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Resolução dos Exercícios Propostos no Livro
Exercício 1: Considere agora uma função f cujo gráfico é dado por
x
y
2
5
30
O que ocorre com f(x) quando x se aproxima de 3 por valores maiores que 3? E quando se
aproxima de 3 por valores menores que 3? Neste caso, o que ocorre com os valores de f(x) quando x está bem próximo de 3?
Solução: Quando x se aproxima de 3 por valores maiores que 3, ( )f x se aproxima de 5. Quando
x se aproxima de 3 por valores menores que 3, ( )f x se aproxima de 2. Quando x está bem
próximo de 3, por um lado ele se aproxima de 5 e por outro de 2, assim não dá para falar para que
valor ( )f x se aproxima.
Exercício 2: Demonstre, usando a definição, que 2
lim (3 2) 4x
x
.
Solução: Seja ( ) 3 2g x x , então
( ) 4 3 2 4 3 6 3( 2) 3 2g x x x x x .
Dado 0 , se tomarmos 3
teremos
(2, 2 ) 0 2 3 2 3 3( 2) 3 2 4 ( ) 4 .3 3 3
x x x x x g x
Assim, demonstramos por definição que 2
lim (3 2) 4x
x
.
Exercício 3: Calcule, se possível, os limites: 4
lim ( )x
k x
, 1
lim ( )x
k x
, 5
lim ( )x
k x
, 8
lim ( )x
k x
, 0
lim ( )x
k x
e 32
lim ( )x
k x
, considerando a função k , cujo gráfico está esboçado na figura a seguir. Se não for
possível calcular os limites, justifique.
x
y
1 5 8
2
3
4
5
04- 2-
4-
Solução:
a. 4
lim ( )x
k x
. Temos, 4
lim ( ) 3x
k x
e 4
lim ( ) 4x
k x
. Assim, não existe o 4
lim ( )x
k x
.
b. 1
lim ( )x
k x
. Temos, 1
lim ( ) 4x
k x
e 1
lim ( ) 2x
k x
. Assim, não existe o 4
lim ( )x
k x
.
c. 5
lim ( )x
k x
. Temos, 5
lim ( ) 5x
k x
e 5
lim ( ) 5x
k x
. Assim, 5
lim ( ) 5x
k x
.
d. 8
lim ( )x
k x
. Temos, 8
lim ( ) 5x
k x
e 8
lim ( ) 5x
k x
. Assim, 8
lim ( ) 5x
k x
.
e. 0
lim ( )x
k x
. Temos no gráfico da função k , um segmento de reta ligando o ponto ( 2, 3)P ao
ponto (1, 4)Q que contém o ponto (0, (0))k . A equação que determina os pontos desse
segmento é dada por 7 3 5 0x y , ou seja, entre os pontos P e Q , 7 5
( )3 3
k x x .
Assim, pelo Exemplo 7, 0 0
7 5 7 5 5lim ( ) lim 0
3 3 3 3 3x xk x x
.
f. 32
lim ( )x
k x
. Como 5 32 8 , e nesse intervalo ( )k x é constante e igual a 5, temos pelo
Exemplo 5, que 32
lim ( ) 5x
k x
.
Exercício 4: Considere a função
1, 1
( ) , 1 2
5, 2
x
h x x x
x x
.
Calcule, se possível, os limites 1
lim ( )x
h x
, 2
lim ( )x
h x
, 0
lim ( )x
h x
, 100
lim ( )x
h x
e x
h x10lim ( ) . Caso
contrário, justifique.
Solução:
a. 1
lim ( )x
h x
. Temos, pelo Exemplo 5, que 1
lim ( ) 1x
h x
e pelo Exemplo 7 que
1 1lim ( ) lim 1
x xh x x
. Como,
1 1lim ( ) lim ( ) 1
x xh x h x
, por definição
1lim ( ) 1
xh x
.
b. 2
lim ( )x
h x
. Temos, pelo Exemplo 7, que 2 2
lim ( ) lim 2x x
h x x
e 2 2
lim ( ) lim ( 5) 3x x
h x x
.
Assim, por definição, não existe o 2
lim ( )x
h x
.
c. 0
lim ( )x
h x
. Para x no intervalo [ 1,2] temos que ( )h x x . Assim, pelo Exemplo 7,
0 0lim ( ) lim 0x x
h x x
.
d. 100
lim ( )x
h x
. Por definição, a função h é constante igual a 1 para todos os valores de 1x .
