ou se é construindo conceitos mediante materiais ou situações que
levam a reflexão.
De acordo com Fiorentini (1995), a partir da realização de congressos brasileiros na
área da Matemática, houve um engajamento dos matemáticos e dos professores nos
movimentos internacionais; os quais levaram a mudanças nos currículos escolares no Brasil,
pois o ensino não estava voltado à cidadania, mas “[...] à formação do especialista
matemático” (FIORENTINI, 1995, p. 14).
A essa tendência seguiu a máxima tecnicista, pois aqui, no Brasil, a função da escola
é preparar o aluno apenas para as habilidades técnicas. Nos anos de 1980, o ensino da
Matemática teve influências da epistemologia genética piagetiana. Embora Piaget não tenha
se preocupado em construir uma teoria de ensino ou de aprendizagem, tratamos da tendência
pedagógica construtivista que enfatiza o processo do aprender e não o produto final do
conhecimento. Assim, a ênfase no processo se volta também à observação das concepções do
sujeito, antes, durante e após o processo.
23
Para Cyrino (2013) as concepções acerca do conhecimento matemático que de algum
modo são transmitidas influenciam os alunos que almejam ser professores e até fazem parte,
eventualmente, de sua prática. Desse modo, as tendências requerem dos formadores um olhar
reflexivo sobre ideias como as que expressam que a Matemática é exata, difícil e abstrata.
Para desmistificar tais concepções é importante buscar o entendimento de que a Matemática
foi concebida em uma trajetória histórica, em uma cultura que abarca crenças e valores. Deve-
se oportunizar, desde os primeiros anos dos cursos de Licenciatura, aos futuros professores
contato com a realidade escolar, ou seja, que haja parcerias entre a Universidade e a escola de
Educação Básica e que sejam desenvolvidos projetos com a participação dos professores, dos
licenciandos e formadores.
A pesquisa de Ferreira (2003) apresenta um mapeamento de temas de dissertações e
teses que abrangem o período de 1975 a 2000 sobre a formação de professores de Matemática
no Brasil. A partir da segunda metade da década de 1970 os trabalhos analisados demonstram
que o professor era visto como um executor de tarefas. Nos anos de 1990, as pesquisas se
voltaram para os programas de licenciatura. Nos anos seguintes até os dias atuais, o que se
busca nos cursos de formação de professores de Matemática é levar em conta o ensino e
aprendizagem, ou seja, o que ocorre nas salas de aula, procurando parcerias entre professor e
pesquisador.
Por meio das abordagens sobre o tema podemos observar que:
Torna-se necessário construir uma nova perspectiva em relação à formação e ao
desenvolvimento profissional na qual professores e pesquisadores passem a se ver
reunidos como colegas - cada qual com seus saberes e experiências - unidos no
objetivo comum de proporcionar experiências matemáticas de qualidade para seus
alunos (FERREIRA, 2003, p.37).
Conforme Ferreira (2003), as pesquisas querem conhecer quem é esse professor que
ensina Matemática, compreender o que ele pensa e qual sua relação com seu modo de ensinar
Matemática, ou seja, sua prática. “Os educadores matemáticos, talvez, constituem um dos
grupos profissionais que mais procuram se aventurar por novos caminhos e com outros
olhares em relação à formação do professor, aos seus saberes e à sua prática docente”
(FIORENTINI, 2003, p.10).
Em dezembro de 2008, o pesquisador Jeremy Kilpatrik esteve em São Paulo para
ministrar um curso de Tendências em Educação Matemática e concedeu uma entrevista à
revista Nova Escola, publicada na edição 220 de março 2009. Kilpatrik (2009) menciona
como alguns países têm encaminhado de forma eficiente à formação docente, como, por
24
exemplo, na Alemanha, onde o professor iniciante tem acompanhamento nos dois primeiros
anos de atuação em sala de aula, que funciona como uma extensão da formação inicial.
Ao ser questionado sobre o ensino e desempenho da Matemática no Brasil comentou
sobre a necessidade de estabelecer metas e traçar meios de atingi-las. Uma necessidade é a
procura de qualificação dos profissionais da educação por meio de investimentos que buscam
novas formas de aprimorar os programas de formação docente para que estes sejam bem
preparados para uma educação de qualidade. “A única saída é a capacitação” (Kilpatrik,2009,
p.27).
O Parecer do Conselho Nacional de Educação (CNE/CES 1.302/2001), tendo como
assunto as Diretrizes Curriculares Nacionais (DCN) para os cursos de Bacharelado e
Licenciatura em Matemática, tem por objetivo principal formar o professor da educação
básica. Aos egressos do Curso de Bacharelado/Licenciatura em Matemática, o curso deve
propiciar competências e habilidades, dentre elas, a de “desenvolver estratégias de ensino que
favoreçam a criatividade, a autonomia e a flexibilidade de pensamento dos educandos,
buscando trabalhar com mais ênfase nos conceitos do que nas técnicas, fórmulas e
algoritmos” (BRASIL, 2001, p. 4).
De acordo com a proposta das DCN para Formação Inicial de Professores da
Educação Básica, em cursos de Nível Superior, destaca-se que
[...] durante o processo de formação, devem ser oferecidas oportunidades para que o
futuro professor possa desenvolver sua capacidade de estabelecer relações de
autonomia (tanto na relação com o conhecimento como nas relações institucionais) e
de responsabilidade pessoal e coletiva, base da ética profissional (CYRINO, 2013, p.
80).
D'Ambrosio (1993) discute em seu artigo: Formação de Professores de Matemática
para o Século XXI: o grande desafio, como deve ser a formação dos professores que ensinam
Matemática para que as aulas atendam as demandas na ótica da Educação Matemática. Dessa
forma,
Dificilmente um professor de Matemática formado em um programa tradicional
estará preparado para enfrentar os desafios das modernas propostas curriculares. As
pesquisas sobre a ação de professores mostram que em geral o professor ensina da
maneira como lhe foi ensinado. Predomina, portanto, um ensino em que o professor
expõe o conteúdo, mostra como resolver alguns exemplos e pede que os alunos
resolvam inúmeros problemas semelhantes. [...] Experiências matemáticas e com
alunos, devem ser cuidadosamente planejadas para que se complementem. [...] É
essencial que o programa de formação de professores facilite esse processo, criando
indivíduo críticos de sua própria ação e conscientes de suas futuras
25
responsabilidades na formação matemática de nossas crianças (D’AMBROSIO,
1993, p.38).
Nessa concepção é necessária uma formação inicial e continuada pautada nas
tendências de ensino que oportunizam ao professor realizar um trabalho no qual o aluno
participa da construção do conhecimento.
A Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM), fundada em 1988, é uma
sociedade sem fins lucrativos, desvinculada de religião ou partidos políticos, de caráter
científico e cultural. Tem por função congregar os envolvidos com a área da Educação
Matemática, quer sejam alunos, professores e pesquisadores vinculados e atuantes nos
diferentes níveis de ensino do sistema educacional brasileiro, desde a educação básica à
superior.
A SBEM é constituída por 13 Grupos de Trabalho (GT), espaço em que os
pesquisadores em Educação Matemática discutem, compartilham e divulgam com seus pares
suas pesquisas universitárias, dentre outras atividades, como parcerias em projetos. Cabe ao
GT7 agregar pesquisadores os quais tratam da Formação de Professores que ensinam
Matemática em todos os níveis de ensino desde a Educação Infantil ao Superior. De acordo
com o GT7 o Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM) é
considerado o espaço oficial para encontros e discussão de pesquisadores sobre a formação
docente.
Dentre os objetivos traçados pelo GT7, destacamos dentre outros:
Incentivar, discutir, analisar e divulgar/socializar pesquisas e estudos de experiências
inovadoras, com ênfase em processos de formação inicial e continuada; [...] Discutir
o domínio metodológico de investigação sobre saberes profissionais e formação de
professores que ensinam Matemática (NACARATO; PAIVA, 2013, p. 8).
Muitas são as pesquisas relacionadas à produção do saber docente. Conforme Nacarato
e Paiva (2013) é preciso repensar seja na formação inicial ou na continuada, o conhecimento
relativo ao conteúdo matemático e suas metodologias.
Confirmamos essa visão na pesquisa de Castilho, Müller e Santos (2013), sobre uma
iniciativa da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul (PUC/RS), que relata
uma conferência sobre as reflexões acerca da formação de professores de Matemática. Neste
relato há discussões de um grupo de professores das disciplinas específicas da Licenciatura
em Matemática vinculada à instituição levaram a reformular esse curso com o objetivo de
uma formação que proporcione as competências exigidas por uma sociedade em constante
26
mudança. Dentre as mudanças está a inserção de disciplinas que atendam a formação deste
profissional, contribuindo com os saberes inerentes à prática docente. Outro destaque são as
parcerias com instituições e laboratórios de ensino e experiências em museus tanto nas áreas
das Ciências como da Tecnologia, práticas que põem os licenciados em contato com situações
criativas e de trabalho em equipe, entre outras ações.
Ao observar as aulas das disciplinas de Prática Pedagógica de Ensino de Matemática I
e Prática Pedagógica de Ensino de Matemática II, em curso de Licenciatura Plena em
Matemática, Cavalcante (2011) analisou se as ações dos formadores de futuros professores de
Matemática podem influenciar na prática desses docentes, mobilizando saberes. Um dos
professores formadores desenvolve um trabalho em grupo e os conceitos partem de situações
práticas para chegar à teoria, o outro professor pesquisado procura a contextualização
servindo dos temas transversais e interdisciplinaridade. De acordo com o pesquisador “[...]
temos observado que nem sempre os futuros professores parecem conseguir mobilizar os
saberes aprendidos nessas disciplinas para suas práticas docentes [...] (CAVALCANTE, 2011,
p.31). Conforme essa pesquisa, parece haver um distanciamento entre o que se aprende nestas
disciplinas que foram escolhidas devido ao seu caráter pedagógico e ao que de prático pode
ocorrer na sala de aula.
Ao analisar teses e dissertações defendidas no Brasil entre os anos de 2005 e 2010,
Oliveira e Oliveira (2013) investigaram qual o foco dado à Matemática em cursos presenciais
de formação inicial de professores que vão ensinar Matemática nos anos iniciais. Dentre
outros problemas citados, há lacunas em relação aos conteúdos e à articulação entre teoria e
prática. A pesquisa aponta para a necessidade de melhor acompanhamento no estágio de
docência do futuro professor tanto pelo formador (professor universitário), quanto do
professor que recebe o estagiário em suas aulas na escola. Para essa atividade é interessante
que as disciplinas teóricas sejam revistas.
Em pesquisa Silva e Santos (2013) analisaram dois Projetos Políticos Pedagógicos
(PPP) de Licenciaturas em Matemática o da PUC do estado do Paraná (PR) e o da
Universidade Federal do Tocantins (UFT). As instituições foram escolhidas porque o curso de
Licenciatura em Matemática obteve conceito 4 e 5 no Exame Nacional de Desempenho de
Estudantes (ENADE) no período de 2010 a 2012. O objetivo foi verificar quais conteúdos,
ementas e a carga horária de Matemática eram contemplados em disciplinas de formação
Matemática. Nas discussões dos autores, constatou-se que a Matemática ensinada na escola se
distancia da Matemática da Academia, e que os cursos deveriam focalizar essas discussões.
Devido à ausência desses parâmetros, os conteúdos e a carga horária não beneficiam o futuro
27
professor no exercício da docência, de forma a contribuir para um melhor desempenho de sua
atuação em sala de aula.
As pesquisas relacionadas à formação do professor e à formação do professor de
Matemática seja inicial ou continuada, apresentam reflexões apontando para a necessidade de
que todos os envolvidos com essa temática contribuam com as ações relacionadas ao ensino,
valorizando e dando suportes teóricos e práticos àqueles que atuam diretamente com os alunos
em sala de aula, nas diferentes modalidades. Dentre as diversas formas de abordagens de
ensinar um conteúdo, ressaltamos as pesquisas relacionadas sobre a formação do professor na
resolução de problemas abordadas a seguir.
1.2 Pesquisas sobre formação do professor na resolução de problemas
Dentre as diversas formas de abordar um conteúdo matemático, procuramos os
resultados alcançados quando se prioriza um trabalho utilizando a resolução de problemas.
O estudo investigativo de Cunha, Gomes e Santos (2009) envolveu alunos e
professores nos anos finais do Ensino Fundamental, utilizando questões e atividades
matemáticas para os alunos. Esse objetivou descobrir junto a esses conhecimentos para
resolver as operações fundamentais assim como algumas situações apresentadas no formato
de problemas. Em relação aos professores, a proposta se constituia de questões que
pretendiam investigar se os professores tinham conhecimento da resolução de problemas
como abordagem de ensino; se em suas aulas utilizavam a resolução de problemas para
abordar um conteúdo matemáticoe se essa forma de ensino trazia resultados eficazes.
Ficou evidente para os pesquisadores que, em relação aos alunos do 5º e 6º anos, as
dificuldades foram acentuadas, pois o primeiro obstáculo foi o não entendimento
(interpretação) da questão. Em relação aos professores, apesar de afirmarem ter conhecimento
e julgara abordagem eficaz para um conteúdo, pouco a utilizam. Alegaram que o aluno não
compreendia os enunciados e detinha poucos conhecimentos matemáticos que implicavam na
resolução. Desta forma, Cunha, Gomes e Santos (2009) assinalam que o ensino deve ser
conduzido de forma conjunta, na qual professores, alunos, escola e comunidade
desempenhem o papel que lhes é devido.
Proença (2013) destacou as comunicações científicas contidas nos anais dos anos de
2001, 2004, 2007 e 2010 que foram apresentas no Encontro Nacional de Educação
Matemática (ENEM). A análise abordou somente os trabalhos de 2007 e 2010, visto que nos
28
outros anos citados as informações não contemplavam o problema proposto pelo pesquisador.
Nessa investigação sobre os conhecimentos dos professores que ensinam Matemática na
escola básica e sobre o ensino realizado por eles pela abordagem da resolução de problemas,
Proença (2013) concluiu, de acordo com sua análise, que, de forma geral, esses professores
Licenciados em Matemática e/ou formados em Pedagogia desconhecem ou não utilizam a
resolução de problemas durante o processo de ensino-aprendizagem escolar. Dentre os 10
trabalhos analisados, dois foram classificados na abordagem de ensino via resolução de
problemas caracterizando que o ensino nessa abordagem ainda não é efetivo. O pesquisador
sugere a necessidade de realizar cursos de formação de professores, quer seja na formação
inicial, ou na continuada, que oportunizam conhecer e utilizar esta forma de abordagem de
ensino.
Outra pesquisa de Proença (2014b) teve por finalidade levantar dados a respeito dos
conhecimentos e expectativas de 26 professores de Matemática sobre a resolução de
problemas. Esses participantes atuavam em escolas públicas do estado do Paraná e
participaram do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE/PR). A coleta de dados foi
obtida por meio da aplicação de dois Questionários. O primeiro deles foi aplicado antes da
realização do curso com a temática da resolução de problemas, e o segundo momento da
aplicação do Questionário foi após ter sido ministrado aos professores pelo próprio
pesquisador, um curso com carga horária de 20 horas intitulado como Resolução de
Problemas e o Ensino de Matemática.
Antes do curso, 38,5% dos 26 professores demonstraram não conhecer o tipo de
atividade que caracterizamos como problema e 23,1% destes consideravam o problema como
ponto de partida para iniciar um conteúdo de Matemática. Após o curso, de acordo com o
levantamento dos dados, foi possível perceber uma mudança significativa na compreensão do
que fora trabalhado. Desses, 23,1% avançou para 61,5% demonstrando concepções coerentes
ao uso do problema como ponto de partida na abordagem de ensino.
Proença (2014a) ministrou um curso de 30 horas/aula sobre Resolução de Problemas
a quatro futuros professores com o objetivo de investigar as dificuldades e os limites que
podem emergir durante a regência de aulas de Matemática. Estes prepararam sequências
didáticas, implementando-as em suas regências que foram acompanhadas pelo pesquisador.
Os resultados principais foram pautados na dificuldade em elaborar ou mesmo encontrar
problemas que pudessem ser resolvidos por diferentes estratégias e em criar um ambiente
propício que favorecesse a discussão das estratégias de resolução dos problemas. Dentre os
limites, foi destacada a falta de uma parceria pedagógica entre o estagiário e o professor
29
regente da sala, pois, em alguns conteúdos o professor já havia feito uma primeira abordagem.
Além disso, houve falta de conhecimentos básicos de Matemática pelos alunos.
Destacamos também a pesquisa de Proença (2015) que teve por objetivo
proporcionar a compreensão do ensino de frações via resolução de problemas a 25
licenciandas do curso de Pedagogia em aulas ministradas na disciplina de Metodologia de
Ensino de Matemática – 1ª a 4ª séries dos anos finais do Ensino Fundamental. Antes de iniciar
a aplicação dos problemas, foram realizadas discussões a respeito dessa abordagem de ensino,
os problemas foram apresentados contemplando o conceito e as operações envolvendo
números fracionários. Em pequenos grupos, as licenciandas deveriam elaborar estratégias de
resolução comportando-se como aprendizes iniciantes do conteúdo na procura da solução do
problema, não apenas pelo algoritmo convencional. Esse encaminhamento favoreceu
discussões, demonstrando possibilidades que levam o aluno a pensar, buscar caminhos e não
se limitar à mera aplicação de técnicas.
Ao iniciar e finalizar os estudos, as estudantes responderam questionários que
investigavam suas dificuldades em relação ao conteúdo estudado, bem como tratariam um
conteúdo utilizando a abordagem de resolução de problemas. Para análise das respostas
apresentadas pelas alunas foram estabelecidas quatro categorias prévias, a saber: 1) Ter o
problema como ponto de partida para iniciar um novo conteúdo; 2) Permitir que o próprio
aluno faça os encaminhamentos, que levará (ou não) à solução desejada; 3) Conversar sobre
as estratégias que foram apresentadas; e, 4) Articular o conteúdo em pauta, partindo das
estratégias evidenciadas a outros conteúdos.
Ao concluir essa pesquisa, observou-se que mesmo participando de todo processo
que abordou o ensino de frações via resolução de problemas, não foi possível preencher
satisfatoriamente todas as lacunas. Conforme os resultados da pesquisa, 40% das participantes
não propuseram o problema como ponto de partida. Em relação à menção dos quatro aspectos
na abordagem da resolução de problemas de 36% inicialmente, ao final atingiu 44%.
Azevedo (2014) realizou sua pesquisa para responder ao questionamento: “Como
preparar o futuro professor de Matemática da UFMT- Campus de Sinop, para a construção do
conhecimento Matemático necessário a um professor de Matemática do Ensino Básico”? Para
responder essa questão foram desenvolvidos dois projetos, denominados P1e P2. Ambos
ocorreram ao mesmo tempo em duas disciplinas, Tendências em Educação Matemática II e
Seminário de Práticas Educativas VI, com graduandos do 6º semestre do Curso de
Licenciatura em Ciências da Natureza e Matemática - Habilitação em Matemática da
Universidade Federal do Mato Grosso (UFMT) - Campus de Sinop.
30
O P1 ocorreu em um curso de 15 encontros sobre Metodologia de Ensino-
Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas. O P2 propôs aos
participantes a preparação e a apresentação de um seminário em que desenvolveriam uma
situação-problema, resultando em uma questão geradora para apresentar um novo conceito de
Matemática. Apesar das dificuldades, ficou evidente a importância de que, desde o início dos
cursos de formação inicial, o futuro professor tenha contato com abordagens de ensino que
vão orientar sua prática em sala de aula, e que possam aprender a aplicá-las.
Na pesquisa Resolução de problemas e jogos como metodologias em sala de aula de
Cocco et al. (2013) afirmam que a experiência advinda do trabalho da sala de aula oportuniza
o contato com a realidade escolar porque este estabelece uma importante parceria entre os
futuros professores, a universidade e o professor da Educação Básica.
Na busca por pesquisas depositadas no site da CAPES1, Santana e Proença (2015c)
propuseram responder ao seguinte questionamento “Como a resolução de problemas é
abordada em sala de aula no ensino de matemática respectivo ao Ensino Fundamental”? Após
o levantamento dos dados, foram utilizados os trabalhos de Puti (2011), Polese (2011), Pereira
(2011), Rodrigues (2011) e Martins (2012). Ao utilizar o problema como ponto de partida, a
proposição de estratégia de resolução pelos alunos, a comprovação de hipóteses, o trabalho
em duplas, essa abordagem de ensino permitiu o envolvimento dos alunos e coube ao
professor ser o mediador da aprendizagem.
Diante do que destacamos até o momento, entendemos que, pelas pesquisas
realizadas, há necessidade de abordar os professores e os futuros professores, de forma
prática, com possibilidades que lhes permitam aprender a aprender, para depois saber ensinar.
Desta maneira, o professor se põe como aquele que também aprende. Percebemos pelo relato
das pesquisas que, de modo geral, quando o professor tem a oportunidade de ampliar seus
conhecimentos, estes são utilizados em sua prática na sala de aula.
31
2. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Apresentaremos a seguir um panorama sobre a resolução de problemas; sobre o que
dizem os estudiosos desse tema, as concepções do que vem a ser problema, as etapas e a
importância da abordagem da resolução de problemas no ensino e finalizamos apresentando
as ações pedagógicas em sala de aula.
2.1 Ensinar em uma perspectiva da resolução de problemas
Na década de 1980, a resolução de problemas ocupou os currículos de Matemática
como uma forma de dar significado para o aluno do que está sendo ensinado. Devido a
diferentes interpretações, percebemos que professores ainda desenvolvem em suas aulas um
ensino baseado em fórmulas que, conforme Imenes (1997, p. 28), “[...] caem do céu”.
Segundo Morais e Onuchic (2014), o ensino com abordagem na resolução de
problemas iniciou-se na primeira metade do século XX de uma maneira em que aluno e
professor, de forma colaborativa, assumiram papéis distintos que culminaram em uma
aprendizagem com significados.
Há diferentes interpretações do significado de ensinar com uma perspectiva de
resolução de problemas. Os pesquisadores Schroeder e Lester (1989) apresentam três modos
distintos de abordar a resolução de problemas. São eles:
Ensinar sobre resolução de problemas; o professor segue o modelo proposto por
Polya (1887-1985), ou seja, seguir quatro passos: compreender o problema,
elaborar um plano para resolvê-lo, executar o plano elaborado e fazer a verificação
do resultado. Resolver problemas baseado em Polya, é indicar os caminhos da
solução com muitas perguntas;
Ensinar para resolução de problemas; as ações do professor são direcionadas para a
aplicação da Matemática. Neste caso, os alunos vão utilizar conhecimentos
matemáticos e aplicá-los tanto em problemas quanto em exercícios;
Ensinar via resolução de problemas; o problema vai ser utilizado como ponto de
partida para iniciar o ensino de um conteúdo. Ao professor cabe a função de mediar
à aprendizagem, possibilitando que o aluno participe ativamente da construção do
conhecimento.
32
A resolução de problemas, conforme descrevemos anteriormente, constitui uma
abordagem para ensinar Matemática, não é apenas ensinar a encontrar soluções de problemas,
esse é o enfoque que estamos considerando.
