I – ÂNGULOS 1. Definição - é a reunião de duas semi-retas de mes-

ma origem.

Ângulo AÔB, onde AO e BO são os lados e O é o vértice. 2. Abertura do ângulo – os ângulos são medidos em

graus ou radianos que são as unidades mais impor-tantes. ⇒ uma volta = 360°

[1° = 60 minutos( ‘ ) e 1’ = 60 segundos ( “ )] ⇒ uma volta = 2.π radianos.

3. Classificação de ângulos quanto à medida ( αααα)

⇒ agudo - 0° < α < 90° ⇒ reto - α = 90° ⇒ obtuso - 90° < α < 180° Obs.: ângulo raso = 180°.

4. Ângulos complementares e suplementares.

⇒ complementares - são dois ângulos cuja soma das medidas é 90°.

⇒ suplementares – são dois ângulos cuja soma das medidas é 180°.

Obs .: Se a medida de um ângulo é α, então: 90°– αααα = complemento de α. 180° – αααα = suplemento de α.

5. Ângulos adjacentes e opostos pelo vértice.

⇒ adjacentes – são dois ângulos que possuem apenas um lado em comum.(As regiões internas são disjuntas).

⇒ opostos pelo vértice (OPV) - são dois ângulos cujos lados de um deles são as respectivas se-mi-retas opostas aos lados do outro.

Obs.: Dois ângulos OPV têm medidas iguais. 6. Bissetriz de um ângulo – a bissetriz de um ângulo é

a semi-reta de origem no vértice do ângulo que o di-vide em dois ângulos de mesma medida (congruen-tes).

7. Ângulos formados por duas retas paralelas e uma

transversal.

⇒ ângulos alternos internos: θ e b, λ e a. ⇒ ângulos alternos externos: α e d, β e c. ⇒ ângulos correspondentes: α e a, β e b, θ e c, λ e d. ⇒ ângulos colaterais internos: θ e a, λ e b. ⇒ ângulos colaterais externos: α e c, β e d.

Observações:

8. Teorema angular de Tales

αααα = ββββ

ββββ

αααα bissetriz

ββββ = θθθθ = b = c αααα = λλλλ = a = d ββββ + αααα = θθθθ + λλλλ = 180° a + b = c + d = 180° θθθθ + a = λλλλ + b = 180° αααα + c = ββββ + d = 180°

αααα ββββ

θθθθ αααα + ββββ + θθθθ = 180°

Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes.

A

C

B O

AÔB e CÔD – OPV

A

B D

O

C

α βα βα βα β

θθθθ λλλλ

c d a b

r //

r

s

t

A

O B

Geometria Plana - Resumo teórico

By Kovest : https://twitter.com/Kovest

2

9. Teorema do ângulo externo Obs.: Num triângulo isósceles, os ângulos da base têm a mesma medida. REMA DE TE TALES II – TEOREMA E TALES REMA DE TALES “Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então dois segmentos quaisquer de uma delas são proporcionais a dois segmentos correspondentes da outra”. Obs.: O teorema de Tales pode aparecer “disfarçado” em vá-rias situações aplicáveis na prática. Observe as figuras abaixo:

III – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.

k é a constante de proporcionalidade ou razão de

semelhança dos triângulos ABC e A’B’C’. Obs.: É fácil concluir que semelhança de triângulos é explicada pelo Teorema de Tales. IV – TRIÂNGULO RETÂNGULO Consideremos o triângulo retângulo ABC , sendo: BC – hipotenusa. AB e AC – catetos. AH – altura relativa à hipotenusa BH – projeção ortogonal de AB sobre BC. CH – projeção ortogonal de AC sobre BC.

