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resumo de sistemas dinâmicos com 1 grau de liberdade
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Sumrio 1 Conceitos fundamentais ........................................................................................................ 2
1.1 Massa ............................................................................................................................ 2
1.2 Densidade de massa ...................................................................................................... 2
1.3 Inercia do material ........................................................................................................ 2
1.4 Rigidez ........................................................................................................................... 2
1.5 Energia cintica ............................................................................................................. 2
1.6 Fora de inercia ............................................................................................................. 2
1.7 Corpo livre ..................................................................................................................... 3
1.8 Equao geral do movimento ....................................................................................... 3
1.9 Sistemas dinmicos ....................................................................................................... 3
1.9.1 Quanto a fora ....................................................................................................... 3
1.9.2 Quanto ao tempo .................................................................................................. 3
1.10 Energia interna de deformao ..................................................................................... 3
1.11 Princpio da conservao de energia............................................................................. 3
1.12 Energia potencial total .................................................................................................. 3
1.13 Funo de Lagrange ...................................................................................................... 4
2 Equaes do movimento-exemplo ....................................................................................... 4
2.1 Exemplo 1: ..................................................................................................................... 4
Equao de Lagrange: ............................................................................................................... 4
L T T U V .................................................................................................... 4
Aplicando pequenos deslocamentos e rotaes ...................................................................... 5
2.2 Exemplo 2: ..................................................................................................................... 5
3 Molas em serie e em paralelo ............................................................................................... 6
3.1 Em srie ......................................................................................................................... 6
3.2 Em paralelo ................................................................................................................... 6
4 Vibrao livre no amortecida .............................................................................................. 7
4.1 Equao geral ................................................................................................................ 7
4.1.1 Equao do deslocamento .................................................................................... 7
4.1.2 Frequncia natural do sistema .............................................................................. 7
4.2 Movimento Harmnico ................................................................................................. 8
4.2.1 Frequencia ............................................................................................................ 8
4.2.2 Periodo .....................................................................Erro! Indicador no definido.
4.3 Problemas de valor inicial ............................................................................................. 8
4.3.1 Condies iniciais .................................................................................................. 8
Resumo Dinmica Primeira Prova
1 Conceitos fundamentais 1.1 Massa
braom AL
1.2 Densidade de massa
3
M
L
1.3 Inercia do material
2dir
esq
As
1.4 Rigidez
1.5 Energia cintica 2
2
mvT ou
I 2
2T
1.6 Fora de inercia
massa constanteacelerao
F m a
massa variveld mvdp dm
F v madt dt dt
P
EIL
M
K I3
3EK
L
I
I I
3
3
3
3
3 3
E P P PLK K P
EL K E
L
I3
12EK
L
1.7 Corpo livre
( )
0x
mola amortecimento inrcia t
F
f f f f
1.8 Equao geral do movimento
Mx Cx Kx F
1.9 Sistemas dinmicos
1.9.1 Quanto a fora
1.9.1.1 Conservativo: Independe da trajetria
1.9.1.2 No conservativo: Foras no conservativas
1.9.2 Quanto ao tempo
1.9.2.1 Autnomo Tempo implcito
0Mx Cx Kx
1.9.2.2 No autnomo Tempo explicito
sinMx Cx Kx A t
cos 0x x t x
1.10 Energia interna de deformao 2
2
KxU
1.11 Princpio da conservao de energia
2 2 2
2 2
C U T
Kx Mx c KxC x
M
1.12 Energia potencial total U V
Onde,
f(t)
fmola
famort
finrciaM
potencial gravitacional das cargas externas trabalho
V V W
1.13 Funo de Lagrange
L T T U V
2 Equaes do movimento-exemplo
2.1 Exemplo 1: ?
Equao de Lagrange:
L T T U V
Calculo dos termos
II =
22 2
2
2
2 2
2 2 2
sin sin
2 2
22 1 cos 1 cos
3 2
11 1 cos
6
22
43
3 2 27
, 2 6 3
pesototal peso barra
barra
K L KLU
L LW Mg Mg
MgLV W
LM
MLT
T T T
ML MLT onde
De posse de todos os termos, substituir na equao da Lagrange
K
2L/3
L/3
2M
M= AL?