Em entrevista concedida à estudante de pós-doutoramento Maria Alice Veiga
Ferreira de Souza, em fevereiro de 2014, o professor Henrique Manuel Guimarães, da
Universidade de Lisboa – Instituto de Educação descreve as possibilidades de abordagem de
ensino com a resolução de problemas em três vias:
1) “[...] a resolução de problemas como aplicação de conhecimentos – nós
aprendemos primeiro as regras, as teorias, os conceitos e depois usamos isso,
aplicamos isso para resolver um problema” (SOUZA; GUIMARÃES, 2015,
p.128).
2) “[...] ensinar através da resolução de problemas – o problema é proposto como via
de aprendizagem. Então, [se] eu quero ensinar equações, posso propor um
problema para ensinar equações. O aluno não sabe nada de equações e com esse
problema ele vai ficar a saber” (SOUZA; GUIMARÃES, 2015, p.128).
3) “A outra [via] é a motivação, em que o problema aparece antes da aprendizagem,
dá-se um problema para interessar os alunos... não é no conceito [a aprender], é
para interessar os alunos na aula e, depois, vem a Matemática. É como se fosse
um rebuçado, não é, para entusiasmar os alunos, às vezes, tem o seu papel, não
estou a dizer que não tem” (SOUZA; GUIMARÃES, 2015, p.128).
O professor entrevistado faz uma relação entre o problema proposto e a
aprendizagem, ou seja, quando o problema é exposto antes, durante e depois da
aprendizagem. O uso do problema antes da aprendizagem, ocorre quando para chamar a
atenção do aluno à aula, “não é no conceito” propriamente dito. Essa forma está relacionada
“à motivação” do aluno. Fazer uso do problema durante a aprendizagem é quando o professor
não quer iniciar pela definição do conteúdo. Ou seja, o problema é que vai possibilitar a
construção do conceito.
Quando o uso do problema se dá depois da aprendizagem como aplicação de
conhecimentos, “[...] nós aprendemos primeiro as regras, as teorias, os conceitos e depois
usamos isso, aplicamos isso para resolver um problema, [...] Em termos de novas
aprendizagens, pelo menos no que diz respeito a conceitos, regras ou técnicas, eu acho que
[...] a aplicação, às vezes também dá origem a aprendizagens, mas, quer dizer... não
planeadas, não é? (SOUZA; GUIMARÃES, 2015, p.128-129).
O professor Guimarães comenta a aplicação dos conhecimentos e da motivação. Em
todos os casos há aplicação dos conhecimentos e também em todos eles, ocorre à motivação.
Em relação a isso ele diz que se não ocorrer motivação, é porque não houve uma situação de
33
desafio, o problema não ocorreu. Quanto a ocorrer novas aprendizagens, o mais provável é
que o ensino aconteceu mediante a resolução de problemas. Nesse caso, o problema é foi
exposto durante o ensino, ou seja, “ensinar com o problema”. É quando o problema é
utilizado com o propósito de ensinar algo.
No que diz respeito ao termo resolução de problemas, explicitamos que
[...] é uma expressão abrangente que pode significar diferentes coisas
para diferentes pessoas ao mesmo tempo e diferentes coisas para as
mesmas pessoas em diferentes ocasiões. As três interpretações mais
comuns de resolução de problemas são: 1) como uma meta, 2) como
um processo e 3) como uma habilidade básica (BRANCA, 1997, p.
4).
Segundo Branca (1997), quando considerada como meta, a resolução de problemas
implica na noção de que resolver problemas constitui umas das razões para estudar
Matemática. A resolução de problemas como processo considera as estratégias e os métodos
utilizados pelos alunos na busca pelas soluções dos problemas. Nesse caminho, a ênfase está
nos procedimentos. Ou seja, o mais importante não é apenas chegar ao resultado correto, mas
o trajeto intelectual percorrido pelo aluno. Quando interpretamos a resolução de problemas
como habilidade básica, é necessário considerar a escolha dos tipos de problemas e as formas
de solução.
A resolução de problemas considerada como possibilidade de ensino representa uma
maneira eficaz de dar significado aos processos de ensino e aprendizagem da Matemática pelo
uso de problemas como ponto de partida para iniciar um novo conteúdo, visto que propicia ao
estudante uma participação ativa na construção do conhecimento matemático (BRASIL,
1998).
2.2 O que é um problema?
Para responder a essa questão, vejamos um exemplo: “Se um professor de biologia
pergunta a um aluno que estuda num bairro violento: “Quantas pernas têm uma aranha”? ele
poderá ouvir respostas semelhantes às relatadas por Claxton (1994): “Quem dera eu tivesse os
mesmos problemas que o senhor!” (DANTE, 2010, p.12).
34
Claxton (1994) chama a atenção para os sentidos das palavras. O da palavra
“problema” assume significados diferentes dependendo do contexto, ou seja, o que constitui
um problema para uma pessoa, pode não ser problema para outra pessoa.
Não é toda tarefa que constitui um problema: “Para que possamos falar da existência
de um problema, a pessoa que está resolvendo essa tarefa precisa encontrar alguma
dificuldade que a obrigue a questionar-se sobre qual seria o caminho que precisaria para
seguir para alcançar a meta” (ECHEVERRÍA, 1998, p. 48).
Nesse sentido, “Uma situação-problema só se transforma realmente em um problema
quando o indivíduo que se depara com esta situação é motivado (ou induzido) a transformá-
la”. (BRITO, 2010, p. 19). “Se pudermos recuperar rapidamente uma resposta da memória,
não temos um problema. Se não pudermos recuperar uma resposta imediata, então temos um
problema a ser resolvido” (STERNBERG, 2000, p. 306).
Os PCN indicam que “Só há problema se o aluno for levado a interpretar o
enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada”
(BRASIL, 1998, p. 41). Nesse sentido, o aluno compreende que tem diante de si uma
atividade que para qual não tem uma resposta imediata e requer uma estratégia de resolução.
Temos na resolução de problemas uma forma acessível ao conhecimento, daí a
possibilidade de os alunos “aprender a aprender”. Dessa forma,
[...] O ensino baseado na solução de problemas pressupõe promover nos alunos o
domínio de procedimentos, assim como a utilização dos conhecimentos disponíveis,
para dar resposta a situações variáveis e diferentes. Assim ensinar os alunos a
resolver problemas supõe dotá-los da capacidade de aprender a aprender, no sentido
de habituá-los a encontrar por si mesmas respostas às perguntas que os inquietam ou
que precisam responder, ao invés de esperar uma resposta já elaborada por outros e
transmitida pelo livro-texto ou pelo professor (POZO, 1998, p. 09).
Para Sternberg (2000) a atividade de resolução de problemas exige elaboração de
estratégias, criatividade e deve estar de acordo com a experiência e o saber do aluno, pois a
busca pela resposta não se dá do mesmo modo para todos os envolvidos.
Os PCN esclarecem que para que uma questão seja considerada um problema, é
preciso elencar algumas características, ou seja,
[...] o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma
quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o
aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar
a situação que lhe é apresentada. [...] Um problema matemático é uma situação que
demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um
35
resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, mas é possível construí-
la. Em muitos casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos não
constituem verdadeiros problemas, porque, via de regra, não existe um real desafio
nem a necessidade de verificação para validar o processo de solução. O que é um
problema para um aluno pode não ser para outro, em função dos conhecimentos
que dispõe (BRASIL, 1998, p. 41).
Dessa forma, ao trabalharmos com a resolução de problemas, é importante
diferenciar um problema de um exercício, pois “um problema se diferencia de um exercício
na medida em que, neste último caso, dispomos e utilizamos mecanismos que nos levam, de
forma imediata, à solução” (ECHEVERRÍA; POZO, 1998, p. 16).
É interessante observar que ensinar o aluno a resolver problemas não significa dotá-
lo apenas de estratégias e habilidades, mas, sim conduzi-lo a perceber que a aprendizagem
também se constitui em problemas a serem solucionados. Por isso,
[...] é possível que uma mesma situação represente um problema para uma pessoa
enquanto que para outro esse problema não existe, quer porque ela não se interesse
pela situação, quer porque possua mecanismos para resolvê-la com um investimento
mínimo de recursos cognitivos e pode reduzi-la a um simples exercício
(ECHEVERRÍA; POZO, 1998, p. 16).
É de responsabilidade do professor propor atividades aos alunos durante todo período
letivo. Tais atividades não devem ser apenas exercícios prontos, mas também situações-
problemas que permitam aos alunos refletir e aplicar os conhecimentos matemáticos que
possuem. Para Pozo e Angón (1998, p.160) “[...] nem todas as tarefas escolares precisam
representar um problema para o aluno. Os exercícios também são necessários”. A forma de
trabalho do professor em sala de aula deve enriquecer o processo de ensino e aprendizagem,
cabendo a ele possibilitar a construção do conhecimento matemático. Assim,
[...] para que os estudantes que vão fazer uso da Matemática construam formas
eficazes de trabalhar com problemas e atinjam um domínio das tarefas inerentes a
essa disciplina, faz-se necessário que, desde o ingresso na escola, sejam levados a
trabalhar com problemas desafiadores que os levem ao desenvolvimento de um
pensamento flexível e produtivo na solução de problemas de diferentes tipos
(BRITO, 2010, p. 30).
Atualmente, em pleno século XXI, as propostas de ensino apontam para a
importância de conduzir o aluno a construir conceitos sobre a Matemática. Desta forma, cabe
ao professor propor atividades criativas para acentuar a curiosidade dos alunos. Desde a
infância é interessante que as crianças sejam desafiadas a resolver problemas, pois a busca por
36
sua solução proporciona o desenvolvimento da inteligência e do pensamento criativo (BRITO,
2010).
Temos uma ideia do que vem a ser problema, ou seja, “de maneira genérica, pode-se
dizer que é um obstáculo a ser superado, algo a ser resolvido e que exige o pensar consciente
do indivíduo para solucioná-lo” (DANTE, 2010, p.11).
Para esta pesquisa, adotamos a palavra problema como parte de uma atividade que
demanda interesse pela solução ou a busca pela resposta por meios próprios exigindo do
resolvedor a procura de seus conhecimentos prévios e criatividade para estabelecer as
estratégias de resolução.
2.3 Etapas da resolução de problemas
Organizamos, de acordo com a revisão realizada por Brito (2010), o quadro 1 que
apresenta as etapas/fases e estágios do pensamento criativo processado durante a solução de
problemas. Conforme a revisão literária realizada pela autora, temos:
37
Quadro 1. Relação entre autores e perspectiva das etapas/fases e estágios do pensamento criativo durante a
solução de problemas
Autor (es)1 Perspectiva Fases/etapas/estágios
John Dewey
(1910)
Etapas da
solução de
problemas
a) Reconhecimento de um problema ou ‘sentir
dificuldade’ frente uma situação;
b) Análise, que compreenderia a percepção, a
delimitação do problema ou o ‘isolamento’ das
principais características do problema (daquilo que
é necessário para a solução);
c) Hipótese, formulação das possíveis alternativas de
solução;
d) Dedução, significando ‘remoer’ ou raciocinar sobre
as várias possibilidades, buscando chegar às
soluções mais prováveis;
e) Verificação ou ‘testagem’ das possibilidades de
solução
Graham Wallas
(1926)
Estágios do
pensamento
criativo
a) Preparação/Compilação e agrupamento das
informações do problema;
b) Incubação, período para ‘remoer’ as ideias;
c) Iluminação/insight, concepção para solução;
d) Verificação, comprovação da eficácia da solução.
Hadamard (1949) Etapas do
pensamento
criativo
a) Preparação/Compilação e agrupamento das
informações do problema;
b) Incubação, período para ‘remoer’ as ideias;
c) Iluminação/Insight, concepção para solução;
Verificação, comprovação da eficácia da solução.
Krutetskii (1976) Estágios básicos
na atividade
mental
a) Obtenção da informação matemática;
b) Processamento matemático da informação;
c) Retenção da informação matemática.
Polya (1978) Estágios para
solução de um
problema
a) Compreender o problema;
b) Conceber um plano;
c) Executar o plano;
d) Verificar a solução.
Gagné (1983) Fases da solução
de problemas
a) Traduzir de uma proposição verbal do problema
para expressão matemática;
b) Executar uma operação que modifique a expressão;
c) Validar a solução.
Mayer (1992) Conhecimentos
necessários para
solução de
problemas
a) Fatores linguísticos: compreensão de enunciados;
b) Conhecimento de esquema
c) Conhecimento algorítmico sobre realização dos
procedimentos de cálculo;
d) Conhecimento estratégico: maneira como os
problemas são enfocados.
Mayer (1992)
Fases da solução
de problemas
(com base nesses
conhecimentos)
a) Leitura e compreensão do problema;
b) Formulação de plano de solução;
c) Comprovação do resultado.
Stemberg (2000),
Fases no
processo do
pensamento
durante a
solução do
problema
a) Identificação do problema;
b) Definição e representação do problema;
c) Formulação da estratégia;
d) Organização da informação;
e) Alocação de recursos;
f) Monitoramento da estratégia;
g) Avaliação da Solução
Fonte: A autora.
1 Todos os dados acima foram apresentados e consistem em uma revisão elaborada por Brito (2010), p. 23-31
38
Brito (2010), seguindo os pesquisadores citados no quadro 1, apresentou as seguintes
fases/etapas no processo de solução: Representação; Planejamento; Execução;
Monitoramento.
Para detalhamento de algumas destas fases/etapas, apresentamos as elencadas por
Polya (1978) e Sternberg (2000). Para Polya (1978). Para esses estudiosos, o professor de
Matemática tem a possibilidade de desafiar a curiosidade de seus alunos para despertar-lhes o
gosto pela Matemática. Isso ocorre quando lhes são apresentados conteúdos por meio de
problemas desafiadores, nem tão fáceis nem tão difíceis, mas ao nível dos conhecimentos que
têm. O professor deve auxiliá-los com perguntas instigantes e adequadas, capazes de
incentivá-los a tomar decisões e a resolver um problema mediante etapas.
Conforme Polya (1978), a resolução de problemas compõe-se de quatro etapas ou
passos: a) a compreensão do problema; b) o estabelecimento de um plano; c) a execução deste
plano; e, d) o retrospecto.
Na primeira etapa é necessário compreender o problema; momento em que questões
podem ser elaboradas para conduzir esse entendimento. Ao proceder à leitura do problema, o
aluno deve se sentir disposto a resolvê-lo. Na segunda, vai lançar mão de todos os recursos
que venham a contribuir para sua solução. Na terceira, deve ter cuidado para não pular as
etapas estabelecidas, executar as estratégias propostas e elaborar outras, se necessário. Por
conseguinte, na quarta etapa, examinar todo seu trajeto e a solução obtida, que deve levar o
resolvedor a outras questões.
Evidenciamos cinco passos que corroboram nesse sentido em relação aos
procedimentos de leitura do enunciado de um problema.
Ler todo o enunciado do problema para ter uma ideia geral de sua estrutura e
visualizar a situação (BARNETT; SOWDER; VOS, 1997, p.143).
Reler o enunciado do problema para entender os fatos e relações. Os adjetivos às
vezes têm um papel especial (BARNETT; SOWDER; VOS, 1997, p.144).
Examinar minuciosamente o enunciado do problema, para perceber termos ou
conceitos difíceis ou desconhecidos (BARNETT; SOWDER; VOS, 1997, p.145).
Reler para ajudar a reorganizar os passos que conduzem a uma possível solução do
desconhecido (BARNETT; SOWDER; VOS, 1997, p.145).
Relendo o problema mais uma vez para verificar os procedimentos usados e para
verificar se a solução está completa e na forma adequada (BARNETT; SOWDER;
VOS, 1997, p. 146).
39
Já Sternberg (2000) apresenta sete etapas fundamentais na resolução de problemas:
A primeira etapa, identificação do problema, é considerada bastante difícil, pois
precisamos partir de um objetivo. Isso nos faz deparar com um obstáculo que, de imediato,
impede o caminho a ser percorrido. Tudo depende da questão a ser tratada e do que dispomos
para solucioná-la. Tem-se a consciência de ter um problema a ser solucionado.
A segunda etapa, definição e representação do problema, nesta apresenta-se o
problema a ser solucionado e exigimos do solucionador sua resolução.
A terceira etapa, a formulação da estratégia, consiste em delimitar o problema de
modo preciso e, conforme Sternberg (2000), o solucionador do problema pode valer-se de
recursos como a análise do todo para com as partes; juntar as partes; elencar todas as
possibilidades e ir afunilando até restringir aquela que é a mais provável; proceder por
tentativa e erro; e, construir várias estratégias para entender o conhecimento e a criatividade
daquele que está resolvendo o problema.
A quarta etapa, a organização da informação, consiste na busca pela resposta
pretendida. Nessa etapa, é necessária a organização das informações e a escolha de possíveis
opções que condizem com uma provável solução do problema.
A quinta etapa, a alocação de recursos, consiste na busca de recursos necessários
para a solução do problema. Tais recursos podem ser mentais, relacionados ao tempo, ou
financeiros.
A sexta etapa, o monitoramento da estratégia, refere-se ao processo da resolução e
depende do solucionador a maneira de conduzir o problema, ou seja, há solucionadores que
deixam a checagem para a etapa final, assim como há aqueles que vão trilhando etapa por
etapa e, caso seja necessário, tomam outro direcionamento.
A sétima e última etapa, a avaliação da solução, está relacionada à possibilidade de
validar a solução encontrada para o problema em questão.
Quanto ao processo do pensamento durante a solução de problemas, Brito (2010)
elaborou uma síntese conforme as fases/etapas propostas pelos pesquisadores Mayer (1992),
Krutetskii (1976), Sternberg (2000) e Polya (1978) que são a representação, o planejamento, a
execução e o monitoramento. “A solução de problemas refere-se a uma atividade mental
superior ou de alto nível e envolve o uso de conceitos e princípios para atingir a solução”
(BRITO, 2010, p. 18).
Desse modo, ao analisar as fases/etapas essenciais para o processo de solução de
problemas, observa-se que, em geral, o número de etapas varia, pois depende do pesquisador
em questão. Entretanto, todas as pesquisas contemplam as fases e passos necessários na busca
40
da solução de um problema. As fases/etapas são necessárias e podem contribuir no sentido de
ampliar os conhecimentos daqueles que buscam aprofundar seus estudos quando fazem opção
por ensinar um conteúdo utilizando o problema como ponto de partida para iniciar uma
atividade matemática. Quando o professor tem esses conhecimentos, a contribuição que se
espera é a possibilidade de compreender as dificuldades de seus alunos e auxiliá-los quando
executam atividades de resolução de problemas.
2.4 A importância da abordagem da resolução de problemas no ensino de
Matemática
De acordo com os PCN, o uso de problemas nas aulas de Matemática destaca um
ensino pela reflexão das ações, e não uma mera reprodução de conhecimentos. Os educadores
matemáticos apontam a resolução de problemas como ponto de partida da atividade
matemática (BRASIL, 1998).
A proposta de atividades desafiadoras pode despertar no aluno seu interesse e
habilidade de desenvolver estratégias para a resolução dessas atividades, podendo buscar
caminhos alternativos e, em muitos momentos, valer-se de conhecimentos já aprendidos,
rompendo com a mesmice, o que lhe proporcionará uma articulação de ideias e a construção
de novos conceitos e ações matemáticas (D’AMBROSIO, 2012).
Desse modo, os PCN afirmam que
[...] a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo
ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois
proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e
atitudes matemáticas (BRASIL, 1998, p. 41).
Dentre os encaminhamentos que norteiam as ações pedagógicas dos professores em
sala de aula, as Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCE) indicam, entre outras, a
resolução de problemas como proposta de articulação entre os conteúdos estruturantes e os
conteúdos específicos, de forma a não fragmentar os conteúdos, estabelecendo uma conexão
entre eles. No Ensino Fundamental, por exemplo, quando tratar geometria plana, que está
vinculada ao conteúdo estruturante geometrias, pode-se procurar no conteúdo estruturante
Números e Álgebra, a articulação com equações, que é um conteúdo específico (PARANÁ,
2008).
41
Para que de fato ocorram mudanças na forma de ensinar e de aprender durante as
aulas de Matemática, os professores não devem se basear apenas em apontamentos
sinalizados nos documentos oficiais. Faz-se necessária uma postura diferenciada desses
professores e entre seus pares. Bittar e Freitas (2005) afirmam que
Apesar dessas tendências permearem a Lei de Diretrizes e Bases da Educação
(LDB), os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), o Projeto Nacional de Livros
Didáticos (PNLD) e, em parte, o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), elas
continuam distantes das práticas pedagógicas da maioria dos professores que estão
atuando em sala de aula. É necessária a participação dos docentes na elaboração
dessas políticas e, sobretudo, é imprescindível investir na formação de professores
[...]. Acreditamos que, para que as mudanças aconteçam na prática, é preciso um
esforço conjunto entre secretarias de educação e professores (BITTAR; FREITAS,
2005, p. 22).
No ensino de Matemática mediado pela resolução de problemas, especialmente junto
aos alunos do Ensino Fundamental, Pozo e Angón (1998) destacam que,
Embora, obviamente, o controle estratégico que os alunos possam exercer sobre sua
própria aprendizagem esteja ainda limitado pela idade e eles necessitem de um
maior apoio externo, procura-se induzir neles, gradativamente, atitudes e hábitos
dirigidos à solução de problemas. Do contrário se as atividades práticas são desde o
início meros exercícios de aplicação, logo será muito difícil modificar esses hábitos
adquiridos, de forma que os alunos mostrarão resistência a assumir o controle, a
refletir e a tomar decisões sobre como enfrentar o problema, e esperarão sempre que
alguém – o professor ou o livro – lhes simplifique a tarefa e a reduza mais uma vez a
um simples exercício de aplicação (POZO; ANGÓN, 1998, p. 164-165).
Andrade e Nogueira (2005) corroboram os pesquisadores anteriormente citados,
expondo que ainda temos o ensino dito tradicional, no qual o aluno aprende por repetição,
imitação ou reprodução. Ao fazer escolha pela resolução de problemas em sala de aula é
preciso que o professor tenha clareza de que os conceitos, as ideias e os métodos não partem
do professor, mas do problema a ser discutido.
Em relação ao proposto, os PCN (1998) indicam a importância da resolução de
problemas dando maior ênfase ao significado dos conteúdos ao invés de demonstrar muita
preocupação com o cálculo mecânico comum no ensino tradicional. Também é preciso
valorizar os conteúdos de relevância social como as medidas, a geometria e outros conteúdos
que forneçam informações para realizar uma leitura de mundo contribuindo para a formação
cidadã.
O uso de estratégias didáticas leva à aprendizagem de novas técnicas e à capacidade
de tomar decisões. Ao trabalhar a disciplina na perspectiva da resolução de problemas,
42
utilizando o problema como ponto de partida, o aluno vai elaborando estratégia para a solução
de problemas diversos e, assim, amplia seu universo de conhecimentos matemáticos,
estabelecendo conexões entre os conceitos (BRASIL, 1998).
Pesquisadores destacam a importância do ensino na abordagem da resolução de
problemas. Podemos citar, entre outros que contribuíram/contribuem com pesquisas nessas
perspectivas, Schroeder e Lester (1989), Pozo e Angón (1998), Brito (2010), Souza e
Guimarães (2015).
