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1 Processamento de Imagens Médicas

Processamento de Imagens Médicas

Restauração de Imagens

Prof. Luiz Otavio Murta Jr.

Informática Biomédica

Depto. de Computação e Matemática (FFCLRP/USP)


Restauração de imagens



Objetivos:

- Melhorar a imagem em algum aspecto.

- Recuperar uma imagem que foi degradada.

Como se restaura imagens degradadas?

-Usando algum conhecimento a priori do fenômeno de degradação.



Exemplo 1: borramento por movimento.




DFT /

= iDFT ?




DFT .

= iDFT



Exemplo 2: imagens biossusceptométrica.



Exemplo: como um sensor borra as imagens.



Exemplo: degradação e restauração da imagem.



f(x,y) H +

η(x,y)

g(x,y)

-Modelo degradação: f(x,y) → imagem de entrada

H → operador degradação

η(x,y) → ruído aditivo

g(x,y) → imagem degradada



Para que possa ser possível a restauração da imagem, é

necessário conhecer, a priori, o processo de degradação e a

potencia espectral do ruído.

Com alguma informação sobre o processo de degradação, e

sobre o ruído, é possível fazer uma reconstrução plausível

das imagens.

O processo de reconstrução é efetuado no domínio da

freqüência (Fourier), pois é necessário desconvoluir as

imagens.



f(x,y) H +

η(x,y)

g(x,y)

-Relação entrada-saída:

g(x,y) = H[f(x,y)] + η(x,y)



considerando o ruído η(x,y) = 0, H é linear se:

H[k1f1(x,y)+k2f2(x,y)] = k1H[f1(x,y)] + k2H[f2(x,y)]

k1 e k2 são constantes, e f1, f2 imagens de entrada quaisquer.



β)dαdβyα,β)δ(xf(α=y)f(x, ,

Modelo de degradação para funções continuas

Se η(x,y)=0 :

β)dαdβyα,β)δ(xf(αH=y)]H[f(x,=y)g(x, ,



β)]dαdβyα,β)δ(xH[f(α=y)g(x, ,

Desde que f(α,β) é independente de x e y:

O termo h(x,α,y,β)=H[δ(x-α,y-β)] e denominada resposta

a impulso de H.

β)]dαdβyα,β)H[δ(xf(α=y)g(x, ,



β)dαdβy,α,β)h(x,f(α=y)g(x, ,

Desde que fH(α,β) é evariante a posição de x e y:

β)yα,h(x=β)]yα,xH[δ (



β)dαdβyα,β)h(xf(α=y)g(x, ,

Com a adição do ruído:

O termo h(x,α,y,β) invariante a posição (H).

y)η(x,+β)dαdβyα,β)h(xf(α=y)g(x, ,



1

0

M

=m

m)f(m)h(x=g(x)

Formulação discreta:

Na forma matricial:

Hf=g



)g(M

)g(

)g(

=g

1

...

...

1

0

)f(M

)f(

)f(

=f

1

...

...

1

0

Onde f, g e M são:

)h()h(M)h(M

)+Mh()h()h(

)+Mh()h()h(=H

0...21

............

2...01

1...10


O objetivo da restauração é:

O termo ruído no modelo de degradação:

Queremos então encontrar uma imagem restaurada que:

Seja mínima, em que, por definição:

e


fg

Hfg=n

22f̂Hg=n

nn=n T2 )fH(g)fH(g=fHg T ˆˆˆ2


Problema de minimização de função:

Fazendo a derivada do ruído igual a zero:

Resolvendo para f:

Se H é uma matriz quadrada, e existe H-1:

Restauração de imagens (sem restrições)

gHH)(H=f TT 1ˆ

)fH(g==f

)fJ( T ˆ2H0ˆ

2ˆˆ fHg=)fJ(

gH=gH)(HH=f TT 111ˆ


Problema de minimização de função |Qf|2:

em que Q é um operador linear, com a restrição |g-Hf|2=|n|2

Resolvendo a equação para f :

em que γ=1/α ajustada de modo que a restrição seja satisfatória.

Restauração de imagens (com restrição)

gHQ)γQ+H(H=f TTT 1ˆ

)fH(gQ==f

)fJ( TT ˆ2αα2Q0ˆ

222ˆˆˆ nfHga+fQ=)fJ(


A equação: pode ser reescrita no domínio de

Freqüências (Fourier), na forma:

Considerando um ruído n(x,y) ou N(u,v) :

Restauração de imagens - filtro inverso

v)H(u,

v)N(u,+v)F(u,=v)(u,F̂

v)H(u,

v)G(u,=v)(u,F̂

gH=f 1ˆ



1=y)(x,

v)H(u,=

v)v)H(u,F(u,=v)G(u,

Exemplos:

Porque:



Exemplo: borramento causado por movimento linear uniforme

dt(t)yy(t),xxf=y)g(x, 00


Restauração de imagens – filtro Wiener

v)G(u,v)(u,Sv)(u,Sγ+v)H(u,

v)H(u,

v)H(u,=v)F(u,

fn

/

12

2

v)G(u,

v)(u,Sv)(u,Sγ+v)H(u,

v)(u,H=v)F(u,

fn

/2

Filtro de mínimo médio quadrático (Wiener)

v)G(u,K+v)H(u,

v)H(u,

v)H(u,=v)F(u,

2

21


Restauração de imagens – filtro Wiener

Filtro de mínimo médio quadrático (Wiener) Exemplo:


Filtro de mínimo quadrático com restrição

•A abordagem por mínimos quadráticos(Wiener) e um procedimento

estatístico.

•Os resultados são ótimos num sentido geral.

•O procedimento de restauração com restrição, no entanto, é ótimo

quando especificado para cada imagem.

•Requer apenas, a média do ruído, e a variância.

|g - Hf|2 = |n|2


v)G(u,

v)(u,Sv)(u,Sγ+v)H(u,

v)(u,H=v)F(u,

fn

/2



Filtro de mínimo quadrático com restrição Exemplo:

2400exp

22 y+x=y)h(x,



Filtro interativo Exemplo:



Filtro interativo Exemplo:



Filtro iterativo Exemplo:



Filtro iterativo Exemplo:

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