1º) ∇ ABC ∼ ∇ BHA ⇒ mc

hb

ca == ⇒

=

=

(1) a.mc

bcah2

2º) ∇ ABC ∼ ∇ BHC ⇒ hc

nb

ba == ⇒ { a.nb 2 = (2)

3º) ∇ ABH ∼ ∇ BHC ⇒ hm

nh

bc == ⇒ { h² = m.n

Teorema de Pitágoras Das equações (1) e (2), teremos que:

b² + c² = a.m + a.n = a(m + n) = a.a = a² ⇒

Ou seja: “ O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos cate-tos”.(Teorema de Pitágoras).

“Num triângulo qualquer, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes”.

αααα ββββ

θθθθ

∅∅∅∅

∅∅∅∅ = αααα + θθθθ

αααα ββββ

base

αααα = ββββ x

r s t w

m n

A E

B F

C G

D H

hipótese: r//s//t//w, m e n transversais.

tese: FGEF

BCAB =

Se MN // BC ⇒⇒⇒⇒ BCMN

ACAN

ABAM ==

∇∇∇∇ ABC ∼∼∼∼ ∇∇∇∇ A’B’C’ ⇔⇔⇔⇔ kC'B'

BCB'A'

ABC'A'

AC ===

A

M N

B C

C B

A

N M

A

a

α

β α

β

h

m H

n

b c

B C

a² = b² + c²

αααα

θθθθ

θθθθ

A

C

C’

A’

B’

B

ββββ ββββ αααα

3

θ

E

C

D B

A

θ

α β

V – ÂNGULOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

1. ÂNGULO CENTRAL É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da

circunferência.

A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que seus lados delimitam na circunferência cujo centro coincide com o seu vértice.

2. ÂNGULO INSCRITO É todo ângulo cujo vértice pertence à uma circunfe-

rência e os seus lados são retas secantes desta.

A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que seus lados delimitam na circunferên-cia.

Obs.: Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. Ou seja, se um triângulo é inscrito numa semicir-cunferência, então ele é retângulo.

3. ÂNGULO ENTRE DUAS CORDAS (vértice in-terno)

4. ÂNGULO ENTRE DUAS SECANTES (vértice ex-terno)

5. ÂNGULO DE SEGMENTO É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, onde um de seus lados é uma secante e o outro tan-gente à circunferência num dos pontos onde a secan-te corta a circunferência.

Teorema do quadrilátero inscritível

“Se um quadrilátero é inscrito em um círculo, então seus ângulos são suplementares”.

Observação:

“ Em todo quadrilátero inscritível, o produto das diago-nais é igual à soma dos produtos dos lados opostos”. (Teorema de Hiparco). Demonstração: Consideremos as diagonais AC e BD e um segmento de reta AE, com extremidade E na diagonal BD, tal que α = β.

O – centro

90°

O

αααα = med AB O

B

A

α

α

A

B

V

2CDAB

α−=

C

D

α V 2

CDABα

+=

B

A

C

D

B

αααα = med(AB)/2 C

A

α

A

B

C

α

O

αααα = med(AB)/2

A

D

C B

β

α 2ABC=α e

2ADC=β

Como ADC + ACD = 360º Então: α + B = 180º

4

Dessa forma, teremos ∆ABC ∼ ∆ADE. Logo, podemos

afirmar que EDBC

ADAC = ⇒ AC.ED = AD.BC (I)

Da mesma forma, teremos ∆ABE ∼ ∆ADC. Daí, tere-

mos BECD

ABAC = ⇒ AC.BE = AB.CD (II)

Adicionando, membro a membro, as igualdade (I) e (II), vem: AC.(BE + ED) = AB.CD + AD.BC

Como BE + ED = BD, obtemos:

IX – POTÊNCIA DE UM PONTO

1. DUAS SECANTES COM O PONTO INTERIOR

Dica : O triângulo APB é semelhante ao triângulo PCD

2. DUAS SECANTES COM O PONTO EXTERIOR

Dica: O triângulo PAC é semelhante ao triângulo PBD.

3. UMA SECANTE E UMA TANGENTE

A reta que passa por A e P é tangente à circunferên-cia no ponto A. Observe que AO ⊥ PA, sendo AO o raio da circunferência.

