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Resumo com exercícios resolvidos dos assuntos:

Máximos e mínimos absolutos e Multiplicador de Lagrange

(0)- Considerações iniciais:

-Grande parte das funções não possui máximos e/ou mínimos absolutos quando

consideramos todo o seu domínio. Tendo como exemplo o paraboloide elíptico abaixo:

𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥

Podemos perceber que, se considerássemos todo o plano XY, essa função não teria um ponto

de máximo absoluto, pois conforme (𝑥,𝑦) → (+∞, +∞) a função também explode!! Logo, só

podemos determinar o máximo absoluto se restringirmos o domínio dessa função.

(1)- Teorema de existência (Teorema de Weierstrass):

O teorema de Weierstrass afirma que:

Se a função (F) for contínua e seu domínio (D) for limitado e fechado,

Então F possui máximo e mínimo absoluto em D

(2)- Calculando máximos e mínimos absolutos:

Para calcularmos os valores máximos e mínimos absolutos, facilita dividir o problema:

Avaliando a primeira parte (I) , podemos achar candidatos da mesma forma que

utilizamos para calcular máximos e mínimos locais, ou seja, encontrar os pontos críticos

(∇ 𝑓 = 0 ). Dessa forma, poderemos encontrar os pontos candidatos a maximos e mínimos

absolutos no interior de D.

Avaliando a segunda parte (II), podemos proseguir de duas formas: uma muito

trabalhosa e uma bem mais tranquila. A trabalhosa é tentar reduzir a equação para uma

equação de uma variável e resolver usando Calculo 1. A tranquila é utilizar um novo método

chamado Método dos Multiplicadores de Lagrange.

Apenas dessa vez, mostraremos o método trabalhoso. Em seguida, explicaremos

como resolver usando Lagrange.

Exercicio: Ache os máximos e mínimos locais de 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥 em 𝐷: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1

Olhando os pontos dentro de D, ∇ 𝑓 = 0 ↔ 𝜕𝑓

𝜕𝑥,𝜕𝑓

𝜕𝑦 = (0,0) , logo:

𝑎) 𝜕𝑓

𝜕𝑥= 0 ↔ 2𝑥 − 1 = 0 e 𝑏)

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 0 ↔ 4𝑦 = 0

Por fim, resolvendo o sistema gerado por “a” e “b”:

𝑦 = 0 𝑒 𝑥 = 12 ↔ 𝑥,𝑦 =

1

2, 0

Olhando para a periferia de D, partimos da equação de D:

1 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ↔ 𝑦2 = 1 − 𝑥2

Substituindo 𝑦2 na equação de 𝑓(𝑥,𝑦), temos:

Candidatos à

Max abs

ou

Min abs

(I) No interior de D

(II) Na beirada de D

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2 1 − 𝑥2 − 𝑥 ↔ 𝑓 𝑥 = −𝑥2 − 𝑥 + 2, 𝑐𝑜𝑚 𝑥 𝜖[−1,1]

Para encontrar os candidatos de máximo,

𝑑𝑓

𝑑𝑥= 0 ↔ −2𝑥 − 1 = 0 ↔ 𝑥 = −1/2 , usando esse resultado em (1):

𝑦2 = 1 −1

4↔ 𝑦 = ± 3

2

Também podemos concluir que:

2 𝑥2 + 𝑦2 = 1 ↔ 𝑥2 = 1 − 𝑦2

Substituindo 𝑥2 na equação de 𝑓(𝑥,𝑦), temos:

𝑓 𝑦 = 1 − 𝑦2 + 2𝑦2 ± 1 − 𝑦2 1

2 ↔ 𝑓 𝑦 = 𝑦2 ± 1 − 𝑦2 1

2 + 1, 𝑐𝑜𝑚 𝑦 𝜖 [−1,1]

