UNIFESO – Centro de Ciências e Tecnologia

Curso de Graduação em Matemática

Exercícios do Ensino Médio

Respostas dos Exercícios para o dia 27/03/2013

Obs.: Estes exercícios foram adaptados do livro Círculos Matemáticos: A Experiência

Russa (Fomin, Genkin, Itenberg), publicado pelo IMPA.

1. Não: a soma de um número ímpar de números ímpares é sempre ímpar.

2. Não: cada vez que um dos segmentos do caminho intersecta a reta, os

dois vértices estão em lados opostos da reta; começando em um vértice

de um dos lados da reta e seguindo pelo caminho, se a reta pudesse

intersectar os 11 segmentos terminaríamos no lado oposto da reta e o

caminho não poderia ser fechado.

3. Se o círculo contém cinco meninos, quantas meninas estão neste

círculo? Cinco: a única possibilidade é as meninas alternarem com os

meninos.

4. Não: o tabuleiro 5 × 5 tem 25 quadradinhos, um número ímpar e, como

cada dominó tem um número par (2) de quadradinhos, qualquer

quantidade de dominós sempre cobrirá um número par de quadradinhos.

5. Não: como foram separados todos os dominós sem bolinhas, cada

algarismo de 1 a 6 irá aparecer em 7 dominós; mas só podemos ter dois

algarismos nas pontas e todos os algarismos no meio da cadeia têm que

aparecer um número par de vezes; como são seis algarismos, tirando os

dois nas pontas sobram quatro algarismos, ou seja, vão sobrar pelo

menos dois dominós (contendo quatro algarismos diferentes).

6. Depois de 59 segundos: pensando a partir do final, vemos que, se o

vidro está cheio depois de 60 segundos, ele tinha que estar pela metade

um segundo antes.

7. Basta um pagar para todos: por exemplo, Alex pode dar uma moeda de

15 e pagar para todos os três; os outros podem pagar Alex facilmente,

por exemplo, dando uma moeda de 20 para Alex e recebendo uma

moeda de 15 de troco.

8. 136: a ideia básica aqui é que a última página é par, já que não é

possível rasgar apenas uma página ― rasga-se uma folha que tem duas

páginas, começando com uma página ímpar; dos números com três

algarismos contendo os algarismos 1, 3 e 8, 318 é o único maior do que

183 que é par, logo o número de páginas é 318 − 183 + 1 = 136.

9. Sim: o problema só nos permite dividir um conjunto de pregos dado em

duas partes com o mesmo peso; então, por exemplo, podemos fazer

pilhas com 1 kg, 500 g e com 250 g dividindo diversas vezes o conjunto

de pregos; três pilhas com 250 g irão fornecer 750 g de pregos.

10. Domingo: os dias 1, 8, 15, 22 e 29 de qualquer mês caem no mesmo dia

da semana; como janeiro tem 31 dias, se o mês começar em um

determinado dia da semana, então ele terá cinco desses dias e cinco dos

próximos dois dias da semana; logo janeiro não pode ter começado em

2

um sábado, domingo ou segunda-feira (caso contrário, teria cinco

segundas), nem em uma quarta, quinta ou sexta-feira (caso contrário,

teria cinco sextas), de modo que o primeiro dia de janeiro caiu em uma

terça-feira e não é difícil ver que o dia 20 de janeiro caiu no domingo.

11. 1189: podemos supor, sem perda de generalidade, que a diagonal dada

vai do canto superior à esquerda para o canto inferior à direita; vamos

colorir de preto todos os quadrados cruzados pela diagonal; como o

número de colunas é muito maior, algumas linhas terão mais de um

quadrado preto; é claro também que toda linha e toda coluna tem pelo

menos um quadrado preto; vamos marcar o quadrado preto que esteja

mais à esquerda em cada linha com a letra E; analogamente, vamos

marcar o quadrado preto que esteja mais acima em cada coluna com a

letra A; é possível mostrar que cada um dos quadrados pretos foi

marcado pelo menos uma vez e que só o quadrado no canto superior à

esquerda foi marcado mais de uma vez, logo o número de quadrados

pretos é igual à soma do número de quadrados marcados com E com o

número de quadrados marcados com A menos 1, ou seja, 199 + 991 − 1

= 1189.

Vamos tentar agora provar a afirmação que fizemos acima. Em primeiro

lugar, por que cada um dos quadrados pretos foi marcado pelo menos

uma vez? Se um dos quadrados pretos não estiver marcado com

nenhuma letra, então seus vizinhos à esquerda e em cima também terão

que ser pretos; ou seja, eles também têm interseção com a diagonal, o

que é impossível. Em segundo lugar, se um quadrado preto estiver

marcado com ambas as letras E e A, então não poderão existir

quadrados pretos na mesma linha à sua esquerda nem na mesma coluna

acima dele. Isto significa que a diagonal intersecta o canto esquerdo

superior deste quadrado, o que também é impossível, embora a

justificativa seja mais complicada (é porque 199 e 991 são primos entre

si, mas não achamos apropriado entrar neste tipo de detalhe técnico ao

discutir esses problemas elementares).

12. 553451234512345: gostaríamos de ter o maior número possível de

algarismo iguais a 5 à esquerda; para isso, podemos retirar a sequência

inicial 1234, deixando um 5, depois retirar a próxima sequência 1234; é

claro que, se tivéssemos deixado algum algarismo diferente de 5 à

esquerda, o nosso número seria menor; entretanto, não podemos obter

outro 5, já que só podemos retirar mais dois algarismos; então retiramos

os dois próximos algarismos pequenos, 1 e 2.

13. Sim: Pedro falou isto no dia primeiro de janeiro e fez aniversário no dia

31 de dezembro; neste caso ele fez 11 anos no dia anterior à sua

afirmação e fará 13 anos no final do ano seguinte.

14. Não: o fato de que o evento A (a chuva) sempre causa o evento B (o

3

espirro da gata) não significa que o evento B causa o evento A; este é

um exemplo de um tipo de erro lógico muito comum, confundir uma

proposição lógica com sua recíproca.

15. Ele pensou o seguinte: “Se minha face estivesse limpa, então um dos

meus colegas, vendo que o terceiro está rindo de alguma coisa,

compreenderia que seu rosto também está preto de fuligem. Como ele

ainda está rindo, minha face também está preta.”

16. 95125.