Lsin?
Scos?
S*sin?
dS
x
y
L/2 2L/3
Mg
2Mg
(2L/3)cos?
(2L/3)(1-cos?)
2 2 2 211 sin 111 cos
18 2 6
ML KL MLL
Onde,
2 211 110 ;
9 9
L d L L ML d L ML
dt dt
Sendo assim, tem-se que
22
linearidade geomtrica
11 11sin cos sin 0
9 6no
ML MLKL
Aplicando pequenos deslocamentos e rotaes sin ; cos 1
2211 11 0
9 6
ML MLKL
2.2 Exemplo 2:
2K KC
L/2 L/3 L/6
A
5L?/6
L?/6
L?/6?
?
Corpo Livre
F1molaF2molaFamort.
MI
Lsin?
Lcos?
KLsin?
I I =
2 1.
0
6 3 262
66
0
5 50
6 6 3 6 3 3 3 36amortmola mola
LL
M
LL
FF F
M
KL L KL L CL L As MLAs ds
A equao geral do movimento ser:
2 2 27 170
36 9 12eq eq eqM C K
ML CL KL
3 Molas em serie e em paralelo
3.1 Em srie
1 2
11 1 1 1
1
22 2 2 2
2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
eq
eq
eq
eq eq
FF K x x x x x
K
FF K x x
K
FF K x x
K
K K K KK
K K K K K K K K
3.2 Em paralelo
1 2
1 1
2 2
eq
eq
F K x F F F
F K x
F K x
K x 1K x 2K x 1 2eqK K K
K Kf(t)x
f(t) f(t)
Keqf(t)x
K
Kf(t)x
Keqf(t)x
4 Vibrao livre no amortecida
4.1 Equao geral 0Mx Kx
Pr dividindo tudo por M, tem-se que
2
00 0K
x x x xM
Onde 0 a frequncia natural do sistema. E tambm
2t t
t tx e x e
Substituindo na equao geral acima, tem-se que
2 2 2
0
00
0t t tt t
x e x e e
As razes possveis sero
2 2 2
0 0 1,2 ou 0 ou , onde 1i i
4.1.1 Equao do deslocamento 0 0i t i t
tx Ae Be
Utilizando a formula de Euler
cos sinie i
Substituindo a expresso acima, na expresso do deslocamento, tem-se que
1 2
0 0 0 0
0 0
2 2
cos sin cos sin
cos sin
e -
t
a C b C
x A t i t B t i t
A B t A B i t
onde
A a bi B a bi
Ento, tem-se que a equao geral do deslocamento, para vibrao livre no amortecida ser
1 0 2 0cos sintx C t C t
Onde 0cos t e 0sin t so funes harmnicas.
4.1.2 Frequncia natural do sistema
0
K
M
4.2 Movimento Harmnico
4.2.1 Frequncia
f = 01
2Hz
s
4.2.2 Perodo
f0
0 0
1 2T seg
4.3 Problemas de valor inicial
4.3.1 Condies iniciais
0 00 0 e x x x v
Ao derivar a equao do deslocamento, tem-se que
1 0 0 2 0 00sin cosx C t C t
Sabendo que as constantes 1C e 2C possuem os valores abaixo
1 00
02 0 0 20
0
x C x
vx C v C
Tem-se que a expresso do deslocamento, substituindo os valores das constantes, tem-se que
00 0 0
0
cos sint
vx x t t
4.3.2 Grficos
Para 0 0v , tem-se que
0 0 0
0
0cos sin
tx x t t 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0
2 2
0 0 0 0 0
0
cos
0sin cos sin
0cos sin
t
t t
t
x x t
x x t t x x t
x x t t 20 0 0costx x t
`
2 rad
Para 0 00 e 0x v , tem-se que
0 00 0 0
0 0
0cos sin sint t
v vx t t x t
4.4 Plano de fases
5L?/6
x0
-x0
x0
5L?/6
-x0
x0
-x0
5L?/6
v0/
-v0/
t
Energia total
2
2 2
E T U cte
Mx Kxc
Velocidade
2 22
2 2
0
22
2 2
2
Kxc
Mx Kxc x
M
cx x
M
`
0
0
sin
cos
t
t
x c t
x c t
Condies iniciais
Para 0t