Assim, pelo Exemplo 5, 100 100
lim ( ) lim ( 1) 1x x
h x
.
e. x
h x10lim ( ) . Por definição, nas proximidades de 10x , a função h é definida por
( ) 5h x x . Assim, pelo Exemplo 7, 10 10
lim ( ) lim 5 5x x
h x x
.
Exercício 5: Mostre que, no exemplo 7, podemos tomar o valor 3 m
para demonstrar que
lim ( )x c
f x mc b
.
Solução: Tomando 3 m
, ficaremos com
0 ( )3 3 3
x c m x c m m x cm m
( ) ( )3 3
mx b mc b f x mc b
Exercício 6: Demonstre que se ( ) 7 8f x x , então
2
lim ( ) 6x
f x .
Solução: Segue imediatamente do Exemplo 7, que 2 2
lim ( ) lim 7 8 7 ( 2) 8 6x x
f x x
.
Exercício 7: Calcule 3 2
523
3 3 9lim ,
9x
x x x
x
indicando as propriedades utilizadas.
Solução: Seja 23 2 2
2
( 3)( 3)3 3 9 3( )
( 3)( 3) 39
x xx x x xf x
x x xx
, ou seja,
( )( )
( )
p xf x
q x , onde
2( ) 3p x x e ( ) 3q x x , isto é, f é uma função racional, onde (3) 6 0q . Logo, pelo
Corolário da página 20, item d, 3
(3) 12lim ( ) 2
(3) 6x
pf x
q . Como 5n é um número ímpar, pela
proposição da página 18, item e, 3 2
55 523 3
3 3 9lim lim ( ) 2
9x x
x x xf x
x
.
Exercício 8: Calcule os seguintes limites:
a) 2
2lim 5
x b)
8lim( 8)x
c) 3
1
1lim
1x
x
x
d) 0
lim (4 )x
x
e) 3
23
27lim
1x
x
x
f)
0lim , 0h
x h xx
h
Solução:
a) 2
2lim 5
x. Pelo Exemplo 5, 2
2lim 5 25
x .
b) 8
lim( 8)x
. Pelo Exemplo 5, 8
lim( 8) 8x
.
c) 3
1
1lim
1x
x
x
. Temos que,
232
1 1 1
1 ( 1)1lim lim lim ( 1)
1 1x x x
x x xxx x
x x
. Assim, pelo
Corolário da página 20 item c, 3
2 2
1 1
1lim lim ( 1) 1 1 1 3
1x x
xx x
x
.
d) 0
lim (4 )x
x
. Pela proposição da página 18, item a, temos
0 0 0
lim (4 ) lim 4 limx x x
x x
. Como estamos calculando o limite quando 0x , os
valores de x são sempre positivos. Assim, pelo Exemplo 5, e pelo item f da proposição da
página 18, temos que 0
lim (4 )x
x
0 0
lim 4 lim 4 0 4x x
x
.
e) 3
23
27lim
1x
x
x
. Seja
3
2
( )27( )
( )1
p xxf x
q xx
, ou seja, 3( ) 27p x x e 2( ) 1q x x .
Queremos inicialmente calcular o 3
lim ( )x
p x
. Quando 3x o valor de ( )p x é sempre
positivo, assim, pelo item f da proposição da página 18, temos que 3
3
lim ( ) 27 0x
p x x
, e
como 2(3) 3 1 10 0q . Assim, pelo item d, do Corolário da página 20,
3
23
27lim
1x
x
x
3
(3) 0lim ( ) 0
(3) 10x
pf x
q
.
f) 0
lim , 0h
x h xx
h
. Observemos que
1x h x x h xx h x
h h x h x x h x
. Logo
0 0
1lim limh h
x h x
h x h x
. Pelo Exemplo 5,
0limh
x x
e como por hipótese
0x , pelo item f da proposição da página 18, segue que 0
limh
x h x
. Assim, se
( )q h x h x , temos que (0) 2 0q x . Logo, pelo item d do Corolário da página 20,
temos que 0
1lim
2h
x h x
h x
.
Exercício 9: Para cada função f definida a seguir, calcule 2
lim ( )x
f x
e 2
lim ( )x
f x
e esboce o
gráfico de f.
a) 2
3 , 2( )
, 2
x xf x
x x
b)
3 5, 2( )
4 2 , 2
x xf x
x x
.