2.5 Ações pedagógicas em sala de aula: como abordar a resolução de problemas
no ensino
Tendo visto as diferentes interpretações sobre a abordagem de ensino na resolução de
problemas, as concepções de problema e as etapas de sua resolução no ensino de Matemática,
o professor, ao abordar um conteúdo, deve focalizaras seguintes ações:
Quando propuser o problema, priorizar aquelas tarefas que podem ser resolvidas
por diferentes estratégias e que tenham significado no contexto do aluno, de modo
a evitar aquelas que admitem poucos caminhos de resolução (POZO; ANGÓN,
1998);
Durante o processo de solução, fazer perguntas orais direcionando as informações,
tendo em vista conduzir o aluno a inferir, generalizar, deduzir, argumentar e
sintetizar (ANDRADE; NOGUEIRA, 2005);
De acordo com Itacarambi (2010), a opção do trabalho em pequenos grupos
possibilita a interação entre os colegas permitindo que as estratégias de solução
sejam compartilhadas. Para Allevato e Onuchic (2014), a ação do professor é
observar o trabalho dos grupos, destacando a importância de interação. Dessa
maneira, o professor, ao perceber as dificuldades dos alunos, não deve indicar a
resposta, mas fazer perguntas que favoreçam a continuidade da tarefa para que os
alunos se sintam confiantes e motivados. Os questionamentos do professor,
conforme Silva e Siqueira Filho (2011) devem conduzir os alunos a utilizar seus
conhecimentos matemáticos, bem como auxiliá-los a perceber se suas concepções
estão corretas ou não;
Para a análise da solução do problema, verificar se a resposta encontrada condiz
com a situação proposta. Assim como apresenta Andrade e Nogueira (2005, p. 46),
43
“[...] você encontrou como resultado de um problema um número fracionário
quando a resposta deveria ser um número inteiro, pois o problema se refere a
pessoas”.
Neste sentido, de acordo com Carvalho (2010),
Quando o aluno me apresentava uma solução pouco satisfatória, eu pedia para ele
me explicar como “havia pensado” para chegar àquela solução e depois da
explicação perguntava: Mas você acha que a resposta está adequada ao que o
problema está perguntando? Releia o problema e me diga quais as informações que
estão sendo dadas, etc. (CARVALHO, 2010, p. 66).
Quanto ao tempo necessário para a execução de uma atividade de resolução de
problemas, Schoenfeld diz:
Deve ser notado que a quantidade de material incluído em uma aula é, com
frequência, muito pequena; é possível que apenas quatro ou cinco problemas possam
ser discutidos em uma hora de aula. O professor não deve se perturbar com isso; é
uma consequência natural do ato de prestar atenção ao processo de resolução de
problemas (SCHOENFELD, 1997, p. 23).
Um problema usado como atividade inicial em sala de aula para desenvolver um
conteúdo no ensino de Matemática, pode ser novamente utilizado em aulas seguidas, pois se
os alunos se envolvem na busca das soluções, isso gera outras abordagens que enriquecem o
processo de ensino. Pozo e Crespo dizem“[...] já que a cada solução provisória abre novas
dúvidas,cada resposta dá origem a novas perguntas” (POZO; CRESPO, 1998, p.98).
Suydam (1997) descreve resultados de pesquisas com uso da resolução de problemas
e indica pistas de ensino que contribuem com as ações dos professores quando estes propõem
problemas a seus alunos. Essas pistas são indicadores de como as crianças resolvem
problemas, sobre os próprios problemas e sobre as estratégias para resolução de problemas.
Dentre elas pontuamos as que julgamos pertinentes ao enfoque desta pesquisa. São elas:
Tecer elogios à criança ainda continua trazendo bons resultados, porque a criança
sente-se confiante;
Ensinar a criança a resolver por diferentes estratégias;
Incentivar a análise das soluções encontradas, fazendo uma retrospectiva;
Ter bom senso ao propor problemas que não sejam de nível elevado à capacidade
do resolvedor;
Mostrar aos alunos como tratar com cautela as palavras-chave;
Valorizar o uso das gravuras, dos mapas, dos gráficos, dos diagramas;
44
Não apressar as respostas e incentivar as crianças a refletir sobre os problemas,
porque alguns deles precisam ser elaborados externamente.
Ao abordar a resolução de problemas para favorecer a compreensão do ensino de
frações, Proença (2015) estabeleceu quatro ações que poderiam ser contempladas quando o
professor escolhe utilizar a resolução de problemas para ensinar um conteúdo de Matemática
em sala de aula, a saber:
O problema como ponto de partida. Um conteúdo que o aluno ainda não sabe, este
poderá vir a conhecer mediante um problema proposto para dar início a este
assunto;
Permitir aos alunos expor suas estratégias. Deixar que o aluno apresente as
maneiras que utilizou para resolver a questão proposta;
Discutir as estratégias dos alunos. Promover a socialização das estratégias de
resolução para que os alunos possam interagir apresentando as formas de
resolução;
Articular as estratégias dos alunos ao conteúdo. Cabe ao professor formalizar o
conteúdo utilizando as estratégias que foram coerentes nos procedimentos de
resolução.
Ao utilizar a resolução de problemas o professor assume a postura de mediador entre
as estratégias pertinentes e as propostas pelos alunos para, provocar reflexão e ação, e
enriquecer o processo de ensino e aprendizagem.
Nessa perspectiva, é preciso considerar não apenas a resposta final, mas também, os
procedimentos utilizados. Um dos desafios do professor de Matemática – se ele seguir esse
caminho - é preparar problemas que agucem a criatividade do aluno, considerando seu
desenvolvimento cognitivo.
A seguir apresentamos os trabalhos publicados em anais do XI Encontro Nacional de
Educação Matemática - ENEM - o maior evento da Educação Matemática no Brasil, em sua
última edição ocorrida na cidade de Curitiba/Paraná no ano de 2013 para ilustrar as
investigações acerca do tema.
Nesse ano, das aproximadamente 1536 publicações em formato de relato de
experiência, comunicação científica e pôsteres, 54 envolviam resolução de problemas, mas
apenas 17 correspondiam à abordagem de resolução de problemas em sala de aula nos anos
finais do Ensino Fundamental.
45
Nestes trabalhos podemos visualizar as ações pedagógicas desenvolvidas, conforme
estão indicadas no Quadro 2.
Quadro 2. Trabalhos apresentados no XI ENEM nos quais foi abordada a perspectiva de resolução de problemas
nos anos finais do Ensino Fundamental.
Autores Conclusão do Trabalho Ações Pedagógicas2 Aplicantes
Silva, Pessoa
(2013)
Aponta que a elaboração de
situação problemas auxilia no
processo de compreensão e
resolução de problemas
multiplicativos, bem como na
construção textual pelos
alunos.
- Trabalho em duplas;
- Estimulo da leitura, interpretação e escrita;
- Troca de textos e diálogo entre os grupos;
- Elaboração de problemas a partir de
imagens;
Pesquisadores
Broetto,
Rocha,
Santos-
Wagner
(2013)
Pontuaram a surpresa dos
estudantes no caráter aberto
das investigações,
provocando dificuldades para
iniciar as mesmas e a
necessidade de incorporar
atividades rotineiras de
resolução de problemas e
investigação matemática em
aulas.
- Utilização de problemas rotineiros e não
rotineiros;
Pesquisadores
Teodoro,
Santos,
Pedroso
(2013)
Levanta que o trabalho com
abordagem na resolução de
problemas pode modificar a
realidade educacional da
educação matemática,
tornando as aulas mais
dinâmicas, fazendo do aluno
sujeito de sua aprendizagem e
levando o professor a um
processo reflexivo.
- Organização dos estudantes em grupos;
- Utilização de problemas que envolvessem
conceitos de conteúdos anteriores;
- Cada representante do grupo vai ao
quadro;
Licenciandas
do curso de
Matemática
Rocha,
Cruciol,
Souza (2013)
Os estudantes são criativos na
elaboração e resolução dos
problemas, em geral,
conversam sobre situações do
cotidiano vivenciadas por
eles.
- Uso de problemas e cenários relacionados
à vivência do estudante;
- Elaboração de problemas pelo aluno;
Licenciandos
vinculados ao
PIBID
Gunzel et al.
(2013)
Aponta que a resolução de
problemas é uma estratégia
que contribui para a melhoria
do ensino de Matemática.
- Organização dos alunos em trios;
- Percepção de lacunas no processo de
aprendizado de conteúdos anteriores;
- Realização de discussão coletiva;
- Utilização de material concreto;
Licenciandos
em
Matemática
Mesquita,
Santos,
Santos (2013)
Trabalhos em grupos
pequenos favorecem a
interação entre os estudantes,
bem como o surgimento de
propostas diferenciadas de
resolução de problemas.
- Organização dos estudantes em trios;
- Incentivo aos estudantes para solucionar
os problemas;
- Sondagem para verificar os conceitos
prévios;
- Perceber as dificuldades para solucionar
os problemas;
- O professor leva ao quadro para
evidenciar as soluções.
Licenciandos
em
Matemática
Cocco et al. Observam que os estudantes - Utilização de jogos vinculados a resolução Licenciandos
2 Foram demarcadas as ações pedagógicas colocadas em evidencia no corpo do trabalho.
46
(2013) estavam acostumados a
reproduzir, e a metodologia
permite elucidar conceitos aos
estudantes, servindo então
como auxílio a um
aprendizado significativo.
de problemas;
- Organização em grupos;
- Professores atuando como mediadores;
- Discussões da situação problema com toda
a turma.
vinculados ao
PIBID
Francisco et
al. (2013)
A alternativa de ensino com
abordagem na resolução de
problemas desperta
curiosidade, criatividade e
interesse nos alunos, sendo
uma ferramenta útil e
desafiadora para
aprendizagem.
- Organização em grupos;
- Os estudantes vão ao quadro escrever suas
resoluções.
Licenciandos
vinculados ao
PIBID
Pissato,
Blauth,
Reisdoefer
(2013)
Verificam que a resolução de
problemas diversifica as
aulas, motivam a participação
e facilitam o processo de
aprendizagem.
- Organização em grupos;
- Problemas realizados de forma lúdica;
- Manipulação de materiais concretos.
Licenciandas
em
Matemática
Ramos, Silva,
Oliveira
(2013)
Esta perspectiva estimula a
criatividade do aluno, e
incentiva-o a pensar, e não
forçá-lo a repetir exercícios e
técnicas de resolução.
- Apresentou-se o conteúdo ao qual
corresponderia a problemas a serem
trabalhados;
- Problemas eram dados aos estudantes, e
após um tempo o professor iniciava
resolução de problemas no quadro;
- Um dos problemas foi resolvido no quadro
por um aluno;
Licenciados
em
Matemática
Menezes,
Vieira,
Nascimento
(2013)
Os autores analisam que um
trabalho bem direcionado,
pode fazer com que s
estudantes passem a observar
a realidade sob uma
perspectiva crítica, bem como
relacionar os problemas
trabalhados em resolução de
problemas, com aspectos
sociais, que promovam uma
formação social.
- Utilização de problemas do livro didático;
- Organização dos estudantes em grupo;
- Construiu problemas que envolvessem a
formação social e o desenvolvimento de
cidadania.
Professor da
turma e
pesquisadores.
Sturion et al.
(2013)
Os estudantes, muitas vezes,
apresentam dificuldades em
interpretar o problema. É
necessário, assim, expô-los a
problemas que os levem a
pensar e interpretar, ou seja, a
prática precisa ser
incentivada, o que pode ser
alcançado pela abordagem de
um ensino com foco na
resolução de problemas.
- Os problemas utilizados foram retirados
do Programa Internacional de Avaliação de
Estudantes – PISA;
- Abrir espaço para que os próprios
estudantes percebam quando suas soluções
apresentarem incoerência;
- Resolução dos problemas com os
estudantes dialogando as dificuldades.
Licenciandos
vinculados ao
PIBID
Guimarães,
Lamas (2013)
Abordagens que envolvam a
ludicidade e a resolução de
problemas demonstram um
desempenho qualitativo no
desempenho dos estudantes,
bem como em sua
aprendizagem.
- Os problemas são dados aos estudantes
para que estes resolvam individualmente;
- Incentivo contínuo para análise do
problema;
- Utilização de jogo lúdico envolvendo a
resolução de problemas.
Licenciandas
vinculadas ao
PIBID
Hoffman,
Zanon (2013)
Verificou que dando
oportunidade do estudante se
expressar, é possível fazer
- Solicitação da resposta escrita quando a
timidez dos estudantes predominava;
- Utilização de metáforas;
Pesquisadores
e Professor
regente
47
intervenções efetivas
contribuindo para
aprendizagem significativa.
- Utilização de jogo envolvendo resolução
de problemas e atividades de raciocínio;
- Formação de grupos e relatos de suas
ideias;
- Valorização das potencialidades dos
estudantes;
Pellatieri,
Grando
(2013)
Apontam a resolução de
problemas como uma pratica
de letramento escolarizada
que possibilita a circulação de
ideias e apropriação de
aspectos matemáticos do
letramento escolar.
- Leitura dos problemas junto com os
alunos e espaço para questionamentos;
- Verbalização das possíveis soluções pelos
estudantes;
- Registro da solução;
- Abertura de espaço para os que já
terminaram auxiliarem os que apresentam
dificuldades.
Recorte de
Dissertação
em Educação
Rodrigues et
al. (2013)
Verificam a importância da
prática na formação docente e
as vantagens de utilizar a
resolução de problemas para
evidenciar dificuldades na
interpretação de alguns
problemas, bem como na
passagem da linguagem oral
para a matemática
sistematizada.
- Utilização de jogo lúdico sob a
perspectiva da resolução de problemas;
- Uso de diferentes problemas que eram
sorteados ao decorrer do jogo;
- Professor auxilia na interpretação do
problema quando necessário;
- Incentivo constante para as discussões
entre os estudantes.
Licenciandos
vinculados ao
PIBID
Cruciol, Silva
(2013)
Ressalta que os estudantes
encontram dificuldades na
interpretação de problemas;
indica a necessidade de os
professores proporem
situações significativas para
estimulá-los a pensar e
socializar as possibilidades de
resolução.
- Organização em grupos;
- Uso de problemas para resolução
individualmente e em grupos.
Resultados
Parciais de
Trabalho de
Conclusão de
Curso de
Licenciatura
em
Matemática
Fonte: A autora
Nas pesquisas apresentadas no quadro 2 vemos a relevância das ações pedagógicas
assumidas pelos professores, pesquisadores e acadêmicos quando estes se propõem ensinar na
abordagem da resolução de problemas. Percebemos a riqueza e variedade das ações
pedagógicas desde a elaboração de problemas por parte dos aplicantes, bem como os
problemas selecionados de avaliações externas. Os trabalhos realizados em grupos ou
individualmente, a leitura, interpretação e estratégias de resolução socializadas, ressaltam a
conduta do professor como mediador da aprendizagem.
48
3. METODOLOGIA
3.1. Problema de pesquisa e natureza da pesquisa
Nossa investigação caracteriza-se pela abordagem qualitativa de cunho interpretativo
(CRESWELL, 2007), uma vez que o nosso interesse reside na qualidade das respostas e não
em sua quantidade. Nossa pesquisa fundamentou-se em uma conduta indutiva ao propor a
obtenção de dados para investigar as ações dos docentes que participaram da pesquisa.
Entende-se que “[...] o objetivo principal do investigador qualitativo é o de construir
conhecimento” (BOGDAN; BIKLEN, 1994, p. 67) e não apenas opinar.
De acordo com D’Ambrosio (2012, p.21), a pesquisa qualitativa “[...] é o caminho
para escapar da mesmice. Lida e dá atenção às pessoas e às suas ideias, procura fazer sentido
de discursos e narrativas que estariam silenciosas”. Nesse caminho, afirmamos que a
resolução de problemas como tema de nossa investigação situa-se como fundamento teórico
para analisar os dados obtidos pelo Questionário, Entrevista e, pelo Diário de Campo.
Concordamos com Bogdan e Biklen (1994) que a pesquisa qualitativa favorece a
investigação uma vez que o pesquisador tem interesse pelo processo e não simplesmente pelos
resultados, contribuindo, assim, para uma análise mais ampla.
Com esses estudos sobre metodologia de pesquisa, delineamos o seguinte problema de
pesquisa: quais ações pedagógicas dos professores que ensinam Matemática nos anos finais
no Ensino Fundamental podem ser identificadas quando trabalham na abordagem da
resolução de problemas no processo de ensino-aprendizagem de conteúdos de Matemática?
Os objetivos elaborados foram:
Identificar os conhecimentos de professores de Matemática em relação às
atividades pedagógicas desenvolvidas por eles em sala de aula, cujo foco seja
a resolução de problemas no ensino e aprendizagem de um conteúdo de
Matemática
Discriminar e analisar ações desenvolvidas por estes professores,
evidenciando seus conhecimentos quando trabalham na abordagem da
resolução de problemas.
49
3.2. Instrumentos de coleta de dados
Para esse processo metodológico elaboramos os seguintes instrumentos para coleta
de dados: um Questionário online, uma Entrevista e, mantivemos um Diário de Campo para
os registros das aulas dos docentes envolvidos.
Questionário online
Para Chaer, Diniz e Ribeiro (2011), o questionário é um instrumento de pesquisa
destinado à coleta de dados com algumas vantagens como: não gera gastos com treinamento
do pesquisador; permite a participação de um número abrangente de sujeitos pesquisados,
independente da área geográfica; oferece a possibilidade de ser respondido no tempo
desejado. Dentre as desvantagens citadas pelos autores, em nosso caso, corremos o risco de
muitos dos sujeitos dos quais pertencem ao universo da pesquisa não dar o retorno dentro do
prazo estabelecido.
De acordo com Marconi e Lakatos (1999), o questionário deve ser acompanhado de
uma nota informativa, na qual, sutilmente, o pesquisador apresenta o objetivo de sua pesquisa
e as contribuições que os respondentes darão à pesquisa e ao tema com a finalidade de
motivá-los.
Desta forma, o uso do questionário possibilita a coleta de dados com questões que
contribuem com as informações relacionadas ao tema pesquisado. Ao elaborar questionários é
necessária atenção aos seus aspectos relevantes como a clareza na formulação das questões,
que podem ser abertas ou fechadas3 e, sua facilidade de preenchimento. Essa prática é usual
na contemporaneidade e possibilita contatar uma maior quantidade de indivíduos e pela
facilidade da comunicação via mídias tecnológicas.
A escolha pelo Questionário online (Apêndice A) foi feita para ampliar o universo de
respondentes por meio deste procedimento, economia de tempo e favorecimento de respostas
rápidas e precisas (LAKATOS; MARCONI, 2010). Este material foi intitulado por
Tendências Metodológicas Abordadas pelos Professores da Disciplina de Matemática nos
Anos finais do Ensino Fundamental, referindo-se às seguintes tendências: Resolução de
3Nas questões abertas, o participante vai utilizar de suas próprias palavras, permite que este tenha liberdade em
emitir sua opinião. Nas questões fechadas, há somente duas opções onde o informante vai escolher uma delas,
com situações opostas sim/não, concordo/discordo.
50
Problemas; Modelagem Matemática; Mídias Tecnológicas; Etnomatemática; História da
Matemática e Investigações Matemáticas (PARANÁ, 2008).
As questões do questionário foram elaboradas para conhecer o perfil dos
profissionais da educação interessados como o período histórico e característico de sua
formação acadêmica, favorecendo as discussões específicas a respeito das propostas de ensino
dos cursos, os materiais, os programas governamentais e os resultados de investigações que
circulam por meio de livros e artigos etc. Também permitiram esboçar características dos
professores que ensinam Matemática para a compreensão do ensino e a aprendizagem de
conteúdo dessa disciplina.
Os objetivos das questões versavam: identificação do professor (questão 1); Local e
tempo de atuação (questão 2); Nível de escolaridade (questão 3 e 4); jornada de Trabalho
(questão 5); níveis de ensino onde atua (questão 6); tendência metodológica mais utilizada
(questão 7); ações pedagógicas do professor em relação a tendência metodológica utilizada,
sinalizada na questão 8 e permissão para observação das aulas pela pesquisadora (questão 9).
Foram selecionadas questões dissertativas (questão 8) e objetivas, em que cada
professor deveria apresentar e justificar a maneira como aborda e desenvolve os conteúdos na
disciplina de Matemática em sala de aula.
Entrevista
Em relação à Entrevista, Marconi e Lakatos (2010, afirmaram que a modalidade de
entrevista semiestruturada é a mais indicada, pois esta se aproxima à possibilidade de
liberdade de resposta do entrevistado para que o respondente se sinta à vontade em dar mais
informações além daquelas previamente elaboradas pelo pesquisador.
Pautamos a entrevista em três questões norteadoras: a) quando você já fez a opção de
utilizar a resolução de problemas para ensinar determinado conteúdo/assunto, quais suas
ações (encaminhamentos) dentro da sala de aula? b) como você sistematiza o
conteúdo/assunto, ou seja, a formalização do conceito? c) quais as contribuições da resolução
de problemas na abordagem de ensino?
O objetivo da entrevista foi investigar, com mais clareza, quais ações pedagógicas em
sala de aula eram elaboradas pelos docentes quando diziam ensinar Matemática mediante a
abordagem de resolução de problemas.
Por ocasião das entrevistas, os professores precisaram assinar um Termo de
Consentimento (Apêndice B), no qual fica esclarecido o sigilo de identificação bem como sua
51
livre participação como sujeitos da pesquisa. Também foi acordada a permissão para que suas
aulas fossem assistidas pela pesquisadora diante de um cronograma esboçado para
acompanhar esses professores em suas atividades docentes.
Diário de Campo
Para o Diário de Campo, Minayo (2012), ressalta que esse instrumento representa
uma fonte legítima de informações e registro das observações de situações de ensino
sinalizadas durante as aulas.
Elaboramos o Diário de Campo (Apêndice C) de acordo com os seguintes critérios
em relação à ação pedagógica do professor: a) propor o problema como ponto de partida para
introduzir um novo conteúdo de Matemática que permitisse ser resolvido por diferentes
estratégias; b) discutir e cooperar na interpretação e compreensão do enunciado e estratégias
de resolução dando voz aos alunos para que estes pudessem demonstrar as maneiras utilizadas
para solução do problema proposto; c) agrupar os alunos e permitir tempo necessário para o
planejamento e a execução de um plano elaborado; d) socializar com a classe as estratégias
apresentadas, promovendo o desenvolvimento de conceitos pelos alunos.
Para analisar os dados do Diário de Campo foram estabelecidas categorias que, de
acordo com Minayo (2012), é um procedimento para uma leitura atenta que, se bem
conduzida e fiel ao relato dos participantes da pesquisa, pode surpreender os próprios
respondentes, “pois quando eles deram seus depoimentos, não tinham consciência de tudo o
que seria possível compreender, a partir de suas falas [...]” (MINAYO, 2012, p.625).
A seguir passaremos ao relato dos procedimentos dos dados da pesquisa.
3.3 Procedimentos da pesquisa
3.3.1. Primeiro momento: Envio do Questionário online
O Questionário online foi enviado aos professores com uma carta-convite
esclarecendo o objetivo da pesquisa. Com essa carta, elucidamos, também, que a participação
do professor seria voluntária e sua contribuição estava garantida pelo anonimato. Ou seja,
nenhuma informação sobre os participantes seria divulgada. Enviamos o questionário para
405 professores no dia 21 de agosto de 2015, com prazo final de resposta para 10 de setembro
de 2015, totalizando um período de 20 dias.