2 22 20 00 0
2 2 2
0 0 0
22 2
2
Mv Kxc Mv Kx c
cv x
M
M
2 2 2 2 2
0 0 0x v x x
Sabendo que
x0
-x0
x(t)
x(t)
x0-x0
x
x0
-x0
t
v0
-2 /2- /
xmx
0 0
0
0 0
0
0
0
2 2
2 2 20 00 0
0 0
sin cos cos sin
sin
cos
x c t t
c xx
tgvc v
v vc x c x
5 Movimento livre amortecido
x 00
00
X
v V
5.1 Equao do movimento
2
0
0
0
Mx Cx Kx
Cx x x
M
M
Onde,
t
tx ce
Ento, substituindo a expresso anterior na equao do movimento, tem-se que
0
0
2 2
0 0tC ce
M
Deste modo, os valores das razes podero ser encontrados pela seguinte expresso
2
2
1,2 0
sinal de Rreal
C C
M M
Baseado na expresso acima, pode-se concluir que
1,2
1,2
0 par complexo conjugado ( ), funo hamnica
0 duas razes reais distintas, funo no harmnica
0 Caso lmite amortecimento crtico cr
R a bi
R
R c
Sendo assim, o amortecimento critico pode ser calculado da seguinte forma
c*cos
c*sin
K
c
M
a/ 0
20%
1
0 022cr
cr
cc M
M
Para obter duas razes reais e iguais, tem-se que
2crc MK
5.2 Coeficiente de amortecimento
02
0
22cr
c cc M
c M
A equao do movimento, substituindo o valor de c, tem-se que
2 2
0 02 0x x x
Ento, os valores das razes podem ser calculados a seguinte maneira
20
12 2 2 2 2
1,2 0 0 0 0 0
1
1 , 1
a
i para
Onde a a frequncia natural amortecida.
5.3 Equao do deslocamento
0
no amortecidoamortecido
cos sint a atx e A t B t
00x A X
Para encontrar a equao da velocidade, basta derivar uma vez, pela regra da cadeira, a
expresso do deslocamento, apresentada anteriormente.
0
0
0 cos sin
sin cos
t
a at
t
a a a a
x e A t B t
e A t B t
Aplicando a condio inicial de velocidade, no tempo zero0
v , pode-se encontrar a expresso
para calcular a constante B.
01 1
0
00cos 0 sin 0a ax e A B
0
1
0 sin 0a ae A
1
0
cos 0a a
a
B
A B
Da pode-se ter que
0 00,
a
v AB onde A X
De posso das constantes A e B, substitui na expresso do deslocamento. Tem-se que
0 0 0 00 cos sin
t
a at
a
v Xx e X t t
O perodo angular medido de acordo com a seguinte expresso.
2a
a
T
O deslocamento tambm pode ser calculado pela seguinte expresso
0 costat
x Ce t
Onde C amplitude e o ngulo de fase e podem ser medidos da seguinte maneira
v0 TdA
B
XA XB
X0 e- t
-e- t
22 0 0 0 0 0 00
0
tana a
v X v XC X
X
Onde a relao A
B
X
X dada pela expresso
A
B
X C
X C 0 0 0 02
1 1
a
Tee e 0
2
2
2 2
2
1
2
1 1
1e
e
5.4 Fator de amortecimento Para que seja calculado o fator de amortecimento, pode-se utilizar o decremento logartmico
2
2ln
1
B
A
X
X
De posse do decremento logartmico, pode-se calcular o fator de amortecimento
2 24
Quando 1 22
1ln m
A
X
N X
Para o caso critico, tem-se que
0
1,2 0 tx e A Bt
0,2
Caso Experimental
Para a soluo no oscilatria, a expresso para o deslocamento ser
0
0 0 0 0tx e X v X t
5.5
v0X0