7/17/2019 RESUMO_41897726821_ptg (1)

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XXVI Congresso de Inici ação Científi ca 

Introdução à Geometria Diferencial: Teorema Fundamental das Curvas

Daniel Silva Costa Ferreira, João Carlos Ferreira Costa (orientador), Instituto de Biociências, Letras e

Ciências Exatas, câmpus de São José do Rio Preto, Matemática, daniel_babuzinho@hotmail.com,

PET/MEC. 

Palavras Chave: curva, curvatura, torção. Introdução

Este trabalho é um estudo sobre o Teorema

Fundamental das Curvas, o qual viabiliza obter uma

curva espacial a partir de duas funções

diferenciáveis, sendo uma delas estritamente

positiva. Assim, definindo o conceito de curvatura e

torção, podemos encontrar uma curva a partir das

mesmas, a menos de um movimento rígido.

Material e Métodos

Metodologia utilizada: estudos individuais, reuniões

semanais com o orientador e pesquisas

bibliográficas.

Resultados e Discussão

Definição 1. Uma curva parametrizada diferenciável 

de ℝ é uma aplicação diferenciável , de classe С,de um intervalo aberto  ⊂ ℝ em ℝ. A variável ∈ é o parâmetro  da curva, e o subconjunto de

ℝ formados pelos pontos (), ∈ , é o traço  dacurva.

Definição 2. Seja : → ℝ  uma curvaparametrizada diferenciável. O vetor () = () =(′(),′()) é chamado vetor tangente a  em t Definição 3.  A curva : → ℝ é regular   se ∀ ∈

,′() ≠  0. Definição 4.  Uma curva regular : → ℝ  estáparametrizada pelo comprimento de arco se ∀ ∈ ,|′()| = 1.

 A partir de agora trataremos α  como uma curvaregular parametrizada pelo comprimento de arco.

Definição 5.  A curvatura de em ∈  é o númeroreal () = |′′()|.Definição 6. Seja : → ℝ tal que () > 0. O vetor

() =()

() é denominado vetor normal a  em s.

Definição 7. Seja : → ℝ tal que () > 0. O vetorbinormal a  em s é () = () × ().

O referencial ortonormal (),  (),  () é o triedrode Frenet da curva  em s.

Definição 8. O número real () definido por () =()() é denominado torção da curva em s.Definição 9. Observe que

() = ()(), () = ()().

Como

() = () × (), 

derivando temos() = () × () + ()′().

Substituindo b’ e t’ pelas expressões acima, obtemos() = −()() − ()().

 Assim, se : → ℝ é uma curva, as equações

() = ()(), () = −()() − ()(),() = ()().

são denominadas fórmulas de Frenet.

Teorema 1. (Teorema Fundamental das Curvas)

a) Dadas duas funções diferenciáveis, () > 0 e () ,   ∈ ⊂ ℝ,  existe uma curva regular()  parametrizada pelo comprimento dearco, tal que () é a curvatura e ()  é atorção de  em s. 

b) A curva () é única se fixarmos um ponto

() =  ∈ ℝ,() = ,() =(),  onde   e   são vetores

ortonormais de ℝ.c) Se duas curvas ()  e ()  têm a mesma

curvatura e torção (a menos de sinal), então e  são congruentes.

Exemplo 1. Vamos determinar a curva cuja

curvatura é dada por () = e torção () = 0. 

Pelas fórmulas de Frenet, temos

() = (),

() =1

2(). 

Resolvendo a EDO acima, concluímos que () =(sin2 ,cos2 ,0). Como () = ′(), então () =

∫   ′()

  . Portanto, () = −

cos2 , sin2 ,0 é

uma solução para a curva desejada, a menos deum movimento rígido.

Conclusões

Este trabalho possibilitou o estudo do Teorema

Fundamental das Curvas, que é uma ferramentaimportante no estudo da Teoria de Singularidades,

além de outros conceitos matemáticos avançados.

 Agradecimentos

 Ao PET/MEC pelo apoio financeiro.

[1]Tenenblat, K . Introdução à Geometria Difencial . 2.ed. São Paulo:

Edgard Blucher, 2008.