52
Aos participantes da pesquisa, disponibilizamos os contatos (e-mails e telefones) da
pesquisadora, do orientador desta pesquisa e também da instituição de ensino superior (IES)
em que a pesquisa está sendo desenvolvida, nesse caso, na Universidade Estadual de Maringá.
Salientamos a importância da participação desses professores para levantarmos os dados
necessários com o objetivo de retratar o que de fato ocorria em sala de aula quando se
trabalhava com resolução de problemas.
Ressaltamos algumas observações que julgamos serem importantes: o Questionário
foi enviado a todos os professores de Matemática jurisdicionados ao NRE de Maringá, é de
conhecimento que alguns desses professores não estavam lecionando, ou seja, não estão
trabalhando em sala de aula, pois estavam cargos administrativos no NRE de Maringá. Por
esse motivo, estes foram apenas indicados.
3.3.2 Segundos momentos: Leitura e seleção dos Questionários online e análise dos dados
Dos 405 e-mails enviados aos professores da disciplina de Matemática,
jurisdicionados ao NRE de Maringá, 11 deles responderam o Questionário online. No quadro
4, apresentamos os dados sobre o perfil individual dos 11 participantes respondentes.
Para representar cada participante da pesquisa, os identificamos mediante um par
ordenado, formado por uma letra maiúscula e um número subscrito. A letra P, o primeiro
elemento do par, escolhido por ser a inicial da palavra professor, o segundo elemento deste
par será um número que identificará a ordem de chegada dos e-mails, por exemplo, P1
representa o primeiro professor que enviou as respostas do Questionário online.
53
Quadro 3. Perfil dos professores que responderam o Questionário online.
Fonte: A autora
Participante Idade
(anos)
Tempo de
Magistério
(anos/messes)
Regime
de
trabalho
Nível de Escolaridade Tendência Metodológica
geralmente utilizada
Jornada
(h/a
semanal)
Nível(is) de ensino
que leciona
Permissão
para
observação
das aulas
P1 51 29 anos QPM Licenciatura em Matemática e Pedagogia,
Mestrado e Doutorado.
Resolução de problemas;
Mídias tecnológicas e
Investigação Matemática.
20-30 Ensino Médio Sim
P2 29 4 anos PSS Licenciatura em Matemática. Resolução de Problemas. <20 Ensino Médio Sim
P3 39 05/06 anos QPM Licenciatura em Matemática, Mestrado e
Doutorado. Resolução de Problemas. 40 Ensino Médio Sim
P4 63 27 anos QPM
Licenciatura em Pedagogia, Bacharel em
Matemática, Direito, Administração e Ciências
Contábeis.
Resolução de Problemas. <20 Ensino Médio Não
P5 43 12/03 meses QPM Licenciatura em Matemática e Especialização. Mídias tecnológicas. 31-40 Anos finais do Ensino
Fundamental Sim
P6 49 29 anos QPM Ciências no 1º grau com habilitação em
matemática e especialização.
Resolução de Problemas;
Modelagem matemática;
Mídias tecnológicas; História e
Investigação Matemática.
31-40 Anos finais do Ensino
Fundamental e Médio Sim
P7 31 06/06 meses QPM Licenciatura em Matemática e Pedagogia,
Mestrado e Doutorado. Resolução de Problemas. <20
Anos finais do Ensino
Fundamental Sim
P8 47 9 anos QPM Licenciatura em Matemática e Especialização. Resolução de Problemas. >40 Anos finais do Ensino
Fundamental e Médio Não
P9 41 14/09 meses QPM Licenciatura em Matemática e Pedagogia,
Mestrado e Doutorado. Resolução de Problemas. 20-30
Anos finais do Ensino
Fundamental e Médio Sim
P10 46 23/06 meses QPM Licenciatura em Matemática e Especialização. Mídias tecnológicas, História
da Matemática. 31-40
Anos finais do Ensino
Fundamental e Médio Sim
P11 52 31/07 meses QPM Licenciatura em Matemática e Pedagogia. Resolução de Problemas. 31-40 Anos finais do Ensino
Fundamental Sim
54
Conforme o quadro 4, os professores apresentavam entre 29 a 63 anos, com período de
atuação no magistério entre 4 a 31 anos e 7 meses. O regime de trabalho de um dos
professores é temporário (PSS); os outros dez respondentes trabalham em regime permanente
(QPM). Os professores atuavam em uma jornada de trabalho de menos de 20 horas semanais
a 40 horas semanais e lecionavam no Anos finais do Ensino Fundamental e Médio.
Os dados do questionário online foram analisados a partir das respostas trazidas pelos
participantes. Transcrevemos as respostas dos nove professores que disseram trabalhar na
abordagem da resolução de problemas as analisamos de acordo com os referenciais teóricos
que apresentamos neste trabalho.
3.3.3 Terceiros momento: Entrevistas com os professores selecionados
Para selecionarmos os docentes que participariam das entrevistas e seriam
observados em sua prática em sala de aula, adotamos os seguintes critérios: a) lecionar nos
anos finais do Ensino Fundamental; b) utilizar a resolução de problemas como abordagem de
ensino; e c) considerar importante e necessário que a pesquisadora observasse-os em sua
atividade em sala de aula.
Dos 11 professores que responderam, nove afirmaram utilizar da tendência de
resolução de problemas. Sete deles alegaram usar apenas essa abordagem de ensino; os outros
dois faziam uso dessa e de outras abordagens. Os professores P5 e P10 não trabalhavam a
resolução de problemas, desse modo não atendiam a um dos critérios para observação de sua
prática. Os participantes P1, P2, P3 e P4 atuam apenas no Ensino Médio, e também não
atendiam aos critérios no segundo momento. O professor P8 não concedeu permissão para
observação das aulas.
Dadas essas circunstâncias foram selecionados os professores P6, P7, P9 e P11 para
participar da entrevista. Para isso, realizamos novo contato via e-mail, no qual agendamos a
entrevista e disponibilizando o Termo de Consentimento (Apêndice B) que solicitava a
permissão para que a prática do professor em sala de aula fosse observada. Esta etapa foi
realizada no mês de setembro de 2015.
A entrevista norteava-se com base em três informações solicitadas ao entrevistado: a
respeito de suas ações pedagógicas em sala de aula; a formalização do conceito e as
contribuições/vantagens da resolução de problemas. As respostas dadas foram gravadas em
áudio e transcritas para análise.
55
Esses procedimentos correram no período de novembro a dezembro de 2015,
precisamente nos dias 13/11, 16/11, 07/12 e 15/12 e tiveram duração média entre 16 a 20
minutos. Nessa ordem das datas mencionadas, entrevistamos P11, P9, P7 e P6 respectivamente,
com exceção de P11 que marcamos em uma escola onde estava sendo realizado um curso de
formação continuada, os demais participantes encontravam-se em seu ambiente de trabalho,
no horário destinado à hora atividade do professor.
A partir das respostas dadas às três questões na entrevista, elaboramos as seguintes
categorias: as ações pedagógicas na sala de aula, formalizar o conceito e
contribuições/vantagens da resolução de problemas.
3.3.4 Quarto momento: Observação das aulas ministradas pelos professores e análises
Dos quatro professores entrevistados, observamos as aulas de três deles: P7, P9 e P11.
O professor P6, por questões de calendário, não pode nos atender, seus alunos já
haviam agendado apresentação de seminários, uma das formas de avaliação da escola. No
período de abril a junho de 2015, no estado do Paraná, houve uma paralisação das aulas
(greve da categoria4) e, por isso, foi necessário interromper temporariamente a coleta de dados
da pesquisa.
A observação é uma técnica de coleta de dados que deve ser bem planejada, realizada
cuidadosamente e acompanhada pelo registro Diário de Campo (Apêndice C). Não pode
deixar passar despercebida a intenção do que se busca. A observação permite a informação de
acontecimentos reais. Lakatos e Marconi (2003, p. 190), definem observação como “[...] uma
técnica de coleta de dados para conseguir informações e utiliza os sentidos na obtenção de
determinados aspectos da realidade”. É notória que a observação na obtenção de coleta de
dados proporciona a percepção direta dos dados, reduzindo possíveis subjetividades.
Entretanto a presença do observador pode gerar alterações no comportamento dos observados
(GIL, 1999).
O ambiente onde ocorreu esta investigação foi à sala de aula, espaço de interação
entre professor e aluno durante o processo de ensino e aprendizagem. Foram agendadas
previamente a data e horário para observação das aulas, seguindo o cronograma de atividades
4 Informação disponibilizada pelo Sindicato dos Trabalhadores de Educação Pública do Paraná – APP Sindicato.
Disponível em:<http://appsindicato.org.br/index.php/breve-balanco-das-greves-da-educacao-do-parana/>.
Acesso em: 25 jan. 2016.
56
de cada participante. O total de aulas observadas foram dez aulas em turmas de 6º e 9º anos
finais do Ensino Fundamental.
Com base nos aportes teóricos já apresentados neste trabalho, foram elaboradas a
priori quatro categorias de condução das aulas dos professores da disciplina de Matemática
participantes desta pesquisa. De acordo com essas categorias procedemos com a análise das
aulas, a saber:
a) Propor o problema como ponto de partida, para introduzir um novo conteúdo de
Matemática e que permita ser resolvido por diferentes estratégias: corresponde à utilização
de um problema para dar início ao conteúdo a ser desenvolvido e esse problema pode ser
resolvido por mais de uma forma de resolução. Com base nessa categoria, foram elaboradas
subcategorias: quanto à abordagem de um determinado conteúdo/assunto; quanto à
proposição de problemas que permitam ser solucionados por diferentes estratégias; quanto à
sondagem de conhecimentos prévios e aspectos analisados em relação ao nível de dificuldade
do problema.
b) Discutir e cooperar na interpretação e compreensão do enunciado e estratégias
de resolução, dando voz aos alunos para que possam falar e/ou demonstrar as maneiras
utilizadas para solução do problema proposto: implica na participação ativa dos alunos, ou
seja, da permissão para expressar suas estratégias de resolução dos problemas, os resultados
do problema e apresentação de suas dúvidas. Deste modo, há uma interação, as decisões
passam a ser compartilhadas entre o professor e a classe e entre os colegas. Foram elaboradas
subcategorias: aspectos referentes à compreensão do problema; contribuições dos docentes
durante as atividades, em relação à participação dos alunos.
c) Agrupar os alunos e permitir tempo necessário para o planejamento e a execução
de um plano elaborado: referente ao trabalho em grupos promovendo a troca de ideias e
administrar o tempo necessário para execução da atividade. Criamos subcategorias para
análise, sendo: organização dos alunos na sala de aula e quanto ao tempo disponibilizado pelo
docente para que os alunos resolvam os problemas.
d) Socializar com a classe as estratégias apresentadas, promovendo o
desenvolvimento de conceitos pelos alunos: condiz com a troca de informações, cabendo ao
professor mediar às informações e canalizar para a formalização do conceito a partir das
contribuições dos alunos. Elaboramos a subcategoria: socializar as estratégias e formalizar o
conceito.
57
Sintetizamos os procedimentos, os objetivos, bem como o período em que foram
realizadas as coletas de dados, conforme o quadro 4.
Quadro 4. Síntese dos procedimentos de coleta de dados
Momentos Procedimentos Objetivos Período de realização
Primeiro
Envio de e-mail aos
professores de Matemática
jurisdicionados ao NRE de
Maringá. Nele encontrava-se
a carta convite para
participação da pesquisa e
link para Questionário
online.
Levantar o perfil dos professores,
a formação acadêmica e os
procedimentos metodológicos,
entre outras, buscando saber
como se dá o ensino e a
aprendizagem de conteúdos da
disciplina de Matemática.
Envio no dia 21 de agosto
de 2015, com prazo final de
resposta para 10 de
setembro de 2015,
totalizando um período de
20 dias.
Segundo
Leitura e seleção dos
Questionários online e
análise dos dados.
Selecionar os participantes
pautando-se nos seguintes
critérios: a) lecionar no anos
finais do Ensino Fundamental; b)
utilizar a resolução de problemas
como abordagem de ensino; e c)
considerar importante e
necessário que a pesquisadora
observasse-os em sua atividade
em sala de aula.
Setembro de 2015
Terceiro Realização de entrevista com
os professores e análise.
Investigar, mesmo que
verbalmente, com mais clareza,
quais ações pedagógicas realizam
em sala de aula, quando
trabalham na abordagem da
resolução de problemas.
Novembro a dezembro de
2015
P11: 13/11
P9: 16/11
P7 : 07/12
P6: 15/12
Quarto
Observação das aulas
ministradas pelos
participantes e análise dos
dados, conforme em critérios
relacionados à ação
pedagógica do professor.
Investigar ações pedagógicas.
Comparar as ações pedagógicas
desenvolvidas em sala com
referenciais teóricos.
Analisar a coerência entre o dizer
e o fazer.
Novembro a dezembro de
2015
P11:19 e 21/11
P9: 26/11
P7: 08/09/e15/12
Fonte: A autora
Dado o quadro 4, com a síntese dos procedimentos, objetivos e período de
realização, dos dados necessários para a continuidade da pesquisa, apresentamos, a seguir a
análise e discussão dos dados obtidos.
58
4. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS
4.1Apontamentos dos participantes indicados no questionário online em relação ao
trabalho na abordagem da resolução de problemas
Mediante as respostas do Questionário online dos professores que abordam a
resolução de problemas no ensino de um conteúdo em Matemática temos:
Resposta de P1: “Sempre precisa trabalhar a partir da ótica dos educandos,
respeitando sua maturidade. Para isso, nem sempre envolvem todas as tendências
metodológicas, mas, pelo menos, precisa evitar a mecanização do processo, isto é, precisa
levar os alunos a pensar sobre os conteúdos trabalhados para que estes possam assimilá-
los”.
Quando P1 afirma que o professor deve “[...] partir da ótica dos educandos, evitar a
mecanização do processo e [...] pensar sobre os conteúdos trabalhados [...]” sua fala
recorda-nos a pesquisa de Teodoro, Santos e Pedroso (2013). Nesta pesquisa, os docentes que
utilizam problemas por meio de conceitos já adquiridos pelos alunos, perceberam mudanças
na rotina das aulas. Desse modo, as aulas tornando-as dinâmicas com a participação dos
alunos, propiciando também ao professor refletir sobre sua postura em relação ao ensino.
Resposta de P2: “No conteúdo de função, por exemplo, é preciso mostrar ao aluno
como esse assunto está ligado ao seu dia-a-dia e a melhor maneira é propor problemas
cotidianos onde se explica tal conteúdo. Situações-problema em que o aluno precise pensar
sobre levantar estratégias para resolvê-lo”.
O participante P2 diz utilizar como tendência metodológica a Resolução de
Problemas, visto que considera que esta abordagem de ensino está relacionada ao fato de “[...]
propor problemas cotidianos” o que permite que o aluno “[...] precise pensar sobre levantar
estratégias para resolvê-lo”.
Em relação à proposição de problemas, Pozo e Angón (1998) afirmam que
[...] propor tarefas não só com um formato acadêmico, mas também dentro de
cenários cotidianos e significativos para o aluno, procurando fazer com que o aluno
estabeleça conexões entre ambos tipos de situações [...] se um dos objetivos da
inclusão da resolução de problemas no currículo é ajudar os alunos a resolver não só
problemas escolares mas também problemas cotidianos, é preciso que os alunos
adquiram, juntamente com uma boa bagagem de técnicas e estratégias, o hábito de
utilizá-las em situações abertas, longe ou momentaneamente afastados do olhar do
professor (POZO; ANGÓN, 1998, p. 161).
59
Resposta de P3: “Normalmente, partimos de uma situação-problema que dê
motivação para o estudo de determinado conteúdo para então apresentarmos os conceitos”.
Resposta de P4: “Em alguns casos, porém, a Resolução de Problemas traz resultado
matemático mais interpretativo”.
Resposta de P6: “As tendências metodológicas são inseridas conforme os conteúdos
são apresentados, como por exemplo: números naturais – história da matemática – sistemas
de numeração; resolução de problemas costumo trabalhar em todos conteúdos com situações
problemas na introdução do mesmo. Investigação matemática mais especificamente nos
produtos notáveis com o auxílio das mídias (GeoGebra) e funções. A Modelagem matemática
trabalho com a modelação de alguns problemas para o ensino de funções”.
P6 afirma que utilizando a resolução de problemas é possível ao professor “[...]
trabalhar em todos conteúdos com situações problemas na introdução do mesmo[...]”.
Trabalhar na abordagem da resolução de problemas condiz com a pesquisa realizada por
Francisco et al. (2013) demonstrando que o trabalho com resolução de problemas é uma
ferramenta alternativa que causa curiosidade e desperta interesse do aluno ao conteúdo.
Resposta de P7: “Para desenvolver a resolução de problemas em sala de aula
procuro, na medida do possível, relacioná-la com o conteúdo que está sendo trabalhado com
os alunos, em que alguns passos devem ser desenvolvidos, tais como: ler e compreender o
problema; identificar as unidades de sentido (dados e/ou informações) do problema; esboçar
uma estratégia para a resolução (elencando os procedimentos: esquemas, dados, operações
etc.); aplicar/executar a estratégia por meio dos conceitos e propriedades envolvidos e as
operações pertinentes à situação e, finalmente, realizar a conferência dos resultados
obtidos”.
P7 indica que “[...] alguns passos devem ser desenvolvidos” ao utilizar a resolução de
problemas como abordagem de ensino. Esses passos são: “ler e compreender o problema;
identificar as unidades de sentido (dados e/ou informações) do problema; esboçar uma
estratégia para a resolução; aplicar/executar a estratégia [...]; realizar a conferência dos
resultados obtidos”. As questões apontadas pelo professor identificam-se com os estudos
sobre a resolução de problemas mencionados nessa pesquisa como Proença (2015). Rodrigues
(2011), Brito (2010), Polya (1978), entre outros.
Para Mayer (1992), citado por Brito (2010), a leitura e compreensão do problema se
refere a um dos quatro tipos de conhecimentos necessários para solução de problemas, sendo,
neste caso, o conhecimento de fatores linguísticos. “A leitura do problema se refere não só à
60
compreensão, mas também envolve termos específicos da matemática (relações lógicas) que,
muitas vezes, não fazem parte da experiência dos alunos” (ITACARAMBI, 2010, p.14).
Quando P7 se refere a “[...] (identificar dados e/ou informações) [...]” temos,
conforme Silva e Siqueira Filho (2011), que indicam questionamentos no sentido de
interpretar o enunciado, com a possibilidade de levantamento dos dados, o que é conhecido
desses dados e o que não, se há exemplos que podem auxiliar na busca por informações. Em
relação à “[...] esboçar uma estratégia para a resolução (elencando os procedimentos:
esquemas, dados, operações etc.) ”, completando o “etc.” temos contribuições indicadas por
Santos (1997 apud SILVA; SIQUEIRA FILHO,2011), assim nomeadas, entre outras: resolver
por tentativa e erro; perceber um padrão de regularidade; resolver por dedução ou indução;
fazer generalizações e/ou analogias; buscar por palavras-chave; lista, quadro ou tabelas.
A afirmação apresentada por P7 sobre a “[...] conferência dos resultados obtidos”
está de acordo com Polya (1978), sendo a ação de verificar a solução, no sentido de
estabelecer a veracidade, interpretando a resposta encontrada, fazendo relação com o proposto
inicialmente.
Resposta de P8: “O trabalho em sala de aula é através do livro didático adotado pela
escola, pesquisa do dia a dia dos educandos para a montagem destes problemas, interação
entre os alunos na busca de que esses possam ajudar aos colegas e assim demonstrando e
apresentando valores de respeito e solidariedade entre outros”.
Mesmo indicando trabalhar na abordagem da resolução de problemas, P8, em suas
considerações, não deixa evidente suas ações neste sentido, menciona que a formulação dos
problemas parte dos alunos, fala da interação entre os alunos, mas no sentido de colaboração.
Resposta de P9: “Partimos de uma situação-problema que tenha relação com o
cotidiano dos alunos explorando e indagando com questões que os façam perceber o conceito
matemático ao ser aprendido. Em seguida, trabalhamos com diversas outras atividades
similares, em sua maioria as do livro didático”.
Ao partir de situações-problema relacionadas ao cotidiano, proceder com
questionamentos que levam a formação de conceito matemático, elencados por P9 temos que:
O professor precisa ficar atento para o que chamamos de “fechamento do processo”,
ou seja, a recapitulação, sistematização e generalização de todos os conceitos que
foram construídos nas situações particulares dos problemas. Em outras palavras, a
teoria vem depois dos problemas (ANDRADE; NOGUEIRA, 2005, p. 47).
Desta forma, P9 promove o desenvolvimento dos conceitos a partir das estratégias
apresentadas pelos alunos.
61
Resposta de P11: “Inicialmente faço uma sondagem sobre o conhecimento que os
alunos têm sobre o conteúdo a ser trabalhado depois desenvolvo algumas atividades que leve
os alunos a formarem o conceito do conteúdo em questão, quando o aluno consegue
identificar os atributos referentes ao conceito, trabalhos algumas atividades como exercício”.
Quando P11 relata “[...] faço uma sondagem sobre o conhecimento que os alunos têm
[...]”, numa pesquisa apresentada por Puti, (2011), esta ação pedagógica do professor, remete
na sondagem de conhecimentos já incorporados. O problema desperta no aluno interesse pela
solução, e, ao mesmo tempo, é preciso estabelecer relações de conhecimentos já adquiridos
com os novos.
Em relação à ação de P11 “[...] trabalho algumas atividades como exercício [...]”,
conforme apresenta Pozo e Angón (1998, p. 162).
[...] mantendo como objetivo primordial a tarefa de ensinar os alunos a
resolver problemas, é necessário um equilíbrio entre a realização de exercícios e a
proposição de problemas, evitando sempre transformar os exercícios num fim em si
mesmo e que o abuso deles faça com que os alunos enfrentem todas as tarefas -
inclusive as que nós concebemos como autênticos problemas - como se fossem
exercícios repetitivos (POZO; ANGÓN, 1998, p. 162).
O professor precisa dosar as atividades com problemas e também com exercícios.
Dos quatro professores participantes que atendiam os critérios delineados no segundo
momento, foi possível, a partir de suas respostas no Questionário online, fazer um paralelo
entre as ações pedagógicas que estamos buscando, evidenciados nesta pesquisa, com as
respostas do Questionário online. Desta forma, os participantes P6 e P9 indicaram propor o
problema como ponto de partida para introduzir um novo conteúdo de Matemática e que
permitam ser resolvidos por diferentes estratégias; o participante P7 indica que em suas ações,
ao abordar a resolução de problemas, procura discutir e cooperar na interpretação e
compreensão do enunciado e estratégias de resolução, dando voz aos alunos para que possam
falar e/ou demonstrar as maneiras utilizadas para solução do problema proposto; quanto ao
modo de dispor os alunos em grupos e permitir tempo necessário para o planejamento e a
execução de um plano elaborado, não foi constatado nas respostas de nenhum dos
participantes, neste instrumento de coleta de dados. Os participantes P9 e P11 indicaram ter os
procedimentos que permitem socializar com a classe as estratégias apresentadas, promovendo
o desenvolvimento de conceitos pelos alunos.
As ações pedagógicas também foram confrontadas com as Entrevistas e observações
de aulas e serão apontadas nas seções seguintes.