Solução:
a) 2
3 , 2( )
, 2
x xf x
x x
. Temos,
2 2
lim ( ) lim 3 6x x
f x x
e 2
2 2
lim ( ) lim 4x x
f x x
.
b) 3 5, 2
( )4 2 , 2
x xf x
x x
. Temos,
2 2
lim ( ) lim 3 5 11x x
f x x
e
2 2
lim ( ) lim 4 2 0x x
f x x
x0
y
– 1– 2– 3 1 2 3 4– 1
– 2
1
2
3
4
5
6
7
89
– 3
x0
y
– 1– 2
1 2 3 4– 1– 2
1
2
3
4
5
6
7
89
– 3
1011
12
a) b)
Exercício 10: Dada 3 5, 2
( )4, 2
x xf x
x
, encontre
2lim ( )x
f x
, mostre que 2
lim ( ) (2)x
f x f
e
trace um esboço do gráfico de f.
Solução:
Temos, pelo exercício 7, que 2 2
lim ( ) lim(3 5) 11x x
f x x
. Como (2) 4f , segue que
2lim ( ) 11 4 (2)x
f x f
.
x0
y
– 1– 2
1 2 3 4– 1– 2
1
2
3
4
5
6
7
89
– 3
1011
12
Exercício 11: Nos itens a seguir, encontre os limites indicados, se existirem. Caso não existam, justifique. Esboce o gráfico de cada função.
a)
2, 1
( ) 1, 1
3, 1
x
f x x
x
.
1
lim ( )x
f x
; 1
lim ( )x
f x
; 1
lim ( )x
f x
; 0
lim ( )x
f x
; 3
lim ( )x
f x
e 2
lim ( )x
f x
.
b)
2
2
3 , 2
( ) 0, 2
11 , 2
x x
f x x
x x
.
2
lim ( )x
f x
; 2
lim ( )x
f x
; 2
lim ( )x
f x
; 0
lim ( )x
f x
; 1
lim ( )x
f x
e 4
lim ( )x
f x
c) | |
( )t
f tt
.
0
lim ( )t
f t
; 0
lim ( )t
f t
e 0
lim ( )t
f t
.
Solução:
a) 1.1 1
lim ( ) lim ( 3) 3x x
f x
.
2. 1 1
lim ( ) lim 2 2x x
f x
.
3. 1
lim ( )x
f x
não existe, pois os limites laterais são distintos.
4. 0 0
lim ( ) lim 2 2x x
f x
.
5. 3 3
lim ( ) lim 2 2x x
f x
.
6. 2 2
lim ( ) lim 3 3x x
f x
x0
y
– 1– 2 1 2 3
– 1
– 2
1
2
3
– 3
b) 1. 2 2
2 2
lim ( ) lim 11 11 ( 2) 7x x
f x x
.
2. 2 2
2 2
lim ( ) lim 3 3 ( 2) 7x x
f x x
.
3.2
lim ( )x
f x
. Como os limites laterais coincidem e valem 7, temos que 2
lim ( ) 7x
f x
.
4. 2 2
0 0lim ( ) lim 11 11 (0) 11x x
f x x
.
5. 2 2
1 1lim ( ) lim 11 11 ( 1) 10
x xf x x
6. 2 2
4 4lim ( ) lim 3 3 ( 4) 19
x xf x x
.
x0
y
– 1– 2 1 2 3 4– 1
– 2
1
2
3
4
5
6
7
89
– 3
10
11
12
c) | |
( )t
f tt
.
1. 0 0 0
lim ( ) lim lim 1 1t t t
tf t
t
.
2. 0 0 0
lim ( ) lim lim 1 1t t t
tf t
t
.
