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7/17/2019 RESUMO_41897726821_ptg (1) http://slidepdf.com/reader/full/resumo41897726821ptg-1 1/1  XXVI Congresso de Inici ação Científica Introdução à Geometria Diferencial: Teorema Fundamental das Curvas Daniel Silva Costa Ferreira, João Carlos Ferreira Costa (orientador), Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, câmpus de São José do Rio Preto, Matemática, [email protected] , PET/MEC.  Palavras Chave: curva, curvatura, torção. Introdução Este trabalho é um estudo sobre o Teorema Fundamental das Curvas, o qual viabiliza obter uma curva espacial a partir de duas funções diferenciáveis, sendo uma delas estritamente positiva. Assim, definindo o conceito de curvatura e torção, podemos encontrar uma curva a partir das mesmas, a menos de um movimento rígido. Material e Métodos Metodologia utilizada: estudos individuais, reuniões semanais com o orientador e pesquisas bibliográficas. Resultados e Discussão Definição 1. Uma curva parametrizada diferenciável de  é uma aplicação diferenciável , de classe С , de um intervalo aberto  ⊂ ℝ em . A variável é o parâmetro da curva, e o subconjunto de  formados pelos pontos (), ,  é o traço da curva. Definição 2. Seja : → ℝ  uma curva parametrizada diferenciável. O vetor () = () = ((), ( )) é chamado vetor tangente a  em t Definição 3.  A curva : → ℝ é regular  se ∀ ∈ , ( )  ≠  0. Definição 4. Uma curva regular : → ℝ  está parametrizada pelo comprimento de arco se ∀ ∈ , | ( )| =1 .  A partir de agora trataremos α como uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco. Definição 5.  A curvatura de em  é o número real () =| ′′()|. Definição 6. Seja : → ℝ  tal que () > 0 . O vetor () = () ()  é denominado vetor normal a  em s. Definição 7. Seja : → ℝ  tal que () > 0 . O vetor binormal  a  em s é () = () × (). O referencial ortonormal ( ),   ( ),  () é o triedro de Frenet da curva  em s. Definição 8. O número real ( ) definido por () = () ( ) é denominado torção da curva em s. Definição 9. Observe que () = ()(),   ( ) = () ( ). Como () = () × (),  derivando temos () = () × () + ()(). Substituindo b’ e t’ pelas expressões acima, obtemos () = () () − ( ) ().  Assim, se : → ℝ  é uma c urva, as equações () = ()(),   () = () () − ( ) (), () = ()( ). são denominadas fórmulas de Frenet. Teorema 1. (Teorema Fundamental das Curvas) a) Dadas duas funções diferenciáveis, ( ) > 0  e () ,   ∈ ⊂ ℝ,  existe uma curva regular ( ) parametrizada pelo comprimento de arco, tal que ()  é a curvatura e ()  é a torção de  em s. b) A curva ()  é única se fixarmos um ponto ( ) =  ∈ ℝ , ( ) = , ( ) = ( ) ,  onde  e  são vetores ortonormais de . c) Se duas curvas ()  e () têm a mesma curvatura e torção (a menos de sinal), então  e  são congruentes. Exemplo 1. Vamos determinar a curva cuja curvatura é dada por () =  e torção () = 0.  Pelas fórmulas de Frenet, temos () = () , () = 1 2 ().  Resolvendo a EDO acima, concluímos que () = (sin2 ,cos2 ,0) . Como () = (),  então () = ∫ ′ ( )  . Portanto, () = cos2 , sin2 ,0 é uma solução para a curva desejada, a menos de um movimento rígido. Conclusões Este trabalho possibilitou o estudo do Teorema Fundamental das Curvas, que é uma ferramenta importante no estudo da Teoria de Singularidades, além de outros conceitos matemáticos avançados.  Agradecimentos  Ao PET/MEC pelo apoio financeiro. [1]Tenenblat, K . Introdução à Geometria Difencial . 2.ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2008.