Para encontrar os candidatos de máximo,

𝑑𝑓

𝑑𝑦= 0 ↔ 𝑦 2 ±

1

1−𝑦2 = 0 ↔ 𝑦 = 0 𝑜𝑢 𝑦 = ±(

3

2), para 𝑦 = ±(

3

2), já fizemos,

substituindo 𝑦 = 0 em (2):

𝑥2 = 1 ↔ 𝑥 = ±1

Por fim, obtemos 5 candidatos para máximos e mínimos absolutos:

𝑎) −1

2, +

3

2 , 𝑏) −

1

2,−

3

2 , 𝑐) +1,0 , 𝑑) −1,0 , 𝑒) (

1

2, 0)

Para descobrirmos qual é o máximo absoluto, basta substituir os pontos em 𝑓(𝑥,𝑦) e

ver qual é o maior e o menor:

𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 = 9

4,𝑓 𝑐 = 0 ,𝑓 𝑑 = 2 , 𝑓 𝑒 = −

1

4

Analisando os resultados, podemos conluir que:

𝟗

𝟒 é o máximo absoluto e −

𝟏

𝟒 é o mínimo absoluto de 𝒇 𝒙,𝒚 em 𝑫

(2)- Método dos Multiplicadores de Lagrange:

No último exemplo, resolver pelo método trabalhoso não foi tão complicado, mas nem

sempre as funções serão tão amigáveis a esse ponto. Por isso precisamos de um método mais

eficaz.

Para a utilização do método, precisamos estabelecer uma condição entre a direção de

maior crescimento de 𝑓 (∇ 𝑓) e a superfície que delimita o domínio 𝑆. Essa relação é dada por:

(2.1) 𝜵 𝒇 ⊥ 𝑺

Essa condição é verdadeira para pontos candidatos a máximo e mínimo absoluto, pois,

ao nos deslocarmos na direção de maior crescimento de 𝑓 não observamos mudança na

posição do ponto em 𝑆.

Da condição (2.1), podemos concluir que:

𝛁 𝒇 é colinear a 𝒏 (vetor normal à 𝑆), ou seja é um múltiplo de 𝒏

Finalmente, denotando 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧,… , restringida por 𝑆:𝑔 𝑥,𝑦,… = 𝑘

(2.2) 𝛁 𝒇 = 𝝀𝛁 𝒈

Atente que essa fórmula SÓ PODE SER UTILIZADA PARA AS BORDAS DA SUPERFÍCIE QUE

DELIMITA O DOMINIO DE 𝒇, uma vez que 𝒈 𝒙,𝒚,… = 𝒌 é uma superfície de tipo

FRONTEIRA.

Vamos utilizar esse novo método para resolver o problema anterior:

Exercicio: Ache os máximos e mínimos locais de 𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥 em

𝐷: 𝑔 𝑥,𝑦 ≤ 1, 𝑔 𝑥,𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2

Para o interior de 𝒈(𝒙,𝒚), como já fizemos, ∇ 𝑓 = 0 , logo 𝑥,𝑦 = (1

2, 0)

Para a fronteira de 𝑔(𝑥,𝑦), ∇ 𝑓 = 𝜆∇ 𝑔 ↔ 𝜕𝑓

𝜕𝑥,𝜕𝑓

𝜕𝑦 = 𝜆

𝜕𝑔

𝜕𝑥, 𝜆

𝜕𝑔

𝜕𝑦 , com isso chegamos ao

sistema:

2𝑥 − 1 = 𝜆 2𝑥

4𝑦 = 𝜆 2𝑦 , um sistema gerado por (2.2) possui n equações(x,y,z,... ) e (n+1) incognitas

(x,y,z,..., 𝜆). Logo, para acharmos um conjunto discreto de soluções, precisamos de mais uma

equação. Se prestar atenção, nós já possuimos essa equação extra: 𝑔 𝑥,𝑦, 𝑧,… = 𝑘.

Levando isso em conta:

2𝑥 − 1 = 𝜆 2𝑥4𝑦 = 𝜆 2𝑦

𝑥2 + 𝑦2 = 1

, utilizando a segunda equação do sistema, encontramos que: 𝜆 = 2 ou 𝑦 = 0.