3. 0
lim ( )t
f t
. Como os limites laterais são distintos o 0
lim ( )t
f t
não existe.
x0
y
– 1– 2 1 2 3
– 1
1
2
Exercício 12: Calcule os seguintes limites:
a) 2
21
2 3lim
2 1x
x x
x x
b)
2 2
1
2
sen coslim
2 1t
t t
t
c)
0
2 1limt
t
t
Solução:
a) 2
21 1
( )2 3lim lim
( )2 1x x
f xx x
g xx x
, onde 2( ) 2 3f x x x e 2( ) 2 1g x x x . Como
1lim ( ) 2 1 3 2 0
xf x
e ( )g x tende a zero por valores positivos, então
2
21
2 3lim
2 1x
x x
x x
, de acordo com o item c da Propriedade 4 da página 28.
b) 2 2
1 1
2 2
( )sen coslim lim
2 1 ( )t t
f tt t
t g t
, onde 2 2( ) sen cosf t t t e ( ) 2 1g t t . Como
2 2
1 1 1
2 2 2
lim ( ) lim sen cos lim 1 1 0
x t x
f t t t
e ( )g t tende a zero por valores positivos, então
de acordo com o item a da Propriedade 4 da página 28, temos 2 2
1
2
sen coslim
2 1t
t t
t
.
c) 0 0
( )2 1lim lim
( )t t
f tt
t g t
, onde ( ) 2 1f t t e ( )g t t . Como
0 0 0lim ( ) lim 2 1 lim 1 1 0t t t
f t t
e ( )g t tende a zero por valores positivos, então de acordo
com o item a da Propriedade 4 da página 28, temos 0
2 1limt
t
t
.
Exercício 13: Mostre, utilizando a definição, que
1lim 3 3
5x x.
Solução: A função 1
( ) 35
f xx
está definida em ,5 5, , assim, de acordo
com definição de limites no infinito, dado um número 0 , devemos exibir um número 0M
tal que 1
3 35x
, sempre que x M . Mas, para que
1 1 13 3
5 5 5x x x
seja menor que , devemos ter
15x
, ou seja,
15x
ou
15x
. Tomando
15M
, teremos 0M somente quando
1
5 , mas
neste caso, para qualquer número 0L , teremos, 1 1
5 5x
sempre que x L . Assim,
consideremos, sem perda de generalidade, 1
5 e assim,
15 0M
, e nesse caso, teremos
1 1 13 3
5 5 5x x x
., sempre que x M .
Exercício 14: Calcule os seguintes limites:
a) 1 1
lim lim limx x x
x xx x
, pois
1lim 0
x x .
b)
2
2 2 2
3 31 1
3lim lim lim
1 12 12 2
x x x
xxx x x
x xx
x x
.
Mas como x temos 1x
x , logo
2 2 2
3 3 31 1 lim 1 lim
1 0 1lim lim
11 1 2 0 2lim 2 lim2 2
x x
x x
x x
x x x x
x
xx x
.
c) Como x temos 2 2x x . Assim
12
2 1 2 1lim lim lim 2
22 2 1x x x
x x x
x x
x
.
d) 23 9 3 9
lim lim32 3 2
x x
x x x
x
x
, pois lim (3 9)x
x
e 3
lim 2 2x x
.
Exercício 15: Determine, caso existam, as assíntotas verticais e horizontais dos gráficos das funções definidas a seguir:
a) 2
2( )
25
xf x
x.
Temos que { 5,5}Dom f . Assim, para sabermos se a reta 5x é uma assíntota vertical do
gráfico de f devemos verificar se pelo menos um dos seguintes limites ocorre:
5
lim ( )x
f x
ou 5
lim ( )x
f x
ou 5
lim ( )x
f x
ou 5
lim ( )x
f x
.
Como 2
5
2lim
25x
x
x
, pois o limite da função no numerador tende a 10 e o limite da função do
denominador tende a zero por valores positivos e, desta forma, o limite do quociente tende para
, concluímos que a reta 5x é uma assíntota vertical do gráfico de f.
Analogamente, para verificar se a reta 5x é uma assíntota vertical do gráfico de f devemos verificar se pelo menos um dos limites ocorre:
5lim ( )
xf x
ou
5lim ( )
xf x
ou
5lim ( )
xf x
ou
5lim ( )
xf x
.
Como 2
5
2lim
25x
x
x
por razões análogas às apresentadas anteriormente, concluímos que a
reta 5x é uma assíntota vertical do gráfico de f.
Para verificar se o gráfico de f apresenta assíntotas horizontais, devemos encontrar lim ( )x
f x
e
lim ( )x
f x
.
Como 2
2
2
2 0lim lim 0
2525 11x x
x x
x
x
e
2
2
2
2 0lim lim 0
2525 11x x
x x
x
x
, segue que a reta 0y é a única assíntota horizontal do gráfico
de f.
b) 3 24
( )3
x xf x
x
.