Dica: Como no caso 2, temos PA.PA = PB.PC.

4. DUAS RETAS TANGENTES

Obs.: Nesse caso PA = PB.

VI – POLÍGONOS CONVEXOS Observando o polígono ABCD ... da figura anterior, tere-mos: 1. ELEMENTOS ⇒ A, B, C, D, ... – vértices do polígono. ⇒ AB, BC, CD, … – lados do polígono. ⇒ AC, AD, BD, ... – diagonais do polígono. ⇒ i1, i2, i3, ... – medidas dos ângulos internos. ⇒ e1, e2, e3, ... – medidas dos ângulos externos.

i1

• • •

A e4

i4

i3 i2

e2

e1

e3

D

C B

D

P PA.PC = PB.PD

B

A

C

B

A

P

C

D

PA.PD = PB.PC

O

A

O

C

(PA)2 = PB.PC

P

B

A

O (PA)2 = (PB)2

P

B

AC.BD = AB.CD + AD.BC

5

i = S i / n

e= Se / n

2. NOMENCLATURA – quanto ao número de lados. ⇒ triângulo – 3 lados. ⇒ quadrilátero – 4 lados. ⇒ pentágono – 5 lados. ⇒ hexágono – 6 lados. ⇒ heptágono – 7 lados. ⇒ octógono – 8 lados. ⇒ eneágono – 9 lados. ⇒ decágono – 10 lados. ⇒ undecágono – 11 lados. ⇒ dodecágono – 12 lados. ⇒ icoságono – 20 lados.

3. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS (S i) Considerando um polígono convexo de n lados, se traçarmos todas as diagonais de um vértice, o polígono fica dividido em n-2 triângulos. Desta forma, como a so-mados ângulos internos de um triângulo é 180°, a so ma dos ângulos internos do polígono será dada por: 4. SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS (S e)

Em cada vértice do polígono convexo, a soma do ângulo interno com o ângulo externo é 180°. Ou seja :

i1 + e1 = 180° i2 + e2 = 180° i3 + e3 = 180° ... ... ... in + en = 180º Assim teremos: i1 + i2 + i3 + ... in + e1 + e2 + e3 + ... + en = n.180° Si + Se = n.180° ⇒ (n-2).180° + S e = n.180°

Simplificando, teremos:

Obs.: Num polígono regular, lados e ângulos são congruentes. Logo, teremos: i1 = i2 = i3 = ... = i ⇒ e1 = e2 = e3 = ... = e ⇒ 4. NÚMERO DE DIAGONAIS DO POLÍGONO Diagonal é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono convexo. Portanto, (n – 3) é o número de diagonais que saem de cada vértice. Ou seja, de um vértice não sai diagonal para ele mesmo e nem para os dois vértices consecutivos a ele. Conclui-se, então, que o número total de diagonais de um polígono convexo de n vértices é dado por:

Obs.: Os polígonos regulares são inscritíveis e cir-cunscritíveis. Neste caso, observa-se que o centro do polígono coincide com os centros das circunferências inscrita e circunscrita. Pode-se observar também que, para n par, o número de diagonais do polígono que pas-sam pelo centro é n/2 onde n é o número de vértices do polígono. VII – PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO 1. BARICENTRO

É o ponto de equilíbrio ou centro de gravidade do tri-ângulo.

O baricentro coincide com o ponto de intersecção das medianas do triângulo (na figura a seguir = G).

Mediana – é o segmento de reta que une um vértice ao

ponto médio do lado oposto.

AM – mediana relativa ao lado BC BN – mediana relativa ao lado AC CP – mediana relativa ao lado AB M – ponto médio de BC N – ponto médio de AC Se MN // AB ⇒ ∇ MNG ∼ ∇ABG

Como AB = 2.MN ⇒

===

2.GP CG

2.GN BG

2.GM AG

Observações: a) Uma mediana divide o triângulo em dois triângulos de

mesma área;

Veja: Os triângulos AMC e AMB têm CM = CB e AH como altura.

b) As três medianas dividem o triângulo em seis triângu-

los de mesma área.

