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descreve o teorema fundamental das curvas
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7/17/2019 RESUMO_41897726821_ptg (1)
http://slidepdf.com/reader/full/resumo41897726821ptg-1 1/1
XXVI Congresso de Inici ação Científi ca
Introdução à Geometria Diferencial: Teorema Fundamental das Curvas
Daniel Silva Costa Ferreira, João Carlos Ferreira Costa (orientador), Instituto de Biociências, Letras e
Ciências Exatas, câmpus de São José do Rio Preto, Matemática, [email protected],
PET/MEC.
Palavras Chave: curva, curvatura, torção. Introdução
Este trabalho é um estudo sobre o Teorema
Fundamental das Curvas, o qual viabiliza obter uma
curva espacial a partir de duas funções
diferenciáveis, sendo uma delas estritamente
positiva. Assim, definindo o conceito de curvatura e
torção, podemos encontrar uma curva a partir das
mesmas, a menos de um movimento rígido.
Material e Métodos
Metodologia utilizada: estudos individuais, reuniões
semanais com o orientador e pesquisas
bibliográficas.
Resultados e Discussão
Definição 1. Uma curva parametrizada diferenciável
de ℝ é uma aplicação diferenciável , de classe С,de um intervalo aberto ⊂ ℝ em ℝ. A variável ∈ é o parâmetro da curva, e o subconjunto de
ℝ formados pelos pontos (), ∈ , é o traço dacurva.
Definição 2. Seja : → ℝ uma curvaparametrizada diferenciável. O vetor () = () =(′(),′()) é chamado vetor tangente a em t Definição 3. A curva : → ℝ é regular se ∀ ∈
,′() ≠ 0. Definição 4. Uma curva regular : → ℝ estáparametrizada pelo comprimento de arco se ∀ ∈ ,|′()| = 1.
A partir de agora trataremos α como uma curvaregular parametrizada pelo comprimento de arco.
Definição 5. A curvatura de em ∈ é o númeroreal () = |′′()|.Definição 6. Seja : → ℝ tal que () > 0. O vetor
() =()
() é denominado vetor normal a em s.
Definição 7. Seja : → ℝ tal que () > 0. O vetorbinormal a em s é () = () × ().
O referencial ortonormal (), (), () é o triedrode Frenet da curva em s.
Definição 8. O número real () definido por () =()() é denominado torção da curva em s.Definição 9. Observe que
() = ()(), () = ()().
Como
() = () × (),
derivando temos() = () × () + ()′().
Substituindo b’ e t’ pelas expressões acima, obtemos() = −()() − ()().
Assim, se : → ℝ é uma curva, as equações
() = ()(), () = −()() − ()(),() = ()().
são denominadas fórmulas de Frenet.
Teorema 1. (Teorema Fundamental das Curvas)
a) Dadas duas funções diferenciáveis, () > 0 e () , ∈ ⊂ ℝ, existe uma curva regular() parametrizada pelo comprimento dearco, tal que () é a curvatura e () é atorção de em s.
b) A curva () é única se fixarmos um ponto
() = ∈ ℝ,() = ,() =(), onde e são vetores
ortonormais de ℝ.c) Se duas curvas () e () têm a mesma
curvatura e torção (a menos de sinal), então e são congruentes.
Exemplo 1. Vamos determinar a curva cuja
curvatura é dada por () = e torção () = 0.
Pelas fórmulas de Frenet, temos
() = (),
() =1
2().
Resolvendo a EDO acima, concluímos que () =(sin2 ,cos2 ,0). Como () = ′(), então () =
∫ ′()
. Portanto, () = −
cos2 , sin2 ,0 é
uma solução para a curva desejada, a menos deum movimento rígido.
Conclusões
Este trabalho possibilitou o estudo do Teorema
Fundamental das Curvas, que é uma ferramentaimportante no estudo da Teoria de Singularidades,
além de outros conceitos matemáticos avançados.
Agradecimentos
Ao PET/MEC pelo apoio financeiro.
[1]Tenenblat, K . Introdução à Geometria Difencial . 2.ed. São Paulo:
Edgard Blucher, 2008.