Usando 𝜆 = 2, na primeira equação, chegamos que: 𝑥 = −12 , usando 𝑥 na terceira

equação, obtemos: 𝑦 = ± 32

Usando 𝑦 = 0 na terceira equação, obtemos : 𝑥 = ±1 .

Por fim,

𝑎) −1

2, +

3

2 , 𝑏) −

1

2,−

3

2 , 𝑐) +1,0 , 𝑑) −1,0 , 𝑒) (

1

2, 0)

𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 = 9

4,𝑓 𝑐 = 0 ,𝑓 𝑑 = 2 , 𝑓 𝑒 = −

1

4

(3)- Outras aplicações do Método dos Multiplicadores de Lagrange:

Existe uma gama de exercícios que podem ser resolvidos usando o método. O que será

cobrado em Calculo 2 será a maximização de funções de mais de uma variável.

Exemplo: Encontre as dimensões máximas e o volume máximo de um paralelepípedo

inscrito no elipsoide: 𝑔 𝑥,𝑦, 𝑧 : 𝑥2

9+

𝑦2

4+

𝑧2

1= 1

Para resolver esse problema é necessário escrever a fórmula do volume do paralelepípedo

que, assim como o elipsoide, deve ser centrado na origem. Observe a imagem:

Temos 𝑉 = 𝑓 𝑥,𝑦, 𝑧 = 2𝑥2𝑦2𝑧 = 8𝑥𝑦𝑧, restrita por 𝑔 𝑥,𝑦, 𝑧 : 𝑥2

9+

𝑦2

4+

𝑧2

1= 1

Logo, utilizamos Lagrange: ∇ 𝑓 = 𝜆∇ 𝑔 com:

∇ 𝑓 = 8𝑦𝑧, 8𝑥𝑧, 8𝑥𝑦 𝑒 ∇ 𝑔 = (2

9𝑥,

1

2𝑦, 2𝑧), chegando ao sistema:

8𝑦𝑧 = 𝜆

2

9𝑥

8𝑥𝑧 = 𝜆1

2𝑦

8𝑥𝑦 = 𝜆2𝑧

↔ 4𝑦𝑧 = 𝜆

1

9𝑥

16𝑥𝑧 = 𝜆 𝑦4𝑥𝑦 = 𝜆 𝑧

Para resolver esse sistema, usaremos o método de eliminação de fatores 𝜆, observe:

- Dividindo a segunda equação pela terceira:

16𝑥𝑧

4𝑥𝑦=𝜆𝑦

𝜆𝑧 ↔ 4𝑧2 = 𝑦2 ↔ 𝑧 =

𝑦2

Lembre-se que x, y e z são grandezas unicamente positivas, uma vez que são lados do

paralelepípedo. Por isso, ao tirar raiz quadrada dos dois lados, os termos ficam positivos!

- Dividindo a primeira equação pela segunda:

4𝑦𝑧

16𝑥𝑧=𝜆𝑥9

𝜆𝑦 ↔ 𝑦2 =

4

9𝑥2 ↔ 𝑦 =

2

3𝑥

Juntando as equações geradas, obtemos as relações entre x, y e z no volume máximo. São elas:

𝑉𝑚𝑎𝑥 = 2𝑥 ∙ 2𝑦 ∙ 2𝑧 = 2𝑥 ∙4

3𝑥 ∙

2

3𝑥

Resta agora descobrir o valor de x. Podemos utilizar então as relações entre x, y e z na equação

de 𝑔 𝑥,𝑦, 𝑧 = 1 obtendo:

𝑥2

9+𝑥2

9+𝑥2

9= 1 ↔ 3𝑥2 = 9 ↔ 𝑥 = 3

Finalmente:

𝑉𝑚𝑎𝑥 = 2 3 ∙4

3 3 ∙

2

3 3 ↔ 𝑽𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟔 𝟑

𝟑

Bons Estudos!!

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