Si = (n – 2).180°

Se = 360°

2)3n.(n

D−=

} ⇒ MN // AB e AB = 2.MN

A

C B M H

A5

A1

A6 A3

A2

A4

G

P N

B

M

A

C

6

A

B

C r

s

O

⇒ I é o incentro do ∇ABC

A

C B M O

A

C B

Como conseqüência da propriedade a), temos que A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6. 2. INCENTRO

É o centro da circunferência inscrita no triângulo. O incentro coincide com o ponto de intersecção das

bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo. Bissetriz interna – é o segmento de reta que une um vértice com o lado oposto formando dois ângulos de mesma medida. AM – bissetriz do ângulo  BN – bissetriz do ângulo B CP – bissetriz do ângulo C Observação: 1) Teorema das bissetrizes internas: “ A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos de reta de medidas proporcionais aos dois lados que formam o referido ângu-lo.” Se AM é a bissetriz do ângulo Â, então, pode-se afir-mar que:

2) Teorema da bissetriz externa “Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes”. :

3. CIRCUNCENTRO

É o centro da circunferência circunscrita no triângulo. O circuncentro coincide com o ponto de intersecção

das mediatrizes dos lados do triângulo. Mediatriz de um segmento de reta – é o lugar geométri-

co do plano cujos pontos são eqüidistantes dos extre-mos do segmento.

r – é a mediatriz do lado BC s – é a mediatriz do lado AB O = r ∩ s – Circuncentro do triângulo ABC

Então, AO, BO e CO são segmentos de reta que têm a mesma medida do raio da circunferência que pas-sa por A, B e C.

Observação: Num triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto mé-dio da hipotenusa e a mediana relativa à hipotenusa tem o comprimento do raio da circunferência circunscrita. (AO = BO = CO = raio, onde BO é a mediana relativa à hipo-tenusa). 4. ORTOCENTRO

Éo ponto de intersecção das alturas de um triângulo.

I

P N

B M

A

C

ABBM

ACCM =

O

A

P N

C B M

CDAC

ADAB =

C

α

α

A

B D

7

AB = BC = CD = DA

I3 e3 C C

D

B

A

AM – é a altura relativa ao lado BC. BN – é a altura relativa ao lado AC. CP − é a altura relativa ao lado AB. O – é o ortocentro do triângulo ABC. Observações: 1ª) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e, no triângulo obtusângulo, é um ponto exte-rior ao triângulo. 2ª) O triângulo cujos vértices são os pontos M, N, P é chamado de triângulo órtico. O ortocentro (O) do triângu-lo ABC é o incentro do triângulo órtico. Ou seja, a circun-ferência inscrita no triângulo MNP tem centro no ponto O. 3ª) Os pontos A, P, M e C pertencem à circunferência de diâmetro AC. Assim como os pontos A, N, M e B perten-cem à circunferência de diâmetro AB e os pontos B, P, N e C pertencem à circunferência de diâmetro BC. VIII – QUADRILÁTEROS 1. DEFINIÇÃO É o polígono que possui quatro lados. Para o nosso estudo, vamos considerar apenas os quadriláteros con-vexos.

Onde: A, B, C, D – vértices do quadrilátero; i1, i2, i3, i4 – ângulos internos; e1, e2, e3, e4 – ângulos externos; AB, BC, CD, DE – lados do quadrilátero; AC, BD – diagonais do quadrilátero.

2. TIPOS DE QUADRILÁTEROS 2.1. PARALELOGRAMO

É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Propriedades: ⇒ Os lados opostos de um paralelogramo são congru-

entes; ⇒ Os ângulos opostos de um paralelogramo são con-

gruentes; ⇒ As diagonais de um paralelogramos cortam-se no

ponto médio; ⇒ Os triângulos AMB e CMD são congruentes assim

como os triângulos AMD e BMC. 2.1.1. RETÂNGULO

É o paralelogramo que tem os quatro ângulos retos. Conseqüentemente suas diagonais têm a mesma medi-da.