62
4.2 Análise das entrevistas
Em relação às ações pedagógicas dos professores entrevistados, essas podem ser
enumeradas no relato verbal, quando dizem utilizar a resolução de problemas como forma de
iniciar um conteúdo ainda não estudado, e estão dispostas no quadro 5.
O docente P6 no quadro 5, situado a seguir menciona que utiliza o método de Polya.
Polya (1978) propôs para resolução de problemas um modelo definido em quatro
fases/estágios: 1) Compreender o problema: ao ler o enunciado do problema proposto, o aluno
deve perceber o entendimento da proposta que lhe é sugerida, identificando as palavras, os
símbolos e se dispor para buscar a solução. 2) Conceber um plano: na busca para solucionar o
problema o passo seguinte é elaborar estratégias para obtenção da solução. 3) Executar o
plano: consiste em aplicar os procedimentos de resolução para solucionar o problema. 4)
Verificar a solução: de posse da solução, verificar se a mesma procede com a questão
apresentada, fazendo a validação.
No quadro 5, apresentamos as ações pedagógicas em sala de aula, elencadas por cada
participante, quando dizem trabalhar a resolução de problemas.
63
Quadro 5. Ações pedagógicas elencadas pelos professores.
Categoria Respostas dos docentes Participantes
Ações
pedagógica
s em sala
de aula
1. Os alunos formam grupos;
2. Formulo um problema e levo escrito nas equipes;
3. A equipe vai falar a estratégia que utilizou para
resolver;
4. Peço para fazerem no quadro e comparamos as
respostas;
5. Peço para falarem como pensaram para chegar à
resposta;
P11
1. Pego uma situação partindo dos conhecimentos prévios;
2. Começo a fazer a leitura parte a parte com eles;
3. Vou direcionando as questões para que eles vão me
dando as respostas, vou montando o raciocínio deles,
para que eles cheguem a algum lugar; eu escrevo no
quadro, mas eles vão me direcionando;
P9
1. Primeiramente eu informo o conteúdo, vamos trabalhar
o conteúdo x;
2. Na sequência, eu preparo, elaboro, desenvolvo e aplico
os conteúdos no quadro;
3. Deixo os alunos pensarem, resolverem. Dou um tempo
pra eles;
4. Círculo pela sala, verifico, estimulo: “Vamos, faça!
Rápido! Seu colega já está montando e elaborando e
você ainda não fez? ”;
5. Procuro verificar que estratégia, que sentido eles estão
extraindo dos dados pela resolução de problemas;
6. Dou um tempo: um problema que leva lá uns 5 minutos
eu dou esse tempo;
7. Na sequência, quando a maioria terminou, faço alguns
encaminhamentos/questionamentos;
8. Então, começo no quadro, com a participação deles,
iniciando um processo de validação;
P7
1. Então, quase sempre a gente introduz o conteúdo com
um problema, pois o ele vai instigar o aluno a chegar
naquela teoria que eu vou abordar;
2. A gente vai fazer a leitura deste problema e a
interpretação, eu sempre uso o método de Polya;
3. Primeiramente, você tem que interpretar os dados, ler
com atenção, depois elaborar uma estratégia, pensar em
um problema, qual método vou usar para responder,
que seria a estratégia e por último, ele vai verificar se
aquela estratégia realmente foi satisfatória para a
resolução do problema;
4. Daí eles falam e, às vezes, até trazem outros exemplos.
P6
Fonte: A autora
64
Fica evidente, desde a formação de grupos até resolver os problemas
individualmente, apresentar situações-problemas relacionadas aos conhecimentos prévios ou
que se aproximam à vivência dos alunos e seu registro no quadro de giz pelos, que a
professora organize os registros no quadro de giz.
Diante das ações pedagógicas elencadas pelos professores entrevistados, percebemos
ações comuns, como: leitura do problema, interpretação, levantamento e aplicação de
estratégias e confirmação se a estratégia é satisfatória. É ressaltada a necessidade de dar
tempo ao estudante para que o mesmo possa proceder com a leitura, interpretar os dados,
estabelecer estratégias de resolução e resolver a proposta, elencando os possíveis resultados.
Vê como ações pedagógicas, a possibilidade de iniciar com um problema ou
introdução que contextualize o tema. Apresentam uma preocupação em estabelecer relação
com conteúdos anteriores e explorarem conceitos prévios. Entretanto, tudo é (re) validado
pelo diálogo coletivo entre os alunos, com a mediação do docente. Esse encaminhamento
pode ou não ser formulado/validado pelo docente.
Vemos que o participante P6 menciona o modelo proposto por Polya (1978) que é
composto por quatro estágios: compreensão do problema, estabelecimento de um plano de
resolução, utilização de procedimentos para a execução do plano e confirmação se a solução
condiz com a questão apresentada no problema. De modo generalizado e utilizando outras
expressões, podemos constatar que os outros participantes seguem praticamente os mesmos
passos.
Outra questão norteadora da entrevista estava relacionada à formação do conceito.
De acordo com Souza e Guimarães (2015) podemos partir do seguinte princípio: um aluno
não sabe nada de um determinado conteúdo/assunto, e para que construa este conhecimento o
professor utiliza um problema que pode desencadear em uma nova aprendizagem. Partindo
deste pressuposto, buscamos saber como o professor finaliza, ou seja, traz a formalização do
conceito do conteúdo em questão.
Tal problemática nos remete a formalização do conceito, ao qual podemos situar os
participantes de acordo com o quadro 6.
65
Quadro 6. Respostas apresentadas pelos entrevistados relacionadas à formalização do conceito
Categoria Respostas dos docentes
Formalizar
o conceito
“Com um pouquinho de aula que eu trabalhei, meus alunos
já aprenderam muito mais do que ficar lá no livro,
resolvendo coisa pronta, porque partiu dos alunos”; “porque
quando a gente introduz levando aquele problema, o aluno
fala o que ele é, o que ele acha, o que ele não acha, então a
gente vai junto com o conceito do conteúdo”.
P11
“Então, sempre tem um ou outro que fala o que a gente quer
ouvir, né [...] graças a Deus, (risos), porque quando não tem,
eu sou obrigada a fazer a fala, então não tem jeito, tem uma
hora que a gente cava, cava, cava e, quando chega na pedra,
eu sou a britadeira. Não tem mais de onde tirar, de onde não
sai, né [...] Mas, às vezes que eles me dão as ferramentas eu
vou organizando e a gente consegue chegar, lá”.
P9
O entrevistado falando em relação a conceitos geométricos.
“Eles não têm maturidade matemática para se apropriar
desses conceitos, ele pode observar e falar com suas próprias
palavras. Enquanto professor, você pode acatar e respeitar
que o aluno está se expressando por mais que não use a
palavra correta. Isso é trabalhado ao longo dos anos, eu
observo assim”.
P7
“Isto, depois que eu já fiz toda a parte prática, que eu fiz
todos os questionamentos, daí você formaliza, né! Às vezes
eles trazem até outros exemplos, né, no momento da
explanação, e eu consigo chegar na formalização”.
P6
Fonte: A autora.
Percebemos que há preocupação, por partes dos entrevistados, para que as estratégias
apresentadas pela classe promovam o desenvolvimento de conceito pelos alunos. Nesse
mesmo sentido, apresentaremos pesquisas relacionadas.
Proença (2015), que trabalhou na abordagem da resolução de problemas em sala de
aula, na disciplina de Metodologia de Ensino de Matemática, com graduandas do curso de
Pedagogia, com finalidade de favorecer a compreensão do ensino de frações. Elaborou
66
categorias, entre elas “Articular as estratégias dos alunos ao conteúdo”, valorizando assim os
conhecimentos e as contribuições dos alunos na construção de um novo conhecimento.
A participação ativa dos alunos, partindo de suas interpretações, demonstra um
trabalho produtivo elencado por P11. Conforme Dante (2010), os alunos estão “fazendo
matemática” e não são meros expectadores, acompanhando, passivos, o trabalho único do
professor.
Brolezzi (2013), afirma que, diante de um novo conhecimento, é usual ouvir dos
alunos, “isso cai na prova? ”. Para que isto deixe de acontecer, o aluno precisa perceber que
os conteúdos/assuntos formam entre si uma rede, estão interligados. Propiciar essa conexão é
tarefa do professor; se este abordar tópicos já trabalhados com novas estratégias mediando
essas relações com o tempo, os alunos construirão novas condutas diante dos conhecimentos
matemáticos. Podemos concluir que a ideia de Brolezzi está presente no trabalho de P7. Esse
professor também menciona a dimensão do tempo para a constituição de novas formas de
pensar e resolver problemas em sala de aula. .
De acordo com Dante (2010), a tarefa de ensinar utilizando problemas é complexa,
se comparada a ensinar algoritmos. Na resolução de problemas, a atitude do professor é de
“incentivador e moderador das ideias geradas pelos próprios alunos” (DANTE, 2010, p.56).
Quando analisamos a verbalização de P9, percebemos essa complexidade.
Em relação à terceira questão, a pesquisadora questiona quais resultados, ou
vantagens que o entrevistado atribui quando trabalha na abordagem da resolução de
problemas.
As respostas desta questão encontram-se dispostas no quadro 7.
67
Quadro 7. Respostas dos entrevistados, ao trabalhar com a resolução de problemas
Categoria Respostas dos docentes Participantes
entrevistados
Contribuições
/vantagens da
resolução de
problemas
“É, como docente eu comecei a perceber o seguinte, que,
quando a gente parte do aluno, ele constrói o
conhecimento dele, a gente não dá pronto, acabou aquela
ansiedade que eu tinha [...] tem que trabalhar isso. Eu
importava com a quantidade [...] eles estão conseguindo
entender mais, muito melhor. O que me deixou muito
feliz foi que os alunos que apresentam mais dificuldade
(frequentam sala de apoio) eles acertaram tanto quanto
aqueles que não. A aprendizagem deles foi muito boa”.
P11
“Eu penso que é esta relação que eles conseguem
estabelecer entre os conteúdos. [...] Então é quando você
faz a proposta, ele tem que pensar um pouco mais, e o
que a resolução de problemas faz, tem este papel né, de
levá-los a pensar. Eu penso que perceber esta relação
que existe entre um conceito e outro é muito importante
e eu acho que a resolução de problemas dá conta disso”.
P9
“Normalmente eu procuro fazer isso todos os anos há
muito tempo. Com o passar dos anos vai melhorando,
usando outro tipo de vocabulário, uma outra abordagem
pra chamar a atenção. Às vezes a gente prepara um
mesmo problema e aplica em turmas diferentes, o
feedback é totalmente diferente, a abordagem, a
aceitação, participação, uns participam mais outros nem
tanto. Então, ela é muito assim, subjetiva. E os
benefícios? Traz, depois no processo da avaliação dá pra
saber se aquele aluno de fato teve uma participação
efetiva, compreende, procura resolver, tem dúvidas e
procura sanar essas dúvidas, vê depois no processo da
avaliação numa prova escrita, até mesmo um feedback
rápido onde você está explicando, o aluno responde”.
P7
“Eu percebo assim, que eles ficam mais motivados. [...]
E quando você dá uma situação problema, eles lembram.
Às vezes eu tô lá trabalhando, vamos supor lá, que eu
dei um cubo. Aí eles falam Nossa, olha lá professora
eles tão repetindo, lembra que a gente trabalhou lá a
área. Então eles fazem uma associação com aquela
situação problema, e com o conteúdo que vai ser novo
para eles”.
P6
Fonte: A autora.
Em relação aos benefícios/vantagens elencados o docente P11, ressaltou a
participação do conhecimento pelo aluno, um maior envolvimento com o conteúdo e o dar
voz ao estudante. Observou um salto qualitativo no processo de aprendizagem de alunos que
68
apresentavam maiores dificuldades, de modo que estes acertaram tanto quanto alunos que
apresentavam facilidade na temática.
Os docentes P6 e P9 notaram que os alunos se mostraram motivados, os mesmos se
envolveram com as questões propostas e se empenharam em buscar as respostas nas questões
levantadas, nas situações-problema, e ainda perceberam que os mesmos estabeleceram
associação entre os diferentes conteúdos.
Os participantes P11, P9, P7 e P6 perceberam que ao trabalhar na abordagem da
resolução de problemas é importante dar voz ao aluno, notando que estes ao participarem
ativamente da aula, trazem melhores resultados tanto em relação à aprendizagem dos
conteúdos e quanto à socialização de seus conhecimentos.
A utilização da resolução de problemas associada a outras estratégias ou tendências
ou, ainda, metodologias de ensino foram destacadas pelos docentes P9 e P6 que indicaram que
essa forma de ensinar não é fechada em si mesma.
De acordo com os docentes P11 e P6, a preocupação está relacionada com a
elaboração dos problemas, de modo que, se os problemas forem bem formulados, podem
contribuir com a qualidade no processo de aprendizagem.
Para Pozo e Angón (1998), alunos do Ensino Fundamental, devido à idade,
necessitam de mais orientações para que possam, gradativamente, se habituar a resolver
problemas e apresentar condutas de busca de resoluções criativas. Se o trabalho com
abordagem na resolução de problemas, nessa modalidade de ensino, for apresentado desde o
início, os alunos não criarão resistência e serão preparados a refletir e tomar decisões.
4.3Análises das aulas
Elencamos o perfil dos participantes P7, P9 e P11, dos quais as aulas foram
observadas, de acordo com o quadro 8.
69
Quadro 8. Perfil dos participantes da pesquisa
Particip
antes Idade
Tempo de
magistério
(anos/meses)
Regime de
trabalho Nível de escolaridade
Jornada
de
trabalho
(h/a
semanal)
Nível (is) de
ensino que
leciona
P7 31 6/6 QPM
Licenciatura em
Matemática e Pedagogia,
Mestrado e Doutorado.
< 20
Anos finais do
Ensino
Fundamental
P9 41 14/9 QPM
Licenciatura em
Matemática e Pedagogia,
Mestrado e Doutorado. 20 a 30
Anos finais do
Ensino
Fundamental e
Médio
P11 52 31/7 QPM Licenciatura em
Matemática e Pedagogia. 31 a 40
Anos finais do
Ensino
Fundamental
Fonte: A autora
Os participantes têm idade entre 31 e 42 anos, há uma variação significativa no
tempo de magistério, configurando de seis anos e seis meses, ou seja, quase um iniciante, e
docente com longo tempo, ou seja, 31 anos e 7 meses. Todos trabalham em regime efetivo,
além da Licenciatura em Matemática, apresentam outros níveis de escolaridade, incluído
mestrado e doutorado, a carga de hora/aula varia de menos de 20h/a ao encargo completo de
40h/a. Atuam tanto nos anos finais do Ensino Fundamental como no Ensino Médio.
Para análise das aulas, iniciamos com a apresentação da classe, estabelecemos o
ano/turma a qual o aluno está matriculado, os conteúdos/assuntos que foram desenvolvidos
nas aulas, o número de aulas observadas, a quantidade de alunos e o perfil da turma, em
relação ao comportamento e a percepção da pesquisadora em relação à aprendizagem,
conforme dados discriminados no quadro 9.
70
Quadro 9. Informações gerais das turmas as quais as aulas foram observadas
Parti
cipan
tes
Ano/turma/
período/
data da
observação
das aulas
Conteúdo
s básicos
Númer
o de
aulas
observ
adas
Data/qua
n
tidade de
alunos na
turma
Considerações
em relação ao
comportamen
to da turma
Considerações
em relação à
aprendizagem
da turma
P11
6º ano A
Matutino
19/11 e
21/11/2015
Números
fracionário
s
03 19/11: 18
21/11: 14
Alguns alunos
bem agitados
no 1ºdia,
conversam e
brincam com
os colegas. Há
um clima de
estudos nos
grupos.
Os alunos
apresentaram
argumentos
relacionados
ao assunto que
estava sendo
desenvolvido.
P9
9º ano A
Matutino
26/11/2015
Juros 02 31
Adolescentes,
carteiras
desordenadas,
poucas
conversas
paralelas, risos
e cochichos. A
maioria da
classe participa
com interesse e
atenção.
Após os
primeiros
instantes de
distração os
alunos
iniciaram a
atividade
proposta. A
classe
empenhou-se
em encontrar a
solução do
problema
proposto.
P7
6º ano A
Vespertino
08/12;
09/12 e
15/12/ de
2015
Geometria
plana
05
08/12:18
09/12: 19
15/12: 19
Alunos em
carteiras
enfileiradas,
conversas
paralelas, risos
e cochichos.
Nem todos
alunos têm
participação
ativa nas aulas.
Há alunos
dispersos que
levam mais
tempo para
interagir com a
proposta, em
alguns
momentos, se
surpreendem
com as
construções no
GeoGebra,
como a medida
dos ângulos. Fonte: A autora.
Os participantes da pesquisa, P11, P9 e P7, atuam em turmas de 6º e 9º anos do Ensino
Fundamental, nos períodos matutino P11, P9 e vespertino P7. O período de observação das
71
aulas ocorreu nos meses de novembro e dezembro de 2015. Em relação aos
conteúdos/assuntos estes são contemplados em documentos oficiais PCN (BRASIL, 2001) e
DCN (BRASIL, 2008), portanto, configuram no Plano de Trabalho Docente elaborado pelo
professor. Em relação ao número de aulas observadas foram entre duas a cinco horas/aulas,
período satisfatório, possível do desenvolvimento do conteúdo/assunto proposto, nesse espaço
de tempo, os docentes apresentam o problema como ponto de partida, no caso de P11e P9 até a
formalização do conceito do conteúdo em estudo. A quantidade de alunos presentes nas aulas
teve uma variação entre 14 a 31 alunos presentes.
Quanto ao comportamento dos alunos, nos primeiros instantes da aula, sempre ocorre
conversas paralelas, risos, cochichos e brincadeiras, mas ao iniciar as atividades, os alunos
mantêm uma postura de participação e envolvimento com as situações-problema.
O trabalho do conteúdo/assunto na abordagem da resolução de problemas possibilita
a participação ativa dos alunos, em decorrência constatamos que mantiveram-se envolvidos e
em sua maioria demonstravam argumentos e estratégias relativas as situações apresentadas.
Tendo analisado as aulas utilizando o Diário de Campo, apresentaremos as ações
pedagógicas que evidenciamos quando o professor trabalha na abordagem da resolução de
problemas.
Analisaremos as ações pedagógicas dos participantes P11, P9 e P7 conforme o
estabelecido:
4.3.1 Propor o problema como ponto de partida, para introduzir um novo conteúdo de
Matemática e que permita ser resolvido por diferentes estratégias
4.3.1.1 Quanto à abordagem de um determinado conteúdo/assunto
O docente P11 ao iniciar o conteúdo de números fracionários entregou a cada aluno
do 6º ano, cinco problemas digitados, solicitou que trabalhassem em pequenos grupos, não
mencionou de qual conteúdo se tratava, pelas soluções apresentadas, aos poucos foi trazendo
a abordagem do assunto.
O docente P9 ao abordar o conteúdo juros simples na turma de 9º ano apresentou aos
alunos uma situação-problema com o objetivo de introduzir o conceito deste assunto.
Neste sentido, “numa aula baseada na metodologia de resolução de problemas, o
problema deve ser o ponto de partida. O docente apresenta um problema, escolhido por ele ou
72
pelos próprios alunos, que devem procurar elaborar uma ou mais estratégias para sua
resolução” (GÜNZEL et al., 2013, p.6).
De acordo a pesquisa desenvolvida por Cocco et al. (2013) do Programa
Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID), em turmas de 5º e 6º anos que tinha
entre outras a proposta de promover a alfabetização tanto matemática quanto tecnológica por
meio de jogos e resolução de problemas, ao utilizar uma situação-problema como ponto de
partida para o ensino de um conteúdo, tal abordagem deve propiciar aos alunos o
desenvolvimento do raciocínio, da atenção, e a retomada de conhecimentos já incorporados
para a busca de estratégias de resolução da situação apresentada.
Desta forma constatamos que P9 e P11 ao iniciar um novo conteúdo aos seus alunos o
fazem por meio de um problema.
Em relação de como ocorreu à abordagem do conteúdo geometria plana o docente P7
iniciou a aula por meio de questões orais. Como a geometria tem um vocabulário com termos
específicos, os alunos não apresentavam respostas condizentes às questões levantadas pelo
docente. Durante a apresentação do conteúdo não apontou o problema como ponto de partida,
as ações do docente se basearam em questões orais sobre noções de geometria plana, seguidas
de construção no GeoGebra, apontando os elementos da imagem construída e, posteriormente
a formalização em linguagem matemática utilizando o quadro de giz. Retoma toda a fala que
já havia apresentado durante a construção no software GeoGebra e solicita aos alunos que
façam o registro em seus cadernos.
Registramos com imagens uma das aulas observadas, do docente P7, conforme figura
1.
73
Figura 1. Triângulos, apresentação no quadro de giz (b) no software GeoGebra(a) e atividades do livro (c).
Fonte: Arquivos da autora.
O assunto abordado foi triângulos com atividades no software GeoGebra no quadro
de giz e atividades no livro do aluno.
Podemos visualizar na imagem a construção do triângulo no software GeoGebra, nas
imagens b triângulos representados no quadro de giz, e na imagem c, atividades sobre o
assunto no livro do aluno.
Constatamos nas ações dos professores P11 e P9 conforme Schroeder e Lester (1989),
um ensino via resolução de problemas, que utiliza o problema como atividade inicial para
desenvolver um novo conteúdo/assunto. Corroborando neste mesmo aspecto, Souza e
Guimarães (2015), apresentam as possibilidades de abordagem de ensino utilizando a
resolução de problemas em três vias, sendo que uma destas vias é ensinar através da resolução
de problemas, ou seja, ensinar com o problema.
As ações pedagógicas de P7 conforme os pesquisadores Schroeder e Lester (1989),
seria uma abordagem no sentido de ensinar para a resolução de problemas, o que ocorre neste
caso é uma aplicação dos conhecimentos matemáticos para solucionar problemas ou
exercícios. Conforme Souza e Guimarães (2015), a resolução de problemas por esta via,
primeiro vem à teoria, os conceitos para serem utilizados posteriormente nos problemas.
74
Temos no quadro 10, a síntese quanto à proposição do conteúdo/assunto.
Quadro 10. Quanto à abordagem de um determinado conteúdo/assunto
O professor aborda um determinado conteúdo, utilizando o problema como ponto
de partida. P9 e P11
O professor aborda um determinado conteúdo trazendo definições e utilizando
exercícios.
P7
O professor aborda um determinado conteúdo de uma outra forma P7
Fonte: A autora.
Temos em síntese que P9 e P11 abordaram os conteúdos/assuntos números fracionários
e juros simples utilizando o problema como pontos de partida, e P7 abordou
conteúdos/assuntos acerca de geometria plana, por meio de conceitos e
construções/demonstrações utilizando o software GeoGebra e anotações no quadro de giz.
4.3.1.2 Quanto à proposição de problemas que permitam ser solucionados por diferentes
estratégias
Ao elaborar problemas, que possam ser solucionados por diferentes caminhos o que
fica em evidência não é somente a resposta, mas a construção do processo de resolução, por
isto, justifica propor problemas que possam ser solucionados por diferentes estratégias.
Relação dos problemas apresentados por P11:
1-Durante um passeio, Simone comprou 5 barras de cereais. Resolveu repartir
igualmente entre ela e três amigas. Que parte da barra de cereal comeu cada uma?