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descreve o teorema fundamental das curvas

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XXVI Congresso de Inici ação Científi ca 

Introdução à Geometria Diferencial: Teorema Fundamental das Curvas

Daniel Silva Costa Ferreira, João Carlos Ferreira Costa (orientador), Instituto de Biociências, Letras e

Ciências Exatas, câmpus de São José do Rio Preto, Matemática, [email protected],

PET/MEC. 

Palavras Chave: curva, curvatura, torção. Introdução

Este trabalho é um estudo sobre o Teorema

Fundamental das Curvas, o qual viabiliza obter uma

curva espacial a partir de duas funções

diferenciáveis, sendo uma delas estritamente

positiva. Assim, definindo o conceito de curvatura e

torção, podemos encontrar uma curva a partir das

mesmas, a menos de um movimento rígido.

Material e Métodos

Metodologia utilizada: estudos individuais, reuniões

semanais com o orientador e pesquisas

bibliográficas.

Resultados e Discussão

Definição 1. Uma curva parametrizada diferenciável 

de ℝ é uma aplicação diferenciável , de classe С,de um intervalo aberto  ⊂ ℝ em ℝ. A variável ∈ é o parâmetro  da curva, e o subconjunto de

ℝ formados pelos pontos (), ∈ , é o traço  dacurva.

Definição 2. Seja : → ℝ  uma curvaparametrizada diferenciável. O vetor () = () =(′(),′()) é chamado vetor tangente a  em t Definição 3.  A curva : → ℝ é regular   se ∀ ∈

,′() ≠  0. Definição 4.  Uma curva regular : → ℝ  estáparametrizada pelo comprimento de arco se ∀ ∈ ,|′()| = 1.

 A partir de agora trataremos α  como uma curvaregular parametrizada pelo comprimento de arco.

Definição 5.  A curvatura de em ∈  é o númeroreal () = |′′()|.Definição 6. Seja : → ℝ tal que () > 0. O vetor

() =()

() é denominado vetor normal a  em s.

Definição 7. Seja : → ℝ tal que () > 0. O vetorbinormal a  em s é () = () × ().

O referencial ortonormal (),  (),  () é o triedrode Frenet da curva  em s.

Definição 8. O número real () definido por () =()() é denominado torção da curva em s.Definição 9. Observe que

() = ()(), () = ()().

Como

() = () × (), 

derivando temos() = () × () + ()′().

Substituindo b’ e t’ pelas expressões acima, obtemos() = −()() − ()().

 Assim, se : → ℝ é uma curva, as equações

() = ()(), () = −()() − ()(),() = ()().

são denominadas fórmulas de Frenet.

Teorema 1. (Teorema Fundamental das Curvas)

a) Dadas duas funções diferenciáveis, () > 0 e () ,   ∈ ⊂ ℝ,  existe uma curva regular()  parametrizada pelo comprimento dearco, tal que () é a curvatura e ()  é atorção de  em s. 

b) A curva () é única se fixarmos um ponto

() =  ∈ ℝ,() = ,() =(),  onde   e   são vetores

ortonormais de ℝ.c) Se duas curvas ()  e ()  têm a mesma

curvatura e torção (a menos de sinal), então e  são congruentes.

Exemplo 1. Vamos determinar a curva cuja

curvatura é dada por () = e torção () = 0. 

Pelas fórmulas de Frenet, temos

() = (),

() =1

2(). 

Resolvendo a EDO acima, concluímos que () =(sin2 ,cos2 ,0). Como () = ′(), então () =

∫   ′()

  . Portanto, () = −

cos2 , sin2 ,0 é

uma solução para a curva desejada, a menos deum movimento rígido.

Conclusões

Este trabalho possibilitou o estudo do Teorema

Fundamental das Curvas, que é uma ferramentaimportante no estudo da Teoria de Singularidades,

além de outros conceitos matemáticos avançados.

 Agradecimentos

 Ao PET/MEC pelo apoio financeiro.

[1]Tenenblat, K . Introdução à Geometria Difencial . 2.ed. São Paulo:

Edgard Blucher, 2008.