2.1.2. LOSANGO

É o paralelogramo que tem os quatro lados congruen-tes entre si. Conseqüentemente as diagonais são per-pendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos inter-nos do losango.

2.1.3. QUADRADO

É o paralelogramo que tem os quatro lados e os qua-tro ângulos congruentes entre si. Então o quadrado é um losango e um retângulo ao mesmo tempo.

O

A

P N

C B M

e3

A

i2

e4

e2

e1

i3

i4

i1

B

C

D

A

D

M

B

C

A

D

C

B

AC = BD

8

AC = BD

AB=BC=CD=DA

AC ⊥⊥⊥⊥ BD

A

D

B

C

Podemos então dizer que suas diagonais são congru-entes e perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos internos.

2.2. TRAPÉZIO

É o quadrilátero que tem dois lados paralelos entre si. Vamos considerar os trapézios que têm apenas dois lados paralelos entre si, os quais denominaremos de bases.

2.2.1. TIPOS DE TRAPÉZIOS:

⇒⇒⇒⇒ ESCALENO

⇒⇒⇒⇒ ISÓSCELES

⇒⇒⇒⇒ RETÂNGULO

2.2.2. BASE MÉDIA

É o segmento de reta que liga os pontos médios dos lados não paralelos.

MN – base média do trapézio;

M e N – pontos médios dos lados AB e BC.

2.2.3. BASE DE EULER

É o segmento de reta que liga os pontos de inter-secção das diagonais com a base média do trapézio.

EF – base de Euler.

Demonstração da base de Euler:

∇ DAB ∼ ∇DME

Como AD = 2.DM ⇒ AB = 2.ME

∇ ABC ∼ ∇ FNC ⇒

Como BC = 2.NC ⇒ AB = 2.NF

Temos que EF + ME + FN = MN

Então, como ME = NF = AB/2 ⇒ EF = MN – AB ⇒

EF = (AB + CD)/2 – AB ⇒ EF = (CD – AB)/2.

Conclusão: c.q.d.

2

AB- CDEF =

ME = NF

A

AB //

CD

D

B

C

AB //

CD

A

D

B

C

AB// CD

A

D

B

C

C 2

CDABMN

+=

A

D

B

M N

2

AB- CDEF =

A

D

B

C

M E

N F

9

X – ÁREA DE FIGURAS PLANAS.

1. PARALELOGRAMO

2. RETÂNGULO

3. QUADRADO

4. LOSANGO

5. TRAPÉZIO

6. TRIÂNGULO

6.1. DADOS A BASE E A ALTURA

6.2. DADOS OS TRÊS LADOS (Heron)

6.3. DADOS DOIS LADOS E O ÂNGULO FORMADO POR ELES

Obs.: b.senα = h ⇒ altura

6.4. DADOS O PERÍMETRO E O RAIO DO CÍRCULO INSCRITO

p – é o semiperímetro do triângulo

6.5. DADOS OS TRÊS LADOS E O RAIO DO CÍRCULO CIRCUNSCRITO.

b

h 2

bxhA =

2Dxd

A =

D

d

α 2

a.b.sen αA =

b

a

r

A = p.r

A = a2

a

a

4.Ra.b.c

A = R

a

b

c

b

h 2b).h(a

A+=

a

h A = b.h

b

A = b.h h

b

c)b).(pa).(pp.(pA −−−=

Onde: 2

cbap

++=

c

a b

10

7. CÍRCULO

7.1. SETOR CIRCULAR

7.2. SEGMENTO CIRCULAR

2α.R

A2

=

360ºα.π.R

A2

=

Em graus:

Em radianos:

Asegm. = A setor – A ∆∆∆∆ ABO

A

B

R

A = ππππ.R2