Temos que {3}Dom f . Assim, a reta 3x é uma candidata à assíntota vertical do gráfico
de f. Vejamos:
3 2
3
4lim
3x
x x
x, pois o limite do numerador tende a um número positivo (99), e o limite do
denominador tende a zero por valores positivos e, desta forma, o limite do quociente tende a . Concluímos que a reta 3x é uma assíntota vertical do gráfico de f. Não é preciso calcular
3 2
3
4lim
3x
x x
x.
Para verificarmos se o gráfico de f possui assíntota horizontal, devemos calcular:
3 2 24 4lim lim
33 1x x
x x x x
x
x
, pois o limite do numerador tende a , e o limite do
denominador tende a 1 e, desta forma, o limite do quociente tende a .
Da mesma forma
3 2 24 4lim lim
33 1x x
x x x x
x
x
.
Concluímos que o gráfico de f não possui assíntotas horizontais.
c) 2
( ) 3f xx
.
Temos que {0}Dom f . Assim a reta 0x é uma candidata à assíntota vertical do gráfico de
f. Vejamos:
0
2lim 3x x
e, portanto, a reta 0x é uma assíntota vertical do gráfico de f.
Por outro lado, 2
lim 3 0 3 3x x
e
2lim 3 0 3 3
x x
.
Portanto, a reta 3y é a única assíntota horizontal do gráfico de f.
d) 5
6
5 3( )
5 4
xf x
x
.
Como Dom f , o gráfico de f não apresenta assíntotas verticais.
Porém, 5 6
6
6
5 3
5 3 0lim lim 0
55 4 44x x
x x x
x
x
e, portanto, a reta 0y é uma assíntota horizontal do
gráfico de f.
Da mesma forma, 5
6
5 3lim 0
5 4x
x
x
. Portanto a reta 0y é a única assíntota horizontal do gráfico
de f.
e)
1, 0
( )2
2, 01
xx
f x
xx
.
Temos que Dom f . Como as expressões algébricas que definem f são distintas em vizinhanças
de 0x , a reta 0x é uma candidata à assíntota vertical do gráfico de f. Vejamos:
0 0
1lim ( ) limx x
f xx
e, portanto, a reta 0x é uma assíntota vertical do gráfico de f.
Por outro lado,
1lim ( ) lim 0
x xf x
x e, portanto, a reta 0y é uma assíntota horizontal do gráfico de f ;
2lim ( ) lim 2 2
1x xf x
x
e, portanto, a reta 2y também é uma assíntota horizontal
do gráfico de f. Exercício 16: Dê um exemplo de função que possua duas assíntotas horizontais diferentes.
O gráfico da função dada no exercício 15-e ou a função definida por 2
( )1
xf x
x
. De fato, se
x , 0x e, assim 2x x .
Desta forma, 2 2
22 2
2
1lim lim lim lim 1
111 1 1x x x x
x x x
xx xx
e, portanto a reta
1y é uma assíntota horizontal do gráfico de f.
Por outro lado, se x , 0x e, assim, 2x x . Desta forma,
2
2 2lim lim 1
1 1x x
x x
x x
e, portanto, a reta 1y é uma assíntota horizontal do gráfico
de f. Exercício 17: Calcule os limites a seguir:
a) 0 0 0
sen(2 ) 2sen(2 ) sen(2 )lim lim 2lim 2 1 2
2 2h h h
h h h
h h h
b)
3 33
3
30 0 0
sen sen senlim lim lim 1 1x x x
x x x
x x x
c) 2
2lim
2x
x
x
, pois o limite do numerador é 4 e, quando 2x temos a expressão
(2 ) 0x e tendendo a zero, logo 2
2
x
x
.
d) lim lim lim11 11
x x x
x x x
x x x x x xx x xxx
2 3
1 1 1lim lim lim
1 1 11 1 1x x x
x xx xx x x x
.
Observe que quando x , 1
0x e
3
10
x .
Assim,
3
1lim 1
1 11
x
x x
.
e) 2 2
2 2
5 6 5 6lim 5 6 lim 1 lim 1
x x xx x x x
x x x x
.
Como x , temos que x x . Daí,
2 2 2
5 6 5 6 5 6lim 1 lim 1 lim lim 1
x x x xx x x
x x x x x x , pois quando x
temos 5
0x e
2
60
x .
f) lim ( )x
x x a x
. Temos aqui mais uma indeterminação do tipo .
