RESUMO CARGAS AXIAIS

Arion Monteiro Bach

Jonatan Jose Fernandes Dias

Rafael Almeida Celestino de Matos

Vinicius de Lima da Silva

Walison Junior Bezerra da Silva

1. PRINCPIO DE SAINT-VENANT

Este princpio explica o comportamento da distribuio de tenso e da

deformao num determinado material. Vejamos a Figura 1 como exemplo:

Figura 1 Comportamento do material quando uma fora axial aplicada

Pelo princpio, para as sees a-a, b-b e c-c, a distribuio de tenso e a

deformao sero diferentes em toda sua rea transversal. Mas, em uma distncia

suficientemente distante do ponto de aplicao da carga, sero uniformes. Assim, a

seo c-c, que est distante o bastante do ponto da carga, ter como tenso mdia:

= / e uma fora resultante de mesma amplitude da carga.

No caso de duas ou mais foras simtricas sendo aplicadas no material, a

distribuio resultante e a deformao tambm sero uniformes em uma regio distante

do ponto de aplicao da fora. Observamos isto na Figura 2.

Figura 2 Tenso mdia quando aplicada duas foras simpetricas

Portanto, o princpio de Saint-Venant afirma que as deformaes no material

causadas por uma fora axial sero atenuadas em uma regio suficientemente distante

do ponto de aplicao da carga, assim como a distribuio de tenso neste ponto ser

uniforme e igual qualquer outra carga estaticamente equivalente dentro desta mesma

rea.

2. DEFORMAO ELSTICA DE UM ELEMENTO SUBMETIDO

A CARGA AXIAL

Utilizando as definies da tenso e da deformao, podemos desenvolver uma

equao para determinar a deformao elstica de um elemento submetidos a cargas

axiais. Considerando a barra demonstrada na Figura 3, cuja rea da seo transversal

varia gradativamente ao longo de seu comprimento L. A barra est sueita a cargas

concentradas em suas extremidades. O objetivo ser determinar o deslocamento relativo

de uma das extremidades da barra em relao a outra.

Figura 3 Deformao elstica em material no uniforme

Sendo assim, podemos relacion-las usando a Lei de Hooke, ou seja:

=

Mas,

=()

()

E

=

Assim,

()

()=

Isolando ,

=()

()

Portando, integrando os dois lados, obtemos a expresso para determinar o

deslocamento da extremidade exigida:

= ()

()

Onde, o deslocamento de um ponto na barra relativo a um outro ponto, L a

distncia entre os pontos, P(x) a fora axial interna na seo localizada a uma distncia

x da extremidade, A(x) a rea da seo transversal da barra e E o mdulo da

elasticidade para o material.

2.1 CARGA CONSTANTE E REA DE SEO TRANSVERSAL

No caso de a rea do material ser constante, implica numa rea de seo

transversal e mdulo de elasticidade constantes. Ento, se uma fora externa aplicada

ao material for constante, a fora interna P tambm ser constante. Portanto, a

expressopara determinar o deslocamento do material resultante da integral ser:

=

Caso a barra seja submetida a outras foras axiais diferentes, a equao acima

poder ser aplicado a cada segmento da barra atravs da adio algbrica dos

deslocamentos das extremidades de cada segmento. Assim:

=

2.2 CONVENO DE SINAIS

Para a conveno de sinais da equao anterior, a fora e o deslocamento no

material so positivos se provocarem trao e alongamento ou, so negativos se

provocarem compresso e contrao, respectivamente. A Figura 4, demonstra um

exemplo desta conveno.

Figura 4 Conveno de sinais para os deslocamentos

3. PRINCPIO DA SUPERPOSIO

O princpio da superposio usado para determinar a tenso ou o deslocamento

em um ponto de um elemento quando este estiver sujeito a um carregamento

complicado. Subdividindo o carregamento em componentes, o princpio da

superposio afirma que a tenso ou o deslocamento resultante no ponto pode ser

determinado se antes se determinar a tenso ou o deslocamento causado por cada

componente da carga agindo separadamente sobre o elemento. Ento, a tenso ou

deslocamento resultante determinado pela soma algbrica das contribuies causadas

por cada uma das componentes das cargas. Para aplicar o princpio da superstio,

temos que ter vlido duas condies, sendo estas:

A carga deve estar relacionada linearmente com a tenso ou o

deslocamento a ser determinado. Por exemplo, as equaes = / e =

envolvem uma relao linear entre P e ou .

A carga no deve provocar mudanas significativas na geometria ou

configurao original do elemento. Se ocorrerem mudanas significativas, a

direo e a localizao das foras aplicadas e seus momentos mudaro e, por

consequncia, a aplicao das equaes de equilbrio daro resultados diferentes.