2 – Pedro e Maria foram à pizzaria. Lá Pedro fez o pedido de uma pizza que foi
dividida em 4 partes iguais e comeu um pedaço, enquanto Maria pediu outra pizza
que foi dividida em 8 partes iguais e comeu dois pedaços. Quem comeu mais pizza?
3 – Rubens quer repartir meio queijo entre 3 amigos, que parte do queijo receberá
cada um?
75
Neste primeiro momento, P11 optou pela discussão destes três problemas, da lista dos
cinco que tinha sido entregue aos alunos.
Os problemas apresentados pelo docente P11 tinham duas opções de resolução, nas
quais os alunos utilizaram a divisão e a representação por desenho. Dante (2010) ressalta a
valorização de desenvolver certas estratégias que podem ser utilizadas em diferentes situações
que auxiliam na descoberta da solução.
Ações do docente P11 durante o desenvolvimento das atividades:
Explicou que cada grupo deveria ler e utilizar a forma de resolução que
quisesse para responder a pergunta do problema.
Solicitou um voluntário para ler o primeiro problema em voz alta. Muitos
alunos tiveram a iniciativa, então foi indicado um deles. Após a leitura pela
aluna, a classe foi questionada pelo docente: “Como você resolveria cada
situação? Pode desenhar e/ou fazer operações”.
Se os alunos tinham escolhido apenas uma estratégia, perguntava: “mas será
que pode ser feito de outro jeito? ”.
De acordo com a pesquisa de Mesquita, Santos e Santos (2013) que analisaram as
interações entre alunos num pequeno grupo durante a resolução de um problema envolvendo
conceito de área e perímetro, pontuam que em vários momentos durante a resolução o
pesquisador se valia de dicas, para que os alunos pudessem prosseguir com o raciocínio
focado na questão. O ambiente em sala de aula deve favorecer a interação entre os alunos.
Durante a aula registramos fragmentos de diálogos dos alunos com o docente P11,
relacionados às estratégias de resolução, conforme registrados.
Aluno: Pode sobrar?
Docente: Você é quem vai pensar.
Aluno: Fiz conta de dividir.
Docente: Com esta conta vai dar para responder a pergunta?
Docente: Porque você fez esta conta?
Aluno: Porque o problema fala em repartir.
Docente: Você discutiu com a colega? É sua opinião ou é opinião do grupo?
Aluno: Vai dividir e não multiplicar.
Aluno: Não entendi nada.
Docente: Eu quero que você pense. Você acha que fazendo assim está respondendo?
Aluno: É para representar em fração? Pode desenhar?
Docente: Se achar que tem mais de uma forma desenha, escreve, explica a
estratégia para a mim, a resolução é sua.
Docente: Como chegaram nesta resposta?
Aluno: A gente coloca a resposta ou a conta?
76
Por meio do diálogo entre o docente P11 e a classe, a postura do professor é de
mediador, não anuncia respostas, mas faz com que o aluno reflita.
Apresentamos o enunciado do problema apresentado por P9: Mario comprou uma
casa por R$175.000,00. Para o pagamento foi dada uma entrada de $145.000,00 e o restante
parcelado a juros simples com taxa de 12% ao ano durante 5 anos. Qual o valor total de
juros?
Diante dos dados elencados no problema o docente P9 solicita que os alunos
apresentem as formas de resolução. Alguns explicam como chegaram ao resultado, o docente
anota as informações no quadro de giz e refaz com um dos alunos o desenvolvimento da
atividade, ou seja, vai escrevendo no quadro de giz a forma como esse aluno tinha pensado,
para que ele e os demais colegas percebam até onde o procedimento traz a solução para a
questão apresentada.
A medida que os registros, as discussões se aproximam da solução do problema
proposto, o docente P9diz: “Nossa, que volta grande vocês estão dando”. Essa expressão
condiz com a proposta, uma vez que o docente se interessa em conhecer o ponto de vista dos
alunos ao escutá-los, e desta forma, incentiva-os a participarem da aula, pois anota suas falas
no quadro de giz e prende a atenção dos alunos para avaliarem se a resolução era realmente
dessa ou daquela maneira.
Podemos perceber pelo diálogo estabelecido que o professor desempenha o papel de
mediador, permitindo que os alunos tracem caminhos.
Neste sentido, conforme Pissato et al. (2013), para possibilitar um ambiente capaz de
mobilizar os alunos a sugestão é que os problemas sejam elaborados propiciando que a
solução possa ser obtida de diversas formas, como por intuição, estabelecendo conexões, por
experimentação, entre outros, e que mobilizem imaginação, criatividade.
Em relação ao docente P7, o conteúdo apresentado utilizou construções no software
GeoGebra, seguido da mesma representação no quadro de giz, sempre reforçando os
conceitos por meio de definições. Solicitou aos alunos que tudo fosse registrado no caderno e
as atividades de fixação foram marcadas no livro do aluno.
Ações pedagógicas de P7 em relação a apresentação do conteúdo
Fez as demonstrações do ponto, da reta, do segmento de reta, entre outros, no
software GeoGebra e questionou os alunos perguntando-lhes o que entendiam
e o que lembravam sobre o assunto, associando os conceitos geométricos aos
elementos da sala de aula. Fez um breve contexto histórico sobre a Geometria
Euclidiana.
77
Falou rapidamente sobre o software GeoGebra, e apresentou alguns comandos.
Fez as representações de ponto, reta e plano e disse que esses entes primitivos
da geometria não possuem definição. Para que os alunos pudessem fazer
associações, deu como exemplo de plano, a sombra, a folha de papel, a tela do
computador.
Reproduziu a imagem construída na tela do computador no quadro de giz e
solicitou que os alunos copiassem, sempre apresentando a linguagem
matemática. Reforçou que o ponto, a reta e o plano são conceitos geométricos,
o que temos é uma ideia primitiva, ou seja, “são representações, não temos
acesso, entes primitivos são abstratos e existem apenas no mundo das ideias”.
Desta forma, percebemos que toda a ação cabe ao professor e a participação do aluno
é pouco representativa no desenvolvimento da elaboração dos conceitos.
Fragmentos de diálogo entre os alunos e o docente P7:
Docente: O que vamos estudar hoje é geometria Euclidiana. Geometria euclidiana
vem de Euclides, grego. Nossa avaliação é sobre Geometria plana e espacial.
Docente: A geometria é separada em duas partes: plana e espacial
Docente: O que vocês entendem por geometria, o que vocês lembram?
Aluno: Retângulo, esfera, etc.
Docente: O que remetem o plano, qual a ideia, a superfície do quadro é plana? Mas
antes do plano, tem dois elementos que eu quero que vocês procurem identificar,
conseguem?
Aluno: Segmento de reta tem começo e fim?
Docente: Para segmento de reta, agora temos definição. Aqui na sala temos
segmento de reta: no quadro, em cima da porta, no chão. Temos muitos exemplos.
Aluno: Como separa a reta?
Docente: A reta não separa. Marcamos um ponto. nesta reta, vou chamar de O,
que vem da palavra origem. A partir de O (origem) todas as partes que vão pra lá é
um segmento de reta.
O docente informa o conteúdo/assunto da aula e segue questionando os alunos.
Diante disso, Ramos, Silva e Oliveira (2013), estabelecem que problema difere de
exercício, no sentido de que solucionar exercícios basta buscar os conceitos e técnicas já
apresentados, ao passo que para resolver problemas não basta apenas responder a pergunta, é
preciso mobilizar conhecimentos.
Conforme Teodoro, Santos e Pedroso (2013), por meio da resolução de problemas, o
aluno sente-se convidado a construir conhecimentos e a perceber que suas ideias são
valorizadas, o que permite incentivo para elaborar estratégias próprias de resolução.
Temos no quadro11, a síntese quanto a proposição com base nos resultados de
problemas que apresentam mais do que uma estratégia de resolução.
78
Quadro 11. Quanto a proposição de problemas que permitam ser solucionados por diferentes estratégias
Propõe problemas que podem ser solucionados por diferentes estratégias;
utilizando várias formas de abordagem, como: desenhos, tabelas, cálculos,
figuras geométricas, expressões algébricas.
P9 e P11
Propõe problemas que podem ser solucionados por diferentes estratégias;
utilizando várias formas de abordagem, como: tentativa e erro, generalizações, ou
outra abordagem
Ação
docente
não
identifi
cada. Fonte: A autora.
De acordo com o que registramos, P9 e P11 propuseram problemas que permitiram aos
alunos construíssem diferentes maneiras para buscar a solução que respondesse ao
questionamento do problema. O docente P7 optou iniciar o conteúdo trazendo os conceitos por
primeiro.
4.3.1.3 Quanto à sondagem de conhecimentos prévios
Em relação à revisão de conhecimentos anteriores, não houve por parte do docente
P11 a retomada de nenhum pré-requisito, percebemos a ocorrência dessa falta pela justificativa
dada por um dos alunos em relação ao problema 1: Durante um passeio, Simone comprou 5
barras de cereais. Resolveu repartir igualmente entre ela e três amigas. Que parte da barra
de cereal comeu cada uma? O grupo optou pela divisão e pelo desenho, quando questionados,
ouvimos o argumento de que o desenho era mais fácil do que uma conta com vírgula.
Em outro grupo, alguns alunos questionavam a respeito da palavra meio, no
problema número 3, Rubens quer repartir meio queijo entre 3 amigos. Que parte de queijo
receberá cada um? Os alunos apresentaram as seguintes dúvidas: “meio é cinco? meio é 30?
”, acreditamos que a dúvida gerada pelo termo meio, pode ser pela falta da compreensão deste
termo no contexto desta situação-problema.
Em relação à revisão de algum conhecimento necessário para a abordagem do
conteúdo em pauta, o docente P9 a fez de forma oral, retomou conteúdos já estudados como
regra de três, frações, números decimais, o sinal e o sentido das operações básicas. Num
determinado momento, um aluno realizou uma multiplicação e dizia que havia somado, em
outro momento, a dúvida foi na forma da escrita da porcentagem, sempre aconteceu a
79
retomada de conteúdos estudados. P9 sugere que pesquisem nos próprios cadernos ou livro
conteúdos que possam esclarecer dúvidas e apontar estratégias.
Para a resolução do problema envolvendo cálculos de juros, os alunos utilizaram
conhecimentos prévios para respondê-lo. A aula foi dinâmica, o docente P9 manteve diálogo
amigável com os alunos, retomou conteúdos, sugeriu que pesquisassem no caderno,
esclareceu dúvidas, incentivou e abriu espaço para discussões.
O docente P7 relembrou, de forma rápida e oralmente, os conteúdos estudados
anteriormente, buscou associar os termos de acordo com as novas definições apresentadas,
para algumas denominações e curiosidades, solicitou pesquisas no próprio livro e na internet,
como por exemplo, a denominação de alguns polígonos, o alfabeto grego completo. Também
mencionou assuntos estudados nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Conforme Pissato, Blauth e Reisdoefer (2013) que relatam atividades desenvolvidas
em sala de aula, envolvendo o conceito de área, aplicada à alunos de 6º ano, por meio de um
problema, experiência, advinda da disciplina de Metodologia do Ensino de Matemática na
Educação Básica I, do curso superior em Matemática-Licenciatura, para os pesquisadores este
modo utilizado nas aulas oportuniza ao aluno não só construir conhecimentos, mas refletir e
ter interesse.
Quando os alunos são questionados, ou levados a questionarem-se, novas ideias
surgem e estes são estimulados a pensar, a levantar hipóteses que possivelmente passariam
despercebidas se a abordagem não fosse desafiadora. Fazer abordagem dos conteúdos tendo o
problema como ponto de partida, coloca o aluno frente a situações, onde é preciso pensar e
formular respostas.
De acordo com Branca (1997), resolver problemas é mobilizar conhecimentos já
adquiridos e aplicados a situações ainda não exploradas.
Estabelecemos no quadro 12, os procedimentos de P9 e P7 em relação a retomada de
conteúdos estudados anteriormente, que poderão contribuir para a aquisição de novos
conhecimentos.
Quadro 12. Referente à sondagem de conhecimentos prévios
Realiza ou faz uma sondagem, mesmo que oralmente, dos conhecimentos prévios
dos alunos em relação aos pré-requisitos para o estudo do conteúdo a ser
ensinado.
P9
Realiza ou faz uma sondagem, mesmo que oralmente, dos conhecimentos prévios
dos alunos em relação aos pré-requisitos para o estudo do conteúdo a ser
ensinado solicitando que pesquisem nos cadernos e livros.
P9 e P7
Fonte: A autora.
80
Consideramos relevantes as ações de explicar conteúdos anteriores antes de abordar
novos conteúdos, nesse aspecto os docentes P9 e P7 realizaram esta sondagem de forma oral,
solicitando aos alunos que procurassem nos próprios cadernos e livros e também na rede da
internet. O docente P11 não retomou nenhum conteúdo antes ou mesmo durante a abordagem
de ensino dos números fracionários.
4.3.1.4 Aspectos analisados em relação ao nível de dificuldade do problema
Apresentaremos as observações relativas aos aspectos analisados em relação ao nível
de dificuldade do problema:
Os alunos da turma do docente P11, de modo geral, interagiam com respostas
relacionadas às questões apresentadas. Foram ao quadro de giz registrarem os procedimentos
de resolução. Em relação ao problema 2, não apresentaram dúvidas. O docente optou pela
leitura de todas as respostas ressaltando sobre a representação por desenhos, em partes iguais.
Foram efetuados também registros visuais, sendo estes dispostos na figura 2.
Figura 2.Frações: Estratégias de resolução apresentadas pelos alunos
Fonte: Arquivo da autora.
81
Podemos visualizar nas imagens que os registros contemplaram desenho e escrita do
número fracionário. Na imagem a, a resposta está representada por desenho, por extenso e
pela fração; os demais utilizaram uma ou outra destas mesmas formas.
A turma do 9º ano, o docente P9 demonstrou interesse e envolvimento durante todo o
desenvolvimento da aula. Os alunos queriam ser ouvidos, pois tinham propostas, argumentos
e demonstraram que a questão problematizadora estava relacionada a conhecimentos
matemáticos já adquiridos anteriormente.
De acordo com Polya (1997), é importante que o professor dê oportunidades aos seus
alunos para desenvolverem habilidades para resolver problemas. Deve propor problemas que
necessariamente não sejam nem tão fáceis, nem muito difíceis, que despertem curiosidade,
que sejam desafiadores e por fim que esteja ao nível “adequado” do conhecimento do aluno.
Em síntese, estabelecemos no quadro 13 o registro em relação ao que observamos na
proposição em relação ao nível de dificuldade do problema.
Quadro 13. Em relação ao nível de dificuldade dos problemas.
Percebe-se o (s) problema (s) selecionando (s) não está (ão) em acordo com o
nível de conhecimento dos alunos.
Ação
docente
não
identificada
Percebe-se o (s) problema (s) selecionando (s) está (ão) em acordo com o
nível de conhecimento dos alunos, pois estes, ou boa parte deles participam
demonstrando conhecimento.
P9 e P11
Fonte: A autora.
De modo geral, a elaboração dos problemas estava adequada ao conhecimento dos
alunos. O que evidenciamos em relação a este aspecto por parte do docente P7 que, embora
não tenha apresentado o problema por escrito, seus questionamentos intencionavam conduzir
o raciocínio do aluno para que se aproximassem das definições.
Procuramos identificar as ações pedagógicas dos participantes P11, P9 e P7, conforme
constituído a seguir.
82
4.3.2 Discutir e cooperar na interpretação e compreensão do enunciado e estratégias de
resolução, dando voz aos alunos para que possam falar e/ou demonstrar as maneiras
utilizadas para solução do problema proposto
4.3.2.1. Aspectos referentes à compreensão do problema
Ao analisar se há discussão e cooperação na interpretação e compreensão do
enunciado, dando voz aos alunos para que possam falar e/ou demonstrar as maneiras
utilizadas para solução do problema proposto, esta questão foi muito acentuada pelo docente
P11, com participação efetiva dos alunos. Houve a socialização da atividade durante o decorrer
da busca pela solução. Os alunos se envolveram com os problemas propostos e se
empenharam em solucioná-los.
Há um diálogo amigável entre o docente P11 e os alunos, o docente esclarece dúvidas,
incentiva, abre espaço para discussões.
O problema de número 3, “Rubens quer repartir meio queijo entre três amigos, que
parte do queijo receberá cada um? ” amplamente discutido após sua resolução no quadro de
giz pelos grupos. Alguns grupos assim que perceberam a insistência do docente em questionar
sobre qual parte do queijo representava a parte recebida por cada amigo (do queijo inteiro ou
da metade) perceberam que a solução registrada não respondia a pergunta proposta no
problema, quiseram ir ao quadro mudar a resposta, mas não foi permitido, pois a intenção do
docente era analisar com a classe, o que estava sendo questionado.
Para essa análise, o docente P11 sugeriu algumas questões para que os alunos
refletissem e apresentassem justificativas, registramos este diálogo.
Docente: De onde veio um terço?
Alunos: Cada um comeu um pedaço desses três que foi dividido.
Docente: Por que vocês desenharam o queijo inteiro? (para o grupo 2 e grupo 4).
Docente: Que parte do queijo todo receberá cada amigo? Que parte do queijo
inteiro, e não da metade? (utilizando o desenho do grupo 2) Isto daqui é um terço do
queijo todo? Está dividido em 3? Em 6? Quanto do queijo todo cada colega
recebeu? Um terço ou um sexto?
Alunos: Um sexto, respondeu um aluno.
Docente: Porquê? Como é a pergunta? A metade ou o queijo inteiro?
Docente: Por que um sexto? Vocês viram como uma pergunta pode mudar a
resposta.
Alunos: Tá mudando o desenho. Então é um sexto.
83
Estes questionamentos foram importantes para que os alunos percebessem o que
realmente era questionado no problema.
Registramos as imagens das estratégias de resolução apontadas pelos alunos no
quadro de giz, referente ao problema de número 3, conforme figura 3.
Figura 3. Frações: Estratégias de resolução apresentadas pelos alunos no quadro de giz
Fonte: Arquivo da autora.
Podemos perceber o equívoco nas respostas, devido a interpretação da questão. Os
alunos do grupo 2 perceberam o erro no registro da representação da fração, pois desenharam
o queijo todo. O docente questionou a interpretação da pergunta para todos os grupos: “Que
parte do queijo receberá cada um? ”. Comparou as estratégias de resolução de cada grupo.
Insistiu na forma de dividir em tamanhos diferentes, escolhendo o maior pedaço para ela,
perguntando se a divisão em tamanhos diferentes estaria correta: “E agora, qual está certo”.
“Vamos analisar e pensar! ” “O que vocês mudariam? ”
Após perceber que os alunos compreenderam o sentido da pergunta, solicitou-lhes
refazer a atividade.
Acreditamos que se a pergunta tivesse sido (re) formulada como propôs o docente
ao perceber que os alunos foram induzidos ao erro, provavelmente, tal fato não ocorresse.
Talvez a pergunta deveria ser formulada neste sentido, que parte do queijo todo receberá cada
amigo?
84
Situação semelhante ocorreu em sala de aula com turma de 8º ano, em uma atividade
envolvendo o conteúdo de proporção que foi desenvolvida por alunos do PIBID, na qual
podemos destacar conforme os pesquisadores “esse fato nos leva a pensar que os alunos
precisam ser expostos a problemas que os levem a pensar e interpretar, logo, a leitura
matemática entre os alunos deve ser praticada e incentivada” (STURION et al. 2013, p.9).
Observamos durante as aulas do docente P9 que houve preocupação em buscar o
envolvimento e a atenção dos alunos para solucionar o problema proposto, insiste na
importância e necessidade da leitura e compreensão do enunciado, reforça a pergunta que
precisa ser respondida. Solicita que os alunos façam a leitura em voz alta e propõe questões
que não respondem diretamente o que o aluno questionou, mas faz com que ele pense sobre
sua dúvida e encontre caminhos.
O entendimento, a compreensão e a interpretação de um problema estão relacionados
com os procedimentos de leitura do mesmo. Acompanhamos este processo, ou seja, o ato de
ler o problema nas aulas ministradas pelos docentes P11 e P9.
De acordo com Barnett, Sowder e Vos (1997), os procedimentos de leitura do
problema devem ser minucioso e realizado de diversos modos, ou seja, ler o enunciado
completo, fazer uma (re) leitura, buscar compreender os termos e entender seus significados
naquele contexto. Estabelecemos estes procedimentos com as ações pedagógicas de P11 em
relação à leitura do problema.
Os procedimentos de P7 para a chamada de um assunto, baseava-se em perguntas
orais que fazia aos alunos. Registramos suas ações pedagógicas quando apresentou sobre o
ponto, a reta, o plano, os ângulos, a posição das retas e polígonos convexos e não convexos.
Representou no software GeoGebra o ponto, a reta, o segmento de reta e a
semirreta. Ao mesmo tempo em que executava a construção, fazia comentários,
”Por dois pontos, passa uma única reta. Reta não tem definição, não tem
começo, nem fim, não tem limite, segue. Para ponto usamos letra maiúscula,
para reta letra minúscula”.
Representou ângulo utilizando o software GeoGebra de modo a apresentar,
numericamente, com a ajuda de ferramentas, algumas medidas de abertura
desse ângulo para poder classificá-lo entre agudo, reto, obtuso, raso, de uma
volta e nulo.
Questionou os alunos se conheciam o instrumento transferidor: “O que vocês
imaginam que seja um ângulo?”
85
Continuamente, o docente demonstrava a construção geométrica no software
GeoGebra e a repetia no quadro de giz. Apresentou o conceito de ângulo em linguagem
matemática e fez destaque para o ângulo de 90º (reto), mencionando que sua representação
estava presente em vários locais da sala de aula.
Apresentou e nomeou os demais ângulos. Em seguida, apresentou os conceitos
referente aos triângulos, as retas concorrentes, perpendiculares, transversais e
paralelas, primeiramente com a construção no software GeoGebra e,
posteriormente, no quadro de giz. Durante o desenvolvimento das aulas,
apresentou a notação em linguagem matemática, repetiu por algumas vezes as
definições conceituais, questionou sobre esses conceitos aos alunos, que por
vezes, não respondiam.
Registramos fragmentos das interações entre os alunos e o docente P7
Docente: Qual a definição de ângulo? Olha nos cantos da sala, do quadro. A gente
usa o ângulo para enxergar, - o ponto de vista – no linguajar comum. Qual a ideia
de ângulo? Lá na trave.
Aluno: Junção de duas retas.
Docente: Quase. Vou ditar: “Ângulo é a reunião de duas semirretas de mesma
origem”.
O docente apontou como representações de ângulos de 90º, o encontro das
cerâmicas, das paredes que são feitas pelos construtores com forma de ângulos de 90º.
Indicava os ângulos mencionados usando o laser.
Registramos por imagens, algumas destas ações, conforme figura 4.
86
Figura 4.Geometria plana, representações no software GeoGebra e no quadro de giz
Fonte: Arquivo da autora.
Na figura a temos a representação no quadro de giz de retas paralelas. A figura b tipos
de ângulos. Na figura c representação de polígonos convexos e não convexos no quadro de
giz e no software GeoGebra.
Em relação à compreensão do enunciado, buscando a interpretação do problema,
evidenciamos os registros dos docentes P9 e P11, a docente P7 dita os conceitos e faz as
representações no software GeoGebra e no quadro de giz, solicita que os alunos registrem no
caderno.