Devemos multiplicar e dividir ( )x x a x por ( )x x a x .
( )
lim ( ) lim ( )( )x x
x x a xx x a x x x a x
x x a x
2
22
( )lim lim lim
( )1
x x x
x x a x ax ax
x x a x ax ax xx x
x
lim lim lim2
1 1 11 1x x x
ax ax a a
a aax x x
x xx
, pois quando x , temos
x x e 0a
x .
g) 9
3lim
3x
x
x
.
9
3 9 3 0lim 0
3 3 9 6x
x
x
.
OBS: Faça outro exercício: 9
3lim
9x
x
x
.
h) 3 3
7
7lim
7x
x
x
.
Chamando 3 x m e 3 7 n , temos que 3 7m quando 7x . Assim,
3 3
3 3
3 3 2 27 7 7
( )7lim lim lim
7 ( )( )x m m
m nx m n
x m n m n m mn n
3 22 27 3
1 1lim
3 7m m mn n
.
i) 22
2 24
3( 4) 9( 4) 123 9 12 0lim 0
17 4 4 17( 4) 4( 4) 4 136x
x x
x x
OBS: Faça outro exercício: 2
24
3 9 12lim
17 4 4x
x x
x x
.
j) 23
3lim
9x x
.
Como 2
3lim 9 0x
x
, temos que 23
3lim
9x x
.
k) 2
22 2 2
( 2)( 1) ( 1)2 3 1lim lim lim
3 6 3 ( 2) 3 6 2x x x
x x xx x
x x x x x
.
l) 2 2
2
2
53
3 5 3lim lim
14 1 44x x
x x
x
x
, pois 2
50
x e
2
10
x quando x .
m) 2
2
2
4 3
4 3lim lim 0
12 1 2x x
x x x
x
x
, pois 2
0k
x e 0
k
x quando x .
n) 2 2
2
2
6 12
2 6 1 2lim lim
5 45 7 4 77x x
x x x x
x x
x x
, pois 2
0k
x e 0
k
x quando x .
o) 4 4
5
4
2 1
2lim lim 0
44 1x x
x x x x
x x
x
, pois 0k
x e
40
k
x quando x .
p) 3 2
2
2
4 87
7 4 8lim lim
1 12 1 2x x
xx x x x
x x
x x
, pois 0k
x ,
20
k
x , quando x .
q) 3
2
2
27
27lim lim
5 85 8 1x x
xx x x
x x
x x
, pois 0k
x ,
20
k
x , quando x .
r) 2 2
2
2
3 11
3lim lim 1
55 1x x
x x x x
x
x
, pois 0k
x e
20
k
x quando x .
s) 2
11
1lim lim 0
22 3 5 3 5x x
x x
x x xx
, pois 0k
x quando x .
t) 0 0 0
sen(4 ) sen(4 ) sen(4 )lim lim4 4 lim 4 1 4
4 4x x x
x x x
x x x .
u)
3 33 3
3 30 0 0 0
sen (2 ) sen (2 ) sen(2 ) sen(2 )lim lim8 8 lim 8 lim 8
8 2 2x x x x
x x x x
x x x x
.
v) sen
limx
x
x .
Chamando x u , temos que 0u quando x .
Logo, 0 0 0
sen( )sen sen senlim lim lim lim 1
x u u u
ux u u
x u u u
.
x) 0 0 0
sen(2 ) sen(2 ) sen(2 )1 1 1lim lim lim
4 2 2 2 2 2x x x
x x x
x x x .
w) 3
3
cos( )lim
5x
x
x
.
Como 3cos( )x é uma função limitada para todo x , tem-se:
3
3 3
cos( ) 1
5 5
x
x x
, ou seja,
3
3 3 3
cos( )1 1
5 5 5
x
x x x
.
Por outro lado,
3 3
1 1lim lim 0
5 5x xx x
. Assim, pelo teorema do confronto (sanduíche), tem-se
3
3
cos( )lim 0
5x
x
x
.
y)
12 1 1
lim 1 lim 1 1
2 2
x
x
x x x xx
.
Chamando 2
xu , tem-se que u quando x . Assim,
221 1 1 1 1 1
lim 1 1 lim 1 1 lim 1 1
2 2
x
u u
x u ux x u u u u
2
2 21 1lim 1 lim 1 1
u
u ue e
u u
.
z) 1
lim 12
x
x x
.