Como exemplo, considere a haste delgada mostrada na Figura 5, sujeita carga

P. A carga substituda por duas de suas componentes, = + . Se P

provocar uma grande deflexo na haste, como mostra a figura, o momento da

carga em torno de seu apoio, , no ser igual soma dos momentos das

componentes das cargas, + , pois .

Figura 5 Princpio da superposio

4. ELEMENTO COM CARGA AXIAL ESTATICAMENTE

INDETERMINADO

Um problema no qual as reaes podem ser determinadas atravs das equaes

de equilbrio, denominada estaticamente determinada. Em contrapartida, se o

problema tem reaes nas quais a equao de equilbrio no pode determin-las,

classificado como estaticamente indeterminado.

Para resolver estes problemas, utiliza-se o princpio da superposio e escreve-se

a equao da compatibilidade, que leva em conta a geometria de deformao do

material. Para isso, ao invs de seccionarmos o material, somamos os deslocamentos de

foras que atuam, independentemente, no membro (eliminamos momentaneamente a

reao de um apoio considerado redundante, depois consideramos ele apenas agindo).

Vamos exemplificar a condio de compatibilidade atravs da Figura 6:

Figura 6 Exemplo de condio de compatibilidade

A haste de ao tem dimetro de 5 mm e tem um apoio fixo em A. Antes de ser

carregada, existe uma folga de 1 mm entre os pontos B e B. A haste submetida a uma

carga axial P. Considerando = 200 Gpa. Para determinar as reaes em A e B

iremos utilizar a condio de equilbrio e compatibilidade.

Assim, considerando que a fora P suficientemente grande para fazer com que

a extremidade B entre em contato com B, temos:

= 0 ; + 20000 = 0

Determinamos a compatibilidade considerando que o nico deslocamento do

material seja a distncia que existe entre B e B. Portanto, a condio para a haste :

/ = 0,001

Utilizando da equao que relaciona carga e deslocamento, obtemos:

/ = 0,001 =

Substituindo os valores:

(0,4 ) (0,8 )= 3927

Atravs desta equao e da equao de equilbrio, exposta no comeo do

exemplo, chegamos aos valores:

= 16,6 = 3,4

Como positiva, podemos afirmar que o ponto B realmente entra em contato

com B. Caso fosse negativa, o problema seria estaticamente determinado, de modo que

= 20 e = 0.

5. MTODO DE ANLISE DE FORA PARA ELEMENTOS

CARREGADOS AXIALMENTE

Este procedimento tambm utilizado para resolver os problemas estaticamente

indeterminados. Utilizamos a equao de compatibilidade atravs da superposio dos

efeitos das foras atuantes no diagrama de corpo livre do elemento. Devemos escolher

um dos apoios como redundante, que neste contexto indica que o suporte no

necessrio par manter a barra em equilbrio esttico.

Na Figura 7, para no ocorrer um deslocamento em B quando os dois

carregamentos forem superpostos, devido a carga P que gera um deslocamento

reao Fb deve ser capaz de deslocar a extremidade B da barra para cima de um valor

B.

Figura 7 Mtodo de anlise de fora para elementos carregados axialmente

MTODO DE ANLISE DE FORA PARA ELEMENTOS

CARREGADOS AXIALMENTE

cedimento tambm utilizado para resolver os problemas estaticamente

indeterminados. Utilizamos a equao de compatibilidade atravs da superposio dos

efeitos das foras atuantes no diagrama de corpo livre do elemento. Devemos escolher

o redundante, que neste contexto indica que o suporte no

necessrio par manter a barra em equilbrio esttico.

ara no ocorrer um deslocamento em B quando os dois

carregamentos forem superpostos, devido a carga P que gera um deslocamento

capaz de deslocar a extremidade B da barra para cima de um valor

Mtodo de anlise de fora para elementos carregados axialmente

MTODO DE ANLISE DE FORA PARA ELEMENTOS

cedimento tambm utilizado para resolver os problemas estaticamente

indeterminados. Utilizamos a equao de compatibilidade atravs da superposio dos

efeitos das foras atuantes no diagrama de corpo livre do elemento. Devemos escolher

o redundante, que neste contexto indica que o suporte no

ara no ocorrer um deslocamento em B quando os dois

carregamentos forem superpostos, devido a carga P que gera um deslocamento p. A

capaz de deslocar a extremidade B da barra para cima de um valor

Mtodo de anlise de fora para elementos carregados axialmente

5.1 PROCEDIMENTOS DE ANLISE

Desenhar o diagrama de corpo livre e identificar todas as foas;

Verificar a compatibilidade: escolher qualquer um dos apoios como

redundante e excluir sua reao. Utilizar a relao carga-deformao =

/ para expressar os deslocamentos conhecidos do apoio redundante e do

deslocamento no apoio causado apenas pela reao redundante atuante no

elemento;

Equilbrio: escrever as equaes de equilbrio apropriadas para o

elemento e utilize o resultado calculado para a fora redundante. Resolver essas

equaes para as outras reaes.