Quadro 14. Enquadre de acordo com a cooperação na interpretação e compreensão do enunciado
Ao apresentar um problema, promove discussão que pode favorecer na
interpretação e compreensão do enunciado e das estratégias utilizadas,
verificar se houve entendimento do enunciado, proceder a leitura com os
alunos, solicitar que façam a leitura várias vezes, verificar se houve
entendimento do enunciado minuciosamente incentivar e auxiliar, a
começar pela interpretação do enunciado; procurar responder a todas as
questões, fazer outras perguntas, para o aluno refletir ou deixar que os
alunos busquem, entre eles, as estratégias.
P9 e P11
Fonte: A autora.
Este procedimento é primordial, pois se não há compreensão, não há como buscar pela
resolução correta, percebemos que os docentes P9 e P11 incentivam seus alunos em relação a
87
este aspecto. Em relação ao docente P7 sua abordagem difere dos demais, conforme nossos
registros P7 traz a fundamentação teórica, sua abordagem de ensino configura em utilizar o
problema depois da aprendizagem, neste caso a resolução de problema é uma aplicação de
conhecimentos.
4.3.2.2 Contribuições dos docentes durante as atividades, em relação à participação dos
alunos
O docente P11 estimula a participação dos alunos, faz muitas perguntas, dá atenção às
respostas, responde sempre com um questionamento. Em certo momento disse: “Até agora,
ninguém fez certo ou errado, cada grupo vai apresentar como fez. Os demais, prestem
atenção como os outros grupos fizeram”.
Há interesse de muitos alunos em dar sua contribuição, todos são ouvidos pelos
colegas, e pelo docente P9. Alguns reclamam quando não são ouvidos, porque querem
justificar seus erros ou acertos.
O docente P7 reforça as respostas coerentes e quando os alunos não contribuem,
solicita que pesquisem.
Em síntese o quadro 15, trazemos o comparativo entre os docentes, quanto a ouvir os
argumentos dos alunos
Quadro 15. Quanto a postura do professor em relação as contribuições dadas ao processo de resolução
Em relação às contribuições dos alunos, ouve a todos, valorizando as
estratégias apresentadas. P9 e P11
Em relação às contribuições dos alunos valoriza somente as questões
coerentes ao proposto. P7
Fonte: A autora.
As ações pedagógicas que analisamos no quadro 15 se referem em dar atenção
quando o aluno apresenta suas dúvidas, faz descobertas. Os docentes P9 e P11 são
questionadores, propiciando que os alunos reflitam sobre suas questões. O docente P7 ouve
seus alunos, e acentua quem contribui de modo coerente com a pergunta.
Analisaremos em relação à disposição dos alunos na sala de aula.
88
4.3.3 Agrupar os alunos e permitir tempo necessário para o planejamento e a execução
de um plano elaborado
4.3.3.1 Organização dos alunos na sala de aula
Na sala de aula do docente P11 o trabalho é realizado em pequenos grupos, solicita
que coloquem as carteiras de maneira que possa facilitar a comunicação entre os mesmos,
chama atenção quando os alunos se envolvem em brincadeiras inoportunas.
Procura manter a classe envolvida com a tarefa, deixando propício um ambiente para
que ocorra aprendizagem.
Ações pedagógicas do docente P11 em relação a disposição dos alunos durante a aula.
Solicitou a classe que se organizasse em pequenos grupos de dois ou três
alunos, não direcionou os grupos, deixou livre a escolha dos colegas. Para essa
tarefa os alunos foram ágeis.
Numerou os grupos e indicou oralmente o número correspondente de cada um.
O trabalho do docente P9 e seus alunos é dinâmico, não formam grupos (devido ao
espaço físico e a quantidade de alunos na sala de aula), mas ficam muito próximos. De início
o docente P9 solicita que façam o trabalho individualmente, estipula um tempo de 10 minutos,
não suficientes, pois os alunos por duas vezes solicitam mais tempo, pois estão tão
empenhados em resolver o problema e não querem ser interrompidos.
O docente P9 circula por toda a sala a fim de ouvir os alunos durante o
desenvolvimento da atividade. Em alguns momentos é solicitado a tirar dúvidas, mas não
responde diretamente o que foi questionado, e sim, apresenta uma nova pergunta ao aluno
para que reflita e que consiga, possivelmente, chegar na resposta que precisa. O docente é
atencioso com os alunos, e estes demonstram gostar dos desafios lançados.
Há preocupação por parte do docente P7 em buscar o envolvimento e a atenção dos
alunos para compreensão das definições e o conhecimento dos termos específicos. Os alunos
trabalham individualmente.
Ações pedagógicas do docente P7 em relação à organização dos alunos na sala de
aula:
Entrou na sala, solicitou aos alunos que ocupavam as carteiras centrais para
que se dirigissem para as carteiras laterais, visto que precisava instalar o
Datashow.
89
Pediu aos alunos que acompanhassem as atividades que seriam desenvolvidas,
primeiramente no software GeoGebra e, em seguida, no quadro de giz. Os
alunos deveriam tomar nota em seus cadernos, pois o conteúdo seria avaliado
posteriormente, bem como as anotações. Informou também que o conteúdo
trabalhado seria apresentado de maneira resumida.
Ele ressalta sobre a importância e necessidade do conhecimento matemático. O
trabalho é sempre realizado pelo docente, tanto as construções no GeoGebra, quanto no
quadro de giz.
Chama atenção quando os alunos se envolvem em brincadeiras inapropriadas, dá as
indicações das respostas, quando os alunos não chegam a uma conclusão. De acordo com
Schoenfeld (1997), se há contribuições dos alunos, numa participação mesmo que aparente, as
respostas dadas aos problemas são mais dinâmicas, se compararmos com atividades de
exercícios que podem ser resolvidos seguindo um modelo.
Pesquisas como as desenvolvidas por Mesquita, Santos e Santos (2013) ressaltam
que a interação dos alunos em sala de aula é de suma importância, porque estimula e incentiva
o entrosamento entre os colegas, estabelecendo entre eles uma atitude de respeito em relação a
expor suas ideias, bem como ouvir o que pensam os outros
Sturion et al. (2013), relatam que quando os alunos desenvolvem uma atividade em
equipe, ocorre possibilidades de interação entre eles, e que as atividades desafiadoras
propiciam aulas de Matemática interessantes. Ao fazer uso da resolução de problemas, o
docente assume a postura de mediador, acompanhando o trabalho dos alunos, fazendo
questionamentos de modo que estes reflitam sobre as estratégias que estão utilizando.
Propiciar um trabalho onde há interação entre os pares, é uma atividade que tende a
ser produtiva.
De acordo com Schoenfeld (1997), o trabalho deve ser realizado em pequenos
grupos de três a cinco alunos, com dois ou três problemas a serem resolvidos e, estabelecido
determinado tempo de 20 minutos. Enquanto os alunos se dedicam a buscar pelas respostas,
cabe ao professor circular entre os grupos fazendo somente as inferências necessárias. Quando
todos os grupos já tiverem concluído as atividades, deve ocorrer a discussão das estratégias
utilizadas.
Conforme Kilpatrick (2009), o trabalho em duplas ou pequenos grupos, é uma boa
estratégia, porque os colegas ouvem não só o docente, mas respondem e fazem perguntas, dão
sua opinião e ouvem a do outro. Neste sentido, podemos perceber que o incentivo e orientação
90
do professor num trabalho individual ou em pequenos grupos com propostas desafiadoras é
uma atividade prazerosa, mais desafiante do que aquela “explicar e repetir”, conforme Dante
(2010).
Para Günzel, Kesseler e Rosa (2013), quando a proposta era o estudo de equivalência
de frações utilizando material concreto em turma de 6º ano, iniciaram as atividades de forma
individual, mas aos poucos foram dialogando entre si, pois a proposta permite este
entrosamento.
De modo que ao observamos a disposição dos alunos em sala de aula, constatamos
conforme quadro 16 a postura dos docentes.
Quadro 16. Agrupamento e disponibilidade de tempo para execução de um plano elaborado
Organiza os alunos em grupos e permite tempo necessário para o planejamento
e a execução de um plano elaborado, discute e coopera nas estratégias e nos
procedimentos, orientando os alunos em pequenos grupos.
P11
Os alunos trabalham individualmente. P7 e P9
Fonte: A autora.
Nas duas turmas dos docentes P11 e P9 o trabalho é realizado de modo cooperativo
entre os colegas. Mesmo com espaço físico restrito para organização das carteiras, os alunos
trabalham de forma individual, mas trocam informações com aqueles que estão mais
próximos, como aconteceu na turma do docente P9.
Os alunos de P7 realizam seus estudos individualmente.
4.3.3.2 Quanto ao tempo disponibilizado pelo docente para que os alunos resolvam os
problemas
No decorrer da aula o controle do tempo, é assim percebido.
O docente P11 não estipulou um tempo para a resolução dos problemas apresentados,
o que esclareceu é que naquele momento não há preocupação de certo ou errado, “vamos
pensar, interpretar e procurar meios, que podem ser desenhos, fazer operações, ou seja,
utilizar a forma de resolução que quiser”.
91
O docente P9 determinou um tempo de 10 minutos, que foi prorrogado por duas
vezes, a pedido dos alunos. Ele deixa claro, em sua fala, a importância de traçar roteiros de
resolução.
Em relação ao tempo, ressaltamos uma fala do docente P7, “Vejam quanta
informação, graças a tecnologia a gente pode dar uma acelerada, imagina se fossem fazer
tudo isso, uma sequência, o quanto ia demorar, na verdade não gosto de dar aula no
software, gosto de dar aula pelos conceitos”.
É importante planejar as aulas, traçar metas. Schoenfeld (1997) discorre a respeito da
quantidade de atividades desenvolvidas em uma aula, ressalta que é de um número reduzido,
mas salienta que o professor não deve levar em conta a quantidade, mas sim dar atenção ao
processo, quando trabalhar na abordagem da resolução de problemas.
Quadro 17 de acordo com a utilização do tempo durante a resolução de problemas
Quadro 17. Quanto ao tempo disponibilizados pelos docentes ao processo de resolução
Disponibiliza tempo para que o(s) aluno(s) resolva(m) o(s) problema(s)
proposto(s), sendo que há muito tempo onde há dispersão ou pouco tempo
onde perguntas dos alunos ficam sem a devida atenção.
P7
Disponibiliza tempo para que o(s) aluno(s) resolva(m) o(s) problema(s)
proposto(s), sendo que há tempo adequado de modo que o problema fica
esclarecido e com uma conclusão que satisfaça.
P9 e P11
Fonte: A autora.
O docente P7 justifica que as construções no software Geogebra podem agilizar na
apresentação dos conteúdos, P9 e P11 otimizam tempo suficiente.
4.3.4 Socializar com a classe as estratégias apresentadas, promovendo o desenvolvimento
de conceitos pelos alunos
4.3.4.1. Socializar as estratégias e formalizar o conceito
O docente P11, para socializar as estratégias de resolução, estabeleceu que os grupos,
um de cada vez, deveriam registrar, no quadro de giz, o desenvolvimento de como
encontraram a solução do problema e cada grupo apresentaria para a classe suas conclusões,
de modo a justificar a maneira que obteve a resposta.
Ações pedagógicas do docente P11 estabelecida neste momento:
Combinou com os alunos que iriam socializar as formas de resolução das três
primeiras atividades.
92
Dividiu o quadro de giz em partes iguais e disse que cada grupo, um por vez,
teria um espaço para apresentar as estratégias e considerações que utilizou para resolver cada
problema.
Registramos por imagens, mediante o quadro 18 a socialização do primeiro problema,
bem como o diálogo entre o docente P9 e os alunos.
Quadro 18. Desenvolvimento das ações da resolução do problema1 apresentada pelos grupos no quadro de giz
GRUPO DIÁLOGO ENTRE DOCENTE E GRUPO
PROBLEMA 1
ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO
1
Docente: Como vocês pensaram?
Alunos: A gente pensou que era pra fazer
em fração.
Docente: Porque vocês dividiram?
Alunos: Porque eram cinco barras para
dividir entre 4 pessoas.
Docente: Registraram só isso?
Alunos: Sim.
2
Docente: Como vocês fizeram?
Alunos: Agente contou 1,2,3,4.
Docente: Explica pra gente.
Alunos: A gente dividiu as 4 barras, aí
depois a gente fez o desenho pra dividir a
última barra.
Docente: Cada um comeu o que?
Alunos: Cada uma recebeu uma barra e ¼.
3
Observação:
Os alunos desse grupo eram muito tímidos
e não conseguiram explicar pra classe os
procedimentos que utilizaram. Com muitas
dificuldades para se expressarem,
responderam que tinham pensado através
de fração. Alguns colegas comentaram:
“Imaginem esses caras presidente do
Brasil” (muitos risos).
93
4
Docente: O que é aquele 5?
Alunos: Comprou 5 barras.
Docente: O que é aquele 4?
Alunos: Ela mais 3 amigas.
5
Docente: Como vocês pensaram para fazer
assim?
Alunos: Cada uma delas comeu uma barra
inteira, e cada uma delas comeu um
pedaço.
6
Docente: Coloca a resposta
Docente: Porque dividiram?
Alunos: Porque ela comprou.
(os alunos somente riam)
Fonte: A autora.
No início, representantes de cada grupo se dirigiram ao quadro de giz e apresentaram a
resolução; em seguida explicavam para os colegas como fizeram os procedimentos. A
professora fazia intervenção por meio de perguntas.
Anotamos esse diálogo entre alunos e o docente P11:
94
Docente: Qual resposta tá igual ou diferente?
Alunos: A do grupo 2 (alunos em coro).
Docente: Vocês também não dividiram? Porque a do grupo 2 está certa? Pensou
igual vocês?
Alunos: Não!
Docente: Será que não? Porque não?
Docente: Porque pegaram 4 barras e deixaram uma de fora? (referindo ao grupo
2).
Alunos: Não sabia fazer conta com vírgula, fiz em forma de desenho (aluno do
grupo 2).
Docente: O que é dividir em partes iguais?
Alunos: É o uso da régua.
Docente: Fizeram com régua? Presta atenção! (chamando pelo fato do desenho que
representava a barra de cereais não estar dividido em partes iguais).
Docente: Por que fizeram dividir?
Alunos: Porque está falando em repartir, porque repartir é dividir.
Docente: Então gente, fração é uma forma de dividir?
Alunos: É! Não!
Docente: Humm, vamos dividir a sala numa fração. Quantos meninos? Quantas
meninas?
Alunos: Sete, empatou. Na sala tem 14 alunos, 14 dividido por dois.
Docente: Se você tivesse que falar: As meninas da minha sala, que fração
representa?
Alunos: Sete quatorze avos.
Docente: O que seria 14?
Alunos: Todo mundo, a sala inteira.
Docente: E o 7?
Alunos: Um grupo de 7.
Pelo diálogo, entre o docente P11 e seus alunos, as dúvidas foram sendo esclarecidas.
Nesse sentido, Teodoro, Santos e Pedroso (2013), em uma atividade de estágio
supervisionado, aplicaram um problema para alunos de 6º ano, com o objetivo de conhecer as
estratégias elaboradas para resolvê-lo. Procederam com ações semelhantes ao docente P11 ou
seja, formação de pequenos grupos; entrega do problema digitado para cada grupo indicando
que procedessem a leitura e interpretação do enunciado, acompanhamento da discussão do
grupo, sem fornecer respostas, fazendo interrogações que permitiam a continuidade da
discussão pelo grupo na busca da solução, tendo uma postura de mediadores.
Ao término da tarefa cada grupo se dirigiu ao quadro de giz e apresentou as formas
de resolução. O que difere na proposição dos problemas entre o docente P11 e os autores
mencionados é que o problema proposto pelos pesquisadores foi aplicado em uma realidade
diferente da vivenciada pelos alunos, ao passo que o docente P11 buscava a contextualização
dos problemas propostos com a vivência dos alunos.
95
Percebemos que há grupos em que os alunos têm dificuldades em justificar o modo
de resolução no quadro de giz. O mesmo fato pode ser também observado na pesquisa de
Francisco et al. (2013), desenvolvido em uma turma de 6º ano quando foi trabalhado
problemas retirados do Programa Internacional de Avaliação de Aluno (PISA). Alguns alunos
quando convidados para apresentarem o registro da estratégia de resolução no quadro de giz,
também “se intimidaram”.
Numa sondagem para averiguar se o trabalho na abordagem da resolução de
problemas promoveu o desenvolvimento de conceitos pelos alunos, P11 propôs o seguinte
questionamento: O que é fração?
As contribuições dos alunos, justificadas e exemplificadas, com representação em
forma de desenho e de um número fracionário, foram categorizadas de acordo com o quadro
19
Quadro 19. Representação escrita pelos alunos do 6º ano, para o conceito de fração
ALUNO (S) RESPOSTAS
1 e 2 Fração é uma forma de dividir em partes iguais.
3 e 4
É uma representação de parte de um todo, ou seja, dividida em partes
iguais, é também uma forma de dividir. Ela pode ser dividida por inteiro e
também pela quantidade de determinado número.
5
Para mim a fração é uma forma de dividir algum objeto em partes iguais
como: dividir um bolo, uma torta, dividir, por exemplo, uma pizza em oito
pedaços e comer duas.
6
Fração não é nada mais nada menos que uma forma de dividir várias coisas
em partes iguais, sem nunca, deixar alguém sem nada ou de fora; se sobrar
algo não é uma fração. Fração é um número que pode representar parte de
um inteiro ou parte de uma quantidade.
7 Fração é um meio de divisão de mostrar metade e inteiro, quando
dividimos algo e queremos mostrar, usamos uma fração.
8 É uma forma de dividir elementos em partes iguais, representar um número
inteiro ou parte de uma quantia.
9, 10 e 11 É uma forma de dividir em partes iguais.
12
É uma forma de dividir mais fácil em partes iguais. Exemplo:
, o número 4
é o denominador e indica quantas partes o inteiro foi dividido, e o número 1
indica quantas foram usadas. Fonte: A autora.
Dos conceitos apresentados pelos alunos, percebemos que os termos dividir e iguais,
estão presentes em todas as definições. Apesar de escreverem “partes iguais”, alguns alunos
não têm este cuidado quando fazem a representação por meio de um desenho, fato que
96
observamos quando desenharam no quadro de giz, mesmo com as chamadas de atenção por
parte do docente P11.
Para socializar com a classe as estratégias apresentadas, de modo a promover o
desenvolvimento dos conceitos com a efetiva participação dos alunos, o docente P9 conduziu a
resolução no quadro de giz e ficou muito atento às sugestões fala dos alunos, tanto nas
questões de acerto, quanto naquelas que deveriam ser descartadas.
Se o aluno indicava algo incorreto, anotava e aguardava para ver se havia
prosseguimento ou se tinha opiniões contrárias, denunciando o cálculo ou estratégia indevida.
Após muita discussão, entre acertos e erros, finaliza o procedimento que indicou a solução do
problema proposto. Neste momento, o docente P9 pede atenção da classe e diz aos alunos que
há outro caminho, ou seja, “um caminho mais curto” e apresenta a fórmula para calcular
situações-problema como esta que acabaram de encontrar a solução.
Destaca a importância do processo que construíram juntos e conclui substituindo os
dados do problema na fórmula apresentada, chegando ao mesmo resultado, sempre trazendo
os conceitos abordados durante a discussão. Turma com muitos alunos, todos adolescentes,
mas percebe-se bom relacionamento entre eles e o docente P9.
De certo modo, percebemos que há sempre alunos dispersos que levam algum tempo
da aula para interagir com a proposta apresentada para ser desenvolvida na aula. O quadro de
giz foi utilizado somente pelo docente, que registrava todas as informações e comentários
sugeridos pelos alunos.
Ações pedagógicas do docente P9
Pede atenção para iniciar a socialização da resolução do problema proposto. Lê em
voz alta: Mario comprou uma casa por R$175.000,00. Para o pagamento foi dada
uma entrada de $145.000,00 e o restante parcelado a juros simples com taxa de 12%
ao ano durante 5 anos. Qual o valor total de juros?
Pediu para um aluno apresentar sua resolução para que todos pudessem discutir
coletivamente. Uma aluna iniciou a leitura. O docente a interrompeu algumas vezes
para destacar algumas informações importantes no quadro de giz. Todas as questões
relacionadas ao problema e que foram levantadas pelo docente foram respondidas
pelos alunos e, algumas dúvidas apresentadas por esses foram sanadas pelo docente ou
por algum colega da turma
Percebeu o uso incorreto da calculadora pelos cálculos que um dos alunos registrou.
Então, fez-se necessário sua intervenção para explicar algumas funções da máquina de
calcular e como ela está programada para executar tarefas. Em seguida, pediu aos
97
alunos que continuassem a apresentar suas considerações na medida em que registrava
os dados considerados importantes;
Algumas vezes, os alunos apresentavam cálculos que chegavam aos mesmos
resultados anotados no quadro, ou seja, só haviam realizado os cálculos de outra
forma. Então, era mostrado e comparado os resultados eram iguais, somente as
estratégias que eram outras.
Quando finalmente chegava à solução do problema, retomava a atenção da classe e
dizia: “Tem um caminho mais curto. Todo este caminho pode ser formalizado! ”. Os
alunos ficavam surpresos e pediam ao docente que mostrasse essa formalização.
Apresentou a fórmula usada para calcular juros simples e justificou cada uma das
variáveis envolvidas na equação para que os alunos identificassem a representação
correta das informações coletadas da situação-problema. Surgiu, então, uma dúvida
para o uso da letra “i”, que representa a taxa de juros. A questão não ficou esclarecida,
mas foi justificada com outros exemplos.
Dessa forma, as contribuições dos alunos foram bem destacadas, bem como a
valorização de todo o processo de resolução pelo docente, uma vez que acompanhou
todo o desenvolvimento das estratégias utilizadas pelos estudantes passo-a-passo. Esse
acompanhamento ocorreu antes de se apresentar a equação matemática (fórmula) para
também responder a situação-problema, visto que os alunos, mesmo sem o
conhecimento da fórmula, chegaram ao valor correto solicitado pela proposta.
Conforme nossos registros destacamos alguns fragmentos de diálogo dos alunos e o
docente P9:
Aluno: Dá pra fazer usando calculadora?
Aluno: Com calculadora é fácil?
Aluno: Como faz porcentagem na calculadora?
Aluno: Pode fazer consulta?
Docente: Esta organização chega na resposta?
Docente: Verifique, depois verificamos se está certo ou errado.
Docente: É esta a proposta?
Docente: É este o caminho?
Docente: Se não der por um caminho, não apaga, deixa de lado e tenta outro.
Docente: Se você não consegue na estrutura de antes, regra de três, tenta outro
jeito, busque outro caminho.
Docente: Você usou estes valores?
Docente: Vai usar este jeito mesmo?
Docente: Leia de novo.
Docente: Já dá pra gente pensar juntos?
98
Docente: Vê a pergunta.
Docente: É real? Faça de conta que você está comprando.
Docente: Eu não sei o resultado final, preciso que vocês me digam.
Aluno: O que estou fazendo com a calculadora?
Aluno: Pra que, que eu uso a calculadora?
Aluno: Como escrevo sessenta por cento? Em fração ou número decimal.