Chamando 2x u , tem-se que u quando x . Assim,
21 1 1lim 1 lim 1 lim 1
2
ux u
x u ue
x u u
.
OBS: Faça outro exercício: lim 1 , ,
bx
x
aa b
x
.
Exercício 18: Prove que a função 5( ) 6 2f x x x é contínua para todo x .
Dado c , como f é uma função polinomial temos lim ( ) ( )x c
f x f c
. Portanto, por definição, f é
contínua para todo x .
Exercício 19: Dada a função 23
8 , 0
( ) 1, 0
10
x x
f xx
, determine seus pontos de descontinuidade, se
existirem.
Se 0c lim8 8 ( )x c
x c f c
, ou seja, f é uma função contínua em ( ,0) (0, ) .
Se 0c temos 230 0
1lim ( ) lim8 0 (0)
10x xf x x f
.
Portanto o único ponto de descontinuidade da função f é o ponto 0x .
Exercício 20: Estude a continuidade da função 3
5, 3
2, 3 0( )
, 0 3
10, 3
x
x xf x
x x
x
.
Observamos que [ 3,3]Dom f .
Se ( 3,0) (0,3)c temos uma função polinomial, logo, lim ( ) ( )x c
f x f c
, ou seja, a função f é
contínua em ( 3,0) (0,3) .
Se 3c temos 3 3
lim ( ) lim ( 2) 3 2 5 ( 3)x x
f x x f
. Logo, a função f é contínua à
direita em 3c .
Se 0c temos 0 0
lim ( ) lim( 2) 2x x
f x x
e 3
0 0lim ( ) lim 0x x
f x x
. Logo, 0
lim ( )x
f x
não existe
e a função f não é contínua em 0c .
Se 3c temos 3
3 3lim ( ) lim 27 10 (3)x x
f x x f
. Logo, a função f não é contínua à esquerda
em 3c .
Exercício 21: Mostre que a função ( ) cosf x x é contínua em .
De fato, 2cos 1 senx x e então para c temos
2
2 2 2limcos lim 1 sen lim 1 sen lim1 limsen 1 limsenx c x c x c x c x c x c
x x x x x
.
Como senx é contínua em 2limcos 1 sen cosx c
x c c
. Portanto, cosx é contínua em .
Exercício 22: Calcule os limites a seguir:
a) 0
0 0 0 0 0
0
lim1tg sen sen 1 1 1 1 1 1lim lim lim lim lim 1
2 2 cos 2 cos 2 lim cos 2 1 2
x
x x x x x
x
x x x
x x x x x x
.
b) 20 0 0 0
(cos 1)(cos 1) (cos 1) senlim lim lim lim
cos 1 (cos 1)(cos 1) sen sent t t t
tt
t t t tt t
t t t t t
.
Mas 0
(cos 1)senlim
sent
tt
t
t
e 0
(cos 1)senlim
sent
tt
t
t
.
Logo não existe o limite procurado.
c) 2
0
0 0lim 0
1 2cos(2 ) 1 2cos(0) 1x
x
x
.
d) 1 1 1
1 1lim lim lim 0 0 0
tg tg tg2 2 2
x x x
x x
x x x
, pois 1
lim tg2x
x
e
1lim tg
2x
x
.
e)
4 44
4
4 40 0 0
tg (2 ) tg(2 ) sen(2 )16 16lim lim16 lim 1 16
2 cos (2 ) 2 1x x x
x x x
x x x x
.
f) 2 20 0 0 0
1 cos 1 cos 1 coslim lim lim lim
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos senx x x x
x x x x x x x
x x x x x
0
1 coslim
senx
x x
x
.
Como 0
1 coslim 2
senx
x x
x
e
0
1 coslim 2
senx
x x
x
, temos que o limite procurado não existe.
Exercício 23: Demonstre os seguintes teoremas:
a) Se f é uma função polinomial, então f é contínua para x .
Seja c então temos que se f é uma função polinomial lim ( ) ( )x c
f x f c
. Portanto, por definição,
f é contínua em c. b) Se f é uma função racional, então f é contínua em todos os pontos de seu domínio. Como uma função racional é o quociente de duas funções polinomiais, que são funções contínuas
em todo x , e o quociente de funções contínuas é uma função contínua onde o denominador não se anula, temos que uma função racional é contínua em todo o seu domínio.