O diálogo entre P9 e seus alunos aproximou-se de uma das etapas da resolução de
problemas; o monitoramento que, de acordo com Sternberg (2000), se refere ao processo de
resolução até alcançar a meta final. Para isso, foram feitos testes para assegurar se estavam
próximos da solução, podendo até se distanciar desta. Neste caso foi feita uma reavaliação, a
procura de outros modos de visualizar a questão proposta.
Registramos as imagens conforme figura 5.
Figura 5. Juros simples – estratégias de resolução no quadro de giz demonstradas nas imagens a, b e c.
Fonte: A autora
99
Todas as anotações são realizadas por P9 no quadro de giz, seguindo as estratégias
apresentadas pela classe, conforme as figuras a, b e c.
De acordo com Proença (2015), o uso de estratégias elaboradas pelos alunos
promove o desenvolvimento de novos conceitos. Percebemos que as ações pedagógicas de P9
e P11 contribuíram nesse sentido, ou seja, de que a partir da socialização das estratégias é
possível valorizar a participação dos alunos na construção de conceitos.
Em relação ao docente P7, esse teve a preocupação com os conteúdos/assuntos que
precisam ser apresentados aos alunos. Ao final de cada aula relembrava cada
conteúdo/assunto que foi abordado. Além da construção no GeoGebra e no quadro de giz,
utilizou outras formas para apresentar o conteúdo buscando contextualizar com atividades do
cotidiano dos alunos e exemplificar com recursos presentes em sala de aula.
No quadro 20 vemos a disposição da socialização com a classe das estratégias
apresentadas, formalizando os conceitos.
Quadro 20. Socialização das estratégias.
Socializa com a classe as estratégias apresentadas, formalizando os conceitos
valorizando todas estratégias sugeridas corretamente. P9 eP11
Socializa com a classe as estratégias apresentadas, formalizando os conceitos
mostrando e justificando aqueles que induziram ao erro. P9 eP11
Socializa com a classe as estratégias apresentadas, formalizando os conceitos
esclarecendo que a matemática tem sua linguagem própria e que há
formalização.
P9 eP11
Fonte: A autora.
Confirmamos que, por intermédio da mediação dos docentes P9 e P11, os alunos
participaram do processo de construção do conceito de juro simples e número fracionário
respectivamente. O docente P9 utilizou as estratégias apresentadas pelos alunos para promover
a articulação do conteúdo novo, os juros simples. Conforme Proença (2015), essa articulação
tende a contribuir com a aprendizagem, possibilitando ao aluno a sua compreensão do
assunto.
Em relação à socialização das estratégias, o docente P7, apresentou os conceitos e
definições, procurando estabelecer uma relação entre eles. A participação dos alunos na
construção dos conceitos não acontece efetivamente. Trabalhar em sala de aula com
problemas que levam o aluno a construir conceitos é uma tarefa desafiadora.
100
5. CONCLUSÃO
Essa pesquisa procurou responder à seguinte questão: quais ações pedagógicas dos
professores que ensinam Matemática nos anos finais no Ensino Fundamental podem ser
identificadas quando trabalham na abordagem da resolução de problemas no processo de
ensino-aprendizagem de conteúdos de Matemática?
Para tanto, elaboramos objetivos para identificar os conhecimentos de professores de
Matemática em relação às atividades pedagógicas desenvolvidas por eles em sala de aula,
cujo enfoque fosse a resolução de problemas no ensino e aprendizagem de um conteúdo de
Matemática. Para tal tarefa discriminar e analisar ações desenvolvidas por estes professores,
ratificando seus conhecimentos quando trabalham na abordagem da resolução de problemas.
Como conclusão, apresentamos um quadro comparativo de cada participante em
relação às respostas do Questionário online, as verbalizações durante a Entrevista e as ações
praticadas em sala de aula, registradas no Diário de Campo que foram nossos instrumentos de
coleta de dados. Retomando quatro docentes da disciplina de Matemática, assim denominados
P11, P9, P7 e P6, da rede pública nos anos finais do Ensino Fundamental e trabalham na
abordagem da resolução de problemas, temos:
Quadro 21. Ações pedagógicas analisadas conforme os três instrumentos de coleta de dados
Ações pedagógicas elencadas
Docentes que
mencionaram esta
ação pedagógica no
questionário
Docentes que
mencionaram esta
ação pedagógica na
entrevista
Docentes que
praticaram esta
ação pedagógica
que sala de aula
Propor o problema como ponto de partida,
para introduzir um novo conteúdo de
Matemática e que permita ser resolvido
por diferentes estratégias;
P11, P9, P6
P11, P9 , e P6
P11 e P9
Discutir e cooperar na interpretação e
compreensão do enunciado e estratégias
de resolução, dando voz aos alunos para
que possam falar e/ou demonstrar as
maneiras utilizadas para solução do
problema proposto
P11 e P9
P11, P9, P7 e P6
P11 e P9
Agrupar os alunos e permitir tempo
necessário para o planejamento e a
execução de um plano elaborado
P11
P11, eP6
P11
Socializar com a classe as estratégias
apresentadas, promovendo o
desenvolvimento de conceitos pelos
alunos.
P11 e P9
P11, P9, P7 e P6
P11 e P9
Fonte: A autora.
101
O docente P11 contemplou todas as ações pedagógicas propostas por esta pesquisa.
Ou seja, utilizou o problema como ponto de partida para iniciar uma atividade matemática,
organizou os alunos em pequenos grupos, circulou pela sala incentivando, questionando os
alunos, levando-os a reflexão. Permitiu ao aluno expor suas estratégias de resolução,
socializou com a classe os procedimentos de resolução, valorizando a participação do aluno
na compreensão do conceito do novo conteúdo. Neste caso, há confirmação das respostas do
questionário no que foi dito na entrevista e concretizado em sala de aula.
O docente P9, não é citado em relação à disposição dos alunos em sala de aula. Como
já dissemos, sua turma era numerosa, o que tornou o trabalho em grupos praticamente
inviável. Isso, de modo algum, foi um entrave nas interações, mesmo realizando trabalho
individual e entre os colegas e permitindo um trabalho em sala de aula interessante, quando P9
respondeu o questionário, afirmou que, em suas aulas, inicia por situações problema com
investigação dos conhecimentos prévios dos alunos, valoriza as estratégias que estes
apresentam e formaliza conceitos pelas interações dos alunos. Tais ações pedagógicas foram
ditas na Entrevista e confirmadas em sala de aula.
O docente P7, ao trabalhar, especificamente, o conteúdo/assunto Geometria plana,
utilizou o problema depois de apresentar os conceitos e não como ponto de partida. Ao
responder o questionário, disse utilizar a resolução de problemas em suas aulas, mas não
propôs o problema como ponto de partida. Esta ação pedagógica não está contemplada na
Entrevista e também em sala de aula. Em relação à discussão das estratégias, procedeu a
leitura e compreensão do enunciado. Constatamos que para trabalhar o conteúdo geometria
plana, as ações pedagógicas evidenciadas pelo docente, não foram confirmadas no
Questionário, nem em sala de aula, mas ditas em Entrevista. Na questão da organização dos
estudantes em sala de aula, em formar grupos, P7 não mencionou a ação à qual se reportou no
Questionário, mas a evidencia na Entrevista. Na sala de aula, o trabalho foi realizado
individualmente. Quanto às contribuições do aluno para formalizar o conceito, P7 disse na
Entrevista sobre a dificuldade dos alunos; relatou que, de acordo com a sua experiência em
sala de aula, é um processo gradativo.
O docente P6 ao responder o Questionário online, anotou que utiliza o problema
como ponto de partida; durante a Entrevista assinalou utilizar a mesma ação e também
discutir estratégias de resolução. Além disso, disse que realizava trabalhos em grupos e
socializava os resultados com a classe, promovendo a participação do aluno na formalização
do conceito. Suas aulas não foram observadas por nós. Desse modo, não podemos confirmar o
que foi escrito e dito em relação às suas ações em sala de aula.
102
Os docentes P9 e P11 não mencionaram o conteúdo no início da aula, mas
demonstraram e valorizaram as formas de pensar para buscar soluções e a fazer aproximações
entre os conceitos estudados. Atenderam aos alunos demonstrando que há muitas formas para
aprender Matemática.
O docente P7 apresentou diversas definições; fez uma relação entre os conceitos
estudados. Sempre questionou os alunos com a finalidade de averiguar o que pensavam ou
sabiam sobre o conteúdo /assunto em questão. Realizou construções no software GeoGebra,
ressaltando o uso de tecnologias para facilitar a aceleração e apresentação dos conteúdos. Ao
final de cada aula, discutia os alunos sobre suas dúvidas. Fazia retomadas do processo dando
ênfase em alguns termos e justificando seus porquês. Neste sentido, “Explicar aos alunos de
onde vêm os argumentos [...] quando possível, pode ajudar a desmistificar a matemática e
permitir-lhe enfrentá-la com menos medo e apreensão” (SCHOENFELD,1997, p. 22).
De acordo com o movimento das aulas e o desenvolvimento das ações pedagógicas
pelos professores, pudemos perceber que os docentes P9 e P11 em relação a nossa questão
inicial, apresentaram ações pedagógicas vinculadas à abordagem da resolução de problemas
no ensino de um conteúdo na disciplina de Matemática. De acordo com Schroeder e Lester
(1989), há maneiras diversas de interpretar a resolução de problemas na abordagem de ensino,
e essas maneiras foram identificadas nas ações pedagógicas dos docentes, P9 e P11. Estes
encaminharam para um ensino via resolução de problemas, pois utilizaram o problema como
ponto de partida para iniciar uma atividade matemática. Verificamos que suas ações também
eram mediadoras, não trazendo as definições e os conceitos, mas formalizando-os com as
contribuições acrescidas pelos alunos.
A abordagem de ensino que evidenciamos nas ações pedagógicas do docente P7, de
acordo com a interpretação dos pesquisadores Schroeder e Lester (1989), se direcionavam
para uma abordagem de ensino para resolução de problemas na qual os conceitos e definições
são apresentados pelo docente e os alunos a tomaram para resolução das atividades propostas
pelo professor, quer sejam problemas ou exercícios.
Desta forma, consideramos que as ações pedagógicas dos professores que atuam nos
anos finais do Ensino Fundamental, aqui identificadas tanto na literatura como em nossa
investigação em sala de aula, em um ensino cuja abordagem seja a resolução de problemas,
contribuem na melhoria e qualidade do ensino na disciplina de Matemática.
103
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O processo de construção desta pesquisa, desde as primeiras discussões com o
orientador sobre o tema a ser investigado até sua conclusão, foi permeado com muita
apreensão de minha parte, principalmente quanto à escrita científica.
Sempre atuei como docente; pela primeira vez nas salas de aula de meus colegas
como pesquisadora, uma experiência relevante. Ao responder à questão investigada, ou seja,
as ações pedagógicas dos professores que ensinam Matemática nos anos finais do Ensino
Fundamental quando trabalham na abordagem da resolução de problemas no processo de
ensino-aprendizagem de conteúdos de Matemática, percebemos o quanto esta forma de
ensinar instiga o aluno, pois traz elementos que demonstram o entendimento do conteúdo,
fornece ao professor pistas para que esse avance sempre no sentido da ótica do aluno, em um
direcionamento até a formalização do conceito.
Muitas dúvidas foram resolvidas no decorrer deste trabalho de cunho qualitativo.
Algumas questões ainda precisam ser compreendidas como, por exemplo, a escassa
participação dos professores convidados a contribuir conosco. Esses não se dispuseram a
enviar a resposta do primeiro instrumento de coleta de dados, o questionário online enviado
para 405 professores e com apenas 11 respondentes. Pelo e-mail da SEED, que permite
visualizar a confirmação da leitura do e-mail recebido, constatou-se que 27 professores o
fizeram e somente dois enviaram suas respostas. Apontamos aqui a praticidade do uso do
questionário online, no qual alcançamos grande número de possíveis sujeitos de pesquisa.
Contudo tal abrangência não garante uma participação efetiva.
Em relação às pesquisas com trabalho na abordagem da resolução de problemas no
processo de ensino-aprendizagem de conteúdos de Matemática, constatamos que é tema de
muitas pesquisas, mas ainda não tem ampla utilização em sala de aula conforme apontamos
anteriormente. Ou seja, das 1.536 publicações nos anais do XI ENEM em 2013, desses 54
estavam relacionados à resolução de problemas, mas somente 17 destas correspondiam ao
trabalho em sala de aula nos anos finais do Ensino Fundamental, demonstrando que ainda a
resolução de problemas não está ao alcance dos docentes de Matemática.
Ao concluir esta pesquisa, pretendemos divulgá-la junto aos professores participantes
os resultados que apresentamos, bem como dar uma devolutiva às escolas onde estes
professores atuam. Também pretendemos enviar os resultados desta pesquisa ao Núcleo
Regional de Educação de Maringá. Para isso, um documento síntese será redigido e entregue
104
ao NRE sobre os aspectos gerais a respeito dos docentes em relação aos conhecimentos para
trabalho na abordagem de resolução de problemas.
Nesse sentido, nossa contribuição em divulgar esse estudo abre a perspectiva da
importância de discutir junto aos licenciandos e professores a realidade que ora se apresenta,
especialmente aos professores de Matemática da rede pública vinculados a Secretária da
Educação do Estado do Paraná (SEED/PR), sob jurisdição do Núcleo regional de Educação de
Maringá, Estado do Paraná.
Os desafios relativos à formação de professores e ao trabalho com o tema abordagem
da resolução de problemas relacionada às ações apresentadas neste trabalho são propostas
inesgotáveis para novos estudos.
105
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112
APÊNDICES
113
APÊNDICE A – CARTA CONVITE E QUESTIONÁRIO ONLINE
XOS
TENDÊNCIAS METODOLÓGICAS ABORDADAS PELOS PROFESSORES DA
DISCIPLINA DE MATEMÁTICA NOS ANOS FINAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
QUESTIONÁRIO
O presente Questionário é parte da pesquisa de mestrado da pós-graduanda Geralda de
Fatima Neri Santana, sob a orientação do Prof. Dr. Marcelo Carlos de Proença, ambos
pertencentes ao Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência e a Matemática
(PCM) da Universidade Estadual de Maringá (UEM).
Destina-se aos professores de Matemática que lecionam no Anos finais do Ensino
Fundamental em escolas públicas da rede estadual de ensino pertencentes ao Núcleo Regional
de Educação (NRE) no município de Maringá, Paraná.
Este Questionário, como parte integrante da pesquisa tem por objetivo identificar quais
tendências metodológicas são utilizadas frequentemente pelos professores no ensino de
conteúdos de Matemática.
Esclarecemos que sua participação é voluntária e que você pode recusar participar
desta pesquisa, ou retirar seu consentimento a qualquer momento, sem justificativas. Caso
desejar não participar da pesquisa durante seu desenvolvimento, não sofrerá qualquer
prejuízo. Sua privacidade será respeitada, ou seja, seu nome, nome do estabelecimento onde
atua, município ou qualquer outro dado ou elemento que possa, de qualquer forma te
identificar será mantido sob sigilo.
São responsáveis pela referida pesquisa o professor orientador, Dr. Marcelo Carlos de
Proença ([email protected]) e a pós-graduanda Geralda de Fatima Neri Santana
([email protected]), com os quais, você pode manter contato a qualquer momento.
Sua participação é de suma importante para o desenvolvimento dessa pesquisa.
Antecipadamente, agradecemos a sua colaboração.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO PARA A
CIÊNCIAE A MATEMÁTICA
114
As questões abaixo que compõem este Questionário, possuem por objetivo levantar o
perfil dos profissionais da rede pública estadual, que atuam como docentes na disciplina de
Matemática em escolas e colégios jurisdicionados ao Núcleo Regional de Educação de
Maringá da Secretaria da Educação do Estado do Paraná (SEED).
1) IDENTIFICAÇÃO:
Nome: _________________________________________________ Idade: ________
E-mail: _________________________________ Tel./Cel. ( ) _____ - _____
2) LOCAL E TEMPO DE ATUAÇÃO:
a) Nome da instituição de ensino onde leciona:
_____________________________________________________________________
b) Endereço da instituição de ensino onde leciona a disciplina de Matemática:
_____________________________________________________________________
c) Tempo de atuação no magistério (anos/meses):
_____________________________________________________________________
d) Regime de trabalho:
( ) Efetivo: QPM (Quadro Próprio do Magistério);
( ) Temporário: PSS (Processo Seletivo Simplificado)
3) NÍVEL DE ESCOLARIDADE (GRADUAÇÃO)
a) ( ) Licenciatura em Matemática;
b) ( ) Bacharelado em Matemática;
c) ( ) Pedagogia;
d) ( ) Outra, especifique: ________________________________________________
4) NÍVEL DE ESCOLARIDADE (PÓS-GRADUAÇÃO)
a) ( ) Pós-graduação lato sensu (especialização);
b) ( ) Pós-graduação stricto sensu (mestrado, doutorado);
c) ( ) Outros, especifique: ________________________________________________
5) JORNADA DE TRABALHO
Quantas horas/aula semanais você leciona? (incluir as aulas de hora atividade)
a) ( ) Menos de 20 horas/aula;
b) ( ) De 20 a 30 horas/aula;
c) ( ) De 31 a 40 horas/aula;
d) ( ) Mais de 40 horas/aula.
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO PARA A
CIÊNCIAE A MATEMÁTICA
115
6) EM QUAIS NÍVEIS DE ENSINO VOCÊ LECIONA?
a) ( ) Educação Infantil;
b) ( ) Ensino Fundamental I (1º ao 5º ano)
c) ( ) Anos finais do Ensino Fundamental (6º ao 9 ano)
d) ( ) Ensino Médio
7) QUAL TENDÊNCIA METODOLÓGICA VOCÊ GERALMENTE UTILIZA EM
SUAS AULAS?
a) ( ) Resolução de Problemas;
b) ( ) Modelagem Matemática;
c) ( ) Mídias Tecnológicas;
d) ( ) Etnomatemática;
e) ( ) História da Matemática;
f) ( ) Investigação Matemática.
8) Para ensinar determinado conteúdo de Matemática, como você desenvolve essa
Tendência Metodológica em sala de aula? Explique.
_____________________________________________________________________
9) Para dar continuidade à pesquisa, é necessário que a pesquisadora observe o trabalho
docente em sala de aula. Você considera essa prática importante?
a) ( ) sim b) ( ) não
116
APÊNDICE B – TERMO DE CONSENTIMENTO
Termo de Consentimento
Termo de Consentimento
Eu, ________________________________________________________________, por meio
deste termo de consentimento, venho esclarecer que minha participação nesta pesquisa é
voluntária e que posso recusar a participar do desenvolvimento da mesma a qualquer tempo e
sem precisar apresentar justificativa e sem sofrer qualquer prejuízo em relação a minha
privacidade para com a divulgação dos dados e resultados desta pesquisa, sendo mantido sob
sigilo meu nome, o nome do estabelecimento onde atuo, assim como o município ou qualquer
outro dado ou elemento que possa, de qualquer forma, me identificar.
Concordo que a pós-graduanda e pesquisadora Geralda de Fatima Neri Santana,
mestranda do programa de Pós-Graduação em Educação para a Ciência e a Matemática
(PCM), da Universidade Estadual de Maringá (UEM), Paraná, Sul do Brasil, acompanhe
algumas das aulas por mim ministradas registrando em seu Diário de Campo apontamentos
pertinentes em relação aos Procedimentos Metodológicos que utilizo ao abordar um novo
conteúdo no ensino de Matemática.
Consinto em participar deste estudo e declaro ter recebido uma cópia deste termo de
consentimento.
__________________________________________________
Nome e assinatura do participante da pesquisa
__________________________________________________
Nome e assinatura da pesquisadora
__________________________________________________
Nome e assinatura do orientador
_________________________________________________
Local e data
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO PARA A
CIÊNCIAE A MATEMÁTICA
117
APÊNDICE C – INSTRUMENTO PARA COLETA DE DADOS: DIÁRIO DE
CAMPO
Instrumento para coleta de dados
Diário de Campo
Roteiro para observação das aulas
Ano/Turma:
Horário: Número de aulas: Número de alunos:
Estabelecimento de ensino:
Professor (a):
Conteúdo da aula (assunto):
Perfil da classe: a) Em relação ao comportamento:
b) Em relação à aprendizagem:
Aspectos a serem analisados, pela pesquisadora, durante a observação das aulas:
a) Ao propor problemas que permitam ser resolvidos por diferentes estratégias para introduzir
um novo conteúdo de Matemática, outras questões serão observadas.
O professor aborda um determinado conteúdo, utilizando o problema como ponto de partida,
ou
( ) traz definições
( ) utiliza exercícios
( ) outra abordagem; especifique_________________________________
Realiza ou faz uma sondagem mesmo que oralmente dos conhecimentos prévios dos alunos
em relação aos pré-requisitos para o estudo do conteúdo a ser ensinado;
( ) retoma conteúdos estudados oralmente
( ) relembra tais conteúdos solicitando que pesquisem nos cadernos, livro
( ) outra abordagem; especifique_________________________________
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO PARA A
CIÊNCIAE A MATEMÁTICA
118
Percebe-se se o(s) problema(s) selecionando(s) está(ão) em acordo com o nível de
conhecimento dos alunos;
( ) os alunos não respondem quando questionados
( ) os alunos ou boa parte deles participam, demonstrando conhecimentos
b) Discutir e cooperar na interpretação e compreensão do enunciado, e estratégias de
resolução dando voz aos alunos para que possam falar e/ou demonstrar as maneiras utilizadas
para solução do problema proposto;
Ao apresentar um problema, promove discussão que favoreça na interpretação e compreensão
do enunciado e estratégias utilizadas; outras questões serão observadas. Quanto a leitura e
interpretação do problema:
( ) procura verificar se ouve entendimento do enunciado
( ) lê com os alunos
( ) solicita que façam a leitura várias vezes, buscando compreender o enunciado
Incentiva e auxilia, nem demais nem de menos, a começar pela interpretação do enunciado;
( ) responde a todas as questões
( ) faz outras perguntas, para o aluno refletir
( ) deixa que os alunos busquem entre eles as estratégias
c) Agrupar os alunos e permitir tempo necessário para o planejamento e a execução de um
plano elaborado, discutindo e cooperando nas estratégias e nos procedimentos, orientando os
alunos em pequenos grupos. Para tal ação, promove a interação dos alunos, organizando a sala
( ) as carteiras disponibilizadas de modo a facilitar a comunicação
( ) alunos trabalhando individualmente
( ) trabalho desenvolvido com os alunos agrupados
Em relação às contribuições dos alunos
( ) ouve a todos, valorizando as estratégias apresentadas
( ) valoriza somente as questões coerentes ao proposto
( )destaca sempre as respostas dos mesmos alunos
( ) outra abordagem; especifique_________________________________
119
Disponibiliza tempo para que o(s) aluno(s) resolva(m) o(s) problema(s) proposto(s);
( ) muito tempo onde há dispersão
( ) pouco tempo onde perguntas dos alunos ficam sem a devida atenção
( ) tempo adequado de modo que o problema fica esclarecido e com uma conclusão que
satisfaça
d) Socializar com a classe as estratégias apresentadas, formalizando os conceitos.
Socializa com a classe as estratégias apresentadas, formalizando os conceitos; outras questões
serão observadas.
( ) valoriza todas estratégias sugeridas corretamente
( ) mostra e justifica aqueles que induziram ao erro
( ) esclarece que a matemática tem sua linguagem própria e que há formalização