Exercício 24: Dadas as funções definidas por ( )y f x a seguir, verifique se f é contínua nos
pontos x a e x b indicados.
a)
2 7, 1
( ) 6, 1 2
2 4 , 2
x x
f x x
x x
, 1a e 2b .
Para 1a temos: 2
1 1lim ( ) lim ( 7) 6
x xf x x
e
1 1lim ( ) lim 6 6
x xf x
. Logo,
1lim ( ) ( 1)x
f x f
e, portanto, a função f é contínua em 1 .
Para 2b temos: 2 2
lim ( ) lim( 6) 6x x
f x
e 2 2
lim ( ) lim(2 4 ) 6x x
f x x
. Logo,
2lim ( ) (2)x
f x f
e, portanto, a função f é contínua em 2.
b)
21 , 3
( ) 4 2 , 3 1
3 , 1
x x
f x x x
x x
, 3a e 1b .
Para 3a temos: 2
3 3lim ( ) lim 1 8
x xf x x
e
3 3lim ( ) lim 4 2 10
x xf x x
. Logo,
3lim ( )x
f x
não existe e, portanto a função f não é contínua em 3 .
Para 1b temos: 1 1
lim ( ) lim(4 2 ) 2x x
f x x
e 1 1
lim ( ) lim(3 ) 2x x
f x x
. Logo, 1
lim ( ) (1)x
f x f
e, portanto, a função f é contínua em 1.
Exercício 25: (Teorema da conservação do sinal) Seja f uma função contínua em , ( , )x c c a b
tal que ( ) 0f c . Então, existe 0 tal que se ( , )x c c , então ( ) 0f x .
Demonstração: Como a função f é contínua em ( , )c a b , dado 0 , existe 0 tal que se
x c , então ( ) ( )f x f c , ou seja, ( ) ( )f x f c . Assim, ( ) ( )f x f c .
Tomando 0 ( )f c temos ( ) 0f c , ou seja, ( ) 0f x , sempre que x satisfizer x c .
Exercício 26: Mostre que as funções trigonométricas inversas arcsenx e arccosx são contínuas. Segue imediatamente da continuidade das funções seno e cosseno e do Teorema da Continuidade da Função Inversa. Exercício 27: Dado o gráfico da função podemos concluir que:
0 x
y
1–1–2–3–5 2 4 6
1
2
3
4
a) {1,4}Dom f .
b) Im f .
c) (0) 2f .
d) ( 2) 1f .
e) (2) 0f .
f) ( 5 ) 1f .
g) ( 7 ) 1f .
h) ( (0)) (2) 0f f f .
i) 0
lim ( ) 2x
f x
.
j) 2
lim ( ) 1x
f x
.
l) 2
lim ( ) 3x
f x
.
m) 2
lim ( ) 1x
f x
.
n) 1
lim ( )x
f x
.
o) 1
lim ( )x
f x
.
p) lim ( ) 4x
f x
.
q) lim ( ) 0x
f x
.
r) 11
lim ( ) 1x
f x
.
s) 5
lim ( ) 2x
f x
.
t) 5
lim ( ) 1x
f x
.
Exercício 28: Com base nas respostas do exercício 27, responda e justifique: a)
Não é contínua em 5x pois 5
lim ( ) 2x
f x
e 5
lim ( ) 0x
f x
, ou seja, não existe 5
lim ( )x
f x
.
Não é contínua em 2x pois 2
lim ( ) 1x
f x
e 2
lim ( ) 3x
f x
, ou seja, não existe 2
lim ( )x
f x
.
Não é contínua em 1x pois 1
lim ( )x
f x
.
Não é contínua em 2x pois 2
lim ( ) 1x
f x
mas (2) 0f .
É contínua em 0x pois 0
lim ( ) 2 (0)x
f x f
.
É contínua em 5x pois 5
lim ( ) 1 ( 5)x
f x f
.
É contínua em 11x pois 11
lim ( ) 1 ( 11)x
f x f
.
b) A reta 5x não é uma assíntota vertical do gráfico de f, pois 5
lim ( ) 1x
f x
.
c)
Assíntotas horizontais: as retas 0y , pois lim ( ) 0x
f x
e 4y , pois lim ( ) 4x
f x
.
Assíntotas verticais: as retas 1x , pois 1
lim ( )x
f x
e 1
lim ( )x
f x
; e 1x , pois
1lim ( )x
f x
.
